INDICE PARTE 1 1. INTRODUZIONE 1 2. DEFINIZIONI E NOMENCLATURA 5 3. REGIMI DI MOTO

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1 Indice INDICE PARTE 1 PAG. 1. INTRODUZIONE 1. DEFINIZIONI E NOMENCLATURA 5.1. Introduzione.. Portata massica, titoo, frazione di vuoto..1. Portata massica... Titoo dea miscea..3. Frazione di vuoto dea miscea.3. Veocità superficiai, rapporto di scorrimento, densità omoenea, densità dea miscea.3.1. Veocità superficiai.3.. Rapporto di scorrimento.3.3. Densità omoenea, densità dea miscea.4. Gradienti di pressione, motipicatore bifase.4.1. Modeo omoeneo.4.. Modeo a fasi separate REGIMI DI MOTO 3.1. Reimi di moto in defussi verticai 3.. Reimi di moto in defussi orizzontai 3.3. Metodi per a determinazione dei reimi di moto Metodi basati su osservazione Metodi basati sua rievazione dea pressione Metodi basati sua attenuazione fotonica Metodi basati sua conducibiità eettrica 3.4. Mappe di fusso Mappe empiriche Mappe di derivazione anaitica I

2 Indice PAG. 4. MODELLO STAZIONARIO DEL MOTO INTERMITTENTE ORIZZONTALE 4.1. Modeo cassico Biancio di massa Frazione di vuoto Fuidodinamica dea zona stratificata Cadute di pressione Equazioni di chiusura Procedura di cacoo 4.. Modeo basato sua atezza minima de fim Procedura di cacoo basata su atezza minima de fim 4.3. Modei monodimensionai a due fuidi in transitorio Modeo di De Henau e Raithby Modeo di Issa e Kempf Modeo di Masea et a PARTE 5. DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DEI PARAMETRI DEL MOTO IN EFFLUSSI INTERMITTENTI ORIZZONTALI 5.1. Apparecchiatura sperimentae 5.. Modaità operative 5.3. Procedura di anaisi de senae di frazione di vuoto 5.4. Vaidazione dea procedura mediante visuaizzazione de moto 5.5. Risutati e discussione Frequenza di passaio dei sus Veocità trasazionae dei sus Atezze minima e media de fim nea reione stratificata Lunhezza dei sus Frazione di vuoto neo su PAG II

3 Indice PARTE 3 PAG. 6. ANALISI DEI RISULTATI Confronto dei modei cassico ed oriinae con i dati sperimentai Cadute di pressione Frazione di vuoto media neo su unit Atezza minima de fim Frequenza di passaio dei su Lunhezza dei su CONCLUSIONI 138 APPENDICI 1. Codice di cacoo (mappa di moto di Duker e Taite). Frazione di iquido neo su (vaori indicati in etteratura) 3. Veocità trasazionae deo su (vaori indicati in etteratura) 4. Frequenza deo su (vaori indicati in etteratura) 5. Fattore di attrito (vaori indicati in etteratura) 6. Diaramma di fusso de aoritmo cassico 7. Diaramma di fusso de aoritmo modificato 8. Simbooia RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 151 III

4 Capitoo 1: Introduzione 1 INTRODUZIONE I presente avoro si inquadra ne ambito di un esteso proetto di ricerca condotto nei utimi 15 anni da Dipartimento di Termoeneretica e Condizionamento Ambientae de Università di Genova, voto a approfondimento teorico e sperimentae dei effussi bifase in condotti, con particoare attenzione a moto in canai verticai ed orizzontai di miscee aria-acqua in diversi reimi fuidodinamici. I tema riveste un ruoo di rande interesse ed attuaità, in raione de crescente supporto tecnico richiesto aa scienza in fase di dimensionamento ed ottimizzazione dei impianti di potenza, de industria chimica e dee reti di trasporto di miscee di idrocarburi. In svariati processi industriai a conoscenza dea confiurazione di moto durante un defusso mutifase appare di primaria importanza: si pensi ai probemi di cavitazione o di resistenza termica dei materiai contenenti fuidi in fase di eboizione, che obbiano ad un continuo monitoraio sua eventuae presenza e distribuzione di as e vapori. Ne ambito dei sistemi eneretici si cita, uno fra tutti, i caso di defussi bifase a bassi vaori di portata di aeriforme che si reaizzano incidentamente ne noccioo dei reattori termonuceari ad acqua pressurizzata. Nei processi in cui e normai condizioni operative prevedono a coesistenza di due fasi, a conoscenza dea oro distribuzione permette i controo dei fenomeni di natura dinamica correati aa fisica de sistema. Inotre oni quavota sia necessario movimentare un fuido bifase mediante orani di propusione, è necessario essere dotati di un vaido strumento di previsione dee perdite di pressione uno a rete, che permetta un corretto dimensionamento dei stessi e de circuito, note che siano e condizioni operative adottate. 1

5 Capitoo 1: Introduzione Nei utimi 30 anni sono stati prodotti numerosi avori teorici e sperimentai a riuardo dea fenomenooia e caratterizzazione dei effussi bifase, inquadrabii in diversi fioni di indaine. In etteratura sono disponibii compete rassene bibiorafiche (Beres et a 1981; Hewitt et a ), che testimoniano a rande varietà di approcci e casistiche anaizzate, nonché e innovazioni apportate ne corso dei anni ae tecniche di misura dee randezze di interesse. Nonostante i proressi riconosciuti aa ricerca di questi anni, i avoro necessario per a caratterizzazione de moto bifase in svariati campi di condizioni operative e eometrie è ancora parecchio. Ciò che appare chiaro a chi si accosta aa fisica dei effussi bifase è a compessità de sistema da studiare e dee probematiche ad esso reative. Senza entrare ne dettaio dea fenomenooia, che verrà unamente descritta nei capitoi 1, e 3, si danno di seuito acuni cenni di carattere enerae su tema in oetto. I moto confinato di miscee bifase, composte da uno o diversi componenti presenti nee fasi iquida ed aeriforme, può assumere diverse confiurazioni (ossia reimi di moto) in termini di interfaccia di separazione tra e fasi, in raione dee proporzioni tra e portate voumetriche dee due fasi e dee proprietà termofisiche dei componenti, nonché dee condizioni operative e dea eometria de moto. Le variabii che condizionano i fenomeno sono dunque numerose e di diversa natura. I presente avoro è concentrato suo studio di un reime di moto orizzontae detto intermittente o a su, in cui effusso è costituito da due reioni distinte che si susseuono più o meno reoarmente: a zona deo su o tappo iquido, in cui i iquido occupa intera sezione de condotto, e a zona de fim iquido sovrastato daa fase aeriforme. Questo reime presenta carattere diffusamente instabie, con

