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1 I L R A P P O RT O F R A G R A N D E Z Z E lorenzo pantieri Giugno 2007 indice 1 Congruenza fra segmenti 1 2 Somma fra lunghezze 1 3 Multiplo e sottomultiplo di una lunghezza 2 4 Relazione di ordine (stretto) fra lunghezze 2 5 Commensurabilità fra lunghezze 2 6 Rapporto fra lunghezze incommensurabili 3 7 Classi di grandezze 4 Riferimenti bibliografici 5 Per definire il rapporto fra grandezze, cominceremo con il definire il rapporto fra segmenti (o, meglio, fra lunghezze); ciò fatto, preciseremo in quale senso un insieme di grandezze somiglia all insieme dei segmenti (ovvero all insieme delle lunghezze). Per definire il rapporto fra lunghezze occorrono, nell ordine, i seguenti concetti: (i) congruenza fra segmenti; (ii) somma fra lunghezze; (iii) multiplo e sottomultiplo di una lunghezza; (iv) relazione d ordine (stretto) fra lunghezze; (v) commensurabilità fra lunghezze. 1 congruenza fra segmenti Nei testi di Scuola Secondaria leggiamo che «due segmenti sono detti uguali, ovvero congruenti, se esiste un movimento rigido che muti il primo segmento nel secondo». Di solito non ci si preoccupa di definire il movimento rigido, in quanto la definizione assiomatica della congruenza, così come è esposta per esempio da Hilbert [1899], sarebbe troppo difficile per i ragazzi. In ogni caso viene notato che la congruenza soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: quindi la congruenza è una relazione di equivalenza che divide l insieme dei segmenti in classi (di equivalenza) ciascuna delle quali, con termine decisamente infelice, viene chiamata lunghezza. 2 somma fra lunghezze Copiamo due definizioni dal libro di Severi [1942], vecchio e celeberrimo testo per le Scuole Medie Superiori. Definizione 1: Dati sopra una retta due segmenti AB e CD, aventi un estremo in comune, o essi non hanno altri punti in comune e si dicono consecutivi, oppure ogni punto interno ad uno di essi è interno all altro. Definizione 2: Si dice somma di due segmenti AB e CD ogni segmento OF ottenuto riportando sopra una retta due segmenti consecutivi OE ed EF congruenti rispettivamente ad AB e CD. La somma dei due segmenti AB e CD si indica con il simbolo AB + CD, sicché OF = AB + CD. 1

2 Poiché i segmenti OF di cui sopra sono tutti congruenti fra loro, la somma AB + CD è individuata a meno di congruenze. Però, modernamente, si vuole che il risultato di una operazione sia univocamente individuato, sicché si preferisce definire la somma nell insieme Λ delle lunghezze. Dunque, indicando con il simbolo [AB] la classe di congruenza del segmento AB, cioè l insieme di tutti i segmenti congruenti ad AB, se AB, CD ed OF sono i segmenti considerati nella definizione 2 nella pagina precedente, porremo [OF] = [AB] + [CD]. 3 multiplo e sottomultiplo di una lunghezza Leggiamo ancora nel testo di Severi[1942]: «Si chiama multiplo di un segmento AB secondo il numero naturale n, la somma di n segmenti congruenti ad AB. Esso si indica con il simbolo nab. Se il segmento CD è congruente a nab, si dice inversamente che AB è sottomultiplo di CD secondo n». Ovviamente i più precisi fra noi parleranno di «lunghezza multipla di una lunghezza [AB] secondo un numero naturale n > 0» e la definiranno per induzione su n, ponendo { 1[AB] = [AB]; n[ab] = (n 1)[AB] + [AB], se n > 1. Notiamo anche che, data la lunghezza [AB], per ogni n > 0 esiste la lunghezza n[ab]. Invece, per dimostrare l esistenza del sottomultiplo secondo n > 0 della lunghezza [AB] si può far uso del teorema di Talete: se h = [AC è una semiretta formante un angolo acuto con la semiretta [AB, sia AD il segmento appartenente ad h e multiplo secondo n del segmento AC. La parallela per C alla retta BD incontri il segmento AB nel punto E. È ovvio allora che n[ae] = [AB]. 4 relazione di ordine (stretto) fra lunghezze Ricordiamo che una relazione si dice di ordine stretto se è antiriflessiva e transitiva. Ancora sul testo di Severi [1942] troviamo la Definizione 3: Si dice che un segmento AB è minore di un segmento CD quando AB è congruente ad una parte di CD. Si dice anche, allora, che CD è maggiore di AB. Si scrive AB < CD oppure CD > AB. Notiamo che la definizione 3 può essere anche scritta nella forma [AB] < [CD] [EF] tale che [CD] = [AB] + [EF]. In questo caso porremo anche [EF] = [CD] [AB] e avremo così definito la sottrazione fra lunghezze: è chiaro che non si tratta di un operazione nell insieme Λ delle lunghezze in quanto non è definita per ogni coppia [AB], [CD], ma solo se [AB] < [CD]. 5 commensurabilità fra lunghezze Euclide, dopo aver chiamato commensurabili due segmenti AB e CD se esiste un segmento EF che sia sottomultiplo sia di AB sia di CD (cfr. la definizione 1 del libro X), illustra un metodo (divenuto celebre nei secoli come metodo euclideo), atto a verificare se due segmenti sono fra loro commensurabili o no, e, in caso affermativo, a trovarne un sottomultiplo comune. Con questo metodo, del tutto analogo a quello usato per trovare il MCD fra due numeri naturali, Euclide dimostra che il lato e la diagonale di uno stesso quadrato sono incommensurabili. Il metodo euclideo è sostanzialmente basato sul 2

