13ALPGC-Costruzione di Macchine 1 Anno accademico

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1 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 1 Ao ccdeico IL CALCOLO DELLE RUOTE DENTATE CILINDRICE 1 Iroduioe Il diesioeo di u igrggio, essedo o l cieic (rpporo di rsissioe, ueri di dei, golo di pressioe α (oα ) e golo d elic β ), si effeu co l deeriioe del odulo orle e dell lrghe di fsci (sviluppo del dee ell direioe dell sse di roioe); se è già oo il odulo orle, si effeu u clcolo di verific per deerire l lrghe di fsci ; se, ivece, che è icogio, si effeu u clcolo di progeo per silire eri i preri. Le forule forie dll leerur soo quelle relive i clcoli di verific e, pero, devoo essere opporuee odifice per il loro uilio i fse di progeioe. Nel cso più geerle il diesioeo di u igrggio si effeu flessioe e coo herio, cosiderdo si l solleciioe sic, si quell di fic (Tell 1). Diesioeo Solleciioe lessioe Coo herio Sico orul di Lewis orul cilidro su cilidro A fic Noriv UNI 886 Noriv UNI 886 P P Tell 1 Diesioeo igrggi Nel cso di diesioeo sico vegoo cofroe delle esioi clcole, rispeivee u esioe di flessioe (oeu rie l forul di lewis) e u dovu l coo herio (clcol secodo le forule fili dell eori di er), co u esioe issiile el erile oeu dividedo il crico di rour (o serveo) per u opporuo coefficiee di sicure. Alogee el diesioeo fic vegoo cofroe u esioe clcol flessioe e u clcol piig co delle esioi issiili, rispeivee P e P, oeue oliplicdo il liie di fic del erile ( flessioe e piig) per u opporu serie di coefficiei [Noriv UNI 886]. Nel cso del diesioeo sico le esioi ssie clcole e soo oeue cosiderdo le fore ssie scie dll igrggio, quelle cioè che possoo produrre rour el dee. Nel cso del diesioeo fic, ivece, le fore cosidere el clcolo delle e soo, i geerle, fore edie di fuioeo oppure, el cso i cui si dispoiile u isogr (o u cuul) del crico, possoo essere delle fore equivlei clcole secodo u quluque ipoesi di do cuulivo.

2 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie Ao ccdeico Clcolo sico flessioe.1 Il eodo di Lewis Nel clcolo flessioe secodo il eodo di Lewis il dee è cosidero coe u esol icsr ell coro, solleci dll for coplessiv che le ruoe si rseoo, pes pplic i pu l dee sesso (igur 1). O R T (g-) A g g C T 1 R 1 O 1 igur 1 or pplic sul dee di igrggio

3 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 3 Ao ccdeico Si rissuoo el seguio le ipoesi che so ll se di ques eori [1]: il dee è sollecio dll for coplessiv gee sull pu del dee sesso; è cosider el clcolo l siuioe più sfvorevole, quell cioè ell qule ll iero del segeo dei coi è presee u sol coppi di dei i pres; l copoee W ( W cosγ )( igur ) dell for che deeri l flessioe sul dee è l uic cosider e, per seplicià, è pres di vlore ugule ll for geile sull priiiv (cos α cos γ sull priiiv; W ) (igur 1); l copoee dell for che deeri uo sforo di copressioe sul dee ( siγ) è rscur. Al fie di defiire l codiioe di crico del dee, scrivio l copoee dell for coplessiv che geer flessioe: W cosγ Essedo però, sull se delle ipoesi precedeeee forule, l golo γ coicidee co l golo di pressioe α si h: cos α cos γ e, di cosegue: W γ cosα cos g W x h L S(x) igur or pplic i pu l dee Avedo el clcolo di Lewis rscuro l copoee dell for che deeri copressioe sul dee, clcolio l ssi esioe orle x dovu l coriuo del solo oeo fleee:

