REGISTRO DELLE LEZIONI 2005/2006. Tipologia. Addì Tipologia. Addì Tipologia
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- Gabriela Bondi
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1 Introduzione al corso. Definizione di gruppo e sue proprietà. Addì Addì Esercizi introduttivi ed esempi sui gruppi. Definizione di sottogruppo e sue proprietà. Addì Addì :00-11:00 Esercizi introdutivi ed esempi sui sottogruppi. Criteri di caratterizzazione dei sottogruppi. Addì Addì
2 Esercizi sui gruppi e sottogruppi. Potenze e multipli in un gruppo: definizione e loro proprietà. Addì Addì Gruppi ciclici: definizione e prime proprietà. Generatori di gruppo ciclico. Sottogruppi in un gruppo ciclico. Gruppi ciclici: radici complesse dell'unità. Addì Addì :00-12:00 Gruppi diedrali: definizione e proprietà. esercizi sui gruppi ciclici, sui gruppi diedrali e sui sottogruppi. Addì Addì
3 Intersezione di sottogruppi in un gruppo. Gruppo generato da un insieme. Caso particolare in cui l'insieme è l'unione di due sottogruppi. Classi laterali destre e sinistre: definizione e prime proprietà. Teorema dei Lagrange e altre proprietà dei gruppi finiti derivanti dalla partizione in laterali. Addì Addì Sottogruppi normali. Definizione del gruppo Esercizi sui sottogruppi normali e sui gruppi Addì Addì Esercizi sulle classi laterali, sui sottogruppi normali e sui gruppi Morfismi tra gruppi: definizione e prime proprietà. Addì Addì :00-10:00 10:00-11:00
4 Nucleo e immagine di un morfismo. Morfismo canonico tra un gruppo e un suo gruppo Primo teorema di isomorfismo. Caratterizzazione dei gruppi ciclici. Addì Addì Esercizi sul gruppo quoziente e sul teorema di isomorfismo. Definizione di anello e prime proprietà. Definizione si sottoanello. Teorema di caratterizzazione dei sottoanelli. Addì Addì :00-13:00 Intersezione di sottoanelli, sottoanello generato da un insieme. Domini di integrità. Relazione tra domini di integrità e campi. Ideali. Morfismo di anelli. Nucleo e immagine. Anello Addì Addì
5 Primo teorma di isomorfismo per anelli. Caratteristica di un anello. Esercizi sui morfismi di anelli, sugli anelli quoziente e sul teorema di isomorfismo. Addì Addì Caratterizzazione di un campo tramite i suoi ideali. Divisibilità in un anello. Elementi associti. Massimo comun denominatore e minimo comune multiplo in un anello. Domini ad ideali principali. Esistemza del MCD e del mcm nei domini ad ideali principali. Anelli euclidei: definizione ed esempi. Addì Addì Proprietà degli anelli con valutazione. Esercizi sul quoziente e resto in un anello euclideo. Addì Addì
6 Algoritmo di euclide negli anelli euclidei. Relazione tra domini euclidei e domini ad ideali principali. Elementi primi e irriducibili. Domini a fattorizzazione unica. Caratterizzazione dei domini a fattorizzazione unica. Relazione tra domini ad ideali principali e a fattorizzazione unica. Fattorizzazione negli anelli di polinomi a coefficienti in un campo e negli interi. Criterio di Eisestein. Addì Addì :00-13:00 11:00-13:00 Esercizi riassuntivi sull'ultima parte di teoria degli anelli. Addì :00-17:00
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Anelli a fattorizzazione unica. Domini ad ideali principali. Anelli Euclidei
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1 ANELLI Definizione 1.1. Sia A un insieme su cui sono definite due operazioni +,. (A, +, ) si dice Anello se (A, +) è un gruppo abeliano è associativa valgono le leggi distributive, cioè se a, b, c A
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Indice analitico. B Base, 43 Bezout identità di, 15 per polinomi, 39 Binomio teorema del di Newton, 14, 35 ingenuo, 18, 45
Indice analitico A Abeliano gruppo, 24 Algebrico(a) elemento, 46 estensione, 46 Algoritmo di Euclide, 15 di Euclide per polinomi, 39 Anello(i), 33 commutativo, 33 con unità, 33 di polinomi, 36 generato,
R X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto
PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi non vuoti X e Y si definisce prodotto cartesiano: X Y ={ x, y x X, y Y } attenzione che (x,y) è diverso da (y,x) perchè (x,y)={x,{y}} e (y,x)={y,{x}} invece sono uguali
24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2
Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6
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