MINICORSO: Controllo Statistico di Processo (parte 2/5) di Andrea Saviano

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1 Parte 2 Mcorso Cotrollo Statstco d Processo d Adrea Savao Walter Adrew Shewhart, ch era costu, premessa Ache le matematco, che combazoe! Probabltà... seza mprevst Il 7 e ½ e altr goch d carte No poamo lmt solo alla dva Provvdeza Statstca, probabltà e aomale Premessa Walter Adrew Shewhart è cooscuto da tutt come l padre del cotrollo statstco della qualtà, tuttava poch sao che è stato ache l maestro d Edwards Demg (quello del cclo PDCA). Il suo lavoro è stato essezalmete correlato alle coosceze el campo della statstca, all elaborazoe della teora delle cause comu e a quella delle cause specal. HARDWARE Matere Prme Macche Attrezzature Impat CAUSE RANDOM TECNOLOGIA TECNICA PRODOTTO FINITO Persoe Metodologe d Lavoro SOFTWARE 1/23

2 Iaztutto, bsoga dvduare gl elemet casual e causal che caratterzzao u processo. S possoo dvduare tre tpologe d cause: tecologche (hardware), dovute alle caratterstche delle matere prme mpegat o delle attrezzature, macchar o mpat utlzzat; tecche (software), dovute alle metodologe d lavoro applcate o alle persoe che realzzao le attvtà; casual (radom), dovute alle ormal oscllazo casual che esstoo og processo. Il dagramma a spa d pesce utlzzato, volutamete dvde gl ambt tagbl, da quell uma e tagbl, perché come s vedrà pù avat dalla parte bassa della lsca s orgao le possbltà d realzzare de pa d cotrollo, u aals del modo e degl effett co cu s presetao dfett, de pa d reazoe, metre ella parte alta s geerao sstem d cotrollo accettazoe (matera prma) e pa d mautezoe prevsoal (macche, attrezzature e mpat). Come coda del pesce s pogoo vece le ormal oscllazo casual, perché la certezza o è altro che u elevata probabltà o mprobabltà che qualcosa accada. Tagble Vs tagble Spesso la questoe della suddvsoe degl elemet d flueza geera ua certa cofusoe, perché le metodche vegoo cofuse co l loro campo d applcazoe, perdedo quella caratterstca d tagbltà (o s può toccare l kow-how) e d labltà soggettva che vece gl elemet tagbl (qud osservabl e msurabl) hao. Ua maccha è d per sé oggettva, o ha percezoe d ch sa l Clete per cu sta lavorado, o camba l suo modo d operare per questo soggettve come l avere l mutuo da pagare, o aver dormto la otte perché l bambo pageva o aver subto u grave lutto ( questo caso l ambto soo le persoe). Implcto Vs Esplcto Le persoe quado operao su macche, mpat e attrezzature per attrbure valore agguto a matere prme e semlavorat utlzzao delle metodche d lavoro che possoo essere dvdual, coè patrmoo della persoa (professoaltà), o collettve, coè patrmoo dell azeda (kow-how) oppure mplctamete dffuse. Cosderamo tre persoe (p1, p2, p3), ogua co l suo modo d agre. Per espereza o tradzoe alcue metodche soo tra loro codvse, seppur la cosa o sa esplcta (coè o esstoo procedure, struzo operatve o struzo d lavoro scrtte, o c è stata ua vera e propra formazoe co addestrameto e verfca). Avedo la loro espereza u tersezoe comue (c4) pur o esstedo esplctamete u metodo esso, mplctamete esste. L area comue è qud metodo, metre le aree o comue rappresetao dal puto d vsta causale la persoa. 2/23

3 Testa o croce? No c è ulla d pù certo del caso Il caso, o essedo premedtato e o agedo modo sstematco, ha ua prerogatva rspetto a tutte le altre possbl cause: rspode solo a modell d tpo stocastco alla cu base c è la legge de grad umer. Tale legge s esplcta due forme: forte, data ua successoe d varabl casual, all aumetare d, queste covergoo su ua medesma meda μ e ua medesma devazoe stadard σ; debole, data ua successoe d varabl casual, all aumetare d, queste covergoo term d probabltà alla medesma meda μ. Cò garatsce che la meda campoara sa uo stmatore cosstete della meda d ua popolazoe; cò equvale a dre che, graze alla legge de grad umer, la meda che calcolamo a partre da u umero suffcete d campo sa suffcetemete vca alla meda vera. Questo o c permette d prevedere l esto del laco d ua moeta, é c permette d prevedere le sequeze, ma c asscura che, dopo u umero d lac suffcetemete elevato, l umero d volte cu sarà uscta ua facca puttosto che l altra sarà pressoché uguale. Ache le matematco, che combazoe! Per poter parlare d statstca e d stocastca co u mmo d competeza è ecessaro avere almeo u faratura d cosa sao: l calcolo combatoro; modell d probabltà; gl dc d stes statstca. Il calcolo combatoro Il calcolo combatoro svluppa degl strumet matematc per valutare l umero d mod possbl cu u certo umero d elemet, utlzzado precse regole, può essere dsposto. Questo, dal puto d vsta pratco, permette d cooscere l umero d mod che 5 umer, estratt da 90 (qud tutt umer compres tra 1 e 90) seza rpetzoe, possoo realzzare. Se s trattasse del lotto, l modo cu quest umer s ordao o sarebbe rlevate perché la sequeza sarebbe equvalete a quella ordata , ache questo caso l calcolo combatoro c vee auto. Permutazo semplc o co rpetzo S parla d permutazo, quado s desdera cooscere l umero d mod cu è possble ordare u certo umero d oggett. Ad esempo: quat mod è possble ordare le lettere A, B e C? Cosderamo cas che s possoo realzzare teedo costate l prmo elemeto: ABC, ACB BAC, BCA CAB, CBA S hao tutto 6 possbltà. Pù geerale, le possbltà d ordare oggett dvers soo: Dove! s legge: fattorale ed è così defto: P! 3/23

