MOTO UNIFORME NEI CANALI A PELO LIBERO

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1 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov MT UNIFRME NEI CANALI A PEL LIBER 8. Leggi di moto uiforme per caali a sezioi compatte Ua correte i u caale di sezioe costate tede ad assumere u regime di moto uiforme se o viee perturbata localmete da variazioi di sezioe, di direzioe e di icliazioe, preseza di ostacoli (traverse, pile da pote etc etc) o da immissioe e/o derivazioe di portata. Per quato riguarda il moto uiforme ei caali valgoo le stesse relazioi del moto uiforme elle tubazioi. Assuto τ lo sforzo tageziale medio esercitato dal cotoro sulla correte il bilacio tra la forza di gravità del fluido geeratrice del moto e la forza di resisteza ella direzioe del moto per il troco di correte di lughezza ifiitesima ds è: S S + γ A ds seϑ - τ P ds 0 (8.) S A d s S A d s Co riferimeto alla figura 8. S ed S soo le spite dovute alla pressioi rispettivamete sulle sezioi trasversali al moto iiziale e fiale. Essedo la correte rettiliea la distribuzioe della pressioe è idrostatica lugo la ormale al moto e la spita viee stimata mediate l equazioe (.4). Per le caratteristiche di uiformità del moto etrambe le sezioi soo uguali di area A e co stessa profodità baricetrica. Di cosegueza S S. La liea piezometrica è parallela al pelo libero ed più bassa rispetto a questa perché l adameto della pressioe è idrostatico lugo la ormale al moto e o lugo la verticale come si può osservare i figura 8.. Essedo l eergia cietica costate ache la liea dell eergia è parallela al pelo libero e quidi al fodo per cui la dissipazioe di eergia per uità di lughezza (ella direzioe del moto, o i orizzotale) è if se ϑ. Alla luce di queste osservazioi la 8. esplicitado a primo membro lo sforzo tageziale medio al cotoro diveta (Rh A/P è il raggio idraulico): τ γ Rh if (8.)

2 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov relazioe uguale alla 7.3. Per il moto ei caali a pelo libero valgoo le stesse formule di moto uiforme valide elle tubazioi: le leggi di Darc-Weissbach, Chez e Gauckler-Strickler. Come per i codotti a pressioe bassi valori di raggio idraulico sigificao sezioi strette o larghe per cui l azioe di resisteza al moto esercitata del cotoro è maggiore rispetto al caso di sezioi co stessa area liquida ma itermedie (figura 7.4) caratterizzate da alti valori di raggio idraulico. v g L. E. L. P. Per u caale rettagolare ifiitamete largo il umero di resisteza viee espresso mediate la relazioe di Thijsse (949): f 3.04 e log0 + (8.3) Re f. Rh S Il umero di Reolds per u caale a pelo libero è: Re V Rh υ Per u caale di forma geerica si può utilizzare la formula di Coolebrook-White moltiplicado il valore del raggio idraulico mediate u coefficiete di forma α il cui valore per i diversi tipi di sezioe è riportato i tabella 8. (co Re (α Rh V)/υ): f.5 e log0 + (8.4) Re f 4.84 α Rh S

3 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Tabella 8. Valori del coefficiete di forma α per diverse sezioi (Datei, 999) forma della sezioe α triagolare equilatera tiagolare co agolo retto.0-.5 tiagolare co agolo molto grade.0 smicircolare 0.9 trapezioidale (/ esagoo) trapezioidale larga 0.8 rettagolare co larghezza volte la profodità 0.95 rettagolare co larghezza (/3) volte la profodità 0.9 rettagolare co larghezza 6 volte la profodità 0.8 I valori dei coefficieti di scabrezza di Chez e di Gauckler-Strickler relativi a diverse superfici di u caale a pelo libero soo illustrati ella tabella 8.. Tabella 8. Valori di scabrezza, di coefficieti ed idici di scabrezza per differeti superfici (Datei, 999) Idice di Natura della superficie Scabrezza assoluta Coefficiete Idice di e S (0-4 m) (m /3 /s) Bazi γ B Kutter m K Rivestiti co: coglomerati bitumiosi mattoi prefabbricato pietrame ad opera icerta pietre Scavati o dragati: i terra co mautezioe i roccia o terra seza mautezioe A differeza del umero di resisteza f i coefficieti di scabrezza C e o dipedoo dal raggio idraulico ovvero dal livello del pelo libero. Questa proprietà rede più facilmete utilizzabili le formule di Chez e di Gauckler-Strickler della legge di Darc Weissbach ei problemi di progetto e dimesioameto dei caali ma può portare ad errori di valutazioe della resisteza al moto. Dato u caale di fissata scabrezza all aumetare della profodità il coefficiete di scabrezza aumeta perché dimiuisce la scabrezza relativa. Più gli strati fluidi soo lotai dal cotoro miore è l effetto di ralletameto dovuto a questi. perativamete per ua stessa superficie di rivestimeto di u caale per bassi valori di profodità si utilizzao i valori più bassi corrispodeti alla atura della superficie dei coefficieti di scabrezza i tabella 8., aumetadoli ma mao che la profodità aumeta.

