ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011

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1 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli reali, da: f () e g () sen.. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano, si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G f e G g.. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G f con la retta. Successivamente, si considerino i punti di G g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell intervallo [ 6; 6] e se ne indichino le coordinate.. Sia R la regione del piano delimitata da G f e G g sull intervallo [; ]. Si calcoli l area di R.. La regione R rappresenta la superficie libera dell acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza dall asse la misura della profondità dell acqua nella vasca è data da h(). Quale integrale definito dà il volume dell acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua contiene la vasca? PRBLEMA Sia f la funzione definita sull insieme R dei numeri reali da: f () (a b)e, dove a e b sono due numeri reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto d ascissa e che f ().. Si provi che a eb.. Si studi su R la funzione f () ( )e, e se ne tracci il grafico nel sistema di riferimento.. Si calcoli l area della regione di piano del primo quadrante delimitata da, dall asse e dalla retta.. Il profitto di un azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con i l anno di osservazione e con i il corrispondente profitto. Anno i 5 6 i,7,,,7,8,76,65 Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell andamento del profitto giudicando accettabile la funzione g definita su R se per ciascun i, oggetto dell osservazione, si ha: g( i ) i. Si verifichi, con l aiuto di una calcolatrice, che è accettabile la funzione f del punto e si dica, giustificando la risposta, se è vero che, in tal caso, l evoluzione del fenomeno non potrà portare a profitti inferiori ai milioni di euro. Zanichelli Editore,

2 QUESTINARI Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 6 cm. Qual è la capacità in litri del serbatoio? Si trovi il punto della curva più vicino al punto di coordinate (; ). Sia R la regione delimitata dalla curva, dall asse e dalla retta e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all asse. Si calcoli il volume di W. Il numero delle combinazioni di n oggetti a a è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a a. Si trovi n. Si trovi l area della regione delimitata dalla curva cos e dall asse, da a radianti. Si calcoli: lim tg tg a. a a Si provi che l equazione: ha una sola radice compresa fra e. In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è citato così spesso? Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell ipotenusa. Nella figura sotto, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f e l altro ancora di f. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Si motivi la risposta. I II f f f III A I II III B I III II C II III I D III II I E III I II Figura. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore,

3 SLUZINE DELLA PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT PRBLEMA. Studiamo la funzione f (). Essa è polinomiale e ha dominio R; f( ) f(), pertanto la funzione è dispari cioè simmetrica rispetto all origine; tenendo conto che f() ( ) essa interseca gli assi cartesiani nei punti (; ), (; ), ( ; ). Valutiamo il segno della funzione ponendo ( ) :,. Dal quadro dei segni (figura ) si deduce: f() per, f() per. Valutiamo il comportamento della funzione agli estremi del dominio: non esistono asintoti verticali poiché la funzione non ha punti di discontinuità; inoltre risulta: lim ( ), lim ( ), pertanto la funzione non ha asintoti orizzontali, né obliqui. Studiamo la derivata prima e il suo segno: f (), f (), f() + Figura. f'() f (), f (). f() Figura. ma min Dal quadro del segno della derivata prima (figura ) si trova che la funzione ha un massimo per e un minimo per. Le corrispondenti ordinate valgono: f 8 8 6, f 6, gli estremi relativi della funzione sono quindi: M ; 6, M ; 6. Calcoliamo infine la derivata seconda: f () 6. Essa si annulla per, è positiva per, negativa per : la funzione ha un flesso per, ha concavità verso l alto per, verso il basso per. Zanichelli Editore,

4 Nella figura è riportato il grafico G f. M 6 G f 6 M Figura. Consideriamo la funzione g() sen : il suo grafico G g può essere ottenuto dalla funzione sen tramite una contrazione orizzontale ; poiché il periodo della funzione sen è, il periodo di g() sen è T. Rappresentiamo in figura 5 il suo grafico G g. 5 G g 5 Figura 5.. Determiniamo le ascisse dei punti di intersezione di G f con la retta, risolvendo il sistema: ( )( ) Ricaviamo ora i punti di G g a tangente orizzontale nell intervallo [ 6; 6], deducendoli dal grafico di figura 5 e tenendo conto della periodicità della funzione: k k con 6 k 5, k Z. k ( ) k Zanichelli Editore,