6 Capitoo 1: Introduzione futtuazioni spazio-temporai che rendono particoarmente compicato quasiasi tentativo di sempificazione e schematizzazione de fenomeno. Da qui esienza di affiancare aa trattazione teorica di modeizzazione de moto, a fase di sperimentazione, con a finaità di ricavare correazioni semiempiriche e ei enerai di dipendenza dei parametri de moto dae caratteristiche fisiche de sistema. In quest ottica si distinuono e due fasi principai de presente studio, condotte in paraeo ed interate nea fase di sintesi dei risutati: 1. Anaisi dei modei matematici de moto intermittente disponibii in etteratura; sviuppo di un aoritmo che impementa i modeo stazionario proposto da Duker e Hubbard (1975), Nichoson et a. (1978), Taite e Barnea (1990), Andreussi et a. (1993); sviuppo di un procedimento aternativo basato sua adozione di opportune correazioni per a determinazione dea atezza minima de fim iquido nea zona stratificata (capitoo 4); anaisi dei parametri ottenuti (veocità, frequenza di passaio e unhezza deo su iquido) e confronto con i dati sperimentai (capitoo 6).. Determinazione sperimentae dei parametri de moto (andamenti temporai di frazione di vuoto medie sua sezione de condotto in diverse posizioni, cadute di pressione uno i percorso) mediante una campana di prove di aboratorio ed impementazione di un aoritmo di anaisi dei dati (capitoo 5). La presente tesi è divisa in tre sezioni. Nea prima venono richiamate e definizioni e a nomencatura dea fenomenooia bifase, descritti i vari reimi di moto e e tecniche utiizzate per a cassificazione de reime attraverso impieo di mappe. Viene quindi descritta a modeizzazione in reime stazionario e transitorio de effusso bifase intermittente proposta dai diversi autori nei utimi 30 anni. Infine viene proposto un procedimento aternativo basato su utiizzo di una 3

7 Capitoo 1: Introduzione reazione per atezza minima de fim nea reione stratificata come equazione di chiusura de aoritmo. Nea seconda sezione de avoro viene descritto impianto sperimentae reaizzato presso i Dipartimento di Termoeneretica e Condizionamento Ambientae de Università di Genova e a campana di prove sperimentai condotta; viene presentata a procedura di anaisi dei dati ottenuti, impementata mediante codice di cacoo compiato in Basic; in particoare, dai risutati ottenuti per atezza minima de fim iquido nea reione stratificata, viene ricavata e proposta una correazione oriinae. Questa correazione viene utiizzata ne procedimento aternativo come equazione di chiusura de probema fuidodinamico. Anche per a frequenza di passaio dei sus viene proposta una correazione oriinae, estratta dai dati sperimentai de presente avoro. Viene svoto infine un esteso confronto con i dati reperibii in etteratura dei parametri de moto investiati. Nea terza sezione i parametri de moto ottenuti da appicazione dei due aoritmi, cassico e modificato, venono confrontati con quei derivanti dae prove sperimentai: cadute di pressione, frazione di vuoto media, frequenza e unhezza medie deo su, atezza minima de fim (teorico da aoritmo cassico e sperimentae in queo aternativo). 4

8 Capitoo : Definizioni e nomencatura DEFINIZIONI E NOMENCLATURA.1 Introduzione Questa sezione è dedicata aa definizione dei parametri caratteristici dei effussi bifase. Venono descritte e randezze eometriche e fuidodinamiche utiizzate nea schematizzazione monodimensionae dei effussi bifase, per cui oni randezza viene considerata come vaore medio sua sezione di effusso. Inotre, dato i carattere fortemente instabie e futtuante riscontrato in acuni reimi di moto, e randezze venono considerate medie ne tempo, e 'intervao di osservazione viene assunto sufficientemente esteso rispetto ai periodi di osciazione dei parametri.. Portata massica, titoo, frazione di vuoto..1 Portata massica Le portate massiche dee fasi iquida ed aeriforme di una miscea bifase sono definite da prodotto densità, veocità e sezione occupata dea fase corrispondente: M M = ρ w A = ρ w A (.1) La portata massica totae dea miscea è pari aa somma dee portate massiche dee fasi: M = M + M (.) La portata massica specifica dea miscea ( mass veocity ) è definita da rapporto tra a portata massica totae dea miscea e area dea sezione trasversae de condotto: M G = (.3) A 5

9 Capitoo : Definizioni e nomencatura Anaoamente, a portata massica specifica di ciascuna fase è definita come: M G = A (.4) per aeriforme e: M G = (.5) A per i iquido... Titoo dea miscea Esistono diverse definizioni di titoo dea miscea a seconda dee condizioni ae quai si fa riferimento: 1. Titoo statico: è definito come i rapporto tra a massa de aeriforme e a massa totae dea miscea bifase: x s m = (.6) m + m. Titoo dinamico (quaità, dryness fraction): è definito come i rapporto tra a portata massica de aeriforme e a portata massica totae dea miscea: M G x = = (.7) M + M G + G 3. Titoo voumetrico: è definito come i rapporto tra a portata voumetrica dea fase assosa e a portata voumetrica totae: X dove: Q Q = (.8) Q + Q Q V = M Q = M = A w Q = = A w Q Q + Q ρ ρ In reazione a titoo dinamico si può scrivere: = (.9) 6

10 Capitoo : Definizioni e nomencatura X V x = (.10) ρ x + (1 x) ρ..3 Frazione di vuoto dea miscea Per una enerica miscea bifase è possibie definire a funzione densità di fase X j in riferimento a fatto che in un dato istante t e in una data posizione x sia presente a fase j (j=1,). La densità dea fase j è pari a 1 se questa è presente ne punto x a tempo t, nua in caso contrario. Sia X (x,t) a densità dea fase aeriforme e X (x,t) a densità dea fase iquida; si introduce i concetto di frazione di vuoto ocae, definita nei termini: 1 α (x) = X (x, t)dt (.11) T T L intervao d'interazione T si ammette sufficientemente esteso da mediare e futtuazioni turboente dea corrente, ma ridotto rispetto ai periodi caratteristici di variazione dee randezze fuidodinamiche. Per un periodo di osservazione de fenomeno T superiore a periodo medio dee futtuazioni macroscopiche, interazione dea funzione densità di fase fornisce i vaore medio ne tempo dea frazione di vuoto ne punto di osservazione x: 1 α (x) = im X (x, t)dt T T (.1) T La frazione di vuoto media ne voume è definita da rapporto tra i voume occupato da aeriforme e i voume totae dea reione occupata daa miscea a'istante t: V V α (t) = = (.13) V V + V tot 7

