Ottica geometrica, ottica ondulatoria e analogie con la meccanica

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1 Ottica geometrica, ottica ondulatoria e analogie con la meccanica A. Teta L Aquila, 25 gennaio 2007 Notizie storiche (I. Ekeland, Il migliore dei mondi possibili) ottica geometrica e principio di Fermat equazioni di Maxwell nei mezzi materiali il problema del limite dell ottica geometrica (Kravtsov, Orlov; Stroffolini) analogie con la meccanica

2 Notizie storiche Legge della riflessione Per andare da A a B la luce si propaga in modo da rendere minimo lo spazio percorso (passando per lo specchio) Gerone di Alessandria I sec. a.c. B A M O A'

3 Legge della rifrazione Descartes (La Dioptrique 1637) teoria corpuscolare 0) la luce si propaga in linea retta in un mezzo omogeneo 1) la velocita in aria e minore della velocita in acqua (v 1 < v 2 ) 2) la componente della velocita parallela alla superficie di separazione aria/acqua resta costante y A i aria acqua O M x r B

4 v 1 sin î = v 2 sin r, sin î = n sin ˆr, n = v 2 v 1 > 1 ovvero, come si ricava un risultato giusto da ipotesi sbagliate si scopre solo nel 1850 con Foucault

5 Fermat (1657) 0) la luce si propaga in linea retta in un mezzo omogeneo 1 ) la velocita in aria e maggiore della velocita in acqua (v 1 > v 2 ) 2 ) Per andare da A a B la luce si propaga in modo da rendere minimo il tempo impiegato la luce cerca di allungare il tragitto in aria e accorciare quello in acqua esibisce la dimostrazione solo nel Dati A(x 0, y 0 ), B(0, y 1 ), trovare M(x, 0) t.c. dt AB (x) = 0, t AB (x) = v1 1 (x x 0 ) dx 2 +y0 2 + v 2 1 x 2 +y1 2 sin î = n sin ˆr, n = v 1 > 1 v 2

6 Polemica con i cartesiani: la dimostrazione e corretta ma l ipotesi 2 ) e assurda E come se la luce verificasse il tempo richiesto per ogni possibile traiettoria e scegliesse quella per cui il tempo di percorrenza risultera alla fine minimo. il fenomeno avviene in modo da realizzare un obiettivo o causa finale (visione teleologica) qualita magica o occulta inaccettabile per i cartesiani Fermat risponde che l importante e aver trovato la legge giusta...

7 1676 Rømer misura la velocita della luce in aria 1690 Huygens formula la teoria ondulatoria 1703 Newton insiste con i corpuscoli seconda meta dell 800 si afferma la teoria ondulatoria (fenomeni di interferenza e diffrazione) 1873 teoria elettromagnetica di Maxwell 1905 si riaffacciano i corpuscoli (fotoni)...

8 Maupertuis ( ) - estensione alla meccanica: Il moto avviene in modo tale che l azione m l v risulti minima Questione di priorita : Leibniz in una lettera (1707) avanza la stessa ipotesi, senza pero svilupparla. Basta per suscitare gli strali di Voltaire... sembra che il giovane autore abbia preso solo meta dell idea di Leibniz; e di questo noi lo giustifichiamo, di non avere cioe mai avuto un idea di Leibniz tutta intera. poi lo prende pure a modello per il dottor Pangloss. Principio variazionale: un fenomeno fisico avviene in modo che un certo funzionale risulti stazionario (in generale non minimo)

9 Ottica geometrica L ottica geometrica e una teoria della propagazione luminosa fondata sull ipotesi che la luce consista di un fascio di raggi sottili, ciascuno dei quali segue una ben definita traiettoria. limiti di applicabilita della teoria Problema: determinare la traiettoria dei raggi una volta assegnato l indice di rifrazione n(x) del mezzo. Fissati due punti A e B di R 3, si considera la classe di curve γ in R 3 di punto iniziale A e punto finale B e si definisce il funzionale cammino ottico L(γ) = c dt dove c denota la velocita della luce nel vuoto. γ

