Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10. Lecture 22: 1 Giugno Meccanismi Randomizzati

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1 Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica AA 2009/10 Lecture 22: 1 Giugno 2010 Meccanismi Randomizzati Docente Vincenzo Auletta Note redatte da: Davide Armidoro Abstract In questa lezione descriveremo i Meccanismi Randomizzati e mostreremo alcune loro applicazioni per problemi con dominio Single-Dimensional Il problema che prenderemo in considerazione sarà quello del Job Scheduling su Macchine Relate: presenteremo un monotono per la versione frazionaria del problema e faremo vedere come può essere utilizzato per creare un meccanismo polinomiale, compatibile agli incentivi, randomizzato e 2-approssimato Queste note sono basate sul capitolo 13 [1] 1 Introduzione Nelle precedenti lezioni abbiamo concentrato la nostra attenzione sempre su meccanismi deterministici,nei quali i giocatori forniscono le loro valutazioni al sistema ed il meccanismo calcola deterministicamente l outcome e decide i pagamenti da assegnare ai giocatori In questa lezione introduciamo la classe dei Meccanismi Randomizzati, che restituisce una distribuzione di probabilità con cui viene deciso l outcome del gioco ed i pagamenti dei giocatori Per comprendere meglio il concetto potete immaginare un meccanismo randomizzato come ad una distribuzione di probabilità su un insieme di meccanismi deterministici (il suo supporto): dopo che i giocatori hanno espresso le loro valutazioni il meccanismo seleziona uno dei meccanismi del supporto secondo la distribuzione di probabilità fissata e decide l outcome ed i pagamenti Rispetto ai Meccanismi Randomizzati, esistono due concetti di Compatibilità agli Incentivi (CI): CI in senso universale: ogni meccanismo deterministico nel supporto Ë CI CI in expectation: i v i, v i, v i E[v i (a) p i ] E[v i (a ) p i ] dove (a, p i ) e (a, p i ) sono variabili randomizzate che denotano l outcome e il pagamento quando l agente i gioca, rispettivamente, v i e v i, ed E[ ] denota l aspettativa (expectation), o meglio la media, calcolata sulla distribuzione del meccanismo Notiamo che la definizione di Compatibilità agli Incentivi in Expectation è molto più ampia perchè non richiede che i meccanismi del supporto siano compatibili agli incentivi (addirittura, potrebbe succedere che nessun meccanismo del supporto sia compatibile agli incentivi) E facile osservare che CI in senso universale CI in expectation mentre CI in senso universale CI in expectation 1

2 2 Lecture 22: Meccanismi Randomizzati Come vedremo i Meccanismi Randomizzati sono più potenti dei Meccanismi Deterministici ed esistono problemi per cui il mioglore fattore di approssimazione ottenibile per meccanismi randomizzati compatibili agli incentivi è strettamente inferiore al miglior fattore di approssimazione ottenibile per meccanismi deterministici 2 Meccanismi Efficienti per Domini Single-Dimensional In questa sezione considereremo il problema dello Job Scheduling su Macchine Relate In questo problema abbiamo n job da assegnare ad m macchine Ogni job j ha peso w j e ogni macchina i ha velocità per cui l esecuzione del job j sulla macchina i richiede tempo w j Sia l i il carico di lavoro assegnato alla macchina i, definito come l i = w j, j assegnati ad i e sia il makespan di una certa allocazione (l 1, l 2,, l n ) definito come max i l i Vogliamo trovare un allocazione dei job alle macchine che minimizza il makespan Ora, assumiamo che le macchine siano controllate da giocatori egoisti e che la velocità di ciascuna macchina sia un informazione privata del giocatore che controlla la macchina Il sistema per poter calcolare l allocazione dei job deve prima richiedere ai giocatori le velocità delle loro macchine e poi calcolare l allocazione sulla base dei valori dichiarati dai giocatori Ovviamente, poiché l allocazione di job ad una macchina implica un lavoro da svolgere, il giocatore aspira a ricevere meno lavoro possibile e per questo motivo potrebbe dichiarare una falsa velocità Formalizziamo questa idea dicendo che l utilità del giocatore i per una allocazione che assegna carico l i è uguale a l i / Per incentivare i giocatori a non mentire gli attribuiamo un pagamento P i e quindi l utilità che il giocatore cercherà di massimizzare sarà uguale a l i + P i Naturalmente il Meccanismo che andremo a creare dovrà essere CI in expctation Teorema 1 Un Meccanismo Randomizzato normalizzato in un dominio Single-Dimensional è CI in expectation se e solo se i, v i : la funzione w i (v i, v i ) è monotona non decrescente in v i ; P i (vi, v i ) = v i w i (v i, v i ) v i v 0 i w i (t, v i )dt Per la prova di questo riferimento fate riferimento alle note della lezione 16 Abbiamo visto nelle scorse lezioni che la possibilità di costruire meccanismi con le proprietà computazionali desiderate è fortemente correlata alle dimensioni del dominio del problema In particolare, per un problema con dominio Single-Dimensional il requisito principale è la monotonicità dell algoritmo di allocazione Ricordiamo che un dominio è Single-Dimensional se l intera funzione di valutazione può essere espressa da un unico parametro In questa lezione considereremo una classe particolare di problemi Single-Dimensional che vengono definiti come problemi One-Parameter I problemi One-Parameter sono definiti nel seguente modo:

3 Lecture 22: Meccanismi Randomizzati 3 Definizione 1 Un dominio V i del giocatore i si dice One-Parameter se esistono costanti reali non negative {q i,a } a A tale che, v i V i, esiste c R tale che v i (a) = q i,a c In questo caso q i,a è il carico assegnato alla macchina i nell allocazione (outcome) a, mentre c = 1 è il costo per eseguire un job di peso unitario sulla macchina i Possiamo notare come il parametro c rappresenti il tipo del giocatore (il nostro one-parameter) perché è sufficiente a costruire l intero vettore delle valutazioni che il giocatore ha per ogni job che gli potrebbe essere assegnato Notiamo che il problema di Scheduling che stiamo considerando ha una funzione di scelta sociale di tipo min-max; ciò vuol dire che non possiamo utilizzare la tecnica generale VCG per questo tipo di problemi D altra parte, poichè il dominio è convesso, è sufficiente trovare un algoritmo che sia weakly-monotone (per la definizione di WMON e relativa dimostrazione dei pagamenti si rimanda alle note della lezione 20) 21 Un Algoritmo Monotono per il Problema del Job Scheduling su Macchine Relate Dopo aver definito il problema e analizzato il tipo di algoritmo di allocazione che dobbiamo progettare per costruire un meccanismo compatibile agli incentivi, siamo pronti a descrivere il nostro algoritmo Notiamo che un algoritmo ottimo e monotono esiste ma ha complessità esponenziale e non speriamo di poterne trovare uno più efficiente perchè il problema è notoriamente NP-Hard Quindi, il nostro obiettivo sarà quello di progettare un algoritmo di approssimazione polinomiale, e monotono Nel seguito assumiamo che i job e le macchine siano ordinati in questo modo s 1 s 2 s m e w 1 w 2 w n Il nostro primo passo sarà tentare di stimare il valore del makespan ottimo Makespan Ottimo Fissiamo un indice j m e un valore T > 0 Osserviamo che see uno schedule ha un makespan T, allora deve assegnare ogni job tra 1,, j ad una macchina i tale che T w j Indichiamo con i(j, T ) = max{i T w j } la macchina i più lenta che può eseguire il job j entro il tempo T Quindi ogni schedule con makespan T deve necessariamente assegnare i job 1,, j alle macchine 1,, i(j, T ) e quindi k=1 T w k i(j,t ) (1) l=1 s l Unendo i due lower bound ottenuti per il makespan possiamo definire la quantità T j come { w j k=1 T j = min max, w } k i i Il prossimo lemma mostra che T j è un lower bound al makespan ottimo Lemma 1 Per ogni j = 1, 2,, m, il makespan ottimo è almeno T j Dimostrazione Fissiamo T < T j e poniamo i j uguale all indice della macchina per il quale si ottiene T j Notiamo che nell equazione 2 stiamo calcolando il massimo tra un termine crescente con i ed un termine decrescente con i Quindi, abbiamo che i j è o il { k=1 max i : w } k i l=1 s w j l (2)