4 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Calcolo della profodità di moto uiforme Noto l agolo di icliazioe del fodo del caale ϑ (if se ϑ), il coefficiete di scabrezza e la larghezza B è possibile calcolare la profodità di moto uiforme per la sezioe rettagolare i figura 8.3 co il seguete procedimeto. B Si ipotizza iizialmete di avere u caale rettagolare ifiitamete largo. I questo caso il perimetro bagato P è pressoché uguale a B ivece che a B + perché la profodità è trascurabile rispetto alla larghezza. Il raggio idraulico diveta allora uguale alla profodità: Rh A/P B/B (8.5) e la legge di Gaucler-Stricler per caale rettagolare ifiitamete largo assume la seguete espressioe: V /3 if / per cui la portata per uità di larghezza è: q /3 if / 5/3 if / La profodità può essere esplicitata: 3/ 5 q (8.6) / if Il valore della profodità secodo l eq. (8.6) viee assuto come valore di tetativo. Si calcola il corrispodete valore del raggio idraulico:

5 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Rh B B + Co questo valore del raggio idraulico si calcola il uovo valore della profodità tramite la legge di Gauckler-Strickler: Rh Si cofrotao quidi ed tramite la loro differeza percetuale: q /3 if / Se la loro differeza percetuale è miore del %, è il valore della profodità di moto uiforme cercato (sigifica che Rh ~ Rh ) altrimeti viee determiato il raggio idraulico Rh corrispodete alla profodità e si calcola il uovo valore di profodità. Si cofrota co e se la loro differeza percetuale è miore del % è il valore della profodità di moto uiforme cercato altrimeti si itera uovamete il procedimeto fichè la differeza percetuale tra i valori di due profodità successive o è miore del %. Questo procedimeto coverge sempre alla soluzioe. Per u caale a sezioe trapezia si idica co la scarpa la cotagete dell agolo α (figura 8.4). B L itroduzioe della scarpa permette di semplificare il calcolo dell area della sezioe liquida e del perimetro bagato: A B ( + ) (8.7) P B + (( + ) ( + ) 0.5 ) (8.8) essedo ed le scarpe destra e siistra, B la larghezza al fodo ed la profodità geerica. La profodità di moto uiforme viee calcolata co u procedimeto aalogo a quello per la sezioe

6 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov rettagolare. Idicata co B la larghezza al fodo la profodità di tetativo viee determiata co l eq. (8.6) assumedo Rh (approssimazioe tato più vera quato più il rapporto profodità/larghezza dimiuisce e la scarpa è piccola ) ed area della sezioe B (ovvero sezioe rettagolare). Il corrispodete valore del raggio idraulico è: Rh B B ( + ) ( ) Si sostituisce il valore del raggio idraulico ella formula di moto uiforme, teedo coto dell eq. (8.7) e si ottiee: Q A Rh /3 if / (B ( + )) Rh /3 if / Da cui si ricalcola la profodità risolvedo l equazioe: B ( + ) Q/( Rh /3 if / ) - B + B + 4 /3 / ( 0.5 ( + ))( Q/( Rh i )) ( 0.5 ( + )) Si cofrotao quidi ed tramite la loro differeza percetuale: Se la loro differeza percetuale è miore del % è il valore della profodità di moto uiforme cercato altrimeti viee determiato il raggio idraulico Rh corrispodete alla profodità e si calcola la uova profodità. La si cofrota co e se la loro differeza percetuale è miore del % è il valore della profodità di moto uiforme cercato altrimeti si itera uovamete il procedimeto fichè la differeza percetuale tra due profodità successive o è miore del %.

7 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Esercizio 8. Calcolare la profodità di moto uiforme di u caale rettagolare largo B 5 m co coefficiete di scabrezza 0 m /3 /s ed icliazioe del fodo if 0.00 per ua portata Q 5 m 3 /s. La profodità di tetativo è: 3/ 5 3/ 5 / / Q B if il corrispodete raggio idraulico è: Rh B B x 0 x (0.00) 5 x x m.36 m La profodità dall applicazioe della legge di Gauckler-Strickler è: Q B Rh 5 5 x 0 x 0.86 x (0.00) / / if.745 m La corrispodete variazioe percetuale rispetto al valore di profodità precedete è: (3.5%) Si costruisce la seguete tabella co i prima coloa la profodità di tetativo _tet, i secoda coloa il corrispodete raggio idraulico Rh, i terza coloa la profodità calcolata co la legge di Gauckler-Strickler _calc ed i quarta coloa la loro differeza percetuale diff_percet. Tabella 8.3 Calcoli di profodità uiforme per iterazioe successiva _tet (m) Rh (m) _calc (m) diff_percet (%) La profodità di moto uiforme è.60 m.

