Integrali doppi e tripli

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1 negrli oppi e ripli NEGRAL OPP N OORNAE REANGOLAR Supponimo che l funione ( f si efini in un ominio chiuso e limio el pino O Suiviimo il ominio in mnier rbirri in n sooomini rispeivmene i re σ σ σ n e imero n (il imero i un ominio è l più grne isn r P ξ η in ciscun ue puni ll inerno ello sesso ominio Sceglimo un puno rbirrio ( sooominio e moliplichimo il vlore ell funione nel puno P k con l re el sooominio f sul ominio si efinisce con l sommori: L somm inegrle ell funione ( n k f ( ξ k η k σ k f ( ξ η σ f ( ξ η σ f ( ξ n ηn σ n L inegrle oppio ell funione ( f sul ominio è il limie ell somm inegrle per il mggiore ei imeri ei sooomini che ene ero: Se l funione ( ( σ lim f ( ξ η f m k k σ f è coninu in un ominio chiuso llor il limie ell somm inegrle esise e non ipene come è suiviso il ominio nei sooomini o ll seleione ei puni P k (eorem sull esisen ell inegrle oppio Se f ( > nel ominio llor l inegrle oppio f ( σ è ugule l volume el cilinro limio in lo ll superficie f ( lerlmene ll superficie con generrici prllele ll sse e soo l ominio el pino O n k k k k k k PRNPAL PROPREA EGL NEGRAL OPP [ f ( ± f ( ] σ f ( σ ± f ( o ( σ c f ( c f σ o σ ove c è un ne o Se il ominio inegrione è iviso in ue sooomini e llor ( σ f ( σ f ( f n coorine cresine l inegrle oppio è usulmene scrio come ( σ f

2 REGOLE PER ALOLARE GL NEGRAL OPP i sono ue principli forme el ominio i inegrione l ominio i inegrione è limio sull sinisr e sull esr ue linee ree e b ( < b e soo e sopr curve coninue ϕ( e ϕ ( [ ϕ( ϕ ( ] ciscun elle quli è inersec un line re vericle solo in un puno (fig Per le ominio l inegrle oppio può essere clcolo con l formul: f b ( f ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( n queso cso l prim fre è clcolre l inegrle f ( come ne ϕ ( nel qule è consier l ominio i inegrione è limio soo e sopr lle linee ree c e (c < e sull sinisr e sull esr curve coninue ψ ( e ψ ( ( ψ ( ψ ( ciscun elle quli è inersec un line re orionle in un solo puno (fig Per un le ominio l inegrle oppio è clcolo con l formul: f ψ ( ( f ( c ψ ( ψ ( Viene clcolo per prim l inegrle f ( ψ ( nel qule è consier come ne Le espressioni nel membro i esr elle formul preceeni sono chime inegrli ieri n un cso più generle il ominio i inegrione può essere rioo i csi più generli in bse ll scel ell suivisione el ominio

3 ESEMPO lcolre Soluione ln se il ominio è il rengolo e e e ln ln [ ln ] 8 ( e e 8 ESEMPO lcolre ( sin se il ominio è il quro Soluione ( sin ( sin sin sin ESEMPO lcolre ( Soluione 9

4 ESEMPO lcolre ( se il ominio è limio lle curve Soluione osruimo il ominio L prim curv è un prbol con verice nel puno (; simmeric rispeo ll sse L secon curv è un line re Risolveno prllelmene le equioni e rovimo le coorine ei puni inerseione: A (-; -7 B ( (fig l ominio i inegrione è el primo ipo: ( ( ESEMPO lcolre ( se il ominio è limio lle linee ree Soluione [ ] 9 ( ( (

5 ESEMPO 6 mbire l orine i inegrione nell inegrle f ( Soluione l ominio i inegrione è limio lle curve - (fig mbimo l orine i inegrione e rppresenimo il ominio o in ue sooomini (el secono ipo: limio sull sinisr e sull esr i rmi ell prbol ± ( e limio gli rchi i circonferen ± ( f ( f ( f ( AMBAMENO VARABL NEGL NEGRAL OPP negrli oppi in coorine polri L rsformione egli inegrli oppi coorine rengolri coorine polri connesse lle relioni sin può essere esegui rmie l formul: f ( f ( sin Se il ominio i inegrione è limio ue rggi α β ( α < β che prono ll origine e ue curve ( e ( ove ( e ( sono funioni vlore singolo per α β e ( ( llor l inegrle oppio può essere clcolo con l formul: F β α ( ( F( ( ove F ( f ( sin l inegrle F ( nel qule è consier ne esseno il primo essere clcolo ( (

