Analisi dei segnali nel dominio della frequenza

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1 Appunti di Teoria dei Segnali a.a. / L.Verdoliva Nel capitolo precedente è stata descritta una rappresentazione dei segnali periodici mediante combinazione lineare di sinusoidi (se i segnali sono reali) o più in generale di esponenziali complessi. In questa sezione cercheremo di estendere questi concetti anche ai segnali aperiodici, e deiniremo la trasormata di Fourier diretta e inversa. Vedremo, in realtà, come sia possibile studiare anche i segnali periodici mediante la trasormata di Fourier, ottenendo così un unico strumento che permette di ottenere acilmente la rappresentazione nel dominio della requenza per tutti i segnali di interesse. Nel seguito tratteremo sia i segnali aperiodici tempo continuo che quelli tempo discreto. Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo L analisi in requenza dei segnali aperiodici tempo continuo è uno dei contributi più importanti sviluppati da Fourier nel suo lavoro originale. Partendo dalla rappresentazione in requenza di un segnale periodico, un segnale aperiodico può essere visto come un segnale periodico di periodo ininito. All aumentare del periodo le componenti armoniche che costituiscono il segnale periodico tendono ad avvicinarsi in requenza, al limite si ottiene uno spettro continuo, e si passa dallo sviluppo in serie a quello mediante integrale. Nel paragrao seguente sarà sviluppata questa trattazione da un punto di vista analitico e saranno introdotte le equazioni di analisi e sintesi per un segnale aperiodico.. Dalla serie alla trasormata di Fourier Partiamo dalla rappresentazione in serie del treno di impulsi rettangolari di periodo T : x p (t) = rep T [Π(t/T )] x p (t) T T T T t

2 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo Consideriamo poi il segnale aperiodico: x(t) = Π(t/T ). x(t) Possiamo ottenere x(t) a partire da x p (t) portando il periodo all ininito: T x(t) = T lim x p(t) () T ci apettiamo allora di poter ricavare il comportamento in requenza di x(t) a partire da quello di x p (t) attraverso un operazione al limite. Essendo x p (t) periodico, risulta: dove x p (t) = k= X k e jπkt/t () X k = T / x p (t) e jπkt/t dt (3) T T / A questo punto osserviamo che x p (t) x(t) per t T /, inoltre x(t) = per t > T /, quindi i coeicienti di Fourier si possono riscrivere come: X k = T / x p (t) e jπkt dt T T / = T / x(t) e jπkt dt T T / = x(t) e jπkt dt T t Deiniamo adesso: Allora Sostituendo la (4) nella (), si ha: X() = x(t) e jπt dt X k = X() T =k/t = ( ) k X T x p (t) = k= T ( ) k X e jπkt/t T T (4) a.a. -

3 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 3 Inine sostituiamo quest ultima espressione nella () per ottenere il segnale aperiodico x(t): x(t) = lim T k= = lim k= = lim k= ( ) k X e jπkt/t T T X(k ) e jπk t (5) X(k ) e jπk t (6) Nella (6) abbiamo riconosciuto che = /T, d altra parte (armonica ondamentale) rappresenta anche la spaziatura tra due armoniche successive: = k (k ) =, quindi nella (7) abbiamo semplicemente rinominato con. Si noti adesso che ogni termine nella somma non è altro che l area di rettangolo di altezza X(k ) e jπk t e larghezza. Per la sommatoria diventa un integrale: x(t) = X() e jπt dt Quindi, mentre un segnale periodico è la somma di ininite componenti sinusoidali con requenze relazionate armonicamente tra loro (tutte multiple di una requenza ondamentale), un segnale aperiodico è dato dalla somma (integrale) di ininite componenti sinusoidali con requenza variabile con continuità su tutto l asse reale. Riportiamo nuovamente le due equazioni relative alla rappresentazione di un segnale aperiodico: x(t) = X() = X() e jπt d (7) x(t) e jπt dt (8) La (7) è l equazione di sintesi (trasormata di Fourier inversa), mentre la (8) è quella di analisi (trasormata di Fourier diretta), che ci permette di determinare il peso che le varie componenti hanno nella ricostruzione del segnale. Anche in questo caso X() viene chiamato spettro e ornisce le inormazioni sull ampiezza e sulla ase dei asori costituenti il segnale: X() = X() e j X() = A() e jθ() A() rappresenta lo spettro di ampiezza e θ() quello di ase; evidentemente asori con requenze per le quali A() assume valori signiicativi contribuiscono maggiormente alla sintesi del segnale. Ancora una volta utilizzeremo la notazione: o equivalentemente: x(t) X() x(t) = F [X()] X() = F[x(t)] a.a. -

