Pietro A. Vagliasindi

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PARMA Dipartimento di Diritto, Economia e Finanza Internazionale Pietro A. Vagliasindi Teoria dei giochi ed applicazioni economiche. Indice PAGINA I. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA IL RENDIMENTO ATTESO E LA SCELTA OTTIMA L UTILITÀ ATTESA: AVVERSIONE AL RISCHIO E PREFERENZA DEL RISCHIO COMPORTAMENTO RAZIONALE IN UN MONDO INCERTO. 5 APPENDICE : LA FUNZIONE DI UTILITÀ DI VON NEUMANN E IL BENESSERE SOCIALE. 6 II. COMPORTAMENTO STRATEGICO E ANALISI ECONOMICA SCELTE STRATEGICHE E RAZIONALITÀ INDIVIDUALI 7 2. TEORIA DEI GIOCHI UN APPLICAZIONE ECONOMICA: L OLIGOPOLIO. 18 III. SCELTE RAZIONALI CON INFORMAZIONI ASIMMETRICHE INFORMAZIONI E GIOCHI AZZARDO MORALE SELEZIONE AVVERSA 30

2 1 I. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA La teoria economica di base studia il funzionamento dei mercati, in un mondo certo, dove le decisioni degli operatori economici comportano valori esattamente prevedibili di costi e benefici. Dati questi valori (eventualmente scontati per riportarli al presente) è facile pervenire alla decisione ottima (ovvero, quella che massimizza i benefici al netto dei costi). In realtà i sistemi sociali ed economici contemporanei sono caratterizzati, in misura maggiore che in passato, da incertezza e rischio che influenzano notevolmente le scelte più importanti degli operatori economici e giuridici (e.g. dei consumatori sul risparmio e sulle scelte contrattuali e fiscali) e di conseguenza è d importanza fondamentale esaminare le scelte in condizione di rischio. Mentre in una situazione di incertezza non sono chiare le probabilità dei diversi possibili stati del mondo, in una situazione di rischio ad ogni stato del mondo può essere associata una specifica probabilità (oggettiva come nel caso di biglietti di una lotteria, o soggettiva). L analisi delle scelte individuali e collettive diviene più complessa e richiede alcune semplificazioni. Si presume che ogni individuo pur non sapendo quel che accadrà, sa la probabilità con la quale si realizza ogni outcome (stato del mondo). In un mondo incerto, gli agenti economici massimizzano il loro benessere (o i profitti), scegliendo l alternativa che offre il rendimento atteso più alto (o l utilità attesa più alta), i.e. la somma di incassi netti (utilità) associati con i possibili diversi outcome, pesati con le relative probabilità. In quel che segue il lettore si familiarizzerà con le implicazioni dell incertezza in termini monetari di euro (rendimento atteso) e di utilità attesa util, per poter poi comprendere i comportamenti economici in un contesto strategico nel quale operano le imprese e gli operatori privati e pubblici. Nella prima parte presentiamo la teoria cominciando con una descrizione informale del problema di un gioco testa o croce, uno dei giochi più semplici e comuni per facilitare la comprensione del concetto di rendimento atteso. Nella sezione 2 formalizziamo l analisi, discutendo dei concetti di utilità attesa e di avversione al rischio. Nella sezione 3 discutiamo infine il comportamento razionale in un mondo incerto. Nelle appendici applichiamo l analisi alle scelte di portafoglio ed approfondiamo poi la funzione di utilità di Von Neumann e le implicazioni in termini di benessere sociale. 1. Il rendimento atteso e la scelta ottima. In un mondo certo ogni singola decisione comporta un flusso prevedibile di costi e benefici distribuiti nel tempo. Convertendo questi flussi in valore presente l agente economico è in grado comparare il benefici attuali e scegliere la decisione ottima (ovvero, quella che massimizza i benefici attuali al netto dei relativi costi). Una decisione ottima è caratterizzata da un valore presente (PV) positivo: PV = Σ i (B i -C i )/(1+r) i = Σ i ρ i P i > 0 dove P i = B i -C i denota i benefici netti nel periodo i =1, (ad esempio nel caso di un impresa i profitti, dati dalla differenza tra ricavi e spese), r è il saggio di sconto, sicché ai benefici netti viene attribuito un peso - pari al fattore dello sconto ρ i = 1/(1+r) i - tanto minore quanto più

3 2 lontani essi sono nel tempo. Alla decisione ottima deve essere associato un valore presente più alto rispetto a quelli associati a tutte le possibili decisioni alternative. Altrimenti, intraprendere tale decisione implicherebbe rinunciare ad un alternativa con un valore presente più alto (positivo). In un mondo incerto l analisi economica delle scelte individuali è più complessa. Comunque, servendoci di alcune assunzioni semplificatrici possiamo convertire il nuovo problema in quello precedente che abbiamo già risolto. Specificamente, possiamo presumere che ogni individuo abbia una distribuzione di probabilità relativa ai possibili outcome (ovvero i risultati P ij nel periodo i e nello stato del mondo j) di ogni sua decisione. In pratica, il nostro agente economico non sa con esattezza quello che accadrà (gli stati del mondo futuri nei diversi periodi), ma conosce la probabilità con la quale si realizza ogni outcome. Il suo problema è quindi sempre massimizzare il suo benessere (profitto o utilità). Sceglie perciò l alternativa che dà il massimo rendimento atteso (o la massima utilità attesa), i.e. la somma di incassi netti (utilità) associati con i possibili outcome diversi, ognuno pesato in base alla sua probabilità. In quanto segue, analizzeremo le implicazioni dell incertezza, in considerazione del flusso di utilità dalla spesa relativa ad un singolo periodo (e.g. un anno) in modo da ignorare le complicazioni di scelte multiperiodali. Per rendere più semplice l analisi, parleremo di euro (in termini monetari) e util (in termini di benessere) invece di euro per anno e util per anno, i.e. un reddito di x euro/anno per un anno è semplicemente eguale a x. Si consideri il caso nel quale si scommetta se una moneta lanciata in aria dia testa o croce. Avendo 1 è possibile scegliere tra un outcome certo (i.e. declinare la scommessa, tenendosi 1 ) od uno incerto (i.e. accettare la scommessa e finire con una somma maggiore o minore di 1 ). Usando una moneta non truccata, metà delle volte verrà testa. Un giocatore d azzardo razionale prenderà quindi scommesse che offrono un payoff maggiore di 1 e rifiuterà tutte le scommesse che offrono un rendimento atteso minore. Per esempio, se riceve 2 quando la moneta viene testa e paga 1 se viene croce, accettando la scommessa guadagna in media 0.50 e quindi dovrebbe accettare. Se gli è offerto 0.50 e rischia 1, accettando la scommessa in media perde 0.25 e dovrebbe quindi rifiutare la scommessa. Prendendo lo stesso rischio molte volte un giocatore d azzardo sceglie quello con il maggior rendimento atteso ed è disposto ad accettare ogni scommessa migliore di un gioco d azzardo equo, i.e. una con un rendimento atteso positivo. Il caso di un giocatore d azzardo che scommette molte volte sul lancio di una moneta può essere generalizzato per descrivere ogni gioco d azzardo, seguendo la regola che impone di massimizzare il rendimento atteso. Il rendimento atteso (E R) è la somma, rispetto a tutti i possibili risultati, del rendimento di ogni singolo outcome pesato per la probabilità che si verifichi tale outcome. E R = Σ i π i R i con Σ i π i = 1 π i è la probabilità si verifichi l i-esimo outcome, R i è il rendimento dell i-esimo outcome. Si noti come la somma delle probabilità degli stati del mondo Σ i π i = 1 sia sempre pari ad uno. Tecnicamente, R è una variabile stocastica nel nostro caso discreta (essa può rappresentare ad esempio il ricavo di un progetto, nei diversi stati del mondo), data la sua distribuzione di