6 negrli oppi in coorine curvilinee Supponimo i voler rsformre un inegrle oppio o in coorine rengolri in coorine curvilinee uv connesse lle relioni (uv (uv ove le funioni (uv e (uv hnno erive prili coninue nel ominio el pino u O v e l rsformione Jcobin non si nnull nel ominio : J u u v v n queso cso l rsformione è biunivoc le equioni possono essere risole rispeo u e v in funione i e e l rsformione invers risulne: u u( v v( è biunivoc r i puni el ominio el pino O e i puni el ominio el pino uo v (fig [ ( u v ( u v ] f ( f J uv v fig K (; ' (u;v O O' u Nel cso i coorine polri: sin J sin Un rsformione biunivoc può essere impieg per rsformre l inegrle oppio ( f in un inegrle oppio sull insieme corrisponene el pino uv on l rsformione l inegrno f( iven g(uv f((uv(uv A 6

7 Per esprimere l elemeno re A v in ermini ell elemeno re uv el pino uv si procee come segue Per ogni vlore i u fisso esempio u c le equioni: (uv (uv efiniscono un curv prmeric (con v come prmero nel pino Ques curv è chim u-curv corrisponene l vlore u c Anlogmene per v fisso le equioni efiniscono un curv prmeric (con prmero u chim v-curv onsierimo l elemeno ri infiniesimo elimio lle u-curve corrisponeni i vlori vicini u e u u e lle v-curve corrisponeni i vlori vicini v e v v Si imosr che un regione rengolre i re uv nel pino uv è rsform in un prllelogrmm curvilineo l cui re è pprossimivmene ero ( ( u v uv A ( P R A v v u u u Q v L errore i ques pprossimione iven rscurbile in confrono A quno u e v enono ero Si imosr che l ( res vli nche se l rsformione non è inieiv o se il eerminne si nnull sull insieme i misur null Eserciio Uilire un cmbimeno i vribili pproprio per eerminre l re el isco elliico E o b Soluione A seguio ell rsformione u bv il isco elliico E è l immgine el isco circolre o u v Supponeno > e b> bbimo 7

8 ( uv ( u v b uv buv Perno l re i E è E buv b (re i b Negli esempi che seguono è l fronier el ominio e l inegrle oppio f ( è espresso meine l formul i riuione in coorine polri ESEMPO 7 è l re ell circonferen f ( sin ESEMPO 8 è l re ell coron circolre specific lle circonferene: e b ove p p b b f ( sin b 8

9 ESEMPO 9 è l re ell circonferen i equione f ( sin ESEMPO è l re el cerchio i equione ( sin f ( sin L coniione che l ngolo ε eriv l fo che l re i equione - è ngene l cerchio nel puno ( ESEMPO è l re esern ll circonferen γ e inern ll circonferen γ rispeivmene i equioni: γ : r e γ : r r r Risolveno il sisem fr le ue equioni preceeni si rovno i puni r r r r comuni lle ue circonferene: e cui si evince che perno: r r f ( sin 9

10 ESEMPO è l re el ominio siuo nel primo qurne limio ll re e ll circonferen Rispeivmene i equioni: e f (sin f ( sin ESEMPO è l re el ominio limio ll prbol e ll re g( f ( sin f ( sin sin g ( f ( sin con g ( n n sec ESEMPO è l re el ominio limio ll ellisse e ll circonferen i equioni: b e b Or se inichimo con il ominio limio ll ellisse e con il ominio limio ll b circonferen llor il nosro scopo è quello i clcolre il nosro inegrle come ifferen i ue inegrli:

11 f ( - Per clcolre l inegrle eseso l ominio relivo ll ellisse operimo prim l seguene sosiuione: u bv cui b uv con ques l ellisse si rsform in un cerchio i rggio con equione: u v con v Perno : b f ( b sin b f ( sin ESEMPO Uilino le coorine polri clcolre ell circonferen se il ominio è il primo qurne Soluione Poneno sin : 6 sin ESEMPO 6 lcolre ln( se il ominio è il isco r le circonferene e e e Soluione

12 Pssno lle coorine polri: e e ln ln ln ln( negrno per pri l inegrle ipenene oenimo: ( ln e e e e ESEMPO 7 lcolre ( ( se il ominio è il quro limio lle linee ree (fig 6 Soluione Ponimo u v cui si h ( v u ( v u Perno il Jcobino ell rsformione è: v u v u J quini J i conseguen uv v u ( ( Poiché il ominio è nche un quro (fig 7 bbimo: ( 6 ( ( u u u u v u v v u u

