LA LEGGE DI BATH E LA DISTRIBUZIONE DI GUTENBERG-RICHTER

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1 GGTS Atti l Convgno azional /.8 R. Consol,. urru A.. Lombari Istituto azional i Gofisia Vulanologia, Roma LA LEGGE I BATH E LA ISTRIBUZIOE I GUTEBERG-RICHTER Riassunto. Assumno h l magnituo i tutti gli vnti i un atalogo siano variabili alatori inipnnti intiamnt istribuit, in aoro on la lgg i Gutnbrg-Rihtr, proponiamo una rivisitazion lla ositta lgg i Bath. Qusta è una rlazion statistia h riguara la iffrnza tra la magnituo l mainshok qulla ll aftrshok più gran in una squnza. Il mollo laborato mostra una sostanzial ipnnza i all u sogli i magnituo slt pr slzionar rispttivamnt i mainshok gli aftrshok, almno parzialmnt, giustifia i valori mi i riportati in prnti lavori. L analisi i trrmoti suprfiiali lla uova Zlana l atalogo monial l EIC vinzia un buon aoro tra i valori attsi i, prtti al mollo, l mi ampionari ossrvat. Un analisi più ttagliata, prò, mostra h il mollo non spiga intramnt l ossrvazioni. Quini la lgg i Gutnbrg-Rihtr la lgg i Bath non possono ssr ompltamnt rioniliat, anh s l inongrunz non sono osì forti om in passato si ra pnsato fossro. BATH S LAW A THE GUTEBERG-RICHTER RELATIO Abstrat. W rvisit th issu of th so all Bath s law onrning th iffrn btwn th magnitu of th mainshok an th son largst shok in th sam squn. A mathmatial formulation of th problm is vlop with th only assumption bing that all th vnts blong to th sam slf-similar st of arthquaks following th Gutnbrg-Rihtr magnitu istribution. This mol shows a substantial pnn of on th magnitu thrshols hosn for th mainshoks an th aftrshoks, an in this way it is possibl to xplain, at last partly, th larg valus rport in th past. Analysis of th w Zalan an PE atalogs of shallow arthquaks monstrats a rough agrmnt btwn th avrag valus prit by th thortial mol an thos obsrv. Limiting our attntion to th avrag valus, Bath s law osn t sm to strongly ontrait th Gutnbrg-Rihtr law. vrthlss, a tail analysis of th obsrv istribution shows that th Gutnbrg-Rihtr hypothsis with a onstant b-valu osn t fully xplain th xprimntal obsrvations. Th thortial istribution has a largr proportion of low valus an a smallr proportion of high valus than th xprimntal obsrvations. Thus Bath s law an th Gutnbrg-Rihtr law annot b ompltly ronil, although bas on this analysis th mismath is not as grat as has somtims bn suppos. ITROUZIOE La rlazion tra la magnituo l mainshok i una squnza qulla l suo più gran aftrshok è stata, in passato, oggtto i numrosi stui statistii, ma anora oggi è oggtto i ibattito. Il primo risultato rlativo a tal argomnto fu antiipato a Rihtr 958 poi prsntato più ttagliatamnt a Bath 965, il qual mostrò h la mia ampionaria lla iffrnza tra è un valor viino a.. onostant il arattr mpirio i tal rlazion, lo stsso Bath n sgnalò alun zioni, ssa bb larga o nlla omunità sintifia h l attribuì il nom i lgg i Bath. Risultati ompatibili on il lavoro i Bath furono ottnuti, ngli stssi anni, a Utsu 957, 96 miant l analisi l atalogo giappons, sussivamnt Utsu, 969, a lui intrprtati om una prova vint l fatto h i mainshok i rlativi aftrshok non possono ssr onsirati mmbri llo stsso ampion i