11 Capitoo : Definizioni e nomencatura Si definisce infine a frazione di vuoto media in una sezione ( areica ) come rapporto tra area dea sezione trasversae occupata da aeriforme e area dea sezione trasversae totae: A A α (t) = = (.14) A A + A tot La frazione di vuoto areica è quea più comunemente utiizzata; ad essa si fa riferimento ne seuito. E' tavota conveniente considerare a frazione di iquido media sua sezione, pari a compemento ad uno dea frazione di vuoto: H L = (1 α) (.15).3 Veocità superficiai, rapporto di scorrimento, densità omoenea e densità dea miscea.3.1 Veocità superficiai Si definisce veocità superficiae o portata voumetrica specifica dea sinoa fase i rapporto tra a portata massica dea fase e i prodotto tra a densità di questa e area totae dea sezione trasversae de condotto; in atre paroe a veocità superficiae di una fase è a veocità che a fase avrebbe se fuisse, a parità di portata, da soa ne condotto. Per a fase aeriforme si ha: w s, M xm G Q Q A = = = = = = α w (.16) Aρ Aρ ρ A A A mentre per a fase iquida: w M ( 1 x) M G Q Q ( 1 α) w s, = = = = = = (.17) Aρ Aρ ρ A A A A 8

12 Capitoo : Definizioni e nomencatura.3. Rapporto di scorrimento Se si eseue i rapporto membro a membro dea reazioni (.16) e (.17) si ottiene a reazione tra i titoo dinamico dea miscea e a frazione di vuoto, che permette di introdurre a definizione di rapporto di scorrimento o sip ratio, cioè i rapporto tra e veocità medie dee due fasi: x = α α ρ w = α α ( 1 x) ( 1 ) ρ w ( 1 ) ρ w ρ S con w S = (.18) La frazione di vuoto può essere espressa in funzione de titoo dinamico attraverso a reazione: 1 xρ α = = (.19) 1 x ρ xρ + (1 x) ρs 1 + S x ρ Come ià osservato, i titoo voumetrico viene espresso in funzione de titoo dinamico ne modo seuente: X V 1 = (.0) 1 x ρ 1 + x ρ Combinando e equazioni (.16), (.17) e (.19) si ricava a reazione che ea e veocità medie dee due fasi a titoo dea miscea attraverso i rapporto di scorrimento: = M M x 1 x w = + ρ Aα A ρ ρ S (.1) = M M x 1 x w = + ρ A(1 α) AS ρ ρ S (.) Se i rapporto di scorrimento è unitario, per definizione (.18) e due veocità medie coincidono ed uuaiano a veocità omoenea dea miscea, pari aa somma dee veocità superficiai dee fasi: 9

13 Capitoo : Definizioni e nomencatura w M x 1 x Q = + = w s, + w s, (.3) A ρ ρ A M = La veocità omoenea di una miscea è pari a rapporto tra a portata voumetrica compessiva e area dea sezione trasversae, e risuta indipendente da reime di moto e dao scorrimento tra e fasi..3.3 Densità omoenea, densità dea miscea La densità di una miscea bifase può essere definita come media dee densità dee due fasi pesata su area dea sezione occupata: ρ ( ρ (.4) m = αρ + 1 α) Se si esprime a frazione di vuoto in funzione de titoo attraverso a reazione (.19), si ottiene espressione dea densità dea miscea in funzione de titoo e de rapporto di scorrimento: x + (1 x)s ρ m = (.5) x 1 x + S ρ ρ Considerando nuo o scorrimento tra e fasi, si ottiene espressione dea densità omoenea: 1 ρ M = (.6) x 1 x + ρ ρ Le stesse equazioni riscritte in termini voumetrici, definiscono i voume specifico dea miscea; daa reazione (.5) si ottiene: v v m xv + (1 x)sv = (.7) x + (1 x)s Infine i voume specifico omoeneo risuta: M = xv + (1 x) v (.8) 10

14 Capitoo : Definizioni e nomencatura.4 Gradienti di pressione, motipicatore bifase La vautazione de radiente di pressione nei effussi bifase si effettua in maniera differente a seconda de modeo fuidodinamico impieato per o studio de fenomeno; e schematizzazioni più frequentemente adottate sono quee de modeo omoeneo, in cui e due fasi sono così intimamente misceate da rappresentarsi come un fuido omoeneo, ed i modeo a fasi separate in cui e fasi, in equiibrio termodinamico, si muovono a diverse veocità..4.1 Modeo omoeneo I modeo omoeneo è introdotto per rappresentare una condizione di moto in cui e fasi sono uniformemente distribuite con rapporto di scorrimento ocae nuo (S=1). I radiente di pressione uno un condotto a sezione costante, di unhezza δz, incinato di un anoo β rispetto a orizzontae, in condizioni stazionarie, si può esprimere mediante equazione di conservazione dea quantità di moto nea forma (fiura.1): pa δz z τ 0 Sδz [p+(dp/dz)δz]a β Fiura.1: Schema de modeo omoeneo per i cacoo de radiente di pressione. 11

15 Capitoo : Definizioni e nomencatura dp d p p + δz da = τ0δzds + ( Gw) δzda + ρmsinβδzda (.9) A dz dz S A A dove con A si è indicata a sezione trasversae de condotto, con S i perimetro di questa, con τ 0 o sforzo tanenziae aa parete, con w a veocità comune ae due fasi e con omoenea. ρ m a densità dea miscea Ne ipotesi di fusso monodimensionae, equazione (.9) si sempifica nea: dp S d 1 = τ + 0 G + ρmsinβ (.30) dz A dz ρm I radiente di pressione risuta quindi pari aa somma di tre contributi, costituiti da attrito, da acceerazione subita daa miscea e daa componente dea forza di ravità paraea a moto: dp dp dp dp = + + (.31) dz dz dz dz attrito acceerazione ravità I contributo dovuto a acceerazione si cacoa sua base dea definizione di densità dea miscea ρ m (eq..5), ricordando che i rapporto di scorrimento è unitario: dp dz d = G v dz d + x dz d dz x ρ 1 x + = G ρ dx ( v v ) + ( v v ) dz d dz [ v + ( v v ) x] = G = acceerazi one (.3) Assumendo i voumi specifici dee due fasi indipendenti daa quota z (fasi incomprimibii), si ottiene: dp dx = G (v v ) (.33) dz acceerazione dz I radiente di pressione dovuto a attrito può vautarsi considerando che: 1

16 Capitoo : Definizioni e nomencatura dp S λ m G = τ = 0 (.34) dz attrito A D ρ m essendo D i diametro idrauico de condotto e λ m i fattore di attrito per i fuido omoeneo. La precedente equazione può convenientemente scriversi nea forma: dp dz attrito = Φ 0 in cui ( dz) f,0 dp dz f,0 (.35) dp rappresenta i radiente di pressione per attrito corrispondente aa soa fase iquida cacoato per una portata pari aa totae portata defuente dea miscea. Φ 0 è detto motipicatore bifase e rappresenta i fattore che permette di passare da radiente di pressione per attrito monofase a queo dea miscea bifase. I sinificato di tae coefficiente è queo di indicare incremento de radiente di pressione per attrito rispetto a moto monofase, dovuto aa presenza contemporanea dee due fasi. Per vautare i motipicatore bifase si introducono soitamente due aternative approssimazioni: 1. I fattore di attrito bifase è pari a queo reativo aa soa fase iquida defuente con a stessa portata dea miscea; si ha così: ρ λm ρ Φ 0 = = 1 + x 1 (.36) ρ λ m 0 ρ. I fattore di attrito bifase ha a stessa dipendenza da numero di λ λ m 0 Reynods di queo monofase, pertanto: = C Re C Re n m n 0 µ = µ m n Ne moto turboento si pone soitamente C=0.184 e n=0.. (.37) 13