13 ALOLO AREE FGURE PANE L re i un figur pin limi l ominio può essere rov con l formul: S Se il ominio è specifico lle isugugline b ϕ ϕ ( llor ( S b ϕ ( ϕ ( Se il ominio in coorine polri è specifico lle isugugline ϕ( β f ( llor S ESEMPO 8 β f ( α ϕ ( α β lcolre l re ell figur limi lle curve 6 Soluione Risolveno il sisem i equioni e 6 rovimo le coorine ei puni i inerseione elle curve e (isegnre il grfico ome risulo si h A(; B(; e i conseguen S 6 6 ( ESEMPO 9 (unià i superficie lcolre l re ell figur limi lle circonferene ( (l i fuori ell circonferen (fig 8 Soluione rovimo le coorine el puno A; bbimo ( 6 (quini A(; 6

14 S 6 6 ( ( ( [ sin ] sin ( (unià i superficie 6 8 ESEMPO rovre l re limi ll lemniscl ( Soluione Poneno sin rsformimo l equione ell curv in coorine polri l risulo è sin sin E eviene che il cmbimeno nell ngolo polre è ssocio con il quro i re esier: S sin sin sin ESEMPO rovre l re ell figur limi lle curve (l re ell curv(fig 9 Soluione rsformimo l equione in coorine polri: (sin sin cioè sin (sin L sse i simmeri ell curv è il rggio perno: S sin (sin sin (sin n (n ( n ( n ( n ( n 6 n 6 ( n

15 ALOLO EL VOLUME UN ORPO l volume i un corpo cilinrico limio sopr un superficie coninu f ( soo l pino e i lo un superficie cilinric re inciene un ominio el pino O può essere clcolo rmie l formul ESEMPO V f ( rovre il volume i un corpo limio lle superfici e poso nel primo qurne Soluione l corpo è limio in lo l pino lerlmene l cilinro prbolico pino Perno è un corpo cilinrico l ominio è limio ll prbol linee ree e osì si h: e l e lle V ( [ ] (unià i volume ESEMPO lcolre il volume i un corpo limio lle superfici poso nel primo qurne e Soluione l corpo o è limio sopr l prboloie l ominio i inegrione è un seore circolre limio un rco ell circonferen il qule è l line i inerseione el prboloie con il pino e le linee ree e V ( i conseguen Poiché il ominio i inegrione è un pre ell circonferen e l inegrno ipene è uile pssre lle coorine polri n quese coorine l equione ell circonferen ssume l form l inegrno è ugule e gli esremi i inegrione

16 possono essere eermini lle equioni elle linee ree: k n cioè ; k n cioè osì bbimo: V 8 ( ( (unià i volume ESEMPO rovre il volume el corpo limio lle superfici Soluione onsierimo l ov pre el corpo o (fig : V 8 ( Quini V 6 APPLAZON EGL NEGRAL OPP Se un lmin occup il ominio el pino O e h un superficie i ensià vribile γ γ ( llor l mss M ell lmin è espress ll inegrle oppio M γ ( l momeni sici ell lmin rispeo gli ssi O e O possono essere rovi rmie le formule M ( γ M γ ( Nel cso ell omogeneià ell lmin γ è ne Le coorine el cenro i grvià ell lmin possono essere rove con le formule M M M M 6

17 ove M è l mss ell lmin e M M sono i suoi momeni sici rispeo gli ssi coorini Nel cso i omogeneià ell lmin le formule ssumono l form S S ove S è l re el ominio momeni i ineri ell lmin rispeo gli ssi O e O sono clcoli rmie le formule ( γ e il momeno i ineri rispeo ll origine rmie l formul γ ( ( γ ( Poneno γ ( in quese formule possimo oenere le formule per clcolre i momeni geomerici i ineri i un figur pin ESEMPO rovre le coorine el cenro i grvià ell figur limi lle curve (fig Soluione Poiché l figur è simmeric rispeo ll sse si h Rimne rovre rovimo l re ell figur : S ( ( 7

18 8 8 6 Segue che: ( ( 6 8 ( 6 ( ESEMPO 6 rovre le coorine el cenro i grvià ell figur limi ll ellisse 9 e un su cor Soluione rovimo l re el segmeno: S ( ( ( Abbimo poi: S ( ( ( ( ( 7 ( ( ( ; S ( ( 9 ( 9 ( ( ( ( ( ( 9

19 ESEMPO 7 lcolre il momeno i ineri rispeo ll origine ell figur limi lle curve b Soluione l momeno ineri rispeo ll origine è ( b ( ( b ( b b ( ( ( ( b b b b( b ( ESEMPO 8 lcolre il momeno ineri ell figur limi ll crioie ( rispeo ll sse Soluione Pssno lle coorine polri nell formul oenimo: ( sin sin sin ( sin ( sin ( 6 ESEMPO 9 Si A {( : ²² ; ²² } lcolre : {( : ; /} sin θ A Soluione 9

