Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli"

Transcript

1 Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizio. ove R R xy x + y + x + y dxdy } x, y R : x, y, x x + y x Svolgimento. Passo : per disegnare R, studiamo C : x + y x, C : x + y x Completando il quadrato, si osserva che x + y x x + y 4 cioè C è la circonferenza di centro, e raggio analogamente C : x + y la circonferenza di centro, e raggio. Quindi R è la semicorona circolare compresa fra C e C nel primo quadrante. Passo : cambiamento di variabili l espressione analitica di f suggerisce l uso delle coordinate polari. Vediamo come si trasforma R: x ρ cosϑ, y ρ sinϑ, ρ x + y Inoltre, ricordando che ρ, Allora R R, con è un dominio normale in ϑ. x x + y x ρ cosϑ ρ ρ cosϑ, x, y ϑ [ ], π ρ cosϑ ρ ρ cosϑ cosϑ ρ cosϑ. R ρ, ϑ [, + [, π] : ϑ Passo : calcolo l integrale xy R x + y + x + y dxdy ρ cosϑ sinϑ R ρ + ρ ρdρdϑ π/ sinϑ π/ π/ cosϑ [, π ], cosϑ ρ cosϑ } ρ cosϑ sinϑdρdϑ + ρ cosϑ sinϑ [ ln + ρ ] sinϑ cosϑ [ ] cosϑ sinϑ ln + 4 cos ϑ ln + cos ϑ dϑ I 4 I

2 ove per α > poniamo I α π/ cosϑ sinϑ ln + α cos ϑdϑ Effettuando il cambiamento di variabili z cos ϑ si ottiene I α che calcoliamo integrando per parti. Quindi ln + αzdz e allora I α R ln + α + α ln + α xy x + y + x + y dxdy 5 ln5 ln 8 Esercizio. z expx + y dxdydz, con x, y, z R 3 : x + y z }. Svolgimento. Il dominio di integrazione è dato dalle due condizioni x + y z, z che individuano la regione compresa fra il paraboloide z x + y che è una superficie di rotazione e il piano z. Sia la geometria del dominio nella cui espressione analitica compare il termine x + y sia l espressione di f che contiene il termine x + y suggeriscono l uso delle coordinate cilindriche x ρ cosϑ, y ρ sinϑ, dxdydz ρdρdϑdz. z z In coordinate cilindriche, il dominio diventa : z [, ], ϑ [, π], ρ z ρ z. Quindi, integrando per fili in ρ si ha z z expρ ρ dρ dϑdz [,π] [,] [,π] [,] π [ z ] z expρ dϑdz dϑ ze z dz... π. Esercizio 3. xz dxdydz, ove è il solido contenuto nel primo ottante e limitato dalle superficie y x + z e y.

3 Svolgimento. Quindi è dato da x, y, z R 3 : x, y, z, x + z y }. È naturale interpretare come dominio normale rispetto all asse y e integrare per strati rispetto alle variabili x, z: infatti, : y, x, z y x, z R : x, z, x + z y }. Applicando la corrispondente formula di riduzione per strati, si ha xz dxdz dy. y Notiamo che per ogni y [, ] lo strato y è un disco di centro, e raggio y: è naturale calcolare l integrale esteso a y passando alle coordinate polari x ρ cosϑ x, z ρ, ϑ : dxdz ρ dρdϑ y ρ sinϑ e Quindi da cui xz dxdz y [, y] [,π/] 4 y ρ y, ϑ π. y π/ ρ cosϑ sinϑρ dρdϑ ρ 3 dρ sinϑ cosϑ dϑ y dy. [ 4 ρ4 ] y [ ] π/ cosϑ 4 y Procedimento alternativo. Interpretare come dominio normale rispetto al piano xy e integrare per fili in z, cioè osservare che e quindi x, z, x + z y z y x, x y : x, y x, y R : y, x y }, z y x. Quindi integrando per fili in z si ha y x xz dz dxdy... xy x 3 dxdy. ratto l integrale doppio su osservando che è un dominio normale in y e applico la relativa formula di riduzione. Esercizio: ritrovare il risultato applicando con questo procedimento alternativo. Esercizio 4. Siano a, b, c > e si consideri il volume racchiuso dall ellissoide x x + y dxdydz. a + y b + z c. 3

