Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria

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1 Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1

2 Unità 10 Contenuti della lezione Valutazione di titoli obbligazionari Struttura per scadenza 2

3 Contenuti della lezione 3

4 Obbligazioni e loro valutazione Sono titoli di debito contratto dall emittente (Stato, Agenzie governative, Enti pubblici e società private) nei confronti dei sottoscrittori, da restituire e remunerare secondo condizioni prefissate corrispondendo ai portatori quote capitale e quote interesse (cedole) La valutazione dei titoli obbligazionari consente in prima istanza di evidenziare la congruità del prezzo, nonché, formulando ipotesi sull andamento futuro del mercato, stimare i prezzi futuri e calcolare quindi il tasso di rendimento dell investimento. 4

5 TITOLI OBBLIGAZIONARI e loro caratteristiche Ogni obbligazione prevede il rimborso del capitale in unica soluzione alla scadenza (epoca T), mentre gli interessi possono essere pagati: integralmente alla scadenza (si tratta allora di titoli di puro sconto o a capitalizzazione integrale ovvero zero coupon bonds); mediante cedole periodiche (nelle obbligazioni con cedola o coupon bonds). 5

6 Il valore nominale D. È su questo importo, che verrà restituito al sottoscrittore, che si calcola l interesse. Per convenzione le quotazioni di mercato si enunciano per ogni 100 Euro di valore nominale Il tasso di interesse nominale i. Esso determina l importo delle cedole come percentuale del valore nominale. Se i pagamenti sono ad es. semestrali, l importo di ciascuna cedola risulterà il prodotto del valore nominale D per i 2 =i/2 Il prezzo tel-quel P t, in vigore all epoca t. Nel caso particolare che si tratti di sottoscrizione (cioè in t=0) il prezzo si considera al netto di eventuali oneri di emissione. 6

7 Calcolo della redditività di un obbligazione valutazione ex post, di un investimento effettuato all epoca t di un titolo che scade all epoca s, e si utilizza il tasso di rendimento realizzato (o holding period yield): Ps Pt r =, t < s T P t dove P t e P s sono rispettivamente il prezzo pagato all epoca t per l investimento e quello ottenuto per disinvestimento alla successiva epoca s 7

8 valutazione ex ante, ad esempio per poter scegliere tra più titoli. E necessario un indicatore di redditività prospettica che permetta di sintetizzare ad un certo istante, generalmente l epoca di acquisto, le successive prestazioni finanziarie del titolo. Si ricorre in questo caso al già noto tasso di rendimento interno, in quanto l investimento in titoli obbligazionari risulta un investimento in senso stretto (si ha un solo costo iniziale, seguito da flussi in entrata); alternativamente, si può procedere a una valutazione comparativa dei titoli mediante i tassi spot (che vedremo più avanti) 8

9 Tasso di rendimento interno o yield (to maturity) E quel tasso y che realizza l uguaglianza tra il prezzo d acquisto dell obbligazione all epoca t, P t, e la somma dei valori attuali di tutte le sue prestazioni future: P t = h (1 + C h ( t y) h t), t è l istante di valutazione, con 0 t T t h è l istante di stacco (pagamento) della cedola h-esima, con h = 1, 2,, H t H = T maturità o scadenza dell obbligazione C h è il flusso di cassa all istante t h, comprensivo dell eventuale rimborso del capitale 9

10 Esempi_1 Obbligazione che paga C in ciascuno degli n periodi in cui si suppone suddiviso l intervallo [t, T] e D = 100 alla scadenza in T: P t n = C Ca k n n y k = 1(1 + y) (1 + y) 1 = y ( ) n 10

11 Esempi_2 A: zero-coupon bond a 1 anno il cui prezzo d acquisto è P A = e paga 1000 in t= ,58 = 1 + da cui y A =7% y A B: zero-coupon bond a 2 anni il cui prezzo d acquisto è P B = e paga 1000 in t= = da cui y B =8% 2 ( 1 + y B ) 11

12 Esempi_3 C: coupon bond il cui prezzo d acquisto è P C = e paga 50 in t=1 e 1050 in t= = y ( 1+ yc) C 2 da cui y C =7.975% 12

