Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10. Lecture 11: Maggio Meccanismi per la Condivisione dei Costi

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1 Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/0 Lecture : 3-4 Maggio 200 Meccanimi per la Condiviione dei Coti Docente Paolo Penna Note redatte da: Paolo Penna Primo Eempio Vogliamo vendere un oggetto, ed eere icuri che chi compra ci paga (almeno) il coto della pedizione: SA SA RM NO 99 RM 0 SI Ata 2ndo Prezzo (Vickrey): Una ola offerta = Il vincitore non paga nulla! Ata con Prezzo di Rierva: Il veditore partecipa all ata, 99 vinco pago 99 a me teo, 0 vince paga Eercizio: Conidera queto eempio (due offerte): SA RM L Ata di 2ndo Prezzo copre il coto? Coa fa l Ata con Prezzo di Rierva?

2 2 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti Un problema quai uguale = coto e uno o entrambi ricevono Inieme poono pagare il coto Ata con Prezzo di Rierva = Neuno ervito Beneere Sociale = Contentezza collettiva Coto collettivo () è meglio di 0 Ata 2ndo Prezzo = Ignora il coto Ata Prezzo di Rierva = Ignora Contentezza collettiva (uno olo alla volta) neuno uno olo

3 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti 3 2 Multicat u Alberi 200 coto = omma link uati beneere ociale = ( + 0) 0 Problema (Multicat u Albero) Dato un albero con coti (noti) ui link, decido quali nodi raggiungere per maimizzare il beneere ociale (in bae alle valutazioni degli agenti). Uiamo uno chema (VCG) imile allo hortet-path della lezione precedente: MASSIMO BENESSERE SOCIALE SENZA i BENESSERE SOCIALE OTTIMO MA NON CONTANDO i Senza dire eattamente come ono fatte quete due quantità, poiamo dire che i pagamenti avranno la forma Pi BS (v) = BS i (v i ) BS vi =0(v) Funziona? (compatibile agli incentivi) Arriviamo a un meccanimo VCG Input: Valutazioni v (),...,v n () Algoritmo: Trova la olutione S che maimizza la omma delle valutazioni: v (S)+ +v n (S) Pagamenti: Agente i paga dove h i () non dipende da v i. Nel notro cao (multicat u albero): Pi V CG (c) = h i (v i ) v j (S ) j i

4 4 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti S = chi riceve la tramiione (ervito) = oluzione C(S) = coto (minimo) per tramettere ad S BS(S,v) = ( i S v i) C(S) = beneere ociale BS(v) = max S BS(S,v) = beneere ociale ottimo (maimo) Il beneere ociale non è la omma delle valutazioni: v (S) + + v n (S) = v i BS(S,v) = v i C(S) i S i S Eercizio: Se applichiamo VCG a quete valutazioni, quale oluzione calcola il meccanimo (algoritmo di VCG) nell eempio a pagina 3? Trucchetto: Il partecipa all ata (contiamo anche il coto) Aggiungiamo l agente peciale 0 v 0 (S) = C(S) che fa i che la omma delle valutazioni ci dia proprio il beneere ociale: v (S) + + v n (S) + v 0 (S) = v i C(S) = BS(S,v) i S Algoritmo: Ora VCG calcola la oluzione S col beneere ociale ottimo. Pagamenti: Traduciamo in formule l intuizione iniziale: ( ) BS i (v i ) = maimo beneere ociale enza i = max S j i v j(s) BS vi =0(v i ) = beneere ociale ottima enza contare i = j i v j(s ) e la magia è fatta: i pagamenti P BS ono della forma P V CG (confronta le due formule a pagina 3). Teorema: Il problema del multicat u albero ha un meccanimo (A,P BS ) compatibile agli incentivi. Dimotrazione: L algoritmo opra fa la tea coa dell algoritmo di VCG applicato alle valutazioni con l aggiunta dell agente peciale (v 0 (S) + v (S) + + n (S)). I pagamenti P BS rientrano nella definizione P V CG e quindi il meccanimo riultante è compatibile agli incentivi. 2. Meccanimo Ditribuito Ogni nodo decide. Quali figli vengono raggiunti 2. I pagamenti degli agenti u queto nodo