4 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 4 Un ultima osservazione sulle equazioni di analisi e sintesi. Se poniamo nell equazione di analisi =, otteniamo: X() = x(t)dt (9) cioè il valore della trasormata di Fourier nell origine è uguale all area del segnale nel dominio del tempo. Analogamente, se poniamo t = in quella di sintesi, otteniamo: x() = X()d () cioè il valore del segnale nell origine è uguale all area della trasormata di Fourier. Utilizzeremo spesso nel seguito queste due equazioni.. Trasormata di Fourier per segnali reali Se il segnale è reale vale la proprietà di simmetria coniugata o hermitiana: X( ) = X () () Dimostrazione. La prova è analoga a quella per la serie di Fourier. Calcoliamo inatti X (): X () = ma essendo il segnale reale x (t) = x(t), per cui: X () = x (t) e jπt dt x(t) e jπt dt = X( ) L uguaglianza () non esprime altro che lo spettro di ampiezza A() è pari, mentre quello di ase θ() è dispari; inatti, riscrivendo la () in termini di spettro di ampiezza e di ase, si ha: ovvero: A( ) e jθ( ) = A() e jθ() A( ) = A() θ( ) = θ() Se poi assumiamo che il segnale, oltre che essere reale, è anche pari l equazione di analisi (8) può essere sempliicata nel seguente modo: X() = e risulta reale, mentre per un segnale dispari come: x(t) cos(π t)dt () e risulta immaginaria pura. a.a. - X() = j x(t) sin(π t)dt (3)

5 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 5.3 Esempio Calcoliamo la trasormata di Fourier dell impulso rettangolare x(t) = A Π(t/T ). segnale pari, si può usare la (): Essendo il X() = = A T/ x(t) cos(π t)dt cos(π t)dt = A [sin(πt )]T/ = AT sinc(t ) π La trasormata di Fourier risulta essere una unzione reale, vale AT nell origine e si annulla nel punti ± T, ± T,.... L andamento è mostrato in igura nell ipotesi in cui A = T =, assieme allo spettro di ampiezza e di ase. Essendo lo spettro concentrato intorno all origine (basse requenze), le sinusoidi comprese nell intervallo ( /T, /T ) sono quelle che contribuiscono maggiormente alla sintesi del segnale. Trasormata di Fourier Spettro di ampiezza X().6.4. X() Spettro di ase <X() Figura : Trasormata di Fourier dell impulso rettangolare Osserviamo poi che un modo per veriicare la correttezza del risultato ottenuto è quello di usare l equazione (9), nel nostro caso risulta: X() = x(t)dt = AT L equazione () ci permette invece di determinare l area della unzione sinc (non dotata di primitive elementari) in un modo molto semplice: da cui per A = T = si ha: a.a. - AT sinc(t )d = A sinc()d =

6 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 6.4 Convergenza della trasormata di Fourier Cerchiamo di capire adesso sotto quali condizioni per un segnale aperiodico x(t) si può calcolare la trasormata di Fourier: x(t) = cioè sotto quali ipotesi il limite così deinito: x(t) = lim T +T/ T/ X()e jπt d X()e jπt d converge proprio a x(t). In modo analogo a quanto atto per la serie di Fourier è possibile enunciare delle condizioni suicienti per la convergenza stabilite da Dirichlet:. x(t) è sommabile: x(t) dt <. in qualsiasi intervallo inito il segnale ha un numero inito di punti con discontinuità di prima specie; 3. in qualsiasi intervallo inito il segnale ha un numero inito di massimi e minimi. Sotto tali ipotesi l integrale di Fourier converge al valore assunto dalla unzione x(t) nei punti in cui essa è continua, e alla semisomma dei limiti destro e sinistro nei punti in cui presenta discontinuità di prima specie. Un ulteriore tipo di convergenza, meno restrittiva delle precedenti, è la convergenza in media quadratica, che assicura che l energia dell errore sia nulla. In tal caso basta che x(t) sia a quadrato sommabile, ovvero sia un segnale di energia, cioè: x(t) dt < Poiché molti dei segnali aperiodici che consideriamo sono segnali di energia, essi ammettono trasormata di Fourier nel senso appena indicato..5 Esempio Si vuole calcolare la trasormata di Fourier del segnale x(t) = A e t/t u(t). Dall equazione di analisi: X() = = A x(t)e jπt dt e (/T +jπ)t dt A = /T + jπ [e (/T +jπ)t ] + = AT + jπt a.a. -