4 3 frequenza - i suoi i = 1,, n possibili valori (outcome) R i che si realizzano con probabilità π i - è possibile calcolare oltre al valore atteso E R la sua varianza, ovvero la somma dei quadrati degli scostamenti dal valore atteso var R = Σ i π i (R i ER) 2. Tale misura torna utile per confrontare la rischiosità di un gioco d azzardo, infatti a parità di valore atteso il rischio è normalmente positivamente legato direttamente alla varianza che sintetizza in un unico numero la variabilità degli outcome. Ogni gioco d azzardo finisce con il verificarsi di uno degli outcome alternativi; per esempio, quando si lancia una moneta, deve venire o testa o croce. In questo gioco d azzardo, usando una moneta non truccata (fair) le probabilità associate agli outcome testa e croce sono rispettivamente π 1 = π 2 = 0.5. Quindi il giocatore d azzardo guadagna rispettivamente R 1 = 2 e perde R 2 = -1, con un rendimento atteso pari a E R = (π 1 R 1 ) + (π 2 R 2 ) = [0.5 (+2 )] + [0.5 ( - 1 ) ]= Giocando molte volte, guadagna in media 0.50 ogni volta che gioca. Essendo il rendimento atteso dal partecipare al gioco d azzardo positivo, dovrebbe essere vantaggioso giocare, purché sia possibile ripeterlo molte volte. Lo stesso vale per ogni altro gioco d azzardo con un rendimento atteso positivo. Un gioco d azzardo con un rendimento atteso nullo è un gioco d azzardo equo (fair game). Ora supponiamo che Paula stia giocando una sola volta e che la scommessa sia 50,000, i.e. tutto il suo reddito. Se perde, morirà di fame, se vince, guadagna solamente un modesto aumento di benessere. Credo che il nostro lettore imagini come una riduzione della sua ricchezza da 50,000 a zero sia molto più dolorosa di quanto possa essere piacevole un aumento da 50,000 a 150,000. Gli euro che elevano il reddito da zero a 50,000 valgono più (per unità) che i 100,000 euro supplementari, partendo da un reddito iniziale eguale a 50,000. La regola massimizzare il rendimento atteso non sembra quindi più razionale. Si pone quindi la domanda di quale sia il comportamento razionale in tale caso. 2. L utilità attesa: avversione al rischio e preferenza per il rischio. John Von Neumann, l inventore di teoria dei giochi ha dato una risposta alla precedente domanda, combinando l idea di rendimento atteso usata nella teoria delle probabilità con l idea di utilità usata in economia. In tal modo, ha mostrato come sia possibile descrivere il comportamento di individui che agiscono in situazioni di incertezza. L idea di base fondamentale è quella che invece di massimizzare il rendimento atteso in euro, gli individui massimizzano il rendimento atteso in util, i.e. in termini di utilità attesa. Ogni outcome i ha un utilità associata U i. Von Neumann definisce l utilità attesa come: E U(R) = Σ i π i U(R i ) L utilità che si ottiene dall i-esimo outcome dipende solamente da quanti soldi (in più o in meno) sono associati a tale outcome. Se l utilità aumenta linearmente con il reddito U(R) = a + (b R), come lungo il segmento OE in Figura 1, qualsiasi decisione che massimizza E R massimizza anche E U. E U(R) = Σ i π i (a + b R i ) =a Σ i π i + b Σ i π i R i = a + b E R

5 4 Quindi, con una funzione di utilità lineare l individuo che massimizza la sua utilità attesa si comporta esattamente come il giocatore d azzardo che massimizza il suo rendimento atteso. Si può rappresentare graficamente il livello di utilità di ogni outcome su un grafico bidimensionale, come ad es. lungo la curva ODE in Figura 1. Lungo questa curva è facile trovare l utilità del reddito R i associato con l outcome i-esimo. Considerando ODE in Fig. 1, è possibile partendo da R * = 50,000 scommetterli tutti sul lancio di una moneta (testa si vince, croce si perde). L utilità dell outcome testa è l utilità di 1,300 (il punto E). L utilità dell outcome croce è l utilità di zero dollari (il punto O). ODE mostra una relazione dove reddito ha un utilità marginale decrescente. Ovvero, l utilità totale aumenta con il reddito, ma cresce sempre meno via via che il reddito diventa più alto. Nel decidere se scommettere 25,000, si sceglie tra due giochi d azzardo diversi. Se non si accetta la scommessa, si ha la certezza (π* =1) di finire con R* = 50,000. Se si accetta la scommessa, si ha una probabilità pari a 0.5 di finire con R A = 25,000 ed una probabilità pari a 0.5 di finire con R B = 75,000. Quindi nel primo caso, assumendo U(50,000 ) = 1,000 util, abbiamo: E U(R*) = Σ i π i U i = π* U* = 1,000 util Nel secondo caso, con U(25,000 ) = 600 ed U(100,000 ) = 1,200 abbiamo: E U(R) = Σ i π i U i = ( util) + (0.5 1,200 util) = 900 util L individuo, prendendo l alternativa con l utilità attesa più alta non accetta la scommessa. In termini monetari, le due alternative sono ugualmente attraenti; producono lo stesso rendimento atteso R* = 50,000, i.e. la scommessa è equa. In termini di utilità, la scelta sicura U(R*) è superiore a quella rischiosa U(R C ). Finché la funzione di utilità ha la forma mostrata in Figura 1, una certezza di X sarà sempre preferita ad un gioco d azzardo con lo stesso rendimento atteso X. U(R B 1,200 ) 1,000 U(R*) 900 E U(R) U(R A ) A 600 C D B Fig. 1 E U(R B ) E U(R) U(R*) U(R A ) 1,800 1, A D Fig. 2 C B O R A R c R* R B R A R* R B R c Un individuo che si comporta così è definito come avverso al rischio. Tale individuo non partecipa mai ad un gioco d azzardo equo ma ne accetta uno che è più favorevole, i.e. scommette 1,000 contro 1,500 sul lancio di una moneta, per esempio. Tecnicamente, abbiamo a che fare con una funzione di utilità a là von Neumann, dove U(R i ) l utilità dell outcome i è una funzione strettamente crescente della variabile stocastica

6 5 R ricchezza monetaria (ossia la derivata prima è positiva U > 0, grosso modo U(R+1)-U(R) > 0). L avversione al rischio implica che l utilità del valore medio U(R*) è maggiore dell utilità fornita dallo stesso valore atteso E(R) = R*. Si noti come il costo del rischio per l operatore sia pari a ρ = R*-R c essendo U(R c ) = E U(R) = ½ U(R A ) + ½ U(R B ). In pratica, l avversione al rischio implica una un utilità marginale decrescente, ovvero derivata seconda negativa U < 0, grosso modo U(R+1)-U(R) > U(R)-U(R-1). ODB in Figura 2 mostra invece la funzione di utilità di un amante del rischio, avendosi un utilità marginale crescente. Chi ama il rischio è disposto ad accettare un gioco d azzardo meno che equo, anche se non ne accetterà uno con rendimento atteso molto basso. Se non si ama il rischio né si è avversi al rischio si è neutrali rispetto al rischio; i. e. la funzione di utilità corrisponde alla linea OE, in Figura 1. Si noti come il costo del rischio per l operatore sia in quest ultimo caso nullo a ρ = 0 essendo E U(R*) = ½ U(R A ) + ½ U(R B ), i.e. l utilità marginale è costante e quella seconda nulla U < 0, ovvero U(R+1)-U(R) = U(R)-U(R-1). Il grado rispetto al quale qualcuno mostra una preferenza o avversione per il rischio dipende dalla forma della funzione di utilità, dal livello iniziale del reddito, e dall importo della scommessa. Possiamo aspettarci che per piccole scommesse ognuno sia approssimativamente neutrale; l utilità marginale di un euro non cambia moltissimo tra un reddito di 49,999 ed un reddito di 50,001 che è la considerazione pertinente per qualcuno con 50,000 che sta considerando una scommessa di Comportamento razionale in un mondo incerto. Come visto nella sezione precedente, è facile predire il comportamento di qualcuno che massimizza il rendimento atteso rispetto a quello di chi massimizza l utilità attesa. Ogni individuo può massimizzare ancora la sua utilità massimizzando il suo rendimento atteso, finché può ripetere lo stesso gioco d azzardo molte volte (dato che i risultati tendano alla media). Il suo reddito è quindi a lungo andare (pressoché) certo. La sua utilità attesa è massima quando quel reddito è il più grande possibile, i.e. con il gioco d azzardo con rendimento atteso più alto. Massimizzare l utilità attesa è anche equivalente a massimizzare il rendimento atteso (come nel caso del giocatore d azzardo col quale abbiamo iniziato) quando: (i) l individuo è neutrale rispetto al rischio, (ii) la misura di guadagni e perdite eventuali è piccola comparata al reddito (possiamo trattare l utilità marginale del reddito come costante e variazioni dell utilità come proporzionale a variazioni del reddito, sicché si agisce come si fosse neutrali. Ci sia ora consentito di considerare un impresa piuttosto che un consumatore. I Manager, desiderando aumentare il valore azionario presente di un impresa massimizzano il valore atteso del suo prezzo futuro, massimizzando il valore atteso dei profitti futuri. La minaccia di offerte di rilevamento (takeover) li forza a massimizzare il valore azionario presente di un impresa. Se il Manager persegue propri obiettivi la conclusione precedente non tiene. Se le imprese falliscono, il reddito del dirigente d azienda può ridursi molto. Quindi, il Manager non è disposto a prendere un rischio del 50 percento di far fallire un impresa anche se ha una probabilità del 50 percento di triplicarne il valore. È quindi probabile che l assunzione della neutralità rispetto al rischio non sia sempre valida per le imprese.