20 ( ( ( 6 n sin sin sin θ A A Soluione ( ( ( 6 co 6 co sin sin sin sin sin sin g g A A Soluione 6 A ESEMPO Si A {( : ²²- ; ²²- } {( : /} lcolre : A Soluione

21 6 sin ESEMPO sin 6 sin ( sin Si A {( : ² ²- ; } {( : sin /} lcolre : A A Soluione sin 6 sin ( 6sin A 6 ESEMPO lcolre A A ove: A {( : } θ sinθ θ A θ θ θ θ θ sin sin θ θ Veimo che: sinθ θ θ θ θ θ θ θ θ sin sin n n

22 u / Quini sosiueno: ( ln ln ESEMPO lcolre ove: Poneno µ e υ/ si h: ESEMPO lcolre A ln n n θ θ θ θ ( { } sin 6 n θ θ θ θ θ θ θ υ θ µ sin * e A ( ( ( µ υ µ υ µ υ µ δ υ µ e e * n θ θ θ υ µ µ υ S

23 ove A ( : ; ; 9 Se A eno l resriione i A l primo qurne risul: ove: A A B B B ( : 9 ; ; B {( : ; ; } B B Per il clcolo ell inegrle su B ponimo µ e υ; vremo: u B sinθ θ υ ( ( µ υ ( θ υ υ µ µ B 8 sinθ θ ( θ 8 Quini: A 6 8 8

24 ESEMPO A E Poneno u ; v llor 8 u uv A 7 A sin 6 6 sin ( sin sin 8 ( 9 7 sin 8 ( 9 sin 7 ( 9 7 ( 9 e poneno Esseno ( sin n segue che sin 7 ( Quini A A 8 8

25 ESEMPO 6 lcolre A A ( : ; A E A A ove A è l resriione i A l primo qurne A ( ( sin ( ( 6 ( sin 6 ( n e poneno n 6 6 ( l seguene ( ( ( segue che ( rcn

26 Quini A 6 7 ESERZO (Un inegrle molo imporne Mosrre che SOLUZONE: e L inegrle improprio converge e il suo vlore (ovvimene non ipene qule simbolo si us per l vribile inegrione Perno possimo esprimere il quro ell inegrle come prooo i ue inegrli ienici m con le loro vribili inegrione inice in moo iverso Possimo poi inerprere queso prooo come un inegrle oppio e inegrrlo in coorine polri: e e e R ( A e e R lim R R lim e R ove si è enuo presene che in coorine polri ui i puni el pino si oengono preneno il vlore principle ell nomli cioè fceno vrire ( oppure - incluso (oppure escluso e fceno vrire r e 6

27 NEGRAL RPL Supponimo che l funione f ( si efini nel ominio chiuso e limio Suiviimo il ominio rbirrimene in n sooomini n con imeri n e volumi V V V n Prenimo rbirrimene un puno Pk ( ξ k ηk ζ k in ciscun sooominio e moliplichimo il vlore ell funione nel puno P k con il volume el sooominio L somm inegrle per l funione f ( sul ominio è l somm ell form n k f ( ξ η ζ V k k k k L inegrle riplo ell funione f ( sul ominio è il limie ell somm inegrle soo l coniione che il più grne imero ei sooomini ene ero: f V lim m k ( f ( ξ η ζ V n k k k k k Per un funione coninu in un ominio queso limie esise e non ipene l moo in cui è suiviso il ominio nei sooomini o sull scel ei puni P k (eorem ell esisen i un inegrle riplo Se f ( > nel ominio llor l inegrle riplo f ( V è l mss el corpo che riempie il ominio e possiee un ensià vribile γ f ( (inerpreione fisic ell inegrle riplo Le principli proprieà egli inegrli ripli sono simili quelle egli inegrli oppi n coorine cresine l inegrle riplo è usulmene scrio come f ( 7

28 negrli ripli in coorine cresine ome gli inegrli oppi nche gli inegrli ripli si riucono inegrli orinri meine formule i riuione Per gli inegrli ripli in coorine cresine esisono un formul inegrione per sri e un per fili L formul inegrione per sri è: ( f ( f b ( Ques formul si pplic quno il solio viene sego meine pini e quno ogni k seghi secono un ominio pino Z b L formul inegrione per fili è: β ( ( f ( f α ( Ques formul si pplic quno il solio viene sego meine ree prllele ll sse Z e è normle rispeo quese prllele A vole il solio si pres ll pplicione elle ue formule inifferenemene Nei csi non si può pplicre né l un né l lr si spe opporunmene il cmpo ESEMPO 7 lcolre il momeno ineri relivo ll sse el cono roono i rggio i bse e le h Supponimo che il verice el cono coinci con l origine egli ssi Ricvimoci l equione ell superficie conic: siccome è un superficie i roione ricvimo prim l equione el meriino (in queso cso un re sul pino : 8

