Analisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0.

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1 Analisi Complessa Prova intermedia del 7 novembre Soluzioni Esercizio. Si consideri l equazione z 0. Quante soluzioni distinte esistono in C? Quante di esse sono contenute all interno del disco unitario di centro 0 e raggio? Il polinomio z ha grado 2 e per il teorema fondamentale dell algebra sappiamo che esistono 2 zeri contati con la loro molteplicità; ciò significa che l equazione ammette al massimo 2 soluzioni distinte. Se z è una soluzione, allora il numero w z a sua volta è una soluzione dell equazione w 0, ovvero w è una radice undicesima dell unità: w. Inoltre z è una radice undicesima del numero + w, essendo z + w. Esistono radici undicesime distinte dell unità sono i vertici di un poligono regolare di undici lati inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell origine, e precisamente sono: w k e 2πik/, k 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Osserviamo che nessun w k coincide con, in quanto ; in particolare + w k 0. Dunque, per ciascun w k, esistono radici undicesime distinte del numero + w k ; sono i vertici di un poligono regolare di undici lati inscritto nella circonferenza di raggio + w k. Poicheè uno stesso numero non può essere allo stesso tempo radice undicesima di due numeri distinti ne segue che l unione delle undici famiglie delle radici undicesime dei numeri +w k formano una collezione di 2 numeri distinti. Ne segue che la nostra equazione ammette esattamente 2 soluzioni distinte. Tra queste, quelle che sono contenute all interno del disco unitario sono le radici undicesime dei numeri + w k con + w k <. Calcoliamo + w k : + w k 2 + w k + w k + e 2πik/ + e 2πik/ + e 2πik/ + e 2πik/ cos2πk/. Dunque + w k < se e solo se cos 2πk/ < /2. Si verifica facilmente che cosα < /2 quando 2π/3 < α < 4π/3; nel nostro caso α 2πk/ e la condizione diventa /3 < k < 22/3; tale condizione è soddisfatta per i quattro valori k 4, 5, 6, 7. Perciò esistono 4 44 soluzioni della nostra equazione contenute all interno del disco unitario.

2 Esercizio 2. Si scelga una determinazione dell argomento per la funzione radice quadrata e con essa si determini il dominio sul quale risulta essere olomorfa la funzione fz z 2 i. Scegliamo per la radice quadrata w, la determinazione dell argomento con argw ] π, π], in modo che w risulti essere olomorfa su C \ A, dove A {w : Rew 0, Imw 0} è la semiretta dei numeri reali non positivi. La funzione z 2 i sarà olomorfa in corrispondenza di quei punti z tali che z 2 i S. Determiniamo allora per quali punti z abbiamo z 2 i A, ovvero Rez 2 i 0 e Imz 2 i 0. Se poniamo z x + iy, abbiamo z 2 i x 2 y 2 + i2xy. Dunque dobbiamo studiare il sistema: che è equivalente a x 2 y 2 0, 2xy 0, x y 2 x, xy 2. Le soluzioni del sistema sono dunque i punti dell iperbole xy /2, con x / 2. La nostra funzione è definita quindi in modo olomorfo su C \ B, dove B è l insieme { B z x + i 2x : 0 < x }, 2 formato da due metà di rami di iperbola equilatera che partono dai punti ±/ 2+i/ 2 e hanno per asintoto l asse immaginario tendendo verso i punti 0 ± i. Esercizio 3. Si consideri il polinomio in due variabili reali a coefficienti reali: px, y ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3. Determinare le condizioni che i coefficienti a, b, c, d devono soddisfare affinché il polinomio sia una funzione armonica. Determinare poi una funzione armonica coniugata e la corrispondente funzione analitica. Calcoliamo le derivate di p: x px, y 3ax 2 + 2bxy + cy 2, 2 xxpx, y 6ax + 2by, y px, y bx 2 + 2cxy + 3dy 2, 2 yypx, y 2cx + 6dy. In particolare p 6a+2cx+2b+6dy, tale quantità si annulla identicamente se e solo se 6a + 2c 0 e 2b + 6d 0. Dunque p è un polinomio armonico se e solo se c 3a e b 3d. Assumendo tali condizioni abbiamo px, y ax 3 3xy 2 d3x 2 y y 3. Cerchiamo una funzione armonica qx, y tale che fz px, y + iqx, y sia olomorfa. Una tale q è determinata univocamente a meno di costanti addittive reali. Siccome p è un polinomio reale omogeneo di terzo grado, proviamo a cercare q tra i polinomi reali omogenei di terzo grado; in questo modo la f 2