4 Svolgimento. Si osservi che x, y, z R 3 : x } a + y b + z c è simmetrico rispetto all asse x, all asse y, e all asse z. Inoltre la funzione integranda è chiaramente pari in x, in y e in z visto che non dipende da z. Allora è facile vedere che 8 x y dxdydz + con + x, y, z R 3 x } : a + y b + z, x, y, z. c La geometria del dominio di integrazione suggerisce il passaggio alle coordinate sferiche generalizzate x aρ cosϑ sinφ, y bρ sinϑ sinφ, dxdydz abcρ sinφ dρdϑdφ z cρ cosφ, e il dominio + diventa un parallelepipedo + [, ] [, π ] [, π ]. Quindi 8 8abc [,] [, π ] [, π ] [,] [, π ] [, π ] π/ 8abc ρ 4 dρ... 8abc πabc a + b. a ρ cos ϑ sin φ + b ρ sin ϑ sin φ abcρ sinφ dρdϑdφ a π 4 + π b 4 a ρ 4 cos ϑ sin 3 φ + b ρ 4 sin ϑ sin 3 φ dρdϑdφ π/ π/ sin 3 φ dφ a cos ϑ dϑ + b sin ϑ dϑ Esercizio assegnato. con il volume racchiuso dall ellissoide x 4 + y 9 + z 5. z dxdydz Risposta: π. Esercizio 5. con x + y dxdydz x, y, z R 3 : x + y + z, x + y z, z }. 4

5 Svolgimento. La geometria del dominio intersezione di una sfera con un cono, nel semispazio z }, così come l espressione analitica della funzione integranda, suggeriscono il passaggio alle coordinate cilindriche. A questo scopo, osserviamo che x + y + z, x + y z, z z, x + y minz, z }. Quindi passando alle coordinate cilindriche x ρ cosϑ, y ρ sinϑ, z z il dominio diventa dxdydz ρdρdϑdz. È facile vedere che : z [, ], ϑ [, π], ρ az : minz, z } minz, z}. z se z az, z se z. Allora, interpretando come dominio normale rispetto al piano ϑz e integrando per fili in ρ az ρ ρ dρdϑdz dρ dϑdz [,π] [,] π dϑ az dz / π z dz + z dz. / Con il cambiamento di variabile calcolo / z dz π/ π/4 sin t cost dt z sint π/ π/4 [ t + sint cost cos t dt ] π/ π/4 π 4 π 8 4. altra parte Quindi / z dz [ z ] / 4. π π 8 π 4. Esercizio 6. nel piano yz il volume V del solido ottenuto ruotando intorno all asse z la figura piana, contenuta G y, z R : z y 4 z, z }. 5

6 Svolgimento. Applico la formula ottenuta usando le coordinate cilindriche per il calcolo del volume dei solidi di rotazione V π ρ dρdz, G con G ρ, z [, + R : } z ρ 4 z, z. Allora, osservando che G è un dominio normale in z, 4 z V π ρ dρ dz π 4 z z dz... π. z Esercizio 7. ata una costante a >, calcolare il volume del solido x, y, z R 3 : x + y + z 3a, x + y az } Svolgimento. è l intersezione fra il volume racchiuso dalla superficie sferica di centro,, e raggio 3a il volume racchiuso dal paraboloide ellittico con base circolare x + y az Interpreto come dominio normale rispetto al piano xy. Graficamente, si vede che x, y variano nel disco chiuso, il cui bordo è la proiezione sul piano xy della circonferenza data dalla proiezione dell intersezione tra la superficie della sfera e il paraboloide. Quindi individuo la circonferenza intersezione fra superficie sferica e paraboloide x + y + z 3a x + y az z + az 3a z 3a, z a z 3a non accettabile. La circonferenza intersezione è C : x + y aa a, nel piano z a, la cui proiezione sul piano xy è x + y a. Quindi x, y R : x + y a } per x, y fissato, esplicito i vincoli su z: z a x + y z 3a x y Integrando per fili, calcolo vol dxdydz 3a x y dz dxdy a x + y 3a x y a x + y dxdy 6