4 4 Lecture 22: Meccanismi Randomizzati oppure è il ( Pj Pi j min { i : i < w j Per provare il lemma faremo vedere che in entrambi i casi la nostra T viola la (1) e questo implicherà che per ogni j deve essere T j T ) Caso 1 w j j In questo caso T j w j s Poiché T < T ij j allora i(j, T ) i +1 j, e } il che viola la (1) T < T j = ij i(j,t ) l=1 s l Caso 2 ( Pj Pi j < w P j j k=1 j ) In questo caso T j w k Pi j 1 e i(j, T ) < i j e quindi come volevasi dimostrare T < T j ij 1 i(j,t ) l=1 s l Il Lemma precedente ci fornisce un lower bound al valore del makespan ottimo che ci è dato dal massimo dei T j T LB = max T j (3) j Algoritmo ottimo per il caso frazionario Vediamo ora un algoritmo ottimo per la versione del problema frazionario, in cui si assume che i job possano essere spezzati in frammenti e ogni frammento possa essere assegnato ad una macchina differente Ovviamente, se la macchina i ottiene una frazione α del job j allora il suo lavoro per questo framento sarà (α w j) Il nostro algoritmo funzionerà nel modo seguente Sia j il primo job tale che > T LB s 1 ; l algoritmo ssegna alla macchina 1 i job 1,, j 1, più una frazione di j tale che l 1 = T LB s 1 A questo punto, l algorimo ricorsivamente ad assegnare la frazione rimanente del job j più tutti i job rimanenti alle restanti macchine da 2 a n Lemma 2 C è abbastanza spazio per attuare l assegnamento frazionario di tutti i job, e se il job j è assegnato in modo frazionato alla macchina i allora w j T LB Dimostrazione Sia i j l indice che determina T j Poichè T LB T j k=1 w j l=1 s, l possiamo assegnare in modo frazionato i job 1,, j fino alla macchina i j Inoltre dato che T j w j j abbiamo la seconda parte del lemma, mentre settando j = n otteniamo la prima parte

5 Lecture 22: Meccanismi Randomizzati 5 Lemma 3 La funzione di carico frazionario è monotona Dimostrazione Per provare il lemma faremo vedere che se viene incrementata fino a farla diventare s i = α (per α > 1) allora l i l i Denotiamo con T LB la nuova stima del makespan ottimo Come prima cosa affermiamo che T LB α T LB Per un istanza (s 1,, s m) tale che s l = α s l per ogni macchina l abbiamo che T LB = α T LB poichè entrambi i termini della funzione max di T j sono stati moltiplicati per α Siccome s l s l per ogni l abbiamo che T LB T LB Ora, se l i = T LB, allora l i T LB s i T LB = l i D altra parte, l i < T LB e quindi i è l ultima macchina non vuota Siccome T LB T LB, tutte le macchine precedenti ora hanno almeno lo stesso carico, quindi la macchina i non può avere più carico Algoritmo randomizzato per il caso intero Facciao vedere adesso come la soluzione frazionaria descritta nel paragrafo precedeten possa essere utilizzata come base per costruire una soluzione intera Un idea sarebbe di assegnare ogni job frazionato ad una delle macchine che ne ha avuto un pezzo Questo tipo di approssimazione ci fornisce un algoritmo con un fattore di approssimazione pari a 2 ma che viola la proprietà di monotonicità Dobbiamo perciò gestire l assegnazione dei job frazionati in maniera più accorta In letteratura è stato mostrato come fare questo passaggio sia in maniera randomizzata che in maniera deterministica preservando la monotonia dell allocazione In questa lezione descriveremo soltanto l algoritmo randomizzato che è più semplice e fornisce una migliore approssimazione Ovviamente, questo algoritmo ci permetterà di costruire un meccanismo che è compatibile agli incentivi solo in expectation Scegliamo a caso α [0, 1] Per ogni job j che è stato frazionato e assegnato alle macchine i e i + 1, se la frazione di job j della macchina i è almeno α, assegna l intero job j ad i, altrimenti assegna j alla macchina i + 1 Teorema 2 L algoritmo di scheduling randomizzato è CI in expectation, e ha un fattore di approssimazione pari a 2 Dimostrazione Consideriamo prima l approssimazione La macchina i può ricevere, oltre ai sui job interi assegnati in precedenza, altri due job: uno, j, condiviso con la macchina i 1, e l altro, k, condiviso con la macchina i + 1 Se nell effettuare l arrotondamento il job j viene assegnato interamente alla macchina i allora inizialmente i aveva almeno una frazione di j pari a 1 α, quindi il carico aggiuntivo causato da j è al massimo α w j Allo stesso modo, se k viene assegnato per intero alla macchina i allora inizialmente i aveva almeno una frazione di k pari ad α, quindi il carico aggiuntivo causato da k è al massimo (1 α) w k Quindi il massimo carico totale aggiuntivo che i può ricevere è pari a α w j + (1 α) w k 2T LB dove la diseguaglianza deriva dal fatto che max{w j, w k } T LB OP T

6 6 Lecture 22: Meccanismi Randomizzati Per la CI, abbiamo solo bisognodi mostrare che il carico atteso è monotono Notiamo che la macchina i 1 ottiene il job j con probabilità α, mentre i lo ottiene con probabilità 1 α, e i ottiene k con probabilità α In questo modo il carico atteso dalla macchina i è esattamente il carico frazionario del quale abbiamo già dimostrato la monotonia nel lemma precedente References [1] Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, and Vijay V Vazirani Algorithmic Game Theory Cambridge University Press, 2007

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