Analisi statistica di dati

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1 Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Tecnica e Sperimentazione Aerospaziale 3 anno, N.O. AA Docente: Gian Luca Ghiringhelli Autori: Fogante Andrea Gobbi Lorenzo Lanzani Simone

2 Sommario La relazione si propone di chiarire come può essere effettuata l analisi statistica dei dati a disposizione. Indice 1. Introduzione 3 2. Funzioni e algoritmi, risultati della elaborazione, conclusioni Problema 1 e 2 3 Scrivere le routine per il calcolo di μ x (n), σ x (n) e σ 2 x (n). Rappresentare e commentare l andamento di μ x (n), σ x (n) e σ 2 x(n) la variare di n. Scrivere la routine per la costruzione di un istogramma ad intervalli. Analizzare l andamento degli istogrammi normalizzati al variare del numero di intervalli. Per il problema 1 confrontare gli istogrammi normalizzati con la funzione f(x) = 0.5 Per il problema 2 ricavare un opportuna funzione f(x) che approssimi la distribuzione dei dati. Rappresentare l andamento delle medie calcolate suddivido la popolazione in esame in campioni di dimensione 100. Rappresentare l istogramma di tali medie e commentarne l andamento. Problema Rappresentare graficamente il processo casuale in due e tre dimensioni. Rappresentare l istogramma normalizzato in corrispondenza di k = 10 e k = 20. Problema Rappresentare graficamente i processi casuali. Rappresentare le medie calcolate sulle realizzazioni per ogni valore di k. Appice A...14 Appice B...15 Appice C...16 Appice D

3 1. Introduzione Lo scopo della seguente relazione è quello di mostrare le formule e il calcolo dei principali parametri statistici di un campione di dati ed analizzarne alcune caratteristiche. Si implementeranno gli algoritmi di calcolo della media, varianza campionaria, deviazione standard e si scriverà una routine per la rappresentazione di un istogramma a intervalli. Il linguaggio di programmazione usato è in codice Matlab. 2. Funzioni e algoritmi, risultati della elaborazione, conclusioni Problema 1 e 2 Considerando le popolazioni di dati salvate nei files dati11.dat per il problema 1 e dati12.dat per il problema 2, sono stati eseguiti i seguenti calcoli statistici. Scrivere le routine per il calcolo di μ x (n), σ x (n) e σ 2 x (n) con dimensione n del campione generica. Per svolgere questa prima parte del problema sono state eseguite alcune prove utilizzando diversi tipi di algoritmo, avo come riferimento le formule di base per il calcolo delle grandezze richieste. Per calcolare la media al variare di n, si è prestata particolare attenzione ad ottimizzare l algoritmo per evitare inutili ripetizioni di calcoli (cfr. Appice D per l analisi dei programmi usati). Poiché Matlab risulta particolarmente lento nell esecuzione di un ciclo for (esso Matlab un linguaggio interpretato e non compilato), si è preventivamente agito suddivido l unico vettore di dati (composto da N= elementi) in una sequenza di vettori ordinati in matrice di opportune dimensioni. max_vettori = 50; max_dati = fix(k/(max_vettori)); tabella = ones((max_vettori),max_dati); start=1; for i=1:(max_vettori) stop = max_dati*i; tabella(i,:) = dati(start:stop); start = stop+1; 3

4 Successivamente si è operato svolgo una somma intelligente che non ricalcolasse ad ogni ciclo tutti i valori fino a quello n-esimo, ma che riusasse i calcoli già svolti come punto di partenza. Le considerazioni usate per calcolare la varianza e la deviazione standard sono le medesime portando particolare attenzione al reindirizzamento degli elementi di un vettore in Matlab. Poiché i risultati ottenuti dovevano tornare ad essere vettori (chiamati media, varianza e devst) di dimensioni 1 x N (dove ogni elemento rappresenta rispettivamente la media, la varianza o la deviazione standard di tutti i dati fino a quel valore), è stato necessario introdurre un algoritmo che riconvertisse la posizione matriciale in posizione vettoriale. a = y*(i-1)+j; if i==1 & j==1 A=2; else A=a; Per la popolazione in esame, rappresentare e commentare l andamento di μ x (n), σ x (n) e σ 2 x(n) al variare della dimensione n del campione considerato (n = 1, 2, 3,..., N). Al variare delle dimensioni del campione i risultati ottenuti sono rappresentati dai grafici seguenti (sono stati riportati solo i grafici relativi ai dati dati11.dat; i risultati relativi ai dati dati12.dat sono riportati nell Appice C): 4