7 Calcolo l integrale doppio passando alle coordinate polari [, a] [, π] quindi vol π a 3a ρ a ρ ρ dρ [ dϑ π 3 3a ρ 3/ ] a 8a ρ πa Procedimento alternativo I: integrare per strati NON È dominio normale risp. asse z, ma ragionando graficamente si vede che,, normali rispetto asse z : : z a x + y az a z 3a x + y 3a z si ha ZZZ ZZZ ZZZ dxdydz dxdydz + dxdydz e calcolo i due integrali con la riduzione per strati Esercizio assegnato: ritrovare il risultato seguendo questoprocedimento. Procedimento alternativo II: usare i cambiamenti di coordinate. Osservare che con Allora, : il volume racchiuso dal paraboloide az x + y e dai piani z e z a. : il volume racchiuso dalla superficie sferica x + y + z 3a e dal piano z a. vol vol + vol e calcolo vol passando alle coordinate cilindriche, vol passando alle coordinate sferiche. Esercizio assegnato: ritrovare il risultato seguendo questo procedimento. Esercizio 8. ove Usando un altra formula di riduzione, calcolare expz dz dxdy x +y x, y R : x + y 4 }. 7

8 Svolgimento. La primitiva della funzione z expz non è una funzione elementare, impossibile calcolare x +y expz dz Calcolo I cambiando l ordine di integrazione. con è intersezione fra expz dxdydz, x, y, z R 3 : x + y 4, il cilindro solido retto infinito, di base x + y 4, } x + y z e il volume racchiuso dal paraboloide x + y z, con z. i fatto : z, x + y z è un dominio normale rispetto all asse z. Calcolo I integrando per strati expz dxdy x +y z} dz π expz areax + y z} dz z expz dz π [ expz ] πe4. Esercizio 9. ove dxdydz x + y + z / x, y, z R 3 : z x + y z z }. Svolgimento. Si noti che x + y z z x + y + z Quindi è l intersezione di x + y z complementare di x + y < z x + y z z sfera con C,, r La presenza di x + y nella definizione di suggerisce le coordinate cilindriche, quindi ϑ [, π], : z ρ z z Noto che z z z z [, ] 8

9 quindi : è dominio normale rispetto al piano ϑz. Quindi ϑ [, π], z [, ] z ρ z z z z ρ ρ dρdϑdz ρ + z / [,π] [,] z ρ + z π [ρ + z /] z z dz z π z z dz... 3 π. / dρ dϑdz Esercizio. il volume del solido x, y, z R 3 : x + y z 8 4x }. Svolgimento. È naturale intepretare come dominio normale rispetto al piano xy, cioè della forma x, y, x + y z 8 4x. Per determinare, osservo che segue dall espressione di che deve essere x +y 8 4x x +y +4x x +4x +4+y 4 x +y 4. Allora e, integrando per fili vol : Passando alle coordinate polari, calcolo 4 x y dxdy x, y : x + y 4, x + y z 8 4x 8 4x dz dxdy x +y [,] [,π] 4 ρ ρ dρdϑ π 4 x y dxdy. 4ρ ρ 3 dρ π 8 4 8π. Esercizio. ove ze y dxdydz, x, y, z R 3 : x + z 4, x, z, x y }. 9

10 Svolgimento. Si osservi che è un dominio normale rispetto al piano xz : : x, z : x, z, x + z 4 x y. Calcoliamo allora I riducendo per fili nella variabile y: ze y dy dxdz z e x dxdz x Per calcolare quest ultimo integrale doppio, è possibile procedere in due modi:. interpretare come dominio normale in x: : x conseguenza dei vincoli x, x 4, z 4 x conseguenza dei vincoli z, z 4 x. Quindi esercizio: completare i conti!!! 4 x z e x dxdz z e x dz dx e.. passare alle coordinate polari nelle variabili x, z: in questo modo, ρ, : π ϑ π. Quindi esercizio: completare i conti!!! z e x dxdz ρ sinϑ expρ cosϑ ρ dρdϑ [,] [π/,π] ρ ρ π π ρ sinϑ expρ cosϑ dϑ π/ π/ d expρ cosϑ dϑ dρ... 5 dϑ 3 3e. dρ Esercizio. xy dxdydz P ove P è il parallelepipedo avente come facce opposte i due quadrati, rispettivamente determinati dai vertici A,,, B,,, C,,,,, e da E,,, F,,, G,,, H,,. Svolgimento. Graficamente si vede che P è il volume compreso fra i piani y, y, z, z, e i piani passanti, rispettivamente, per i punti A,, E, H e B, C, F, G. Si vede che questi due piani hanno, rispettivamente, equazione x z e x z +. Quindi P x, y, z R 3 : y, z, z x z + }.