4 Nel caso oggetto: 3! (c.v.d.).! 1 2 K Dato u seme d elemet dstt, s dcoo permutazo d tal elemet tutt possbl dvers ordamet d tal elemet. Quado vece gl oggett soo compost da a elemet ugual d tpo a, b elemet ugual d tpo b e così va, tal che: a + b S parla d permutazo co rpetzo (seza essu rfermeto al fatto che servao delle lezo supplemetar per comprederle a fodo) e s ha: P,, K a b +K!!! K D partcolare teresse la suddvsoe sol due grupp, perché molt evet vegoo gudcat maera bara 1/0 (sì/o, vero/falso, presete/assete, etc.) cu: a b P x,! x! x ( x)! 0 1 x Dsposzo semplc S parla d dsposzo, quado s desdera cooscere l umero d mod cu è possble ordare u certo umero d oggett che provegoo da u seme pù ampo. Ad esempo: quat mod è possble ordare 3 umer utlzzado le cfre da 0 a 9? Cosderamo cas che s possoo realzzare teedo costate come prmo elemeto lo 0: 012, 013, 014, 015, 016, 017, 018, , 023, 024, 025, 026, 027, 028, , 092, 093, 094, 095, 096, 097, 098 Soo mod. Essedo 10 le cfre utlzzabl, s hao 720 mod dfferet. Pù geerale, le possbltà d ordare r oggett dvers proveet da u seme d oggett dfferet soo:!, ( 1) ( 2) ( r + 1) ( r)! D r K Dato u seme d elemet dstt s dcoo dsposzo semplc d classe r (r ) tutt dvers ordamet d r elemet scelt tra gl dat. 4/23

5 Combazo semplc S parla d combazo, quado s desdera cooscere l umero d mod cu è possble assocare u certo umero d oggett che provegoo da u seme pù ampo, ma seza ordarl e seza rutlzzarl. Ad esempo: quat mod è possble assocare 5 umer che vao da 1 a 90, estraedol da u seme che e cotee 90? Cosderamo cas che s possoo realzzare teedo costate come prmo elemeto l 1: , , , cas , , cas , , cas , cas caso , , cas caso S ota che cas scemao, mao a mao che s prosegue co l algortmo da usare come prmo umero 1 ad usare vece 89, per u totale d combazo possbl, somma dovare la combazoe uscete è u po come vcere al lotto! Dalle dsposzo è possble estrapolare l umero d cas a prescdere dall orde, metre dalle permutazo è possble cooscere mod dsordat cu s possoo ordare. Pù geerale, le possbltà d sceglere r oggett dvers proveet da u seme d oggett dfferet soo: C, r D, r P r! ( r)! r! r Dato u seme d elemet dstt s dcoo combazo semplc d classe r dvers sottosem format co r elemet scelt tra gl dat. Sempre pù dffcle! Co rpetzo Iaztutto l cocetto co rpetzo o è coesso al fatto che occorrao delle rpetzo d matematca per capre quato esposto, ma el fatto che è possble rmettere goco l elemeto ad og estrazoe. Se rcosderamo le permutazo ache AAB o AAA sarebbe, ad esempo, u caso possble. Ad esempo: quat mod è possble aagrammare l ome ANNA? AANN, ANAN, ANNA NNAA, NANA, NAAN S ottegoo 6 cas ammssbl. Posto A 2 e N 2 s ha A + N 4. I geerale, le possbltà d ordare oggett dvers tra qual m possoo essere preset 1, 2 m volte soo: P!, K 1 m 1! K! m 5/23

6 Cosderamo, vece, le dsposzo possbl d r compoet proveet da u seme d elemet, potedol rutlzzare. Il tpco esempo soo umer da 0 a 9 per realzzare umer a 3 cfre. Quat umer s ottegoo? Nulla d pù semplce, la rsposta è: 1000, tutt umer a partre da 0 fo ad arrvare a 999! DR, r r Cosderamo, fe, le combazo possbl d r compoet proveet da u seme d elemet, potedol rutlzzare. I quat mod è possble assocare 5 umer che vao da 1 a 90, estraedol da u seme che e cotee 90 e rmettedo og volta detro l umero estratto? S tratta qud d valutare le dsposzo semplc ottebl attraverso 5 umer estratt da u seme d 90, dvdedo l umero otteuto delle volte cu camba l orde, ma umer estratt soo sempre gl stess: D 5 90! 5! 5! ( 90 ) 90,5 P Da cu s ottee cas. I geerale, le possbltà d estrarre r oggett da u seme d, reseredol ad og estrazoe, soo: CR, r D, r P r! ( r)! r! Probabltà... seza mprevst Al fe d poter formulare de gudz su evet futur base alle coosceze a dsposzoe, s può rcorrere al calcolo delle probabltà che u dato eveto ha d realzzars rspetto alla casstca possble. U esempo baale è quello del dado a 6 facce. Cosderamo l laco d due dad (per covezoe uo rosso e uo blu). Gl est possbl, tes come somma de putegg, soo: 2, 1+1, 1 combazoe; 3, 1+2 e 2+1, 2 combazo; 4, 1+3, 2+2, 3+1, 3 combazo 5, 1+4, 2+3, 3+2, 4+1, 4 combazo; 6, 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1, 5 combazo; 7, 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1, 6 combazo; 8, 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2, 5 combazo; 9, 3+6, 4+5, 5+4, 6+3, 4 combazo; 10, 4+6, 5+5, 6+4, 3 combazo; 11, 5+6 e 6+5, 2 combazo; 12, 6+6, 1 combazoe; per u totale d DR 6, combazo possbl. Se s costrusce ua tabella (approssmata) delle probabltà s ha: % 5.6% 8.3% 11.1% 13.9% 16.7% 13.9% 11.1% 8.3% 5.6% 2.8% A questo puto s passa all espermeto, che cosste 6 ccl d 36 lac, aotado le frequeze rapportate a 36 lac. Ife s calcolao le mede artmetche e campo d varabltà. Io ho otteuto: 6/23