5 . Rappresentiamo nello stesso sistema cartesiano i grafici G f e G g nell intervallo [; ] (figura 6). G g R G f 6 Figura 6. Calcoliamo la superficie S della regione R mediante l integrale: S [g() f ()]d (sen )d cos 8.. Calcoliamo il volume della vasca sezionando il solido con piani, perpendicolari alla superficie dell acqua (figura 7). Figura 7. Per ogni piano si ottiene un rettangolo di altezza h( ) e base g( ) f( ); la superficie di tale rettangolo vale: S( ) g( ) f( ) h( ) sen ( ). Poiché nell intervallo considerato g() f (), possiamo tralasciare il valore assoluto. Il volume V della vasca può essere così calcolato mediante l integrale: V [sen ]( )d sen d sen d cos sen d ( )d ( ) sen d [ ]( )d 5 Zanichelli Editore,

6 svolgiamo per parti l integrale contenuto ancora nell espressione: cos cos d sen In unità di misura, tenendo conto che dm equivale a L: V 6 5 m 6 5 L 86,5 L. PRBLEMA. Data la funzione f() (a b)e definita in R, imponiamo f() : b b, pertanto f () (a )e. Calcoliamo la derivata prima: f () ae e (a ) f () e a a. Condizione necessaria affinché nel punto vi sia un estremante è che f () : f () e a a a. Assunto f () ( )e, essa ammette in un massimo se f (). Verifichiamolo calcolando la derivata seconda: e e f () ( ), f () ( 7), e f () ( 7) ; pertanto la funzione ammette massimo per.. Studiamo la funzione f() ( )e per tracciare il corrispondente grafico. Essa ha dominio R e non presenta simmetrie. Come è noto dal punto del problema, interseca l asse delle ordinate nel punto (; ). Per trovare le intersezioni con l asse sarebbe necessario risolvere l equazione ( )e ma questa non è risolubile per via analitica. Per lo stesso motivo non si può affrontare il problema del segno della funzione. Valutiamo il comportamento della funzione agli estremi del dominio: lim ( )e si tratta di una forma indeterminata del tipo, eliminabile applicando il teorema di De l Hospital: lim ( )e lim e e lim. e 6 Zanichelli Editore,

7 Pertanto la funzione ha asintoto orizzontale per. Per risulta: lim ( )e, lim allora la funzione non ha asintoto né orizzontale né obliquo sinistro. Dal punto è nota la derivata prima: e f () ( ), con: f () per, funzione crescente, f () per, punto stazionario, f () per, funzione decrescente. lim e, Il punto è pertanto l unico estremante della funzione con coordinate M ; e. Ricordiamo la derivata seconda, valutiamo il suo segno e la concavità: e ( )e f () ( 7), f () per 7, concavità verso l alto, f () per 7, punto di flesso, f () per 7, concavità verso il basso. Il grafico ha flesso nel punto F 7; 6e 7 ; in figura 8 ne è rappresentato il suo andamento. e + M Γ F 7 Figura 8.. Evidenziamo la regione di piano del primo quadrante delimitata da, dall asse e dalla retta e determiniamo le coordinate del punto intersezione A (figura ): ( )e ( )e ( )e A(; ) 7 Zanichelli Editore,

8 A Γ Figura. La superficie della zona evidenziata si calcola secondo l integrale: S ( )e d ( )e d [ f()]d calcoliamo l integrale dell ultimo membro per parti: e e d e e e e e 6. Pertanto la superficie della regione vale S e 6. e d e. Verifichiamo se la funzione f() del punto del problema, per soddisfa la condizione richiesta, ovvero f ( i ) i. Completiamo la tabella di partenza calcolando per ogni anno f ( i ) e f ( i ) i (arrotondando alla terza cifra decimale). Anno i 5 6 i,7,,,7,8,76,65 f ( i ),5,76,7,756,677 f ( i ) i,,,,6,,,7 sservando i valori dell ultima riga della tabella, la funzione f() soddisfa la condizione richiesta e possiamo quindi assumerla come accettabile. Nondimeno, benché f() per, non possiamo sostenere che l evoluzione del fenomeno non potrà portare a profitti inferiori ai milioni di euro. Infatti, considerando per esempio l anno, ovvero per 6, si calcola: f(6) 5e 6,7. Assunta valida la condizione f ( i ) i, si ricava: f(6) 6 f(6) 6 f(6),7, 6,7,,7 6,7. Pertanto non abbiamo la certezza che 6 sia non inferiore a e che quindi il profitto sia non inferiore ai milioni di euro. 8 Zanichelli Editore,

