Prestazioni di capitale caso morte

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1 Prestazioni di capitale caso morte Giovanni Zambruno e Asmerilda Hitaj Bicocca, 2014

2 Outline Assicurazione elementare caso morte 1 Assicurazione elementare caso morte

3 Assicurazione elementare caso morte E l impegno, con riferimento ad una testa di età x, di corrispondere un capitale stabilito, che si suppone unitario, dopo n anni, se l individuo morirà tra le età x + n 1 e x + n V V(x,Y ) =? x+n M Y x+n Età x x+n x+n 1 0.6

4 Assicurazione elementare caso morte cont... dove, la prestazione contrattualmente prevista, Y M x+n è: { Yx+n M 1 se = n 1 1 q x = {T x n} 0 altrimenti. Il valore della prestazione è: V(x, Y M x+n) = E(Y M x+n) v n = v n n 1 1q x = n 1 1 A x.

5 Assicurazione elementare caso morte cont... dove, la prestazione contrattualmente prevista, Y M x+n è: { Yx+n M 1 se = n 1 1 q x = {T x n} 0 altrimenti. Il valore della prestazione è: V(x, Y M x+n) = E(Y M x+n) v n = v n n 1 1q x = n 1 1 A x.

6 Polizza caso morte Caso morte Pagamento ai beneficiari di un capitale, qualora il decesso avvenga entro un fissato intervallo di tempo (ass. temporanee ) o in qualunque epoca esso avvenga (ass. a vita intera ). Finalità: coprire il rischio di morte e relative conseguenze finanziarie.

7 (TCM): è l impegno di corrispondere un capitale unitario (C=1) alla fine dell anno in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo se la morte avviene entro n anni (entro l età x + n) *q x 1* 1 1 q x 1* 2 1 q x 1* n 1 1 q x Età x x+1 x+2 x+3... x+n x+n+1... w

8 (TCM): è l impegno di corrispondere un capitale unitario (C=1) alla fine dell anno in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo se la morte avviene entro n anni (entro l età x + n) *q x 1* 1 1 q x 1* 2 1 q x 1* n 1 1 q x Età x x+1 x+2 x+3... x+n x+n+1... w

9 TCM cont... E caratterizzata da una data di pagamento aleatorio, il pagamento stesso è aleatorio, poiché potrebbe non esserci se l assicurato sarà in vita alla scadenza. Il valore attuale attuariale è: V(x, Y M ) = n k=1 E ( Yk M ) v k = (1 q x )v +(1 1 1 q x )v (1 n 1 1 q x )v n = 1 A x A x n 1 1 A x = n A x Principio di composizione dei contratti: portafoglio di n contratti elementari caso morte

10 TCM cont... Se il capitale assicurato e unitario per ogni anno: n V(x, Y) = n A x = v k k 1 1q x. k=1 Se il capitale assicurato e fisso (C) per ogni anno n V(x, Y) = C v k k 1 1q x. k=1 Se il capitale assicurato cambia (C k ) ogni anno n V(x, Y) = n A x = C k v k k 1 1q x. k=1 Si assume che l assicurato possa morire solo a tempi interi

11 TCM cont... Se il capitale assicurato e unitario per ogni anno: n V(x, Y) = n A x = v k k 1 1q x. k=1 Se il capitale assicurato e fisso (C) per ogni anno n V(x, Y) = C v k k 1 1q x. k=1 Se il capitale assicurato cambia (C k ) ogni anno n V(x, Y) = n A x = C k v k k 1 1q x. k=1 Si assume che l assicurato possa morire solo a tempi interi

12 TCM cont... Se il capitale assicurato e unitario per ogni anno: n V(x, Y) = n A x = v k k 1 1q x. k=1 Se il capitale assicurato e fisso (C) per ogni anno n V(x, Y) = C v k k 1 1q x. k=1 Se il capitale assicurato cambia (C k ) ogni anno n V(x, Y) = n A x = C k v k k 1 1q x. k=1 Si assume che l assicurato possa morire solo a tempi interi

13 Esercizio 1 (TCM) Anna all età di 70 anni stipula un contratto temporanea caso morte di 10 anni. Sapendo che il capitale assicurato è Si calcoli il valore della prestazione ed il premio unico della prestazione. Si consideri un tasso di interesse annuo del 2%.