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6 Come risulta ben visibile dai grafici (soprattutto nella zona ingrandita), l andamento di media, varianza e deviazione standard oscilla per un numero di campioni alto (basso numero di elementi per campione), to via via al valore totale relativo ad un solo campione di N elementi: Media su:_100000_elementi = Varianza su:_100000_elementi = Deviazione Standard su:_100000_elementi = Scrivere la routine per la costruzione di un istogramma ad intervalli con N bins generico. Per il calcolo del numero di intervalli (N bins ) è stata implementata la formula: poiché il numero di elementi è abbondantemente superiore alle quaranta unità. Il risultato ottenuto, sempre relativamente alla raccolta di dati contenuta in dati11.dat, è mostrato nel seguente grafico: Particolare attenzione si è prestata nel calcolo dell effettiva ampiezza del singolo intervallo. L algoritmo utilizzato è stato: intervallo = ( max(max(tabella)) + min(min(tabella)) ) / Nbins dove la successione di due max (e due min) è dovuta al fatto che tabella è una matrice e il comando max (min), applicati ad una matrice, restituiscono come risultato un vettore contenente il massimo (minimo) di ciascuna colonna. Applicando nuovamente il comando al vettore si ottiene il valore voluto. 6

7 Per la popolazione in esame, analizzare l andamento degli istogrammi normalizzati al variare del numero di intervalli. Se si divide il valore del numero di occorrenze (di ciascun intervallo) per il numero totale di dati e successivamente lo si divide per l ampiezza dell intervallo stesso, si ottiene il grafico normalizzato delle occorrenze così come visualizzato di seguito: Il grafico è stato generato a partire dal numero di intervalli calcolati con la formula del punto precedente. Nell Appice A sono riportati i grafici normalizzati con 50, 80, 110, 140, 170 intervalli. Nonostante l andamento sia localmente differente da grafico a grafico (a causa della diversa riallocazione delle occorrenze) è perfettamente visibile lo sviluppo dei picchi attorno al valore medio 0.5. Si è verificato così che la normalizzazione genera istogrammi localmente diversi, ma globalmente analoghi nel mostrare l andamento attorno ad un valore medio, indipente dal numero d intervalli. Per il problema 1 confrontare gli istogrammi normalizzati ottenuti al punto precedente con la funzione: Come già indicato nel punto precedente, gli istogrammi normalizzati si sviluppano globalmente attorno al valor medio 0.5. Il grafico seguente (e gli analoghi grafici per 50, 80, 110, 140, 170 intervalli, riportati nell Appice B) mostra in ascissa il valore assoluto dell intervallo e in ordinata il valore normalizzato dell occorrenza. In rosso è evidenziata la funzione definita a pezzi f(x). 7

8 Per il problema 2 ricavare un opportuna funzione f(x) che approssimi i dati. Procedo per tentativi si è verificato che la miglior approssimazione dell andamento degli istogrammi normalizzati è la funzione: (1/ 3) x f ( x) = (1/3) e 8

9 Rappresentare l andamento delle medie calcolate suddivido la popolazione in esame in campioni di dimensione 100. Di seguito è riportato l istogramma rappresentante le medie di ciascuno dei 1000 campioni da 100 elementi: Rappresentare l istogramma di tali medie. 9

10 Problema 3 Considerando la popolazione di dati salvati nel file dati13.dat sono stati eseguiti i seguenti calcoli. Rappresentare graficamente il processo casuale in due e tre dimensioni. Sono state considerate 1000 realizzazioni per ciascun valore di k del processo casuale descritto dalla funzione: dove k = 1,, 30 ed A è il vettore degli elementi contenuti in dati13.dat. Nell algoritmo è stato calcolato e poi rappresentato x(k), k = 1,,30 per ciascun valore di A, cioè si sono prodotte 1000 cosinusoidi in ugual fase ma diversa ampiezza. Il risultato è osservabile nel seguente grafico, dove in ascissa abbiamo k = 1,, 30 e in ordinata il valore della funzione: Usando come riferimento la terna destrorsa, nei grafici 3D sull asse delle X è rappresentato il numero d ordine dell elemento casuale A (ampiezza della cosinusoide), sull asse delle Y il numero crescente di k e sull asse delle Z il valore della cosinusoide. 10

