ECONOMIA DELLE ASSICURAZIONI

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO BICOCCA FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE Corso di laurea in Scienze Statistiche ed Economiche Corso in ECONOMIA DELLE ASSICURAZIONI Professoressa Chiara Parrini

2 Considerazioni generali sulle imprese di assicurazione (1/2) L art del Codice Civile definisce il contratto di assicurazione come il contratto con il quale l assicuratore, l verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana. Assicurazioni contro i danni Assicurazioni sulla vita

3 Considerazioni generali sulle imprese di assicurazione (2/2) Assicurazioni contro i danni Assicurazioni sulla vita - Le prestazioni sono prevalentemente a carattere risarcitorio - Le prestazioni sono importi prefissati (o comunque determinabili in modo prefissato) - Breve durata contrattuale (in genere un anno) - Medio/lunga durata contrattuale (ad esempio alcune fanno riferimento all intera durata residua della vita umana) - Ripetibilità dell evento dannoso - Non ripetibilità dell evento

4 Le assicurazioni contro i danni (1/2) CLASSIFICAZIONE Con riferimento alle coperture che prevedono una prestazione avente carattere di risarcimento assicurazioni di danni a beni di proprietà (ad esempio rischio credito, furto, incendio e trasporti ) assicurazioni di responsabilità civile (ad esempio l assicurazione di responsabilità civile autoveicoli)

5 Le assicurazioni contro i danni (2/2) CLASSIFICAZIONE Nelle assicurazioni contro i danni si collocano inoltre alcune coperture riguardanti i danni alla persona Rischio infurtunio Rischio malattia Le assicurazioni contro i danni alla persona possono non avere carattere di risarcimento e prevedere, analogamente alle assicurazioni sulla vita, una prestazione di importo prefissato in conseguenza di un infortunio o di una malattia.

6 Rami Danni in Italia (decreto legislativo 17 marzo 1995, n. 175) (1) infortuni (compresi infortuni sul lavoro e malattie professionali); (2) malattia; (3) corpi di veicoli terrestri (esclusi quelli ferroviari); (4) corpi di veicoli ferroviari; (5) corpi di veicoli aerei; (6) corpi di veicoli marittimi, lacustri e fluviali; (7) merci trasportate (compresi merci, bagagli ed ogni altro bene); (8) incendio ed elementi naturali (in particolare, i danni causati da un incendio, da un esplosione e da una tempesta); (9) altri danni ai beni (in particolare, i danni causati dalla grandine, dal gelo e dal furto); (10) responsabilità civile autoveicoli terrestri; (11) responsabilità civile aeromobili; (12) responsabilità civile veicoli marittimi, lacustri e fluviali; (13) responsabilità civile generale; (14) credito (compresi credito all esportazione, vendite a rate, credito agricolo e perdite patrimoniali derivanti da insolvenze); (15) cauzione (diretta o indiretta); (16) perdite pecuniarie di vario genere (in particolare, i rischi relativi all occupazione e la perdita di fitti o di redditi); (17) tutela giudiziaria; (18) assistenza.

7 Le assicurazioni sulla durata vita Contratto mediante il quale l assicurato versa, anticipatamente, uno o più premi, affinché la Compagnia di Assicurazione si impegni a pagare uno o più capitali, al verificarsi di eventi legati alla sopravvivenza o alla premorienza di un individuo o gruppo di individui. Nella polizza si individuano: Assicuratore: impresa (autorizzata) che si impegna ad erogare il capitale assicurato al verificarsi dell evento/i considerati, Contraente: soggetto che stipula il contratto e paga il premio, Assicurato/i: testa/e a cui si riferiscono gli eventi assicurati, Beneficiario: soggetto a cui verranno pagate le somme assicurate.