8 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Esercizio 8. Calcolare la profodità di moto uiforme di u caale a sezioe trapezia di scarpe ed 0.5, di larghezza al fodo B 0 m co coefficiete di scabrezza 30 m /3 /s ed icliazioe del fodo if 0.00 per ua portata Q 0 m 3 /s. La profodità di tetativo è: 3/ 5 3/ 5 / / Q B if 0 0 x 30 x (0.00) m il corrispodete raggio idraulico è: Rh ( + ) 0 x x x (+ 0.5) B B + ( ) ( ) 0.73 m La profodità dall applicazioe della legge di Gauckler-Strickler è: - B + B + 4 /3 / ( 0.5 ( + ))( Q/( Rh if )) ( 0.5 ( + )) x.5 x x /3 / ( 0/(30 x 0.73 x 0.00 ) ( 0.5 ( + 0.5) ) m La corrispodete variazioe percetuale rispetto al valore di profodità precedete è: (.98%) Si calcola il corrispodete raggio idraulico Rh m cui corrispode 0.85 m. La corrispodete variazioe percetuale rispetto al valore di profodità precedete è: La profodità di moto uiforme è 0.85 m (.5%)

9 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Scala delle portate Nel caso di caale rettagolare (figura 8.3) largo B, di profodità, l applicazioe della legge di Chez, approssimado il raggio idraulico co la profodità Rh, cosete: Q B C ( if) / B C if / 3/ e coglobado B C if / el termie costate CC Q CC 3/ Esiste quidi ua relazioe fuzioale tra la portata Q e la profodità. Geeralizzado per la sezioe di u corso d acqua aturale è possibile otteere ua relazioe fuzioale tra la portata e la profodità espressa dalla seguete equazioe: Q cost α (8.9) essedo l espoete α u umero superiore ad e geeralmete iferiore a. La relazioe fuzioale (8.9) è deomiata scala delle portate. I valori della costate e di α vegoo determiati mediate iterpolazioe di misure cotemporaee della portata e del livello idrometrico (figura 8.5). Q

10 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Estesioe delle leggi di moto uiforme a sezioi di forma qualsiasi Le formule di moto uiforme fi qui illustrate soo valide per caali a sezioe compatta co scabrezza più o meo uiforme lugo tutto il perimetro bagato. Nel caso i cui la sezioe sia composta da parti di forma diversa applicare le formule di Chez o Gauckler-Strickler è erroeo. Al riguardo per la sezioe i figura 8.6 co si ha A A ma Rh >> Rh perché P << P. L applicazioe della formula di Chez comporta V > V e o V V, il che è u assurdo. Le formule di moto uiforme si riferiscoo ad ua velocità media che è tale rispetto a tutte le parti della sezioe. Nella sezioe i figura 8.6 corrispodete alla profodità si distigue ua parte cetrale co scabrezza relativa molto bassa e co ua velocità media superiore alla velocità media della parte laterale cotraddistita da ua scabrezza relativa elevata. I quest ultima parte la velocità è iferiore di u ordie di gradezza rispetto a quella della parte cetrale. Il calcolo della portata a moto uiforme i u caale a sezioi composte o co golee (le parti laterali soo deomiate golee) è eseguito tramite le formule di moto uiforme applicate separatamete ad ogi sezioe. Co riferimeto alla figura 8.7 si divide la sezioe i tre sottosezioi e per ogi sottosezioe si cosidera il perimetro bagato come il cotoro della sezioe del caale bagato dalla correte escludedo la verticale di cofie tra le sottosezioi: a b c P a + b e d 3 g f P c + d + e