7 Ua volta effettuato l espermeto è cosglable porre valor ua tabella rassutva modo da poter faclmete aalzzare gl est dell espermeto: X 0,5 1,2 3,5 4,7 5,3 7,2 5,7 3,2 3,0 1,5 0,3 R S possoo rportare quest dat forma grafca modo da verfcare se l adameto dell espermeto ha seguto l adameto prevsto, partcolare è possble base al valore medo e alla dspersoe de dat traccare la curva d probabltà d u eveto caratterzzato da medesm parametr e che avesse ua dstrbuzoe d tpo ormale probabltà teorca frequeza ormale curva espermeto Qualche ozoe e alcu assom Suppoamo d codurre u espermeto N volte l cu esto sa volte l eveto a. S defsce come probabltà che s verfch l eveto a la fuzoe così defta: Pr( a) lm ATTENZIONE: o è detto che questo lmte essta ed è ecessaro che esstao le codzo d rpettvtà dell eveto a! È vece evdete che: se a è u eveto, la probabltà che s verfch a è 0 Pr(a) 1; se a è u eveto, la probabltà che o s verfch a è data da Pr( a)1-pr(a); Posto che S è l seme d tutt gl evet possbl, cosderamo qud seguet assom: se Pr(a)1, allora a è u eveto certo, e derva che Pr(S)1; se Pr(a)0, allora a è u eveto mpossble, e derva che Pr(Ø)0; se a e b soo due evet compatbl, allora Pr(a b)0 e Pr(a b)pr(a)+pr(b); N N 7/23

8 se a e b soo due evet, la probabltà che s verfch a preseza dell eveto b è data da Pr(a b) così defto: Pr ( a b) Pr Pr ( a I b) ( a) se a e b soo due evet compatbl, allora Pr(a b) 0 e Pr(a b)pr(a)+pr(b)-pr(a b); Da suddett assom dervao alcu teorem fodametal, qual: l teorema della probabltà totale: Pr l teorema della probabltà composta: Pr ( a U b) Pr( a) + Pr( b) Pr( a I b) ( a I b) Pr( a) Pr( b a) Pr( b) Pr( a b) l teorema d Bayes: Pr ( a ) Pr[ ( a I b) U ( a I b) ] oché cocett chave come la probabltà codzoata: se a è u eveto dpedete dall eveto b, allora Pr(a) dpede dal fatto che l eveto b s verfch o meo, coè Pr(a)Pr(a b). la probabltà totale: se S{a 1, a 2,, a }, dove gl evet a soo mutuamete esclusv ed esaustv, allora Pr( a ) 1 U 1 l dpedeza stocastca: se a e b soo due evet stocastcamete dpedet, allora Pr(a b)pr(a) Pr(b) ovvero ( a b) Pr( a) Pr I Pr Pr( b) Pr ( a b) Pr( a) ( b a) Pr( b) Evtamo brutte fgure Suppoamo d avere u mazzo d carte e d voler determare la probabltà che pescado ua carta c capt ua carta d pcche o ua fgura. Poché c soo 52 carte u mazzo d carte fraces. 13 carte soo d pcche per cu Pr(pcche) 13/52, metre le fgure soo 3 per oguo de 4 sem, coè per cu Pr(fgure) 12/52. Ora che ua carta possa essere ua fgura e che l seme d questa sa d pcche o è u eveto compatble perché c soo be 3 carte el mazzo che soddsfao questa codzoe, Pr(pcche fgura) 3/52. Ne derva che la probabltà totale rsulterà essere data da: Pr(pcche fgura) Pr(pcche) + Pr(fgura) - Pr(pcche fgura) 22/52~35,5%. Vedamo u caso d probabltà codzoata e d probabltà composta: ua popolazoe d 100 ragazze avveet, u ragazzo sa attraverso u questoaro aomo che 40 d loro accetterebbero d buo grado u suo vto ad uscre. A questo puto lo studete decde d proporre l vto a quattro d loro modo d avere a suo avvso molte pù probabltà. Msuramo la probabltà che l ragazzo vada baco (eveto sgradto), che solo ua delle quattro ragazze accett l'vto (eveto desderato) e che pù d ua accett cotemporaeamete (eveto o desderato). 8/23

