9 Matematica. Secondo Biennio. Indicazioni Metodologiche

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1 9 Matematica Secondo Biennio Indicazioni Metodologiche Il metodo di insegnamento verrà articolato a seconda dei diversi momenti, delle esigenze della classe e dei particolari aspetti del programma, privilegiando, dove è possibile, la metodologia del Problem Solving. Principalmente verranno tenute lezioni frontali introducendo i nuovi argomenti in modo intuitivo ed utilizzando le rappresentazioni grafiche; quindi si procederà alla sistematizzazione teorico-formale cui seguiranno varie applicazioni. Durante le spiegazioni l'insegnante cercherà di instaurare un dialogo costante con la classe, facendo intervenire i ragazzi stessi per condurre un ragionamento, per risolvere un nuovo problema o per completare un esercizio; in questo modo si cercherà di sviluppare le capacità intuitive e logiche degli studenti. Il docente potrà invitare gli studenti a costruire, anche a casa, solidi o particolari figure geometriche piane, per verificare varie proprietà sia geometriche che algebriche. L insegnante potrà assegnare agli studenti ricerche da realizzare - anche a carattere interdisciplinare e da esporre poi alla classe anche con mezzi multimediali, per promuovere la ricerca e migliorare le capacità organizzative, critiche ed espositive. Si potranno organizzare attività di gruppo anche per recupero e o approfondimento. Verranno svolte lezioni anche in laboratorio di informatica o mediante l utilizzo della LIM in classe, che permetteranno di sviluppare in modo efficace parte dei programmi o di consolidare, tramite la verifica pratica, alcune nozioni con l'utilizzo di pacchetti applicativi. Attività I docenti faranno partecipare gli studenti ad alcune gare d istituto quali Giochi di Archimede (Olimpiadi di Matematica), Matematica Senza Frontiere (per le classi second e e terze) e/o altre gare da individuare tra quelle proposte dal MIUR o da altre Istituzioni. Gli insegnanti potranno inserire nella loro programmazione uscite didattiche in parchi attrezzati per applicazioni matematiche e/o visite guidate a mostre di carattere matematico informatico, a laboratori didattici e musei specifici. Mezzi e spazi I mezzi principali sono il libro di testo, la lavagna, la LIM nelle classi dove è presente e/o supporti multimediali per la presentazione di alcuni argomenti. Si utilizzeranno altri libri e riviste invitando gli studenti a frequentare la biblioteca scolastica. Compatibilmente con il programma e la disponibilità si svolgeranno alcune lezioni in laboratorio di Informatica. Si integreranno alcuni argomenti con fotocopie. Azioni di recupero L'azione di recupero va fatta continuamente durante l'anno scolastico, con le verifiche l insegnante ha dati oggettivi sul grado di comprensione ed assimilazione dei vari contenuti. Si cercherà quindi di intervenire dopo ogni prova scritta rispiegando i punti meno chiari e proponendo nuovi esercizi per superare le difficoltà incontrate. Va tuttavia rilevato che alcuni studenti manifestano più difficoltà di altri, o per uno studio discontinuo o per difficoltà varie di approccio alla materia, per questi studenti va indicata un attività di sostegno in itinere ( anche attraverso l azione degli studenti tutor o partecipando al Club delle Scienze ) e/o di recupero in alcuni periodi dell anno. Valutazione La valutazione è parte integrante della programmazione didattica in quanto fornisce i dati per guidare e migliorare il processo di insegnamento-apprendimento; i parametri disciplinari su cui essa si basa sono: capacità di analisi di un problema, correttezza nell applicazione di regole e procedure, ordine e chiarezza concettuale, completezza delle soluzioni, originalità nell individuazione del percorso risolutivo, capacità di sintesi, rigore logico, uso del linguaggio specifico. Nella pagella del primo quadrimestre verranno indicati due voti: - il voto dello scritto indica in che misura lo studente è in grado di comprendere ed utilizzare il linguaggio matematico, impostare autonomamente e risolvere problemi applicando con coerenza e correttezza le varie procedure, eseguire