l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

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1 Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto dominio (è l insieme dei punti dove è definita la funzione) mentre l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è un ite? Il ite è un concetto matematico che serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore; per definizione data una funzione x x f ( ε > δ > : x X f : X Y con < x x < δ si ha f( l < ε Definizione di continuità Una funzione f ( è continua in un punto x se: I. f ( II. f = f ( ( + III. f = f ( x ) x x (

2 Discontinuità Si dice punto di discontinuità di una funzione f un punto x appartenente al dominio di definizione di f ma in cui f non è continua. Abbiamo tre tipi di discontinuità: I specie (discontinuità di salto): se il ite destro e il ite sinistro della funzione ammette soluzioni finite ma diverse tra di loro. II specie (discontinuità essenziale): se almeno uno dei due iti della funzione per x tendente a x è infinito (sia positivo che negativo) oppure non esiste. III specie (discontinuità einabile): se esistono uguali e finiti i iti destro e sinistro per x tendente a x ma il loro valore è diverso da f(x ) (o x non è nel dominio della funzione). Teorema dell unicità del ite. Una funzione f : X R definita su un insieme aperto X di numeri reali non può avere due iti distinti in un punto x di accumulazione per X. Per dimostrarlo basta ragionare per assurdo: supponiamo che non è vero il risultato, cioè non è vero che abbiamo un solo valore e quindi ne avremmo due diversi, ma allora questi due valori sarebbero due punti ad una certa distanza, allora se prendiamo epsilon minore di quella distanza l'intervallo non potrà contenere entrambe i iti e quindi non vale il concetto di ite. Pertanto la tesi non può essere negata e deve essere per forza vera.

3 Teorema della permanenza del segno Se per una funzione y = f( si ha per un valore c che x c f (,, allora esiste un intorno I c nel quale la funzione f( assume lo stesso segno di l: l > f ( > mentre l < f ( < Data la definizione di ite: > ε δ > : x X con < x x < δ si ha f( l < ε, ovvero l ε < f ( < l + ε Ora poniamo ε = l Se l > ε dalla definizione di ite si ha l l < f ( < l + l < f ( < 2l f ( > quindi la funzione f( assume lo stesso segno di l > Se l < ε = l invece otteniamo l ( l) < f ( < l l 2 l < f ( < f ( < la funzione f( assume lo stesso segno di l >. Osservazioni: il teorema vale anche se l = ±. Non vale l inverso del teorema. Primo teorema del confronto Siano assegnate le funzioni f, g, h : X R (ovvero definite tutte su un dominio X di R) e sia x un punto di accumulazione per X. Se f ( = h( g( ed in più esiste un intorno U di x tale che f ( g( h( allora Per la definizione di ite, per ogni ε > esistono due intorni U 1 e U 2 di x tali che ( { } l ε < f < l + ε l ε < h < l + ε x U 1 \ x ( { } x U 2 \ x Quindi per ogni ε > esiste un intornou1 U 2 : l ε < f g( h( < l + ε x In altre parole si ha g( ( U U { } 1 2 \ x

4 Teorema di esistenza degli zeri Sia f [ a, b] R : una funzione continua tale che f ( a) f ( b) < allora esiste almeno un punto x nell'intervallo aperto (a,b) tale f( =. Teorema di Weierstrass Sia f :[ a, b] R sia [ b] a, denso (ovvero un insieme S di numeri reali è denso se per ogni coppia x,y di numeri reali distinti vi è sempre un elemento di S compreso tra x e y) ; allora f( assume massimo e minimo nell'intervallo[ a, b]. Definizione della derivata La derivata di una funzione reale di variabile reale f( nel punto x è definita come il ite del rapporto incrementale al tendere a dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale ite esista e sia finito: h f ( x + h) f ( h Significato geometrico del rapporto incrementale e della derivata f ( x + h) f ( Geometricamente il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta h secante che interseca il grafico della funzione f ( nei punti di ascisse x e ( x + h) mentre la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di f(, nel punto di coordinate (x,f(x )); in altre parole, la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell'angolo che la retta tangente a una curva in un suo punto forma con il semiasse positivo delle ascisse.

5 Continuità delle funzioni derivabili Sappiamo che se f( è derivabile in x allora f( è anche continua in x ma non vale l inverso cioè una funzione continua può essere non derivabile. Ad esempio, una funzione continua può non essere derivabile in un punto isolato del dominio, in presenza di fenomeni di questo tipo: Punto angoloso: è un punto x del dominio di una funzione reale di una variabile reale f( in cui esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse ed almeno una di esse ha valore finito Cuspide: si dice che in un punto x del dominio di una funzione di variabile reale f(, la curva C ha una cuspide se si verifica la seguente condizione: + h f ( x + h) f ( x ) = ± h e = m f ( x + h) f ( ovvero i iti destro e sinistro del h h rapporto incrementale in x sono divergenti (tendenti a ± ) con segno opposto. Flesso a tangente verticale: premesso che un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità, si dice che in un punto x del dominio di una funzione di variabile reale f(, la curva C ha un flesso a tangente verticale se f( è derivabile in senso generalizzato, cioè esiste e vale + (oppure ) Differenziale e suo significato geometrico Sia data la funzione = f( definita e derivabile in un intervallo [ a, b] e siano x, x+h ] a,b[. Si definisce differenziale della funzione data relativo al punto di ascissa x il prodotto della derivata della funzione, calcolata in quel punto, per l incremento della variabile, cioè: dy = f '( x ) x

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