7 6 L esistenza di agenti avversi al rischio spiega il bisogno di assicurazioni. Si supponga che il reddito di Paola sia 30,000 e ci sia una piccola probabilità (0.01) che un incidente lo riduca a 10,000. La compagnia di assicurazione offre di assicurarla contro quell incidente per un prezzo fisso di 200, che lei paga in ogni caso. Se l incidente ha luogo, la compagnia risarcisce il suo danno 20,000 ex post. Lei ha una scelta tra due giochi d azzardo: comprare o non comprare l assicurazione. Comprando l assicurazione, ha un reddito certo pari a 30,000 meno 200 pagati per l assicurazione. Per il primo gioco d azzardo: π 1 = 1; R 1 = 29,800 e EU = π 1 U(R 1 ) = 998 util. Quando non compra l assicurazione si ha invece: π 1 = 0.99; R 1 = 30,000; U(R 1 ) = 1,000 util e π 2 = 0.01; R 2 = 10,000; U(R 2 ) = 600 util. Questo implica: E U(R) = [π 1 U(R 1 )] + [π 2 U(R 2 )] = 990 util + 6 util = 996 util. Poiché Paula sta meglio con l assicurazione piuttosto che senza la compra. Si noti che per R 1 = 30,000 l utilità marginale di 100 è approssimativamente 1 util. Nel nostro esempio, comperare l assicurazione era un gioco d azzardo equo: 200 sono pagati in cambio di una probabilità di 1% di ricevere 20,000. Una compagnia di assicurazione che fa 100,000 scommesse riceve in media il rendimento atteso, se le probabilità di queste scommesse sono distribuite in modo indipendente fra loro. Quando assicurazione è equa, la compagnia di assicurazione ed il cliente vanno pari in termini valutari, ma il cliente ci guadagna in termini di utilità. Nel mondo reale, le compagnie di assicurazione incorrono in spese supplementari oltre a pagare richieste di danni ed offrono giochi d azzardo meno convenienti di quelli equi ai clienti. Consumatori sufficientemente avversi al rischio accettano ancora tale gioco d azzardo e comprano un contratto di assicurazione che abbassa il loro rendimento atteso ma aumenta la loro utilità attesa. Nel nostro caso, con un utilità marginale di util, varrebbe ancora la pena per Paola accettare anche se la compagnia le addebita 300 invece di 200. Non vale più la pena invece per 500. Comprare un biglietto della lotteria è l opposto di assicurarsi. Quando Paola compra un biglietto della lotteria, accetta un gioco d azzardo ingiusto ma questa volta lo fa per aumentare la sua incertezza. Infatti, in media, una lotteria paga meno in premi di quanto incassa. Se Paola è avversa al rischio, può avere senso per Lei comprare l assicurazione, ma non dovrebbe mai comprare biglietti della lotteria. Se Paola è un amante del rischio ha senso comprare un biglietto della lotteria, ma non dovrebbe comprare l assicurazione. Appendice: La funzione di utilità di Von Neumann e il benessere sociale. Von Neumann ha dimostrato che se la scelta individuale in condizioni di incertezza soddisfa alcune condizioni di consistenza, è possibile assegnare le utilità agli outcome in modo tale che le decisioni prese seguono dalla massimizzazione dell utilità attesa. Lui considera un comportamento individuale razionale o cosistente sotto l incertezza (i.e. scegliendo fra le lotterie : una raccolta di outcome, ognuno con una propria probabilità) se: (i) date due lotterie A e B, l individuo o preferisce A a B, o preferisce B ad A, o è

8 7 indifferente tra loro, (ii) le preferenze sono transitive; se si preferisce A a B e B a C, si deve preferire A a C, (iii) nel considerare lotterie i cui payoffs sono a loro volta delle lotterie gli agenti combinano le probabilità in una maniera matematicamente corretta, (iv) le preferenze sono continue, (v) quando l outcome A è preferito all outcome B e B a C, c è un mix di probabilità di A e C (una lotteria che contiene solamente questi outcome) equivalente a B; i.e. dato che U(A) > U(B) > U(C) come l utilità muove da U(A) ad U(C), ad un qualche punto, deve essere uguale ad U(B). Accettando questi assiomi e quindi l utilità di von Neumann l asserzione io preferisco l outcome X all outcome Y il doppio di quanto preferisco Y a Z è equivalente a io sono indifferente tra una certezza di Y ed una lotteria che mi dia due-terzi di probabilità per Z ed un terzo di probabilità per X. Possiamo fare così paragoni quantitativi delle differenze di utilità e paragoni quantitativi delle utilità marginali. Il principio di un utilità marginale decrescente è equivalente all avversione al rischio. Possiamo essere d accordo sull ordine delle preferenze e sulla loro intensità relativa, ma possiamo ancora non essere d accordo sullo zero dell utilità funzioni e sulla misura dell unità nella quale noi stiamo misurandole. Ciò significa che le funzioni di utilità di Von Neumann sono arbitrarie riguardo a trasformazioni lineari. Cambiamenti nella funzione di utilità che consistono nell aggiungere lo stesso ammontare a tutte le utilità (cambiando lo zero), o moltiplicando tutte le utilità per lo stesso numero (cambiando quindi la scala), o ambo le cose, non cambiano realmente la funzione di utilità, i.e. il comportamento è precisamente lo stesso. Gli Utilitaristi hanno usato il concetto dell utilità, determinare il benessere sociale, i.e. l utilità totale degli individui che la società dovrebbe massimizzare. Questo è stato criticato perché non c è nessun modo di fare paragoni dell utilità interpersonali, né di decidere se un cambio dal quale Paula trae profitto e danneggia Alberto aumenti l utilità totale. Con l utilità di von Neumann la regola utilitaria massimizzare l utilità totale è equivalente a sceglie l alternativa che preferisci se fossi una delle persone riguardate dal cambiamento. Data la probabilità π = 1/N di essere chiunque; se ci sono N individui, possiamo scrivere l utilità dell i-esima persona come U i = U(R i ), e considerare l utilità attesa della lotteria con probabilità π di essere ogni persona: E U(R) = Σ i π i U i = Σ i π U i, = π Σ i U. È facile vedere come Σ i U i è semplicemente il benessere sociale, i.e. l utilità totale della società. Questo risultato continua ad essere vero con funzioni di utilità individuali diverse fra loro. Infatti: E U(R) = Σ i π i U i (R i ) = πσ i U i (R i ) II. COMPORTAMENTO STRATEGICO E ANALISI ECONOMICA 1. Scelte strategiche e razionalità individuali A. Interdipendenze, comportamenti strategici ed individui razionali Un sistema socio-economico è essenzialmente un sistema interdipendente. Fin ora, abbiamo spinto le interdipendenze sullo sfondo per semplificare e risolvere i problemi. Abbiamo rappresentato i mercati in termini di un individuo, consumatore o produttore, che