8 Le assicurazioni sulla durata vita CLASSIFICAZIONE DEI CONTRATTI Una prima classificazione di base è prevista dal decreto legislativo 174 del 1995 il quale classifica i contratti in 6 rami: I - Le assicurazioni sulla durata della vita umana. II - Le assicurazioni di nuzialità, le assicurazioni di natalità. III - Le assicurazioni di cui ai punti I e II connesse con fondi di investimento. IV - L'assicurazione malattia di cui all'art. 1, numero 1, lettera d), della direttiva CEE n. 79/267 del 5 marzo V - Le operazioni di capitalizzazione di cui all'art. 40 del presente decreto. VI - Le operazioni di gestione di fondi collettivi costituiti per l'erogazione di prestazioni in caso di morte, in caso di vita o in caso di cessazione o riduzione dell'attività lavorativa.

9 Le assicurazioni sulla durata vita I TIPI DI POLIZZA Polizze TRADIZIONALI: Prestazioni e premi monetariamente predeterminati (livelli costanti o variabili in modo prefissato) alla stipulazione del contratto. Polizze FLESSIBILI: non c è predeterminazione monetaria degli importi assicurati, si fissano delle regole di determinazione degli stessi.

10 Le assicurazioni sulla durata vita LE POLIZZE TRADIZIONALI Assicurazione di capitale in caso di vita: Capitale differito Rendite in caso di vita: Rendita vitalizia: Anticipata/posticipata Temporanea Differita Frazionata Con rate in progressione aritmetica Assicurazioni di capitale in caso di morte: Assicurazione a vita intera Assicurazione temporanea e differita Assicurazione di annualità Assicurazioni miste: Mista semplice Mista doppia Mista a capitale raddoppiato Semi-mista

11 Le assicurazioni sulla durata vita LE POLIZZE FLESSIBILI (1/3) Tipi di flessibilità nelle prestazioni Connessione ad indicatori economico-finanziari interni o esterni alla Compagnia: Rendimento delle investimenti collegati alle riserve matematiche, Inflazione, Indici di borsa. Opportunità fornita al contraente di variare le condizioni contrattuali: Livello dei premi, Sospensione del pagamento dei premi, Eventuali prelevamenti di quote della riserva matematica.

12 Le assicurazioni sulla durata vita LE POLIZZE FLESSIBILI (2/3) MOTIVAZIONI Inflazione Rendimento investimenti/tasso tecnico Partecipazione degli assicurati all utile della Compagnia Concorrenza sul mercato finanziario ALCUNI ESEMPI Assicurazioni indicizzate: Assicurazioni rivalutabili: Garantisce la protezione totale del potere d acquisto delle somme assicurate Viene retrocesso agli assicurati parte dell utile finanziario della Compagnia dietro adeguamento del premio

13 Le assicurazioni sulla durata vita LE POLIZZE FLESSIBILI (3/3) UNIT e INDEX LINKED Forme assicurative caratterizzate da una diretta dipendenza dalle prestazioni al valore di un fondo o di un indice azionario o altro valore di riferimento. POLIZZA UNIT-LINKED POLIZZA INDEX-LINKED

14 Le assicurazioni contro i danni Condizioni Contrattuali di Copertura (1/4) Assicurazioni di danni a beni di proprietà V: massimo danno possibile, distribuzione totale del bene. V : valore del bene all epoca di stipulazione del contratto. > V = V < L: massimo danno probabile ( maximum( probable loss ) estremo superiore degli importi ai quali viene soggettivamente attribuita una probabilità positiva di verificarsi. L V

15 Le assicurazioni contro i danni Condizioni Contrattuali di Copertura (2/4) Assicurazioni di danni a beni di proprietà Copertura totale l assicurato decide di assicurare il bene per l intero valore, V la scelta è fatta dall assicurato in base allo stato di informazione a sua disposizione all epoca di stipulazione del contratto Copertura parziale l assicurato decide di assicurare il bene per un valore, V', inferiore all intero valore Sottoassicurazione ad esempio il massimo danno probabile

16 Le assicurazioni contro i danni Condizioni Contrattuali di Copertura (3/4) Assicurazioni di responsabilità civile Non essendo specificato un bene di riferimento, non risulta individuabile un valore in grado di rappresentare il massimo danno possibile 1) assicurazione a garanzia illimitata risarcimento del danno senza alcuna limitazione Copertura totale del rischio 2) assicurazione con massimale di garanzia risarcimento del danno stabilito nei limiti di un importo, M, prefissato, denominato massimale di garanzia Copertura parziale del rischio

17 Le assicurazioni contro i danni Condizioni Contrattuali di Copertura (4/4) Assicurazioni di responsabilità civile L introduzione del massimale di garanzia (eventualmente posto eguale al massimo danno probabile) si prefigge di contenere, entro un limite ragionevole, l esposizione monetaria al rischio dell assicuratore. Obiettivo importante per il rapporto assicurativo, in assenza di un valore rappresentativo del massimo danno possibile.