29 h Avvlenoci i un rificio noo ll Geomeri l posi i sosiuimo Si oiene: h ( equione el cono e qurimo l momeno ineri rispeo ll sse è o : lcolimo per fili: M M ( h h ( ( h h l cmpo è un circonferen i rggio Pssimo or lle coorine polri: Si h llor: M ϕ senϕ h h h ϕ ϕ h h ESEMPO 8 lcolre l inegrle riplo ove ( ; h f e il solio è iniviuo ; lcolimo l inegrle per sri Pssno in coorine cilinriche vremo: h θ Z h θ Per l seione generic Z è: 9

30 F ques consierione l inegrle iven: h quini l soluione è: h rcg h h ESEMPO 9 eerminre il volume el solio elimio lle superfici i equioni: r r lcolimo il volume risolveno l inegrle riplo per fili : r r V l ominio è il semicerchio bse el cilinro (v figur Pssno in coorine polri: θ θ sen si vrà:ù 9 sin ϕ θ ϕ r r r r r V r

31 ESEMPO lcolre: ( log ove il ominio è o : b c l ominio inegrione è un prllelepipeo quini poremmo uilire inifferenemene si l formul inegrione per sri si quel per fili Uiliimo quell per fili: ( log( log c b Per risolvere l inegrle ponimo: per cui: c b log c b b log Per proceere olre conviene porre: Sosiueno: b u l inegrle iven: ( u b ; bu b c b c 6b 8 b b 6 log u bu b log b b 6b b 8 6

32 Per il reso non ci ovrebbe essere nessun ifficolà nel proseguire ll risoluione ell inegrle ESEMPO lcolre l inegrle: ove è il volume ell pre i cilinro roono i equione r con r e h negrimo per sri e si h: r h ove è l proieione el solio sul pino L inegrle Si h: si può clcolre in coorine polri speno opporunmene il ominio sen θ θ r 8 8 r L inegrle proposo vle: 6 r h ESEMPO lcolre cilinriche: eseso l primo one e elimio i pino e e lle superfici

33 L superficie cilinric si proie sul pino nell circonferen i cenro ( e rggio menre l si proie nell circonferen con cenro nell origine e rggio unirio Eseguimo l inegrione per fili: ove è l seione el cilinroie con il pino Sviluppno i clcoli si oiene: ESEMPO lcolre eseso un regione el primo one efini lle equioni: onviene eseguire l inegrione per fili Si pensi i inscrivere il solio in un cilinroie vene generrici prllele ll sse e limio superiormene ll e inferiormene ll ioè: Fig

34 ove è l seione normle el cilinroie come si può veere nell fig b Fig b Sviluppno i clcoli: ( ESEMPO eerminre le coorine el bricenro el segmeno sferico un bse i le h limio ll superficie sferic 6 e vene come sse i simmeri l sse Nel cso in esme è G G ncomincimo clcolre l inegrle che v numerore nell espressione i : G rh L inegrle oppio rppresen l re i un seione generic ell sfer con un pino e cioè: Quini: 8 r ( r ( 6 ( 6 L inegrle che s enominore nell espressione i G rppresen il volume el segmeno sferico quini: n efiniiv: 8 7 ( 6

35 6 G 7 76 ESEMPO lcolre il momeno ineri rispeo ll sse i un ronco i cono vene le segueni imensioni: l momeno ineri è o : negrno per sri oenimo: le h cm rggio mggiore cm rggio minore b cm ( h Z ove Z è un seione el ronco i cono col pino M nell inegrle ( possimo sposre l nell prim pre oeneno: ( h Z L secon pre ell ( non è che l re el cerchio Z Supponimo i glire il cono con un pino pssne per oeneno un rpeio OBG in cui GB b O FE (rggio i Z Abbssimo per B l perpenicolre O: vremo ue ringoli rengoli simili BE e BA i quli si ricv: quini: E A ; m è B AB E b B h A b AB h b b h h cui ricvimo: b h unque esseno l re i Z ugule srà pure: e sosiueno nell ( oerremo: b Z h

36 h b h h ( b h ( b h Poneno in luogo i b h i loro vlori oerremo: ESEMPO 6 rovre il momeno ineri rispeo el solio elimio lle isugugline: Si s ll Meccnic che il momeno ineri rispeo è o : Fig Ι V esseno V il solio iniviuo lle isugugline E comoo eseguire l inegrle riplo per sri; un generic seione con un pino prllelo è quell inic in figur L inegrle si clcol nel moo seguene: Ι V ( lcolimo seprmene l inegrle oppio queso si clcol fcilmene in coorine polri Le formule i pssggio sono: 6