9 8 massimizza dato un set di opportunità (e.g. un dato vincolo di bilancio), eliminando importanti interazioni: contrattazioni, minacce, promesse, bluff. Tuttavia, evitando situazioni che conducono a comportamenti strategici, la teoria economica di base spiega gran parte dei fenomeni di mercato in un contesto semplificato dove non si considerano le azioni degli altri operatori razionali ma semplicemente le conseguenze. In tale contesto semplificato, si esaminano due modelli economici standard il mercato competitivo ed il monopolio. In competizione ciascun individuo è una piccola parte del mercato, che prende i comportamenti degli altri come dati e non deve preoccuparsi di come ciò che fa incida sui comportamenti altrui. Il resto del mondo consiste in cose: un insieme di prezzi, al quale può vendere quel che produce e comprare quel che vuole. Il monopolista invece è grande e il suo comportamento incide sul mercato ma ha di fronte una curva di domanda; una massa di consumatori che individualmente non incide sul suo comportamento. Ogni consumatore compra la quantità che massimizza il suo benessere al prezzo da lui fissato. Nell analisi dell oligopolio o del monopolio bilaterale, tale contesto semplificato sparisce e l economia di base si trasforma da teoria coerente ad un insieme di supposizioni. Il comportamento di ogni attore è condizionato da quello che si attende essere il comportamento degli altri. Analizzare i comportamenti strategici è quindi veramente difficile. John von Neumann, uno dei più brillanti matematici ed economisti dell ultimo secolo teoria dei giochi ha creato la teoria dei giochi, un intero ramo nuovo della matematica, nel tentativo di analizzarli. Il lavoro di economisti successivi ha portato l economia più vicina a comprendere cosa gli agenti economici fanno o dovrebbero fare in contesti strategici. Il comportamento strategico è particolarmente rilevante avendosi spesso a che fare con interazioni tra due parti, negoziazioni, liti, etc. e con costi di transazione che implicano comportamenti strategici. Dopotutto, le regole influenzando i comportamenti dell intera collettività sono esse stesse un bene pubblico. Proviamo a chiarire la nostra visione con un semplice esempio di monopolio bilaterale, dove ogni parte mira ad ottenere l outcome più favorevole possibile a se. Il comportamento da bullo (picchiare chi non accondiscende) sembra in questo caso il migliore. La strategia è molto vantaggiosa se nessuno lo contrasta; godrà dei vantaggi e non dovrà sopportare il costo di realizzare le sue minacce (farsi male, finire in prigione ). Ma se molti si comportano così la strategia non è proficua, dato che si rischia di finire rapidamente morti o in prigione. A prima vista si potrebbe ritenere che una sanzione, essendo l omicidio per futili motivi un atto irrazionale, difficilmente sia in grado di risolvere il problema. Tuttavia, se l attore sceglie la propria strategia (la parte che recita) razionalmente, il quadro cambia, dato che a parità di altri fattori (proporzione di bulli nella popolazione) più alta la sanzione meno vantaggiosa la strategia. Il risultato di equilibrio sarà una proporzione minore di bulli, meno liti e meno omicidi irrazionali. Questa in breve la logica razionale dei comportamenti strategici e dell analisi dell influenza dell intervento pubblico. Siamo quindi interessati nella teoria dei giochi come strumento dell analisi economica per capire i contesti strategici. Studiando le interazioni di individui razionali acquisiamo una migliore conoscenza e siamo in grado di prevedere i comportamenti effettivi. La teoria dei giochi fornisce un linguaggio chiaro e preciso per esprimere e formalizzare alcune intuizioni e

10 9 nozioni di buon senso in modelli (definendo i giocatori e per ciascuno strategie e payoffs, i.e. una rappresentazione numerica delle preferenze) che possono essere analizzati deduttivamente, esaminando la loro consistenza logica e trovando da quale ipotesi derivano date conclusioni particolari. Di conseguenza, presumiamo che gli agenti siano capaci di calcolare come giocare il gioco e considerare esattamente ogni possibilità, prima ancora di fare la loro prima mossa. Evidentemente, per la maggior parte dei giochi tale assunzione non è realistica; ma rende relativamente facile descrivere il modo perfetto di giocare. In fondo, qualunque sia il gioco, la strategia perfetta è quella che produce il miglior risultato. È, invece, molto più difficile costruire una teoria di decisioni imperfette di giocatori realistici con abilità limitate. L assunzione della razionalità può inoltre essere difesa ipotizzando che ci sia una sola risposta giusta ad un problema e molte sbagliate. Se gli individui tendono a scegliere quella giusta, noi potremmo analizzare i loro comportamenti come se optassero per la scelta migliore. Ci si permetta di cominciare con una descrizione informale del gioco più famoso e ricorrente in un contesto economico, per introdurre i comportamenti strategici. La parte 2 contiene un analisi più formale (che tuttavia evita per quanto possibile definizioni matematiche), discutendo dei modi nei quali si può risolvere un gioco statico e della applicazioni alla teoria dell oligopolio. Considerando la teoria non-cooperativa, la unità dell analisi sono i giocatori individuali sottoposti a regole e possibilità chiaramente definite che badano al loro migliore interesse. B. Comportamento strategico: il Dilemma del Prigioniero e la logica dell accordo. Paula ed Alberto sono arrestati. Se condannati, ognuno sconterà una sentenza di cinque anni di prigione. La pubblica accusa non ha abbastanza evidenza per arrivare ad una condanna, così mette i presunti criminali in celle separate. Va prima da Paula. Se lei confessa ed Alberto non lo fa, l accusa maggiore sarà lasciata cadere e lei si fa solamente tre mesi per un accusa minore. Se anche Alberto confessa, l accusa non può essere lasciata cadere ma il giudice sarà indulgente; Alberto e Paula sconteranno ognuno due anni. Se Paula rifiuta di confessare, il giudice non sarà indulgente. Se Alberto confessa, Paula possibilmente sarà condannata con la pena massima. Se nessuno confessa, sconteranno però solo una pena di sei-mesi, per reati minori. Poi, la pubblica accusa va alla cella di Alberto e fa un discorso simile. In Figura 1A è riportata la matrice degli outcomes con i payoff espressi in util di Paula ed Alberto. Una volta che Paula ed Alberto scelgono le strategie (rispettivamente una riga ed una colonna) possiamo leggere i loro payoffs (U P, U A ) in una cella, il primo per Paula, il secondo per Alberto. Paula ragiona come segue: (1) Se Alberto confessa (sceglie NC e non cooperare) ed io non lo faccio (C, NC), mi ritrovo con cinque anni di galera U P (C, NC) = 2; se anche io confesso (NC, NC), mi ritrovo con due anni U P (NC, NC) = 3. Se Alberto confessa, anche io farei meglio a confessare; 3 util > 2 util, (2) se nessuno confessa (C,C), io vado in carcere per sei mesi U P (C, C) = 4. Questo è un miglioramento, ma io posso fare ancora meglio. Se sono solo io a confessare (NC, C), sconto solo tre mesi U P (NC, C) = 3. Quindi se Alberto sta silenzioso, io starò meglio confessando 5 util > 4 util. (3) Qualsiasi cosa fa Alberto la mia situazione migliora confessando (scegliendo la strategia NC).