11 Quindi P si può vedere come dominio normale rispetto al piano yz: y, z [, ] [, ], P : z x z + Integrando per fili in x, si trova [,] [,] z+ z xy dx dydz y [,] [,] y dy z + z dydz z + dz... 6

Calcolo integrale in più variabili

Calcolo integrale in più variabili ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra

Dettagli

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria

Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizio 1 Testo Sia F F 1 x,y),f x,y)) ) x 1 x y + 1 x, y 1 x y + 1 y un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui

Dettagli

Capitolo 16 Esercizi sugli integrali doppi

Capitolo 16 Esercizi sugli integrali doppi Capitolo 6 sercizi sugli integrali doppi Brevi richiami di teoria Sia f : [a, b] [c, d] B IR una funzione limitata e non negativa, definita sul rettangolo R = [a, b] [c, d]. Dividiamo l intervallo [a,

Dettagli

Integrali di superficie: esercizi svolti

Integrali di superficie: esercizi svolti Integrali di superficie: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali superficiali sulle superfici

Dettagli

Integrali doppi - Esercizi svolti

Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y

Dettagli

Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari. esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) R [ 0,2π[

Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari. esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) R [ 0,2π[ Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari Osservazione: Se ( x, ) \{(0,0)} esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) [ 0,[ tale che x. imane in tal modo

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Capitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse

Capitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse Contenuti 1 Integrali multipli 2 1.1 Integralidoppisudomininormali... 2 1.2 Cambiamento di variabili in un integrale doppio. 6 1.3 Formula di Gauss-Green nel piano e conseguenze. 7 1.4 Integralitripli...

Dettagli

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli. Cambi di variabili. 1/21 Contenuto Integrali doppi. Teorema di Fubini Cambio di variabili: coordinate polari. Cambio di variabili: caso generale. Coordinate sferiche. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Integrali multipli.

Dettagli

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15 Tutorato di Analisi - AA /5 Emanuele Fabbiani 5 marzo 5 Integrali doppi. La soluzione più semplice... Come per gli integrali in una sola variabile, riconoscere eventuali simmetrie evita di sprecare tempo

Dettagli

Teoria dei Fenomeni Aleatori 1

Teoria dei Fenomeni Aleatori 1 Integrale Doppio Sia g( x,y ) una funzione continua nel piano ( x,y ) o D è un dominio sul piano ( x,y ) o P è una sua partizione che ricopre il dominio D: ( ) P D D... D... = 1,1 1,2 i,j, con Di,j = ΔxiΔ

Dettagli

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali CAPITOLO 4 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali La definizione di integrale definito per funzioni di una variabile reale è motivato dal problema del calcolo delle aree: si desidera calcolare

Dettagli

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3 Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli 09- Integrale doppio: Riferimenti: R.Adams, Calcolo ifferenziale 2. Capitoli 5.1, 5.2, 5.4. Esercizi 5.3, 5.4 Integrale

Dettagli

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali

Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali CAPITOLO 4 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali La definizione di integrale definito per funzioni di una variabile reale è motivato dal problema del calcolo delle aree: si desidera calcolare

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D

GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D GeoGebra vers.5 - vista Grafici 3D Marzo 2015 (manuale on-line, con aggiunte a cura di L. Tomasi) Questo articolo si riferisce a un componente della interfaccia utente di GeoGebra. Viste Menu Vista Algebra

Dettagli

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 1 1 Funzioni di più variabili Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 Definizione 1.1 Dati D R 2 e f : D R, l insieme

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Misura e integrazione Formulario

Misura e integrazione Formulario Misura e integrazione Formulario Integrale su rettangolo 1. 2. Teorema di riduzione per un rettangolo (Fubini) Per passare dal rettangolo ad un qualsiasi dominio si definisce una nuova funzione. Integrale