37 7 sen Fig Sosiueno si h: sen ( sen lcolimo seprmene i ue inegrli: 6 ( ( sen sen Ricorno che: Sosiueno e conempornemene sviluppno il enominore si h: ( sen sen sen sen 8 Ricorno che: g g g g sen sosiueno si oiene: g g g g g g g g g g g g 6 8 8

38 8 Ponimo: g Srà i conseguen: rcg Sosiueno si oiene: ( ( Scomponimo il enominore in moo poer risolvere l inegrle con l regol i Hermie: ( 6 ( 8 onsierimo solo l inegrle meno i 8 : ( ( ( lg ' B A erivno mbo i membri: ( ( B A B B A A Eliminno i enominori si h: ( ( ( ( ( B B A A B B B A A Per il principio ienià ei polinomi eve essere: B B A A

39 Risolveno il sisem si oiene : A B L inegrle ' vle : ' ( Ricorimo che : 8 ( Aveno clcolo l inegrle inefinio possimo or proceere clcolno un inegrle generlio col seguene proceimeno : lim k 8 k ( 8 Oenimo ì i ue risuli : ; 6 L inegrle cui bbimo iro fuori quesi prili è : Possimo quini concluere che : Per il momeno ineri vevmo scrio : 6 Ι V Aveno clcolo già l inegrle oppio possimo proceere oeneno : 9

40 Ι V l momeno ineri richieso vle : Ι ( 8

41 negrli ripli in coorine cilinriche Si imosr che nel pssggio inegrli ripli in coorine cresine coorine curvilinee in genere sussise l relione: w v u w v u w v u f f ( ( ( ( in cui è so poso: w w w v v v u u u w v u ( ( Le formule i pssggio lle coorine cresine lle coorine cilinriche sono: l ermine Jcobino vle: ( ( sen sen L formul i rsformione uilire è: f f ( ( n coorine cilinriche si oper come in coorine cresine osservno che il solio eve essere normle rispeo l riferimeno cilinrico Anche in coorine cilinriche sussisono formule nloghe quell per sri e per fili elle coorine cresine: ( ( ( ( α B f f sen

42 ESEMPO 7 lcolre l inegrle: ove è il volume compreso r il cilinro i equione -c e il pino h c con Fceno il seguene cmbimeno i vribili: θ senθ e inegrno per fili si h: θ senθ θ hsenθ h c ove è l proieione el solio sul pino escri θ csenθ Proceenosi h: h senθ sen θ senθ θ ( c c θ h c

43 ESEMPO 8 lcolre l inegrle: ove è il volume compreso r l sfer e i coni ( con onviene spere il cmpo in ue pri e inegrre per fili Pssno in coorine cilinriche si oiene: θ θ θ 7 ESEMPO 9 lcolre l inegrle: sen ove è il volume el cono con h

44 on il cmbimeno seguene: si oiene: θ senθ senθ θ sen θ negrimo per fili: senθ θ θ h sen ove è l proieione el solio sul pino che viene escri con θ h Proceenosi h: h h h senθ θ θ sen h h senh h h 6h senh 6h 6 ESEMPO lcolre l inegrle: ( ove è il volume compreso r il prboloie ( e il cono ( con h

45 Pssno in coorine cilinriche si h: θ e inegrno per sri: h ( θ ( ESEMPO n un sfer i cenro (;; e rggio R viene scvo un foro cilinrico roono i sse e rggio rovre il volume ell pre i sfer rimnene

46 Si può rovre il volume V el cilinro più il volume elle ue cloine inegrno per fili e fceno il seguene cmbimeno i vribili: Quini si h: θ senθ V θ θ ( R ( R ( R ESEMPO lcolre l inegrle: ove è il cilinro i equione: con h Pssno in coorine cilinriche si h: h senθ θ log h ESEMPO lcolre l inegrle: ove è il volume compreso fr il cilinro il prboloie e il primo limimene l one 6

47 Pssno in coorine cilinriche e inegrno per fili si h: θ gθ ( gθ θ ove è l proieione el solio sul pino che viene escri con Quini: θ ( log gθ θ ESEMPO lcolre l inegrle: ( ove è il volume compreso r i coni i equione ( con ol seguene cmbimeno i vribili: θ senθ 7

48 vremo: (θ senθ θ negrno per fili: (θ senθ θ ove è l proieione el solio sul pino che viene escri con θ 6 proceeno nei clcoli: (θ senθ θ o 6 ESEMPO lcolre l inegrle: ove è il volume compreso r l sfer e i pini Pssno in coorine cilinriche si h: θ Ovvero inegrno per sri: 7 θ 8