2 GGTS Atti l Convgno azional /.8 variabili alatori istribuit sono la lgg i Gutnbrg-Rihtr istribuzion sponnzial. Infatti, ra stato imostrato Fllr, 966 h la iffrnza tra i u mmbri più grani i un ampion i vnti inipnnti sponnzialmnt istribuiti ra anora una variabil alatoria sponnzial on lo stsso paramtro lla istribuzion l ampion. Consirano h il b-valu è ira, il valor attso i ra, i onsgunza, all inira.5, quini, i valori ossrvati i rano troppo alti pr giustifiar l ipotsi i valiità lla lgg i Gutnbrg-Rihtr on un b ostant pr tutti gli vnti. Valori i simili a qulli ottnuti ai suitati autori furono in sguito riportati in altri stui Papazahos, 974; Puraru, 974; Tsapanos, 99 giustifiati on argomntazioni simili a qull aott a Utsu. Una iffrnt intrprtazion fu, inv, ata a Vr-Jons 969, 975: l isrpanz tra i valori ossrvati i qulli prtti all ipotsi h fossro il più gran il sono più gran mmbro i un ampion alatorio sponnzial furono a lui attribuit alla iffrnza ll sogli utilizzat pr la slzion i mainshok gli aftrshok non all ivrs onizioni fisih i oorrnza ll vnto prinipal ll su rplih. In qusto artiolo, sviluppano l impostazion ata a Vr-Jons, mostriamo om la istribuzion i ipn all u sogli slt pr slzionar i ampioni al numro i vnti nlla squnza: partiolari ombinazioni i tali variabili possono gnrar valori i simili a qulli ossrvati ni ati rali. OELLO Supponiamo h l magnituo i un insim i vnti sismii, ossrvati in una ata rgion in un rto intrvallo i tmpo, sguano la lgg i Gutnbrg-Rihtr, ioè: log [ ] = a b ov è il numro i vnti on magnituo maggior o ugual a. L quazion è quivalnt all ipotsi h l sutt magnituo siano variabili alatori inipnnti intiamnt istribuit, on funzion i nsità m f m = m ov è la soglia i ompltzza l atalogo = b ln. É noto h Fllr,966; Caslla-Brgr, 99, at variabili alatori inipnnti intiamnt istribuit on funzion i nsità istribuzion sponnzial, l orrisponnti statistih orinat L non sono inipnnti h i ha funzion i nsità f i! m m i m i = 3 i! i! i=,,-.

3 GGTS Atti l Convgno azional /.8 Inoltr, s è, la variabil alatoria = ha una istribuzion sponnzial on paramtro, inipnntmnt a, quini, s inihiamo on ] il valor attso i, si ha [ E [ ] = E 4 Siano ora ll ostanti maggiori o uguali a supponiamo i slzionar i ampioni in moo tal h risulti. 5. Allora la funzion i nsità i onizionata all vnto 5 è: { } > = f s s 6 La rlativa mia onizionata è: { } [ ] + = = k k k E 7 all quazion 7 è vint h ssa ipn a, a alla iffrnza ll u sogli. La Fig. mostra i grafii ll funzioni i nsità i pr ivrsi valori i i pr b =. Si può ossrvar h s è = Fig. a non è nssun onizionamnto, quini, è una variabil sponnzial, inipnntmnt al valor i. S, inv, è onvrg in istribuzion a una variabil alatoria sponnzial pr Figg. b. > +

4 GGTS Atti l Convgno azional /.8.5 f { /{ }}.5.5 a = f { /{ }}.5 = = b f { /{ }}.5 = = = = Fig. - Funzion i nsità toria i pr b=, pr tr iffrnti valori i : a = la funzion non ipn a ; b = ; =. La Fig., inv, onfronta i valori attsi i, al variar i, on i valori ottnuti alolano la mia ampionaria i simulazioni, pr =,, pr b =.