11 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Calcolati i raggi idraulici P 3 f + g Rh A /P Rh A /P Rh 3 A 3 /P 3 si stimao le portate corrispodeti alle tre sezioi applicado la legge di Chez (o di Gauckler- Strickler): Q A C (Rh if) / Q A C (Rh if) / Q 3 A 3 C 3 (Rh 3 if) / e si perviee al valore della portata relativa all itera sezioe: Q Q + Q + Q 3 (8.0) Si ipotizza i questo modo che o vi sia attrito tra le correti corrispodeti alle sottosezioi cotigue caratterizzate da velocità diversa. Il valore della portata calcolato secodo la 8.5 sovrastima il valore reale perché trascura l attrito che si sviluppa tra le sottosezioi liquide. L errore commesso è di circa il 0% secodo le esperieze di laboratorio codotte ei laboratori di Hdraulic Research Walligford (996). La caratteristica di uidimesioalità del moto co questa schematizzazioe ioltre o è più soddisfatta per quato riguarda la liea dell eergia: il carico piezometrico è uguale per tutte e tre le sezioi ma o l eergia cietica essedo differeti le velocità medie che competoo ad ogi sottosezioe. Per avere u uico valore dell eergia si fa riferimeto al seguete carico cietico mediato attraverso la portata: 3 3 V QV + QV + Q3V (8.) g g Q + Q + Q

12 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Estesioe delle leggi di moto uiforme a sezioi di forma compatta ed a scabrezza variabile: metodo di Eistei-Horto Nel caso i cui il cotoro di u caale sia costituito da superfici diverse, ad esempio il fodo sia rivestito i pietrame e le spode siao i terra, il perimetro bagato o è caratterizzato da u uica scabrezza per cui risulta impossibile assegare u valore del coefficiete di scabrezza i base alla sola atura del cotoro. Si utilizza u coefficiete di scabrezza relativo all itera sezioe ed equivalete alla resisteza al moto origiata dai diversi tipi di superfici di cotoro. Eistei ed Horto hao proposto ua stima del coefficiete di scabrezza dividedo la sezioe i sottosezioi il cui perimetro bagato sia costituito da uo stesso tipo di superficie (ovvero a scabrezza costate) ed assumedo che la velocità media della correte elle sottosezioi sia la stessa (fig. 8.0). La resisteza al moto i ua sottosezioe dipede dal tratto di perimetro bagato di scabrezza costate che compete alla sottosezioe stessa. Soo escluse dal perimetro bagato, come per il caso della sezioe composta, le superfici di separazioe tra le sottosezioi. P A A 3 A 3 P 3 P Figura 8.0 Idicato co A i, P i, i l area, il perimetro bagato ed il coefficiete di scabrezza della sottosezioe geerica e co Rh i A i /P i il corrispodete raggio idraulico si può applicare la legge di moto uiforme di Gauckler-Strickler a tutte le sottosezioi esplicitado il rapporto velocità media uguale per tutte le sezioi ed if l icliazioe del caale: V/ if, essedo V la V if /3 /3 /3 Rh Rh... Rh (8.) L area A della sezioe liquida è uguale alla somma delle aree delle sigole sottosezioi:

13 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov A A + A + + A (8.3) Poichè A i P i Rh i per defiizioe di raggio idraulico, l equazioe (8.0) può essere così riscritta: A P Rh + P Rh +..+ P Rh (8.4) Esplicitado il raggio idraulico ell equazioe (8.) e sostituedolo ell equazioe (8.4) si ha: A P V if 3/ 3/ + P V if 3/ 3/ P V if 3/ 3/ (8.5) L applicazioe della legge di Gauckler-Strickler all itera sezioe (il cui perimetro bagato è P P + P +.+P ) tramite il coefficiete di scabrezza equivalete permette di esplicitare l area A: 3/ V A P (8.6) if 3/ Equ Uguagliado i secodi membri delle equazioi (8.5) ed (8.6) si ha: P V if 3/ 3/ Equ P V if 3/ 3/ + P V if 3/ 3/ P V if 3/ 3/ 3/ Equ P 3/ P + 3/ P P / Equ / 3 P P P P (8.7) / 3/ 3/ Il coefficiete di scabrezza equivalete dipede sia dalla scabrezza delle sigole superfici di cotoro che dalla profodità. Ad esempio per basse profodità il coefficiete di scabrezza equivalete avrà u valore prossimo al coefficiete di scabrezza relativo alla superficie che costituisce il fodo metre all aumetare della profodità aumeta il cotributo delle spode ed il

14 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov coefficiete di scabrezza equivalete assumerà u valore itermedio tra quello relativo al fodo e quello relativo alle spode. Nel caso si utilizzasse la legge di Chez come legge di moto uiforme, il coefficiete di Chez equivalete è: C Equ / P P P P (8.8) C C C Esercizio 8.3 Determiare la portata covogliata a regime uiforme dal caale a sezioe composte i figura 8. per ua profodità 7 m. Le scabrezze delle sezioi composte soo 0 m /3 /s, 30 m /3 /s e 3 0 m /3 /s. L icliazioe del caale è if 0.00 ed la sezioe ha le segueti caratteristiche: a 3 m, b 3 m, d 3 m, e 5 m, f 6 m, 0, 0.5, ed 4 /3. Si divide la sezioe del caale i tre sottosezioi e per ogua di esse si calcola la portata tramite la legge di moto di uiforme di Gauckler-Strickler. Il perimetro bagato di ciascua sottosezioe è costituito dall iterfaccia tra la sezioe ed il fodo. La portata covogliata dall itera sezioe è uguale alla somma delle sigole portate covogliate da ciascua sottosezioe. a 3 g c e a c g 4 b d e 3 f Sottosezioe laterale siistra ( ) Figura 8. Il perimetro bagato è: P b + a ( + ) x 6 m