7 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 7 La trasormata di Fourier è una unzione complessa, calcoliamo quindi spettro di ampiezza e di ase: A() = AT + (πt ) θ() = arctan(πt ) Il graico è mostrato in igura per A = e T = /. Si noti come anche in questo caso lo spettro sia concentrato alle basse requenze.. Spettro di ampiezza.5 Spettro di ase X().6 <X() Figura : Spettro di ampiezza e spettro di ase.6 Relazione di Parseval Anche per i segnali aperiodici il calcolo dell energia può essere atto sia nel dominio del tempo che nel dominio della requenza. Inatti, ricordando la deinizione di energia, si ha: E x = x(t) dt = = = = x(t)x (t)dt [ x(t) X () [ X ()X()d = ] X () e jπt d dt (4) ] x(t) e jπt dt d (5) X() d Nella (4) è stata utilizzata la ormula di sintesi per x (t), mentre nella (5) si è scambiato l ordine di integrazione (lecito perché i segnali coinvolti sono a quadrato sommabile). Quindi: x(t) dt = X() d (6) che rappresenta la relazione di Parseval per segnali aperiodici e aerma che l energia può essere calcolata sia nel dominio del tempo che nel dominio della requenza. a.a. -

8 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 8.7 Proprietà La trasormata di Fourier, come la serie, gode di diverse proprietà che, oltre a arci comprendere meglio il signiicato della trasormata, possono risultare molto utili per calcolarla. Di seguito sono presentate le principali..7. Linearità Siano x(t) e y(t) due segnali con trasormata di Fourier X() e Y (), rispettivamente, cioè: x(t) X() y(t) Y () Si consideri poi il segnale z(t) = ax(t) + by(t), combinazione lineare dei due segnali. Risulta: z(t) = ax(t) + by(t) Z() = ax() + by () (7) La prova è analoga a quella della serie di Fourier..7. Traslazione temporale Sia y(t) = x(t t ) e sia X() = F[x(t)], allora: y(t) = x(t t ) Y () = X()e jπt (8) Anche in questo caso la dimostrazione è analoga a quella della serie di Fourier. Se esprimiamo X() in termini di spettro di ampiezza e di ase si ha: Y () = X() e j X() e jπt pertanto lo spettro di ampiezza di y(t) resta inalterato: Y () = X() mentre quello di ase viene modiicato nel seguente modo: Y () = X() πt Esempio. Supponiamo di voler calcolare la trasormata di Fourier del segnale ( ) t T/ y(t) = x(t T/) = Π T Lo spettro di x(t) = Π(t/T ) è stato calcolato nell esempio.3 e vale X() = T sinc(t ), quindi, per la proprietà di traslazione temporale, y(t) ha la seguente trasormata: e risulta: Y () = T sinc(t ) e jπt Y () = T sinc(t ) Y () = T sinc(t ) πt I due spettri sono rappresentati graicamente in igura 3. a.a. -

9 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 9 Spettro di ampiezza.8 X() Spettro di ase <X() Figura 3: Trasormata di Fourier dell impulso rettangolare trasalto.7.3 Cambiamento di scala Sia y(t) = x(at) e sia X() = F[x(t)], allora: y(t) = x(at) Y () = a X ( ) a (9) Dimostrazione. Dall equazione di analisi: Y () = y(t)e jπt dt = x(at)e jπt dt A questo punto eettuiamo il cambio di variabile τ = at: + Y () = a x(τ)e jπτ/a dτ a > a x(τ)e jπτ/a dτ a < ( ) a = X a a > ( ) a X a a < = ( ) a X a Ricordiamo che il cambiamento di scala, in base al valore di a, causa: a > Compressione a < Espansione a < Inversione La (9) ci dice che se comprimiamo il segnale nel tempo, otteniamo un espansione della trasormata di Fourier, se, invece, il segnale viene espanso nel tempo, lo spettro risulterà compresso. a.a. -