5 GGTS Atti l Convgno azional /.8.7 xpt onitional valu arithmti avrag of th simulations.6 E[ /{ }] a xpt onitional valu arithmti avrag of simulations E[ /{ }] b xpt onitional valu arithmti avrag of simulations E[ /{ }] Fig. - Valor attso i in funzion lla numrosità l ampion lina a punti onfrontato on la mia ampionaria i valori simulati pr b= rott: a = ; b = ; =. ATI E RISULTATI Pr giuiar la ompatibilità tra la lgg i Gutnbrg-Rihtr la lgg i Bath, abbiamo analizzato u ataloghi: uno rgional l altro monial. Il primo, ompilato all Ossrvatorio Sismologio i Wllington, ontin i trrmoti suprfiiali h 33 km i magnituo maggior o ugual a 4., avvnuti al gnnaio 96 al 3 sttmbr 999, nll ara omprsa tra i mriiani 65º- 8ºE i parallli 36º-48ºS. Il atalogo ha 78 vnti il b-valu, stimato on il mtoo lla massima vrosimiglianza Utsu, 965; 967, è. ±. la viazion stanar è stata stimata on il mtoo proposto a Shi an Bolt,98.

6 GGTS Atti l Convgno azional / log [] b =. ±. 78 vnti log [].5 b =.4 ± vnti a b Fig. 3 - Lgg i Gutnbrg-Rihtr: a atalogo lla uova Zlana; b Catalogo monial l EIC. Il sono atalogo saminato è il PE Prliminary trmination of Epintrs ompilato al EIC ational Earthquak Information Srvi ontnnt tutti gli vnti suprfiiali h 5 km aauti nl mono tra il gnnaio 973 il 9 gnnaio, on magnituo maggior o ugual a 5.. Gli vnti slzionati sono 9343 il b-valu, stimato on il mtoo prima itato, è.4 ±.6. L istribuzioni frqunza-magnituo gli vnti sismii pr i u ataloghi saminati sono riportati in Fig. 3. L algoritmo utilizzato pr iniviuar i lustr finis gli aftrshok om gli vnti i magnituo suprior a una rta soglia = h sono pruti a un vnto i magnituo ugual o maggior, oorso in una rta finstra spazio tmporal. I mainshok sono, inv, vnti h non sono aftrshok h hanno una magnituo suprior o ugual a una rta soglia h sono sguiti a almno un aftrshok, nlla finstra spazio-tmporal prima mnzionata. L imnsioni lla finstra ipnono a sono riavat on la formula usata nll algoritmo i Rasnbrg 985, pr la part spazial, qulla proposta a Kagan 996, pr la part tmporal. L analisi i ati è stata fatta usano ivrsi valori i 4., pr la uova Zlana 5., pr il PE; il numro i lustr slzionati sono mostrati in Tab.. Tab. - Risultati rlativi a, ottnuti all analisi i ataloghi lla uova Zlana PE. uova Zlana 78 vnti PE 9343 vnti = = = = = = umro i lustr iniviuati umro i vnti lustrizzati ia ampionaria i Valor attso i viazion stanar stimata Error quaratio mio stimato

7 GGTS Atti l Convgno azional /.8 Pr riavar un sprssion lla funzion i nsità i abbiamo usato la sgunt formula h non ipna a f { } = f { } p + = 8 ov { } è ata all quazion 6 è il rapporto tra il numro i lustr i numrosità ossrvati il numro total i lustr. L Figg. 4 5 mostrano, rispttivamnt pr la uova Zlana pr il atalogo PE, un onfronto tra la funzion i nsità i prvista al mollo l istogramma f i valori ossrvati pr i tr valori lla soglia. p a b Fig. 4 - Istogramma i valori i istribuzion toria: a, rlativi al atalogo lla uova Zlana, onfrontato on la = ; b = ; =. I grafii ll figur sono stati traiati opo avr usato un opportuno fattor i normalizzazion, in moo tal h gli intgrali i tali urv fossro uguali a qulli gli istogrammi. Tnno onto l numro i ati isponibili pr il atalogo lla uova Zlana i sono solo lustr on 6., è un sostanzial aoro tra gli istogrammi la istribuzion prvista al mollo. Pr ottnr i valori attsi i, inipnntmnt al valor i, è stata usata la sgunt formula, ottnuta alla funzion i nsità ll Eq. 8: E[ ] = + E = [ { }] p. 9 I valori ottnuti sono mostrati in Tab. vinziano un sostanzial aoro on l mi ampionari ossrvat.