18 Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura FRANCHIGIA (1/2) Clausola frequentemente utilizzata sia nelle assicurazioni di danni a beni di proprietà che nelle assicurazioni di responsabilità civile Franchigia di valore di importo f i danni di importo non superiore a f non vengano risarciti, mentre i danni di importo superiore a f, vengano risarciti: Parzialmente, per l eccedenza rispetto ad f, FRANCHIGIA ASSOLUTA Integralmente, FRANCHIGIA RELATIVA

19 Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura FRANCHIGIA (2/2) Franchigia di valore Nell assicurazione di danni a beni di proprietà, risulta frequente esprimere la franchigia in percentuale del valore del bene assicurato (soprattutto nelle assicurazioni contro il rischio di incendio e nelle assicurazioni delle merci trasportate). Franchigia temporale generalmente espressa in numero di giorni Una franchigia di durata t (giorni) indica il fissato numero di giorni, a partire dalla data di accadimento del sinistro, durante i quali la garanzia non è operante. (assicurazioni contro il rischio di incendio, assicurazioni dei danni indiretti da guasti alle macchine, assicurazioni sulla salute)

20 Clausola utilizzata soprattutto nelle coperture contro il rischio di insolvenza dei crediti commerciali OSSERVAZIONE: Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura SCOPERTO Viene fissata un aliquota ξ (0 < ξ < 1) del rischio (quindi del risarcimento relativo ad un sinistro) posta a carico dell assicurato In un assicurazione di danni a beni di proprietà, la clausola di scoperto corrisponde formalmente ad una copertura assicurativa a valore parziale. In questo caso, però, la situazione di sottoassicurazione deriva da una decisione dell assicuratore e non da una scelta dell assicurato

21 Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura OBIETTIVI 1. L obiettivo prioritario è ridurre il valore atteso dei risarcimenti 2. La franchigia, eliminando i piccoli sinistri ( small claims ), generalmente numerosi, è in grado di realizzare una riduzione delle spese di gestione connesse alla liquidazione dei sinistri Sostanzialmente le clausole contrattuali producono una (talvolta rilevante) diminuzione del prezzo della copertura assicurativa

22 Le assicurazioni contro i danni Clausole Contrattuali di Copertura EFFETTO PSICOLOGICO Le clausole contrattuali corresponsabilizzano l assicurato sollecitandolo ad adottare tutte le precauzioni possibili ai fini della prevenzione dei sinistri riducono il Fenomeno del Moral Hazard rischio, per l assicuratore, di un aumento della sinistrosità derivante da un imprudente comportamento dell assicurato.

23 Le assicurazioni contro i danni ULTERIORI CLAUSOLE CONTRATTUALI Assicurazioni sulla salute: rischio infortunio e rischio malattia a) Periodo di carenza iniziale ( waiting period ) arco di tempo, susseguente la stipula del contratto, che esclude dalla copertura assicurativa le malattie che in esso si manifestano Contiene i costi e contrasta, almeno parzialmente, gli effetti del fenomeno di antiselezione b) Periodo di qualificazione (in genere breve: qualche settimana) arco di tempo, a partire dal verificarsi della malattia o dall insorgere dell incapacità lavorativa, necessario affinché l assicurato sia titolato a percepire il beneficio Tale periodo opera come franchigia relativa. Può essere incluso nel periodo di franchigia (rendite o diarie)