11 Fig. 1A 10 Fig. 1B P A C NC P A C NC C 4 ; 4 2 ; 5 C 4 ; 4 4 ; 3 NC 5 ; 2 3 ; 3 NC 3 ; 4 3 ; 3 È facile mostrare che Alberto fa lo stesso calcolo che lo porta alla medesima conclusione e quindi entrambe confessano. Paula sceglie la sua strategia con l obiettivo di arrivare al payoff più alto, siccome questo è solo una rappresentazione numerica delle sue preferenze. Alberto fa lo stesso. Tale tipo di contrattazione con i criminali, tipica dei film e telefilm stile US, è stata sovente oggetto di critiche. La previsione di un accordo con la pubblica accusa sembrerebbe lasciare andar via criminali con sanzioni lievi. Infatti, l accordo non si concretizzerebbe se non risultasse conveniente per l accusato, ovvero non comportasse un utilità maggiore dell alternativa. Si noti tuttavia come per ottenere lo scopo, se vale la logica del nostro modello, basta una riduzione della pena minima rispetto al payoff alternativo che aumenti l utilità di poco. Ma dato un budget fisso in termini di risorse (tempo e soldi) se conclude una buona parte dei casi spendendo poche risorse, alla pubblica accusa restano meno casi da perseguire su cui concentrare le risorse dell ufficio. Questo aumenta la probabilità che la pubblica accusa consegua delle condanne, quando si rinunzia all accordo, il che riduce il valore in termini di utilità associato ai payoff delle strategie in cui non si confessa. Ciò a sua volta consente in generale di aumentare la pena nel caso di confessione (bastando una riduzione minima rispetto al payoff alternativo). Di conseguenza la logica della contrattazione, aumentando la produttività dell ufficio e la probabilità di concludere accordi più severi, aumenta il livello medio della sanzione. Questo gioco, inoltre, introduce un concetto di soluzione. Nessuno coopera perché questa è la scelta migliore, qualsiasi cosa faccia l altro. In Figura 1A la colonna NC ha un payoff più alto per Paula che la colonna C, qualunque strategia scelga Alberto. Similmente, la riga NC ha un payoff più alto per Alberto della riga C qualunque sia la colonna scelta da Paula. Se una strategia conduce ad un migliore risultato di un'altra, qualunque cosa l altro giocatore faccia, si dice che la prima strategia domina la seconda. Se una strategia domina tutte le altre, il giocatore migliora la sua situazione usandola sempre; se entrambi i giocatori hanno tali strategie dominanti, abbiamo una soluzione del gioco. Quando applichiamo iterativamente il criterio di dominanza, presumiamo che i giocatori assumono che gli altri non giocheranno le strategie dominate. Nella misura in cui questa premessa è corretta la dominanza dà un meccanismo semplice e netto per fare previsioni. Quando la soluzione non può essere trovata col criterio della dominanza dovremmo ricorrere ad un diverso concetto di soluzione dovuto a Nash, che presenteremo nella parte 3. Ambedue i giocatori agiscono razionalmente nel nostro esempio, e, come risultato,

12 11 entrambi stanno peggio. La razionalità individuale, i.e. fare la scelta che meglio risponde alle finalità dell individuo, fa si che entrambe gli individui stanno peggio. Il risultato del dilemma del prigioniero sembra contro-intuitivo, ma ci sono molte situazioni dove comportamenti razionali degli individui in un gruppo fanno stare peggio tutti. La spiegazione è che la razionalità individuale e la razionalità del gruppo sono cose diverse. Paula sta scegliendo solamente la sua strategia, non quella di Alberto. Se Paula potesse scegliere tra la cella della in basso a destra nella matrice e la cella superiore a sinistra, lei sceglierebbe la prima; così come Alberto. Ma quelle non sono le scelte possibili. Paula sta scegliendo una colonna, e la colonna destra domina la colonna sinistra; il payoff è migliore qualunque riga Alberto scelga. Alberto sta scegliendo una riga, e la riga in basso domina la superiore qualunque colonna scelga Paula. Loro non cooperano, se la struttura di ricompense e punizioni di fronte a loro non cambia, come in Fig. 1B dove Paula ed Alberto fanno lo stesso calcolo e giungono alla conclusione di cooperare. Quindi ambedue cooperano. I criminali fanno sforzi considerevoli per elevare il costo delle strategie non cooperative ed abbassare il costo di quelle cooperative. Questo ovviamente non confuta la logica del dilemma di prigioniero; vuol dire soltanto che i veri agenti stanno giocando qualche volta altri giochi, come quello in Fig. 1B. Quando i payoffs hanno la struttura mostrata in Figura 1A, la logica del gioco è cogente e non c è cooperazione. P ed A non possono fare un accordo vincolante in quanto loro devono muoversi simultaneamente ed indipendentemente, cosicché non c è modo per costringere l altro o infliggere una punizione. Ora si assuma che la natura faccia la prima mossa e scelga il gioco 1A con probabilità 0.2 e gioca d azzardo 1B con probabilità 0,8, senza dire a Paula ed Alberto quello che è lo stato del momdo. Come dovrebbero comportarsi Paula ed Alberto? Dovrebbero usare il payoffs atteso secondo la teoria di scelta in situazioni di incertezza. L utilità attesa dalle scelte (C, NC) sarà data dai payoff 0.2 (2, 5)+ 0.8 (4, 3) = (3,6; 3,4). Si mostri che entrambi coopereranno in questo caso. In questo caso costruendo una nuova matrice con i payoff le strategie dominanti sono la riga in alto e la colonna a sinistra. La teoria dei giochi fornisce una tassonomia per le situazioni economiche, basata sulla forma strategica. All inizio, discutendo la strategia del bullo ci siamo riferiti al gioco noto come falco e colomba, figura 1E. Altri giochi, come la cosiddetta battaglia dei sessi possono essere applicati al contesto giuridico. Se Paula ed Alberto produttori di beni complementari, possono desiderare adottare standard compatibili, anche se possono preferire standard di genere diverso. In figura 1C i giocatori cercano di coordinare le loro azioni in questo gioco, anche se hanno preferenze contraddittorie. Fig. 1C Fig. 1D Fig. 1E

13 P A a b 12 P A a b P A c b a 3 ; 5 0 ; 0 a 3 ; 5 0 ; 0 c 5 ; 5 0 ; 8 b 0 ; 0 5 ; 3 b 0 ; 0 2 ; 1 b 8 ; 0-5 ; -5 Possiamo avere due soluzioni, dove si adotta lo standard favorito da Alberto, o quello favorito da Paula. Anche in figura 1D non abbiamo una strategia dominante, ma qui uno standard emerge come ottimo da preferenze consistenti. Forniremo gli strumenti per risolvere questi giochi nella parte 3 presentando l equilibrio di Nash. Concludiamo questo paragrafo riprendendo le conclusioni principali tratte dai giochi esaminati. Nel gioco falco-colomba aumentare il costo della lotta tra i due bulli (aumentare il rischio che la negoziazione finisca con un fallimento, i.e. senza un risultato positivo) riduce la percentuale di giocatori che scelgono la strategia del bullo. Chiaramente, nel monopolio bilaterale il commitment è una tattica importante e quindi le parti cercheranno modi per tener ferme le proprie domande. Gli individui spendono tempo e risorse, pagando per avvocati in costi di commitment e rischiando il fallimento delle trattative. Quanto sono disposti a spendere dipende dall ammontare in gioco, come quando si cerca di appropriarsi di una rendita. Di conseguenza l intervento pubblico dovrebbe evitare le regole che portano verso la situazione di monopolio bilaterale con grosse poste in gioco. Ciò potrebbe spiegare perché i tribunali sono di solito riluttanti a dar luogo a contratti con specifiche prestazioni e preferiscono rotture dei contratti con pagamento dei danni, stabiliti dal giudice o concordati dalle parti. Nel dilemma del prigioniero i giocatori non cooperano, se la struttura di ricompense e punizioni di fronte a loro non cambia o come vedremo di seguito il gioco non viene ripetuto all infinito. Per questo le persone provano a modificare il gioco, prendendo impegni, usando commitment e reputazione e l altruismo, per rendere nell interesse delle parti cooperare. Costruire un sistema legale efficiente è in gran parte il tentativo di uscire da situazioni tipo il dilemma del prigioniero, inserendo sanzioni per modificare gli incentivi dei potenziali ladri dei potenziali inquinatori e produttori di esternalità negative. In pratica, il tentativo è quello di scegliere regole in base alle quali la razionalità individuale conduce verso la razionalità di gruppo, soppiantando le regole che producono il risultato opposto. C. Il Dilemma del Prigioniero ripetuto Il risultato del dilemma del prigioniero non dipende solo dal fatto che è un gioco una tantum, mentre nel mondo reale abbiamo giochi ripetuti. Se un individuo che non coopera, può aspettarsi un trattamento simile la prossima volta, tutti cooperano. Questo è l argomento della reputazione ; sembra ragionevole, ma è corretto? Consideriamo Paula ed Alberto che giocano il gioco in Figura 1.A mille volte. Un giocatore che tradisce il suo partner guadagna 1 util nel breve periodo. La vittima però risponderà tradendo la prossima svolta, e forse molto altre volte ancora (per sempre). ambedue starebbero meglio cooperando ogni volta 4 > 3.