15 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov L area è: Il raggio idraulico è: A a b a 3 x x 3 x 0 9 m Rh A /P 9/6.5 m La portata covogliata a regime uiforme dalla sottosezioe è: Q A Rh /3 if x 0 x.5 /3 x m 3 /s Sottosezioe cetrale ( ) g 4 e 4 3 m Il perimetro bagato è: P c ( + ) d + e ( + 3 ) 0.5 (7-3) x (+0.5 ) x ( ) m L area è: A d ((a+) c + (g+) e 3 ) 7 x x ((3+7) x4x0.5 + (+7) x5x0.5) 37.5 m Il raggio idraulico è: Rh A /P 37.5/.7.93 m La portata covogliata a regime uiforme dalla sottosezioe è: Q A Rh /3 if x 30 x.93 /3 x m 3 /s Sottosezioe laterale destra ( 3) Il perimetro bagato è: P 3 f + g ( + 4 ) (7-5) x ( + (/3) ) m L area è:

16 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Il raggio idraulico è: A 3 f g g 4 6 x x x /3.67 m Rh 3 A 3 /P 3.67/8..56 m La portata covogliata a regime uiforme dalla sottosezioe 3 è: Q 3 A 3 3 Rh 3 /3 if x 0 x.56 /3 x m 3 /s La portata totale covogliata dalla sezioe a regime uiforme è: Q Q + Q + Q m 3 /s Esercizio 8.4 Determiare la portata covogliata a regime uiforme dal caale a sezioe compatta ed a scabrezza variabile i figura 8. corrispodete ad ua profodità.0 m. Il caale ha icliazioe if 0.00, larghezza al fodo B 4 m, le spode hao scarpe /3 ed e la scabrezza viee valutata co 0 m /3 /s, 30 m /3 /s e 3 0 m /3 /s. A A 3 3 A B Fig. 8. Per calcolare il coefficiete di scabrezza equivalete si divide la sezioe liquida i 3 sottosezioi il cui perimetro bagato è costituito dalle due spode e dalla larghezza al fodo del caale. Per ogi sottosezioe si hao i segueti valori del perimetro bagato:

17 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov P ( + ) m P B 4 m P 3 ( + ) m Il perimetro bagato dell itera sezioe è: P P + P + P m Il valore del coefficiete di scabrezza equivalete è: / 3 / 3 P m P P P /3 /s / 3/ 3/ + + 3/ 3/ 3/ Equ L area dell itera sezioe è: A B ( + ) 4 x x x (/3 + ).33 m Il raggio idraulico relativo all itera sezioe è: Rh A/P.33/9.3.8 m Applicado la legge di moto uiforme di Gauckler-Strickler all itera sezioe si ottiee: Q A Equ Rh /3 if x 6.8 x.8 /3 x m 3 /s 8.6 Sezioi di miima resisteza La sezioe di miima resisteza è quella sezioe che a parità di area covoglia la portata massima. La portata Q è uguale a V A, essedo V la velocità media ed A l area. La sezioe di miima resisteza è quidi quella sezioe che ammette la velocità media massima. La velocità media, secodo le leggi di resisteza a moto uiforme di Gauckler-Strickler e di Chez dipede a parità di altre codizioi (pedeza, scabrezza) dal raggio idraulico e quidi dalla forma della sezioe. La sezioe che covoglia la maggior portata possibile a parità di area A è quella che ha il valore

18 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov massimo del raggio idraulico Rh A/P e quidi ammette il perimetro bagato miimo. Il fatto che la sezioe co il miimo perimetro bagato a parità di area sia quella di mior resisteza è ache ituitivo: ad ua lughezza uitaria del cotoro compete ua maggiore porzioe di sezioe liquida e quidi l iflueza della azioe di resisteza del fodo è complessivamete miore. La sezioe che offre mior resisteza è quella semicircolare (Rh π r / πr r/) che per i caali i terra è molto difficile da costruire, oltre che oerosa ecoomicamete. Si opta quidi per ua sezioe la cui forma si avvicii il più possibile a quella semicircolare. La sezioe trapezia (fig 8.3), di facile costruzioe, è iscrivibile ella semicircofereza e soddisfa le codizioi di miima resisteza. Figura 8.3. Iscrivibilità di ua sezioe trapezia. Le espressioi dell area A, e del perimetro bagato P per ua sezioe trapezia (fig. 8.4) larga al fodo B e co scarpa delle spode soo: A B + (8.9) B + (8.0) P + α B Figura 8.4. Sezioe trapezia isoscele.