24 LE ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI La base tecnica del rischio

25 Sinistri, danni e risarcimenti (1/2) Nel periodo di copertura, in genere un anno, il contratto di assicurazione è colpito da un numero aleatorio, N, di sinistri. Ciascun sinistro determina un danno di importo aleatorio. Sia Z i il danno derivante dall i-esimo (i=1,2, ) sinistro in ordine cronologico. N: variabile aleatoria che rappresenta il numero di sinistri, le cui possibili determinazioni sono i numeri naturali Z i : variabile aleatoria che rappresenta il danno relativo all i-esimo sinistro, le cui possibili determinazioni sono i numeri reali

26 Sinistri, danni e risarcimenti (2/2) In corrispondenza del danno Z i l assicuratore effettua, a beneficio dell assicurato, il pagamento dell importo aleatorio Y, i denominato risarcimento. Relazione tra il Danno ed il Risarcimento Y i = ϕ ( Z i ) Funzione di risarcimento: rappresentativa delle condizioni contrattuali di copertura (ovviamente 0 Y i Z i )

27 Funzione di risarcimento (1/6) ESEMPIO (1/6) Y = Z Funzione di risarcimento rappresentativa di una copertura che garantisce il risarcimento dell intero importo del danno determinato da un sinistro copertura a valore intero, nel caso di un assicurazione di danni a beni di proprietà copertura a garanzia illimitata, nel caso di un assicurazione di responsabilità civile

28 Funzione di risarcimento (2/6) ESEMPIO (2/6) Y Z = M se se Z M Z > M Funzione di risarcimento rappresentativa di una copertura che garantisce il risarcimento del danno nei limiti di un importo prefissato M o, equivalente mente Y = min (Z, M), copertura a primo rischio assoluto, nel caso di un assicurazione di danni a beni di proprietà copertura con massimale di garanzia, nel caso di un assicurazione di responsabilità civile

29 Funzione di risarcimento (3/6) ESEMPIO (3/6) Y 0 = Z f se se Z Z > f f o, anche Y = max (0, Z f ), Funzione di risarcimento rappresentativa, sia nel caso di un assicurazione di danni a beni di proprietà sia nel caso di un assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con franchigia assoluta (di importo f).

30 Funzione di risarcimento (4/6) ESEMPIO (4/6) Y = 0 Z se se Z Z > f f Funzione di risarcimento rappresentativa, sia nel caso di un assicurazione di danni a beni di proprietà sia nel caso di un assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con franchigia relativa (di importo f).

31 Funzione di risarcimento (5/6) ESEMPIO (5/6) 0 se Z f Y = Z f se f < Z M o, Y = min[ max (0, Z f ), M f ], M f se Z > M Funzione di risarcimento rappresentativa di una copertura che, in presenza di una franchigia assoluta (di importo f), garantisce il risarcimento del danno nei limiti di un importo prefissato M copertura a primo rischio assoluto con franchigia assoluta, nel caso di un assicurazione di danni a beni di proprietà copertura con massimale di garanzia e franchigia assoluta, nel caso di un assicurazione di responsabilità civile.

32 Funzione di risarcimento (6/6) ESEMPIO (6/6) Y = (1 ξ) Z, con 0 < ξ < 1 Funzione di risarcimento rappresentativa, sia nel caso di un assicurazione di danni a beni di proprietà sia nel caso di un assicurazione di responsabilità civile, di una copertura con scoperto (di aliquota ξ).

33 Il risarcimento globale X = Y 1 + Y Y N se se N N = 0 1 o, anche, X N i= 0 = Y, dove Y 0 è l importo certo nullo. i X: variabile aleatoria che rappresenta il risarcimento globale, le cui possibili determinazioni sono i numeri reali non negativi. NOTA: Si evidenzia che è trascurata la componente finanziaria relativa alla diversa collocazione temporale dei sinistri e dei conseguenti risarcimenti posti a carico dell assicuratore. Ciò si giustifica con l usuale brevità del periodo di copertura.