5 0 0 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti 5 Una piccola emplificazione: ogni nodo ha un olo agente v i v k 0 0 v i v k Idea: calcoliamo l ottimo dei ottoalberi Idea: Ci conviene pagare olo e poi il ottoalbero ci ripaga di queto coto Ogni nodo i calcola il beneere ociale ottimo del uo ottoalbero con queto algoritmo: Algoritmo nodo i. BS (j) v j 2. Per ogni figlio j di i fai le coe eguenti: (a) Ricevi BS (j) dal nodo j (b) Se BS (j) c j allora poni BS (j) BS (i) + BS (j) c j 3. Invia BS (i) al padre di i Il calcolo avviene dalle foglie (che eeguono olo il pao ). Si può dimotrare che BS (i) è il beneere ociale ottimo dell itanza in cui la rete è il ottoalbero con i come radice (oia Saltiamo queta dimotrazione

6 6 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti il è i). Una volta arrivati al nodo () abbiamo il beneere ociale ottimo che cercavamo. Quanto cota il calcolo? Ogni arco viene attraverato da eattamente un meaggio da padre a figlio e quindi in totale abbiamo n meaggi. Poiamo modificare l algoritmo per calcolare la oluzione (i invia un meaggio ai figli e celgo l arco c j ) e arriviamo a 2n 2 meaggi. E come calcolo i pagamenti? Per calcolare il pagamento di i bata calcolare BS i (v) e BS vi =0(v). Idea: faccio rigirare l algoritmo. Per BS i (v) bata far girare l algoritmo con v i = 0. Mentre BS vi =0(v) lo poo calcolare direttamente dall ottimo BS(v): e i è ervito nell ottimo allora BS vi =0(v) = BS(v) v i ; altrimenti, e i non è ervito nell ottimo, allora BS vi =0(v) = BS(v). Per calcolare P i pendiamo altri 2n 2 meaggi. Abbiamo ottenuto un meccanimo ditribuito compatibile agli incentivi per il problema del multicat u alberi. Il meccanimo calcola la oluzione ottima e i pagamenti utilizzando al più 2n 2 + n(2n 2) meaggi in totale. 2.2 Meccanimi tatali Quanto riceve il e ua queti meccanimi (beneere ociale)? pagamento }{{} 0 ( ) } {{ } B i BS vi =0 = pagamento 5 } + 5 {{ } ( ) } {{ } B i BS vi =0 = Se il ervizio è molto importante per gli agenti, il meccanimo (tato) lo fornice (quai) grati

7 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti 7 3 Riaumiamo la ituazione Ata 2ndo Prezzo Ata Prezzo Rierva Meccanimo Beneere Sociale,..., 0 0,..., 0 0 0,..., 0 paga paga 0 paga 0 Poo fare entrambi contenti? = non ci rimetto utenti = non paghiamo più del neceario Bilancio in Pareggio (Budget-Balance) C(S) i S P i (v) C(S) (2) Verione approimata: C(S) i S P i (v) αc(s) α (α piccolo neuno (, utenti) troppo contento) Eitono meccanimi compatibili agli incentivi e budget-balance?

8 8 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti 4 Meccanimi Budget-Balance Vediamo la coa in modo più atratto: ervizio S U= utenti ) Chi riceve il ervizio? 2) Quanto paga? Dipende dal coto C(S) e da quanto gli utenti vogliono pagare Due meccanimi cemi:. Tutti erviti, tutti devono pagare la tea frazione del coto (oia C(U)/ U ). 2. Neuno ervito, neuno paga Tutti e due ono budget-balance 2 e compatibili agli incentivi (qualiai coa dichiarano gli utenti/agenti il meccanimo fa empre la tea coa). Requiiti irrinunciabili:. Partecipazione Volontaria: Non devo pagare più di quanto voglio (oia P i (v) v i ) 2. Neuno Ecluo a Priori: Poo empre ricevere il ervizio dicendo che ono molto intereato (oia v i grande abbatanza dove grande abbatanza dipende dalle valutazioni degli altri). Nel cao dell Ata di 2ndo Prezzo, grande abbatanza ignifica maggiore delle altre valutazioni. Per l Ata con Prezzo di Rierva ignifica maggiore delle altre valutazioni e del prezzo di rierva. Nel multicat u albero, e facciamo crecere la valutazione di un nodo (agente) ad un certo punto la oluzione con beneere ociale ottimo deve includere queto agente. 4. Primo tentativo: prezzi identici Uiamo prezzi uguali per tutti (come nel primo meccanimo cemo) ma cerchiamo di oddifare la Partecipazione Volontaria:. Prima di dare il ervizio, chiediamo e il prezzo va bene 2 Nel econdo meccanimo uiamo il fatto che e neuno riceve il coto è zero, oia C( ) = 0