19 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov La sezioe di miima resisteza è caratterizzata dal perimetro bagato miimo. Il perimetro bagato P secodo l equazioe (8.0) dipede da tre variabili: la larghezza B, la profodità e la scarpa : P P(b,,). La larghezza, la profodità e la scarpa soo legate dall equazioe (8.9) che esprime l area e si può esplicitare la larghezza al fodo B: A B (8.) L espressioe (8.0) del perimetro bagato diveta: P A + + A + ( + ) (8.) La codizioe di miima resisteza viee ricercata miimizzado, a parità di area A, il perimetro bagato P rispetto alla scarpa ed alla profodità : dp d dp d 0 0 (8.3a) (8.3b) sostituedo l espressioe del perimetro bagato P secodo l equazioe (8.) ell equazioe (8.3a) si ha: ( + ) 0 dp d A + d d (8.4) 3

20 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov La sezioe trapezia di miima resisteza è caratterizzata dalla scarpa (/3) 0.5 ovvero da u agolo α 30 (fig. 8.4)). Nel caso i cui si abbia u caale i terra la scarpa delle spode deve essere almeo.5 (α 56. ), avedo come limite iferiore (α 45 ) per u terreo compatto, e la codizioe di miima resisteza è espressa uicamete dall equazioe (8.3b). Sostituedo i quest ultima l espressioe del perimetro bagato P secodo l equazioe (8.) si ha: ( + ) 0 dp d A + (8.5) d d Posto il seguete termie (costate rispetto alla profodità ): L equazioe (8.5) diveta: W d d + A + W 0 A + W 0 A W (8.6) L equazioe (8.6) che lega l area A alla profodità ed alla scarpa esprime la codizioe di miima resisteza. U caale co sezioe di forma trapezia di area A e scarpa geeriche è di miima resisteza quado la profodità è (A/W) 0.5. Le espressioi del perimetro bagato P e del raggio idraulico Rh per ua sezioe di area A e di miima resisteza divetao: P A + ( + ) W + W W (8.7) A W Rh (8.8) P W L equazioe (8.6) esprime ua codizioe puramete geometrica, ovvero esprime il legame tra profodità ed area per la sezioe trapezia di mior perimetro bagato a parità di area. Ad ogi valore dell area A, fissato il valore della scarpa, corrispode ua profodità di miima resisteza, ovvero per cui si ha il miimo perimetro bagato ed il massimo raggio idraulico. ccorre accertarsi che la sezioe di area A covogli la portata voluta Q teedo coto della

21 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov scabrezza ed icliazioe del caale if. vvero la scabrezza ed icliazioe if permettoo ua profodità tale che A W? La sezioe di miima resisteza per covogliare ua portata Q i u caale a sezioe trapezia di scabrezza ed icliazioe if si ottiee sostituedo le codizioi di miima resisteza espresse dalle equazioi (8.6) e (8.8) ella legge di moto uiforme: Q A Rh /3 if 0.5 W (/) /3 if 0.5 W 8/3 if 0.5 (8.9) Esplicitado la profodità dalla (8.9) si ottiee: 8/3 /3 Q W if 3 / 8 Q.89 (8.30) W if L equazioe (8.30) esprime il valore della profodità affichè la portata Q vega covogliata co la sezioe di mior perimetro bagato e quidi di area liquida i u caale a sezioe trapezia, di scabrezza ed icliazioe if. L area della sezioe liquida viee determiata tramite l equazioe (8.6) e la larghezza al fodo tramite l equazioe (8.). Cambiado il valore del coefficiete di scabrezza l equazioe (8.30) forisce u valore diverso di e quidi dell area A, ma etrambe le sezioi soo di miima resisteza. Nel caso si utilizzi la legge di moto uiforme di Chez l equazioe (8.30) diveta: /5 Q.3 (8.3) C W if La sezioe rettagolare è ua sezioe trapezia co 0 ed W 0.. Le codizioi di miima resisteza soo le stesse di quelle della sezioe trapezia. Esercizio 8.5 Progettare u caale a sezioe trapezia di scarpa 0.5, co scabrezza 65 m /3 /s ed icliazioe if 0.0 che covogli ua portata Q 4 m 3 /s secodo il criterio della miima resisteza.