10 Il cammino ottico e proporzionale, attraverso la costante c, al tempo impiegato dalla luce per andare da A a B lungo la curva γ. Sia γ : λ x(λ), λ [λ 1, λ 2 ], con x(λ 1 ) = A e x(λ 2 ) = B Inoltre dt = ds v = nds c e quindi λ2 L(γ) = dλ n(x(λ)) ( ) dxi (λ) 2 (1) λ 1 dλ Principio di Fermat: i=1,2,3 la traiettoria descritta da un raggio luminoso per andare dal punto A al punto B nel mezzo di indice di rifrazione n e quella che rende stazionario il cammino ottico (1). N.B.: se n(x) = cost. allora L(γ) si riduce alla lunghezza della curva che unisce A e B: i raggi in un mezzo omogeneo si propagano in linea retta.

11 In generale l equazione della traiettoria si puo ottenere risolvendo le equazioni di Eulero-Lagrange associate al funzionale (1) d dλ n(x(λ)) i=1,2,3 ( dxi (λ) dλ ) 2 dx k (λ) dλ = n(x(λ)) x k i=1,2,3 ( dxi (λ) dλ ) 2 Analogia con la meccanica Definiamo un nuovo parametro τ mediante la relazione λ 1 τ(λ) = dν ( ) dxi (ν) 2 λ 1 n(x(ν)) dν i=1,2,3 N.B.: per n = 1, si riduce all ascissa curvilinea

12 Posto y(τ) = x(λ(τ)) si ha dy k dτ = r n P i dxi dλ 2 dx k dλ e quindi Inoltre risulta dτ 2 y k(τ) = 1 n 2 (y(τ)), k = 1, 2, 3 (2) 2 y k d i=1,2,3 ( dyi (τ) dτ ) n2 (y(τ)) = 0 (3) L equazione (2) ha evidentemente la forma dell equazione di Newton per un punto materiale di massa m = 1 e soggetto a una forza di energia potenziale U(y) = 1 2 n2 (y). Inoltre la condizione (3) esprime il fatto che l energia del punto materiale deve essere nulla.

13 N.B.: usando la forma (2) dell equazione del raggio e facile ricavare la legge della rifrazione Riassumendo Si consideri la traiettoria del raggio luminoso τ y(τ) nel mezzo di indice di rifrazione n(y) e si identifichi il parametro τ con il tempo allora tale traiettoria coincide con quella di un punto materiale di massa m = 1, soggetto a una forza di energia potenziale U(y) = 1 2 n2 (y) e condizioni iniziali di energia nulla. N.B.: l analogia formale non puo essere spinta fino a identificare la propagazione del raggio con il moto del punto materiale. Infatti dalla (3) si vede che al crescere di n(y) deve crescere anche la velocita del punto materiale, contrariamente alla evidenza sperimentale. (e la difficolta del modello corpuscolare di Descartes e Newton)

14 Ottica ondulatoria L ottica ondulatoria e una teoria della propagazione luminosa fondata sull ipotesi che la luce consista di onde elettromagnetiche, con una specifica frequenza o lunghezza d onda Le onde e.m. sono descritte da campi E(x, t), H(x, t) che soddisfano le equazioni di Maxwell. limiti di applicabilita della teoria Problema: trovare le soluzioni E, H delle eq. di Maxwell una volta assegnate le condizioni iniziali e le proprieta del mezzo (indice di rifrazione)

15 Equazioni di Maxwell nei mezzi materiali e in assenza di sorgenti div D = 0 rot H = 1 c D t div B = 0 rot E = 1 c B t dove D = E + 4πP(E) B = H + 4πM(H) Le funzioni P(E), M(H) descrivono la risposta del mezzo (relazioni costitutive) e si considerano assegnate.

