Appunti delle lezioni di Modellistica del moto ondoso PRIMIELEMENTI Eugenio Pugliese Carratelli Fabio Dentale

Transcript

1 Mdellistica del mt nds PRIMI ELEMENTI Le parti marcate in blu NON sn cmprese nel prgramma del Master e servn per rassicurare gli studenti più precisi -però male nn fann Le parti in crsiv sn da svlgere autnmamente cme esercizi PREMESSA In questi appunti si illustran gli strumenti più semplici ed essenziali per la cmprensine del mt nds marin, all scp di far cmprendere le pratiche mderne di mdellazine, previsine e mnitraggi. Nn viene frnita nessuna base di Meccanica dei Fluidi, e si da per scntata una certa cnscenza dell Analisi Matematica, e dei principi della Meterlgia. Per apprfndimenti si rimanda agli appunti di Idraulica Marittima dell Università di Salern Cs è un nda? E, in particlare, cs è un nda marina? Sn evidentemente quelle che si vedn e si sentn andand sulle rive del mare navigandci spra: Tuttavia, la rispsta rigrsa a quest inncente quesit nn è affatt banale. Ci limitiam a cnsiderare alcuni aspetti empirici: un nda deve cmprtare un spstament della superficie marina il mviment deve essere scillante nel temp e nell spazi Mlte cse rientran in queste descrizini; ad esse aggiungiam che ni tratterem sl nde di gravità, in cui ciè sl la frza di gravità, ritenuta cstante gica un rul imprtante, e causate dal vent. Quest esclude mlti fenmeni trattati nei crsi di Oceangrafia, in cui ccrre cnsiderare la frza di Crilis, l attrazine della luna e del sle, gli effetti della differenze di densità Tutti questi effetti sn rilevanti sl se le distanze cnsiderate sn mlt grandi. Le nde qui cnsiderate hann altezze di qualche metr e lunghezze relativamente limitate (qualche centinai di metri), anche se nascn e si prpagan per centinaia ed a vlte migliaia di miglia. Cn quali mezzi analitici si studian le nde? Le tecniche matematiche impiegate sn tante. Ni utilizzerem, cme base, l apprcci più classic (Onde di Stkes I; di Airy) che cnsiste nel cnsiderare le nde cme semplici sinusidi nel temp e nell spazi; quest punt di vista è a sua vlta un risultat che nasce da iptesi fisiche abbastanza restrittive, quali 1) Sn trascurabili gli effetti di viscsità (= attrit intern) e di turblenza ) Le nde sn mlt piccle, e ciè la lr altezza è mlt minre della lr lunghezza 1 1) una definizine un p più rigrsa di questi cncetti sarà data nel seguit 1

2 Il fatt che cme è esperienza cmune le nde del mare nn sian quasi mai delle sinusidi reglari, mentre quelle di Airy/Stkes I sn, nn è un prblema grave: sarà superat più avanti. Restan invece pesanti le eredità dei punti 1 e, che dvrann essere superati spess cn frzature cn metdi empirici Airy / Stkes I. La teria di Airy frnisce in primis il valre dell altezza istantanea d acqua η(x,t) e delle altre variabili fluiddinamiche cme funzine del temp t e dell spazi x: : cs( kxt ) cn: =/T (velcità anglare, pulsazine) k=/l (numer d nda) T ed L si dicn rispettivamente perid e lunghezza dell nda. La fase è arbitraria. A vlte si parla di "tren d'nda" per indicare che nn si tratta di una singla nda, ma di una successine tericamente infinita Essa cstituisce un nda prgressiva: per chiarire questa sservazine, si cnsideri csa sserva un sservatre che misuri la η nelle seguenti cndizini: 1 Ferm, In mt lung l asse x cn celerità C=L/T 3 Si cnsideri inltre una cnfigurazine istantanea (T=T 0 ) I valri di σ=π/t e di k= π /L (e quindi di T ed L ) nn sn liberi, ma cllegati dalla seguente relazine csiddetta di dispersine (h è la prfndità dell acqua) gk tanh( kh ) * Ovver g h L T tanh ** L Un nda prgressiva cprirà una lunghezza d nda L in un perid T, e ricrdand inltre che =/T e che k=/l, la velcità di prpagazine (spess detta celerità 3 ) dell nda ptrà essere espressa cme segue C=L/T = g/(π ) T tanh(hk) *** Le relazini *, ** e ** sn facce diverse della stessa equazine, che è detta di dispersine piché essa descrive la maniera in cui un camp di nde prgressive cstituite da mlte frequenze diverse vengn separate (vver disperse ) in funzine delle diverse celerità delle single cmpnenti La derivazine del mdell spra descritt, è valida per piccle ampiezze d'nda e - cn quest limite - ha la prprietà di essere lineare; una cmbinazine lineare di sluzini di quest tip è dunque ancra sluzine del prblema generale. Tale prprietà, cme si vedrà, è prezisa, perché permette di descrivere una qualunque situazine di mt nds, e nn sl quella - rara - di mt sinusidale. Essa viene quindi nella pratica spess impiegata anche al di furi della cndizine di A vlte, al pst di σ si usa il simbl ; ppure la frequenza f = 1/T ; vviamente σ = f 3 In questi appunti, seqauend la pratica dell Ingegneri marittima si usa il termine celerità in Oceangrafia è spess chiamata semplicemente velcità dell nda, ed in fisica velcità di fase. E cmunque indispensabile capire la differenzza tra quest parametr e la velità delle particelle d acqua, che è tutt altra csa.