14 1 0.9 Valore di una TCM di 10 anni al variare dell età 10 A A A A A A A 0 A 40 0 A A 20 A

15 Valore attuale di una TCM stipulata all età di e durata t=1,,76 38 A A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 A 17 A 18 A 19 A 20 A 21 A 22 A 23 A 24 A 25 A 26 A 27 A 28 A 29 A A 31 A 32 A 33 A 34 A 35 A 36 A 37 A A 39 A 42 A 41 A 44 A 443 A 46 A 45 A 48 A 47 A 50 A 49 A 52 A 51 A 53 A 54 A 55 A 56 A 57 A 58 A 59 A 60 A 61 A 62 A 63 A 64 A 65 A 66 A 67 A 68 A 69 A 70 A 71 A 72 A 7 A 74 A 75 A 76 A

16 Esercizio 2 (TCM) Marco all età di anni stipula un contratto temporanea caso morte di 8 anni. Sapendo che il capitale assicurato è euro è per i primi 5 anni e euro per il periodo rimanente. Si calcoli il valore attuale ed il premio unico della prestazione. Si consideri un tasso di interesse annuo del 2%.

17 Esercizio 3 (TCM) Mattia all età di 50 anni stipula un contratto temporanea caso morte di 6 anni. Sapendo che il capitale assicurato è euro per il primo anno e che decresce in progressione aritmetica di raggio 1000 euro negli anni successivi. Si calcoli il valore attuale ed il premio unico della prestazione. Si consideri un tasso di interesse annuo del 2%.

18 È l impegno di corrispondere un capitale unitario alla fine dell anno in cui avviene il decesso di una testa di età x *q x 1* 1 1 q x 1* 2 1 q x 1* q w 2 x 1 x 1* w 1 x 1 q x Età x x+1 x+2 x+3... w 1 w 0.6

19 cont... L aleatorietà del contratto riguarda solo la data di pagamento: l assicuratore dovrà comunque pagare, prima o poi, il capitale assicurato. V(x, Y M ) = w k=1 E ( Yk M ) v k = (1 q x )v +(1 1 1 q x )v (1 w 1 x 1 q x )v w x = 1 A x A x w 1 x 1 A x = A x Nel caso i = 0, si ha A x = w x k=1 k 1q x = 1. In questo caso il valore della vita intera non dipende dall ipotesi demografica e coincide con il capitale assicurato.

20 * m 1 q x 1* m+n 1 1 q x Età x... x+m... x+n+m... w Una polizza caso morte differita di m anni per una durata di n anni, è l impegno di corrispondere un capitale unitario (C=1) alla fine dell anno in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo se la morte avviene tra l età x + m e x + m+n). se la morte dell assicurato avviene durante il periodo di differimento l assicurazione non paga nulla.

21 * m 1 q x 1* m+n 1 1 q x Età x... x+m... x+n+m... w Una polizza caso morte differita di m anni per una durata di n anni, è l impegno di corrispondere un capitale unitario (C=1) alla fine dell anno in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo se la morte avviene tra l età x + m e x + m+n). se la morte dell assicurato avviene durante il periodo di differimento l assicurazione non paga nulla.

22 * m 1 q x 1* m+n 1 1 q x Età x... x+m... x+n+m... w Una polizza caso morte differita di m anni per una durata di n anni, è l impegno di corrispondere un capitale unitario (C=1) alla fine dell anno in cui avviene il decesso di una testa di età x, solo se la morte avviene tra l età x + m e x + m+n). se la morte dell assicurato avviene durante il periodo di differimento l assicurazione non paga nulla.