9 Affrotamo per prmo l ultmo de tre cas, perché realtà è l pù semplce. Ifatt, basta che due ragazze accetto perché s realzz la stuazoe d fare ua brutta fgura (a quel puto, qualsas sa la rsposta delle altre due, la frttata è fatta). È assodato che la probabltà Pr(e, t), espressa come esto e cosegueza de tetatv t, el caso d u esto favorevole co u solo tetatvo è Pr(1; 1) 40%. S utlzza la seguete formula: Pr ( x) ( k)! r!!( r k)! dove: è l umero d cas possbl, el caso specfco 100; r è l umero degl evet a: o per l eveto asì, è 40, o per l eveto ao, è 60; k è l umero d tetatv effettuat. Per prmo caso affrotamo l prmo caso, coè quello cu tutte le ragazze darao buca. Pr( 1 sì )60/100, Pr( 2 sì 1 sì )59/99 e così va, per cu Pr(0; 4) 12,4%. Per aalzzare gl altr due cas utlzzamo la seguete formula: P ( x) p q x k x k dove: è l umero d cas possbl, el caso specfco 100; p è l umero degl evet favorevol: q è l umero degl evet sfavorevol: k è l umero d tetatv effettuat. x è l umero d tetatv favorevol tra tetatv effettuat. Rcerchamo le probabltà legate al fatto che solo ua delle quattro ragazze da ua rsposta affermatva secodo lo schema: sì o o o o sì o o o o sì o o o o sì Ovvamete s potrebbe utlzzare l aals delle sgole probabltà per quattro evet ma la formula proposta semplfca d molto le cose. Pr(1; 4) 34,9%. Ife, affrotamo l caso 2, 3, o tutte le rsposte postve: Pr(2 3 4; 4) 35,2%+15,1%+2,3% 52,7%. Fermo restado l fatto che lo studete farebbe meglo a o vtare quattro ragazze cotemporaeamete, ma attedere d volta volta l esto della proposta d vto, s vede come la probabltà che s realzz la combazoe desderata è ferore a quella del tetatvo secco, cò che realtà aumeta è la possbltà d fare ua brutta fgura otteedo pù d ua rsposta postva cotemporaeamete. I base a queste valutazo è teressate valutare la cosddetta speraza matematca d otteere u 7 medate l laco d 2 dad. ATTENZIONE: questo caso l esto d u laco o flueza alcu modo l esto d quello successvo. La formula per l calcolo della probabltà questo caso è: 9/23

10 Pr ( x) 1 1 dove: è l umero d cas (combazo) possbl, el caso specfco 36; r è l umero de cas favorevol, el caso specfco 6; k è l umero d tetatv effettuat. É teressate otare aztutto che la speraza matematca d otteere u 7 effettuado 36 lac è solo del 99,9%, coè esste ua probabltà dello 0,1% che 36 lac o compaa ma l 7! L espereza comue legata al cocetto erroeo d umero rtardataro porterebbe vece a utlzzare la formula precedete che forrebbe la certezza d u 7 dopo sol 22 lac. Rpredamo la tabella della prova precedete e cosderamo valor coloa azché lugo le rghe (l rempmeto delle celle è stato comuque u eveto aleatoro). Applcado la formula corretta, crca 26 coloe su 36 dovrebbero aver almeo u 7. Applcado l crtero che lac sao fluezat dagl est precedet (cocetto del umero rtardataro), crca 34 coloe dovrebbero presetare almeo u 7. Nel mo espermeto ho otteuto 27 coloe (solo ua pù della prevsoe). r k Cosegueze del teorema d Bayes F qu s è compreso che la teora delle probabltà è ua sceza matematca che s occupa d evet aleator, coè d stuazo che s presetao og volta dversamete, se rpetute pù volte, come l esto del laco d uo o pù dad. I og espermeto codotto per compredere l feomeo s rcooscoo delle codzo essezal, ecessare per l compers dell espermeto, e delle codzo secodare, che varao da u espermeto all altro e che soo la causa delle varazo aleatore de rsultat. S suppoga qud l essteza d u eveto e (effetto) che o può ma verfcars se o preseza d altr evet c (cause). Questo è l tpco caso cu fattor aleator secodar tmamete legat gl u agl altr gocao u ruolo mportate. Graze alle relazo f qu esamate, svluppamo la formula d Bayes: Pr ( a ) Pr[ ( a I b) U ( a I b) ] Pr( a I b) + Pr( a I b) Pr( b) Pr( a b) + Pr( b) Pr( a b) Applchamo tutto cò ad u esempo pratco: s suppoga che l 30% della popolazoe sa predsposto ad ua malatta, s sappa da dag statstche che tra gl dvdu predspost se e ammalao aualmete l 50%, metre per l altro gruppo la percetuale rsulta essere del 20%. Qual è la probabltà che u dvduo qualsas s ammal? I questo caso: eveto a: u dvduo s ammala; eveto b: u dvduo è predsposto. ( a ) Pr( b) Pr( a b) + Pr( b) Pr( a b) 30% 50% + (100% 30%) 20% 29% Pr S è così otteuta la probabltà complessa che u dvduo qualsas s ammal. I term pù geerc del tpo cause/effetto: 10/23