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula

Dettagli

IL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)

IL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO) IL CALCOLO VETTORIALE SUPPLEMENTO AL LIBRO CLAUDIO BONANNO Contents. Campi di vettori e operatori 2. Il lavoro di un campo di vettori 5 2.. Lavoro e campi conservativi 6 2.2. Lavoro e campi irrotazionali:

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

Nel calcolo elementare esiste un sol tipo di integrale. Data una funzione f : R R ed un intervallo chiuso [a, b], I = R b. f (x ) dx èunnumeroreale,

Nel calcolo elementare esiste un sol tipo di integrale. Data una funzione f : R R ed un intervallo chiuso [a, b], I = R b. f (x ) dx èunnumeroreale, Capitolo 8 ntegrazione Nel calcolo elementare esiste un sol tipo di integrale. Data una funzione f : R R ed un intervallo chiuso [a, b], = R b f (x ) dx èunnumeroreale, a definito come il limite di somme

Dettagli

1 Insiemi in R n 1 1.1 Simmetrie degli insiemi... 5

1 Insiemi in R n 1 1.1 Simmetrie degli insiemi... 5 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 5 2 Funzioni da

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da

ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da 1 Integrali su una curva regolare Sia C R N una curva regolare, ossia: (1) C é l immagine di una funzione P (t) definita in un intervallo [a, b] (qui preso chiuso e limitato), tipicamente chiuso e limitato,

Dettagli

Gli oggetti 3D di base

Gli oggetti 3D di base Gli oggetti 3D di base 04 Attraverso gli oggetti 3D di base, AutoCAD dispiega la sua capacità di modellazione per volumi e per superfici per quei modelli che si possono pensare come composizioni di oggetti

Dettagli

Capitolo 4. Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi. 4.1 Coordinate Cartesiane in Tre Dimensioni.

Capitolo 4. Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi. 4.1 Coordinate Cartesiane in Tre Dimensioni. Capitolo 4 Funzioni di Più Variabili: Primi Elementi L analisi delle funzioni di una singola variabile è fatta sostanzialmente sulla retta R enelpianor. Questi sono gli ambienti naturali per lo studio

Dettagli

Capitolo 5 INTEGRALI DOPPI

Capitolo 5 INTEGRALI DOPPI Capitolo 5 INTEGRALI DOPPI Ci proponiamo di estendere alle funzioni reali di due variabili la nozione di integrale di Riemann nel caso dei domini normali. Vedremo che, in opportune ipotesi, il calcolo

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 8 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

Capitolo 9. Superfici ed Integrazione. 9.1 Curve, Superfici e Dimensioni

Capitolo 9. Superfici ed Integrazione. 9.1 Curve, Superfici e Dimensioni Capitolo 9 uperfici ed Integrazione Il calcolo degli integrali curvilinei ci ha fatto familiarizzare con il concetto di parametrizzazione di curve nel piano xy e per estensione anche nello spazio tridimensionale.

Dettagli

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che -T T In ogni intervallo di ampiezza pari a T il grafico di tale funzione si ripete.

Dettagli

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati.

Richiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (DEFINITIVO) A.A. 2010-2011, Paola Mannucci, Canale 2 Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.

Dettagli

Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Esercizi di ricapitolazione n. 1

Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Esercizi di ricapitolazione n. 1 Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Esercizi di ricapitolazione n. Università di Padova - Lauree in Fisica ed Astronomia - A.A. 8/9 venerdì 8 maggio 9 Questi esercizi sono proposti come preparazione

Dettagli

Introduzione alle onde Elettromagnetiche (EM)

Introduzione alle onde Elettromagnetiche (EM) Introduzione alle onde Elettromagnetiche (EM) Proprieta fondamentali L energia EM e il mezzo tramite il quale puo essere trasmessa informazione tra un oggetto ed un sensore (e.g. radar) o tra sensori/stazioni

Dettagli

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x

Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1.