9 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti 9 2. Chi rifiuta l offerta viene ecluo e i ricalcola una nuova offerta per chi è rimato Vediamo un eempio: valutazioni prezzi Per il primo agente non avrebbe eno mentire (cercando di rimanere in gioco al primo round) in quanto dovrebbe pagare più della ua vera valutazione. Stea coa per l altro e dichiarae, ad eempio, 0. Paiamo al muticat u alberi: Ora oerviamo che i pagamenti per l agente nel cao di initra embrano ingiuti nel eno che e i trovae da olo pagherebbe meno (cao a detra). A queto punto Annibale e Filomena fanno due coniderazioni chiave: Annibale: I pagamenti dovrebbero dipendere dai due archi Filomena: Il nodo potrebbe cacciare fuori 2 e guadagnarci Partiamo dall ultima coa. Benchè l agente non può fare nulla ull agente 2, qualcoa di molto imile a quello che dice Filomena in effetti uccede:

10 0 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti per quete valutazioni l agente 2 ece e quindi (mentendo) è meglio per l agente rimanere dentro al gioco (facendo finta di accettare all inizio alla fine paga olo ). L oervazione di Annibale ci porta a definire i pagamenti come ognuno paga il proprio arco : l agente paga e l agente 2 paga 99 (entrambi erviti). Applicando queta idea ad un altro eempio ci accorgiamo che a volte un arco è uato da più nodi e potrebbe eere giuto far pagare l arco a tutti quelli che lo utilizzano: Notiamo una proprietà intereante: Intuizione:. I pagamenti giuti dovrebbero eere quelli per cui e un agente ece il prezzo di chi rimane non diminuice 2. Se abbiamo dei pagamenti giuti otteniamo un meccanimo compatibile agli incentivi

11 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti 4.2 Meccanimi budget-balance baati u pagamenti giuti Finora per ottenere un meccanimo abbiamo eguito queta trada: Algoritmo (certe proprietà) Pagamenti Per ottenere Budget-Balance eguiamo il percoro invero: Pagamenti (certe proprietà) Algoritmo Partiamo proprio da quello che vogliamo (Budget-Balance): P i (S) = C(S) i S Da queti pagamenti otteniamo un meccanimo budget-balance che utilizza queti pagamenti per decidere chi viene ervito (l algoritmo): Meccanimo M P :. Tenta di ervire tutti S U 2. Ripeti queto pao finchè c è almeno un agente che rifiuta il prezzo offerto (oia v i < P i (S) per qualche i S): (a) Ecludi tutti quelli che rifiutano il prezzo offerto S S \ E dove E := {j v j < P j (S)} 3. Ricevono il ervizio tutti e oli gli agenti rimati in S (finale) e pagano P i (S) Per come abbiamo definito M P riuciamo anche a oddifare i due Requiiti Irrinunciabili (vedi pagina 8). Ecco coa erve per ottenere anche la compatibilità agli incentivi: Definizione (pagamenti monotoni): I pagamenti P ono monotoni e il prezzo di un agente non diminuice quando altri agenti vengono eclui. Oia S, S S, i S P i (S ) P i (S) Teorema: Se i pagamenti P ono monotoni allora il meccanimo M P è compatibile agli incentivi. Dimotrazione: Conideriamo un agente i e, fiate le valutazioni v i degli altri, conideriamo coa fa il meccanimo quando i dice il vero (valutazione vi V ) e quando i dice il falo (valutazione vi F). Se l inieme finale S degli agenti erviti è lo teo nei due cai, allora anche l utile di i non cambia (il pagamento dipende olo da S) e quindi mentire non conviene. Conideriamo il cao in cui l inieme degli agenti erviti (pao 3 del meccanimo M P ) è divero nei due cai. Confrontiamo ogni ripetizione del pao 2 di M P nei due cai:

