+ = Giochi matematici. Rebus. Nel tempo del puzzle

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1 Anno Numero Giochi matematici Nel tempo del puzzle di Marco Piumetti Un vecchio matematico, ormai in pensione, decide di ingannare il tempo risolvendo dei puzzle alquanto difficili (e stravaganti). Tutti i pezzi sono a tinta unica e non hanno alcuna immagine raffigurata. Il matematico tenta quindi di risolvere un puzzle con 000 pezzi ed osserva che ci impiega circa 0 ore per completarlo. Non soddisfatto decide di cimentarsi con un puzzle di 000 pezzi. Stranamente però si accorge che il tempo necessario per risolverlo è di circa 40 ore! Come è possibile ciò? Inviare la soluzione a marco.piumetti@gmail.com; come oggetto della mail scrivere "GIOCHI MA- TEMATICI" le risposte ritenute più interessanti saranno pubblicate sul prossimo numero della rivista Rebus di Luciano Sarra + = A lettera uguale numero uguale 3

2 Anno Numero Soluzione del gioco del numero precedente: Slot Machine Il gioco prevede 3 lanci successivi e, grazie alla strategia di mantenere la miglior combinazione dopo ogni lancio, ognuno di questi dipenderà esclusivamente da quello accaduto nel lancio precedente. L osservazione permette di schematizzare il problema con una macchina a stati finiti: Per la strategia adottata si può passare solo da uno stato con combinazione inferiore ad uno con combinazione superiore, o al più si può rimanere nello stesso stato. Rimane da trovare le probabilità di transizione da uno stato all altro, ovvero associare i pesi ad ogni arco orientato del grafo. Si può descrivere sinteticamente l insieme delle probabilità di transizione tramite una matrice: dove con (k) { p = Pr[ S( k) = j S( k ) = i j i} P = ij ], S si è indicato lo stato al lancio k-esimo, = {,,3}, S = { 0,,,3,4, } k. Ogni probabilità p ij può essere calcolata come combinazioni favorevoli su combinazioni totali, e facendo uso del calcolo combinatorio; a conti fatti risulta: = 0 0 P Il quesito chiedeva quale fosse la probabilità che dopo 3 lanci ci si trovasse nello stato S =, vale a dire simboli uguali ; la risposta allora è l elemento P 3 0, la probabilità che in 3 passi sul grafo si arrivi allo stato S = partendo da S = 0. In definitiva P 3 0 0, 046. Luca Barletta La soluzione di Aurelio Mascheroni Nella prima giocata, il numero totale delle combinazioni dei 6 simboli nelle finestre è dato dalle disposizioni con ripetizione di 6 oggetti presi a : D 6, = 6 =7776. Il numero delle diverse combinazioni di simboli è dato da: Cinquine= 6 4

3 Anno Numero Quaterne= 6**= 0 Terne= (0*6)**= 00 (0 rappresenta il numero delle combinazioni di simboli presi a ) Coppie. Si possono ottenere coppie singole o doppie; denotando con n(,) il numero delle singole e n(,) quello delle doppie: n(,)=(0*6)**4*3= 3600 (0 rappresenta il numero delle combinazioni di simboli presi 3 a 3) n(,)= 6***4*3= 00 Simboli tutti diversi = 6**4*3*= 70 Condizione necessaria è che la somma di tutte le combinazioni dia 7776, come si verifica immediatamente. Nelle successive giocate si bloccano le finestre corrispondenti alle quaterne, alle terne e alle coppie (nel caso di doppie coppie si blocca indifferentemente una delle due). Denotando con Pi(j) la probabilità di ottenere nella seconda giocata un numero di simboli eguali j (j=,4,3,,) a partire dagli I simboli eguali (I=4,3,,) ottenuti nelle prima giocata, si ottiene: Seconda giocata Terza giocata P4()= /6 -> P4(4)= /6 -> /6*/6= /36 P4()tot= /6+/36= /6^ P3()= /6*/6= /36 -> P3(4)= /36+/36= 0/36 -> /6*0/36= 0/6 P3(3)= /6*/6= /6 -> /36*/36= /6^4 P3()tot= /36+0/6^3+/6^4= /6^4 P()= /6*/6*/6= /6^3 -> P(4)= /6+/6+/6= /6^3 -> /6*/6^3= /6^4 P(3) Vi sono modalità. Terne a partire dalla coppia: /6+/6+/6= 7/6^3 Terne a partire dai 3 simboli diversi: /6*/6*/6= /6^3 Sommando P(3)= 0/6^3 -> /36*0/6^3= 0/6^ P() Anche ora Vi sono modalità. Rimangono le coppie della prima giocata: (*4*3)/6^3= 60/6^3 Si formano nuove coppie accanto alle precedenti: (*4*3)/6^3= 60/6^3 Sommando P()= 0/6^3 -> /6^3*0/6^3= 0/6^ P()tot= /6^3+/6^4+0/6^+0/6^= 6/6^ Partendo dal caso di simboli tutti diversi, si ricade nei calcoli iniziali relativi alla prima giocata. P()= 6/6^ -> P(4)= 0/6^ /6*0/6^= 0/6^6 P(3)= 00/6^ -> /36*00/6^= 0/6^6 P()= 400/6^ -> /6^3*400/6^= 0/6^6 P()= 70/6^ -> 6/6^*70/6^= 0/6^7 P()tot=6/6^+0/6^6+0/6^6+0/6^6+0/6^7= 336/6^7 Per calcolare la probabilità di ottenere simboli eguali dopo 3 giocate, ipotizzando di usare sempre la miglior strategia di gioco, occorre sommare le probabilità di ottenere le cinquine in tutti i casi esaminati, tenendo conto logicamente che- a parte le 6/6^ probabilità di ottenere la cinquina alla prima giocata- le altre si ottengono come prodotto delle probabilità di ottenere i vari simboli nella prima giocata per quella di ottenere la cinquina nella seconda e terza giocata. P()tot= 6/6^+ 0/6^*P4()tot+ 00/6^*P3()tot+ 400/6^*P()tot+ 70/6^*P()tot Sostituendo I valori numerici: P()tot=.73.76/6^0= 4,60%.