10 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo Questo risultato non ci sorprende dato che la compressione nel tempo equivale ad ottenere un segnale che varia più rapidamente e che quindi avrà bisogno di requenze più alte per essere ricostruito; di contro, un segnale di durata maggiore presenta un evoluzione temporale più lenta e il suo spettro risulterà concentrato maggiormente intorno alle basse requenze. Nella igura 4 è mostrato questo comportamento nell ipotesi in cui x(t) = Π(t) e a = per la igura a sinistra e a = / per quella a destra..5 Segnale nel d.d.t.5 Segnale nel d.d.t x(t) x(t) t t Trasormata di Fourier Trasormata di Fourier.5.5 X().5 X() Figura 4: Trasormata di Fourier di y (t) = x(t) e y (t) = x(t/) Notate che l area delle due sinc è la stessa dato che il valore nell origine, per entrambi i segnali, è uguale a. Esempio. Calcoliamo la trasormata di Fourier dell esponenziale bilatero: Il segnale può essere anche espresso come: x(t) = A e t /T x(t) = A e t/t u(t) + A e t/t u( t) = x (t) + x ( t) In questo modo si può sruttare il risultato ottenuto nell esempio.5 in cui è gia stato valutato lo spettro del segnale x (t). Applicando la proprietà di linearità e di cambiamento di scala per a =, si ha: X() = X () + X ( ) per cui: X() = = T + jπt + T jπt T + (πt ) Essendo il segnale pari, la trasormata è reale, e nel caso speciico assume solo valori positivi, per cui basta un solo graico per rappresentarla (igura 5). a.a. -

11 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo. Trasormata di Fourier X() Figura 5: Trasormata di Fourier dell esponenziale bilatero con A = e T =..7.4 Dualità La proprietà di dualità risulta molto utile tutte le volte in cui si conosce la trasormata di un segnale x(t): x(t) X() () e si vuole determinare la trasormata del segnale, indichiamolo con X(t), che ha lo stesso andamento temporale di X(). Per esempio abbiamo calcolato la trasormata di Fourier dell impulso rettangolare (x(t)) e abbiamo ottenuto la unzione sinc (X()), ci chiediamo allora se questo risultato ci può essere utile per valutare la trasormata di Fourier della sinc (X(t)). In eetti risulta: X(t) x( ) () Dimostrazione. Scriviamo l equazione di sintesi per il segnale x(t): x(t) = Scambiamo ormalmente le variabili t e : x() = quindi acciamo un cambio di variabile : x( ) = X()e jπt d X(t)e jπt dt X(t)e jπt dt e otteniamo che la trasormata di Fourier di X(t) risulta essere x( ). Esempio. Nell esempio.3 abbiamo trovate che: x(t) = Π(t/T ) X() = T sinc(t ) a.a. -

12 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo Da questo risultato vogliamo determinare la trasormata di Fourier della unzione y(t) = sinc(bt) Applicando la () si ha: X(t) = T sinc(tt ) x( ) = Π( /T ) = Π(/T ) Quindi per la proprietà di linearità si trova che: ) y(t) = sinc(bt) Y () = B Π ( B.7.5 Derivazione e integrazione Le operazioni di derivazione e integrazione diventano semplici operazioni algebriche nel dominio della requenza, per questo motivo la trasormata di Fourier è spesso utilizzata per quei sistemi il cui comportamento è descritto da equazioni dierenziali. a) Per quanto riguarda l operazione di derivazione, risulta: y(t) = dx(t) dt Y () = jπx() () La dimostrazione è analoga a quella della serie e giunge ad un risultato simile. La derivata causa l alterazione di tutte le componenti requenziali secondo un attore pari a jπ, esalta quindi le componenti del segnale alle alte requenze, oltre a uno sasamento di ±π/ a seconda del segno di. Inatti, spettro di ampiezza e di ase sono: La () può essere generalizzata: b) La proprietà di integrazione dice che: Y () = π X() Y () = X() + π sign() y(t) = dk x(t) dt k Y () = (jπ) k X() (3) y(t) = t x(α)dα Y () = X() jπ Per la dimostrazione è suiciente utilizzare la proprietà di derivazione. In questo caso vengono esaltate le componenti a bassa requenza del segnale. Si accia attenzione al atto che l uguaglianza seguente X() = jπy () risulta valida solo se X() =. Tale condizione sta a signiicare, per la (9) che: X() = x(t)dt = (4) a.a. -