3 Postulato (di Eudosso-Archimede): Date due lunghezze [AB] e [CD] con [AB] > [CD], esiste un numero naturale n tale che n[cd] > [AB]. Per la precisione ricordiamo che Euclide considera la proprietà espressa dal precedente postulato come caratterizzante gli insiemi di grandezze nei quali si può considerare il rapporto (cfr. la definizione 4 del libro V), senza dire esplicitamente che si tratta di un postulato. A questo punto possiamo dare la seguente Definizione 4: Se le lunghezze [AB] e [CD] hanno uno stesso sottomultiplo [EF] e risulta [AB] = m[ef] e [CD] = n[ef] con m e n numeri naturali, allora il rapporto fra le lunghezze commensurabili [AB] e [CD] è il numero razionale m/n. Osserviamo che con l espressione numero razionale m/n intendiamo indicare il numero razionale associato alla frazione (m, n), ovvero la classe delle frazioni equivalenti alla frazione (m, n). 6 rapporto fra lunghezze incommensurabili Date le lunghezze incommensurabili [AB] e [CD], poniamo A = { m n m } { m n [CD] < [AB], B = n m } n [CD] > [AB]. Si dimostra che la coppia (A, B) è una sezione di Q +, nel senso che (i) (A, B) è una partizione di Q + (cioè A e B sono insiemi non vuoti e disgiunti la cui unione è Q + ; (ii) x A, y B risulta x < y. La coppia (A, B) così costruita sarà chiamata sezione di Q + associata alla coppia di lunghezze incommensurabili [AB] e [CD]. È ovvio che, per definire il rapporto fra le lunghezze [AB] e [CD], occorrerebbe un numero maggiore di tutti gli elementi di A e minore di tutti gli elementi di B, ma, purtroppo, un tale numero non esiste (o, meglio, non esiste finché non lo costruiamo). È diseducativo, come fa qualche testo, dire agli studenti: «Chiamiamo numero irrazionale l elemento di separazione delle classi (A, B)», in quanto tale elemento non esiste e seguita a non esistere anche se gli diamo un nome. I nomi non hanno potere evocatorio. Se, per esempio, troviamo un bel nome per i campi finiti di ordine 6, non per questo tali campi cominceranno ad esistere. Abbiamo quindi tre possibilità da presentare ai ragazzi: (i) accettiamo il fatto che esistono coppie di lunghezze che non hanno rapporto (gli studenti troveranno che è una brutta conclusione); (ii) in ricordo del povero Ippaso, il pitagorico che gli dei fecero perire in mare perché aveva rivelato ai profani che il lato e la diagonale di uno stesso quadrato sono incommensurabili, affoghiamo chiunque trovi una coppia di lunghezze incommensurabili (talvolta in classe è lecita una battuta di spirito!); (iii) chiamiamo numero irrazionale qualcosa che esiste, per esempio ogni sezione di Q + come la (A, B) appena costruita. Osserviamo che i sottoinsiemi A e B, prima considerati, contengono rispettivamente quei numeri razionali che intuitivamente possiamo chiamare valori approssimati per difetto e valori approssimati per eccesso del rapporto in questione. Diciamo intuitivamente perché non si può approssimare qualcosa che non esiste. 3