8 GGTS Atti l Convgno azional / a b Fig. 5 - Istogramma i valori i a = ; b = ; =., rlativi al atalogo PE, onfrontato on la istribuzion toria: onostant l Figg. 4 5 siano una prova i un aoro qualitativo tra la istribuzion toria qulla ossrvata, i sono, prò, anh ll inongrunz. In partiolar l Figg. 5a 5b mostrano una mananza i ati pr i valori infriori a.6 un numro ssivo i ossrvazioni pr i valori supriori a.. ISCUSSIOE Alla lu lla trattazion toria, sviluppata ni prnti paragrafi, è vint h i risultati prsntati in passato sulla istribuzion i possono ssr attribuiti non solo ai valori l b, ma anh alla numrosità i lustr alla slzion i ati. In partiolar ssi rivano alla iffrnza ll sogli in gnr ugual a usat pr iniviuar i mainshok gli aftrshok. Inoltr l intifiazion i mainshok attravrso una soggttiva ispzion l atalogo, om pnsiamo sia stato fatto in molti prnti lavori, non attravrso un algoritmo oggttivo privo i assunzioni arbitrari, om qullo usato in qusto stuio, potrbb, a nostro avviso, avr influnzato ultriormnt la istribuzion mpiria i. L aoro qualitativo tra il mollo torio i ati ossrvati, mostrato nll Figg. 4 5, può ssr ultriormnt valutato, in trmini più rigorosi, attravrso un tst statistio. Pr stimar la bontà l sutto aoro, abbiamo simulato ampioni alatori, h riproussro la istribuzion i attsa al mollo, pr ogni valor i onsirato. Pr far iò abbiamo ipotizzato h il numro i ati, pr ogni intrvallo i ampizza., foss una variabil alatoria poissoniana on valor mio ugual a qullo prvisto al mollo torio onsirato. Confrontano l vrosimiglianz i ampioni simulati on qulla ottnuta ai ati rali abbiamo, quini, stimato la probabilità i oorrnza i qusti abbiamo osì quantifiato la ompatibilità tra la istribuzion ral il mollo.