34 La Base Tecnica del Rischio (1/7) IPOTESI (1/3) Si consideri un portafoglio di contratti di assicurazione riferiti ad un medesimo tipo di rischio IPOTESI: 1. I contratti siano tutti contemporaneamente stipulati 2. I contratti siano contraddistinti da un eguale periodo di copertura 3. Il portafoglio sia composto da rischi analoghi, con riferimento: 1) alle caratteristiche del rischio adeguatamente valutabili, all epoca di stipulazione del contratto, da parte dell assicuratore; 2) alle condizioni contrattuali di copertura 3) ai valori monetari di esposizione al rischio (ad esempio i valori dei beni assicurati o i massimali di garanzia)

35 La Base Tecnica del Rischio (2/7) IPOTESI (2/3) In tali ipotesi i rischi del portafoglio sono tra loro : -qualitativamente e quantitativamente omogenei rispetto ai suddetti elementi ; -eterogenei rispetto ad eventuali caratteristiche non adeguatamente valutabili all epoca di stipulazione del contratto (ad esempio, nell assicurazione di responsabilità civile autoveicoli: il comportamento alla guida, la conoscenza del codice, i chilometri annui percorsi,..)

36 La Base Tecnica del Rischio (3/7) IPOTESI (3/3) Si scelga a caso un rischio nel portafoglio e sia X = N i= 0 il risarcimento globale a carico dell'assicuratore, con Y i = φ(z i ). ULTERIORI IPOTESI (semplificatrici della realtà): 1. il numero di sinistri, N, e il danno Z i (e quindi, il risarcimento Y i ) relativo all i-esimo (i=0,1, ; ; Z 0 0) sinistro, in ordine cronologico, siano tra loro indipendenti; 2. per ogni determinazione k (k (k 0) (e quindi, i risarcimenti Y,Y 1 2,,Y k identicamente distribuiti Y i, 0) della v.a. N, i danni Z 1, Z 2,, Z k ) siano tra loro indipendenti ed

37 La Base Tecnica del Rischio (4/7) FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DEL Indicato con: RISARCIMENTO GLOBALE -F Z (rispettivamente, F Y ) la funzione di ripartizione del danno Z (rispettivamente, del risarcimento Y) -F N la funzione di ripartizione del numero di sinistri N funzione di ripartizione del risarcimento globale F X ( x) = + k= 0 p k F k* Y ( x), per ogni x 0 p k k = Pr{N = k} k* FY ( x) = Pr Yi x i= 0

38 La Base Tecnica del Rischio (5/7) CONVOLUZIONE Convoluzione k-esima di F Y F k* Y ( x) k = Pr i= 0 Y i x, con F Y 0* = 1 per ogni x 0 èla funzione di ripartizione della somma di k importi aleatori non negativi, indipendenti e identicamente distribuiti

39 La Base Tecnica del Rischio (6/7) La Base Tecnica del Rischio èla distribuzione di probabilità del risarcimento globale X Le distribuzioni di probabilità del numero di sinistri N e del danno Z costituiscono la base tecnica del rischio.

40 La Base Tecnica del Rischio (7/7) FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DEL RISARCIMENTO In forza della relazione esistente tra danno e risarcimento, la funzione di ripartizione F (quindi, Y la F Y k* per k 1) è costruita a partire: dalla funzione di ripartizione del danno, F Z dalla funzione di risarcimento, φ

41 LE ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI I modelli probabilistici per le variabili aleatorie

42 La distribuzione di probabilità del numero di sinistri N: variabile aleatoria che rappresenta il numero di sinistri, le cui possibili determinazioni sono i numeri naturali Individuare i modelli probabilistici più adeguati per descrivere la distribuzione di probabilità del numero di sinistri N N è rappresentata da una distribuzione di probabilità discreta {k, p ; k = 0,1,2, } k possibili determinazioni probabilità

43 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Modelli più frequentemente adottati (1) distribuzione di Poisson; (2) distribuzione di Poisson doppia; (3) distribuzione mistura finita di Poisson; (4) distribuzione binomiale negativa; (5) distribuzione mistura di Poisson: a) modello Poisson-gamma b) modello Poisson-gaussiana inversa

44 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione di Poisson di parametro positivo λ p k = e λ k λ k! Propensione al sinistro: numero atteso di sinistri che colpiscono il rischio nel periodo di copertura PROPRIETÀ della distribuzione di Poisson la distribuzione di Poisson soddisfa la formula ricorrente p k λ = pk 1, k = 1,2,... k, con p 0 = e -λ

