Approfondimento Altri tipi di test di significatività del coefficiente di correlazione di Pearson

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Ernesto Milani
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1 Appofondmento Alt tp d test d sgnfcatvtà del coeffcente d coelazone d Peason Una delle cause pncpal della cattva ntepetazone del test d sgnfcatvtà d è che s fonda su un potes nulla pe cu ρ 0. In ealtà è possble ealzzae un test d potes anche supponendo n potes nulla un valoe d coeffcente d coelazone nella popolazone dveso da zeo. Pe esempo, supponamo d ave ossevato, come nell'esempo del manuale, che n un campone d talan la coelazone fa età e punteggo d Coscenzostà sa,77 e che lo scopo della nosta ceca non sa tanto vefcae che l coeffcente d coelazone sa dveso da zeo, quanto che sa dveso dal valoe ottenuto n uno studo analogo negl Stat Unt, dove l coeffcente d coelazone fa età e Coscenzostà ea sultato,68. Obettvo: vefcae se esste la elazone fa età e l punteggo alla scala Coscenzostà del BFI nel campone talano è pù fote che nel campone statuntense Vaabl Vaable : Età (ann, a appot Vaable : Punteggo alla scala Coscenzostà del BFI (ntevall H 0 : ρ,68 nella popolazone talana la elazone fa età e l punteggo alla scala Coscenzostà del BFI è uguale a quella della popolazone statuntense H : ρ >,68 nella popolazone talana la elazone fa età e l punteggo alla scala Coscenzostà del BFI è pù fote d quella della popolazone statuntense Pe vefcae le potes occoe tasfomae l coeffcente d coelazone talano e quello statuntense n medante la tasfomazone d Fshe : +,77 ln + + +,68 ITA ln,0, ln 0, 8 USA ln,77,68 A questo punto basta applcae la fomula: z Campone Popolazone dove n è l numeo d soggett. Questo valoe è dstbuto come z, pe cu pe un lvello d sgnfcatvtà α,05 e potes altenatva monodezonale, l valoe d z ctco è,65. La egola d decsone saà: se z calcolato > z ctco è toppo mpobable che dat ossevat sano l sultato del fatto che H 0 è vea, pe cu la futamo due coeffcent d coelazone sono dves fa d loo se t calcolato < t ctco non è così mpobable che dat ossevat sano l sultato del fatto che H 0 è vea, pe cu la accettamo due coeffcent d coelazone sono dves fa d loo Indvduamo l valoe d z calcolato: Calo Cho, Fondament d pscometa Copyght 00 The McGaw-Hll Companes S..l., Publshng Goup Itala

Pe esempo, supponamo d ave ossevato, come nell'esempo del manuale, che n un campone d talan la coelazone fa età e punteggo d Coscenzostà sa,77 e che lo scopo della nosta ceca non sa tanto vefcae che

2 z ITA USA,0 0,8 0,5 0 Conclusone: poché z calcolato < z ctco (0,5 <,65, non è così mpobable che quanto ossevato sa l sultato d un potes nulla vea, pe cu la accettamo. Quest sultat suggescono che molto pobablmente non esste una dffeenza d foza dell assocazone fa età e punteggo alla scala Coscenzostà fa talan e statuntens. Il test può essee genealzzato al confonto d due o pù coeffcent d coelazone campona. Nel caso del confonto fa due coeffcent d coelazone le potes sono: H 0 : (ρ ρ 0 la dffeenza fa l coeffcente d coelazone fa le vaabl n goco nella popolazone e quello nella popolazone è uguale a zeo H : (ρ ρ 0 la dffeenza fa l coeffcente d coelazone fa le vaabl n goco nella popolazone e quello nella popolazone è dvesa da zeo Dopo ave ealzzato la tasfomazone su entamb, basta applcae la fomula: z + e pocedee come appena vsto. Nel caso d te o pù coeffcent d coelazone campona, le potes sono: H 0 : ρ ρ ρ [ ] ρk a lvello d popolazone, coeffcent d coelazone fa le vaabl n goco sono tutt ugual H : almeno due ρ dves a lvello d popolazone, coeffcent d coelazone fa le vaabl n goco non sono tutt ugual S utlzza un test statstco che fa femento alla dstbuzone χ, con gad d lbetà ugual al numeo d campon meno. Σ( n ( Σ( n Σ( Supponendo d avee te campon n cu,54, n 0,,65, n 8, e,45, n 8, s avà che,60,,78,,48, pe cu: Σ( n ( Σ( n Σ( [ ] [(0,60 + (8,78 + (8,48] (0,60 + (8,78 + (8,48 (0 + (8 + (8 0,84 Poché pe un lvello d sgnfcatvtà α,05 e gad d lbetà l ch-quadato ctco è 5,99 non possamo futae l potes nulla che nelle popolazon da cu sono stat estatt campon coeffcent d coelazone sano ugual. Nel caso l test fosse sultato sgnfcatvo e s fosse voluto Calo Cho, Fondament d pscometa Copyght 00 The McGaw-Hll Companes S..l., Publshng Goup Itala

