Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

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1 Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione dicembre Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti esempi: f(x) = 2x2 8 x 2 con D f = R {2} In questo caso essendo il il numero 2 escluso dal dominio della funzione è chiaro che non esiste il valore di f(2). E però possibile attibuire alla variabile x valori che si trovano in un intorno del punto 2 ottenendo i seguenti risultati: x f(x) x f(x) , 5 7 2, 6 9, 2 1, 6 7, 2 2, 5 9 1, 7 7, 4 2, 2 8, 4 1, 8 7, 6 2, 1 8, 2 1, 9 7, 8 2, 01 8, 02 1, 95 7, 9 2, 001 8, 002 1, 995 7, 99 2, , , , , , Intuitivamente accade allora che attribuendo all incognita valori vicini al numero 2 il valore assunto della funzione si avvicina sempre più al numero 8 f(x) = x (x 1) con D 2 f = R {1} In questo caso essendo il numero 1 escluso dal dominio della funzione è chiaro che non esiste il valore di f(1). E però possibile attibuire alla variabile x valori che si trovano in un intorno del punto 1 ottenendo i seguenti risultati: x f(x) x f(x) 0, , , , , , , , Intuitivamente accade allora che attribuendo all incognita valori vicini al numero 1 il valore assunto della funzione si avvicina sempre più ad + f(x) = x+1 2x 1 con D f = R In questo caso essendo il numero dominio della funzione tutto R possiamo pensare di poter attribuire alla incognita valori sempre più grandi ottenendo i seguenti risultati: x f(x) 10 0, , , ,

2 2 Definizione di ite di f(x) per x x 0 Intuitivamente accade allora che attribuendo all incognita valori sempre più grandi il valore assunto della funzione si avvicina sempre più ad 0, 5 f(x) = x 2 x con D f = R In questo caso essendo il numero dominio della funzione tutto R possiamo pensare di poter attribuire alla incognita valori sempre più grandi ottenendo i seguenti risultati: x f(x) Intuitivamente accade allora che attribuendo all incognita valori sempre più grandi il valore assunto della funzione si avvicina sempre più ad + Si noterà certamente che il linguaggio usato fino a questo punto non è univoco, infatti i termini vicini si avvicina sempre più grandi sono molto generici e dovranno essere sostituiti con termini aventi un significato univoco. 2 Definizione di ite di f(x) per x x 0 Possiamo dare la seguente: Definizione 2.1 Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 necessariamente appartenente ad A si dice che: R non f(x) = l con l R se Una visualizzazione grafica è data nella figura 1 ε > 0 I x0 : x I x0 {x 0 } f(x) l < ɛ Definizione 2.2 Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 necessariamente appartenente ad A si dice che: se Una visualizzazione grafica è data nella figura 2 f(x) = + M > 0 I x0 : x I x0 {x 0 } f(x) > M Definizione 2.3 Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 necessariamente appartenente ad A si dice che: R non R non se f(x) = M > 0 I x0 : x I x0 {x 0 } f(x) < M iti 2 rb

3 3 Definizione di ite f(x) per x Una visualizzazione grafica è data nella figura 3 Definizione 2.4 Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 necessariamente appartenente ad A si dice che: R non se Una visualizzazione grafica è data nella figura 4 f(x) = M > 0 I x0 : x I x0 {x 0 } f(x) > M 3 Definizione di ite f(x) per x Possiamo allora dare la seguente: Definizione 3.1 Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 necessariamente appartenente ad A si dice che: R non f(x) = l x + con l R se ε > 0 I + : x I + f(x) l < ɛ Una visualizzazione grafica è data nella figura 5 Definizione 3.2 Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 necessariamente appartenente ad A si dice che: R non f(x) = l x con l R se Una visualizzazione grafica è data nella figura 6 ε > 0 I : x I f(x) l < ɛ Definizione 3.3 Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 necessariamente appartenente ad A si dice che: se Una visualizzazione grafica è data nella figura 7 f(x) = + x + M > 0 I + : x I + f(x) > M Definizione 3.4 Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 necessariamente appartenente ad A si dice che: R non R non se f(x) = x M > 0 I : x I f(x) < M iti 3 rb