17 Capitoo : Definizioni e nomencatura Per a vautazione dea viscosità bifase µ m sono state proposte varie espressioni contenenti e proprietà a saturazione; si ha ad esempio (Mc Adams et a.): µ µ m 1 x µ = + µ 1 1 Utiizzando a (.38), i motipicatore bifase diventa: (.38) ρ λ m 0 1 x 1 1 x µ ρ Φ = = (.39) ρm λ0 µ ρ A seconda de radiente monofase che si prende come riferimento, venono definiti i rispettivi motipicatori bifase; otre a queo definito daa eq. (.35) si hanno: dp dz attrito = Φ 0 dp dz f,0 n (.40) dp dz dp dz attrito attrito dp = Φ dz = Φ dp dz f, f, (.41) (.4) Anaoamente a motipicatore Φ 0, Φ 0 è riferito a radiente dea soa fase aeriforme, a cui portata è pari a quea totae dea miscea. Gi atri due motipicatori sono riferiti ai radienti dea soe fasi iquida ed aeriforme rispettivamente, cacoati però con e portate proprie dea fase in oetto. Un atro criterio aramente utiizzato ne cacoo de radiente bifase si basa su utiizzo de parametro di Lockhart-Martinei (1949), definito come i rapporto tra i radiente di pressione ottenuto considerando i condotto interessato daa soa fase iquida e queo corrispondente aa soa fase aeriforme (con e portate reai attribuite ae fasi): 14

18 Capitoo : Definizioni e nomencatura X dp dz f, = (.43) dp dz f,.4. Modeo a fasi separate Ne modeo a fasi separate occorre appicare equazione di conservazione dea quantità di moto ne caso di reime permanente e moto monodimensionae ad entrambe e fasi che non costituiscono una miscea omoenea. I biancio su voume di controo rappresentato in fiura.1, ne caso di condotto a sezione costante A e perimetro S, fornisce: p p + δz da = τ0δzds + + A ρ m dp dz sinβδxda A S A d dz [ G w ( 1 α) + G w ] α δzda + (.44) Sempificando equazione in reazione a ipotesi di moto monodimensionae, si ha: dp dz S = τ A dp dz 0 + d dz attrito [ ρ w ( 1 α) + ρ w α] + sinβ αρ + ( 1 ) dp dz acceerazione [ α ρ ] dp dz ravità (.45) La frazione di vuoto α che compare nei termini dovuti a acceerazione e aa ravità, non è in questo caso funzione univoca de titoo, ma deve essere caratterizzata da una uteriore reazione che tena conto deo scorrimento. I radiente di pressione bifase dovuto a attrito è eneramente cacoato in base a motipicatore definito per una fase sinoa, defuente con una portata pari aa totae dea miscea (eqq ). 15

19 Capitoo 3: Reimi di moto 3 REGIMI DI MOTO I defussi bifase si caratterizzano per a presenza simutanea di iquido ed aeriforme, separati da una superficie di interfaccia estremamente compessa, a cui forma ed evouzione spazio-temporae discende da numerosi fattori termofuidodinamici. I parametri che determinano instaurarsi di una determinata confiurazione di moto riuardano e portate dee fasi e e condizioni operative (termiche e fuidodinamiche), e proprietà dei fuidi (densità, viscosità, tensione superficiae), a forma, dimensioni e iacitura de condotto, a direzione de moto. Da punto di vista operativo, occorre fissare acuni dei suddetti parametri, e procedere aa visuaizzazione di ciò che accade a interno de condotto a variare dei parametri sceti come discriminanti dea confiurazione de moto per quea particoare cassificazione. Fissato ad esempio i diametro, a iacitura de condotto e i fuidi che componono a miscea bifase, si è in rado di mettere in reazione e portate dee fasi con i reime di moto osservato. E quindi possibie definire determinate confiurazioni per e quai a distribuzione spaziae dee fasi è più o meno simie. Si comprende facimente come oni cassificazione sia compessa e non de tutto esaustiva dea fenomenooia in studio. Tuttavia tae identificazione risuta aquanto utie ao studio dee caratteristiche de effusso bifase, in quanto permette o sviuppo di modei particoareiati de sinoo reime di moto. Una diversificazione di questo tipo consente infatti di sviuppare aoritmi in rado di ottenere miiori risutati nea predizione di numerose caratteristiche de defusso, quai e cadute di pressione, a distribuzione dea frazione di vuoto, entità deo scambio termico, a stabiità de interfaccia, o scambio di massa e a propaazione di onde di pressione. 16

20 Capitoo 3: Reimi di moto In enerae si deve ritenere che modei accurati di questi fenomeni siano vaidi per condizioni di moto simii. Questo comporta a necessità di poter prevedere i reime che si stabiisce per e condizioni di interesse (portate e proprietà dei fuidi, eometria de condotto, iacitura e direzione de moto). In etteratura sono presentate diverse mappe di natura empirica, che riportano e superfici di separazione tra i diversi reimi in funzione di acuni parametri de effusso bifase. Sono state anche proposte acune modeizzazioni anaitiche dei vari reimi, che consentono a costruzione dee mappe per via anaitica anziché sperimentae. 3.1 Reimi di moto in defussi verticai I reimi di moto o fow patterns a interno di tubi verticai, per moto ascendente ed equiverso, sono iustrati nea fiura 3.1 e descritti ne modo seuente: 1. Moto a boe: a fase aeriforme è distribuita in boe disperse nea fase iquida assiamente continua. boe tappi o su churn anuare Fiura 3.1: Reimi di moto in defussi verticai. 17

21 Capitoo 3: Reimi di moto. Moto a tappi o su: questa confiurazione è caratterizzata daa presenza di due zone che si susseuono nea direzione de effusso, una prima reione in cui a sezione è quasi interamente occupata daa fase aeriforme, sotto forma di boe (boe di Tayor), a cui forma è tonda superiormente e sfraniata aa base, e a unhezza variabie da 1 a 100 diametri. Tra e boe e a parete un sottie fim iquido fuisce verso i basso, in direzione opposta a quea principae de moto. La seconda reione è invece occupata da iquido continuo con piccoe boicine disperse. 3. Moto semianuare o Churn: questo reime è simie a precedente ma moto più caotico. A aumentare dee portate dee fasi i tappi di as diventano instabii e venono ad assumere forme più strette ed aunate; a fase iquida tra i tappi viene interrotta in modo discontinuo, i fim in moto discendente viene sospinto verso ato da as. I moto appare fortemente variabie e disordinato. 4. Moto anuare: a fase aeriforme occupa a sezione centrae de tubo, mentre i iquido si muove a ridosso dea parete. La fase aeriforme contiene normamente piccoe occioine di iquido, più raramente i fim può contenere boicine di as. I moto in condotti verticai può dar uoo a reimi piuttosto diversi da quei sopra descritti ne caso, meno frequente, di moto discendente equicorrente ovvero controcorrente. 3. Reimi di moto in defussi orizzontai I reimi di moto a interno di tubi orizzontai sono iustrati nea fiura 3. e descritti ne modo seuente: 1. Moto stratificato: a fase iquida crea un fim stratificato nea zona inferiore dea sezione, ed è sovrastata daa fase aeriforme. Le due 18