13 Limiti dello yield to maturity Lo yield presuppone due ipotesi: il reinvestimento dei flussi intermedi ad un tasso costante, e il mantenimento del titolo fino alla scadenza. Tali ipotesi segnalano un certo limite concettuale dello yield nel catturare in modo appropriato gli effetti di modificazioni nelle condizioni di reinvestimento delle cedole; né lo yield offre alcuna garanzia che esso si mantenga costante sino alla scadenza. Per ovviare a questa miopia dello yield è necessario allargare l ottica di valutazione, confrontando ogni titolo con gli altri presenti sul mercato. Questo sarà realizzato tramite lo studio della curva dei rendimenti e della struttura a termine dei tassi d interesse 13

14 La curva dei rendimenti La curva dei rendimenti (yield curve) è la rappresentazione grafica, sul piano cartesiano, delle coppie ordinate (T i, y i ) dove T i e y i sono rispettivamente la scadenza e lo yield del titolo i-esimo. Di norma, titoli in scadenza a epoche diverse presentano yields diversi; peraltro, vi possono essere obbligazioni riferite alla medesima scadenza che mostrano yield diversi. Ciò non implica necessariamente scarsa efficienza del mercato, ma deriva dalla difficoltà, intrinseca dello yield, ad esprimere appieno l influenza delle cedole intermedie sul tasso di rendimento, Inoltre non vi è una continuità nei valori, dipendendo questi delle scadenze dei titoli (spesso a fine anno solare). Tutto ciò implica che la rappresentazione grafica delle coppie (Ti, yi) non costituisce una vera e propria curva. 14

15 LA STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE. Per ovviare a questi inconvenienti, si può pensare di costruire la curva dei rendimenti considerando solo gli zero-coupon bond che, essendo privi di cedola, non danno problemi di reinvestimento. La particolare curva dei rendimenti che si ottiene a partire da tali titoli costituisce la struttura per scadenza. 15

16 Tassi spot Si definiscono tassi spot o tassi a pronti i tassi d interesse che il mercato finanziario adotta a una determinata epoca t per valutare prestazioni finanziarie certe (ovvero zero-coupon bond) esigibili alle scadenze future T (quindi di durata k = T- t). I tassi spot si indicano con R k, k=1,2,... Dalla definizione risulta chiaro che il tasso spot R k si identifica con lo yield di un obbligazione a capitalizzazione integrale che scade tra k periodi. Si definisce struttura per scadenza dei tassi di rendimento (o term structure of interest rates) la successione { k = 1,2,... } R k 16

17 Struttura per scadenza dei tassi La struttura per scadenza descrive completamente il mercato al tempo t e quindi rappresenta compiutamente la valutazione di non arbitraggio che il mercato esprime ad un certo istante t per investimenti finanziari che iniziano alla data corrente t e a scadenza qualsiasi. Essa tuttavia evolve nel tempo, in corrispondenza delle mutate condizioni del mercato. 17

18 Esempio_1 Si consideri un obbligazione che prevede: pagamenti periodici cedolari di importo C il rimborso del capitale (100 ) alla scadenza. Disponendo dei tassi spot ad ogni scadenza, la valutazione di non arbitraggio dell obbligazione risulta allora la somma dei valori attuali dei pagamenti futuri, ciascuno attualizzato al tasso che compete alla scadenza in cui si manifesta. Pertanto il valore V dell obbligazione dovrà essere: V n = C R k + R ( ) k ( ) n k = n 18

19 Esempio_2 Un obbligazione promette il pagamento di 5 ogni 6 mesi e di 100 alla scadenza fra 18 mesi. Si supponga inoltre che l unità di tempo sia il semestre, e che esistano sul mercato zerocoupon bond a scadenza 6, 12 e 18 mesi, cui sono associati i rispettivi tassi spot R 1 =5%, R 2 =4.5%, R 3 = 4%. L acquisto dell obbligazione dà diritto a ricevere le stesse prestazioni di un paniere di zero-coupon bond così composto: 5 unità a scadenza 6 mesi 5 unità a scadenza 112 mesi 105 unità a scadenza 18 mesi Il suo prezzo totale deve essere ( ) 2 ( 1.045) ( 1.04) 3 = Questo è il prezzo equo dell obbligazione: se il suo prezzo di mercato fosse superiore a il suo acquisto non sarebbe conveniente; se fosse inferiore, risulterebbero sovraquotati gli zero-coupon bond. 19