14 13 Quel guadagno immediato insignificante (1 util) vale questo enorme costo (1,000 util)? Questo ragionamento ha però un serio problema. Consideriamo l ultima periodo del gioco. Ogni giocatore sa che qualsiasi cosa lui faccia, gli altri non avranno nessuna ulteriore opportunità di castigarlo. L ultimo periodo è perciò un gioco una tantum. Non cooperare domina cooperare. Ogni giocatore sa che gli altri lo tradiranno all ultima mossa. Non ha quindi bisogno di temere una punizione qualsiasi cosa faccia la mossa precedente; in ogni caso l altro sta per tradirlo alla prossima mossa. Quindi tutti e due tradiscono anche quella volta ed ora non c è punizione per tradire nella mossa ancora precedente. Così, se sono razionali, si tradiscono l un l altro già dalla prima mossa e da allora in poi ad ogni mossa. Se invece fossero stati irrazionali e cooperanti, sarebbero stati in una situazione migliore. Il risultato sembra paradossale, ma l argomento dell induzione all indietro è l unico corretto. La soluzione cooperativa al dilemma del prigioniero ripetuto è instabile perché paga sempre tradire nell ultimo periodo e quindi al penultimo, e così via indietro fino all inizio. Con una razionalità sufficientemente limitata la soluzione cooperativa non è più instabile. Considerando il dilemma del prigioniero ripetuto (con 1,000 periodi) giocato da robot programmati per calcolare solamente 900 possibili stati del mondo, a causa dell ammontare limitato di memoria (ogni stato implica una mossa, coopera o tradisce nel caso del dilemma di prigioniero). Non considerano l ultimo periodo se non possono contare fino a 1,000. D altra parte, la cooperazione sarà stabile se il gioco viene ripetuto un numero infinito od indefinito di volte. La promessa di cooperare diviene credibile a causa della minaccia di punire comportamenti non-cooperativi, dato che una volta che l'equilibrio cooperativo sia rotto non c'è vantaggio da un lato nel tentare di ripristinarlo. Non c è comunque, equilibrio unico, la soluzione non-cooperativa è un equilibrio e similmente i comportamenti in cui sono avvicendati periodi di cooperazione e non-cooperazione. Supponiamo che P cooperi per due periodi e poi non cooperi per un periodo, mentre A coopera sempre. P ottiene 13 util ogni tre periodi ed A 10, ma entrambe stanno meglio che ottenendo 9 arrestando la cooperazione. 2. Teoria dei giochi La teoria dei giochi, fu concepita da von Neumann e presentata nella Teoria dei Giochi e Comportamento Economico scritto con Oskar Morgenstern. Probabilmente avete già compreso come siano ampie le applicazioni della teoria dei giochi. L obiettivo di von Neumann era capire tutti i comportamenti che potrebbero essere strutturati come un gioco. Ciò include la maggior parte degli argomenti usuali di economia, sociologia, relazioni interpersonali, scienza politica, relazioni internazionali, biologia e forse molti altri. La sua linea di analisi e soluzione dei problemi implica pensare come un agente dovrebbe dedurre come giocare ogni gioco perfettamente. Se si può presentare ogni gioco come un problema matematico esplicito, la soluzione di un gioco particolare è semplicemente un applicazione. In questa prospettiva, giochi complicati, diventano invece banali. Il numero totale di mosse, e così il numero totale di possibili modi di giocare, è limitato, molto grande ma limitato. Tutto ciò che un giocatore ha bisogno di fare è elencare tutti i possibili giochi, annotare il suo payoff, e poi tornare indietro dall ultima mossa, assumendo ad ogni passo che, se un giocatore ha una mossa farà quella che conduce ad un payoff più alto.

15 14 Questo è l approccio giusto, se si cerca un modo comune di descriverli tutti i giochi per dedurre in che senso abbiano soluzioni e come, in principio, trovarle. Evidentemente, non può essere una soluzione pratica per molti giochi. Il numero di possibili mosse è molto grande come il numero di stelle nell universo, trovando così abbastanza carta (o memoria del computer) elencarli può essere ancora difficile. Ma, in teoria, possiamo non essere interessati a queste difficoltà, essendo disposti a ipotizzare un ammontare illimitato di memoria del computer e tempo per risolvere un gioco. 2A. Giochi statici, giochi dinamici ed equilibrio di Nash. Per semplicità, consideriamo giochi con due persone. Nel seguito mostreremo come i giochi possono essere rappresentati in forma ridotta (o normale o strategica) come in Figura 1 e in che senso la forma ridotta di un gioco può essere risolta. Possiamo pensare ad un gioco dinamico come una serie di decisioni separate; io faccio una prima mossa, tu rispondi, io rispondo a mia volta, e così avanti. Vedremo più tardi che può essere rappresentato da un albero in forma estesa. Possiamo descrivere lo stesso gioco in termini di una sola mossa da ogni lato. La mossa consiste della scelta di una strategia che descrive quello che il giocatore farà in ogni situazione. La strategia è una descrizione completa di come io risponderei a qualsiasi sequenza di mosse; che osservo, fatte dal mio opponente ed a qualsiasi sequenza di eventi casuali, come il lancio dei dadi. Così una possibile strategia sarebbe cominciare da una data mossa, poi se la mossa dell opponente è x rispondere y, se la mossa dell opponente è invece z rispondere w, e così via Dato che una strategia determina tutto quanto un giocatore farà in ogni situazione, giocare qualsiasi gioco consiste semplicemente nello scegliere le strategie. La decisione della strategia è simultanea; anche se ogni giocatore può osservare le mosse del suo opponente quando avvengono, perché non può leggere la mente del suo opponente. Una volta che le due strategie sono scelte, tutto è determinato. Possiamo immaginare i due giocatori che scrivono le loro strategie per poi sedere a guardare come i computer le eseguono. Considerato in questi termini, ogni gioco con due persone può essere rappresentato dalla matrice dei payoff, anche se richiede un numero enorme di righe e colonne. Ogni riga rappresenta una strategia che P può scegliere; ogni colonna rappresenta una strategia che A può scegliere. La cella all intersezione mostra l outcome di quel particolare paio di strategie. Se il gioco contiene elementi casuali, la cella contiene l outcome atteso, il payoff medio di molte ripetizioni del gioco. Nella teoria dei giochi, questo modo di descrivere un gioco è chiamato forma strategica o ridotta. Ci sia ora consentito discutere il concetto di soluzione dato dall Equilibrio di Nash, una generalizzazione di un idea sviluppata dall economista/matematico francese Cournot all inizio del diciannovesimo secolo. Si consideri un gioco ripetuto un numero di volte. Ogni giocatore osserva quello che gli altri giocatori stanno facendo ed altera di conseguenza il suo modo di giocare. Così facendo, agisce assumendo che quello che fa lui non incide su quello che fanno gli altri. Non prendendo tali effetti in considerazione continua a cambiare il suo gioco finché nessun ulteriore cambiamento può migliorare il risultato. Tutti i giocatori fanno lo stesso e l equilibrio si raggiunge quando ogni giocatore ha scelto la strategia per lui ottima, date le