45 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI INCONVENIENTE della distribuzione di Poisson E(N) = var(n) = λ Mentre le usuali evidenze empiriche mostrano varianza più elevata del valor medio DISTRIBUZIONE DI POISSON DOPPIA

46 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione di Poisson doppia di parametri positivi ε, λ 1 e λ 2, con 0 < ε < 1 p k = ε e λ 1 k 1 λ k! (1 ) + ε e λ PROPRIETÀ: Valore atteso e Varianza E(N) = ε λ 1 + (1-ε) λ 2 2 k λ 2 k! Combinazione lineare di 2 variabili di Poisson var(n) = ελ 1 + (1-ε) λ 2 + ε (1-ε) ) (λ( 1 + λ 2 ) 2. E(N) Componente positiva che fa risultare la varianza superiore alla media

47 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI La distribuzione di Poisson doppia è adatta a rappresentare il numero di sinistri nell ipotesi che il portafoglio sia costituito da rischi caratterizzati da 2 diverse propensione al sinistro ESEMPIO Portafoglio costituito: - da una percentuale ε di rischi buoni (vale a dire, con propensione al sinistro λ 1 ) - da una percentuale 1-ε di rischi cattivi (con propensione al sinistro λ 2, essendo λ 2 > λ 1 ). Dove la differenza tra i primi ed i secondi è dovuta ad alcune caratteristiche del rischio non adeguatamente valutabili all epoca di stipulazione dei contratti.

48 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione mistura finita di Poisson di parametri positivi ε j e λ j (j=1,2,,m),,m), con ε. j j =1 Generalizziamo il ragionamento precedente considerando una mistura di m distribuzioni poissoniane, con m numero intero non inferiore a due = m j= 1 p k = ε1 e λ 1 k λ1 k! ε E (N) ε λ ; var(n) ε λ + ε λ. j j m e λ m λ k m k! MEDIA E VARIANZA m m m = j j j j= 1 j= 1 j= 1 j 2 Componente aggiuntiva

49 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione Binomiale Negativa di parametri positivi r e q, con 0 < q < 1 dove è r + k 1 = k p (r) k! k k, r + k 1 = q k r (1 q) k con (r) = r(r+1) (r+k k (r+k-1) e, in particolare, (r) = 1 0, PROPRIETÀ della distribuzione di Poisson la distribuzione Binomiale Negativa soddisfa la formula ricorrente (1 q)(r + k 1) k = pk, k = k p 1 1, 2,..., con p 0 = q r

50 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione Binomiale Negativa MEDIA E VARIANZA E(N) r(1 q) r(1 q) =, var(n) =. 2 q q var(n) > E(N) (Ricordiamo che 0 < q < 1)

51 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione mistura di Poisson di parametro aleatorio positivo Λ p k = + 0 p k ( λ) dfλ ( λ), p k ( λ) = Pr λ k! λ { N = k Λ = λ} = e, k Funzione peso (della mistura) funzione di ripartizione F Λ del parametro Λ,, con F (0) = 0 Λ Λ : variabile aleatoria che rappresenta la diversa propensione dei rischi presenti nel portafoglio assicurativo F Λ si prefigge di descrivere l eterogeneitl eterogeneità dei rischi del portafoglio attribuibile ad alcune caratteristiche non adeguatamente valutabili all epoca di stipulazione del contratto

52 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione mistura di Poisson OSSERVAZIONE: rappresenta l estensione, al caso continuo, della mistura finita di Poisson. MEDIA E VARIANZA E(N) = E[E(N Λ)] = E(Λ) var(n) = E(Λ) ) + var(λ) var(n) > E(N) e la differenza è data da var(λ), aspetto positivo per il modello

53 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione mistura di Poisson Scelta delle Funzione Peso: MODELLO POISSON-GAMMA Se il parametro Λ è rappresentato da una distribuzione gamma di parametri positivi α e β, con densità (per λ > 0): f Λ ( λ) = α β Γ( α) λ α 1 βλ e, Funzione gamma Γ + u 1 x ( u) = x e dx 0 integrale finito per u > 0