11 Rappresentare l istogramma normalizzato in corrispondenza di k = 10 e k = 20. Come si può notare, i grafici sono identici. Questo perché osservando la funzione coseno si ricava che i valori di x(k) con k = 10 e con k = 20 sono uguali in modulo ed opposti in segno poiché: cos(π) = -cos(2π) 11

12 Problema 4 Considerando la popolazione di dati salvati nel file dati14x.dat e dati14y.dat sono stati eseguiti i seguenti calcoli. Rappresentare graficamente i processi casuali. Sono state considerate 1000 realizzazioni per ciascun valore di k del processo casuale descritto dalle funzioni: dove k = 1,, 30, Ф x è il vettore di elementi contenuti in dati14x.dat e Ф y è il vettore di elementi contenuti in dati14y.dat. Nell algoritmo sono stati calcolati e poi rappresentati x(k) e y(k), k=1,,30, per ciascun valore di Ф, cioè si sono prodotte 1000 cosinusoidi sfasate di Ф x nel primo caso e di Ф y nel secondo. 12

13 Rappresentare le medie calcolate sulle realizzazioni per ogni valore di k. Dal grafico rappresentante l andamento dei valori medi al variare di k si evince che la popolazione contenuta in dati14x.dat è quasi uniformemente distribuita. Ciò implica uno sfasamento casuale delle cosinusoidi e l andamento dei suoi valori medi si attesta attorno allo zero. Nel caso della popolazione contenuta in dati14y.dat la distribuzione degli sfasamenti è invece concentrata in una banda (ben visibile nel grafico 2D). Ciò genera un andamento delle medie rappresentato ancora da una cosinusoide. Dall analisi dei dati di questo problema si ricava una buona generalizzazione del comportamento dei segnali periodici: il primo caso rappresenta una famiglia di segnali a frequenza costante e sfasamenti casuali (a media nulla); il secondo caso può descrivere, invece, un segnale ad un unica frequenza, ma composto da una famiglia di cosinusoidi sfasate all interno di una ben precisa fascia. 13

14 Appice A Di seguito sono riportati i grafici del problema 1 relativi agli istogrammi normalizzati con 50, 80, 110, 140, 170 intervalli: 14

15 Appice B Di seguito sono riportati i grafici del problema 1 relativi ai grafici di confronto normalizzati con 50, 80, 110, 140, 170 intervalli: 15

16 Appice C Di seguito sono riportati i risultati ottenuti elaborando la popolazione di dati contenuti in dati12.dat: Media su:_100000_elementi = Varianza su:_100000_elementi = Deviazione Standard su:_100000_elementi =

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18 Appice D In questa appice sono riportati per intero i programmi usati per l elaborazione dei dati. Tutti i dati riferiti alle prestazioni di tempo sono stati ricavati usando un PC dotato di processore Pentium 4 a 3.4 GHz, 512 Mb di RAM, con Matlab 6.5 installato su Windows XP SP2. Programma 1 Del programma 1 sono state analizzate due versioni come confronto di prestazioni. La prima è forse la più intuitiva, ma è lentissima e ripete inutilmente molti calcoli. Ver. 1 dati = load('dati11.dat'); k = length(dati); % dati media(1) = dati(1); somma(1) = dati(1); for i=2:k somma(i) = somma(i-1) + dati(i); media(i) = (1/i)*somma(i); differenza2(1) = (dati(1) - media(k))^2; sommadiff(1) = differenza2(1); for i=2:k differenza2(i) = (dati(i) - media(i))^2; sommadiff(i) = sommadiff(i-1) + differenza2(i); varianza(1) = NaN; devst(1) = NaN; for i=2:k varianza(i) = (1/(i-1))*sommadiff(i); devst(i) = (varianza(i))^(1/2);. La Versione 1 riportata parzialmente qui a fianco elabora la prima parte del problema 1, generando i grafici degli andamenti di media, varianza e dev. st. I risultati numerici sono i medesimi di quelli presentati a pagina 6: Media su:_100000_elementi = Varianza su:_100000_elementi = Deviazione Standard su:_100000_elementi = Ma con una notevole differenza: il tempo necessario per calcolare e generare i primi tre grafici è stato di secondi (circa 8 minuti). La principale causa della così lenta elaborazione è stata la non preventiva dichiarazione dei vettori usati. I vettori vengono costruiti dinamicamente da Matlab ad ogni ciclo del comando for e questo rallenta di un fattore 100 l esecuzione. Un altro problema è stato l uso di un solo vettore di dati, che Matlab non gestisce fluidamente. Ver. 2 (definitiva) clc clear all Tempo = cputime; %profile on -detail builtin format long e dati = load('dati11.dat'); k = length(dati); % dati max_vettori = 50; %numero di vettori(righe) nella tabella (escluso il vettore resto) %N.B. scegliere max_vettori più piccolo di k!!!! altrimenti errore. max_dati = fix(k/(max_vettori)); %arrotondamento per difetto %inizializzo tabella. tabella = ones((max_vettori),max_dati); %inizializzo vettore resto con gli ultimi elementi della tabella, %nel caso la divisione k/(max_vettori) non fosse esatta. resto = zeros(1,(k-max_dati*(max_vettori))); start=1; for i=1:(max_vettori) stop = max_dati*i; tabella(i,:) = dati(start:stop)'; start = stop+1; Particolare attenzione si è prestata nella dichiarazione preventiva della dimensione di vettori e matrici per evitare allocazioni dinamiche di oggetti in memoria. Ogni riga della matrice contiene (max_dati) dati fino alla fine dell'elenco, così Matlab è più veloce ad elaborare i valori, invece di avere un unico vettore di k elementi (in questo caso ). Nel vettore resto sono contenuti gli eventuali ultimi elementi, nel caso k/max_vettori generi resto. Però non è stato implementato nei conti successivi. L importante è scegliere max_vettori divisore di k. Se ci fosse bisogno, le modifiche da apportare al codice per gestire anche resto sarebbero minime. 18