4 Osserviamo inoltre che conviene far notare agli studenti che la parola razionale viene dal latino ratio ed indica quei numeri che sono ratio, cioè rapporto ovvero quoziente, di due numeri interi. Questo per non far sorgere il dubbio che tali numeri siano ragionevoli, in contrapposizione con i numeri matti (gli irrazionali ). Se dunque chiamiamo numero irrazionale ogni sezione (A, B) di Q + associata alla coppia di lunghezze incommensurabili [AB] e [CD], possiamo dare la Definizione 5: Chiamiamo rapporto fra le lunghezze incommensurabili [AB] e [CD] il numero irrazionale, cioè la sezione (A, B), associato alla coppia di lunghezze [AB] e [CD]. Osserviamo che, se [AB] e [CD] sono lunghezze commensurabili, analogamente a quanto fatto prima, si possono definire due sottoinsiemi A e B di Q + tali che { m A = n m } { m n [CD] [AB], B = n m } n [CD] > [AB]. In questo caso la coppia (A, B) soddisfa le condizioni: (i) (A, B) è una partizione di Q + ; (ii) x A, y B = x < y; (iii) la classe A ha massimo q Q +. Si ha che la sezione (A, B) di Q + associata alla coppia di lunghezze commensurabili [AB] e [CD] possiede un elemento di separazione (il numero razionale q). È facile vedere che tale elemento di separazione è proprio il rapporto fra [AB] e [CD], secondo la definizione 4 nella pagina precedente. A questo punto possiamo dare la seguente Definizione 6: Una coppia (A, B) di sottoinsiemi di Q + si chiama numero reale (positivo) se valgono le tre seguenti proprietà: (i) (A, B) è una partizione di Q + ; (ii) ogni elemento di A precede ogni elemento di B; (iii) B non ha un elemento minimo. Se A ha massimo q Q +, diciamo che la sezione (A, B) è generata dal numero razionale q. Si verifica immediatamente che c è una corrispondenza biunivoca fra Q + e l insieme delle sezioni di Q + generate dai numeri razionali. Convenendo di identificare le sezioni generate da numeri razionali con i corrispondenti elementi di separazione, per quanto visto in precedenza possiamo dire che ogni rapporto fra lunghezze è un numero reale positivo. Possiamo inoltre dare la seguente Definizione 7: Fissata ad arbitrio una lunghezza [AB], si chiama misura di una qualunque lunghezza [PQ] rispetto all unità di misura [AB] il rapporto fra [PQ] ed [AB]. È ovvio che una lunghezza [PQ] può avere misura razionale rispetto all unità di misura [AB] e misura irrazionale rispetto ad un altra unità di misura [A B ]. 7 classi di grandezze Ora possiamo finalmente precisare in quale senso un insieme di grandezze somiglia all insieme delle lunghezze. 4

5 Definizione 8: Una classe di grandezze è un insieme non vuoto Ψ in cui sia definita un operazione +, che chiameremo somma, e che verifica le proprietà: (i) A, B Ψ si ha A + B = B + A; (ii) A, B, C Ψ si ha (A + B) + C = A + (B + C); (iii) A, B Ψ si ha A + B A; (iv) posto A < B se esiste C Ψ tale che B = A + C, e dati A e B distinti, deve valere A < B oppure B < A; (v) posto 1A = A e, per ogni numero naturale n > 1, na = (n 1)A + A, deve accadere che A, B Ψ, con A < B, esiste n naturale tale che na > B (postulato di Eudosso-Archimede); (vi) se n > 0 è naturale e A Ψ, esiste B Ψ tale che nb = A; (vii) se A, B Ψ con A < B, esiste C Ψ tale che A < C < B. Il rapporto fra due grandezze e la misura di una grandezza vengono definiti in maniera del tutto analoga a quanto fatto per le lunghezze. Concludiamo fornendo un altro esempio di classe di grandezze. Ricordiamo che, dato un poligono, Euclide insegna a costruire un quadrato equiesteso al poligono dato. Perciò Euclide, anche se con terminologia completamente differente dalla nostra, arriva a dimostrare che l insieme dei poligoni, rispetto alla relazione di equiestensione, è diviso in classi ciascuna delle quali contiene un quadrato. Poiché due quadrati si possono sommare mediante il teorema di Pitagora, risulta che, indicando con Π l insieme quoziente dell insieme dei poligoni rispetto alla relazione di equiestensione, è possibile definire in Π un operazione di somma fra classi di equiestensione di poligoni, sommando i corrispondenti quadrati. Si dimostra che l insieme Π con la somma appena introdotta è una classe di grandezze (cfr. Capodaglio [1999]). Ricordiamo infine che Euclide di fronte alla difficoltà di dare una definizione diretta di rapporto fra due grandezze, preferì una definizione per astrazione, cioè (cfr. la definizione 5 del libro V) definì che cosa dovesse intendersi con l espressione il rapporto fra le grandezze A e B è eguale al rapporto fra le grandezze C e D, ovvero con l espressione le grandezze A, B, C, D, prese nell ordine, sono proporzionali ; questo si ha se, per definizione, m, n N sono verificate le condizioni seguenti: ma > nb mc > nd, ma = nb mc = nd, ma < nb mc < nd. Pertanto il rapporto, per Euclide, è una classe di equivalenza di coppie di grandezze, anche se, ovviamente, Euclide non aveva questa terminologia. Possiamo anche dire che ogni rapporto è (o individua se già definito) un numero reale positivo. riferimenti bibliografici Amaldi, Ugo 1900 Sulla teoria dell equivalenza in F. Enriques. Questioni riguardanti le Matematiche Elementari, Zanichelli, Bologna. Capodaglio, Rita 1999a Considerazioni sulle classi di grandezze, Zanichelli, Bologna. 5

6 Capodaglio, Rita 1999b Una sintesi di Geometria, Zanichelli, Bologna. Carruccio, Ettore 1972 Matematiche elementari da un punto di vista superiore, Pitagora, Bologna. Euclide 1970 Elementi, a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni, UTET, Torino. Frajese, Attilio 1962 Attraverso la storia della matematica, UTET, Roma. Hilbert, David 1899 Fondamenti di Geometria, Feltrinelli, Bologna. Kline, Morris 1972 Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino. Severi, Francesco 1942 Geometria, Vallecchi, Firenze. 6

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