22 Capitoo 3: Reimi di moto fasi risutano dunque competamente separate. L interfaccia di separazione può assumere un aspetto iscio (stratificato iscio) oppure corruato (stratificato ondoso).. Moto intermittente: si nota a coesistenza di due reioni che si susseuono più o meno reoarmente: a prima è costituita da tappi di iquido di unhezza estremamente variabie che occupano intera sezione de condotto, mentre a seconda è caratterizzata da un fim iquido nea zona inferiore de canae, sovrastato da una macroboa di as. Si distinuono fondamentamente due tipooie di moto intermittente: A pu: randi boe aunate si muovono nea parte superiore de tubo, separate da tappi di iquido privi ao oro interno di boicine di as; A su: i tappi che si aternano aa macroboe di aeriforme, contenono boicine di as; questo è dovuto aa turboenza che si crea nea zona frontae de tappo, interessata da vortici (zona detta di mescoamento). stratificato iscio stratificato ondoso stratificato moto a pu moto a su intermittente anuare a nebbia anuare ondoso anuare boe disperse boe disperse Fiura 3.: Reimi di moto in defussi orizzontai. 19

23 Capitoo 3: Reimi di moto 3. Moto anuare: a fase iquida forma un fim continuo sua parete de tubo, di spessore variabie per effetto dea ravità. La reione centrae de condotto è occupata daa fase aeriforme che si muove ad ata veocità, trascinando con sé piccoe occioine di iquido disperse. L interfaccia di separazione è in enere frastaiata ed è sede di scambi di massa per trascinamento e deposito di occioine. La condizione di fim iquido aa parete di spessore pressochè costante viene indicata come moto anuare a nebbia, mentre quando o strato di iquido nea reione inferiore de tubo presenta carattere increspato si para di moto anuare ondoso. 4. Moto a boe disperse: La fase aeriforme si distribuisce sotto forma di boe discontinue immerse nea fase iquida continua. Le boe si concentrano nea parte superiore de condotto per effetto dea spinta di aeiamento. Nei condotti incinati i reimi di moto rievati sono dipendenti da anoo di iacitura; a forza di ravità tende a rendere più pronunciate e caratteristiche di stratificazione tipiche dei defussi orizzontai, tanto maiore risuta anoo rispetto aa verticae. Per bassi vaori di incinazione, i reimi osservati sono i medesimi de moto verticae ascendente. 3.3 Metodi per a determinazione dei reimi di moto Numerosi studiosi hanno affrontato i probema dea determinazione de reime di moto nei defussi bifase, in raione dee proprietà dei fuidi e dee condizioni operative. I avoro di cataoazione dei reimi è compicato da due aspetti fondamentai: in primo uoo a descrizione dei sinoi reimi è tavota basata su eementi arbitrariamente sceti; in 0

24 Capitoo 3: Reimi di moto secondo uoo a transizione da un reime ad un atro risuta in acuni casi un processo raduae, per cui appare difficie fissare in modo univoco i confini tra i reimi. L approccio iniziae è stato queo di identificare e caratterizzare i diversi reimi di moto mediante utiizzo di sezioni di prova trasparenti, attraverso cui si potesse osservare instaurarsi dei diversi reimi a variare dee portate dee fasi e dee proprietà dei fuidi. Successivamente i sforzi si sono concentrati neo studio di modei, empirici ed anaitici, in rado di predire i reime di moto sua base dei parametri di infuenza. Sono state presentate diverse mappe de moto, in cui venono rappresentate e curve di passaio da un reime di moto ad un atro in funzione di svariate coppie di coordinate. In atre paroe, definiti i fuidi che componono a miscea bifase e a eometria de moto, è possibie mediante utiizzo dee mappe, stabiire a priori i reimi di moto che si andranno ad osservare, a seconda de campo di variazione dee portate che si desidera investiare. Occorre considerare che e mappe presentate in etteratura, così come e metodooie anaitiche, sono state dedotte in particoari condizioni operative (proprietà dei fuidi, eometria de condotto, ecc.). La sceta stessa dee coordinate dee mappe è strettamente correata aa natura dei dati utiizzati. Per questa raione estensione de utiizzo di una particoare mappa a condizioni diverse da quee oriinai, per esempio di dimensioni e iacitura de condotto, di proprietà dei fuidi, di portate dee fasi, è da effettuarsi con cautea. Seue una rassena dei principai metodi proposti in etteratura per identificazione dei reimi di moto. 1

25 Capitoo 3: Reimi di moto Metodi basati su osservazione Questi metodi sono basati su osservazione di ciò che accade a defusso bifase attraverso una sezione di prova trasparente. Quando e portate dee fasi sono sufficientemente contenute e i fuidi trasparenti, tae metodooia risuta efficace nea rievazione de interfaccia tra e fasi e de evouzione di questa uno i condotto. Per portate più eevate occorrono tecniche fotorafiche ad apparecchiature di reistrazione de effusso, come dimostrato dai avori di Hsu e Graham (1963), Raissan (1965), Beres e Suo (1966), e Hewitt e Roberts (1969). I difetto dee tecniche fotorafiche è di essere imitate ne ampiezza de campo di osservazione, spesso non superiore a pochi diametri; in questo caso ciò che si ottiene è soo una immaine istantanea reativa ad un tratto di effusso. Non viene reistrata invece evouzione assiae de moto, aspetto essenziae per a caratterizzazione dei reimi Metodi basati sua rievazione dea pressione Questi metodi si basano sua osservazione che a pressione, rievata sua superficie de condotto, deve rifettere in quache modo a distribuzione dee fasi a interno de condotto stesso ed è quindi correabie a particoare reime di moto in atto. Hubbard e Duker (1966) suerirono un metodo basato su anaisi spettrae dee futtuazioni di pressione aa parete di un condotto orizzontae. La futtuazione di pressione è definita come: p'(t) = p(t) p (3.1) dove p(t) è a pressione istantanea rievata, p è a media temporae di tae pressione.