12 2 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti i v V i dice il vero v F i mente eclui = 2 =.. c = c Ogni ripetizione r del pao 2 il meccanimo prende l inieme S r della ripetizione precedente ed eclude un inieme E r degli agenti che non accettano il prezzo corrente (quello che otteniamo è un nuovo inieme S r ). Uiamo V e F per confrontare l iterazione nel cao vero con il cao falo. All inizio i parte con i due iniemi uguali (oia S0 V = S0 F = U per il pao ) ma ad un certo pao c deve uccedere che l inieme degli eclui è divero nelle due eecuzioni (Ec V Ec F ). Prendendo come c proprio il la prima iterazione in cui queto uccede poiamo dire la coa eguente. L inieme Sc V e l inieme SV c ono ancora uguali e quindi ad ogni agente viene offerto lo teo prezzo nelle due eecuzioni (P j (Sc F ) e P j(sc V ) ono ovviamente uguali). La ripota degli agenti a queta offerta definice l inieme degli eclui Ec V ed Ec F. Abbiamo detto che queti ono diveri (Ec V Ec F ) e queto può uccedere olo nel cao in cui l agente i ha accettato l offerta in uno olo dei due cai: tutti gli altri agenti fanno la tea coa perchè abbiamo fiato le loro valutazioni a v i per entrambe le eecuzioni. Facciamo i due cai poibili: i accetta in vero e rifiuta in falo : Una caratteritica importante del meccanimo è che il prezzo finale (e i viene erviti) non upera mai la valutazione. Nel cao vero quindi l utile è almeno 0 (anche e i rifiutae un offerta ad un pao ucceivo a c avrebbe utile 0). Avendo rifiutato nel cao falo l utile è proprio 0 e quindi mentire non conviene. i accetta in falo e rifiuta in vero : L utile nel cao vero è 0. Inoltre il fatto che i abbia rifiutato il prezzo al pao c ignifica che già quel prezzo era troppo alto (P i (S V c ) >

13 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti 3 vi V ). Ricordiamoci che nel cao falo all iterazione c viene offerto queto teo prezzo (perchè Sc V = SF c ) ed ora i accetta queto prezzo. Per la monotonia dei prezzi P tutte le offerte ucceive che il meccanimo fa ad i ono uguali o più alte di P i (Sc V ). Se i rifiuta un offerta ucceiva l utile è di nuovo 0 mentre e le accetta tutte è addirittura negativo (accetta e paga un prezzo maggiore della ua vera valutazione). In entrambi i cai mentire non conviene. Fine della dimotrazione! 4.3 Eempio: multicat u albero Torniamo al multicat u albero e facciamo vedere che eitono dei pagamenti monotoni (coì otteniamo direttamente un meccanimo compatibile agli incentivi e budget-blance). Ogni arco deve eere pagato tra tutti quelli che lo utilizzano (vedi eempio a pagina 0). Chiamiamo n e (S) il numero di nodi che utilizzano l arco e per connetteri al : c e n e (S) = numero di nodi di queto ottoalbero che ono in S Ogni nodo che utilizza quet arco deve pagare una frazione del uo coto: c e /n e (S). Se un nodo i utilizza gli archi e,...,e k per arrivare al, allora deve pagare P i (S) := c e /n e (S) + + c ek /n ek (S) Per vedere che queti pagamenti ono monotoni bata oervare che e prendiamo S S, il numero di nodi che ua un certo arco non aumenta (oia n e (S ) n e (S)) e il nodo i deve empre paare per i k archi elencati opra perchè la rete è un albero. Quindi P i (S ) P i (S). Abbiamo anche budget-balance perchè non abbiamo fatto altro che ditribuire (arco per arco) il coto tra gli agenti. Abbiamo ottenuto un meccanimo M P per il muticat u alberi che è compatibile agli incentivi e budget-balance. 4.4 Eempio: cheduling Gli utenti hanno dei tak da eeguire e il provider poiede delle macchine u cui i poono eeguire al più 2 tak. Il coto per il provider (numero di macchine impegnate) è C(S) = S 2. Se dividiamo il coto non otteniamo una coa monotona:

14 4 Lecture : Meccanimi per la Condiviione dei Coti coto C( S ) C(3) = 2 2/3 2/3 2/3 C(2) = /2 /2 C() = Ma poiamo facilmente ottenere una verione approimata di budget-balance: coto C( S ) C(3) = 2 2/3 2/3 2/3 C(2) = C() = Abbiamo cambiato olo la econda riga (facendo finta che C(2) = 2). Coì garantiamo C(S) i P i(s) 2C(S).