22 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov W Q.89 W if 3 / x 65 x.8x / m Il raggio idraulico è: La velocità media è: Rh / 0.79/ m V Rh /3 if x /3 x m/s L area della sezioe liquida è: A Q/V 4/3.5.4 m La larghezza al fodo della sezioe B è: B A/.4/ x m Si verifica ora che la sezioe è di area A.4 m ed è di miima resisteza: A B +.5 x x m A W 0.79 x.8.3 m P B x 0.79 x m P W x 0.79 x.8.86 m Rh A/P.4/ m Rh / 0.79/ 0.4 m

23 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov I valori delle gradezze area, perimetro bagato e raggio idraulico della sezioe coicidoo co quelle di miima resisteza a meo di errori per trocameto umerico. Il criterio della miima resisteza può essere utilizzato ache quado occorre progettare la sezioe di u caale impoedo che la velocità o oltrepassi u valore limite V L. Essedo oti i valori della portata Q, dell icliazioe if e della scabrezza, si cerca iizialmete la sezioe di miima resisteza per cui V V L. Di cosegueza rimae fissata l area della sezioe: A L Q/V L Rispetto al caso precedete soo stabiliti a priori la velocità e quidi l area. Si ipotizza che la sezioe di area A sia di miima resisteza otteedo tramite le equazioi (8.6) (8.7) e (8.8): L Rh L A L W L V ( L /) /3 if 0.5 La sezioe di profodità L, raggio idraulico Rh L ed area A L è di miima resisteza. Si deve verificare che la velocità V sia uguale a V L. I fuzioe del valore del coefficiete di scabrezza si possoo avere i tre segueti casi:. V V L. V < V L 3. V > V L ) Nel primo caso l ipotesi di parteza V V L è verificata e la sezioe è di miima resisteza e covoglia la portata Q; ) Nel secodo caso l ipotesi di parteza o è verificata e la sezioe è di miima resisteza ma covoglia ua portata miore di quella di progetto Q; 3) Nel terzo caso l ipotesi di parteza è verificata e la sezioe è di miima resisteza ma la velocità è superiore al valore limite V L ;

24 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Sezioe di miima resisteza co velocità iferiore alla velocità limite I questo caso (V < V L ) occorre trovare ua uova sezioe di area A > A L e co V < V L. Si applica l equazioe (8.30) e si trova la sezioe di miima resisteza di profodità: Q.89 W if 3 / 8 La sezioe è di miima resisteza e poiché covoglia la portata Q è caratterizzata da A > A L e la velocità V Q/A è iferiore a V L Q/A L. Nel caso si possa operare sulla pedeza (molto improbabile a causa del costo degli scavi) si può aumetare l icliazioe if ad u valore i L tale che V V L : i L V VL /3 4 / 3 Rh (8.3) L L La sezioe di area A L trovata i precedeza è di miima resisteza e covoglia la portata Q se si aumeta l icliazioe del fodo ad u valore i L. Nella tabella 8.4 soo riportati i valori massimi di velocità media per caali rivestiti. Nelle tabelle 8.5 ed 8.6 ed 8.7 soo riportati i valori massimi di velocità media per caali i terra, secodo differeti autori. Nella tabella 8.5 ci soo i risultati della ricerca di Fortier ad Scobe (96) codotta egli Stati Uiti, metre elle tabelle 8.6 ed 8.7 ci soo i valori cosigliati i base a studi italiai. Tabella 8.4 Valori massimi di velocità media per caali rivestiti (Costatiidis, 998) Natura del rivestimeto Massima velocità media ammissibile (m/s) muratura a malta co cattive stuccature.0 Muratura a malta co buoe stuccature 3.0 calcestruzzo cemetizio 6.0

25 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Tabella 8.5 Valori massimi di velocità media per caali i terra (Fortier e Scobe, 96) terreo i cui è scavato Velocità media il caale massima per acqua chiara (m/s) Velocità media Velocità media massima per acqua co massima per acqua co materiale colloidale materiali o colloidali (m/s) (sabbia, ghiaia, detriti) (m/s) sabbia terreo limoso terreo limoso compatto argilla compatta Tabella 8.6 Valori massimi di velocità media per caali i terra (Bixio, 99) Terreo i cui è scavato il caale Velocità media massima ammissibile (m/s) terreo torboso e sabbioso terreo argilloso o limo-argilloso (prevaletemete argilloso) argilla compatta Tabella 8.7 Valori massimi di velocità media per caali i terra (Polverara, 00) Terreo i cui è scavato il caale Velocità media massima ammissibile (m/s) terreo torboso e sabbioso terreo argillo-sabbioso argilla compatta Esercizio 8.6 Progettare u caale a sezioe trapezia di scarpa 0.5, co scabrezza 30 m /3 /s ed icliazioe if 0.0 che covogli ua portata Q 4 m 3 /s secodo il criterio della miima resisteza impoedo che la velocità o superi il valore limite V L 3.5 m/s.