13 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 3 cioè x(t) sottende area nulla; d altra parte, essendo y(t) = t x(α)dα, deve accadere y(+ ) =, vale a dire y(t) deve tendere a zero all ininito. Questa è una condizione necessaria ainché y(t) sia un segnale di energia. Pertanto la (4) è valida solo se y(t) è un segnale di energia. Esempio. Usiamo la proprietà di integrazione per calcolare la trasormata di Fourier dell impulso triangolare x(t) = AΛ(t/T ) Procederemo nel seguente modo: ) calcoliamo s(t) = dx(t) dt ; ) valutiamo la trasormata di Fourier di s(t) S(); 3) inine, determiniamo X() = S() jπ La derivata dell impulso triangolare si può calcolare graicamente, e si ottiene: x(t) s(t) A A T T T T T t Analiticamente: La trasormata di Fourier di s(t) è: s(t) = A ( ) t + T/ T Π A ( ) t T/ T T Π T S() = A T T sinc(t )ejπt A T T sinc(t )e jπt = A sinc(t )[e jπt e jπt ] = ja sinc(t ) sin(πt ) L ultima operazione da are è quella di applicare la (4): X() = S() jπ = AT sinc (T ) = A sinc(t ) sin(πt ) π Per controllo, veriichiamo che risulta valida la relazione: X() = x(t) dt. In eetti, l area del segnale è proprio AT che coincide con il valore nell origine della trasormata a.a. -

14 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo Prodotto e convoluzione Le proprietà descritte in questo paragrao sono molto importanti per l analisi in requenza dei sistemi LTI e più in generale nell elaborazione dei segnali. Faremo l ipotesi che i segnali x(t) e y(t) abbiano trasormate di Fourier X() e Y (), rispettivamente. a) La proprietà della convoluzione aerma che: z(t) = x(t) y(t) Z() = X()Y () (5) Dimostrazione. Applicando la ormula di analisi si ha: Z() = = z(t)e jπt dt = [ Scambiando l ordine di integrazione: Z() = = x(α) x(α) [ [ [x(t) y(t)]e jπt dt ] x(α)y(t α) dα e jπt dt ] y(t α) e jπt dt dα ] y(t α) e jπ(t α) dt e jπα dα (6) Nella (6) abbiamo moltiplicato e diviso per la quantità e jπα. Adesso eettuiamo il cambio di variabile t α = τ nell integrale interno: [ ] Z() = x(α) y(τ) e jπτ dτ e jπα dα = = [ b) La proprietà duale della (5) è: x(α)y ()e jπα dα = ] x(α)e jπα dα Y () = X()Y () z(t) = x(t)y(t) Z() = X() Y () (7) Dimostrazione. Applicando la ormula di analisi si ha: Z() = = z(t)e jπt dt = [ X(ν)e jπνt dν x(t)y(t)e jπt dt ] y(t)e jπt dt (8) Nella (8) si è utilizzata la ormula di sintesi per x(t), usando la variabile ν per non creare ambiguità con la variabile. Invertendo quindi l ordine di integrazione: [ ] Z() = X(ν) y(t)e jπ( ν)t dt dν = X(ν)Y ( ν)dν = X() Y () a.a. -