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 11 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 1 quesiti scelti nel questionario 1. PROBLEMA 1 Si considerino le funzioni f e g definite, per

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j. LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze

Energia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze Energia potenziale L. P. Maggio 2007 1. Campo di forze Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove in una certa regione dello spazio. Si dice che esso è soggetto a un campo di forze, se ad

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Proiezioni Grafica 3d

Proiezioni Grafica 3d Proiezioni Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina ProiezioniGrafica 3d p. 1 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente

Dettagli

Prerequisiti didattici

Prerequisiti didattici Università degli Studi di Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza 18 marzo 2015 Appunti di didattica della matematica applicata

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI)

Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) 1 Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) Approssimazioni di Taylor BPS, Capitolo 5, pagine 256 268 Approssimazione lineare, il simbolo

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

11. L integrazione. 11.2 Integrazione definita. Prerequisiti

11. L integrazione. 11.2 Integrazione definita. Prerequisiti . L integrazione. Integrazione definita Prerequisiti Concetto di limite Continuità di una funzione Calcolo differenziale Calcolo integrale Concetto di volume Metodo degli indivisibili di Cavalieri Obiettivi

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI ORDINAMENTO 2013. 8 4 + x 2, con dominio R (infatti x2 + 4 0 per ogni. 8 4 + ( x) = 8. 4 + x 2

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 CORSO DI ORDINAMENTO 2013. 8 4 + x 2, con dominio R (infatti x2 + 4 0 per ogni. 8 4 + ( x) = 8. 4 + x 2 SOLUZIONE DEL PROBLEMA CORSO DI ORDINAMENTO. Studiamo la funzione f(x) = x R). Notiamo che f( x) = 4 + x, con dominio R (infatti x + 4 per ogni 4 + ( x) = 4 + x = f(x), cioè la funzione è pari e il grafico

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello e limiti in più variabili Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello

Dettagli

Simulazione di prova d Esame di Stato

Simulazione di prova d Esame di Stato 1 Simulazione di prova d Esame di Stato Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario Nome Cognome Classe Data / / Problema 1 Sia y = f(x) una funzione reale di variabile

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

SUPERFICI REGOLARI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

SUPERFICI REGOLARI E INTEGRALI DI SUPERFICIE E SUPERFICI REGOLARI E INTEGRALI DI SUPERFICIE (C. De Mitri) E1. Superfici regolari Definizione E1.1. Sia D un dominio internamente connesso di IR. Un applicazione φ : D IR 3 si dice superficie regolare

Dettagli

Le applicazioni degli integrali al calcolo di aree e volumi nelle prove di maturità

Le applicazioni degli integrali al calcolo di aree e volumi nelle prove di maturità Le applicazioni degli integrali al calcolo di aree e volumi nelle prove di maturità Angelo Ambrisi Ne plus ultra. Non si va oltre! Gli integrali costituiscono le colonne d Ercole dell insegnamento della

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

Verifica di Matematica Classe V

Verifica di Matematica Classe V Liceo Scientifico Paritario R Bruni Padova, loc Ponte di Brenta, /4/5 Verifica di Matematica Classe V Soluzione Problemi Risolvi uno dei due problemi: Problema Curva nord Sei il responsabile della gestione

Dettagli

AutoCAD 3D. Lavorare nello spazio 3D

AutoCAD 3D. Lavorare nello spazio 3D AutoCAD 3D Lavorare nello spazio 3D Differenze tra 2D e 3 D La modalità 3D include una direzione in più: la profondità (oltre l altezza e la larghezza) Diversi modi di osservazione Maggiore concentrazione

Dettagli

Trasformazioni nello spazio Grafica 3d

Trasformazioni nello spazio Grafica 3d Trasformazioni nello spazio Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 1 Introduzione In questa lezione

Dettagli

TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO

TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO Carlo Sintini www.matematicamente.it INDICE TAVOLE NUMERICHE Potenze e radici quadre e cube dei numeri fino a 200

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

I quesiti dal 2008 al 2012 a cura di Daniela Valenti

I quesiti dal 2008 al 2012 a cura di Daniela Valenti I quesiti dal 2008 al 2012 a cura di Daniela Valenti Geometria del piano e dello spazio, trigonometria [2008, ORD] Si consideri la seguente proposizione: Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati

Dettagli

Ing. Mariagrazia Dotoli Controllo non Lineare NO (3 CFU) Analisi del Piano delle Fasi IL PIANO DELLE FASI

Ing. Mariagrazia Dotoli Controllo non Lineare NO (3 CFU) Analisi del Piano delle Fasi IL PIANO DELLE FASI IL PIANO DELLE FASI La tecnica di analisi del piano delle fasi è un metodo grafico molto diffuso per lo studio dei sistemi non lineari del secondo ordine. L idea di base consiste nel risolvere graficamente

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Analisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0.

Analisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0. Analisi Complessa Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni Esercizio. Si consideri l equazione z 0. Quante soluzioni distinte esistono in C? Quante di esse sono contenute all interno del disco

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Sorgenti di Campo Magnetico

Sorgenti di Campo Magnetico Sorgenti di Campo Magnetico Un conduttore (filo) percorso da una corrente genera un campo magnetico! Quale? Prima legge elementare di Laplace: Dt Dato un tratto tt infinitesimo ifiit i difilo ds, percorso

Dettagli

OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria

OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria LICEO SCIENTIFICO STATALE CAVOUR Via delle Carine 1 - ROMA Commissione Orientamento in Uscita Comunicazione n. 2013/006 Data: 29-11-2013 OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Tavole di Calcolo con GeoGebra

Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Tavole di Calcolo con GeoGebra A01 Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Tavole di Calcolo con GeoGebra Copyright MMXIV ARACNE editrice int.le S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Quarto Negroni,15 00040Ariccia (RM)

Dettagli

Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA. Lezione 5 - Meccanica del punto materiale

Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA. Lezione 5 - Meccanica del punto materiale Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA Esercizio 1 Lezione 5 - Meccanica del punto materiale Un volano è costituito da un cilindro rigido omogeneo,

Dettagli

COORDINATE E DATUM. Nella geodesia moderna è molto spesso necessario saper eseguire TRASFORMAZIONI:

COORDINATE E DATUM. Nella geodesia moderna è molto spesso necessario saper eseguire TRASFORMAZIONI: COORDINATE E DATUM Viene detta GEOREFERENZIAZIONE la determinazione della posizione di un punto appartenente alla superficie terrestre (o situato in prossimità di essa) La posizione viene espressa mediante

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

METODI MATEMATICI PER LA FISICA

METODI MATEMATICI PER LA FISICA Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della

Dettagli

CNC. Linguaggio ProGTL3. (Ref. 1308)

CNC. Linguaggio ProGTL3. (Ref. 1308) CNC 8065 Linguaggio ProGTL3 (Ref. 1308) SICUREZZA DELLA MACCHINA È responsabilità del costruttore della macchina che le sicurezze della stessa siano abilitate, allo scopo di evitare infortuni alle persone

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale

Dettagli

Introduzione al 3D con Autocad

Introduzione al 3D con Autocad 2 Introduzione al 3D con Autocad Coso di CAD B condotto da Daniela Sidari a.a. 2012/2013 19.02.2013 Modellazione geometrica 3D wireframe superfici solidi Si distinguono tre tecniche principali di modellazione:

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica Nome... N. Matricola... Ancona, 29 marzo 2014 1. (7 punti) Studiare la funzione determinandone: f(x) = e x x il dominio;

Dettagli

La trasformata Zeta. Marco Marcon

La trasformata Zeta. Marco Marcon La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione

Dettagli

Gravitazione L. P. Aprile 2010. 1. Forze centrali

Gravitazione L. P. Aprile 2010. 1. Forze centrali Gravitazione L. P. Aprile 2010 1. Forze centrali Consideriamo un punto materiale dotato di caratteristiche tali che, supponendo che esso venga posto in un punto P di una data regione di spazio, subisce

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2. Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti

Dettagli

Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson

Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Antonio Paradies Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Università degli studi di Napoli Federico II Napoli, 25 Febbraio

Dettagli

ESAME DI STATO 2003 SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI E SCIENTIFICO- TECNOLOGICO «BROCCA»)

ESAME DI STATO 2003 SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI E SCIENTIFICO- TECNOLOGICO «BROCCA») Archimede 4 23 ESAME DI STATO 23 SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI E SCIENTIFICO- TECNOLOGICO «BROCCA») Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti

Dettagli