49 ESEMPO 6 Meine l uso egli inegrli ripli clcolre il volume el solio compreso r il cilinro i equione r i pini e e il cono i equione 9( lcolno l inegrle per sri vremo: V S c e pssno in coorine cilinriche: V S 8 lr pre come verificre si può ener presene che V S V cilinro V cono 8 9

50 negrli ripli in coorine polri Le formule i pssggio lle coorine cresine lle coorine polri nello spio sono: sen ϕ sen senϕ l eerminne Jcobino è: ( ( ϕ ϕ ϕ ϕ ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ eneno presene l formul i pssggio coorine cresine curvilineenel cso in esme si euce: f ( F( ϕ sen ϕ

51 ESEMPO 7 rovre le coorine el bricenro el solio limio l cono roono i semiperur 6 e ll clo sferic con cenro nel verice el cono e rggio Siccome l sse è sse i simmeri è: G G menre: G θ senθ ϕ θ senθ ϕ θ ove è il volume ell clo lcolimo seprmene i ue inegrli: θ senθ ϕ θ ϕ θ senθ θ 6 6 senθ ϕ θ ϕ senθ θ 6 8 ( Quini sosiueno in G si oiene: G 6 8

52 ESEMPO 8 lcolre l inegrle: ove è il volume compreso r l semisfer e i pini gα limimene l one Pssno lle coorine polri si h: α sen θ senϕ θ ϕ sen θ θ senϕ ϕ (α 6 ESEMPO 9 lcolre l inegrle: ( ove è il volume compreso r le sfere i equioni - con

53 Pssno in coorine polri l inegrle iven: sen θ θ ϕ ϕ sen θ θ θ 8 ove si è enuo cono che e θ ESEMPO 6 negrre l funione: f nel cmpo elimio ll sfer i cenro nell origine e rggio l pino e l pino onviene ricorrere lle coorine polri: ϕ sinθ sinϕ sinθ θ J sinθ on le sosiuione si h: ( ( sin θ ϕ sin θ sin ϕ θ sinθϕ θ 6

54 ESEMPO 6 n un sfer i rggio R viene ricv un cvià vene form i cono roono i verice O sse e semiperur rovre il volume ell pre i sfer rimnene onviene rppresenre uno spcco el solio con il pino Esseno il solio in quesione simmeri sfericconviene inrourre le coorine polri nello spio: ϕ sinθ sinϕ sinθ θ L inegrle i volume iven: V sinθ ϕ θ ϕ sinθ θ R R ESEMPO 6 eerminre il volume el solio rcchiuso ll superficie: b c on un opporuno rificio si possono renere le e molo fcilibs effeure un cmbio i vribili: u bv c w L equione ell superficie iven: J bc w u v w e il solio si rsform in un sfer i rggio L inegrle i volume iven: bc u v w w

55 Pssno lle coorine polri ello spio: u sinθ ϕ v sinθ sinϕ w θ si h: V bc u v w bc sinθ 8 ϕ θ bc w θ Nell sosiuione l inegrle w non si iene cono che può nche ssumere vlori negiviper cui sinθ θ ssumerebbe vlori immginri per θ θ Per ovvire queso inconveniene bserà clcolre l inegrle fr e e moliplicre per il risulo oenuo Avremo: sinθ sinθ θ θ θ θ ESEMPO 6 eerminre il volume el solio compreso r le superfici i equioni: ( ( r l solio è rcchiuso r coni veni verice nell origine egli ssi e un sfer con cenro nell origine;srà meglio re un seione ell figur col pino

56 onviene pssre lle coorine polri ello spio: sinθ ϕ sinθ sinϕ θ Si oiene quini: V sinθ ϕ θ ϕ sinθ θ 6 r r ( ESEMPO 6 lcolre il volume el solio limio lle superfici i equioni: Si r ell inerseione r ue cilinri prbolici con le generrici prllele ll sse limi l pino e l prboloie roono Queso solio si proie sul pino nell regione limi lle ue prbole e (vei figurlcolimo l inegrle riplo per fili : V Risolvimo l inegrle oppio per vericli : V ( 6 6 6

57 ESEMPO 6 lcolre l sciss el bricenro ell pre i ellissoie i equione: b c conenu nel primo one L sciss el bricenro i un solio si rov clcolno l inegrle riplo: G L inegrle enominore è immeio l volume ell inero ellissoie vle bc e quini bc l volume ell ov pre vle V 6 lcolimo l inegrle numerore fceno un cmbio i vribile: u bv cw J bc L equione ell ellissoie iven l equione i un sfer i rggio uniri si h quini: bc u u v w Pssno lle coorine polri: bc u sinθ ϕ v sinθ sinϕ w θ uuvw bc sinθ ϕ sinθϕθ bc ϕϕ sin θθ bc 6 L sciss el bricenro vle : G 8 7

