Matematica (prof. Paolo Pellizzari) Corso di laurea COMES 3 Novembre 2011 A

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1 Novembre 2011 A f (x) = ( x ) x + 4. (2) Sia f definita in [0,5] come segue (x 2) se 0 x x + 5 se < x 5 (c) Enunciate il teorema di Weierstrass. () Sia f (x) = log(2 + e x 4 ). (a) Calcolate la tangente alla curva in x = 4. (b) Perché f è invertibile? (c) Determinate l inversa f 1 di f. (4) Il costo marginale a livello di produzione x (con x 1) è C (x) = 2 x + e2x 1. (a) Calcolate il costo di produzione C(x). Z x + e2x 1 dx Il risultato è maggiore di 12.5? (5) Siano R(Q) = 100Q e C(Q) = Q 2 +10Q+900 il ricavo dalle vendite di Q unità di prodotto e il relativo costo di produzione. Assumete che la produzione massima sia 40. (a) Per quali livelli di produzione i profitti sono positivi? (b) Quale produzione massimizza i profitti?

2 Novembre 2011 AB f (x) = x x 2. (d) Calcolate la tangente alla curva in x = 0. (2) Un capitale di 5000 euro è remunerato al % annuo nominale. (a) Quale sarà il valore di questo capitale fra 10 anni se gli interessi sono pagati semestralmente? (b) Quanti anni servono perché il capitale di 5000 euro triplichi (sempre con interessi semestrali)? () Sia f definita in [0,5] come segue 2x + 4 se 0 x 1 (x 2) se 1 < x 5 (c) Enunciate il teorema di Weierstrass. (4) Sia f (x) = exp( + log(x 1)). (a) Provate che f è invertibile nel suo dominio. (b) Determinate l inversa f 1 di f. (5) Il costo marginale a livello di produzione x (con x 1) è C (x) = 6x + x 2 + x (a) Calcolate il costo di produzione C(x). Z 2 6x + 1 x 2 + x dx Il risultato è maggiore di.5?

3 Novembre 2011 B f (x) = ( 9 + x ) x + 2. (2) Sia f definita in [0,5] come segue x 2 4x + 5 se 0 x 1 x + se < x 5 (c) Enunciate il teorema di Weierstrass. () Sia f (x) = log(4 + e x ). (a) Calcolate la tangente alla curva in x =. (b) Perché f è invertibile? (c) Determinate l inversa f 1 di f. (4) Il costo marginale a livello di produzione x (con x 1) è C (x) = 1 2x 1 + ex. (a) Calcolate il costo di produzione C(x). Z x 1 + ex dx Il risultato è maggiore di 12.5? (5) Siano R(Q) = 80Q e C(Q) = Q 2 +10Q+700 il ricavo dalle vendite di Q unità di prodotto e il relativo costo di produzione. Assumete che la produzione massima sia 0. (a) Per quali livelli di produzione i profitti sono positivi? (b) Quale produzione massimizza i profitti?

4 Novembre 2011 C ( x 2 f (x) = log 4 ) x + 1. (d) Determinate il valore di x in cui la pendenza della retta tangente al grafico è -1. (2) Sia f (x) = 2e x + e 2 2x definita in [0,1]. (a) Dite perché è applicabile il teorema di Weierstrass. (b) Determinate i punti di massimo e minimo globale per f. () Considerate gli importi monetari x 0 = 10,x 1 = 12,x 2 = 14 esigibili ai tempi t = 0,1,2 anni. (a) Calcolate il valore attuale netto dell operazione al tasso di r = 10% nominale annuo in capitalizzazione composta. (b) Un operazione alternativa è caratterizzata dagli importi y 0 = 10,y 1 = 10,y 2 = 20. Quale delle due è più conveniente in termini di valori attuale (sempre al tasso del 10% nominale annuo)? (c) Per quali valori del tasso r la prima operazione (x) è preferibile alla seconda (y)? (4) (a) Determinate un antiderivata di 1 2 et Z t + 2 ( et ) dt. t + 2 (5) La funzione di produzione di un azienda è Q(L) = 9L L, dove 0 L 200 indica il numero di lavoratori. (a) A quale livello di impiego della forza lavoro L è massimizzata la produzione? (b) A quale livello di impiego della forza lavoro L è massimizzata l output per lavoratore?

5 Novembre 2011 CD f (x) = log(2x + 1) 2x + 2x 2 x (b) Trovate gli intervalli di crescenza/decrescenza di f. (c) Calcolate lim f (x) [limite della derivata di f ] x + (2) (a) Trovate il valore attuale degli importi (1000, 1000, 1000) esigibili agli istanti t = 0,1,2 anni con tasso d attualizzazione pari al 7% annuo. (b) Quanto vale lo stesso valore attuale in regime di capitalizzazione continua? (c) In quanti anni si raddoppia un generico capitale investito al 7% annuo? () Sia f definita in [0,4] come segue (x 2) se 0 x (x 2) 2 + se < x 4 (c) Date la definizione di punto di massimo globale. (4) La funzione di produzione di un azienda è Q(L) = 9L L4, dove 0 L 20 indica il numero di lavoratori e Q è la quantità totale prodotta. (a) A quale livello di impiego della forza lavoro L è massimizzata la produzione? (b) A quale livello di impiego della forza lavoro L è massimizzata l output per lavoratore? (5) (a) Determinata un antiderivata di Z 2 1 x 2 x + 1 dx x 2 x + 1

6 Novembre 2011 D f (x) = log ( 1 ) (x2 4x + ). (b) Determinate gli eventuali punti in cui f si annulla. (c) Trovate il segno e gli intervalli di crescenza/decrescenza di f. (d) Determinate il valore di x in cui la pendenza della retta tangente al grafico è 1. (2) Sia f (x) = e 2 2x definita in [0,2]. (a) f è continua nel dominio? (c) Determinate i punti di massimo e minimo globale per f. (d) Enunciate le condizioni necessarie del primo ordine per l esistenza di massimi e minimi locali. () Considerate gli importi monetari x 0 = 10,x 1 = 12,x 2 = 15 esigibili ai tempi t = 0,1,2 anni. (a) Calcolate il valore attuale netto dell operazione al tasso di r = 10% nominale annuo in capitalizzazione composta. (b) Un operazione alternativa è caratterizzata dagli importi y 0 = 10,y 1 = 9,y 2 = 20. Quale delle due è più conveniente in termini di valori attuale (sempre al tasso del 10% nominale annuo)? (4) (a) Determinate un antiderivata di Z 2 0 t et 2 dt t et 2 (5) La funzione di produzione di un azienda è Q(L) = 15L L, dove 0 L 200 indica il numero di lavoratori. (a) A quale livello di impiego della forza lavoro L è massimizzata la produzione? (b) A quale livello di impiego della forza lavoro L è massimizzato l output per lavoratore?