4 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 4 Ao ccdeico M f x x (1) W 1 f S( x) 6 dove: x dis fr il puo corrispodee ll ierseioe dell re dei coi co l sse di sieri del dee e l seioe del dee i cui si produce l esioe ssi x (igure 1 e ); lrghe di fsci del dee; s(x) spessore del dee ll coordi x. No è cor o dl clcolo l seioe ll qule si produce l esioe ssi x. Se il dee fosse seioe cose, il ssio dell esioe x si vree ell seioe di icsro (coe vviee elle rvi esol). I geerle, ivece, per l eori di Lewis il ssio si h ell seioe i cui u prol di uifore resise, vee per sse l sse del dee e origie el puo (corrispodee ll ierseioe fr l re dei coi e l sse di sieri del dee (igur ), risul gee l profilo del dee sesso (igur 3). Ifi u rve slo co seioe regolre di lrghe cose, cric d u for cocer, è di ugule resise ll flessioe, se prese u profilo prolico. h g W G E D S igur 3 Prol di uifore resise Poedo quidi ell (1) x cos si h: S( x) x 1 x 6 ()

5 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 5 Ao ccdeico che rpprese l equioe di u prol k x dove l cose k el osro cso vle: k x 1 6 L seioe più solleci è quell corrispodee l puo di ge dell prol co il dee (GD, S ( x h L ) SL ). Nei pui copresi r il profilo del dee e l prol di uifore resise l esioe flessioe è iore dell x precedeeee clcol. Idicdo co l esioe x di flessioe (clcol secodo l eori di Lewis) che si h ell seioe GD del dee (igur 3), si può scrivere: (3) L 6 hl 6 S L S L h dove è il ore di for (secodo Lewis) e vle: h L 6 (4) S L Il fore che defiisce l seioe del dee più solleci è fuioe dell golo di pressioe α e del proporioeo del dee; il fore il suo reciproco 1/ è ulo (per u vlore dell golo di pressioe α pri 0 ) i fuioe del uero di dei dell ruo (Tell ). L esioe di flessioe ssi clcol secodo il eodo seplifico di Lewis è, quidi, espress dll relioe seguee: (5) L relioe (5) può essere uili per u clcolo di verific sic se è già oo il odulo orle e si vuole ricvre l lrghe di fsci dell ruo; i queso cso, sosiuedo ll l esioe issiile del erile (clcol dividedo il crico di serveo R P0 per u opporuo coefficiee di sicure), si deeri l lrghe di fsci, essedo oo perché ulo il coefficiee i fuioe dell golo di pressioe α e del uero di dei (Tell ).. Clcolo di progeo rie l forul di Lewis Per u clcolo di progeo, el qule cioè si devoo deerire si il odulo si l lrghe di fsci, si deve opporuee elorre l relioe di pre (5). Pero

6 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 6 Ao ccdeico ricvdo dll (5) l espressioe del coefficiee e iroducedo ell relioe oeu l quià diesiole λ / si oiee: λ Espriedo ell relioe oeu l for geile i fuioe dell coppi C gee sull ruo (per il clcolo dell qule o è ecessrio cooscere il rggio priiivo e quidi il odulo orle ) si oiee: λ (6) C Sosiuedo ell (6) ll l esioe issiile del erile si oiee l relioe: dove: C λ 3 3 ( ) C λ ( ) k (7) k 3 Il vlore del coefficiee k è ulo (Tell ) i fuioe dell golo di pressioe α e del uero di dei. Z, Z v 0 Z, Z 0 v 1/ LW LW k 1/ LW LW k 1 0,45 4,08 0,88 8 0,35,84 0, ,61 3,83 0, ,358,79 0, ,76 3,6 0, ,371,70 0, ,89 3,46 0, ,383,61 0, ,95 3,39 0, ,396,53 0, ,30 3,31 0, ,408,45 0, ,308 3,5 0, ,41,38 0, ,314 3,18 0, ,434,30 0, ,3 3,13 0, ,446,4 0, ,37 3,06 0, ,459,18 0,307 0,33 3,03 0, ,471,1 0,4 4 0,336,98 0,69 8 0,484,07 5 0,346,89 0,606 Tell Coefficiei per il clcolo di Lewis