15 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 5 Esempio. Calcoliamo, nel dominio della requenza, la convoluzione tra due impulsi rettangolari della stessa durata, cioè: z(t) = x(t) x(t) dove x(t) = A Π(t/T ). Per la proprietà (5) risulta: dove X() = AT sinc(t ). Quindi: Z() = X () Z() = (AT ) sinc (T ) z(t) = A T Λ(t/T ) Per determinare z(t) è stato applicato il risultato ottenuto nell esempio di pag.3. Si noti come il calcolo della convoluzione tra due impulsi rettangolari risulti molto più semplice nel dominio della requenza che nel dominio del tempo. E chiaro, però, che una volta calcolata la trasormata di Fourier dei due segnali e realizzato il prodotto è necessario anche tornare nel dominio del tempo e calcolare z(t). Se il segnale ottenuto Z() è troppo complesso da antitrasormare, la convoluzione andrà eettuata nel dominio del tempo. Questo procedimento, oltre che per il calcolo della convoluzione, può risultare estremamente utile per il calcolo dell autocorrelazione di un segnale di energia, dato che risulta: R x (τ) = x(τ) x( τ) X()X( ) Per il calcolo della trasormata di Fourier di x( τ) abbiamo applicato la (9) con a =. D altra parte, se x(t) è reale X( ) = X (), quindi: R x (τ) = x(τ) x( τ) X()X () = X() Quindi bisogna calcolare la quantità X() e poi antitrasormare. Ovviamente con ragionamenti analoghi si può determinare la mutua correlazione tra due segnali operando nel dominio della requenza e non in quello del tempo..7.7 Modulazione La proprietà di modulazione risulta estremamente utile quando si vuole traslare lo spettro di un segnale intorno a una issata requenza ed è un operazione ondamentale tutte le volte in cui si vuole trasmettere un segnale su un determinato mezzo di comunicazione. Calcoliamo la trasormata di Fourier del segnale: y(t) = x(t) cos(π t) utilizzando la deinizione (si osservi che y(t) è ancora un segnale di energia se x(t) è di energia): y(t) = = = x(t) cos(π t)e jπt dt [ e jπ t e jπ t x(t) x(t)e jπ( )t dt + = X( ) + X( + ) ] e jπt dt x(t)e jπ(+ )t dt a.a. -

16 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 6 In conclusione: y(t) = x(t) cos(π t) Y () = X( ) + X( + ) (9) Aver moltiplicato il segnale x(t) per una sinusoide alla requenza ha permesso di traslare lo spettro di x(t) proprio intorno alle requenze ±. Si parla in questo caso di modulazione d ampiezza perché l ampiezza della sinusoide viene modulata dall andamento del segnale. Come conseguenza della dimostrazione si trova anche che se si moltiplica un segnale per un asore si trasla lo spettro in requenza intorno alla portante (proprietà duale della traslazione nel tempo): y(t) = x(t)e jπ t Y () = X( ) (3).8 Trasormata di Fourier generalizzata La trasormata di Fourier può anche essere applicata a segnali che non soddisano le condizioni di Dirichlet o che non sono segnali di energia, pur di introdurre la unzione generalizzata impulso di Dirac, δ(t)..8. Delta di Dirac e Segnale costante Calcoliamo la trasormata di Fourier di x(t) = δ(t): Quindi: X() = δ(t)e jπt dt = e jπt t= = x(t) = δ(t) X() = (3) Lo spettro dell impulso di Dirac contiene componenti a qualsiasi requenza arbitrariamente grande e tutte le componenti hanno la stessa ampiezza. Se scriviamo anche l equazione di sintesi, si ha che: δ(t) = e jπt d Ovviamente questa uguaglianza va intesa nel senso delle distribuzioni, dato che l integrale non è deinito in senso ordinario. Calcoliamo adesso la trasormata di Fourier di δ(t t ): Quindi: X() = δ(t t )e jπt dt = e jπt t=t = e jπt x(t) = δ(t t ) X() = e jπt (3) L introduzione della δ(t) ci permette di calcolare la trasormata di Fourier di un segnale a energia ininita come il segnale costante, inatti per dualità, risulta: x(t) = X() = δ( ) = δ() (33) dove è stata sruttata la proprietà di parità dell impulso di Dirac. a.a. -