4 Anno Numero Cruciverba matematico di Nicola Vitale ORIZZONTALI - Si usa in chimica per calcolare le percentuali in peso. - Olandese... puntato. - 6 Vengono prima dei centesimi. - 7 Una macchina di lusso. - 0 Prestigiosa università statunitense. - Piccolo canale, orifizio. - 3 Rifugio da lupi. - 4 La passò Bartali a Coppi. - Rieti. - 9 Isola nel sud dell'arcipelago indonesiano Il più famoso matematico svizzero. - 3 Bologna. - 3 Simbolo del cromo Il chitarrista jazz Metheny Struttura anatomica come il nervo Fece una brutta fine nella Battaglia delle Ombrelle. - 3 Le equazioni a coefficienti e soluzioni intere Il nome di Milosevic. - 4 L'antica regione con Scodra. - 4 Srinivasa, famosissimo matematico indiano L'altro nome delle Muse. - 4 L'unità soluzione dell'equazione x += Nescio Nomen. - 4 In fondo alla via La cittadella fortificata al centro di Mosca. - 0 Un giorno di buon auspicio per i Romani. - Ottobre. - 3 Un punto non di accumulazione. - 4 Può essere generato da un cerchio che ruota attorno a una retta. - Un operatore del calcolo vettoriale. - 6 Neanche ottavo. - 7 Incognita. - L'opposto di off. VERTICALI - Parallelogrammo con 4 lati uguali. - Un gas nobile. - 3 Congiunzione disgiuntiva. - 4 Legge romana sui giochi d'azzardo. - Avanti Cristo. - 6 La matematica... senza continuità. - 7 Le iniziali di Montale. - La capitale del Perù. - 9 Microscopico insetto. - 0 Quattro nel quadrato. - L'antico nome di Tokyo. - Vivere... poco. - 3 Tutt'altro che bassi. - 4 Piccola imbarcazione. - Pende dal soffitto. - 9 Uno dei pionieri dell'algebra omologica. - Ogni singolo filo di una fune. - Dimostrò che le equazioni di quarto grado non sono risolubili algebricamente. - 6 Pesci pregiati. - 7 Un atomo elettrizzato. - 9 Politicante demagogo. - 3 Simbolo del bario. - 3 Scrisse La cittadella Albero del Paradiso. - 3 Enunciò per primo l'assioma della scelta.- 36 Copia fuorilegge Comune spagnolo nella Cantabria. - 3 Preposizione semplice Vernice per le unghie Privo di acqua La capitale della Giordania. - 4 Ferro inglese L'antagonista di Dio La funzione logica di Nicod Simbolo del cesio. - Otto senza vocali. - 3 Internet Explorer. 4 Sigla di Trieste. 6

5 Anno Numero Soluzione del crucinumero del n SARRA