7 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 7 Ao ccdeico orul di Lewis per ruoe elicoidli Il clcolo sico flessioe di u ruo dei elicoidli può eseguirsi esededo opporuee le forule vlevoli per le ruoe dei drii. L copoee dell for (igur 4) coplessivee sci r i dei che geer flessioe, ssuedo cor cos α cos γ, i queso cso vle: W cos β L lrghe di fsci eff (cioè l lughe effeiv del dee lugo l qule è sci l for ) è: eff cos β L (5) può llor essere riscri el seguee odo: cos β. (8) cos β L forul così oeu vle per il clcolo di verific sic ed il suo uilio è lo sesso già descrio per l ruo dei dirii. L lrghe di fsci è ideic quell delle ruoe dei dirii, cioè corrispode ll lughe del cilidro priiivo isur i direioe prllel ll sse dello sesso. Il coefficiee si deeri dll Tell i fuioe dell golo di pressioe α e del uero di dei virule v dell ruo: v (9) cos β cos β Si può or ricvre l relioe, log ll (7), reliv l clcolo di progeo iroducedo che i queso cso l quià diesiole λ ed espriedo l for geile i fuioe dell coppi rsess dlle ruoe dee: C cos β C cosβ e quidi: C cos β 3 λ Risolvedo rispeo l odulo orle si oiee: C cos β λ 3 3 C cos β λ k co k 3 (10)

8 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 8 Ao ccdeico Il vlore di k si oiee dll Tell i fuioe dell golo di pressioe α e del uero di dei virule v..5 Alisi delle fore scie i ruoe dei elicoidli Pii frole e orle Nel cso i cui le ruoe dee ichè essere cilidiriche preseo u deur elicoidle (ovvero il profilo si svilupp o lugo le direrici del cilidro, lugo u elic che lo vvolge grdulee) si poe il prole di rsferire i eodi di lisi e di progeo ipici delle ruoe cilidriche l cso delle ruoe elicoidli, defiedo le relioi che esisoo r le grdee espresse el pio frole dell ruo () e le corrispodei defiie el pio orle ll deur (). Il prio è ideificile dl fo che è orogole ll sse di roioe dell igrggio; il secodo è loclee orogole ll deur, ovvero peree di seiore l sess i odo che il profilo risuli l evolvee di cerchio. Cilidro priiivo e cilidro di se Lo sudio delle fore scie fr le ruoe ell igreo e l scoposiioe delle sesse elle diverse direioi può essere codoo idiffereeee predo dl cilidro di se o dl cilidro priiivo. L icliioe dell elic rispeo ll sse di sieri dell igrggio è, però, differee secod che si vlui sull uo o sull lr; per disiguere li icliioi si deoio rispeivee l icliioe sul cilidro priiivo e quell sul cilidro di se (ig. 4). Le fore el seguio defiie si possoo pero espriere si i fuioe dell icliioe dell elic sul cilidro priiivo, si sul cilidro di se. Relioi fr grdee crerisiche delle ruoe dee 1. Agoli di pressioe sul pio frole e sul pio orle: α α / cos β. Rggio priiivo R; rggio di se R ; diero priiivo: d 3. Moduli sul pio frole e sul pio orle: / cosβ 4. Psso dell elic: p πr / β πr / β R Rcosα 5. Psso sul pio frole e sul pio orle: p π p / cosβ π/ cosβ ore scie i u igrggio elicoidle L for risule sci fr due ruoe elicoidli i direioe orle ll superficie del dee co riferieo l cilidro di se può essere scopos i u copoee ssile e i u prllel l pio frole * (ig. 4). I pricolre si h: si β ; cos * () β Nel pio frole l for * può essere scopos i u copoee geile e i u rdile r defiie dlle relioi seguei: r * * () si α si α cosβ ; cosα cosα β cos Relioi loghe lle () possoo essere ricve co riferieo l cilidro priiivo [1]: si α ; cos α cos β; (c) r Alogee sepre co riferieo l cilidro priiivo [1] può essere clcol l copoee ssile:

9 13ALPGC-Cosruioe di Mcchie 9 Ao ccdeico cos si β; (d) α Direrice del cilidro Elic dell deur * Pio d ioe R Psso dell elic r pr * pr igur 4 Grdee crerisiche degli igrggi dei elicoidli

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