4 4 Limite destro e ite sinistro Figura 1: x x0 f(x) = l Figura 2: x x0 f(x) = + Una visualizzazione grafica è data nella figura 8 Tenendo conto di tutte le definizioni date è immediato ottenere anche le definizioni di: x + f(x) = x f(x) = + 4 Limite destro e ite sinistro Se x x0 f(x) = l significa che esiste una certa regolarità della funzione in un intorno completo del punto x 0. Potrebbe però accadere che tale regolarità venga a mancare in un intorno completo per esistere solamente in un intornodestro o sinistro di x 0. Possiamo allora darele seguenti: Definizione 4.1 (di ite destro) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 R non necessariamente appartenente ad A si dice che: f(x) = l x x + 0 con l R se ε > 0 I + x 0 : x I + x 0 {x 0 } f(x) l < ɛ iti 4 rb

5 4 Limite destro e ite sinistro Figura 3: x x0 f(x) = Figura 4: x x0 f(x) = Figura 5: x + f(x) = l iti 5 rb

6 4 Limite destro e ite sinistro Figura 6: x f(x) = l Figura 7: x + f(x) = + Figura 8: x f(x) = iti 6 rb

7 6 Continuità di una funzione Definizione 4.2 (di ite sinistro) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 R non necessariamente appartenente ad A si dice che: f(x) = l x x 0 con l R se Se accade che: allora si avrà che: ε > 0 I x 0 : x I x 0 {x 0 } f(x) l < ɛ f(x) = l x x + 0 f(x) = l x x 0 f(x) = l 5 Primi teoremi sui iti Vogliamo a questo punto enunciare alcuni teoremi fondamentali sui iti. Si avrà che: Teorema 5.1 (dell unicità del ite) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R se tale funzione ammette ite l per x x 0 tale ite è unico. Tale torema vale anche nel caso in cui x ± Teorema 5.2 (del confronto) Date tre funzioni f(x), g(x), h(x) definite in un intorno I x0 lpiù il punto x 0 e tali che per ogni x I x0 risulti escluso a f(x) g(x) h(x) Se allora risulterà che: f(x) = g(x) = l h(x) = l Teorema 5.3 (della permanenza del segno) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R se f(x) = l 0 allora esiste un I x0 privato al più del punto x 0 stesso in cui la funzione assume lo stesso segno di l. 6 Continuità di una funzione Da un punto di vista intuitivo una funzione si può ritenere continua se siamo in grado di disegnarne il grafico senza mai staccare la penna dal foglio. Da un punto di vista più rigoroso vale la seguente: Definizione 6.1 (di funzione continua in x 0 ) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 A, la funzione si dice continua in x 0 se f(x) = f(x 0 ) Quindi affinchè una funzione sia continua in un punto x 0 sarà necessario che: esiste il ite per x x 0 esiste il valore di f(x 0 ) tali valori siamo tra di loro uguali iti 7 rb