26 Capitoo 3: Reimi di moto La funzione di autocorreazione è definita come: 1 t R p' ( τ) = im p'(t) p'(t + τ) dt (3.) t t 0 mentre a densità spettrae è a trasformata di Fourier dea funzione di autocorreazione: i π fτ S = p '(f ) R p' ( τ) e dτ (3.3) L anaisi dea densità spettrae mostrò che i vari reimi di moto possono essere raruppati in tre spettri di base (fiura 3.3): 1. Reime a fasi separate: o spettro (A) presenta un massimo per frequenze moto basse. Le futtuazioni sono infatti dovute ad onde a bassa frequenza sua superficie dea fase iquida.. Reime intermittente: o spettro (B) presenta un massimo in corrispondenza dea frequenza di passaio di pu o su, che in questa cassificazione non sono distinuibii. 3. Reime a boe disperse: o spettro (C) non presenta picchi accentuati ed è equivaente ao spettro di un rumore bianco a banda imitata. Fiura 3.3: Densità spettrae dea futtuazione di pressione in vari reimi di moto. 3

27 Capitoo 3: Reimi di moto Questo metodo permette anche di osservare a sovrapposizione di diversi spettri che identifica a coesistenza di più reimi. La fiura (3.4a) riporta un esempio di spettro per un reime anuare disperso: i massimo che si osserva a bassa frequenza è conseuenza de reime anuare, mentre per frequenze maiori o spettro assume a forma tipica de reime disperso, privo di picchi. La fiura (3.4b) riporta o spettro per un reime anuare ondoso, sovrapposizione deo spettro tipico de reime anuare e di queo intermittente. La cassificazione fatta sua base de anaisi spettrae de senae di pressione, pur offrendo un criterio oettivo di anaisi dei reimi di moto, non consente una esaustiva disamina dei reimi. Non è infatti possibie distinuere tra i reime intermittente a pu e a su, o tra i moto stratificato e queo anuare. Fiura 3.4: Anaisi spettrae de senae di pressione per diversi reimi di moto: effetto dea sovrapposizione. 4

28 Capitoo 3: Reimi di moto I metodo è stato appicato con successo anche ai defussi verticai. Tutu (198) utiizzò due trasduttori di pressione ocaizzati a diverse quote uno i condotto per a rievazione de radiente di pressione. Questo risuta fortemente dominato, ne defusso verticae, daa distribuzione dea frazione di vuoto. Di conseuenza ne moto a boe i radiente di pressione futtuerà intorno a vaore ne reime anuare futtuerà intorno a vaore ρ (1 α), mentre ρ. Se i fuidi che componono a miscea bifase hanno densità moto diverse, come spesso accade, questi due vaori di soia sono ben distinti, e andamento de radiente di pressione risuta un ottimo discriminante per identificare i reime di moto. Fiura 3.5: Anaisi dei radienti di pressione in condotti verticai per diversi reimi di moto; PDF: densità di probabiità de senae di pressione differenziae; s: distanza tra i due trasduttori. 5

29 Capitoo 3: Reimi di moto La fiura 3.5 riporta tai andamenti per i tre diversi reimi di moto, rispettivamente a boe, anuare ed intermittente, con accanto a corrispondente funzione densità di probabiità (PDF). Da numero e daa posizione dei picchi dea funzione PDF è possibie distinuere i diversi reimi. Questa tecnica può essere usata anche per a caratterizzazione dea distribuzione temporae dea frazione di vuoto ed è stata estesa successivamente da Kin et a (1988), che proposero una procedura di cassificazione in rado di identificare ben otto reimi di moto. Lin e Hanratty (1987) proposero con successo un metodo per identificazione de moto a su, per ate veocità de as, attraverso a cross-correazione dei senai di pressione provenienti da due sensori posti sua parete de condotto (diametri investiati 5.4 e 95.3 mm). Recentemente Speddin e Spence (1993) hanno raccoto una rande quantità di dati sui reimi di moto in defussi orizzontai, individuati sia sua base di osservazioni sperimentai che di anaisi de senae di pressione aa parete, introducendo una cassificazione arricchita da nuove denominazioni Metodi basati sua attenuazione fotonica I metodo descritto da Zuber e Jones (1975) si basa sua vautazione de profio di frazione di vuoto tramite a misura dea attenuazione dei rai X o γ attraverso a sezione de defusso. Gi autori raccosero dati di attenuazione per una sorente di rai X ed una confiurazione verticae. La costruzione dea PDF ha consentito oro identificazione dei reimi a boe, anuare ed intermittente. I imite principae de metodo risiede nei ati costi e nea compessità dea apparecchiatura sperimentae necessaria. 6

30 Capitoo 3: Reimi di moto Metodi basati sua conducibiità eettrica Queste tecniche possono essere appicate ne caso di iquidi conduttori, come ad esempio acqua, per i quai identificazione dei reimi di moto può essere effettuata mediante a misura dea resistenza eettrica reistrata tra sensori opportunamente coocati su una sezione de condotto. L utiizzo di questa tecnica venne studiato da Saomon (196), Haberstuth e Griffit (1965), Raissan (1965), Beres (1966). I punto cruciae de metodo è a disposizione dei sensori, in modo da avere un sistema che veda i vari profii de interfaccia. La fiura 3.6 riporta un esempio di confiurazione, utiizzata da Barnea et a (1980) ne caso di eometria orizzontae. La struttura utiizza cinque sensori ocaizzati in punti diversi dea sezione di prova. A seconda de reime di moto i sensori saranno più o meno a contatto dea fase iquida permettendo a reistrazione dee forme d onda riportate in fiura 3.7. A E B C D Fiura 3.6: Sistema impieato da Barnea et a. per a determinazione de reime di moto tramite a misura dea conducibiità eettrica. 7

31 Capitoo 3: Reimi di moto Fiura 3.7: Conduttanza misurata ne avoro di Barnea et a, con a confiurazione dei eettrodi rappresentata in fiura 3.6, a variare de reime di moto. 8

32 Capitoo 3: Reimi di moto 3.4 Mappe di fusso Una mappa dei reimi di moto è una rappresentazione bidimensionae dee curve di transizione tra i diversi reimi. I sistemi di coordinate utiizzati in etteratura dipendono da autore e de tipo di eometria anaizzata. L oriine dee mappe può essere empirica, ossia basata sua raccota ed osservazione di un ran numero di dati sperimentai, od anaitica, ossia ottenuta sviuppando un modeo teorico da cui dedurre e condizioni imite dei diversi reimi. Di seuito venono brevemente descritte acune mappe di uso frequente, che costituiscono un vaido riferimento per nuovi dati sperimentai Mappe empiriche Baker Ne 1954 Baker sviuppò una mappa dei reimi di moto sua base di dati reativi a condotti circoari di diametro 5.4 mm (Jenkins, 1947; Gazer, 1948; Aves, 1954; Kosterin, 1949) e diametro 100 mm (Kosterin, 1949). Le coordinate dea mappa sono e seuenti: G A G Lψ, (3.4) λ G L e G A sono e portate massiche specifiche di iquido e di aria, λ e ψ sono fattori correttivi che tenono conto dee differenze tra e proprietà dei fuidi ae diverse pressioni: ρ λ = ρ a ρ ρ w 1 µ ψ = µ w ρ ρ w 1 3 σ σ w (3.5) in particoare ρ a, µ a, σ a e ρ w, µ w, σ w rappresentano densità, viscosità e tensione superficiae de aria e de acqua aa pressione atmosferica. 9