16 Caso particolare D(x, t) = E(x, t) + 4π + dt χ e (x, t t )E(x, t ) B(x, t) = H(x, t) + 4πχ m H(x, t) = µh(x, t) dove χ e (x, t) = 0 per t < 0 e χ e (x, t) 0 per t 0, µ > 0. La risposta in x al tempo t dipende dal valore del campo E in x per tutti i tempi t t. Soluzione Uso prima rot E = 1 c B t rot rot E = 1 c e poi rot H = 1 c t rot B = µ c = µ c 2 2 t 2 (E + 4πχ e E) D t : t rot H = µ 2 D c 2 t 2

17 Siccome rot rot E = (div E) E, si ha E µ 2 c 2 t 2 (E + 4πχ e E) (div E) = 0 Complicata equazione vettoriale e integro-differenziale. Equivalentemente per Ẽ(x, ω) si ha dove Ẽ + ω2 c 2 n2 (x, ω)ẽ (div Ẽ) = 0 n 2 (x, ω) µ ε(x, ω) µ(1 + 4π χ e (x, ω)) e l indice di rifrazione, dipendente dalla frequenza

18 Approssimazioni - ottica scalare 0 = div D = div ( εẽ) = ε Ẽ + εdiv Ẽ εdiv Ẽ quindi div Ẽ,div E 0. - mezzo non dispersivo: n 2 = n 2 (x) Allora E i n2 (x) c 2 2 E i t 2 = 0

19 Il problema del limite dell ottica geometrica L ottica ondulatoria si e affermata perche capace di descrivere fenomeni (interferenza, diffrazione) non descrivibili con l ottica geometrica. D altra parte una nuova teoria si presenta sempre come una teoria piu generale della vecchia teoria (altrimenti e solo una ipotesi ad hoc ). Quindi l ottica ondulatoria deve essere capace di descrivere anche i fenomeni (riflessione, rifrazione) gia descrivibili con l ottica geometrica. Problema: in che senso l ottica ondulatoria riproduce le leggi delll ottica geometrica.

20 E necessario anzitutto tradurre (approssimativamente) i termini teorici della nuova teoria (onde) nel linguaggio proprio della vecchia teoria (raggi). Per es., la traiettoria di un pacchetto d onda molto concentrato in posizione e frequenza puo rappresentare un raggio. Poi bisogna dimostrare che effettivamente, sotto opportune condizioni, la traiettoria del pacchetto e con buona approssimazione quella di un raggio luminoso, come descritta dal principio di Fermat. Le opportune condizioni sono: lunghezza d onda piccola rispetto alla scala di variazione tipica dell indice di rifrazione. λ L dove L e definita da n 2 (x + L) n 2 (x) n 2 (x) Equivalentemente: frequenza ν = v f λ grandi. o numero d onda k = 2π λ

21 Caso semplice n = 1, quindi u 1 c 2 2 u t 2 = 0 Dato iniziale f (x) e ik 1 ˆξ x, con ˆξ versore fissato. Allora u(x, t) f (x c ˆξ t)e ik 1(ˆξ x ct) per k 1 Fase dell onda frequenza ν = ck 1 2π, fase rapidamente oscillante. il luogo dei punti corrispondente alla fase costante C e il piano di equazione k 1 ˆξ x k1 c t = C (onda piana). la velocita di fase e la velocita con cui i punti del piano si spostano in direzione normale al piano e vale v f = c; quindi λ = v f ν = 2π k 1 e k = 2π λ = k 1

22 Ampiezza dell onda Se l ampiezza iniziale f (x) e sensibilmente diversa da zero solo per x x 0 allora l ampiezza al tempo t sara diversa da zero solo per x x 0 + c ˆξ t. Pacchetto che si propaga lungo una traiettoria rettilinea con velocita costante v g = c ˆξ, ortogonale ai piani di fase costante. Il vettore v g si dice velocita di gruppo e il suo modulo coincide, in questo caso, con la velocita di fase. Conclusione La soluzione approssimata e un pacchetto d onda che si propaga seguendo una traiettoria rettilinea con velocita di gruppo c. In questo senso si puo dire che essa descrive un fascio di raggi luminosi che si propagano nel vuoto.

23 Caso n = n(x), quindi u n2 (x) 2 u = 0 (Kravtsov, Orlov) c 2 t 2 Per analogia si cercano soluzioni approssimate nella forma u(x, t) A o (x, t)e ik 1S o(x,t), S o (x, t) = W o (x) c t per k 1. Sostituendo nell equazione A o ( Wo 2 n 2 (x) ) i + 1 ( k1 2 A o + n2 (x) c 2 k 1 2 A o t 2 ( 2 A o W o + A o W o + 2 n2 (x) c ) = 0 separando parte reale e parte immaginaria e trascurando il termine proporzionale a k1 2, si ottiene ) A o t

24 W o 2 = n 2 (x) (4) 2 W o A o + A o W o + 2 n2 (x) A o c t = 0 (5) Risolvendo (4) e (5), si ha dunque la soluzione approssimata dell equazione nel limite k 1. Equazione per la fase (iconale) Si cerca un cosiddetto integrale completo, cioe una soluzione W o (x; α 1, α 2 ) che dipende dai due parametri reali α 1, α 2 in modo che la matrice 2 W o x j α k, j = 1, 2, 3, k = 1, 2 abbia rango due.