completamente varie tipologie di esercizi, rappresentare disegni geometrici e costruire grafici di funzioni; - il voto dell orale indica in che misura lo studente utilizza consapevolmente il linguaggio matematico, (argomenta e) risponde in modo coerente ai quesiti proposti, conosce gli aspetti teorici, esegue (autonomamente) dimostrazioni. Come prove per lo scritto: si eseguiranno almeno tre verifiche per quadrimestre con problemi ed esercizi. Come prove per l orale: si avranno almeno due valutazioni per quadrimestre, di cui almeno una è l esito di un colloquio, mentre altri voti potranno provenire anche da prove scritte composte da test a risposta multipla e/o quesiti a risposta aperta su aspetti teorici della disciplina e/o esercizi applicativi. Saranno valutati anche i

2 lavori personali di approfondimento. Nella valutazione orale confluirà anche l interesse e la partecipazione alle lezioni e alle attività di laboratorio, l impegno nello studio ed il regolare svolgimento dei compiti assegnati per casa. Il voto dello scrutinio finale è unico, il voto unico sarà una sintesi dei due, dove però il voto dello scritto avrà comunque un peso maggiore. Le varie prove, a seconda della tipologia, avranno peso diverso nella valutazione. Il voto finale quindi sarà frutto di una media ponderata dei voti conseguiti durante l anno. La valutazione delle prove scritte è generalmente ottenuta con un procedimento a due fasi: 1. l'attribuzione di un punteggio sulla base di una tabella analitica delle soluzioni degli esercizi proposti che tiene conto essenzialmente delle difficoltà cognitive e della tipologia degli errori; 2. l'attribuzione del voto sulla base di una analisi statistica dei punteggi che cerca di evidenziare i risultati individuali relativamente ai risultati medi della classe. Caratteristiche del colloquio Lo studente: dimostra di non conoscere i vari contenuti e/o commette molti e gravi errori; presenta difficoltà ad affrontare applicazioni di base e/o evidenza incoerenza nei vari tentativi; non conosce il linguaggio matematico. Lo studente: dimostra di avere conoscenze frammentarie o commette gravi errori; presenta difficoltà a condurre applicazioni di base o evidenzia passaggi incoerenti; fa confusione nell'utilizzo del linguaggio matematico. Lo studente: dimostra di avere conoscenze lacunose in vari argomenti fondamentali o commette diversi errori; presenta difficoltà a completare alcune applicazioni di base oppure le completa in modo errato o rivelando una certa incoerenza; fa errori nell utilizzo del linguaggio matematico. Lo studente: dimostra di possedere conoscenze parziali su alcuni argomenti e/o commette qualche errore nelle applicazioni standard; denota difficoltà a completare alcune tipologie di esercizi e/o a condurre autonomamente una dimostrazione; evidenzia incertezze nell'utilizzo del linguaggio matematico. Lo studente: dimostra di conoscere gli aspetti principali dei contenuti svolti; esegue le applicazioni standard di media difficoltà ma denota incertezze nell'affrontare le parti più impegnative; evidenzia qualche intuizione e/o sa completare un ragionamento seppur con alcune imprecisioni; conosce le strutture essenziali del linguaggio matematico. Lo studente: dimostra di avere conoscenze puntuali; esegue con una sicurezza le applicazioni di media difficoltà ma denota qualche incertezze nell'affrontare punti più complessi; evidenzia capacità intuitive e sa completare un ragionamento di un certo livello pur con qualche imprecisione; utilizza il linguaggio matematico con qualche improprietà. Lo studente: dimostra di avere buone conoscenze applicando correttamente le varie procedure; evidenzia capacità intuitive e/o logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti di una certa complessità anche se con qualche imperfezione; utilizza correttamente il linguaggio matematico. Lo studente: dimostra di saper utilizzare le proprie conoscenze nell'applicare con sicurezza le varie procedure; evidenzia capacità intuitive e logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti complessi; sa Giudizio e Voto Nullo 1-2 Scarso 3 Gravemente Insufficiente 4 Insufficiente 5 Sufficiente 6 Discreto 7 Buono 8 Ottimo