Il test può essee genealzzato al confonto d due o pù coeffcent d coelazone campona.

3 pocedee co test post-hoc, avemmo dovuto applcae la coezone pe confont multpl al lvello d sgnfcatvtà e utlzzae la fomula z + + Ad ogn modo, quando s confontano due o pù coeffcent d coelazone vale la pena fes sempe alla dmensone dell effetto, che n questo caso d chama q e sfutta sempe la tasfomazone : q Il valoe d q vene ntepetato n base alle lnee guda d Cohen (988 potate n Tabella Tabella 7.4. Intepetazone della dmensone dell effetto q pe la dffeenza fa due coeffcent d coelazone ndpendent Valoe d q Dmensone dell effetto q < 0,0 Tascuable 0,0 < q < 0,0 Pccola 0,0 < q < 0,50 Modeata q > 0,50 Gande Pe l confonto fa coeffcent d coelazone dpendent la pocedua d calcolo è leggemente pù complessa ma è ben llustata n Meng, Rosenthal e Rubn (99. Supponamo che 0 soggett vengano sottopost ad un espemento sulla leadeshp n cu vengono pes a loo nsaputa e che sa stato possble msuae la loo popensone alla leadeshp con un test pscologco (Y. A ossevato ndpendent e gna del punteggo al test d popensone alla leadeshp vene chesto d valutae l gado d casma ( e quello d coopeatvtà ( de soggett. La coelazone fa popensone alla leadeshp e casma ( Y è sultata,54 e quella fa popensone alla leadeshp e coopeatvtà ( Y è sultata,0, mente quella fa casma e coopeatvtà ( è,. Data la bassa ampezza camponaa, voglamo sapee se la dffeenza fa la coelazone Y e Y è statstcamente dvesa da zeo. Le potes sono: H 0 : (ρ ρ 0 a lvello d popolazone, la dffeenza fa l coeffcente d coelazone l coeffcente d coelazone è uguale a zeo H : (ρ ρ 0 a lvello d popolazone, la dffeenza fa l coeffcente d coelazone l coeffcente d coelazone è dvesa da zeo In pmo luogo dobbamo tasfomae Y e Y n z: +,54 ln + + +,0 Y ln 0,60, ln 0, Y ln,54,0 A questo punto applchamo la fomula: ( z Y z Y ( h dove n è l numeo d soggett e h è uguale a: Calo Cho, Fondament d pscometa Copyght 00 The McGaw-Hll Companes S..l., Publshng Goup Itala

4 f h, dove f e ( Y + Y Nel caso che stamo consdeando abbamo che: +,54 +,0 Y Y,,9, f, 54 ( (,9 f h,54,9,,9 e Il valoe d z calcolato saà qund: ( z z ( (0,60 0, 0 (,, Y Y h 0,56 Il valoe d z ctco pe α,05 e potes altenatva bdezonale è,96, pe cu: Conclusone: poché z calcolato < z ctco (0,56 <,96, non è così mpobable che quanto ossevato sa l sultato d un potes nulla vea, pe cu la accettamo. Quest sultat suggescono che molto pobablmente non esste una dffeenza fa la coelazone della popensone alla leadeshp con l casma e la coelazone della popensone alla leadeshp con la coopeatvtà. Se nel caso pecedente avessmo avuto una teza ulteoe vaable con cu coelae la popensone alla leadeshp, ponamo una valutazone d comuncatvtà ( Y,69 z Y 0,85;,4 e,,avemmo dovuto pocedue n modo dveso pe vefcae le seguent potes: H 0 : ρ ρ ρ [ ] ρk a lvello d popolazone, la popensone alla leadeshp coela allo stesso modo con casma, coopeatvtà e comuncatvtà H : almeno due ρ dves a lvello d popolazone, la popensone alla leadeshp non coela allo stesso modo con casma, coopeatvtà e comuncatvtà La fomula da utlzzae n questo caso è: ( ( z ( k ( dove z Y è la meda degl z Y e Me è la medana delle coelazon fa le. Calcolamo temn necessa: Y Me z h Y z Y z Y + z Y + z Y 0,60 + 0, + 0,85 0,59 Le coelazon fa le sono:,, :,4 e :,: la medana d questa dstbuzone è,4 Me. Calo Cho, Fondament d pscometa Copyght 00 The McGaw-Hll Companes S..l., Publshng Goup Itala