16 15 strategie che seguono gli altri giocatori. Con questa soluzione, chiamata equilibrio di Nash, John Nash generalizza quanto Antoine Cournot aveva già compreso più di cento anni fa. Tutti i giocatori sanno quello che loro e gli altri dovrebbero fare, i.e. per tutti è evidente come giocare. I comportamenti sono evidenti ed ogni singolo giocatore crede sia chiaro agli altri; così sceglie la migliore risposta a quanto è ovvio che gli altri stiano facendo. In pratica, o parlano prima, venendo ad un accordo credibilmente auto-realizzantesi, o sperimentano, o seguono regole sociali di condotta. L insieme degli equilibri di Nash raccoglie tutti gli accordi credibilmente auto-realizzantisi e le convenzioni stabili che è possibile perfezionare. Si consideri un attività come guidare l auto e si ipotizzi che scegliere una strategia consista nel decidere su quale lato della strada guidare. La popolazione italiana ha raggiunto l equilibrio di Nash con ognuno che guida sulla destra (D, D). La situazione è stabile, e sarebbe anche stabile senza polizia del traffico a controllare. Dato che ognuno guida sulla destra, ogni giocatore che guida sulla sinistra sosterrebbe costi molto elevati (così li imporrebbe agli altri); così è nel suo interesse guidare sulla destra. In Inghilterra, ognuno guida invece sulla sinistra (S, S). Per la stessa ragione anche questo è un equilibrio di Nash. Può essere subottimale poiché, dato che negli altri paesi si guida sulla destra, le auto devono essere fabbricate con volanti sul lato destro solo per il mercato inglese. Inoltre i turisti stranieri, che guidano in Inghilterra, possono andare automaticamente fuori mano e scoprire il loro errore solo quando incontrano di fronte un conducente inglese. Se tutti i conducenti inglesi cambiassero, tenendo la destra, tutti starebbero meglio Ma un singolo conducente inglese che tenta di cambiare di sua propria iniziativa starebbe molto peggio. L equilibrio di Nash è quindi stabile rispetto ai comportamenti individuali anche quando conduce a risultati sub-ottimali. Non è stabile contro l azione congiunta; e.g. un paese che cambia e guida sulla destra, i.e. quando ognuno cambia la sua strategia allo stesso tempo. L equilibrio di Nash non è, in generale, unico; guidare tutti sulla sinistra o sulla destra sono entrambe equilibri. Parte della sua definizione è che la mia strategia è ottimale per me, date le strategie degli altri giocatori; io agisco come se quello che faccio non abbia effetto su quello che gli altri fanno. Ma le mie azioni incidono sugli altri giocatori che rispondono seguendo a loro volta la strategia di rispondere in modo ottimo. Inoltre, la scelta di una variabile strategica diversa genera equilibri di Nash diversi per giochi altrimenti identici. Così anche le regole del gioco dovrebbero essere state concordate. Ritornando ai giochi 1C, 1D ed 1E, si può facilmente mostrare che (a, a) e (b, b) sono equilibri di Nash nel gioco in figura 1C. Ciò vero anche per il gioco in figura 1D. Invece, il gioco in figura 1E non ha un equilibrio nelle strategie pure se l altro è colomba è meglio essere falco e viceversa. Gli equilibri di Nash non coprono tutto quanto un buon giocatore farebbe. Si ignorano esplicitamente approcci del tipo rubare le caramelle al bambino, i.e. le strategie che funzionano male contro opponenti intelligenti ma sfruttano gli errori di quelli meno capaci. È difficile includerle, essendo quasi impossibile definire le strategie migliori contro molti opponenti diversi e i molti errori diversi che questi farebbero. Sembra ragionevole perciò definire una soluzione come il modo corretto di giocare contro un opponente che gioca correttamente.

17 16 Fig. 2A Fig. 2B Fig. 2C P A a P A b a b a b a - 5 ; 5 5 ; - 5 A a A b P a P b b 5 ; ; 5 a b a b - 5 ; 5 5 ; -5 5 ; -5-5 ; 5 5 ; -5-5; 5 a b a b L esistenza di una soluzione ovvia per un gioco dipende dalla sua forma ridotta. Ognuno dei giochi in forma ridotta, mostrati in figura 1, ha una soluzione (salvo la 1E). In ogni caso, il gioco in Figura 2A, che non ha soluzione in termini di strategie pure ha in ogni caso una soluzione in termini di strategia mista. Una strategia mista è un mix di probabilità delle strategie pure, e.g. un 50% di probabilità di a, un 50% di probabilità di b per Paula, e per Alberto. Un giocatore che segue la strategia mista perderà, in media zero, chiunque sia il suo opponente. Un giocatore il cui opponente segue questa strategia vincerà, in media zero, qualunque cosa che faccia. Quindi la soluzione di von Neumann è per ogni giocatore adottare quella strategia. Non solo è una soluzione ma è l unica soluzione; se P segue una strategia pura (diciamo a) più frequentemente che l altra, il suo opponente A può vincere più spesso di quanto perde scegliendo sempre la strategia pura (a) che vince contro quella. 2B. Forma estesa, giochi dinamici ed equilibri di Nash perfetti. La figura 2B rappresenta lo stesso gioco in figura 2A in forma estesa. In questo caso l attenzione è rivolta alla sequenza nel tempo di azioni ed informazioni disponibili ai giocatori quando scelgono ogni loro azione. In un gioco esteso abbiamo una serie di nodi di decisionali contrassegnati dai nomi dei giocatori la cui mossa viene quando si è giunti a quella posizione. All inizio del gioco nel nodo iniziale P i due segmenti contrassegnati con a e b indicano le alternative tra le quali il giocatore P deve decidere (fra a e b). In generale, queste linee possono puntare ad un altro nodo (Aa ed Ab) o ad un vettore di numeri (il payoff) quando quella mossa finisce il gioco. In figura 2B dopo la mossa iniziale di P, viene la mossa del giocatore A che fa la sua scelta fra a e b, senza conoscere la decisione di P come indicato dall ellisse, chiamato set informativo che contiene i nodi Aa ed Ab. Questo vuol dire che A non sa in quale dei due nodi è quando seleziona la sua risposta. La sua risposta conclude il gioco. Un gioco in forma estesa è come un albero, che comincia al nodo iniziale e si ramifica fino a giungere ai payoffs. Infatti, ogni nodo seguente ha precisamente un segmento (una mossa) che punta a lui ed almeno uno che porta fuori (un azione disponibile al giocatore). Conseguentemente da ogni nodo c è, un solo percorso verso il nodo iniziale ed è impossibile durante il gioco ritornare in ciclo indietro allo stesso nodo. Nodi appartenenti allo stesso set informativo hanno lo stesso insieme di scelte e giocatori. Per ogni gioco in forma estesa esiste un corrispondente gioco in forma strategica, ma ad un gioco in forma strategica possono corrispondere molti giochi in forma estesa. Scambiando l ordine cronologico noi possiamo consentire ad A di scegliere prima come in figura 2C. Rimuovendo l ellisse presentiamo un gioco dinamico in figura 3A, in cui A apprende la mossa di P. Questo gioco non corrisponde a 2A e ha soluzioni diverse. -5 ; 5 5 ; -5

18 17 Possiamo rappresentare il gioco in figura 3A in forma normale come in figura 3C una volta che definiamo le possibili strategie di Alberto come segue: 1 = A sceglie a sempre, 2 = A sceglie b sempre, 3 = A sceglie a se P sceglie a e b se P sceglie b, 4 = A sceglie b se P sceglie a e a se P sceglie b. La strategia 3, i.e. A sceglie b se P sceglie a ed a se P sceglie b è la strategia dominante per Alberto. Paula è indifferente tra scegliere a o b, da adesso (a, 3) e (b, 3) è le due soluzioni di strategia pure. Ogni miscela di probabilità delle strategie pure (e.g. una 50% opportunità di a ed una 50% opportunità di b) per Paula è anche un componente con la strategia 3 di Alberto di una soluzione. Ora si cambino i payoff e si consideri il gioco di Stackelberg in figura 3B, dove P ed A sono gli unici produttori in un mercato che si confronta con una funzione di domanda decrescente. P si può vincolare (committment) al suo livello di produzione (a=alto, b=basso) prima che A abbia l opportunità di agire. A osserva la produzione di P e poi decide che quantità produrre (a o b). Si supponga che prima che P muova A l avverte dicendo: io sceglierò a qualunque cosa tu scegli. Se P crede questa minaccia, dovrebbe scegliere b per ottenere 2 invece di -3. La risposta ottimale alla scelta di a da parte di P è davvero b. a P b Fig. 3A Fig. 3B Fig. 3C a P b P A A a A b A a A b a 5; 2-3; -3 5; 2-3; -3 a b a b - 5 ; 5 5 ; -5 5 ; -5-5 ; 5-3 ; -3 5 ; 2 a b a b 2 ; 5 4 ; 4 b 4; 4 2; 5 2; 5 4; 4 Se P trova la minaccia credibile e risponde ottimamente ad essa, P sarà felice di giocare b. Ma è una minaccia incredibile, se P sceglie a, A fronteggia una perdita se mantiene la sua minaccia e sceglie quindi b in assenza di altre considerazioni. Una minaccia di agire differentemente dalla risposta ottima non è credibile, dato che la mossa di P è già eseguita. Possiamo avere anche promesse incredibili. Si supponga che A dice: io sceglierò a se scegli a e b se scegli b. Se P ci crede che ed agisce di conseguenza, A ha un incentivo a rompere la sua promessa e scegliere a una volta che P ha scelto b. Di conseguenza, P non lo crede senza avere delle garanzie ed opta per a. Anche in questo caso il gioco in forma normale è come in figura 3C, una volta definite le strategie di Alberto come segue: 1 = A sceglie b sempre, 2 = A sceglie a sempre, 3 = A sceglie b se P sceglie a ed a se P sceglie b, 4 = A sceglie a se P sceglie a e b se P sceglie b Quando P gioca a, A dovrebbe rispondere ottimamente, giocando b, i.e. se è giunto al nodo Aa il resto del gioco (sottogioco con nodo iniziale Aa) sarà giocato nel modo standard, i.e. agendo nel migliore interesse, date le circostanze. Quindi, (a, b) è l unico Equilibrio Perfetto nei Sottogiochi (Subgame Perfect), i.e. rappresenta un equilibrio di Nash in ogni sottogioco (anche in quelli che non sono raggiunti in equilibrio). Tutti i P.S.E. sono anche equilibri di Nash, viceversa non tutti gli equilibri di Nash sono necessariamente P.S.E. Infatti, (b, a) non è un P.S.E. perché non è un equilibrio nel sottogioco con nodo iniziale Aa.