9 GGTS Atti l Convgno azional /.8 Tab. - Probabilità i oorrnza i valori i ossrvati. uova Zlana PE <. <..9 < Com mostrato in Tab., tali probabilità portano a rifiutar il mollo pr = pr la uova Zlana pr = = pr il atalogo PE. Una spigazion i qusti risultati potrbb ssr la non prftta lgittimità ll ipotsi i valiità lla lgg i Gutnbrg-Rihtr pr l intro atalogo, vint soprattutto pr il atalogo monial Fig. 3. Pr vrifiar s l isrpanz ossrvat tra il mollo i risultati ottnuti on i u ataloghi non ipnssro all avr onsirato un unio valor l b-valu alolato a tutti i ati l atalogo, si è stimato il b utilizzano solamnt l magnituo gli vnti lustrizzati. In qusto moo si sono ottnuti valori infriori i oltr. risptto a qulli stimati on tutti gli vnti i ataloghi analizzati: rialolano i valori attsi i on qusti nuovi valori l b si ha una maggior similarità on i valori ossrvati, risptto ai ati riportati in Tab.. aggiori ttagli sono isussi a Consol t al.. COCLUSIOI Con l intnto i vrifiar s la rlazion nominata onvnzionalmnt lgg i Bath foss una irtta onsgunza lla Gutnbrg-Rihtr si è approfonita l analisi a suo tmpo onotta a Vr-Jons 969; 975. Lo stuio si è basato sulla formulazion matmatia rigorosa lla istribuzion i, ipotizzano soltanto h valss la lgg i Gutnbrg-Rihtr on un b-valu ostant pr tutto il atalogo; tal ipotsi è stata isussa a Consol urru. Attravrso l analisi l atalogo lla uova Zlana i un atalogo monial abbiamo mostrato h tal ipotsi può sostanzialmnt giustifiar i valori mi ossrvati i, soprattutto s vngono onsirati i b-valu i singoli lustr. Un analisi più approfonita mostra, prò, h la lgg i Gutnbrg-Rihtr non spiga intramnt la istribuzion ossrvata i h quini la sua inompatibilità on la lgg i Bath appar ssr ral, anh s mno grav i quanto si ra supposto. Valutar s tal isoranza sia ovuta a motivazioni fisih o a istorsioni nlla slzion i ati, non ompltamnt onsirat, v ssr oggtto i ultriori analisi approfonimnti. BIBLIOGRAFIA Bath,.; 965: Latral inhomognitis of th uppr mantl. Ttonophysis,, Caslla, G. Brgr R.L.; 99: Statistial Infrn. Wasworth, Paifi-Grov, California.

10 GGTS Atti l Convgno azional /.8 Consol, R. urru.; : A simpl an tstabl mol for arthquak lustring.j.gophys.rs.,6, Consol R., Lombari A.., urru. Rhoas.; : Bath law an th slf-similarity of arthquaks. Attato a J. Gophys.Rs. Fllr, W.; 966: An Introution to Probability Thory an its Appliations,, Wily an Sons, w York. Kagan Y.Y.; 996: VA arthquak pritions - an attmpt at statistial valuation, Gophys. Rs. Ltt., 3, Papazahos, B.C.; 974: On rtain aftrshok an forshok paramtrs in th ara of Gr, Annali i Gofisia, 7, Puraru, G.; 974: On th statistial intrprtatio of th Bath s law an som rlations in aftrshok statistis, Gol. Inst. Thni. an E. Stuy Gopys. Prosp., Buharst,, Rasnbrg, P; 985: Son-Orr omnt of Cntral California Sismiity, , J. Gopys. Rs., 9, Rihtr, C.F; 958: Elmntary Sismology, Frman, San Franiso, Calif, 768 pp. Shi,Y. B.A. Bolt; 98: Th stanar rror of th magnitu-frquny b-valu, Bull. Sism. So. Am., 7, Tsapanos,.T.; 99: Spatial istribution of th iffrn btwn th magnitus of th main shok an th largst aftrshok in th Cirum-Paifi Blt, Bull.Sism.So.Am., 8, Utsu T.; 957: agnitu of arthquaks an ourrn of thir aftrshoks, Zisin, J. Sism. So. Jap.,, 35-45, in Giappons. Utsu T.; 96: A statistial stuy on th ourrn of aftrshoks, Gophys. ag., 3, Utsu T.; 965: A mtho for trmining th valu of b in a formula log n = a -b showing th magnitu - frquny rlation for arthquaks, Gophys. Bull. Hokkaio Univ. 3, 99-3, in Giappons on riassunto in Ingls. Utsu T.; 967: Som problms of th frquny istribution of arthquaks in rspt to magnitu, Gophys. Bull. Hokkaio Univ. 7, 85-; 8, 53-69, in Giappons on riassunto in Ingls. Utsu T.; 969: Aftrshok an arthquaks statistis I, Jour. Faulty Sin, Hokkaio Univ., 3, Vr-Jons.; 969: A not on th statistial intrprtation of Bath s Law, Bull. Sism. So. Am., 59, Vr-Jons.; 975: Stohasti mols for arthquak squns, Gophys. J. R. Astr. So., 4, 8-86.