17 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 7 Esempio. Calcoliamo la trasormata di Fourier del segnale x(t) = t T Π ( ) t T applicando la proprietà di integrazione: x(t) s(t) T T t T T T t La derivata s(t) può essere espressa analiticamente come: s(t) = δ(t + T ) δ(t T ) T Π ( t + T/ T Calcoliamo la sua trasormata di Fourier: Inine: ) + ( ) t T/ T Π T S() = e jπt e jπt sinc(t )e jπt + sinc(t )e jπt = j sin(πt ) jsinc(t ) sin(πt ) X() = S() jπ = j sin(πt ) jπ sinc(t ) sin(πt ) j jπ = T sinc(t ) T sinc (T ) (34) In realtà, il segnale x(t) si può anche esprimere come x(t) = Π(t/T ) Λ(t/T ), quindi, anziché usare la proprietà di integrazione, bastava applicare la proprietà di linearità e sruttare il atto che le trasormate di Fourier dell impulso rettangolare e triangolare sono note, ottenendo così lo stesso risultato mostrato nella (34)..8. Gradino e Signum In questa sezione vogliamo calcolare le trasormate di Fourier del segnale gradino e del segnale signum, entrambi segnali di potenza. In realtà dato che risulta u(t) = + sign(t) basta calcolare la trasormata di Fourier del segnale signum, quella di u(t) si ottiene poi applicando la linearità e ricordando che la trasormata di Fourier di una costante è un impulso di Dirac: u(t) = + sign(t) U() = δ() + F[sign(t)] a.a. -

18 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 8 5 x(t)=/t 4 3 x(t) t Figura 6: Rappresentazione graica del segnale x(t) = /t Per calcolare la trasormata di Fourier di sign(t), bisogna, a sua volta, determinare la trasormata di Fourier del segnale x(t) = /t, il cui graico è mostrato in igura 6. Tale segnale non è sommabile, in quanto è ininito del primo ordine per t e ininitesimo del primo ordine per t +, nonostante ciò è possibile calcolarne la trasormata di Fourier nel senso del valor principale secondo Cauchy. Vediamo come. Applicando l equazione di analisi: X() = e jπt t dt = cos(π t) t sin(π t) dt j dt t Dal momento che la unzione cos(π t)/t è dispari, il primo integrale ornisce contributo nullo, se si considera il valor principale secondo Cauchy (VPC), cioè la quantità: Quindi: V P C [ cos(π t) t ] [ ε cos(π t) T dt = lim dt + ε,t T t ε sin(π t) X() = j dt = jπ t Il calcolo dell integrale diventa semplice se si applica la (9): y(t) dt = Y () sinc( t) dt cos(π t) t e se si ricorda che sinc(t) Π(t), per cui applicando la proprietà del cambiamento di scala: y(t) = sinc(αt) Y () = ( ) α Π α ] dt Quindi: sinc(t) dt = Π() = a.a. -

19 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo 9 In conclusione: X() = jπ = jπsign() Equivalentemente: jπsign() (35) t A questo punto basta applicare la proprietà di dualità per ottenere la trasormata di Fourier del segnale sign(t): ovvero jπsign(t) sign(t) Di conseguenza la trasorma di Fourier del gradino è: jπ u(t) δ() + jπ (36).8.3 Teorema di integrazione completo Utilizzando i risultati ottenuti nel paragrao precedente è possibile estendere il teorema di integrazione anche ai segnali di potenza. Inatti: D altra parte: Quindi: t x(α) dα = x(α)u(t α) dα = x(t) u(t) [ x(t) u(t) X() jπ + ] δ() t x(α) dα X() jπ + X()δ() (37) Questo è il teorema di integrazione in orma completa. Il secondo termine tiene conto di un eventuale componente continua che potrebbe risultare dall integrazione e che nel caso di segnali di energia risulta essere nulla. Si tenga presente che quando X() = si ottiene la proprietà (4)..8.4 Trasormata di Fourier per segnali periodici Grazie all introduzione della delta di Dirac, è possibile estendere la trasormata di Fourier anche ai segnali periodici. In questo modo si utilizza un unico strumento (trasormata di Fourier) sia per i segnali aperiodici che per quelli periodici. Ricordiamo l equazione (3): Applicando la proprietà di dualità, otteniamo: x(t) = δ(t t ) X() = e jπt x(t) = e jπ t X() = δ( ) = δ( + ) (38) a.a. -