11 Pr () e Pr( c ) Pr( e c ) 1 S dce che ella formula d Bayes s combo tre tp d probabltà: la probabltà a pror, che assega ua probabltà d verfcars alla causa c a prescdere del verfcars dell effetto e; la probabltà a posteror, che detfca la probabltà che la causa c abba fluto sull effetto e; la probabltà probatva, che rappreseta l effettva probabltà d verfcars dell effetto e preseza della causa c. Le cogrueze apparet e l goco d azzardo Affamo l aals delle probabltà. C soo tre carte: la prma ha due lat er; la secoda ha u lato ero e l altro baco; la terza ha etramb lat bach. Vee posta ua carta a caso sul tavolo. La scommessa che propogo è: scommetto che ache l altro lato è del medesmo colore V covee accettare? Provate ad otteere emprcamete la rsposta. SOLUZIONE: la scommessa o è equlbrata, ma è a mo favore. Idco co B l baco e co N l ero. Le carte soo: carta 1: B1-B2 carta 2: B3-N1 carta 3: N2-N3 Suppoamo sa uscto u lato baco, s potrebbe trattare d uo de tre cas: lato baco, qud potrebbe apparteere alla carta 1 oppure alla carta 2. Duque cas possbl per l lato vsble soo 3: B1, B2, B3. I cas favorevol all eveto che ache l'altro lato sa baco soo 2: B2, B1 Duque la probabltà che ache l altro sa baco è crca del 66,7% e o del 50%! V facco u altra proposta, ed è la seguete: * * * dovate tra 90 umer (da 1 a 90) 5 che estrarrò pago: per 2 umer dovat 250 volte la posta; per 3 umer dovat volte la posta, per 4 umer dovat volte la posta; per 5 umer dovat volte la posta. V covee accettare? Provate ad otteere emprcamete la rsposta. SOLUZIONE: segalo solo che s hao: amb; ter; quatere; cque; qud, se v ducess a questo goco sare o u gra farabutto o, alteratva, lo Stato talao. 11/23

12 * * * Ultmo questo, s goca a poker. C soo 4 gocator e u mazzo che cotee 32 carte co otto valor dfferet (7, 8, 9, 10, J, Q, K, A) e quattro sem ( ). Le combazo possbl soo: coppa, s realzza avedo 2 carte dello stesso valore; doppa coppa, s realzza avedo 2 coppe; trs, s realzza avedo 3 carte dello stesso valore; scala semplce, s realzza avedo 5 carte d seme dverso, ma orde; full s realzza avedo u trs e ua coppa; colore, s realzza avedo 5 carte dello stesso seme, o orde; poker, s realzza avedo 4 carte dello stesso valore; scala reale s realzza avedo 5 carte dello stesso seme, orde. V facco la seguete proposta: a prescdere dalle vostre carte, v pago alla par se servto o ho almeo ua coppa V covee accettare? SOLUZIONE: calcolamo, la probabltà d realzzare, le suddette combazo, usado la defzoe classca d probabltà come rapporto tra cas favorevol e cas possbl J Q K A J Q K A J Q K A J Q K A Ora, l umero de cas possbl, soo le combazo delle 32 carte a grupp d 5: C P D 32! 32 (32 5)!5! 5 32,5 32, La scala reale: dato u seme, c soo solo 5 cas d scala reale, dalla mma alla massma: Essedoc 4 sem, s ha u totale d cas. A J J Q 9 10 J Q K 10 J Q K A ( scala reale) 0.010% Pr Il poker: c soo solo 8 cas d avere 4 carte ugual (s facca rfermeto alle coloe della precedete tabella) che vao moltplcat per 28 cas cu s può presetare la quta carta, per u totale d 224 cas. ( poker) 0.111% Pr Il colore: s hao 32 cas d avere la prma carta, qud restado el medesmo seme s hao 7 carte, po 6, po 5 ed fe 4. Ora, poché l orde o cota s ha cas a cu s devoo toglere le scale real che, come s è vsto, soo 20, per u totale rdotto d 204 cas. ( colore) 0.101% Pr 12/23