26 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Posto A L Q/V L A L 6/.5.4 m si ipotizza che la sezioe liquida A L sia la sezioe di miima resisteza. Ne cosegue: Rh L L / V Rh L /3 if 0.5 W x ( ) L (A L /W) 0.5 L (.4/.8) m Rh L 0.79/ m V 30 x /3 x m/s V A L < Q, si deve aumetare l area della sezioe. Impoedo le codizioi di miima resisteza, si ottiee: Q.89 W if 3/ x 30 x.8 x 0.0 3/8.06 m A W A.8 x m Rh / Rh.06/ 0.53 m V Rh /3 if 0.5 V 30 x 0.53 /3 x m/s Q V A Q.96 x.03 4 m 3 /s La larghezza è B A/ B.03/ x m

27 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov Se è possibile aumetare la pedeza la sezioe di caratteristiche A L.4 m, profodità L 0.79 m è quella cercata. La pedeza i questo caso assume il uovo valore i L : i VL L 4 / 3 4 / 3 L La larghezza è, i questo caso, B A L / L L B.4/ x m per verificare il risultato appea otteuto si calcola la velocità: V 30 x /3 x m/s 8.6. Sezioe di miima resisteza co velocità superiore a quella limite I questo caso (V > V L ) occorre trovare ua uova sezioe di area A < A L e co V V L. U modo di procedere è per tetativi ma o è di utilità pratica perché o esiste u criterio che porti rapidamete a soluzioe. Si assume A A L e si ricerca dimiuedo il valore della profodità (il raggio idraulico dimiuisce rispetto al valore Rh L ) quella sezioe che cosete ua velocità uguale a quella limite. Questa operazioe può essere fatta per tetativi, dimiuedo la profodità: se si trova ua velocità acora supèriore a quella limite si dimiuisce acora la profodità, viceversa la si aumeta. U modo diretto è ivece il seguete: si determia il raggio idraulico Rh che permette per A A L la velocità V L ( quidi per A A L o si ha la miima resisteza. Rh 3/ VL (8.33) if il valore del perimetro bagato rimae fissato di cosegueza:

28 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov A L P B + + (8.34) Rh si esplicita la larghezza al fodo B: A L B + (8.35) Rh si itroduce la larghezza B secodo l espressioe (8.35) ell espressioe (8.9): A (B + ) A Rh L + + A Rh L W W A L /Rh + A L 0 A L A L 4A W L W Rh Rh Nel caso si possa operare sulla pedeza si può dimiuire l icliazioe if ad u valore i L tale che V V L : i L V Rh La sezioe di area A L è di miima resisteza e covoglia la portata Q. /3 L V L L 4 / 3 Esercizio 8.7 Progettare u caale a sezioe trapezia di scarpa 0.5, co scabrezza 80 m /3 /s e pedeza if 0.0 che covogli ua portata Q 4 m 3 /s secodo il criterio della miima resisteza impoedo che la velocità o superi il valore limite V L 3.5 m/s. Posto A L Q/V L

29 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov A L 4/3.5.4 m si ipotizza che la sezioe liquida A L sia la sezioe di miima resisteza. Ne cosegue: W x ( ) L (A L /W) 0.5 L (.4/.8) m Rh L L / Rh L 0.79/ m V Rh /3 L if 0.5 V 80 x /3 x m/s Si fissa quidi A A L e si cerca la sezioe il cui raggio idraulico è tale da permettere ua velocità pari a quella limite. Si può procedere per tetativi () o risolvedo ua equazioe () otteuta tramite relazioi geometriche. ) posto 0.5 m B A L /.4/ x m P B + ( + ) x 0.5 x ( ) m Rh A L /P.4/ m V Rh /3 if x 0.36 / m/s V > V L Posto 0.4 m B.73 m, P 3.57 m, Rh 0.3 m, V 3.74 m/s V > V L Posto 0.35 m B 3.7 m, P 3.89 m, Rh 0.9 m, V 3.5 m/s V V L

30 Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov VL 3.5 ) Rh 0.89 m if / 3/ W A Rh L A Rh L 4A L W x x.4 x m la larghezza al fodo della sezioe è: B A Rh L x m si verifica il risultato appea otteuto: A L (B + ) 0.34 ( x 0.34).4 V Rh /3 if x / m/s Se è possibile dimiuire la pedeza la sezioe di caratteristiche A L.4 m, profodità L 0.79 m è quella cercata. La pedeza i questo caso assume il uovo valore i L : i VL L 4 / 3 4 / 3 L La larghezza è B A L / L L B.4/ x m per verificare il risultato appea otteuto si calcola la velocità: V 80 x /3 x m/s

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