Quest sultat suggescono che molto pobablmente non esste una dffeenza fa la coelazone della popensone alla leadeshp con l casma e la coelazone della popensone alla leadeshp con la coopeatvtà.

5 Y + Y + Y,54 +,0 +,69 Me,4,9, f, 54 ( (,9 f h,54,9,9,9 e Calcolamo l : (0 ( Pe α,05 e gad d lbetà l χ ctco è 5,99. [(0,60 0,59 + (0, 0,59 + (0,85 0,59 ], (,4,9 Conclusone: poché calcolato < χ ctco (, < 5,99, non è così mpobable che quanto ossevato sa l sultato d un potes nulla vea, pe cu la accettamo. Quest sultat suggescono che molto pobablmente non esste una dffeenza fa le coelazon della popensone alla leadeshp con l casma, la coopeatvtà e la comuncatvtà. Se la dffeenza fosse sultata sgnfcatva e avessmo voluto ealzzae de test post-hoc avemmo potuto utlzzae le fomula: c z Y ( c ( Me h dove c è, come nel caso de post-hoc pe l'anova, l coeffcente assocato a cascun coeffcente d coelazone. Meng e collaboato (99 suggescono che quando s hanno molt coeffcent da confontae e alcun c sono ugual a zeo, test statstc sultano pù accuat se, nvece de valo global d Me e h s utlzzano quell local elatv alle coelazon con c 0. Altenatvamente s può utlzzae la fomula: cz ( k dove cz è la coelazone fa coeffcent c e cospondent z. Supponamo che nel caso pecedente avessmo voluto confontae la coelazone della popensone alla leadeshp con la comuncatvtà conto le alte due. La pma coelazone avebbe cevuto coeffcente, le alte due. Le potes saebbeo state: H 0 : ρ Y (ρ Y + ρ Y a lvello d popolazone, la coelazone della popensone alla leadeshp con la comuncatvtà è uguale all'nseme delle coelazon della popensone alla leadeshp con casma e coopeatvtà H : ρ Y (ρ Y + ρ Y a lvello d popolazone, la coelazone della popensone alla leadeshp con la comuncatvtà è dvesa dall'nseme delle coelazon della popensone alla leadeshp con casma e coopeatvtà Pe α,05 e potes altenatva bdezonale lo z ctco è,96. Il sultato saebbe stato: Calo Cho, Fondament d pscometa Copyght 00 The McGaw-Hll Companes S..l., Publshng Goup Itala

Quest sultat suggescono che molto pobablmente non esste una dffeenza fa le coelazon della popensone alla leadeshp con l casma, la coopeatvtà e la comuncatvtà.

6 0 + ( (,4,9 [ 0,85 + ( 0,60 + ( 0, ] [ ] 0, 90 ( ( + ( Conclusone: poché z calcolato < z ctco (0,90 <,96, non è così mpobable che quanto ossevato sa l sultato d un potes nulla vea, pe cu la accettamo. Quest sultat suggescono che molto pobablmente non esste una dffeenza fa la coelazone della popensone alla leadeshp con la comuncatvtà e l'nseme delle coelazon della popensone alla leadeshp con l casma e la coopeatvtà. Calo Cho, Fondament d pscometa Copyght 00 The McGaw-Hll Companes S..l., Publshng Goup Itala

Quest sultat suggescono che molto pobablmente non esste una dffeenza fa la coelazone della popensone alla leadeshp con la

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