9 QUESTINARI Consideriamo un cilindro inscritto in una sfera di raggio P 6 cm (figura ). S R P Q Figura. Il segmento PR è un diametro della sfera e misura cm. Per semplicità tralasciamo provvisoriamente le unità di misura. Indichiamo con l angolo RPˆQ, dove. Per i teoremi trigonometrici dei triangoli rettangoli risulta: QR sen, PQ cos. Calcoliamo il volume V() del cilindro inscritto: V() P Q QR, sostituiamo: V() cos sen V() cos sen V() (sen sen ),. Calcoliamo la derivata prima V () e studiamone il segno nell intervallo, tenendo conto che in tale intervallo il seno e il coseno sono positivi e compresi tra e : V () (cos cos sen ) V () cos ( sen ), V () per arcsen, V () per arcsen, V () per arcsen. Pertanto la funzione V() è dotata di massimo assoluto nel punto arcsen. Il corrispondente volume ha valore in cm : V ma V arcsen cm = cm 6 cm. Tenendo conto che cm equivale a L, la capacità in litri del serbatoio iniziale risulta: V V ma 6 cm 6 L 5,7 L. Zanichelli Editore,

10 La funzione reale ha dominio [; ] e codominio [; ]; ha grafico corrispondente alla funzione di equazione con. Si tratta di un ramo di parabola con vertice nell origine degli assi cartesiani e asse di simmetria nell asse delle ascisse (figura ). Considerato il punto A(; ) e un generico punto P (t ; t), con t, appartenente al ramo di parabola, determiniamo la distanza AP in funzione del parametro t: AP ( t ) t t 7t 6. Posto per semplicità AP d(t), studiamo gli estremanti di tale funzione calcolandone la derivata prima e il suo segno nell intervallo t : t 7t d (t), t 7t 6 = Figura. P(t ; t) A d (t) per t 7, d (t) per t 7, d (t) per t 7. Risulta allora che la distanza d(t) è minima per t 7. Il corrispondente punto P sulla curva la cui distanza dal punto A è minima, ha coordinate P 7 ;. Consideriamo la regione R di piano delimitata della funzione cubica, dall asse e dalla retta ; ruotando tale regione intorno all asse si ottiene il solido W (figura ). Il volume del solido W si ottiene per differenza tra il volume V C del cilindro con raggio di base e altezza 8 e il volume V del solido di rotazione = del ramo di curva di equazione intorno all asse : V C 8, W 8 V 8 ( ) d W V C V , 5 R È richiesto di risolvere l equazione con le combinazioni semplici: C n, C n,, n N. Le condizioni da considerare per l incognita sono: n n, n N. n Figura. Zanichelli Editore,

11 n (n ) (n ) (n k ) Esplicitiamo le combinazioni utilizzando la formula C n,k, con k n; otteniamo: k! n (n ) (n ) (n ) n (n ) (n ) n n 7.!! Considerando le condizioni per l incognita, la soluzione n 7 è accettabile. 5 Rappresentiamo nella figura la regione delimitata dalla curva cos, dall asse, dalle rette rad e rad. = rad = rad π = cos Figura. L area A della regione delimitata si ottiene suddividendo l intervallo [; ] in due sottointervalli ; e ; in modo che la funzione mantenga in ciascuno di essi lo stesso segno: A cos d cos d [sen ] [sen ] sen sen sen sen. 6 Dato il lim tg tg a, calcolando il limite del numeratore e del denominatore, otteniamo la forma inde- a a terminata. Essendo verificate tutte le ipotesi di De l Hospital applichiamo il corrispondente teorema: lim tg tg a lim tg tg a. a a a sserviamo che lim tg tg a rappresenta il limite del rapporto incrementale della funzione f() tg a a nel punto a e che pertanto tale limite va a indicare la derivata della funzione in tale punto. Risulta allora: lim tg tg a f (a) tg a. a a 7 Associamo all equazione la funzione f(). sserviamo che: f( ), f(). Nell intervallo [ ; ] la funzione è continua, pertanto per il teorema di esistenza degli zeri esiste almeno Zanichelli Editore,