13 La scala: s hao 20 cas co l medesmo seme che vao moltplcat per tutte le combazo ottebl co 4 sem (4 4, derva dal teere fssa la prma e mutevole le altre 4 carte), a questo totale (5 120) vao tolte le 20 scale real, per u totale d combazo. ( scala) 2.533% Pr Il trs: la prma carta può essere scelta 32 mod, a questo puto s hao per la secoda carta solo 3 mod per avere 2 del medesmo valore e po solo 2 mod per otteere 3 del medesmo valore, per cu (32 3 2)/3!32 combazo. A questo puto s cosderao le carte rmaet, occorre escludere l evetualtà d ua quarta carta uguale (altrmet s avrebbe u poker), restao 32 carte del mazzo da cu escludere le 3 per l trs, pù la quarta che farebbe l poker, otteedo possbl scelte. Per la quta carta o solo questa o può essere uguale alla prma per la questoe del poker, ma o può emmeo valere quato la quarta (altrmet s avrebbe u full), s hao così le 32 carte del mazzo da cu escludere le 3 per l trs, pù la quarta che farebbe l poker, meo la carta gà pescata ed escludedo le altre 3 ugual che altrmet darebbero u full, otteedo Ne dervao (28 24)/2!336 combazo. Mettedo seme le due cose s ha combazo. ( trs) 5.339% Pr La coppa: la prma carta può essere scelta 32 mod, a questo puto s hao per la prma carta solo 3 mod per avere 2 del medesmo valore, per cu (32 3)/2!48 combazo. A questo puto s cosderao le carte rmaet, occorre escludere l evetualtà d ua terza carta uguale (altrmet s avrebbe u trs), restao allora 32 carte del mazzo, da cu escludere le 2 per la coppa, pù le altre 2 che farebbero l trs, otteedo possbl scelte. Per la quarta carta s hao le 32 carte del mazzo da cu escludere le 2 per la coppa e le altre 2 rmaet, meo la terza e le 3 che co questa farebbero ua doppa coppa, otteedo 32-(2+2)-(1+3)24 possbl scelte. Per la quta carta o solo questa o può essere uguale alla coppa, ma emmeo alle altre due (altrmet s avrebbe d uovo ua doppa coppa), s hao così le 32 carte del mazzo da cu escludere le 2 per la coppa, pù le altre 2 che farebbe l trs e le due rmaet, la terza e le tre a le uguale, la quarta e le 3 ad essa ugual, otteedo 32-(2+2)-(1+3)-(1+3)20 possbl scelte. Ne dervao ( )/3!2240 combazo. Mettedo seme le due cose s ha combazo. ( coppa) % Pr La doppa coppa: la prma carta può essere scelta 32 mod, a questo puto s hao per la secoda carta solo 3 mod per avere 2 del medesmo valore, per cu (32 3)/2!48 combazo. A questo puto s cosderao le carte rmaet, occorre escludere l evetualtà d ua terza carta uguale (altrmet s avrebbe u trs), restao allora 32 carte del mazzo, da cu escludere le 2 per la coppa, pù le altre 2 che farebbero l trs, otteedo possbl scelte. Per la quarta carta s hao le 3 carte del mazzo che forscoo la secoda coppa, coscché per la secoda coppa s ha (28 3)/2!42 possbl scelte. Poché o è rlevate l orde tra le due coppe s ha (48 42)/2! Per la quta carta o solo questa o può essere uguale alla prma coppa, ma emmeo alla secoda, s hao così le 32 carte del mazzo da cu escludere le 4 per la prma coppa, pù le altre 4 che della secoda, 32-(2+2)-(2+2)24 possbl scelte. Mettedo seme le due cose s ha combazo. ( doppa coppa) % Pr Il full: la prma carta può essere scelta 32 mod, a questo puto s hao per la secoda carta solo 3 mod per avere 2 del medesmo valore, per cu (32 3)/2!48 combazo per la coppa. 13/23

14 A questo puto s cosderao le carte rmaet, occorre escludere l evetualtà d ua terza carta uguale (altrmet s avrebbe l trs che s vuole realzzare co le prossme 3 carte), restao allora 32 carte del mazzo, da cu escludere le 2 per la coppa, pù le altre 2 che farebbero l trs, otteedo possbl scelte. Per la quarta carta s hao le 3 carte del mazzo che forscoo la secoda coppa, qud altre 2 scelte per la quta carta modo da otteere l trs, ovvero (28 3 2)/3!28. Mettedo seme le due cose e teedo coto che l orde della coppa e del trs o mporta, s ottegoo combazo. Rassumedo s ha: ( full) 0.667% Pr Coppa % Doppa coppa % Trs 5.339% Scala 2.533% Full 0.663% Colore 0.101% Poker 0.111% Scala reale 0.010% TOTALE % È evdete che le probabltà che ua mao o s abba almeo ua coppa soo molto basse, crca 1 su 4. * * * Isomma, scommettere è sempre u goco u po azzardato se o s cooscoo le effettve possbltà d vcere (eveto favorevole) o perdere (eveto sfavorevole). Statstca La statstca è la sceza che ha come fe lo studo quattatvo e qualtatvo d u seme collettvo d formazo. Studa mod (descrtt attraverso formule matematche) cu ua realtà feomeca lmtatamete a feome collettv può essere stetzzata e qud compresa oppure come tramte u umero lmtato d esemplar possa essere stmata. Oltre a quest due mpegh, tpc della statstca descrttva e d quella ferezale, s affaca ache u terzo utlzzo, fortemete stocastco, che è la statstca esploratva, tramte la quale s teta d verfcare le potes su u feomeo aalzzato defedo crter d accettabltà o ammssbltà d u seme d dat pù ampo. Molte soo le crtche che o espert muovoo alle formazo che dervao dalla statstca, ma questo è dovuto essezalmete alla mapolazoe esperta de dat a dsposzoe, secodo quella che o chamo la legge dell avvocato: 14/23

15 solo ch coosce alla perfezoe le regole, è grado d fragerle seza che gl altr se accorgao. I statstca descrttva, dove oggettvamete s osserva l tera popolazoe e se e stetzzao le formazo, gl elemet d stes o hao alcu sgfcato se po o s usao degl strumet qual, ad esempo, la stratfcazoe (coè la massa d dat omogee che sovrappost formao quell della popolazoe) o la correlazoe ( che modo le formazo s legao tra loro). Tato per dare u esempo, l flazoe sull tera popolazoe ha veramete u msero sgfcato, può essere pù utle ua stratfcazoe per fasce d reddto, perché è possble così effettuare ua correlazoe tra fasca d reddto e paere d acqust d rfermeto. I statstca ferezale sceglere grossolaamete l campoe d rfermeto e o verfcare l potes d probabltà se corrspode o meo a quella orma o d Gauss ( gergo: pafcare degl espermet) può portare a cocluso fuorvat. Utlzzare la stocastca per valcare u potes può po portare ad uo de due error caratterstc della statstca esploratva: valdare u potes valda; valdare u potes falsa. Per quest e molt altr motv, dveta fodametale cooscere le bas della statstca ma ache le regole che bsoga rspettare affché l esame e l aals de dat port po ad u formazoe affdable. Mea: la meda artmetca semplce La meda artmetca semplce è la meda per atoomasa. Vee adoperata per rassumere co u solo umero u seme d dat su u feomeo msurable. Defto u seme d valor {x 1, x 2 x } la formula per otteere la meda artmetca semplce è: x x1 + x +Kx 2 Dove l tratto sopra a x serve ad dcare l cocetto d meda. I maera stetca s può ache scrvere: x 1 I questa formula s troduce l smbolo d sommatora, co l quale s dca che s deve effettuare la somma d tutt geerc valor x al varare dell dce da 1 a. Quest dce è fodametale per gl aspett geometrc della statstca ovvero quell legat alla rappresetazoe grafca dell seme de dat medate dcator d poszo e la determazoe d alcue propretà geometrche d tal dcator. x 15/23