33 Capitoo 3: Reimi di moto La mappa è rappresentata in fiura 3.8. L appicazione dea stessa a dati sperimentai ottenuti su diametri maiori di quei oriinai ha evidenziato come questa perda in accuratezza a aumentare de diametro. Speddin e Nuyen Speddin e Nuyen (1980) utiizzarono dati raccoti su condotti circoari di diametro 45 mm per mettere a punto una serie di mappe reative a diversi anoi di incinazione de moto, da verticae ascendente a verticae discendente. Gi autori considerarono come discriminanti de reime di moto e seuenti cinque variabii: w s, w M w s,, w s,, β,, Fr = (3.6) w D s, Fiura 3.8: Mappa dei reimi di moto di Baker. 30

34 Capitoo 3: Reimi di moto La mappa è costruita sui assi w s, /w s, e Fr (numero di Froude) ed è riportata in fiura 3.9, dove è confrontata con e osservazioni eseuite da Speddin (1993). Lin e Hanratty Ne 1987 Lin e Hanratty proposero una mappa costruita sua base di dati raccoti in condotti di diametro 5.4 e 95.3 mm, e cui coordinate sono rappresentate dae veocità superficiai dea fase aeriforme e di quea iquida (fiura 3.10). Viene definita una tipooia di effusso caratterizzata da onde intermittenti capaci di banare intero perimetro de condotto, responsabii di randi pusazioni di pressione. Questo tipo di reime è stato denominato a pseudo-su, come ibrido tra stratificato, anuare e su. Fiura 3.9: Mappa di Speddin e Nuyen (1980), confronto con osservazioni eseuite da Speddin ne 1989 (D=45 mm). 31

35 Capitoo 3: Reimi di moto E stato verificato da Speddin che queste mappe mantenono a propria vaidità per piccoe variazioni de diametro de condotto ne caso in cui a veocità superficiae de iquido non superi i vaore di 0.1 m/s. Mandhane Mandhane et a (1974) proposero una mappa costruita raccoiendo circa 5935 punti sperimentai di cui 1178 reativi a miscee aria-acqua (diametri da 1.7 a 165 mm). La mappa riporta in coordinate e veocità superficiai dee fasi w s, e s, w cacoate ae condizioni reai dea miscea. In tabea 3.1 sono riportate e condizioni operative nee quai sono stati eseuiti i test. Le coordinate dee curve di transizione da un reime a atro sono riportate in tabea 3.. Fiura 3.10: Mappa di Lin e Hanratty (1987). 3

36 Capitoo 3: Reimi di moto Proprietà Campo di variazione Diametro interno condotto [mm] Densità fase iquida [k/m 3 ] Densità fase assosa [k/m 3 ] Viscosità fase iquida [Ns/m ] Viscosità fase assosa [Ns/m ] Tensione superficiae [mn/m] Veocità superficiae fase iquida [m/s] Veocità superficiae fase assosa [m/s] Tabea 3.1: Condizioni operative utiizzate nei test per a determinazione dea mappa di Mandhane. Reimi di transizione w s, [m/s] w s, [m/s] Stratificato a boe /Y aunate Ad onde su Y A boe aunate e Y su a boe disperse Stratificato e a boe X aunate ad onde a su Ad onde e su anuare misto A boe disperse anuare misto Fattore di correzione dee proprietà fisiche Tabea 3.: Coordinate dee superfici di transizione tra i reimi nea mappa di Mandhane. X X 33

37 Capitoo 3: Reimi di moto I fattori di correzione presenti nea quarta coonna dea tabea 3. permettono utiizzo dea mappa anche per fuidi con proprietà fisiche diverse da quee de acqua e sono così definiti: 0. ρ ρ 7.4 X = σ µ ρ 7.4 Y = σ 0.5 µ (3.7) dove ρ e ρ sono espressi in b/ft 3, µ e µ in centipoise e σ in dyne/cm. (1 b/ft 3 =15.90 k/m 3 ; 1 centipoise=10-3 k/ms; 1 dyne/cm= k/m). Mediante i fattori di correzione è possibie modificare e veocità superficiai attraverso e reazioni: w w s, s, = X w = Y w s, s, (3.8) La costruzione dea mappa può quindi essere costruita considerando e superfici nea forma f( w ) w =. s, s, Mandhane evidenziò uno scarso effetto dee proprietà fisiche dei fuidi sue superfici di transizione tra i reimi. L effetto de diametro non è stato approfondito da autore, che si è imitato ad acune verifiche su diametri differenti da quei considerati. In tabea 3.3 sono riportati i risutati di queste verifiche. La mappa è vaida per diametri inferiori a =50,8 mm, poiché i 70% dei dati sui quai è basata sono stati rievati con diametri di tai dimensioni; tuttavia anche per diametri superiori a mappa mostra una buona capacità di predizione dee transizioni tra reimi. Nea tabea con α e β si indicano e probabiità di una predizione corretta de moto. In particoare a mappa risuta vaida per e transizioni reative aa zona a su. 34

38 Capitoo 3: Reimi di moto In fiura 3.11 è riportato i confronto tra varie mappe de moto e a mappa di Mandhane, indicata nea eenda con a denominazione new map (Mandhane et a, 1974). Reime di D<50.8 mm 50.8<D<101.6 mm D>101.6 mm moto Numero di α (%) Numero di α (%) Numero di α (%) osservazioni osservazioni osservazioni A boe Stratificato Ad onde Su Anuare misto A boe disperse Totae 406 (70.9%) 995 (16.8%) 734 (1.3%) β (%) Fiura 3.11:Confronto tra acune mappe de moto e a mappa di Mandhane. 35

39 Capitoo 3: Reimi di moto 3.4. Mappe di derivazione anaitica Ne 1976 Taite e Duker proposero un modeo teorico in rado di determinare e transizioni tra i diversi reimi di moto in defussi iquidoas orizzontai o poco incinati. Tai transizioni sono identificate da particoari reazioni tra i parametri de moto, espresse in termini di cinque ruppi adimensionai che eano e portate dee fasi, e proprietà dei fuidi, i diametro e anoo di incinazione de condotto: X ( dp dx) ( dp dx) 1 S L = (3.9) S G T Y ( dp dx) 1 S L = (3.10) ( ρ ρ ) cos β ( ρ ρ ) sinβ = (3.11) ( dp dx) S G F = ρ w s, ( ρ ρ ) D cos β (3.1) 1 1 [ S ] Dws, K = F = F Re (3.13) L ν Venono considerati cinque reimi di moto: stratificato iscio, stratificato ondoso, intermittente (pu, su), anuare con iquido disperso, ed infine a boe disperse. I modeo si basa sue equazioni di conservazione dea quantità di moto espresse ne caso di moto stratificato in equiibrio, come schematizzato in fiura (3.1): dp A τ WS + τ isi + ρ A sinβ = 0 (3.14) dx 36