12 un punto c ] ; [ in cui essa si annulla. Inoltre la funzione è derivabile nell intervallo ] ; [; calcoliamo la derivata prima e studiamone il segno: f (), f (), ] ; [. Pertanto vale il primo teorema di unicità dello zero: esiste ed è unico un punto c in cui la funzione si annulla. Ne segue che l equazione di partenza ha una sola radice compresa tra e. 8 Il problema della quadratura del cerchio consiste nel costruire con la sola tecnica euclidea di riga e compasso il quadrato equivalente a un cerchio di raggio dato. Tale questione interessò già Ippocrate da Chio intorno al a.c., il quale si dedicò alla quadratura della lunula (figura piana limitata da due archi di circonferenza) e fino alla seconda metà dell ttocento molti matematici tentarono di risolvere invano questo problema. Se r è il raggio di una circonferenza si tratta di costruire un quadrato di lato l di pari area. In formule: l r l r. La difficoltà sta nel poter costruire con riga e compasso un segmento di misura proporzionale a. Solo nel 88 il matematico tedesco Ferdinand Lindemann (85-) dimostrò l impossibilità di tale costruzione. Tenendo conto che i numeri costruibili con riga e compasso costituiscono un sottoinsieme dei numeri algebrici e che i numeri trascendenti non possono essere costruiti con tale tecnica, egli dimostrò che il numero, e quindi, erano numeri trascendenti. Studiamo il problema secondo un sistema di assi cartesiani ortogonali (figura ). z R(; ; z) P p q Q Figura. Il triangolo rettangolo PQ è retto in, appartiene al piano z e ha vertici di coordinate P (p; ; ), Q(; q; ). Sia R(; ; z) un punto dello spazio che soddisfi le proprietà del luogo geometrico RP R RQ; risulta: ( p) z ( q) z z. Elevando al quadrato i membri delle uguaglianze e sviluppando i prodotti notevoli, otteniamo: p p z q q z z. La doppia uguaglianza è equivalente al sistema: p p q q q q p p p q Zanichelli Editore,

13 Le soluzioni del sistema, luogo geometrico richiesto, rappresentano le equazioni della retta perpendicolare al piano z del triangolo, passante per il punto medio p ; q ; dell ipotenusa PQ del triangolo stesso. sserviamo che il problema poteva essere risolto attraverso la geometria euclidea dimostrativa (figura 5). Infatti, se consideriamo un lato del triangolo, per esempio Q, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai punti e Q è il piano assiale, ovvero il piano perpendicolare a Q e passante per il suo punto medio. In maniera analoga si individuano i piani assiali e per i restanti lati P e PQ. L intersezione di questi tre piani è una retta r, perpendicolare al piano del triangolo e passante per il punto medio dell ipotenusa PQ. Tale retta è pertanto il luogo dei punti equidistanti dai vertici del triangolo rettangolo. β S γ r α S Q Indichiamo con a (a ) e = b (b ) gli zeri del grafico II e tracciamo le corrispondenti rette (figura 6). P I II Figura 6. Figura 5. III a b sserviamo che il grafico I è strettamente crescente in R, pertanto la sua derivata prima deve essere non negativa in tale insieme. Ciò permette di escludere le alternative A e B, secondo cui la derivata prima (grafico II o grafico III) è negativa in un certo intervallo. Consideriamo l alternativa C: il grafico II ha concavità rivolta verso l alto in R; ciò implica la positività della derivata seconda. Questo fa così escludere l alternativa in esame dove per la derivata seconda (grafico I) è negativa. Ugualmente si può escludere l alternativa E: per il grafico III ha concavità rivolta verso l alto, mentre la sua derivata seconda (grafico II) è negativa per b. Valutiamo ora l alternativa D: il grafico II, derivata prima della funzione, ha ordinata positiva per a b, nulla per a e b, ha ordinata negativa per a b. Ciò è sufficiente per dedurre che la funzione è crescente per a b, ha massimo e minimo relativo rispettivamente per a e b, è decrescente per a b. Tali proprietà sono compatibili con il grafico III. Analogamente, il grafico I, derivata seconda della funzione, ha ordinata positiva per, nulla per, ordinata negativa per. Ciò implica che la corrispondente funzione ha concavità rivolta verso l alto per, verso il basso per, ha flesso per. Tali caratteristiche sono ancora compatibili con il grafico III. Pertanto si assume esatta l alternativa D. Zanichelli Editore,

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