3 risulterà essere un polinomio complesso omogeneo di terzo grado nella variabile z, ovvero dovrà essere un monomio di terzo grado della forma fz wz 3, per un qualche coefficiente w α + iβ. Calcoliamo parte reale e immaginaria: fz α + iβx + iy 3 α + iβx 3 + 3ix 2 y 3xy 2 iy 3 [ α x 3 3xy 2 β 3x 2 y y 3] + i [ α 3x 2 y y 3 + β x 3 3xy 2]. Otteniamo che Refz px, y se scegliamo α a e β d; quindi ricaviamo che la funzione armonica coniugata qx, y Imfz è il polinomio qx, y a3x 2 y y 3 + dx 3 3xy 2. La funzione olomorfa corrispondente è il monomio Esercizio 4. Si consideri l integrale I fz a + idz 3. e z z 3 z 2 dz. Determinare i possibili valori che I può assumere al variare di fra tutte le curve regolari, chiuse, semplici, orientate in senso antiorario e che non passano per i punti 0 e. Cosa succede se rimuoviamo le restrizioni che le curve siano semplici e orientate in senso antiorario? Le curve regolari, chiuse, semplici, orientate in senso antiorario, non passanti per 0 e possono essere raggruppate in quattro classi a seconda che 0 e si trovino all interno o all esterno della curva. Primo caso: 0 e sono entrambi esterni a. La funzione f z e z /z 3 z 2 è olomorfa su un dominio semplicemente connesso contenente. Infatti possiamo deformare con continuità fino a ridurla ad un punto evitando di incontrare i punti 0 e. In questo caso per il teorema di Cauchy abbiamo I f z dz 0. Secondo caso: 0 è esterno e è interno a. Possiamo scrivere e z /z 3 z 2 f 2 z/z, dove f 2 z e z /z 2 è una funzione olomorfa su un dominio semplicemente connesso contenente. Infatti possiamo deformare con continuità la curva fino a ridurla ad un punto evitando di incontrare il punto 0. In questo caso, per la formula di Cauchy abbiamo I f 2 z z dz 2πif 2 2πi e 2 2πei. Terzo caso: 0 è interno e è esterno a. Possiamo scrivere e z /z 3 z 2 f 3 z/z 2, dove f 3 z e z /z è una funzione olomorfa su un dominio semplicemente connesso contenente. Infatti possiamo deformare con continuità la curva fino a ridurla ad un punto evitando di incontrare 3

4 il punto. In questo caso possiamo usare la formula di Cauchy per la derivata. Abbiamo f 3z e z z 2/z 2 e dunque I f 3 z z 2 dz 2πif 30 2πi e πi. Quarto caso: 0 e sono interni a. Possiamo decomporre l integrale lungo come la somma di due integrali lungo 0 e in modo che 0 sia interno a 0 ed esterno a e sia interno a ed esterno a 0. Il calcolo degli integrali su 0 e rientra nei casi precedenti, che sommati danno I I 0 + I 4πi + 2πei 2e 2πi. Se rimuoviamo la restrizione che sia semplice ed orientata in senso antiorario otteniamo che per ogni giro che compie intorno a 0 in senso antiorario l integrale si incrementa di 4πi mentre per ogni giro che compie intorno a in senso antiorario l integrale si incrementa di 2πei. Quindi in generale vale la formula I 2πi 2 Ind, 0 + e Ind,, dove Ind, z 0 è l indice di rispetto al punto z 0. Esercizio 5. Si consideri la funzione fz + iz 2i + z 2. Scrivere lo sviluppo in serie di potenze di f intorno al punto z 0 0 e calcolare il suo raggio di convergenza. È possibile determinare il raggio di convergenza dello sviluppo in serie di potenze senza usare la formula del limite superiore della radice ennesima del modulo dei coefficienti? Osserviamo prima che la funzione /2i + z ammette uno sviluppo in serie dato da una serie geometrica: 2i + z 2i i 2 z i 2 n i 2 z in+ 2 n+ z n. La funzione /2i + z 2 è un multiplo della derivata di /2i + z, per cui utilizzando la formula precedente e derivando termine a termine otteniamo 2i + z 2 z 2i + z i n+ 2 n+ zz n i n+ n 2 n+ zn in n + 2 n+2 z n. 4

5 Siamo pronti ora per scrivere lo sviluppo della nostra funzione, fz + iz in n + 2 n+2 z n in n + 2 n+2 z n + in n + 2 n+2 z n n in+ n + z n+ n 2 n+2 in n 2 n+ i n 2 n+ n + n 2 z n z n 4 + n in 3n + 2 n+2 z n. È possibile calcolare il raggio di convergenza di questa serie senza ricorrere al calcolo del limite della radice ennesima del modulo dei coefficienti. Infatti il raggio di convergenza coincide con l estremo superiore dei valori del raggio r tali che la funzione risulti olomorfa su tutto il disco di centro 0 e raggio r. Nel nostro caso la funzione data è olomorfa su C \ { 2i}, in particolare è olomorfa sul disco di centro 0 e raggio r se r < 2 mentre non è olomorfa su tutto il disco se r > 2. Ne segue che il raggio di convergenza è uguale a 2. 5

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