3 "piccla ampiezza", e quindi bisgna sempre tener presente i pssibili errri derivanti da questa apprssimazine. Un altr aspett che nn va dimenticat è che, se le frmule frniscn valri nn trascurabili della cmpnente rizzntale della velcità nelle vicinanze del fnd, il risultat cntrasta cn le iptesi iniziali, in particlare cn quella secnd cui gli effetti viscsi sn trascurabili. la dimensine caratteristica D da impiegarsi per la determinazine del numer di Reynlds nn è quindi più quella dell'altezza d'nda A, bensì un valre mlt più piccl. Si frma dunque nelle vicinanze del fnd un strat limite di fnd.. Se la prfndità h dell'acqua è dell stess rdine dell spessre di quest strat limite, cme succede ad esempi nella zne di fndali mlt bassi, l'intera teria perde di utilità. La relazine cnsiderata spra è valida per t che va tra + e infinit (va da sé che anche questa è un apprssimazine, vul dire: per tempi abbastanza lunghi ); si parla spess di tren d nda, piuttst che di singla nda. Alcune prprietà dell nda di Airy Cme si è dett, prfil è descritt dalla seguente espressine: cs( kx t ) * (Si è qui pst ψ = 0) La funzine ptenziale delle velcità risulta: g csh k h z csh kh sin( kx t ) Vgliam cnsiderare ra le cmpnenti della velcità delle single particelle d acqua (si chiaman "velcità rbitali") in funzine della prfndità z (asse rientat vers l'alt) della particella a rips e del temp t. La cmpnente verticale Vz (z,t) delle velcità è: v z sinh( k( h z)) ( z, t) sin( kxt) z csh( kh) ** La frmula è facile da cmprendere e da memrizzare: essa cntiene un termine v z ( 0, t) sin( kxt) z che dà la velcità delle particelle superficiali (z=0), dat dalla derivata parziale della η rispett al temp, ed è dunque scillante e sfasat di 90 rispett alla η stessa. Quest è abbastanza lgic perche la velcità verticale di un punt materiale della superficie deve cincidere cn la velcità della superficie libera. E utile anche ntare che il termine =/T al numeratre vul dire che - a parità di altezza d'nda - le velcità rbitali delle particelle nelle nde cn frequenza più alta (piccl T) sn maggiri rispett a quelle di frequenza più bassa (grande T). C è inltre il termine sinh k( h z) csh( kh) che rappresenta la variazine dell ampiezza dell scillazine della velcità cn la prfndità. Man man che ci si spsta vers l alt, dunque, il mdul delle cmpnenti di velcità aumenta. (nn è necessari ricrdare a memria quest' ultim termine, e quelli analghi; è però necessari capire e ricrdarne l andament qualitativ attravers le applicazini,. 3