54 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAMMA p k = α β Γ( α) k! + 0 λ α + k 1 = k α+ k 1 β β + e 1 ( β+ 1) λ α dλ 1 β + 1 k. equivale ad assumere che il numero di sinistri, N, abbia distribuzione binomiale negativa β di parametri r e q, con r = α e q = β + 1

55 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAMMA OSSERVAZIONE Differenza tra il Modello Poisson-gamma e la distribuzione Binomiale Negativa: nel modello Poisson-gamma il numero dei sinistri (aleatorio) è rappresentato da un parametro aleatorio in grado di dare maggiore flessibilità (possibilità di scelta dei parametri della funzione peso) MEDIA E VARIANZA α α ( β + 1) E ( N ) =, var( N ) =. 2 β β

56 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI Distribuzione mistura di Poisson Scelta delle Funzione Peso: MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA Se il parametro Λ è rappresentato da una distribuzione gaussiana inversa di parametri positivi ν e ς, con densità (per λ > 0): f Λ ( λ) = ν 2πζλ 3 e ( λ ν) 2ζλ 2.

57 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA k k 1 ν (k 1+ j)! ζ p p (1 2 ) 2 k = 0 + ζ k! (k 1 j)! j! 2ν j= 0 per k=1,2, j k+ j, con p 0 = e ν (1 1+ 2ζ ) ζ.

58 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA PROPRIETÀ La distribuzione Poisson-gaussiana inversa soddisfa (per k = 2,3, ) ) la formula ricorrente ς(2k 3) ν pk = pk 1 + pk 2 (1 + 2ς)(k 1) (1 + 2ς)k(k 1) 2, con p1 = p0 1 ν + 2ς

59 La distribuzione del numero di sinistri MODELLI PROBABILISTICI MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA MEDIA E VARIANZA E(N) = ν var(n) = ν (1+ς). var(n) > E(N)

60 La distribuzione del numero di sinistri ASIMMETRIE DELLE DISTRIBUZIONI Coefficiente di asimmetria γ ( N ) = E[( N E( N )) 3/ 2 [var( N )] 3 ] Le distribuzioni del numero di sinistri osservate in pratica, seppur con differenze non trascurabili tra i vari rami danni, sono tipicamente caratterizzate da asimmetria positiva. I modelli presi in considerazione per descrivere la distribuzione del numero di sinistri presentano un coefficiente di asimmetria positivo per qualunque valore possa essere assunto dai parametri del modello

61 La distribuzione del numero di sinistri ASIMMETRIE A CONFRONTO Coefficienti di asimmetria a confronto 1 γ(n) = distribuzione di Poisson λ 2 q γ ( N ) = distribuzione Binomiale negativa r(1 q) γ(n) = ψ ( σ μ) σ μ + σ μ, distribuzione Mistura di Poisson - con μ = E(N), σ = [var(n)] ½ ; - mentre la costante reale ψ dipende dalla distribuzione del parametro Λ

62 La distribuzione del numero di sinistri ASIMMETRIE A CONFRONTO Coefficienti di asimmetria a confronto γ(n) = ψ ( σ μ) 3 2, 3 σ μ + σ μ con μ = E(N), σ = [var(n)] ½ e distribuzione Mistura di Poisson ψ = 2 MODELLO POISSON-GAMMA ψ = 3 MODELLO POISSON-GAUSSIANA INVERSA

63 La distribuzione del numero di sinistri ASIMMETRIE A CONFRONTO Il modello Poisson-gaussiana inversa presenta (a parità di valore atteso e di varianza) una maggiore asimmetria (positiva) rispetto al modello Poisson-gamma. Il modello Poisson-gaussiana inversa realizza frequentemente un migliore adattamento ai dati osservati

64 La distribuzione di probabilità del danno Z i : variabile aleatoria che rappresenta il danno relativo all i-esimo sinistro, le cui possibili determinazioni sono i numeri reali Individuare i modelli probabilistici più adeguati per descrivere la distribuzione di probabilità del danno Z IPOTESI: Z è rappresentata da una distribuzione di probabilità continua e dotata di densità f Z (x) continua per ogni x > 0

