Test delle ipotesi Parte 2

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1 Test delle potes arte Test delle potes sulla dstrbuzone: Introduzone Test χ sulla dstrbuzone b Test χ sulla dstrbuzone: Eserczo Test delle potes sulla dstrbuzone Molte concluson tratte nell nferenza parametrca nascono dall assunzone assunzone mplctache che l campone d dat provene da una popolazone d propretà ben defnte. In partcolare s assume che sa noto l tpo d dstrbuzone che ha prodotto l campone n esame È possble mplementare un test statstco per stablre, con un certo lvello d sgnfcatvtà, se una data dstrbuzone è compatblecon con lcampone a dsposzone Tale tpo d test prende l nome d test sulla bontà d adattamento Test delle Ipotes arte

2 Test delle potes sulla dstrbuzone Anche per tale tpo d test è prevsta un potes nulla: H 0 : l campone provene da una dstrbuzone teorca nota La flosofa d tal test s basa sul confrontare: Frequenze assolute del campone Frequenze assolute prevste dalla dstrbuzone potzzata Test χ sulla dstrbuzone Rcetta:. Indvduare classdstntencusuddvdere n cu suddvdere lcampone. Valutare la frequenza O delle osservazon del campone per cascuna classe: O, =,, 3. Calcolare la frequenza assoluta E che spetta alla dstrbuzone b potzzata t per cascuna classe: E, =,, Se l potes nulla fosse vera valor E e O dovrebbero essere confrontabl Test delle Ipotes arte

3 Rcetta (cont.) Calcolare lo scalare: Test χ sulla dstrbuzone χ oss = = ( O E ) E Importante: Se l potes nulla d partenza fosse vera, s può dmostrare che χ è un valore osservato d una VA d tpo oss χ a ν = m g.d.l, essendo ν= m gdl della VA d tpo χ m Numero d class Numero d parametr della dstrbuzone da stmare a partre dal campone Test χ sulla dstrbuzone Rcetta (cont.) Il valore osservato χ oss deve essere confrontato con l valore crtco χ α della χ tale che: ( χ χ ) α = α Essendo α l lvello d sgnfcatvtà del test e χ la VA d tpo χ a ν grad d lbertà. L potes nulla H 0 sarà qund rgettata se: χ oss > χ α Test delle Ipotes arte 3

4 Test χ sulla dstrbuzone N.B. Il test d adattamento n esame è valdo se O 5 Nel caso non sa soddsfatta questa propretà s deve rcorrere a raggruppare pù class Test χ sulla dstrbuzone Eserczo In tabella è rportata la dstrbuzone della pressone sangugna sstolca (n mmhg) per un campone casuale d 50 uomn d età compresa tra 30 e 40 ann. S vuole testare se dat possano provenre da una VA normale ressone Frequenza osservata (n. d uomn) Frequenza relatva f 80< x < x < x < x < x < x < x < x f = = Test delle Ipotes arte 4

5 Test χ sulla dstrbuzone Eserczo Il prmo passo è la stma de parametr per la varable aleatorapotzzata, potzzata, ovvero devo calcolare medaartmetcae artmetca e varanza del campone: ˆ μ = x = x f = 8.46 ˆ σ = s = = = ( x x) = f Stamo qund assumendo che dat provengano da una VA X del seguente tpo: X ~ N ( μ = 8.46, σ = 87.48) È possble qund valutare le frequenze relatve che competono teorcamente a cascuna classe Test χ sulla dstrbuzone Eserczo er l calcolo delle frequenze relatve s può rcorrere alle propretà della trasformazone lneare: X μ X Z = = σ er cu, per esempo, per la classe [0 0]: ( 0 < X 0) = < X = Z (.35 < Z 0.6 ) = ( 0.6 Z <.35 ) = = 0.79 er cu, la frequenza assoluta attesa è: E = N 0.79 = = Test delle Ipotes arte 5

6 Test χ sulla dstrbuzone Eserczo Class Frequenza osservata O O Frequenza relatva attesa Frequenza assoluta attesa E x <x <x <x <x <x <x <x <x x> E Da notare che, per x<80 e x>80, nonostante non v sano valor osservat nel campone, esste una frequenza attesa E 0 e dobbamo qund consderare anche queste class Test χ sulla dstrbuzone Eserczo Raggruppando le class con un numero d osservazon O <5: Classe O E (O E ) /E x <x <x <x <x X> Totale: = χ oss = Test delle Ipotes arte 6

7 Test χ sulla dstrbuzone Eserczo Restano da stablre grad d lbertà della χ da consderare e l valore crtco ad esso relatvo: Numero class : 6 Numero parametr m: ν= m =3 Resta da stablre quale è l valore crtco χ 0.05 d una χ a 3 gdl. Consultando le tabelle s osserva che: ( χ χ ) = 0.05 χ = Essendo: = χ oss < χ 0.05 Non possamo rgettare l potes nulla d partenza Test delle Ipotes arte 7

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