4 L accelerazine verticale lcale è: t v z sinh k( h z) sinh( kh) cs( kxt) Per quant cncerne la direzine rizzntale x, le cmpnenti della velcità e dell accelerazine lcale risultan rispettivamente pari a: v x csh( k( h z)) cs( kxt) x csh( kh) v x t csh( k( h z)) sin( kx t) csh( kh) Cme spra, nn è necessari memrizzare queste espressini; è bene però ntare che le velcità sn prprzinali a σ (più breve il perid, maggire la velcità), le accelerazini prprzinali a σ ; e che le cmpnenti di velcità rbitali verticale e rizzntali sn sfasate di 90. La massima accelerazine verticale si realizza quand la velcità rizzntale è massima (l stess per l accelerazine rizzntale e la cmpnente verticale di velcità). Andament cn la prfndità delle cmpnenti verticale ed rizzntale di velcità (da Dean e Dalrymple, 1991). La figura illustra una situazine; altri esempi verrann chiariti nelle esercitazini Apprssimazini asinttiche: acque basse e prfnde L equazine della dispersine presenta asintti che si rivelan particlarmente utili per l studi delle acque basse e prfnde Per piccli valri di kh (ssia in acque basse, h<<k) si ttiene: 4

5 gk tanh kh gk h vver k C gh da cui la celerità C gh Quest ultima evidenzia cme la velcità delle nde in acque basse dipenda sl dalla prfndità. Inltre, ntand che la definizine di acque basse è un cncett relativ, basata sul rapprt tra lunghezza e prfndità. Per esempi, se la prfndità è dell rdine del km, un nda caratterizzata da una lunghezza di 0km è in acque basse. Gli Tsunami (nde generate da terremti sttmarini ) 4 hann lunghezze d nda superiri ai 0 km e pertant raggiungn velcità di prpagazine dell rdine di 100 m/s. In acque prfnde (kh>) si ttiene: O anche =gk tanh kh = gk L= g/(π ) T C = g/(π ) T Piché in acque prfnde kh (h>k) è mlt grande e, pertant, tanh(kh) si avvicina ad 1, si ttiene L=L=gT /л dve il pedice sta ad indicare il valre in acque prfnde. Pertant: Si ha inltre: L L tanh kh L C T tanh kh Traiettrie delle particelle vver C C tanh kh Una particella d acqua che abbia psizine media nel punt (x 1, z 1 ) si spsta nella nuva psizine istantanea (x 1 +, z 1 + ). Le cmpnenti dell spstament (, ) pssn essere ricavate per integrazine delle cmpnenti di velcità rbitali: csh π z1 d /L πx1 πt sen senh ππd/ L T senh z d / L πx1 πt cs senh d / L L T. Elevand entrambe al quadrat e smmand membr a membr si ricava: 4 Che vviamente nn sn nde di vent 5

6 A B 1 che è l equazine di un ellisse di semiassi A e B rispettivamente cme rappresentat in figura: Figura 1 Andament delle traiettrie stt un nda prgressiva di ampiezza infinitesima (rielabrata da Dean e Dalrymple, 1991).. Le espressini che dann la lunghezza dei semi assi sn A B / csh z d L senh d / L / senh z d L senh d / L semiasse maggire = A (rizzntale) e minre = B (verticale) Gli spstamenti istantanei delle single particelle avvengn su rbite ellittiche in acque intermedie e basse e lung rbite circlari in acque prfnde Il semiasse A è sempre più grande al più eguale a di B. Infatti, in crrispndenza del livell di quiete (m.w.l.), le particelle cn elevazine media z=0, segun una traiettria cn spstament verticale /. Nn ci sn particelle cn psizine media superire a z=0. In cndizini di acque basse (ssia in cndizini per cui vale la cndizine h/l<1/0), usand i valri asinttici delle funzini iperbliche, si ttiene: csh k( h z1) 1 L T g A (1) sinh( kh) kh 4h 4 h in cui sn state intrdtte le uguaglianze valide per acque basse (i.e. crdinata del centr. L T h. g ). z 1 è la 6