8 7 Teoremi sulle funzioni continue Definizione 6.2 (di funzione continua a destra in x 0 ) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 A, la funzione si dice continua a destra in x 0 se f(x) = f(x 0 ) x x + 0 Definizione 6.3 (di funzione continua a sinistra in x 0 ) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R ed un punto x 0 A, la funzione si dice continua a sinistra in x 0 se Se accade che allora e quindi f(x) sarà continua in x 0. f(x) = f(x 0 ) x x 0 f(x) = f(x 0 ) x x + 0 f(x) = f(x 0 ) x x 0 f(x) = f(x 0 ) Definizione 6.4 (di funzione continua in un intervallo) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R, tale funzione si dice continua in A se essa è continua in ogni punto appartenente ad A. Per questa ultima definizione si noti che se A è un intervallo chiuso negli estremi deve valere la continuità destra e quella sinistra. 7 Teoremi sulle funzioni continue Per le funzioni continue valgono i seguenti: Teorema 7.1 (della continuità della somma) Date due funzioni f(x), g(x) entrambe continue nel punto x 0, anche la loro somma f(x) + g(x) è continua nel punto x 0 Teorema 7.2 (della continuità del prodotto) Date due funzioni f(x), g(x) entrambe continue nel punto x 0, anche il loro prodotto f(x) g(x) è continuo nel punto x 0 Teorema 7.3 (della continuità del quoziente) Date due funzioni f(x), g(x) entrambe continue nel punto x 0 con g(x 0 ) 0, anche il loro quoziente f(x) g(x) è continuo nel punto x 0 Teorema 7.4 (della continuità della potenza) Date due funzioni f(x), g(x) entrambe continue nel punto x 0 con f(x 0 ) > 0, anche la loro potenza f(x) g (x) è continua nel punto x 0 Teorema 7.5 (della continuità della funzione composta) Date due funzioni f(x), g(x) entrambe continue nel punto x 0 se esiste la funzione composta g[f(x)] allora anche quest ultima sarà continua nel punto x 0 Teorema 7.6 (di Weierstrass) Data una funzione f(x) continua in un insieme chiuso e itato [a, b] R con a < b, allora f(x) è dotata in tale insieme di massimo e di minimo assoluto. Teorema 7.7 (dei valori intermedi) Una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e itato [a, b] R con a < b assume tutti i valori compresi tra il suo minimo assoluto e il suo massimo assoluto Teorema 7.8 (della esistenza degli zeri) Data una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e itato [a, b] R con a < b se essa assume in due punti x 1, x 2 [a, b] valori di segno opposto allora esiste almeno un punto interno appartenente ad ]x 1 ; x 2 [ in cui la funzione vale zero Teorema 7.9 (della continuità della funzione inversa) Se una funzione f(x) è continua in un insieme A R e in tale insieme è strettamente crescente o strettamente descrescente allora: esiste la funzione inversa f 1 (x) che avrà come dominio I f ossia l insieme immagine di f(x) tale funzione inversa sarà continua e strettamente crescente o trettamente decrescente a seconda di come sarà f(x) iti 8 rb

9 9 Teoremi sul calcolo dei iti 8 Il calcolo dei iti di funzioni continue Se una funzione f(x) è continua in un punto x 0 è immediato procedere al calcolo del ite della funzione in quel punto infatti basterà semplicemente calcolare il valore della funzione nel punto x 0. Si vedano i seguenti esempi: x 1 (x 2 + 1) = 2 x 3 (2x + 3) = 9 Analogamente se un funzione f(x) è continua in un intervallo ilitato è immediato procedere al calcolo dei iti per x che tende ad come dimostrano i seguenti esempi: x + 2 x = + x x 2 = + 9 Teoremi sul calcolo dei iti Per tutto questo paragrafo quando non vogliamo specificare se x x 0 o se x la notazione di ite sarà data nel seguente modo: f(x) Premesso ciò, in generale per il calcolo dei iti valgono i seguenti: Teorema 9.1 (ite della somma) Date due funzioni f(x) e g(x) se esistono i iti allora il ite della somma di tali funzioni ossia: f(x) g(x) (f(x) + g(x)) esisterà solamente secondo i casi prospettati dalla seguente tabella: f(x) l 1 + g(x) l 2 l 1 + l ?? Teorema 9.2 (ite del prodotto) Date due funzioni f(x) e g(x) se esistono i iti allora il ite del prodotto di tali funzioni ossia: f(x) g(x) (f(x)g(x)) esisterà solamente secondo i casi prospettati dalla seguente tabella: f(x) l g(x) l 2 0 l 1 l ?? iti 9 rb