23 Differita TCM l aleatorietà riguarda il periodo di pagamento e il pagamento stesso che può anche non essere effettuato. Il valore attuale attuariale di una prestazione temporanea caso morte di durata n anni differita di m anni è dato da: m na x = m+n k=m+1 v k k 1 1q x

24 Si copre il rischio di morte e contemporaneamente ci si garantisce un capitale o una rendita in caso di sopravvivenza Combinazioni degli altri due tipi. Mista semplice o ordinaria Doppia mista (caso di mista combinata)

25 Assicurazione mista semplice Assicurazione mista semplice:è l impegno di corrispondere un capitale unitario dopo n anni se l assicurato sarà in vita all età x + n, o alla morte dell assicurato se questo muore prima dell età x + n. Le prestazioni della polizza mista sono: Y = {Y 1, Y 2,... Y n } ai tempi t = {1, 2,... n}, dove per ogni k = 1, 2,..., n si ha: C m se k 1 < T x k Y k = C v se k = n e T x > n 0 altrimenti.

26 Assicurazione mista semplice cont... Il valore attuale attuariale è dato dalla somma delle due componenti Se il capitale assicurato e unitario nel caso morte e vita : V(0, Y) = ( n E x + n A x ) = A x:n, stesso il capitale assicurato (C) nel caso morte e nel caso vita : V(0, Y) = C ( n E x + n A x ) = C A x:n Capitale assicurato C m nel caso morte e C v nel caso vita : V(0, Y) = (C v ne x + C m na x ).

27 Assicurazione mista semplice cont... Il valore attuale attuariale è dato dalla somma delle due componenti Se il capitale assicurato e unitario nel caso morte e vita : V(0, Y) = ( n E x + n A x ) = A x:n, stesso il capitale assicurato (C) nel caso morte e nel caso vita : V(0, Y) = C ( n E x + n A x ) = C A x:n Capitale assicurato C m nel caso morte e C v nel caso vita : V(0, Y) = (C v ne x + C m na x ).

28 Assicurazione mista semplice cont... Il valore attuale attuariale è dato dalla somma delle due componenti Se il capitale assicurato e unitario nel caso morte e vita : V(0, Y) = ( n E x + n A x ) = A x:n, stesso il capitale assicurato (C) nel caso morte e nel caso vita : V(0, Y) = C ( n E x + n A x ) = C A x:n Capitale assicurato C m nel caso morte e C v nel caso vita : V(0, Y) = (C v ne x + C m na x ).

29 Assicurazione mista semplice cont... Il valore attuale attuariale è dato dalla somma delle due componenti Se il capitale assicurato e unitario nel caso morte e vita : V(0, Y) = ( n E x + n A x ) = A x:n, stesso il capitale assicurato (C) nel caso morte e nel caso vita : V(0, Y) = C ( n E x + n A x ) = C A x:n Capitale assicurato C m nel caso morte e C v nel caso vita : V(0, Y) = (C v ne x + C m na x ).

30 Capitalizzazione Un contratto di capitalizzazione di durata n prevede che al contraente venga pagato a scadenza un capitale C con certezza, indipendentemente quindi dalla durata della sua (o di altrui) vita. Tecnicamente non è un contratto di assicurazione. Il valore del contratto alla data di stipula è: V(0, C n ) = C v n

31 : è simile alla polizza mista, con l unica differenza che la prestazione caso morte, anziché essere pagata alla data del decesso dell assicurato, viene pagata alla scadenza n della polizza. Se facciamo riferimento ad una polizza con capitale assicurato caso vita C v e capitale assicurato caso morte C m, il contratto prevede un unica prestazione Y n al tempo n, definita da: Y n = { C v se T x > n ( n p x ), C m se T x n ( n q x ).

32 : è simile alla polizza mista, con l unica differenza che la prestazione caso morte, anziché essere pagata alla data del decesso dell assicurato, viene pagata alla scadenza n della polizza. Se facciamo riferimento ad una polizza con capitale assicurato caso vita C v e capitale assicurato caso morte C m, il contratto prevede un unica prestazione Y n al tempo n, definita da: Y n = { C v se T x > n ( n p x ), C m se T x n ( n q x ).