7 Dal calcl precedente risulta il fatt che A è indipendente dalla prfndità z 1, mentre dipende dalla prfndità h del fndale Per quant cncerne il semiasse B, risulta: B sinhk( h z sinh( kh ) 1 ) 1 z1 h () Il valre di B diminuisce al diminuire di h (cme frse è intuitiv), ma cresce cn z 1 ; dunque B dipende dalla prfndità z della particella cnsiderata, L escursine verticale diminuisce dunque linearmente cn la prfndità -z, essend zer (vviamente) al fnd e massima (/) per z=0. Determiniam adess la traiettria delle particelle stt nde prgressive in cndizini di acque prfnde (h/l>1/). Anche in quest cas sarann utilizzati i valri asinttici delle funzini iperbliche ttenend: A e kh kz1 e e kh e kz1 B e kz 1 A (3) (B ed A entrambi funzine della prfndità z) Le traiettrie, in quest cas, risultan essere cerchi cn raggi decrescente espnenzialmente cn la prfndità. Da ntare cme per una prfndità di z=-l/, i valri di A e B si sn ridtti di una quantità pari a e il che implica che il raggi è già trascurabile La figura stt riprtata rappresenta le traiettrie seguite dalle particelle rispettivamente nella situazine di acque basse, acque intermedie e acque prfnde. Diverse situazini di acque basse, intermedie e prfnde. Trasprt di massa Da quant fin qui vist, si intuisce che le nde di piccla ampiezza nn trasmettn massa, essend le traiettrie delle particelle cmpste da rbite chiuse (perciò si chiaman "velcità rbitali"). Questa cnclusine è tuttavia valida sl nelle iptesi strette in cui è valida teria di Airy e ciè per che tende a 0. Per le nde reali invece le traiettrie nn sn cmpletamente chiuse ed esiste un fluss medi ( deriva ) nella direzine di prpagazine dell nda 7

8 Camp di pressine Si vule adess determinare il camp di pressini determinat dall avanzament di un nda prgressiva di ampiezza infinitesima (la slita iptesi necessaria per le nde di Airy/Stkes i). La derivazine del risultat (nn è in prgramma) passa attravers il terema di Bernuilli (vviamente nell iptesi di mt nn stazinari): Si ricava p gz g csh k( h z ) cs( kx t ) csh( kh ) (4), più semplicemente. csh k( h z) p gz gk p( z) cn k p( z) (5) csh( kh) vver, naturalmente : p p gz gk (z) ( ) Il termine p p è la svrappressine misurata rispett alla situazine di acqua calma ; g k (z ) è infatti il termine idrstatic, presente anche in assenza di camp di mt. Il termine k p (z) è dett fattre di rispsta della pressine e, al di stt del livell di quiete, è sempre inferire all unità. La pressine dinamica si può vedere quindi cme data dall spstament della superficie libera (se il cefficiente k p fsse sempre pari a 1, ci sarebbe una svrappressine pari alla semialtezza d nda ciè di tip idrstatic) crretta per gli effetti di un accelerazine verticale che la mdifica. Cn riferiment alle (5), si può ntare cme il fattre di rispsta delle pressini k p presenti un massim (k p =1) in crrispndenza del livell di quiete, e un minim di 1/(csh(kh)) al fnd. Quant più si scende, tant men si avverte la presenza dell nda p Distribuzine delle pressini al di stt di un nda prgressiva di piccla ampiezza (da Dean e Dalrymple, 1991). E utile ricavare cn l espressine spra riprtata i valri della pressine al di stt della superficie, e fin al fnd, sia per la cresta sia per il cav. Un metd per misurare le nde sia in labratri sia in camp è legat al riliev delle pressini. Infatti, dal riliev delle pressini è pssibile pi risalire agli spstamenti della superficie libera attravers la relazine prima riprtata: 8