19 if stop~=k resto(1,:) = dati(start:k)'; clear i; clear start; clear stop; clear max_dati; clear max_vettori; somma = ones(1,k); media = ones(1,k); somma(1) = 0; media(1) = 0; [x,y] = size(tabella); Non è stato implementato questo vettore nei calcoli: scegliere max_vettori divisore di k! Per evitare di tenere in memoria dati inutili, quando possibile si è proceduto con la cancellazione delle variabili non più usate. for i=1:x for j=1:y a = y*(i-1)+j; if i==1 & j==1 A=2; else A=a; somma(a) = somma(a-1) + tabella(i,j); media(a) = (1/a)*somma(a); clear A; clear a; clear i; clear j; differenza2 = ones(1,k); sommadiff = ones(1,k); differenza2(1) = 0; sommadiff(1) = 0; All interno del ciclo for è stato inserito il ciclo if che, sebbene rallenti il flusso di calcolo, si è reso necessario per un corretto puntamento agli elementi del vettore. I vettori sono inizializzati come serie di zero o come serie di uno a seconda della necessità, in modo che tali valori non influiscano nei calcoli. for i=1:x for j=1:y a = y*(i-1)+j; if i==1 & j==1 A=2; else A=a; differenza2(a) = (tabella(i,j) - media(a))^2; sommadiff(a) = sommadiff(a-1) + differenza2(a); varianza = ones(1,k); devst = ones(1,k); varianza(1) = NaN; devst(1) = NaN; for i=2:k varianza(i) = (1/(i-1))*sommadiff(i); devst(i) = (varianza(i))^(1/2); clear A; clear a; clear i; clear j; clear sommadiff; clear differenza2; sk = num2str(k); smedia = num2str(media(k)); svarianza = num2str(varianza(k)); sdevst = num2str(devst(k)); parte1 = strcat('media su:_',sk,'_elementi =',smedia); parte2 = strcat('varianza su:_',sk,'_elementi =',svarianza); parte3 = strcat('deviazione Standard su:_',sk,'_elementi =',sdevst); Il primo elemento di varianza e deviazione standard non è definito poiché sarebbe un numero diviso zero. In Matlab il comando NaN indica un elemento che non è un numero ma è trattato come tale. In questa parte sono stati trasformati dei numeri in stringa per poter essere stampati come output dal comando disp. disp(parte1); disp(parte2); disp(parte3); X=[1:k]; figure(1) plot(x,media) title('andamento della media all''aumentare del numero di dati') axis([-1000,4*k/10,0.1,1.5]) 19

