Autovalori e Autovettori

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1 Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A

2 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora λ è detto autovalore di A ed x autovettore corrispondente a λ. L insieme di autovalori di A costituisce lo spettro di A. Il modulo massimo ρ(a) degli autovalori di A è il raggio spettrale di A.

3 Dalla (1): Autovalori e Autovettori (A λi)x = 0 è un sistema omogeneo che ammette soluzioni non nulle se e solo se det(a λi) = 0. det(a λi) = P(λ) è il polinomio caratteristico di A. P(λ) = 0 è detta equazione caratteristica.

4 Proprietà degli autovalori 1. Se A è diagonale o triangolare, gli autovalori di A sono gli elementi principali. 2. Se Ax = λx allora A 1 x = (1/λ)x. 3. Se Ax = λx allora A x = λx, con A trasposta coniugata di A, a ij = ā ji. 4. Se λ è autovalore di una matrice unitaria, A A = AA = I, risulta λ = 1. Inoltre n λ i = tra, i=1 n λ i = deta i=1

5 Trasformazioni per similitudine Definizione Due matrici A, B si dicono simili se esiste una matrice non singolare S per cui A = SBS 1 Teorema Due matrici simili hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicità.

6 Trasformazioni per similitudine Definizione Una matrice A simile ad una matrice diagonale D si dice diagonalizzabile. Teorema Sia A una matrice hermitiana, A = A, e siano λ 1,..., λ n i suoi autovalori (reali). Allora A è definita positiva sse λ i > 0, i = 1,..., n.

7 Localizzazione degli autovalori Teorema di Gerschgorin. Sia λ il generico autovalore della matrice A e siano: r i = n j=1 j i a ij, c j = n i=1 i j a ij, i, j = 1,..., n le somme righe e colonne di A, risulta che 1. ogni autovalore di A appartiene all unione dei cerchi riga R 1,..., R n, con R i = {z C z a ii r i }, i = 1,..., n 2. ogni autovalore di A appartiene all unione dei cerchi colonna C 1,..., C n, con C j = {z C z a jj c j }, j = 1,..., n

8 Osservazione Una matrice diagonalmente dominante in senso stretto, a ii > r i, i = 1,..., n, è non singolare. Esempio 1 La matrice è non singolare. A =

9 Esempio 2 Localizzare gli autovalori della matrice B = (λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1).

10 Condizionamento Vediamo ora quando il problema del calcolo degli autovalori di una matrice risulta bencondizionato. Cioé, data una matrice A, si vuol vedere come si propagano sugli autovalori le perturbazioni sugli elementi di A.

11 Condizionamento Supponiamo di considerare matrici diagonalizzabili, cioé esiste P non singolare tale che P 1 AP = diag[λ 1,..., λ n ] = D Le colonne di P sono gli autovettori di A. Supponiamo inoltre che per ogni matrice diagonale D. D = max 1 i n d i

12 Condizionamento Teorema(Bauer-Fike) Sia A diagonalizzabile e sia A + E una perturbazione di A. Indicando con λ un autovalore di A + E si ha: min λ λ i P P 1 E. 1 i n

13 Condizionamento Corollario Se A è una matrice normale, A A = AA, e se A + E è una qualunque perturbazione di A, si ha: min 1 i n λ λ i E 2 per ogni autovalore λ di A + E.

14 Condizionamento N.B. La classe delle matrici normali comprende le matrici simmetriche, ortogonali e unitarie. Per queste matrici il corollario mostra che il problema è bencondizionato. Numero di condizionamento K(A) = P P 1 numero di condizionamento relativo al problema del calcolo degli autovalori della matrice A.

15 Diagonalizzazione: ( A = 10 9 Si ha A 1 = max j i a ij. Esempio ( ) A = ) ( ) ( K(A) = P 1 P 1 1 = (21)(21) = 441. ) = PDP 1 Perturbando a 11 da 101 a 100 gli autovalori λ 1 = 1, λ 2 = 2 diventano λ i, λ i.

16 Metodo delle Potenze Il metodo della potenze determina l autovalore di modulo massimo di una matrice con il relativo autovettore. Sia A una matrice di ordine n con autovalori λ 1,..., λ n ordinati per modulo decrescente: λ 1 di molteplicità 1. λ 1 > λ 2 λ 3... λ n Supponiamo che gli autovettori x 1,..., x n siano linearmente indipendenti, cioè gli {x i }, i = 1,..., n sono una base per R n (C n ).

17 Descrizione del metodo Si determina la successione di vettori {y k } nel seguente modo: y 0 = z 0 z 0 arbitrario y k = Ay k 1 k = 1, 2,... Per k sufficientemente grande y k approssima il primo autovettore x 1 di A.

18 Notiamo che y k = Ay k 1 = A(Ay k 2 ) = A 2 y k 2 =... = A k y 0 Il vettore z 0 è esprimibile come combinazione lineare dei vettori di base {x i }, cioè: n z 0 = α i x i i=1 i=1 Quindi: n n y k = A k y 0 = A k ( α i x i ) = λ k i α i x i [ = λ k 1 α 1 x 1 + ( λ2 λ 1 ) k α 2 x i=1 ( λn λ 1 ) k α n x n ] k = 1, 2,..., supponendo α 1 0.

19 Primo autovettore Siccome λ i < 1, i = 2,..., n λ 1 allora per k "grande" si ha y k λ k 1 α 1x 1 cioè la direzione del vettore y k tende a quella del primo autovettore x 1.

20 Primo autovalore Si definisce Quoziente di Rayleigh σ k = (Ay k, y k ) (y k, y k ) = yt k+1 y k y T k y k quoziente di Rayleigh di y k. Esso tende all autovalore λ 1.

21 Primo autovalore Infatti: [ y k = λ k 1 α 1 x 1 + ( λ2 λ 1 ) k α 2 x ( λn λ 1 ) k α n x n ] y k+1 = λ k+1 1 [ α 1 x 1 + ( λ2 λ 1 ) k+1 α 2 x ( λn λ 1 ) k+1 α n x n ]

22 Primo autovalore Per k sufficientemente grande: Quindi y T k+1y k λ 2k+1 1 α 2 1x T 1 x 1 y T k y k λ 2k 1 α2 1x T 1 x 1 σ k λ 1

23 Potenze con scaling Il procedimento esposto presenta un grosso problema numerico. Infatti la norma di y k converge a zero quando λ 1 < 1 o all infinito quando λ 1 > 1: questo può dar luogo a fenomeni di underflow o overflow, rispettivamente. Si effettua quindi una operazione di scaling. Si normalizza cioé il vettore y k ad ogni iterazione.

24 Potenze con scaling Si costruisce una successione di vettori t k, con t k = 1 nel seguente modo: t k = y k y k 2, y k+1 = At k k = 0, 1, 2,...

25 Potenze con scaling Anche in questo caso t k tende al primo autovettore x 1. Inoltre il coefficiente σ k = (At k, t k ) (t k, t k ) = (y k+1, t k ) tende all autovalore λ 1.

26 Autovalore multiplo Osservazione Il metodo delle potenze è convergente anche nel caso in cui l autovalore λ 1 è multiplo. Supponiamo che λ 1 sia doppio, si ha: [ ( ) k y k = λ k λ3 1 α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x λ 1 ( λn λ 1 ) k α n x n ] Per k sufficientemente elevato y k approssima λ k 1 (α 1x 1 + α 2 x 2 ) che è autovettore di A essendo λ 1 = λ 2.