20 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo X() Figura 7: Trasormata di Fourier di x(t) = cos(π t) ma anche: x(t) = e jπ t X() = δ( + ) = δ( ) (39) Nelle due relazioni (38) e (39) abbiamo sruttato la proprietà di parità della δ(t). A questo punto, è semplice ricavare la trasormata di Fourier di x(t) = cos(π t), utilizzando la ormula di Eulero: x(t) = cos(π t) = ejπ t + e jπ t X() = δ( ) + δ( + ) (4) La trasormata di Fourier del coseno è costituita da due impulsi di ampiezza / centrati nelle requenze ±, come mostrato in igura 7. E importante sottolineare che da un punto di vista concettuale la trasormata di Fourier ornisce le stesse indicazioni della serie di Fourier. Con un procedimento analogo possiamo derivare la trasormata di Fourier del seno: x(t) = sin(π t) = j ejπ t j e jπ t X() = j δ( ) j δ( + ) (4) Si noti che possiamo riottenere la proprietà di modulazione, tenendo presente che la trasormata di Fourier del prodotto di due segnali è data dalla convoluzione delle trasormate: [ ] δ( ) + δ( + ) x(t) cos(π t) X() quindi: x(t) cos(π t) X( ) + X( + ) A questo punto è immediato calcolare la trasormata di Fourier di un qualsiasi segnale periodico x p (t), ricordando che tale segnale ammette espansione in serie di Fourier: x p (t) = k X k e jπk t X p () = k X k δ( k ) Questa relazione mostra che il contenuto spettrale di un segnale periodico è concentrato alle requenze armoniche (spettro a righe), così come evidenzia l analisi in requenza mediante la serie (igura 8). a.a. -

21 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo X p () X... T T X X T T... Figura 8: Trasormata di Fourier di un segnale periodico Esempio. Si consideri nuovamente il treno di impulsi ideali x p (t) = n δ(t nt ) Ricordiamo che i coeicienti di Fourier sono tutti costanti X k = /T, per cui: x p (t) X p () = ) δ ( kt T k (4) La trasormata di Fourier di un treno di impulsi di periodo T è ancora un treno di impulsi di ampiezza /T e periodo /T..8.5 Formule di Poisson Le ormule di Poisson ci orniscono dei risultati importanti per quanto riguarda la replicazione e il campionamento dei segnali.. Prima ormula di Poisson. Si consideri un segnale periodico: x p (t) = rep T [x(t)] = n x(t nt ) (43) dove x(t) è il generatore. Il segnale x p (t) si può anche esprimere come: x p (t) = x(t) n δ(t nt ) Calcoliamo adesso la trasormata di Fourier di x p (t), ricordando che la convoluzione nel tempo è il prodotto in requenza e che vale la (4): X p () = X() ) δ ( kt T k = ) X()δ ( kt T k = ( ) ) k X δ ( kt (44) T T k a.a. -

22 Trasormata di Fourier per segnali tempo continuo Antitrasormando la (44) e uguagliando alla (43) si ottiene la prima ormula di Poisson: x(t nt ) = ( ) k X e jπkt/t (45) T n T k Tale relazione esprime il atto che ad una replicazione nel tempo corrisponde un campionamento in requenza. Facciamo un importante osservazione. Dalla (45) si può notare come i coeicienti di Fourier X k si possono determinare anche come: X k = ( ) k X (46) T cioè bisogna prima determinare la trasormata del generatore X() = F[x(t)] e poi campionarla opportunamente. La ormula (46) può risultare molto più comoda rispetto alla deinizione per calcolare i coeicienti dello sviluppo in serie.. Seconda ormula di Poisson. Tale relazione è duale rispetto alla precedente e ci dice che se si campiona un segnale nel dominio del tempo lo spettro viene replicato in requenza. Consideriamo un segnale campionato idealmente: T x δ (t) = x(t) n δ(t nt ) (47) e calcoliamone la sua trasormata di Fourier usando la (7) e la (4): X δ () = X() ) δ ( kt T k = ) X ( kt T k (48) Scopriamo che campionare nel tempo signiica replicare in requenza. Adesso riscriviamo la (47) nel seguente modo: x δ (t) = n x(t)δ(t nt ) = n x(nt )δ(t nt ) (49) e calcoliamone la trasormata di Fourier: X δ () = n x(nt )e jπnt (5) Uguagliando la (5) e la (48) si ottiene la seconda ormula di Poisson: x(nt )e jπnt = ) X ( kt T n k (5) Di seguito mostriamo alcuni esempi di calcolo della trasormata di Fourier per segnali periodici attraverso la (46) (ormula del campionamento in requenza). Questa ormula è molto più semplice da usare, perchè nell equazione di analisi dello sviluppo in serie è necessario considerare la restrizione ad un periodo del segnale, con la (46), invece, basta scegliere un qualsiasi generatore del segnale periodico. a.a. -