20 Come si calcola un tasso spot a k periodi se non sono disponibili zero-coupon bonds Si supponga ad esempio che si voglia determinare il tasso spot R 2 (periodi misurati in anni) ma che non esistano zero-coupon bond di scadenza 2 anni, mentre esista invece un obbligazione con cedola, a scadenza 2 anni con prezzo P 2, valore alla scadenza M 2 e un pagamento ad un anno dall istante iniziale con cedola di valore C 1 (l obbligazione D); si supponga inoltre che sia noto il tasso spot ad un anno R 1. Il tasso spot a 2 anni si può allora determinare risolvendo nell incognita R 2 l equazione P 2 = C ( ) ( ) R 1 M 1+ R 2 20

21 Esempio Riprendendo l esempio di pag.10, considerando l obbligazione A (per la quale R 1 = 7%) e l obbligazione D si ottiene: = 50 da cui R 2 = 8% ( ) ( ) 2 1+ R 2 21

22 Tassi forward Si definiscono tassi forward (o tassi a termine o tassi impliciti) i tassi d interesse implicati dai tassi spot per periodi di tempo nel futuro. I tassi forward sono degli strumenti di valorizzazione dei contratti differiti nel tempo. Il tasso forward s r p indica il tasso d interesse che il mercato ritiene debba manifestarsi tra s periodi per impegni che si protrarranno per ulteriori p periodi. Indicando con R k il tasso spot a k periodi, dovrà risultare: (1+R s+p ) s+p = (1+R s ) s (1+ s r p ) p s+ p 1 (1 + Rs+ p) (1+ s r p ) p s+ p = (1+ R ) p s+ p e quindi s s r p = 1 s (1 + Rs) (1+ Rs ) 22

23 Esempio In un mercato che presenta i seguenti tassi spot: R 1 =7%, R 2 = 8%, quale è il tasso forward 1 r 1 tra un periodo per un ulteriore periodo? Si ha s=1, p=1, s+p=2, pertanto si ottiene 1r 1 = (1 + R ) (1 + R ) e quindi 1 r 1 = 9.01%. 23

24 Duration Durata media finanziaria Interessante è esaminare la variazione istantanea del prezzo conseguente a una variazione infinitesima dello yield, conseguente ad esempio a mutate condizioni del mercato obbligazionario. A tale scopo si calcola la derivata della funzione prezzo rispetto a y mantenendo costante il tempo t 0 (la funzione è continua e derivabile per ogni y>-1) 24

25 Non è difficile dimostrare (vedi libro di testo) che questa derivata non è altro che la duration della rendita, le cui rate costituiscono i flussi di cassa dell obbligazione. Essa esprime una media delle scadenze dei flussi di cassa, ponderate per i rispettivi valori attuali come quote del valore complessivo dell obbligazione. w h H D= t h= 1 ( ) h t0 w h con 1 t = Ch (1 + y) 0 P t h 25

26 Duration Dopo ulteriori passaggi (vedi libro di testo) si ottiene dp P = D d( y y) ossia la variazione del prezzo dell obbligazione provocata da una variazione del fattore di montante (1+y) (ovvero del tasso y) è proporzionale alla duration. 26

27 Infine abbiamo l espressione della duration come (a meno del segno) l elasticità del prezzo rispetto al fattore di montante (1+y). D = dp P d(1 + y) ( 1+ y) 27

28 Esempio_1 Duration di uno Zero-coupon bond (ZCB) Uno ZCB prevede un unico pagamento alla scadenza, cioè a t H -t 0 e pertanto il suo prezzo vale quindi D = 1 P P = C H t t ( 1 ) H + y 0 t ( t ) ( ) 0 H t0 CH 1+ y H = th t0 La duration di uno ZCB è uguale alla sua vita residua (t H t 0 ). t 28

29 Esempio_2 Duration di una rendita perpetua a cedola costante C. Il valore di una rendita perpetua allo stacco cedola è P=C/y. Quindi dp dy C C P = e siccome = D 2 2 y y y 1+ y D = 1+ si ha y Questa quantità rappresenta un valore limite per le obbligazioni a scadenza finita e cedole periodiche. In altre parole, all aumentare della scadenza, la duration tende ad avvicinarsi alla duration di una rendita perpetua. 29