40 Capitoo 3: Reimi di moto dp A τws + τisi + ρa sinβ = 0 (3.15) dx Euaiando i radienti di pressione nee due fasi, si iune a: S S 1 1 τ W τw + τ S i i + + ( ρ ρ ) sinβ = 0 (3.16) A A A A Gi sforzi di taio sono vautati ne modo cassico: ( w w ) ρ w ρw ρ τ W = f τw = f τi = fi (3.17) in cui i fattori di attrito si possono vautare mediante e reazioni di Basius: f n m Dw Dw = C f C = (3.18) ν ν dove D e D sono i diametri idrauici dee fasi iquida ed aeriforme cacoati ne modo seuente: D 4A 4A = D = (3.19) S S + Si w S A S i w D β h A S Fiura 3.1: Schematizzazione di un effusso bifase in reime stratificato in equiibrio. 37

41 Capitoo 3: Reimi di moto Per i moto stratificato iscio si può considerare f i f (Gazey, 1949). L errore connesso a questa sempificazione risuta di ieve entità anche ne caso di moto stratificato ondoso. A basse portate, e transizioni avvenono per veocità de as moto superiori a quee de interfaccia. Seue che (w -w i ) w, dunque o sforzo di taio a interfaccia è vautato con a stessa equazione di queo de as. Ne avoro di Taite e Duker venono assunti i seuenti vaori dei coefficienti: C =C =0.046, n=m=0. per i moto turboento; C =C =16, n=m=1.0 per i moto aminare. L equazione (3.16) viene adimensionaizzata, riferendo e varie randezze che compaiono rispettivamente a D per e unhezze, D per e superfici, w s, e w s, per e veocità de iquido e de as. Tai randezze così adimensionaizzate venono indicate con a tide (~). L equazione (3.16) diviene: X dove: X Y = ~ S A ~ ( w ~ D ~ n ) w ~ ( w ~ D ~ m ) w ~ i i + + 4Y = 0 = ( dp dx) ( dp dx) ( ρ ρ ) ( dp dx) S L S G ~ A ~S sinβ S G 4C w s,d D ν = 4C w s,d D ν = 4C D n m ( ρ ρ ) w ν s, D ρ ρ w w s, sinβ m ρ ~ A ~S s, w s, ~ A ~S (3.0) (3.1) (3.) I termine X è i parametro di Lockart-Martinei, definito come i rapporto tra i radiente di pressione dea soa fase iquida e queo dea soa fase assosa, e può essere cacoato senza ambiuità 38

42 Capitoo 3: Reimi di moto mediante a conoscenza dee portate dee fasi, dee proprietà dei fuidi e de diametro de condotto. Y rappresenta effetto dee forze aenti su iquido nea direzione de effusso, dovute aa ravità e aa caduta di pressione (è nuo per condotti orizzontai, atrimenti può essere cacoato direttamente). Tutte e randezze adimensionaizzate dipendono unicamente da h ~ = h D secondo e reazioni: ( 1) + ( h ~ 1) 1 ( h ~ ) A ~ = 0.5 π ar cos h ~ 1 (3.3) ( 1) ( h ~ 1) 1 ( h ~ ) A ~ = 0.5 ar cos h ~ 1 (3.4) S ~ = π ar cos h ~ 1 (3.5) S ~ S ~ ( ) ( 1) = ar cos h ~ (3.6) ( h ~ ) i 1 1 = (3.7) ~ ~ w ~ = w ~ A ~A = A ~A (3.8) Quindi ad oni coppia di vaori X-Y corrisponde un unico vaore di h ~ = h D, per quasiasi diametro ed incinazione de condotto, proprietà dei fuidi, portate dee fasi per cui sussista i reime stratificato. La souzione de equazione (3.0) è stata ottenuta ne casi di maior interesse: moto turboento di entrambe e fasi, per cui sono stati assunti i coefficienti n=m=0. e C =C =0.046; i risutati sono rappresentati in fiura 3.13; moto turboento per i iquido e aminare per i as, per cui i coefficienti vaono n=0., m=1.0, C =0.046, C =16. I risutati sono apparsi moto simii a quei de caso precedente. 39

43 Capitoo 3: Reimi di moto I discriminante de tipo di moto è rappresentato da numero di Reynods, cacoato mediante a veocità attuae e i diametro idrauico dea fase. Transizione tra reime stratificato e reime intermittente Si consideri un effusso in reime stratificato, con a superficie iquida increspata daa presenza di onde. Queste hanno effetto di diminuire ocamente a sezione di passaio de as, con conseuente acceerazione deo stesso. Ciò si ripercuote sua pressione a interno dea fase assosa, che diminuisce favorendo a crescita de onda. D atro canto a forza di ravità ha effetto di diminuire ampiezza de onda. La enerazione deo su, quindi i passaio a reime intermittente, è eata a accrescimento instabie de onda. Secondo a teoria di Kevin-Hemhotz (1960), adattata a caso di piccoe ma finite perturbazioni in condotti ciindrici, a condizione di instabiità è descritta daa seuente reazione: w 1 ( ρ ρ ) cos βa > C (3.9) ρ da dh Fiura 3.13: Liveo di equiibrio de iquido a variare de incinazione de condotto; Y=0: condotto orizzontae. 40

44 Capitoo 3: Reimi di moto dove C (vedi fiura 3.14) è i rapporto tra area dea sezione A' A ristretta di passaio de as e quea di equiibrio. C può essere raionevomente assunto pari a (1-h /D). L equazione (3.9) può essere riscritta in forma adimensionae: F 1 C w ~ da ~ A ~ ~ dh 1 dove F rappresenta i numero di Froude modificato tramite e densità: (3.30) F = ρ ρ ρ w s, Dcos β (3.31) Tutti i termini che compaiono ne equazione (3.30) dipendono unicamente da h /D, che può essere espresso in funzione dea coppia di vaori X-Y. In atre paroe, fissato i vaore di Y, a transizione tra reime stratificato ed intermittente dipende unicamente daa coppia X- F, e può essere utimente rappresentata su un diaramma bidimensionae, come riportato in fiura Transizione tra reime intermittente e reime iquido anuare: Supponiamo di partire daa condizione di reime intermittente, e di assistere ad una diminuzione de iveo de iquido dovuta a aumento dea portata di as; in tai condizioni può accadere che i iquido non sia più in rado di occupare intera sezione, e sia spinto da as sua superficie de condotto a formare un fim, mentre a fase aeriforme viene ad occupare a zona centrae de condotto. h w p w p h h h Fiura 3.14: Instabiità di un onda (teoria di Kevin-Hemhotz). 41

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