9 p p gz gk (z) ( 5 ) p Un misuratre di pressine pggiat sul fnd rileva sia la differenza tra pressine in acqua calma e la pressine dinamica. Tale differenza, dunque cme si vede dalla 5, per un particlare valre del perid T, è prprzinale all altezza d nda (che è la variabile di interesse ); un sensre di pressine, utilizzand la relazine precedente, può quindi essere impiegat per rilevare il segnale di elevazine del mt nds. Piché Kp dipende dalla frequenza, nde crte presentan un Kp mlt piccl (al fnd) al cntrari delle nde lunghe. In altre parle ciò significa che nde mlt crte nn pssn essere rilevate dai misuratri di pressine al fnd. Quelle mlt lunghe, invece si. Si usan misuratri di pressine per l su alti fndali sl per rilevare gli Tsunami Energia e sua prpagazine Un camp di nde prvca un trasprt di massa, cme vist spra (la deriva) ed anche un trasprt di energia. Il mdell di Airy riesce a spiegare quest fenmen e a frnire anche degli elementi utili per la sua valutazine quantitativa La determinazine di quest fluss di energia, nnché le sue mdalità di prpagazine, sn particlarmente imprtanti per determinare, tra l altr: le variazini delle caratteristiche dell nda allrché essa si prpaga vers la riva; la ptenza necessaria a generare il mt nds; la ptenza estraibile ai fini della prduzine di energia. Analizziam quindi prima quant'è l energia assciata ad un tren di nde sinusidali ; successivamente qual'è il fluss (= il trasprt) di tale energia L energia cmplessivamente cntenuta in un nda si cmpne di un energia ptenziale, derivante dalla spraelevazine della superficie liquida rispett all stat di quiete, e di un energia cinetica, dvuta al fatt che le particelle fluide sn dtate di mviment. L energia ptenziale deriva dall spstament di una massa (l acqua) dalla psizine di equilibri rispett al camp gravitazinale. Quand l acqua è in quiete, essa presenta il minim di energia ptenziale. L spstament di un insieme di particelle, cn il cnseguente spstament della superficie libera, prvca un aument di energia ptenziale. L energia ptenziale assciata ad un nda sinusidale si ricava determinand l energia media per unità di superficie assciata all nda cme differenza tra la presenza e l assenza dell nda. Si cnsidera una media temprale per un inter perid, e l integrale spaziale lung la verticale; la derivazine è cmplessa e nn fa parte del prgramma, tuttavia è imprtante cnscere il risultat relativ ad un unità di area ( = 1 metr lung la x, ed un metr in direzine trasversale): ( EP) g 16 (6 Dunque l energia ptenziale ttale di un nda per unità di area dipenda sl dall altezza dell nda. Analgamente per quant riguarda l'energia cinetica. Le particelle d'acqua di un nda psseggn, cme si è vist, una certa velcità e quindi una certa energia cinetica; prcedend in maniera analga si ttiene 1 ( EC ) g (7 16 l energia cinetica ttale di un nda per unità di area dipende dunque sl dall altezza dell nda ed è inltre eguale all energia ptenziale 9

10 L energia ttale media per unità di superficie E di un nda e data dalla smma dell energia ptenziale e dell energia cinetica. 1 E EP EC g (8 8 Pu essere talvlta utile riferirsi all energia ttale Ew di un intera singla nda di lunghezza L : Ew = L 1/8 g ρ (8b Appare utile sttlineare ancra una vlta cme né l energia ptenziale, né l energia cinetica dipendn dalla prfndità dalla lunghezza d nda, ma slamente dal quadrat dell altezza. Fluss di energia La quantità di energia trasferita nell unità di temp viene detta fluss di energia F, e rappresenta il lavr per unità di temp cn cui una superficie verticale di fluid cmpie lavr sulla superficie prssima più il fluss di energia cinetica e ptenziale assciat al trasprt di massa. (perazine svlta gni vlta che si fa un bilanci di energia; ad esempi nel c.d. terema di Bernuilli generalizzat) Svlgend i calcli per un inter perid, e tenend presente che l integrale di una funzine trignmetrica elevata a ptenza dispari è eguale a 0 si ttiene (questa da sapere a memria) 1 F ρg 8 cn Cg C n Cg E Cg dve Cg si chiama "velcità di grupp" e rappresenta la velcità cn cui l energia E viene trasprtata. Si ha e 1 kh Cg 1 sinh(kh) C g 1 kh n 1 C sinh(kh) E imprtante ntare i valri asinttici di n e di Cg per acque prfnde e per acque basse, utili per le applicazini e gli esercizi: in acqua prfnda si ha: n= 0,5; Cg = 0,5 C in acque basse n=1 Cg = C 10