16 M: l valore mmo S tratta dal valore more tra gl che compogoo l seme de dat {x } e rappreseta l lmte ferore dell seme d varabltà. Max: l valore massmo S tratta dal valore massmo tra gl che compogoo l seme de dat {x } e rappreseta l lmte superore dell seme d varabltà. Rage: l tervallo d varazoe S tratta dell tervallo d varabltà degl che compogoo l seme de dat {x } otteble come dffereza tra l valore massmo e quello mmo. Δ max { x } m{ } x Iterval: la classe Al fe d raggruppare term d frequeza u seme de dat {x } s rcorre alla formazoe d class, raggruppado dat sottosem Y j l cu rappresetate è l valore y j termedo tra l massmo e l mmo del sottoseme. Og classe è caratterzzata da: valore del rappresetate, y j ; umerostà term d frequeza, f(y j ); ampezza, 2 a. Y { x y a < x y a} j j j + Mode: la moda Per moda (o orma) d u seme d dat {x } s tede l rappresetate y j della classe che è caratterzzata dalla massma frequeza, altre parole s tratta del valore che compare pù frequetemete. La moda può o esstere o, se esste, può o essere uca. Ua dstrbuzoe che abba ua sola moda vee detta: umodale. 16/23

17 Quartles: quartl U quartle è quel valore x q per l quale la somma d tutte le frequeze (o l tegrale della fuzoe d destà) è uguale al valore q (compreso tra zero e uo). Quado q assume valor par a 0,25 1 / 4 Q 1 ; 0,5 2 / 4 Q 2 ; 0,75 3 / 4 Q 3 ; s parla d quartle. Allora: Q Q 0 4 m max Smlmete q assume valor decm par, ad esempo, a: 0,05 5% P 5 ; 0,10 10% P 10 ; 0,90 90% P 90 ; 0,95 95% P 95 ; s parla d percetl. { x} Δ Q4 Q0 { x } Meda: la medaa I statstca, dato u seme de dat {x } d u carattere quattatvo oppure qualtatvo ordable (ovvero le cu modaltà possao essere ordate base a qualche crtero), s defsce la medaa l valore corrspodete a Q 2 (secodo quartle). IterQuartle Rage (IQR): scarto terquartle Lo scarto terquartle (IQR) è la dffereza tra l prmo e l terzo quartle: IQR Q 3 Q 1 Tale parametro vee utlzzato come u dce d dspersoe de dat. Box-plot: dagramma a scatola I quartl vegoo spesso utlzzate per stetzzare gl elemet d dsperazoe d u seme d dat {x } tramte costruzoe grafca detta box-plot: 17/23

18 Il box-plot è ua rappresetazoe grafca che serve per descrvere modo compatto e grafco la dstrbuzoe d ua fuzoe. È l dsego su u pao cartesao d u rettagolo, cu estrem soo l prmo e terzo quartle (Q 1 e Q 3 ), è taglato da ua lea all'altezza della medaa (Q 2 ). Il mmo della dstrbuzoe vee dcato co (Q 0 ), metre l massmo co (Q 4 ). Abtualmete vegoo aggute due rghe (dett ache baff) corrspodet a valor dstat 1,5 IQR dal prmo e dal terzo quartle. A volte vegoo ache rappresetat el grafco valor che fuorescoo dall'tervallo delmtato dalle due rghe come put solat. Varace (Var): la varaza La varaza reale esprme l quadrato della dstaza meda de dat d u seme {x } dal valor medo. Var 2 1 σ ( x x) La varaza campoara è vece uo stmatore della varaza reale ed è dato dalla formula: 2 s 2 ( x x) Stadard devato (SD): la devazoe stadard La devazoe stadard (o scarto quadratco medo) è u dce d dspersoe dervato drettamete dalla varaza che ha per utà d msura la stessa utà d msura de valor osservat. σ 1 ( x x) La devazoe stadard campoara è data vece dalla formula: ( x x) 1 s Coeffcet of varato (CV): dce d dspersoe Il coeffcete d varazoe è u dce d dspersoe che permette d cofrotare msure rferte a utà d msura dfferet, quato s tratta d u umero admesoale. CV σ x Skewess: l asmmetra L asmmetra d u seme de dat {x } forsce l grado d scostameto della curva d frequeza assocata rspetto alla smmetra. U sstema rapdo per verfcare la preseza d u asmmetra ua dstrbuzoe d dat umodale è quella d fare la dffereza tra la moda e la meda (prmo coeffcete d asmmetra d Pearso). x moda σ 18/23

