MAPPE DI KARNAUGH. Nei capitoli precedenti si è visto che è possibile associare un circuito elettronico o elettrico ad una funzione logica.

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1 MAPPE DI KARNAUGH 1. Generalità Nei capitoli precedenti si è visto che è possibile associare un circuito elettronico o elettrico ad una funzione logica. E ovvio che più semplice è la funzione e più semplice ne risulta il circuito, quindi meno costoso e meno soggetto ai guasti. La probabilità di un guasto in un sistema costituito da più componenti è uguale alla somma della probabilità di guasto dei singoli componenti. Diventa quindi di grande importanza riuscire a semplificare il più possibile la funzione prima di realizzare il circuito corrispondente. Uno dei metodi che si può usare è quello algebrico che si basa sulla conoscenza delle proprietà e dei teoremi dell algebra logica. Si è visto però quali difficoltà si sono incontrate per poter ridurre ai minimi termini le espressioni algebriche degli esercizi proposti precedentemente. Molto più agevole può risultare il metodo delle Mappe di Karnaugh (1). Il sistema è automatico, cioè non richiede particolari ragionamenti o conoscenze specifiche dell algebra di Boole, ma solo l applicazione di una successione di alcune procedure. 2. Mappe di Karnaugh. Le mappe di Karnaugh sono tabelle che permettono di semplificare funzioni logiche a 2, 3, 4 ed anche più variabili, anche se non garantiscono sempre la massima minimizzazione. Queste mappe sono simili alle tabelle delle combinazioni, anche se hanno una diversa struttura. All interno della tabella devono essere riportati i valori assunti dalla funzione, in corrispondenza dei valori delle variabili di ingresso. A titolo di esempio, si può notare che nella tabella a 3 variabili A,B,C, la casella in basso a sinistra ha come variabili di ingresso A=0; B=0 e C=1. In questa casella verrà riportato il valore della tabella delle combinazioni corrispondente agli stessi valori delle variabili di ingresso. Per semplificare una funzione occorre quindi: 1. costruire la tabella delle combinazioni corrispondente; 2. stabilire il tipo di mappa da utilizzare, in funzione al numero delle variabili; 3. riportare i valori nella mappa di Karnaugh. (1) Maurice Karnaugh, (si pronuncia Kàrnag) ingegnere delle telecomunicazioni statunitense. E attualmente governatore emerito dell ICCC (International Council for Computer Communication). Ha lavorato come ricercatore ai Laboratori Bell, e IBM. 1

2 A titolo di esempio si prenda la funzione: X = ( A + B + C) ( A + B) che deve essere semplificata attraverso il metodo delle mappe di Karnaugh. Si deve costruire la tabella delle combinazioni relativa alla funzione data. A B C Ā A + B + C Ā + B X La mappa è relativa a 3 variabili di ingresso. Riportando i valori della tabella, si ottiene: Si tengano presenti le seguenti regole: Fig. 1 Due caselle con un lato comune vengono dette adiacenti; si devono considerare tali anche le caselle alle estremità opposte, come se la mappa si richiudesse su sé stessa. Fig. 2 a Fig. 2 b Fig. 2 - c Sono quindi fra loro adiacenti le caselle tratteggiate delle tabelle della figura 2. Le caselle sono disposte in modo tale che passando da una ad un altra adiacente, cambi il valore di una sola variabile. Passando infatti da una all altra delle due caselle tratteggiate cambia infatti la sola variabile A (Fig. 2 a), oppure C (Fig. 2 b) o ancora A (Fig. 2 c) 3. Metodo semplificativo: Una volta completata la mappa di Karnaugh, si passa al metodo semplificativo che si sviluppa in 4 fasi. 1. Si individuano tutti i raggruppamenti rettangolari di 1 adiacenti che ne contengano il maggior numero possibile, ma sempre in quantità potenza del 2 (1, 2, 4, 8, ecc.). 2. Si sceglie il minimo numero di raggruppamenti per considerare tutti gli 1 della mappa. 2

3 3. Ad ogni raggruppamento si fa corrispondere il prodotto delle sole variabili che hanno lo stesso valore in tutte le caselle, queste vanno negate se hanno valore 0 ed affermate se hanno valore Si esegue la somma di tutti i prodotti corrispondenti ottenuti. Riprendendo in considerazione la tabella dell esempio, si possono individuare 2 raggruppamenti ( 1 da 4 caselle ed 1 da 2 caselle). (Fig. 3) Fig. 3 Nel primo raggruppamento la sola variabile che non cambia è B, che mantiene in tutte e 4 le caselle il valore 1. Nel secondo le variabili che non cambiano il valore sono A e C (A mantiene il valore 0, mentre C vale sempre 1). Al primo raggruppamento corrisponde il termine B, mentre al secondo corrisponde ĀC. Si ottiene infine la funzione semplificata: X = B + AC 4. Errori da evitare E da evitare l errore di considerare raggruppamenti che non contengono il massimo numero di 1. Si prenda l esempio appena affrontato, considerando 2 raggruppamenti, come in figura 4. Fig. 4 La funzione risulta in questo caso: X = B + ABC che non rappresenta infatti la massima minimizzazione. Conviene quindi associare nello stesso gruppo il numero maggiore di 1 possibile, in modo da ridurre il numero delle variabili contenute nei singoli termini della funzione. Allo stesso modo è da evitare di prendere in considerazione un numero di gruppi maggiore del necessario. infatti, se si considerano 3 raggruppamenti, come nella figura 5, Fig. 5 3