11 SOALING La variazine di lunghezza e di altezza di un'nda al variare del fndale si chiama shaling (ssia di irripidiment dell nda). Quand il fndale presenta batimetriche rettilinee e parallele, e il mt nds su prfndità infinita ha direzine rtgnale alla linea di csta (ssia in presenza di un attacc frntale), allra le nde, nella lr prpagazine dal larg vers la riva, si mantengn perfettamente bidimensinali (ssia lng-crested ). Nelle situazini suddette, sia in mare apert, sia in vasca, il fenmen di shaling rende cnt delle variazini delle caratteristiche delle nde per effett delle variazini di prfndità attravers un prcess cnservativ che impne, per l'appunt, dalla prfndità infinita alla generica prfndità h, la cnservazine del fluss medi di energia per unità di larghezza della cresta. Ricrdand che la definizine di prfndità infinita viene data sulla base del rapprt tra la prfndità lcale e la lunghezza d nda, l studi del fenmen di shaling può essere affrntat adttand l schema cncettuale della figura che segue. Si nti che nel passaggi dal punt A al punt B (ssia nel prcess di prpagazine da prfndità infinita a prfndità finita), sebbene vi sia una variazine di altezza d nda, nn vi è variazine di perid (il perid di gni fenmen nel canale è quell impst dall nda che prviene dalle acque prfnde a sinistra). Si iptizzi un fndale acclive di pendenza mdesta e un trascurabile effett degli attriti sia interni che al fnd. Si cnsideri quindi un vlume di cntrll individuat da due piani verticali perpendiclari alla direzine di prpagazine delle nde. In assenza di dissipazini, il fluss medi di energia nell unità di temp (ptenza media) che attraversa la sezine (1-1), deve essere uguale a quella che attraversa la sezine (-). Ricrdiam che la ptenza è data dal prdtt di una frza per una velcità, vver di una pressine per un area per una velcità. Ricrdand una delle varie frme dell equazine di dispersine C=L/T = g/(π ) T tanh(hk) Ovver L = g/(π ) T tanh(hk) È utile cnsiderare la variazine dei parametri di un nda che si avvicina vers la csta: T resta cstante e si segue la variazine di L e di C. L'unica difficltà che può srgere dipende dal fatt che l'equazine della dispersine nn si può rislvere direttamente per L. L = g/(*p) *T^* tanh(*p *d/l) 11

12 Per rislvere questa equazine implicita in L, si può impiegare la funzine "ricerca bbiettiv" di EXCEL. Esistn anche alcune frmule apprssimate dirette, nel seguit si riprta quella di unt, che è anche prgrammata nei file delle esercitazini. Una sluzine iterativa è implementata nella subrutine seguente, che pu essere riprgrammata in qualunque linguaggi di prgrammazine ; essa prende in ingress hpc e SI e restituisce k e c (k = *π/l; c=l/t; hpc= prfndità; SI=*π/T) SUB kecn (k, c, hpc, SI, enne) REM SI = * / t: l0 = 1.56 * t * t: C0 = l0 / t: k0 = * pig / l0 pig = t = * / SI REM***calcla K e C in funzine di prfndità (hpc) e frequenza (si) V = SI * SI * hpc / : PA = (V + ( * V ^ * V ^ * V ^ 4) ^ (-1)) ^ (-1) IF hpc = 0 TEN hpc =.01 IF hpc > 00 TEN LET hpc = 00: REM serve ad evitare casini ci senh e csh IF c = 0 TEN LET c = ( * hpc * PA) ^.5: REM se il valre di tentativ nn è assegnat dalla chiaimata, da' un valre iniziale a C l = c * t: nk = * pig / l FOR j = 1 TO 100 k = nk; REM aggirna valre di k W = k * hpc: T = (EXP(W) - EXP(-W)) / (EXP(W) + EXP(-W)) nk = SI * SI / (9.8 * T): IF ABS((nk - k) / k) < 1 / 1000 GOTO 6840: REM Nuv valre di k termine senza success jit = j NEXT j PRINT "k "; k, " nk "; nk, "jit", jit, "j ", j INPUT k STOP 6840 l = 6.8 / k: lf = 1. * l: c = l / t: enne =.5 * (1 + * k * hpc / (sinh)) END SUB Si vedrà quindi che andand vers bassi fndali, la celerità e la lunghezza d nda diminuiscn Esprimiam ra la cnservazine del fluss medi di energia tra la prfndità infinita e la generica prfndità h cme: F F E0 Cg0 E C g 1

13 In cui si sn indicate il pedice le quantità su prfndità infinita, cn E la densità di energia e cn Cg la velcità di prpagazine dell energia (detta anche celerità di grupp), che cme si è vist spra si definisce Cg = C. n cn: Cg n C 1 kh n 1 sinh(kh) e E g E g C gt Cg C gt C tanh( kh) Il perid dell nda, cme già dett, è un invariante della prpagazine. Si ttiene csì il cefficiente di shaling k. s (frmula nn a memria, ma si deve essere in grad di ricavarla velcemente, cn l'espressine di n riprtata prima): k s C C g g C C n0 n E dunque k s C C n0 n csh kh senh kh kh. Ess crrela l altezza d nda, crrispndente alla prfndità lcale h, all altezza d nda al larg (su prfndità infinita). Riassumend: Pssiam anche rappresentare il cefficiente di shaling / in funzine del rapprt h/l, ssia della prfndità relativa. Tale grafic va lett ricrdand che nel prcess di prpagazine dal larg alla riva, l nda prcede vers prfndità decrescenti (ssia da valri h/l più alti a valri h/l più bassi). SI ricrdin i valri asinttici di n e di Cg per acque prfnde e per acque basse: 13