19 Per evtare d usare la moda (che o sempre esste o è uca) s può utlzzare la medaa (secodo coeffcete d asmmetra d Pearso). medaa 3 x σ L asmmetra term d skewess è forta dalla formula: sk ( ) ( 2) ( x ) 3 1 x 3 1 σ oppure, per > 300, utlzzado la pù semplce formula d Pearso: sk ( x x) 1 3 σ 3 Posto che sk è ua codzoe ecessara, ma o suffcete per la smmetra, s ha: sk0, el caso d perfetta smmetra; sk<0, per l asmmetra a destra; sk>0, per l asmmetra a sstra. Kurtoss: la curtos La curtos d u seme de dat {x } forsce l grado d altezza ragguto dalla curva d frequeza assocata. U sstema rapdo per verfcare la curtos d ua dstrbuzoe è basata su quartl e su percetl: Q 3 P La curtos term d kurtoss è forta dalla formula: ku ( + a) ( 1) ( 2) ( 3) 3 90 Q P ( x x) 3 ( 1) 4 σ ( 2) ( 3) 1 oppure, per > 300, utlzzado la pù semplce formula d Fsher: Se: ( x x) 1 ku 4 σ 4 3 ku>0 la curva s defsce leptocurtca, coè pù alta d ua ormale; ku<0 la curva s defsce platcurtca, coè pù bassa d ua ormale; ku0 la curva s defsce ormocurtca, coè smle ad ua ormale. Il 7 e ½ e altr goch d carte Pafcare l dage d u processo attraverso l mpego d: statstca ferezale; stocastca; eurstche; o è ua cosa baale, coè o s tratta d accumulare dat per elaborarl e stetzzarl a testa bassa tramte dc o grafc. Se o c è u lavoro d aals d forma e d dstrbuzoe e la costruzoe d tutta ua sere 19/23

20 d espermet d verfca, dalla semplce elaborazoe e stes d dat d fatto ver s può gugere a cocluso errate. Vegoo qud auto sette strumet statstc dspesabl per chuque vogla seramete fare della statstca e del cotrollo d processo: dagramm a: torta, barre, radar, bolle; fogl d rscotro e dagramm d cocetrazoe de dfett; l raggruppameto class e grafc d Pareto; dagramm causa-effetto; l aals per stratfcazoe; grafc a dspersoe e l aals d correlazoe; l aals de process tramte dagramm d flusso; a cu s affacao tutte le tecche d problem-solvg. I caso cotraro s fsce per cocepre l cotrollo come ua mera cota de vv e de mort e o u potete strumeto per: compredere meccasm che codzoao u processo per scoprre le guste cotromsure; cotrollare la regolartà d ua dstrbuzoe d dat co u pao d campoameto molto leggero; gudcare ua popolazoe base all esame d u lmtato campoe rappresetatvo; ovvero, poche parole, per mglorare la qualtà, dmuedo al cotempo cost. Ne derva che, ello svolgers d u processo, dat o affluscoo come u uco seme, ma gradualmete, mao a mao che s geerao. Il loro adameto subsce ua varabltà dovuta a: feome atural o accdetal che s mafestao come l effetto cumulato d u gra umero d pccole cause evtabl ed cotrollabl; feome sstematc o tezoal che dcao la preseza d ua dstorsoe el processo che può essere dovuta solo a elemet tecc o tecologc. Atcpado l fatto che la lea cetrale dvdua u valor medo e che a σ è u dce d dspersoe de dat, el cotrollo statstco d processo soo ote le: 10 REGOLE DI SENSIBILITÀ 1 o pù put cadoo al d fuor de lmt d cotrollo 2 put cosecutv su 3 cadoo oltre lmt d sorveglaza poszoat a 2σ, ma rmagoo detro lmt a 3σ, 4 put su 5 cosecutv cadoo oltre la dstaza d 1σ, dalla lea cetrale, 8 put cosecutv cadoo dalla stessa parte della lea cetrale, 6 put cosecutv soo orde crescete o decrescete, 15 put cosecutv soo ella zoa a 3σ, (sa sopra che sotto la lea cetrale), 14 put cosecutv s alterao a zg-zag, 8 put cosecutv s alterao toro alla lea cetrale, ma essuo è ella zoa 3σ, s mafesta u comportameto o casuale de dat, 1 o pù put s poszoao vco a lmt d sorveglaza e d cotrollo, esse, ad esempo, segalao l sorgere d feome sstematc o tezoal. L obettvo è allora quello d dvduare la preseza el processo d evetual varabltà sstematche, poché s tratta d cause rmovbl. La varabltà aturale, vece, è mpossble da elmare, ma d altro cato o flueza partcolarmete process, troduce solo l cocetto d lmte d tolleraza. Se all tero d u processo d produzoe è presete solo ua varabltà aturale, l processo s dce sotto cotrollo, metre se s rleva ua varabltà sstematca l processo è detto fuor cotrollo. Tpologa delle carte d cotrollo La tpologa delle carte d cotrollo è molto varegata e s può proporre ua geerale dstzoe tra: carte tradzoal (d tpo Shewhart), defte come carte seza memora ed sesbl a pccol cambamet e che a loro volta possoo essere suddvse : o carte d cotrollo per varabl, o carte d cotrollo per attrbut; carte alteratve (a memora llmtata uforme o o uforme) adatte a evdezare pccol cambamet. 20/23

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