65 La distribuzione del danno MODELLI PROBABILISTICI Modelli più frequentemente adottati (1) distribuzione Esponenziale; (2) distribuzione di Weibull; (3) distribuzione Gamma; (4) distribuzione Lognormale; (5) distribuzione di Pareto: (6) distribuzione mistura di Esponenziali a) modello Esponenziale-gamma

66 La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE di parametro positivo v f Z ( x) = v e vx Reciproco del danno atteso relativo a un sinistro che colpisce il contratto nel periodo di copertura MEDIA E VARIANZA 1 E( Z) = var( Z ) = 2 v v 1

67 La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE PROPRIETÀ della distribuzione Esponenziale Proprietà di mancanza di memoria: se Z ha distribuzione esponenziale di parametro v anche (Z c) Z > c ha distribuzione esponenziale di parametro v OSSERVAZIONE: La proprietà di mancanza di memoria risulta utile in coperture assicurative caratterizzate dalla presenza di una franchigia assoluta

68 La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE DI WEIBULL di parametri positivi v e δ f Z ( x) = v δ x δ 1 e vx δ OSS: Posto δ = 1 si ha la distribuzione esponenziale di parametro v MEDIA E VARIANZA E( Z) = var( Z) = 1 v 1 v 1/ δ 1/ δ 1 Γ 1 + δ 2 Γ 1 + δ Γ δ 2

69 La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE GAMMA di parametri positivi α e v f Z ( x) = α v Γ( α) OSS: Posto α = 1 si ha la distribuzione esponenziale di parametro v MEDIA E VARIANZA x α E( Z) = v α var( Z) = 2 v α 1 e vx

70 La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE LOGNORMALE di parametri μ e σ,, con σ > 0 f Z (log x μ ) 1 2 2σ ( x) = e 2π σ x 2 MEDIA E VARIANZA 2 σ ( )( ) μ μ+ σ σ 1 E ( Z) = e var( Z) = e e

71 La distribuzione del danno LA DISTRIBUZIONE LOGNORMALE OSSERVAZIONE In base al teorema centrale del limite, la distribuzione lognormale è adatta a rappresentare il danno nell ipotesiipotesi (poco realistica) che esso sia generato da un numero sufficientemente grande di caratteristiche del rischio: - indipendenti, - identicamente distribuite - operanti in senso moltiplicativo

72 La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE DI PARETO di parametri positivi η e θ ηθ ( θ + x) η f ( ) = Z x η + 1 MEDIA E VARIANZA θ E( Z) =, se η > η var( ) = ηθ Z, se > 2 ( η 1) ( η 2) η 2

73 La distribuzione del danno LA DISTRIBUZIONE DI PARETO PROPRIETÀ della distribuzione di Pareto se Z ha distribuzione di Pareto di parametri η e θ (Z c) Z > c ha distribuzione di Pareto di parametri η e θ + c OSSERVAZIONE: Ancora una volta (analogamente al caso della distribuzione Esponenziale), è evidente l utilità di tale proprietà in coperture assicurative caratterizzate dalla presenza di una franchigia assoluta

74 La distribuzione del danno DISTRIBUZIONE MISTURA DI ESPONENZIALI di parametro aleatorio positivo V f Z + 0 ( x) = f ( x v) df ( v Z V V ) f Z V ( x v) = v e vx Funzione peso (della mistura) funzione di ripartizione F V del parametro V, con F (0) = 0 V

75 La distribuzione del danno MISTURA DI ESPONENZIALI (1/5) V : variabile aleatoria che rappresenta il reciproco del danno atteso relativo a un sinistro che colpisce il contratto nel periodo di copertura (funzione peso) si prefigge di descrivere l eterogeneitl eterogeneità dei rischi del portafoglio relativa all importo dei sinistri ed attribuibile ad alcune caratteristiche del rischio non adeguatamente valutabili all epoca di stipulazione del contratto F V

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