3 esprimere riflessioni sul testo proposto; utilizza con sicurezza il linguaggio matematico. Lo studente: dimostra di saper utilizzare al meglio le proprie conoscenze nello scegliere le strategie risolutive più sintetiche e vantaggiose; evidenzia capacità intuitive e logiche nell'effettuare deduzioni e ragionamenti complessi; sa esprimere riflessioni ponderate e personali sul testo proposto; utilizza con eleganza formale il linguaggio matematico. 9 Eccellente 10 Secondo Biennio Profilo generale Nel corso del triennio l'insegnamento della matematica prosegue ed amplia il processo di preparazione scientifica e culturale dei giovani già avviato nel primo biennio; concorre insieme alle altre discipline allo sviluppo dello spirito critico ed alla loro promozione umana ed intellettuale. In questa fase della vita scolastica lo studio della matematica cura e sviluppa in particolare: L'acquisizione di conoscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione; Le capacità di cogliere i caratteri distintivi dei vari linguaggi (storico-naturali, formali, artificiali); La capacità di utilizzare metodi, strumenti e modelli matematici in situazioni diverse; L'attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze vai via acquisite; L'interesse a cogliere gli sviluppi storico-filosofici del pensiero matematico. Competenze di base dell asse matematico a conclusione del secondo biennio 1. Sviluppare dimostrazioni all'interno di sistemi assiomatici proposti o liberamente costruiti; 2. Operare con il simbolismo matematico riconoscendo le regole sintattiche di trasformazione di formule; 3. Utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica ed inferenziale; 4. Risolvere situazioni problematiche di varia natura avvalendosi di modelli matematici; 5. Risolvere problemi geometrici nel piano e nello spazio per via sintetica o per via analitica; 6. Interpretare intuitivamente situazioni geometriche spaziali. 7. Applicare le regole della logica in campo matematico; 8. Riconoscere il contributo dato dalla matematica allo sviluppo delle scienze sperimentali; 9. Inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali; 10. Cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico. Numeri ed Algoritmi Aritmetica e algebra Conoscenze Abilità numeri primi e fattorizzazione unica ; divisione euclidea e le classi resto ; gli insiemi numerici N, Z, Q; principio di induzione ; primi cenni di calcolo combinatorio : permutazioni, disposizioni, combinazioni saper definire in modo assiomatico un numero naturale ; saper definire un numero intero e un numero razionale; saper dimostrare le principali proprietà dei numeri primi ; saper utilizzare l algoritmo di Euclide e costruire le classi resto ; saper applicare il principio di induzione ; saper determinare il numero delle permutazioni di un n-insieme ; saper determinare il numero delle disposizioni di classe k, semplici e con ripetizione, di un n-insieme ; saper determinare il numero delle combinazioni semplici di classe k di un n-insieme ; saper determinare la cardinalità dell insieme delle parti di un n-insieme;

4 Algebra lineare vettori : matrici m x 1 o 1 x n; matrici m x n ; matrice identica I ; somma di matrici dello stesso tipo ; prodotto di una matrice per uno scalare ; prodotto righe x colonne tra matrici ; matrici quadrate e determinanti associati ; matrice trasposta ; matrice inversa ; sistemi di equazioni lineari ; regola di Cramer ; minore di ordine p di una data matrice ; rango di una matrice ; sistemi di n equazioni lineari in n incognite ; sistemi di m equazioni in n incognite ; teorema di Rouchè-Capelli ; sistemi di n equazioni lineari omogenee in n incognite ; Numeri reali l insieme numerico R: costruzione e proprietà il concetto di potenza e sue generalizzazioni concetto intuitivo di limite il numero e il numero π saper operare con le matrici : somme, prodotto per uno scalare, prodotto righe x colonne ; saper calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine 2, di ordine 3, di ordine n ; saper determinare la matrice inversa di una data matrice non singolare ; saper scrivere in forma canonica un sistema di m equazioni