10 10 Esempi di calcolo dei iti nei casi di indeterminazione Teorema 9.3 (ite del quoziente) Date due funzioni f(x) e g(x) se esistono i iti allora il ite del quoziente di tali funzioni ossia: f(x) g(x) f(x) g(x) esisterà solamente secondo i casi prospettati dalla seguente tabella: f(x) l g(x) l 2 0 l 1 l 2 0 0? 0 0? Teorema 9.4 (ite della potenza) Date due funzioni f(x) e g(x) se esistono i iti allora il ite della potenze di tali funzioni ossia: f(x) > 0 g(x) f(x) g(x) esisterà solamente secondo i casi prospettati dalla seguente tabella: f(x) < l 1 < 1 1 l 1 > 0 + g(x) + +? 0 0 l 2 < 0 + l l2 1 1 l l ? 1 1 1? l 2 > 0 0 l l2 1 1 l l ? Esempi di calcolo dei iti nei casi di indeterminazione E immediato constatare come il calcolo dei iti presenti dei problemi solamente quando siamo in presenza dei casi di indeterminazione. Vediamo ora degli esempi che ci permettono di calcolare i iti anche in presenza di questi casi ricordando che tali esempi non esauriscono tutti i casi che si possono presentare. Calcolare allora i seguenti: calcolare il seguente x + (x2 x) = + basterà raccoglie l incognita x con l eponente di grado più elevato ottenendo: ( [x )] = + (1 0) = + x + x calcolare il seguente x 5 x 4 + x 3 2x + 1 x + x 6 5x 5 + 3x 3 = + 3 basterà raccogliere l incognita x con esponente più elevato sia a numeratore che a denominatore ottenendo: x ( x + ) 1 x 2 2 x x 5 x + x ( x + ) 3 x + 3 = 0 3 x 6 iti 10 rb

11 12 Calcolo dei iti con il procedimento di cambiamento di variabile calcolare il seguente x +1 x 3 + 4x 2 + x 6 x 3 + 4x 2 19x + 14 = 0 0 applicando ruffini a numeratore e denominatore si ottiene calcolare il seguente razionalizzando il numeratore si ottiene: 11 Il numero e (x 1)(x 2 + 5x + 6) x +1 (x 1)(x 2 + 5x 14 = 12 8 ( 9x x) = + x + x + x + ( 9x x 2 ) = 0 9x x Uno dei numeri irrazionali più importante per l analisi matematica è il numero e. Non daremo qui il metodo per la sua costruzione ma lo considereremo solamente come il risultato del seguente ite: ( 1 + x) 1 x = e Si può dimostrare che tale numero è 2 e 3 Il numero e si assume nell analisi matematica come base di un sistema di logaritmi che si dicono naturali o neperiani. Il seguito se la base dei logaritmi è il numero porremo che: log e x = ln x 12 Calcolo dei iti con il procedimento di cambiamento di variabile Un procedimento di calcolo dei iti talvolta molto utile è il procedimento che si basa sul cambiamento di variabile. Esso si basa sul seguente: Teorema 12.1 Se accade che ed esiste un intorno I p del punto p tale che: g(x) = q x p f(x) = l y q allora x I p, x p si ha che g(x) q f[g(x)] = l x p Se f(x) è continua in y = q il teorema è valido anche senza suporre l esistenza di I p. Vediamo ora come procedere al calcolo del ite con cambiamento di variabile nei seguenti esempi: calcolare il seguente Notiamo allora che ponendo: x x + 1 x 2 y = 1 x x = 1 y iti 11 rb

12 13 Limiti notevoli x + y = 1 x = 0+ il ite può essere riscritto come: 1 + y + y2 = y 0 + ed essendo la funzione radice quadrata continua in 0 + si avrà che: y y + y2 = 1 calcolare il seguente Notiamo allora che ponendo: x ( x + 5 x ) x y = x 5 x = 5y x y = x 5 = il ite può essere riscritto come: ( ) 5y y y ed essendo la funzione esponenziale sempre continua si avrà che: 13 Limiti notevoli ( ) 5y = e 5 y y Utilizzando il procedimento del cambiamento di variabile possiamo calcolare i seguenti due iti di fondamentale importanza: 1. il primo ite è il seguente a x 1 x 0 x Notiamo allora che ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata, ma ponendo: 1 y = ax 1 ) x = log a (1 + 1 y da cui ricordando i teoremi del cambiamento di base dei logaritmi si avrà anche che: x = ln(1+ 1 y ) ln a x 0 y = 1 a x 1 = il ite può essere riscritto come: ossia: y y 1 y ln(1+ 1 y ) ln a ln a ( ln y ed essendo la funzione esponenziale sempre continua si avrà che: y ) y ln a ( ) y = ln a ln y iti 12 rb