19 18 3. Un applicazione economica: l oligopolio. A. L oligopolio e l Equilibrio di Nash In economia, abbiamo molte applicazioni della teoria dei giochi, come il caso dell oligopolio, una struttura di mercato intermedia tra monopolio e concorrenza perfetta. L oligopolio esiste quando c è un piccolo numero di imprese che opera in un solo mercato. Una ragione per questa situazione è che la dimensione ottima d impresa (in corrispondenza al quale il costo medio è minimizzato) è così grande che c è solamente posto per alcune imprese; questo corrisponde alle curve del costo mostrate in figura 4. La situazione differisce dalla competizione perfetta perché ogni impresa è abbastanza grande per avere un effetto significativo sul prezzo del mercato. Differisce dal monopolio perché c è più di un impresa. Le imprese sono abbastanza poche ed i loro prodotti abbastanza simili che ognuno deve prendere in considerazione i comportamenti di tutti gli altri. Gli oligopolisti non hanno bisogno di preoccuparsi dei comportamenti strategici dei clienti così come i monopolisti. Il problema sorge con i concorrenti. Tutte le imprese stanno meglio se tengono bassa la loro produzione ed alti i prezzi, ma ogni singola impresa può poi migliorare la sua situazione aumentando la produzione per approfittare del prezzo alto. Si può immaginare almeno tre diversi risultati. Le imprese si comportano indipendentemente, tentando ognuna di massimizzare il proprio profitto tenendo conto, in qualche modo, degli effetti di quello che fanno sulle altre imprese. Può emergere un leader e le altre imprese si comportano come follower. In giochi ripetuti è probabile che le imprese cooperino, coordinando i loro comportamenti quasi fossero un monopolio. In un gioco statico, le imprese in un industria oligopolistica possono parlare di accordo cooperativo, anche se, come nel dilemma del prigioniero, ognuno viola l accordo cio è nel suo interesse. In giochi una tantum, gli accordi non valgono perché, anche se possono essere contrattati, non possono essere resi effettivi. Ogni impresa massimizza indipendentemente il suo profitto ed il risultato è un equilibrio di Nash. Ogni giocatore prende come dato quanto stanno facendo gli altri giocatori decidendo il da fare per massimizzare i guadagni. Ma le imprese fronteggiano una curva di domanda inclinata negativamente. È cruciale definire attentamente una strategia, dato che definizioni diverse (quantità o prezzo) portano a conclusioni diverse. Ogni impresa può decidere quanto vendere e lasciare che il mercato determini il prezzo; o può scegliere il suo prezzo e lasciare che il mercato determini la quantità. Considerare un duopolio, ci permette di trovare l equilibrio di Nash assumendo che la strategia di un impresa sia definita dalla quantità che produce, ovverosia. il caso originalmente analizzato da Cournot. B. Competizione a là Cournot, con strategie basate sulla quantità. Date le quantità prodotte dalle altre imprese, ogni impresa calcola quanto dovrebbe produrre per massimizzare il proprio profitto. La figura 4 mostra questa situazione dal punto di vista dell impresa 1. D è la curva della domanda per l industria intera. Q 2 è la produzione delle altre imprese nell industria (un solo competitore in duopolio). Mostra anche il costo marginale (MC, definito come l inclinazione del costo totale, ovvero il costo di aumentare di un unità la quantità) ed il costo medio (AC, definito come rapporto tra costo totale e quantità)

20 19 dell impresa 1. Qualsiasi prezzo l impresa decide di addebitare, ha di fronte la curva della domanda residuale (domanda totale meno Q 2 ) D 1 = D - Q 2. Per massimizzare i profitti l impresa calcola il suo reddito marginale dalla curva di domanda residuale D 1 nel punto al quale taglia il costo marginale, mentre producendo quantità Q* 1, come in monopolio, purché per quella quantità non sia in perdita. I profitti sono positivi se il costo medio AC è più piccolo del prezzo P. Se le imprese sono identiche, troveranno la stessa produzione che massimizza il profitto. In un equilibrio di Nash con due imprese, ogni impresa produce Q* 1, con una produzione totale Q = 2Q* 1. Con entrata libera se il prezzo è sopra al costo medio abbiamo profitti positivi e nuove imprese entrano nel mercato. In equilibrio il costo medio eguaglia il reddito marginale ed il profitto è approssimativamente uguale a zero, come in Figura 4. Fig. 4 Q 2 Fig. 5 MC 1 R 1 P 1 Q 2 AC 1 D Q * 2 E R 2 MR 1 D 1 Q 1 Q Q 1 * Q 1 L equilibrio di Nash può essere risolto usando le curve di reazione, che mostrano quale strategia sceglie un giocatore, data la strategia dell altro. In figura 4, D 1 è la curva della domanda residuale per l impresa 1, dato che l impresa 2 sta producendo una quantità Q 2. Noi costruiamo R 1 in figura 5 come la curva di reazione per l impresa 1 ripetendo il calcolo di Q 1 per valori diversi di Q 2. Essa mostra, quanto l impresa 1 produrrà per ogni quantità che l impresa 2 sceglie di produrre. E è il punto calcolato utilizzando la costruzione in figura 4. La stessa analisi può essere usata per generare R 2, la funzione della reazione che mostra quanto l impresa 2 produrrà in corrispondenza ad ogni quantità Q 1 che l impresa 1 produce. Assumendo che le due imprese abbiano le stesse curve di costo, le loro curve di reazione sono simmetriche. L equilibrio di Nash si raggiunge nel punto E, dove ogni impresa produce la quantità ottima, data la quantità prodotta dall altra impresa. Ciò accade solamente nel punto E, dove le curve di reazione si intersecano, poiché solamente in tal punto le strategie sono consistenti, ciascuna ottima rispetto all altra. L approccio delle curve di reazione si applica ad una serie di problemi. C. Competizione a là Bertrand: con strategie basate sul prezzo. Riprendiamo ora la nostra analisi usando la variabile strategica prezzo. Ogni impresa osserva i prezzi delle altre imprese selezionano il prezzo che massimizza il suo profitto. Se le imprese producono beni identici, conta solo il prezzo più basso P 1 (il più basso dei prezzi delle altre imprese). In figura 6 è rappresentata la situazione dell impresa 1, che in questa situazione ha tre alternative, come mostrato dalla curva di domanda D 1. Può selezionare un prezzo più alto e non vendere niente. Può scegliere P l e vendere Q(P l )/N se ci sono N