lineari in n incognite ; saper estrarre dal sistema in forma canonica la matrice completa e quella incompleta ; saper determinare il rango di una matrice ; saper applicare la regola di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite; saper applicare il teorema di Rouchè- Capelli per stabilire compatibilità del sistema ; saper risolvere un sistema compatibile ; saper discutere un sistema lineare omogeneo di n equazioni in n incognite ; saper ampliare l insieme dei numeri razionali costruendo l insieme dei numeri reali utilizzando il concetto di classi contigue ; saper definire l insieme dei reali come campo ordinato, archimedeo e continuo saper operare con potenze a base ed esponente reale ; saper eseguire la somma dei termini di una progressione anche nel caso essi siano infiniti ; saper determinare i numeri e e π come limiti di una successione di infiniti termini ; Numeri complessi l insieme numerico C le operazioni fra numeri complessi forma algebrica, forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi le radici n-esime dell unità radici n-esime di un numero complesso il teorema fondamentale dell algebra le coordinate polari saper rappresentare un numero complesso nel piano di Gauss; saper operare con i numeri complessi nelle forme algebrica, trigonometrica, esponenziale ; saper fare semplici operazioni algebriche (somma, prodotto, elevamento potenza) tra numeri complessi ; saper determinare e rappresentare le radici n-esime dell unità nel piano di Gauss ; saper trasformare le coordinate cartesiane in coordinate polari e viceversa ; saper trovare tutte le soluzioni di un equazione algebrica ; saper scrivere l equazione di una curva in coordinate polari ;

5 Dati e Previsioni Statistica Dati e Previsioni Conoscenze probabilità composta e probabilità condizionata teorema di Bayes ; semplici distribuzioni discrete di probabilità ; gioco equo ; deviazione standard ; distribuzioni doppie condizionate e marginali significato di modello: correlazione e regressione campionamento inferenza: le basi concettuali Abilità saper utilizzare opportunamente i principali risultati della teoria della probabilità ; saper stabilire se un gioco è equo; saper valutare le caratteristiche numeriche delle variabili aleatorie conoscere e saper utilizzare le principali distribuzioni discrete di probabilità ; saper descrivere le distribuzioni di dati mediante indici centrali e indici di variabilità ; saper rappresentare graficamente una distribuzione di dati ; saper identificare situazioni che richiedono di rilevare lo stesso carattere su una unità statistica formata da 2 elementi, o 2 caratteri diversi sulla stessa unità statistica. saper impostare una tabella a doppia entrata; classificare i dati secondo due caratteri e riconoscere in essa i diversi elementi individuabili. saper selezionare, produrre ed usare appropriate rappresentazioni grafiche delle distribuzioni doppie. saper valutare criticamente le informazioni fornite dai media, con riferimento particolare ai giochi di sorte e ai sondaggi. Geometria Analitica Geometria rette e coniche nel piano cartesiano: retta, circonferenza, parabola, ellisse, iperbole, iperbole equilatera, funzione omografica ; luoghi geometrici; isometrie del piano: traslazione, simmetria centrale, simmetria assiale; vettori ; affinità ; saper utilizzare il metodo cartesiano; saper applicare la definizione di luogo geometrico per scriverne l equazione: retta, asse di un segmento, bisettrice di angoli formati da rette, circonferenza, circonferenza di Apollonio, parabola, ellisse, iperbole; parabola individuandone vertice, fuoco, asse, direttrice sia se ad asse parallelo all asse y sia ad asse parallelo all asse x e tracciarne il grafico ; saper scrivere l equazione di una parabola sotto condizioni opportune ; saper determinare le equazioni delle rette tangenti ad una parabola;