33 cont... Il valore della prestazione è: V(0, Y n ) = C v v n n p x + C m v n n q x. Nel caso C v = C m la polizza degenera in una capitalizzazione.

34 cont... Il valore della prestazione è: V(0, Y n ) = C v v n n p x + C m v n n q x. Nel caso C v = C m la polizza degenera in una capitalizzazione.

35 Relazioni Attuariali A x = v q x + v p x A x+1. n A x = v n+1 np x q x+n + n+1 A x m na x = m E x n A x+m m na x = m A x m+n A x

36 Relazioni Attuariali A x = v q x + v p x A x+1. n A x = v n+1 np x q x+n + n+1 A x m na x = m E x n A x+m m na x = m A x m+n A x

37 Relazioni Attuariali A x = v q x + v p x A x+1. n A x = v n+1 np x q x+n + n+1 A x m na x = m E x n A x+m m na x = m A x m+n A x

38 Relazioni Attuariali A x = v q x + v p x A x+1. n A x = v n+1 np x q x+n + n+1 A x m na x = m E x n A x+m m na x = m A x m+n A x

39 Relazioni Attuariali cont... A x = m A x + m n A x + m+n A x n A x = n E x A x+n m na x = m+n A x m A x

40 Relazioni Attuariali cont... A x = m A x + m n A x + m+n A x n A x = n E x A x+n m na x = m+n A x m A x

41 Relazioni Attuariali cont... A x = m A x + m n A x + m+n A x n A x = n E x A x+n m na x = m+n A x m A x

42 Esercizi 1 Alice all età di 60 copra una polizza assicurazione caso morte di 10 anni differita di 5 anni. Sapendo che il capitale assicurato è 50 nei primi 5 anni e 100 nei successivi 5. Si calcoli il valore della polizza sapendo che: i = 2%, 10 h=5 v h h 1 1q 60 = , 15 h=10 v h h 1 1q 60 = Tavola di Sopravvivenza Età lx

43 Esercizi 2 Elisa all età di 25 stipula un assicurazione mista di 20 anni con un differimento di 7anni per la parte caso morte. Il capitale assicurato è C V = 100 e C M = 200. Si trovi il premio unico sapendo che: i = 2%, 4 13 A 28 = Tavola di Sopravvivenza Età lx

44 Esercizio 3 Anna all età di stipula un contratto caso morte a vita intera che paga alla fine dell anni in cui non è più in vita. Supponendo che p x = 0.9 per ogni x 0 e che i = 5%. Si trovi il valore attuale attuariale. Esercizio 4 Jass e Jane acquistano una polizza caso morte a vita intera al giorno del loro compleanno. Entrambe le assicurazioni pagheranno alla fine dell anno del decesso. Jess ha 45 anni e il suo premio unico (netto) ha un valore di Jane ha 44 anni ed il prezzo unico (netto) della sua assicurazione è Sapendo che i = 0.06 si trovi la probabilità che una persona di 44 anni muoia entro un anno.

45 Esercizio 3 Anna all età di stipula un contratto caso morte a vita intera che paga alla fine dell anni in cui non è più in vita. Supponendo che p x = 0.9 per ogni x 0 e che i = 5%. Si trovi il valore attuale attuariale. Esercizio 4 Jass e Jane acquistano una polizza caso morte a vita intera al giorno del loro compleanno. Entrambe le assicurazioni pagheranno alla fine dell anno del decesso. Jess ha 45 anni e il suo premio unico (netto) ha un valore di Jane ha 44 anni ed il prezzo unico (netto) della sua assicurazione è Sapendo che i = 0.06 si trovi la probabilità che una persona di 44 anni muoia entro un anno.

46 For Further Reading I C.PACATI, Appunti IMAAV (disponibile in.pdf sul sito web dell insegnamento)

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