20 figure(2) plot(x,varianza) title('andamento della varianza all''aumentare del numero di dati') axis([-1000,5*k/10,0.2,0.74]) figure(3) plot(x,devst,'r') title('andamento della deviazione standard all''aumentare del numero di dati') axis([-1000,4*k/10,0.45,0.85]) clear sk; clear smedia; clear svarianza; clear sdevst; clear parte1; clear parte2; clear parte3; 1 Nbins = round(1.87*((k-1)^0.4)-1); intervallo = (max(max(tabella))+min(min(tabella)))/nbins; occorrenza = zeros(1,nbins); Per indicazioni su questa parte del codice cfr. pagina 6. for i=1:x for j=1:y a = fix(tabella(i,j)/intervallo); a = a+1; occorrenza(a) = occorrenza(a) + 1; figure(4) bar(occorrenza) title('occorrenze per ciascun bin') snbins = num2str(nbins); sintervallo = num2str(intervallo); xlabel(strcat('numero di bins =',snbins,' di ampiezza =',sintervallo)) In questa parte è stato implementato un algoritmo rapido per stabilire in quale intervallo rientra un valore, tramite una semplice divisione e successivo arrotondamento per troncamento del risultato. Un metodo molto più veloce che avrebbe evitato tutto il calcolo delle occorrenze sarebbe stato l uso del comando hist. Esso genera direttamente l istogramma, calcolando in automatico le occorrenze per ciascun intervallo. %istogramma normalizzato occ_norm = occorrenza./ k./ intervallo; figure(5) bar(occ_norm) title('occorrenza normalizzata di ciascun intervallo') xlabel(strcat('numero di bins =',snbins)) massimo = max(max(tabella)); X=[0:intervallo:massimo]; Y=0.5.*ones(1,length(X)); figure(6) plot(x,y,'r','linewidth',2) hold on plot(x,occ_norm,'bo:') title('occorrenze normalizzate confrontate con cost=0.5') 2 clear Massimo; clear X; clear Y; clear snbins; clear sintervallo; clear a; clear Nbins; clear i; clear j; clear occ_norm; clear occorrenza; clear x; clear y; clear intervallo; clear t; clear tabella; max_vettori = 1000; max_dati = fix(k/(max_vettori)); %arrotondamento per difetto 1000 è il numero di vettori (righe) nella tabella: ciascuna colonna risulterà di 100 elementi, come da specifica. %inizializzo tabella. tabella2 = ones((max_vettori),max_dati); start=1; for i=1:(max_vettori) stop = max_dati*i; tabella2(i,:) = dati(start:stop)'; start = stop+1; clear i; clear start; clear stop; clear max_dati; somma2 = ones(1,max_vettori); media2 = ones(1,max_vettori); somma2(1) = 0; media2(1) = 0; 20

21 [x,y] = size(tabella2); for i=1:x for j=1:y somma2(i) = somma2(i) + tabella2(i,j); media2(i) = somma2(i) / max_vettori; X=[1:length(media2)]; figure(7) plot(x,media2) title('medie dei tati a campioni di 100') figure(8) bar(media2) title('medie dei dati a campioni di 100') %profreport profilo Tempo=cputime-Tempo clear all Considerazioni finali sull efficienza di questo programma si possono riassumere osservando la quantità di risultati ottenuti (la risoluzione dei 7 punti della richiesta e la generazione di 8 grafici) in soli 3 secondi (nonostante le circa 150 righe di codice). Oltre al programma 1 Ver. 2, per soddisfare completamente le richieste dei punti 4 e 5, è stato implementato un mini-codice a sé stante (ma sempre basato sugli stessi procedimenti e sulle stesse considerazioni di efficienza) che ha generato i risultati presenti nell Appice A e B, semplicemente variando il numero di bins in. 1 Programma 2 Il listato del programma 2 non è stato inserito nella presente poiché del tutto analogo a quello precedente, sia come implementazione, sia come criteri adottati. Le uniche modifiche sono state apportate nel comando load iniziale, affinché caricasse il file dati12.dat, e in per definire la funzione corretta che approssimasse i dati (vedi pagina 9). 2 Programma 3 clc; clear all; close all; A = load('dati13.dat'); a = length(a); K=30; valori = ones(k,a); i=[1:k]; j=0; for k=i for j=1:a valori(k,j) = A(j)*cos(pi*k/10); Il vettore è di 1000 elementi: non è necessario spezzarlo. valori: matrice di dimensione K x a, in cui ad ogni riga corrisponde un diverso valore di K e nelle colonne i 1000 valori di A. Come indice del ciclo for che calcola i vari x(k) e li pone nella matrice valori è stato usato il reindirizzamento vettoriale k=i, dove i è un vettore noto: ad ogni ciclo k assume il valore successivo tra quelli di i. clear i; clear j figure(1) plot(valori) title('cosinusoidi Acos(pi*k/10) al variare di A') Plot di tutte le cosinusoidi al variare di K, per ciascun valore di A. Il comando plot( matrice ) stampa sulle ascisse il numero della riga e in ordinata i valori della matrice, colonna per colonna. figure(2) t = ones(1,k) for i=1:a plot3(i*t,[1:30],valori(:,i)) hold on figure(3) surf([1:1000],[1:30],valori) 21