6 similitudini ; omotetie ; saper utilizzare il teorema di Archimede per determinare l area di un segmento parabolico : circonferenza, individuandone centro e raggio e tracciarne il grafico; saper determinare la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio ; saper determinare, noto l angolo al centro, la lunghezza dell arco e l area del settore circolare ; saper scrivere l equazione di una circonferenza note opportune condizioni ; saper determinare le equazioni delle tangenti ad una circonferenza; saper descrivere le mutue posizioni tra retta e circonferenza nel piano e tra circonferenze del piano: saper dimostrare il teorema delle secanti; saper calcolare la potenza di un punto rispetto ad una circonferenza; saper determinare l equazione dell asse radicale; ellisse, individuandone semiassi, vertici, fuochi, eccentricità e tracciarne il grafico ; saper scrivere l equazione di una ellisse conoscendone alcune caratteristiche ; saper determinare l area delimitata da una ellisse ; saper determinare le equazioni delle rette tangenti ad una ellisse ; iperbole riferita agli assi individuandone vertici, fuochi, semiassi, asintoti, eccentricità e tracciarne il grafico ; saper determinare l equazione di una iperbole conoscendone alcune caratteristiche ; saper determinare l equazione delle rette tangenti ad una iperbole ; iperbole equilatera riferita agli asintoti; saper riconoscere la funzione omografica individuandone le proprietà per tracciarne il grafico ; saper operare con i vettori : comporre due o più vettori, scomporre un vettore secondo due direzioni date, saper operare con le componenti di un vettore ; saper determinare le equazioni delle isometrie e saperle utilizzare ai fini della determinazione del trasformato di un punto e del trasformato di un luogo geometrico ; saper determinare la matrice di una

7 La geometria euclidea dello spazio Goniometria e trigonometria Conoscenze alcuni assiomi relativi allo spazio ; mutue posizioni di rette e piani ; perpendicolarità e parallelismo tra rette e piani ; distanza di un punto da un piano ; angolo diedro ; angoloide ; poliedri ; equivalenza ; aree e volumi dei solidi ; solidi di rotazione ; trasformazioni nello spazio isometriche e non isometriche; angoli e archi di circonferenza le funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente e isometria ; saper determinare le equazioni di una affinità ; saper determinare la trasformazione inversa di una affinità ; saper determinare le equazioni di una similitudine ; saper determinare il rapporto di similitudine ; saper determinare le equazioni di una omotetia ; saper applicare le equazioni delle trasformazioni ai punti e ai luoghi geometrici ; saper individuare gli invarianti delle trasformazioni ; saper determinare il rapporto tra figure corrispondenti in una affinità ; Abilità saper enunciare assiomi relativi allo spazio ; saper riconoscere posizioni reciproche tra rette e piani nello spazio ; saper dimostrare teoremi di perpendicolarità e parallelismo tra rette e piani nello spazio ; saper applicare le definizioni di distanza di un punto da un piano, di angolo di una retta con un piano, di angolo diedro, di angoloide ; saper applicare le loro proprietà di diedri e angoloidi ; saper descrivere e applicare le proprietà dei poliedri e dei poliedri regolari: prisma, piramide, tronco di piramide ; saper descrivere e applicare le proprietà dei solidi di rotazione: cilindro, cono, tronco di cono e sfera; saper applicare il principio di Cavalieri saper calcolare aree e volumi di solidi saper calcolare con i dati convenienti per un dato solido l'area della superficie ed il volume, l'altezza del corpo, lo spigolo laterale, lo spigolo di base, la diagonale spaziale ; saper applicare simmetrie centrali, assiali e rispetto ad un piano, traslazioni, rotazioni, composizioni di isometrie ; saper applicare omotetie e similitudini; saper utilizzare le conoscenze di geometria piana e solida in semplici problemi nell ambito di altri settori della conoscenza saper esprimere angoli in gradi sessagesimali e radianti ; saper individuare graficamente il seno,