58 ESEMPO 66 lcolre l inegrle: ( ove è il cmpo elimio : Pssimo in coorine polri: sinθ ϕ sinθ sinϕ θ L inegrle proposo iven: 7 ( ϕ sinθ ϕ θ ESEMPO 67 lcolre il volume el solio compreso nel primo one fr i cilinri: l volume richieso è: 8

59 V ( onviene pssre lle coorine polri: V ( ( sin θ θ 6 ESEMPO 68 rovre il momeno ineri rispeo ll sse el solio compreso r le sfere i rggi e b ( < b con cenro nell origine consierno l pre l i sopr el pino l momeno ineri è o : ( rnosi i un solio elimio superficie sferiche ci conviene operre in coorine polri poneno: ϕ sinθ Y sinϕ θ θ J sinθ ϕ θ L funione inegrno si moific in: ( sin θ ϕ sin θ sin ϕ sin θ e quini: L sin θ ϕ θ 8 poiimo che il ominio i inegrione è specifico lle isugugline ( ( ( ( ove ( ( ( ( sono funioni coninue Allor l inegrle riplo ell funione f ( eses l ominio può essere clcolo con l formul f ( ( ( ( ( f ( 9

60 Se nel clcolo i un inegrle riplo è necessrio pssre lle vribili lle nuove vribili uvw connesse con lle relioni ( u v w ( u v w ( u v w ove le funioni ( u v w ( u v w ( u v w coninue insieme lle loro erive prime prili sbiliscono un corrisponen biunivoc coninu in enrmbe le ireioni r i puni el ominio ello spio O e i puni ello sesso ominio ello spio Ouvw e il Jcobino J el ominio non si nnull u v w J u v w u v w llor si us l formul f ( f [ ( u v w ( u v w ( u v w ] J uvw n pricolre pssno lle coorine cresine lle coorine cilinriche (Fig connesse con lle relioni ϕ ϕ sinϕ ( ϕ l rsformione jcobin J B e l formul i rsformione i un inegrle riplo in coorine cilinriche h l form f ( f ( ϕ sinϕ ϕ Pssno lle coorine cresine lle coorine sferiche lle relioni ϕ (Fig6 connesse con sin ϕ sin sinϕ ( ϕ L rsformione jcobin J sin e l formul i rsformione i un inegrle riplo in coorine sferiche h l form f ( f ( sin ϕ sin sinϕ sinϕ 6

61 ESEMPO 69 lcolre ove il ominio è specifico lle isugugline Soluione ( ( ESEMPO 7 lcolre se è l sfer R Soluione Pssimo lle coorine sferiche Nel ominio le coorine ϕ vri come segue: R ϕ i conseguen sin ϕϕ sin ϕϕ sin ϕ sin ϕ R R ( ( R R ESEMPO 7 lcolre se il ominio è limio l cilinro e i pini Soluione Pssimo lle coorine cilinriche n quese coorine l equione el cilinro ssume l form ϕ sin ϕ ϕ o ( ϕ sin ϕ ϕ cioè ϕ i conseguen nel ominio le coorine ϕ vrino come segue: ϕ ϕ Perno 6

62 ϕ ϕ ϕ ϕϕ 8 ( sin ϕ (sinϕ sinϕ sin ϕ 9 ϕ ϕ ESEMPO 7 lcolre ( se il ominio è l meà superiore ell sfer r Soluione Usimo le coorine sferiche; le nuove vribili vrino nel seguene moo: r ϕ Perno si h: ( sin ϕ sin ϕ ( ( r r r r APPLAZON EGL NEGRAL RPL l volume i un corpo occupne il ominio è eermino ll formul V Se l ensià el corpo è un qunià vribile cioè γ γ ( llor l mss el corpo occupne il ominio è eermin ll formul M γ ( Le coorine el cenro i grvià el corpo sono specifice lle formule Per γ bbimo γ γ γ M M M 6

63 V V V ( sono le coorine el cenro i grvià momeni i ineri (geomerici rispeo gli ssi coorini sono uguli rispeivmene ( ( ( ESEMPO 7 lcolre il volume el corpo limio lle superfici h h (Fig7 Soluione l corpo o è limio soo l prboloie ( h e sopr l pino h e si proie sul cerchio h el pino O Usimo le coorine cilinriche rmie le quli l equione el prboloie ssume l form h l volume el corpo è ugule V h h ϕ h h ϕ ϕ ϕ h h h h h h h h ϕ ESEMPO 7 rovre le coorine el cenro i grvià el corpo prismico limio i pini Soluione rovimo il volume el corpo in quesione: 6

64 6 V ( 9 ( Allor bbimo: ; 9 ( ( ( ; 9 ( 9 ( ( ( 8 8 ( 9 9 9