22 figure(4) mesh([1:1000],[1:30],valori) Nbins = round(1.87*((a-1)^0.4)-1); intervallo = abs((max(valori(10,:))+min(valori(10,:)))/nbins); occorrenza = zeros(1,nbins); for i=1:a index = abs(fix(valori(10,i)/intervallo)); index = index+1; occorrenza(index) = occorrenza(index) + 1; %istogramma normalizzato occ_norm = occorrenza./ a./ intervallo; figure(5) bar(occ_norm) title('occorrenza normalizzata per ciascun bin: k=10') snbins = num2str(nbins); sintervallo = num2str(intervallo); xlabel(strcat('numero di bins =',snbins,' di ampiezza =',sintervallo)) intervallo = abs((max(valori(20,:))+min(valori(20,:)))/nbins); occorrenza = zeros(1,nbins); for i=1:a index = abs(fix(valori(20,i)/intervallo)); index = index+1; occorrenza(index) = occorrenza(index) + 1; %istogramma normalizzato occ_norm = occorrenza./ a./ intervallo; figure(6) bar(occ_norm) title('occorrenza normalizzata per ciascun bin: k=20') snbins = num2str(nbins); sintervallo = num2str(intervallo); xlabel(strcat('numero di bins =',snbins,' di ampiezza =',sintervallo)) Gli ultimi due pezzi del codice qui a fianco sono identici a quanto già esposto riguardo il programma 1 per il calcolo delle occorrenze. L ultimo comando semplicemente stampa sul prompt di Matlab l osservazione già discussa a pag. 11. Infine si noti che per questo programma non sono state fatte considerazioni sull efficienza, specialmente dal punto di vista del tempo di esecuzione. Dato il numero relativamente ridotto di elementi contenuti in dati13.dat, non si è rilevato un sensibile abbattimento del tempo di elaborazione nello spezzare la popolazione in matrice. Perciò si è optato per l abbattimento del numero di calcoli, pur faco attenzione a tutti gli altri criteri efficientistici (tra cui l attenta dichiarazione delle variabili). disp('i valori con k=10 e con k=20 sono uguali in modulo ed opposti in segno poichè cos(pi)=-cos(2pi)!!!') Programma 4 clc; clear all; close all; A = load('dati14x.dat'); a = length(a); B = load('dati14y.dat'); b = length(b); K=30; valorix = ones(k,a); valoriy = ones(k,b); i=[1:k]; j=0; for k=i for j=1:a valorix(k,j) = cos(pi*k/10 + A(j)); valoriy(k,j) = cos(pi*k/10 + B(j)); clear k; clear j; clear i; mediax = zeros(k,1); mediay = zeros(k,1); for i=1:k for j=1:a mediax(i) = mediax(i) + valorix(i,j); mediay(i) = mediay(i) + valoriy(i,j); mediax(i) = mediax(i)/a; mediay(i) = mediay(i)/b; figure(1) plot(valorix) title('valori delle cosinusoidi tratte da dati14x.dat') figure(2) plot(valoriy) title('valori delle cosinusoidi tratte da dati14y.dat') figure(3) surf([1:1000],[1:30],valorix) title('valori delle cosinusoidi tratte da dati14x.dat') figure(5) surf([1:1000],[1:30],valoriy) title('valori delle cosinusoidi tratte da dati14y.dat') figure(6) plot([1:k],mediax,'bo-',[1:k],mediay,'ro-','linewidth',2) title('rappresentazione dei valori medi al variare di k') leg('medie dati14x','medie dati14y',2) Per il programma 4 non sono necessarie osservazioni in più di quelle già fatte per il programma 3, salvo il fatto che questa volta i comandi sono eseguiti contemporaneamente su due popolazioni diverse. 22