8 cotangente di un angolo orientato, le funzioni goniometriche inverse (arcsin x, arccosx, arctg x), le funzioni goniometriche reciproche (cosec x, sec x ); la circonferenza goniometrica e l interpretazione grafica delle funzioni goniometriche elementari ; relazione tra funzioni goniometriche e coppie di angoli associati ; le principali formule goniometriche ; identità goniometriche ; equazioni e disequazioni goniometriche ; sistemi di equazioni e disequazioni goniometriche ; principali teoremi relativi al triangolo rettangolo e ad un triangolo qualsiasi ; risoluzione di triangoli rettangoli e qualsiasi ; applicazione della trigonometria a problemi geometrici applicazione della goniometria e della trigonometria a varie discipline coseno, tangente e cotangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica saper rappresentare graficamente le funzioni goniometriche elementari e le loro inverse e comprendere le loro proprietà dall analisi del grafico ; saper determinare i valori delle funzioni goniometriche di angoli particolari e dei loro angoli associati ; saper determinare la periodicità di seno, coseno, tangente e saperla applicare alla determinazione di seno, coseno, tangente di angoli qualsiasi ; saper applicare le formule fondamentali della goniometria ; saper applicare le formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi, Werner ; saper verificare identità goniometriche; saper risolvere equazioni e disequazioni elementari ; saper risolvere equazioni e disequazioni che implicano formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione ; saper risolvere equazioni e disequazioni goniometriche lineari, di secondo grado, omogenee di secondo e di quarto grado, eventualmente riconducibili ad omogenee, simmetriche ; saper risolvere graficamente equazioni Goniometriche ; saper risolvere sistemi di equazioni e disequazioni goniometriche ; saper risolvere triangoli rettangoli e triangoli qualsiasi ; saper applicare la goniometria e la trigonometria alla meccanica, all ottica geometrica, ai fenomeni ondulatori, all elettricità e magnetismo, all astronomia ; Relazioni e Funzioni Relazioni e Funzioni Conoscenze funzioni, iniezioni, suriezioni, biiezioni, funzione inversa ; semplici funzioni numeriche : lineare, affine, quadratica, potenza, polinomiale, modulo, definita a tratti, parte intera, mantissa, segno ; successioni ; Abilità saper costruire esempi di funzioni tra insiemi finiti di date caratteristiche ; saper rappresentare graficamente le funzioni studiate ; saper determinare il dominio di una funzione, le simmetrie, l eventuale periodicità, le intersezioni con gli assi cartesiani, il segno ; saper leggere in un grafico: crescenza,

9 Esponenziali e logaritmi progressioni aritmetiche ; progressioni geometriche ; potenza ad esponente reale di un numero reale positivo ; funzione esponenziale e suo grafico ; equazioni e disequazioni esponenziali ; definizione di logaritmo e sue proprietà ; cambio di base dei logaritmi funzione logaritmica e suo grafico ; equazioni e disequazioni logaritmiche ; risoluzione grafica approssimata di equazioni e disequazioni di vario tipo decrescenza, segno, massimi e minimi di una funzione ; conoscere le proprietà e i grafici delle funzioni goniometriche, delle loro inverse, saper determinare l inversa di una funzione saper determinare la composta di due funzioni ; saper costruire successioni numeriche anche in modo ricorsivo ; saper operare con le progressioni aritmetiche ; saper operare con le progressioni geometriche ; saper giustificare e definire la potenza ad esponente reale di un numero reale positivo ; saper descrivere le qualità della funzione exp e costruirne una adeguata rappresentazione grafica ; saper applicare in modo opportuno le proprietà delle potenze ai fini della risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali ; saper giustificare e definire il logaritmo di un numero reale positivo ; saper descrivere le qualità della funzione logaritmica e il legame esistente con quella esponenziale ; saper applicare in modo opportuno le proprietà dei logaritmi ai fini della risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche ; saper utilizzare il cambio di base dei logaritmi ; saper illustrare qualche fenomeno tratto dalle scienze sperimentali che si possa descrivere con funzioni exp o log : costruire modelli, sia discreti che continui, di crescita o decrescita esponenziale, di andamenti periodici saper utilizzare grafici e metodi di approssimazione per determinare l area sottesa ad un grafico.