13 14 Punti di discontinuità 2. il secondo ite è il seguente: log a (1 + x) x 0 x Notiamo allora che ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata, ma ricordando che: possiamo calcolare il seguente ite: e ponendo allora y = 1 x x = 1 y x 0 y = 1 x = il ite può essere riscritto come: log a (1 + x) x = log a (1 + x) 1 x x 0 log a(1 + x) 1 x ( log a ) y y y ed essendo la funzione logartmo continua nel proprio dominio si avrà che: ( log a ) y = log y y a e 14 Punti di discontinuità Sia f(x) una funzione discontinua in un punto x 0 in base alla definizione di continuità in tale punto la funzione può essere definita può essere non definita in entrambi i casi si dice che x 0 è un punto di singolarità per f(x). Esistono tre tipi di discontinuità: discontinuità di prima specie: il punto di dicontinuità x 0 si dice essere di discontinuità di prima specie se esistono e sono finiti f(x) = l 1 ma l 1 ed l 2 sono diversi tra di loro f(x) = l 1 + discontinuità di seconda specie: il punto di dicontinuità x 0 si dice essere di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due iti: f(x) o non esiste oppure, se esiste, è infinito f(x) + discontinuità di terza specie: il punto di dicontinuità x 0 si dice essere di discontinuità di terza specie se esiste ed è finito: f(x) = l ma o non esiste f(x 0 ) o se esiste f(x 0 ) l iti 13 rb

14 15 Gli asintoti Figura 9: Esempio di asintoto verticale Gli asintoti Figura 10: Esempio di asintoto di una funzione Per lo studio del grafico di una funzione è importante il calcolo e la determinazione degli asintoti della funzione stessa. Da un punto di vista intuitivo un asintoto è una retta a cui il grafico di una determinata funzione si avvicina senza mai toccarla. Possiamo allora dare le seguenti: Definizione 15.1 (di asintoto verticale) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R si dice che la retta x = c è un asintoto verticale per f(x) se f(x) = x c Un esempio di asintoto verticale è quello rappresentato nella figura 9 Definizione 15.2 (di asintoto orrizontale) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R si dice che la retta y = c è un asintoto orizzontale di f(x) per x se f(x) = c x Un esempio di asintoto orizzontale ci è offerto dalla figura 10 Definizione 15.3 (di asintoto obliquo) Data una funzione f(x) definita in un insieme A R se accade che: iti 14 rb

15 15 Gli asintoti Figura 11: Esempio di asintoto obliquo x f(x) = x f(x) x = m con m finito x [f(x) mx] = q con q finito la retta y = mx + q si dice asintoto obliquo di f(x) per x Un esempio di asintoto obliquo è quello rappresentato nella figura 11 iti 15 rb

16 Indice Indice Indice 1 Esempi che inducono al concetto di ite 1 2 Definizione di ite di f(x) per x x Definizione di ite f(x) per x 3 4 Limite destro e ite sinistro 4 5 Primi teoremi sui iti 7 6 Continuità di una funzione 7 7 Teoremi sulle funzioni continue 8 8 Il calcolo dei iti di funzioni continue 9 9 Teoremi sul calcolo dei iti 9 10 Esempi di calcolo dei iti nei casi di indeterminazione Il numero e Calcolo dei iti con il procedimento di cambiamento di variabile Limiti notevoli Punti di discontinuità Gli asintoti 14 iti 16 rb

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