25 Fissato poi un punto x, si considera la superficie passante per x W o (x; α 1, α 2 ) = C, C = Wo ( x; α 1, α 2 ) Si definisce quindi il versore normale alla superficie in x û = W o( x; α 1, α 2 ) n( x) Si esplicitano i parametri α 1,α 2 in funzione di û (e di x). Si trova cosi la funzione W o (x; x, û), cioe la soluzione caratterizzata dal fatto che la superficie W o (x; x, û) = C passa per il punto x e la sua normale in x e û. Si considera poi la famiglia di superfici al variare della costante C W o (x; x, û) = C

26 Si definisce la traiettoria τ y(τ) ortogonale a tale famiglia e passante per x; tale traiettoria e la soluzione di dy(τ) dτ = W o (y(τ); x, û), y(0) = x (6) Derivando ulteriormente la (6) si ha d 2 dτ 2 y i(τ) = d dτ W o (y(τ)) = x i j 2 W o x j x i (y(τ)) W o 2 W o (y(τ)) dy j(τ) x j x i dτ ( ) 2 Wo (y(τ)) x i x j = (y(τ)) = 1 x j 2 j j = 1 n 2 (y(τ)) (7) 2 x i La (7) e proprio l equazione della traiettoria del raggio luminoso con condizioni iniziali y(0) = x, dy dτ (0) = n( x)û.

27 Conclusione: le traiettorie ortogonali alla famiglia di superfici W o = C coincidono con le traiettorie dei raggi luminosi definite in ottica geometrica attraverso il principio di Fermat. La velocita di fase e la velocita con cui i punti della superficie W o (x) ct = C si spostano in direzione normale e vale v f = c n(x) Resta ora da verificare che l ampiezza, o meglio l intensita, dell onda si propaga effettivamente lungo le traiettorie ortogonali alla famiglia di superfici.

28 Equazione per l intensita I = E D = εe 2 = n2 µ A2 o Dall equazione per A o si trova l equazione di trasporto div (Iv g ) + I t = 0, v g = c n 2 W o I (x, t) si propaga lungo le soluzioni di ẋ = v g le soluzioni di ẋ = v g coincidono con le traiettorie ortogonali alla famiglia W o = C Conclusione La soluzione approssimata e un pacchetto d onda che si propaga come un raggio luminoso. In questo senso l ottica ondulatoria riproduce le leggi dell ottica geometrica.

29 Nuova forma dell analogia con la meccanica ẋ i = H p i, ṗ i = H x i, H(x, p) = p2 2m + V (x) Metodo di Hamilton-Jacobi: si trova W (x, α) soluzione di W 2 + V (x) = E, con 2m 2 W x i α j 0, α 1 E si pone p i = W x i, β i = W α i, x = x(β, α), p = p(β, α) quindi nelle nuove coordinate H (β, α) = α 1 β 1 = 1, e α 1, α 2, α 3, β 2, β 3 sono costanti

30 L equazione di Hamilton-Jacobi si puo riscrivere W 2 = 2m(E V (x)) formalmente identica all iconale, con ˆn(x, E) = 2m(E V (x)). p = W la traiettoria della particella coincide con quella di un raggio luminoso in un mezzo di indice di rifrazione ˆn(x, E) N.B.: Si puo anche definire una velocita di fase della particella: velocita dei punti della superficie W (x) Et = C lungo la normale. Si trova ˆv f = E W = E mv inversamente proporzionale alla effettiva velocita della particella.

31 Importanza dell analogia Bernoulli (1696) Problema della brachistocrona Hamilton (1828) Theory of systems of rays Schrödinger (1926) Meccanica ondulatoria