4 si ottiene l espressione della funzione composta da 3 termini: che non è una funzione minimizzata al meglio. 5. Esempi X = AC + AB + AB Di seguito sono stati riportati 4 esempi a 4 variabili, corrispondenti a 4 diverse funzioni che devono essere semplificate. Prendendo in considerazione la tabella n. 1, si possono individuare 3 raggruppamenti: il primo di 4 caselle, il secondo ed il terzo di 2. Nel primo raggruppamento le variabili che non cambiano valore sono A e C. Poiché sia A che C assumono il valore 0, si scriverà: A C Nel secondo raggruppamento le variabili che rimangono costanti sono: A, C e D. Poiché C assume valore 0, mentre B e D hanno valore 1, avremo: A C D Allo stesso modo proseguiremo nel terzo raggruppamento, ottenendo: A B C Eseguendo la somma dei singoli termini ottenuti: X = AC + ACD + ABC e raccogliendo i termini comuni, si ottiene infine: X = AC + AC( B + D) Considerando invece la tabella n. 2, si possono individuare 3 raggruppamenti: due da 4 caselle ed 1 da una sola casella. 4

5 Nel primo raggruppamento si ha: nel secondo: mentre nel terzo: Ottenendo così: C D ; A D A BCD X = AD + CD + ABC D Analogamente, si ottiene dalla tabella n. 3: si individuano due soli raggruppamenti: uno da due caselle: ed uno da una casella: ottenendo così: B CD ABC D X = BCD + ABCD Infine per la tabella n. 4: si hanno due raggruppamenti: uno da due caselle: A CD ed uno da 4 caselle costituite dai 4 angoli della tabella. Il fatto, che può sembrare singolare, è spiegabile attraverso la rappresentazione della mappa come una carta che si richiude su sé stessa sia in senso orizzontale che verticale: B D Si ottiene così: X = BD + ACD 5

6 Le funzioni ottenute nei 4 esempi hanno raggiunto una minimizzazione molto prossima all ottimale: si può raccogliere infatti qualche fattore comune. 6. Procedura semplificata Può risultare abbastanza complicato riportare i valori dalla tabella delle combinazioni alla mappa di Karnaugh. Per facilitare questa procedura che risulta sicuramente incerta e soggetta ad errori di trascrizione, viene riportato uno schema operativo. Si prenda in considerazione il caso di una tabella delle combinazioni a 3 variabili A, B e C. Si sono indicati i valori della variabile di uscita X con numeri progressivi da 0 a 7. I valori corrispondenti vanno collocati nella mappa di Karnaugh nella casella indicata con il numero progressivo. Si noti la particolare disposizione nella mappa di Karnaugh, con l inversione della terza e quarta colonna. Analogamente per la tabella delle combinazioni a 4 variabili. In questo caso, oltre all inversione della terza e quarta colonna, si ha anche l inversione della terza e quarta riga. 6

7 7. Mappa di Karnaugh con condizioni di indifferenza. Spesso, fra tutte le combinazioni delle variabili di ingresso, alcuni valori di uscita possono o non verificarsi mai oppure non interessa conoscerne i valori. Si parla in questo caso di condizione di indifferenza. Vediamo a tal riguardo un esempio relativo ad una combinazione impossibile a verificarsi: Sul nastro trasportatore di figura stanno transitando pacchi aventi due misure. Il riconoscimento fra un tipo e l altro avviene per mezzo di due sensori A e B. In base alla combinazione assunta da A e B è possibile risalire a ciò che sta transitando. Considerando per semplicità che se il sensore rileva la presenza del pacco, allora assume lo stato attivo a cui corrisponde il valore logico 1, si può costruire la seguente tabella: A B Deduzione (X) 0 0 Non sta transitando alcun pacco 0 1 Sta transitando un pacco basso 1 0 Situazione impossibile a verificarsi 1 1 Sta transitando un pacco alto La combinazione A = 1 ; B = 0 non può ovviamente verificarsi a meno di situazioni oggettivamente strane (o un guasto sul circuito dei sensori o peggio ancora un pacco volante. Pertanto quando si costruisce la mappa di Karnaugh, si deve in qualche modo tenere conto di questa situazione impossibile a verificarsi. Nella casella corrispondente non viene inserito né il valore logico 0 né il valore 1, bensì un. Questo simbolo, al momento di costruire i raggruppamenti per la minimizzazione della funzione, può essere considerato come avente valore 1 per ottenere una maggiore semplificazione della funzione. Vediamo a tal riguardo due esempi. Nel primo caso conviene considerare come se il fosse una 1 in modo da formare un raggruppamento di due caselle ed ottenere una funzione più semplice X = B Nel secondo caso, invece, non conviene prendere in considerazione il : si avrà così un solo raggruppamento. Si ottiene in questo modo: X = A 7

8 8. Esercizi. Costruire le mappe di Karnaugh delle seguenti tabelle delle combinazione ed eseguire la minimizzazione delle funzioni corrispondenti. Semplificare le seguenti funzioni con le tabelle di Karnaugh: a X = B ( A + B + A) b X = ( A + B) ( B + A) c X = ( A + B) ( B + A) d X = ( A + B) ( A + B) e X = C ( A + B) + ( A + B) ( A + C) f X = ( B C + A) [( B + C) A] g X = ( A + B + C) ( A + B) ( A + C) h X = ( A + B + C + D) ( A + B + C + D) i X = C ( A + B) + ( B + C) ( C + D) l X = ( B C + A) [( B + C) A] m X = ( A + B + C) ( A + B + D) ( A + C + D) 8