14 in acqua prfnda si ha: n= 0,5; Cg = 0,5 C in acque basse n=1 Cg = 1 C Un utile esercizi è quell di particlarizzare l espressine di Ks per la trasfrmazine dal larg ad acque basse L C Rappresentazine dell andament la lunghezza e della celerità al variare della prfndità relativa per T = 4 s. 14

15 / T=8" / T=4" / T= Rappresentazine dell andament del cefficiente di shaling in funzine della prfndità per diversi valri del perid dell nda. RIFLESSIONE In presenza di una parete verticale si verifica un visibile fenmen di interferenza tra nda entrante ed uscente che ha imprtanti cnseguenze pratiche. Quest fenmen è ben rappresentat dalla seguente trattazine, che per i sli aspetti matematici nn fa parte del prgramma del crs. E' però imprtante cmprenderne il meccanism fisic x=0 Mur riflettente h Paratia a ventla 15

16 Trniam a cnsiderare un nda nella sla direzine x, ed immaginiam di avere un generatre di nde cme in figura (battitre) da cui parte l nda prgressiva caratterizzata - cme sappiam) da un prfil del tip: x, t cskx t A questa nda si smma l nda riflessa caratterizzata da un sfasament ɛ -( differenza di fase tra nda incidente e riflessa-) R x, t cskx t Dal mment che stiam impiegand un mdell lineare (equazini di Stkes al I rdine di apprssimazine), se due sluzini η e η sddisfan le equazini, allra anche (η + η ) sarà sluzine del prblema. E chiar cme in quest cas abbiam bisgn di un altra cndizine al cntrn che traduca la presenza della parete a x=0. Tale cndizine è data dal vincl fisic che la cmpnente rizzntale della velcità debba essere 0, e quindi V=-Vr Sviluppand i calcli, attravers quest'ultima cndizine si ricava la ε ( e ciè la differenza di fase tra nda incidente e riflessa). (nn è necessari imparare a memria le seguenti equazini: ma la lr struttura aiuta a capirne il cmprtament ) Risulta: L T x, t cs( x)cs( t) V x ( x, z, t) x g ( ) 1 k csh( k( h z)) sen( x) sen( t) csh( kh) L T V z ( x, z, t) g ( ) z 1 k senh( k( h z)) cs( x) sen( t) csh( kh) L T (la prfndità è qui indicata cn h) A parte la cnsueta espressine delle variazini verticali della velcità data da funzini iperbliche,, risulta che: In gni istante In gni istante (qualunque t) Per x=-l/4 (e x=-3l/4; x=-5l/4) si hann dei punti fissi (ndi). Per t=0 (e t = T, T etc) si ha una calma apparente. Infatti si ha V x =V z =0 per gni x e per gni z). 16

17 Per t=t/4 (e t= T+T/4 etc) si ha un mment di piatt Vx ha un massim a x=-l/4 ed è diretta in vers negativ; il su andament lung z varia cl csh. A x=-l/ Vx =0; a x=-3l/4 Vx è massima e varia lung z cl csh. A x=-l Vx=0. Nell stess istante, le velcità verticali Vz sn massime e rivlte vers il bass a x=0 variand lung z cl csh fin a zer. A x=-l/4 Vz=0; a x=-l/ la Vz è massima, diretta vers l alt, e varia cn z cme anzi dett. V x =0 V x V x =0 V x V z V z =0 V z V z =0 t=t/4 -L -3/4L -L/ -L/4 x=0 Per t=t/ (e t=t; e t=3/ T...) Anche per t=t/ si ha una calma apparente. Infatti si ha Vx=Vz=0 per gni x e per gni z). In definitiva, per t=0 e per t=t/, si ha Vx=Vz=0. Per t=t/4, si ha =0. 17

18 t=t/ -L -3/4L -L/ -L/4 x=0 Quest fenmen si chiama "nda stazinaria"; nel cas reale delle nde di mare nn si verifica in questa frma esatta: basta pensare che se tutte le iptesi si verifican in maniera esatta, l'nda stazinaria cprirebbe tutt l spazi fin all' infinit. Può tuttavia capitare di vederl un fenmen del genere nella zna in vicinanza di pareti verticali cme i mli dei prti i cstni rccisi 18