Dispensa di Microeconomia

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1 Dispensa di Microeconomia A cura di Christophe Feder Maggio 2012

2 Consumatore (5 punti) 1. Data la seguente curva di domanda del bene X: Qx= R 5Px + 2Py dove R è il reddito del consumatore, Px è il prezzo del bene X e Py è il prezzo del bene Y a. indicare se il bene X è un bene di Giffen, un bene inferiore o un bene normale b. indicare se il bene X e il bene Y sono complementi o sostituti Svolgimento a. Poiché: e Qx R = Qx R = +1 > 0 Qx Px = Qx Px = 5 < 0 Il bene X è un bene normale. Infatti, se aumenta il reddito R aumenterà la quantità domandata di X ma se aumenta il prezzo Px diminuirà la domanda di X. b. Poiché: Qx Py = Qx Py = +2 > 0 Quindi, il bene X e il bene Y sono sostituti. Infatti, se aumenta il prezzo Py aumenterà la domanda di X. Per comprendere meglio il perché si consideri che cosa accade alla domanda di Coca-Cola se aumenta solo il prezzo della Pepsi. Naturalmente alcuni consumatori della Pepsi sceglieranno di iniziare a consumare Coca-Cola. Quindi la domanda della Coca-Cola aumenterà. 2. Data la seguente curva di domanda del bene X: Qx= R 3Px - Py dove R è il reddito del consumatore, Px è il prezzo del bene X e Py è il prezzo del bene Y a. indicare se il bene X è un bene di Giffen, un bene inferiore o un bene normale b. indicare se il bene X e il bene Y sono complementi o sostituti 3. Un consumatore ha reddito pari a R=30 e deve spenderlo in beni perfetti sostituti. Se i prezzi dei beni A e B sono rispettivamente P A =5 P B =10. Individuare il paniere ottimo (sug. Aiutatevi con un grafico). 4. Indicare a quali condizioni è vera la seguente proposizione fornendo una spiegazione: Se tutti i consumatori si trovano di fronte agli stessi prezzi, il paniere dei beni domandati coinciderà 5. La domanda individuale di un consumatore rappresentativo i è dato da qi=10-p. Calcolare la domanda di mercato quando vi sono 20 consumatori. 6. Le preferenze di un consumatore sono descritte da una funzione di utilità, cui corrisponde il seguente saggio marginale di sostituzione MRS=y/x (questo saggio di sostituzione deriva dalla funzione Cobb-Douglas U=X*Y). Il consumatore dispone di un reddito pari a R=40. a. Calcolate la quantità dei due beni X e Y, scelta dal consumatore nel caso in cui i rispettivi prezzi siano Px=10 e Py=20. b. Ipotizzate che il prezzo di X dimezzi. Calcolate i nuovi valori di equilibrio di X e di Y. 1

3 7. La tabella mostra l utilità marginale di Giovanna per il consumo di bambole e pizza. Ogni bambola è venduta a 10 euro e ogni pizza a 5 euro. Indicate quale sarà la scelta di Giovanna nel caso abbia a disposizione 30 euro, spiegando il perché. Svolgimento 1 Step Quantità di bambole Quantità di pizze Utilità marginale delle bambole Utilità marginale delle pizze Il vincolo di bilancio è: 30 = 10Qb + 5Qp Qb = Qp = Qp Quindi l inclinazione del vincolo di bilancio è 1 che non è nient altro che il rapporto fra i prezzi. Si 2 noti che tutti i panieri giacciono sul vincolo, e quindi sono potenzialmente panieri che il consumatore può voler acquistare. Ad esempio (0,6) ha un costo di Pb Qb + Pp Qp = = 30 2 Step Il Saggio Marginale di Sostituzione (SMS) è: b p = MUp MUb Quindi per la prima riga SMS è: b p = MUp MUb = = 1 5 Nello stesso modo per le altre righe si ottengono: b p = MUp MUb = = Step b p = MUp MUb = = 1 b p = MUp MUb = = 2 In equilibrio so che il SMS deve essere uguale al rapporto fra i prezzi. Questo è vero solo per un punto (la seconda riga) ovvero: Q = (Qp, Qb) = (4,1) 2

4 8. La tabella mostra l utilità marginale di Marco per il consumo di cibo (pasto) e vetiario (abiti). Ogni pasto ha un prezzo di 40 euro e ogni abito ha un prezzo di 120 euro. Indicare quale sarà la scelta di Marco nel caso abbia a disposizione 600 euro, spiegando il perché. Pasti Abiti Utilità marginale del pasto Utilità marginale degli abiti Indicare a quali condizioni è vera la seguente proposizione fornendo una spiegazione: Se tutti i consumatori si trovano di fronte agli stessi prezzi, il paniere dei beni domandati coinciderà 10. La domanda individuale di un consumatore rappresentativo i è dato da qi=10-p. Calcolare la domanda di mercato quando vi sono 20 consumatori. 11. Le preferenze di un consumatore sono descritte da una funzione di utilità Cobb-Douglas U=X2*Y, cui corrisponde il seguente saggio marginale di sostituzione MRS= Y/(2X). Il consumatore dispone di un reddito pari a R=120. a. Indicare se le curve di indifferenza sono concave o convesse. Spiegare il perché. b. Calcolate la quantità dei due beni X e Y, scelta dal consumatore nel caso in cui i prezzi siano Px=10 e Py= Spiegare perché nei beni di Giffen la curva di domanda è inclinata positivamente. 13. Le preferenze di un consumatore sono descritte da una funzione di utilità, cui corrisponde il seguente saggio marginale di sostituzione MRS= Y / X (questo saggio di sostituzione deriva dalla funzione Cobb-Douglas U=X*Y). Il consumatore dispone di un reddito pari a R=120. a. Calcolate la quantità dei due beni X e Y, scelta dal consumatore nel caso in cui i rispettivi prezzi siano Px=10 e Py=10. b. Il bene X è un bene normale o inferiore? (fornire un intuizione) 14. Discutete l effetto reddito e l effetto sostituzione. 15. La curva di domanda individuale di un generico consumatore è q i = 4 p, i = 1,.., N. Supponendo che nel mercato vi siano N = 10 consumatori, derivate la curva di domanda di mercato e indicate la quantità domandata dal mercato se il prezzo fosse 3. La curva di domanda di mercato è: 10 D Q = q i = 10 q i = 10 (4 p) = 40 10p i=1 La seconda uguaglianza è vera perché q i è costante per ogni individuo (infatti 4 p non dipende da i). Se il prezzo fosse 3 la curva di domanda di mercato è: Q = 40 10p = = = Sappiamo che due consumatori acquistano lo stesso paniere. Spiegate se i due consumatori devono avere lo stesso reddito e se si per quale motivo. Inoltre spiegate se i due consumatori devono avere le stesse preferenze (cioè stessa curva di indifferenza) e se si per quale motivo. 3

5 Impresa (5 punti) 17. Dopo aver fornito una definizione di rendimenti di scala, indicare e dimostrare per quali valori di a la seguente funzione di produzione presenta rendimenti di scala costanti, crescenti e decrescenti: Q=X 1/2 Y a. 18. Supponete che un impresa abbia isoquanti di produzione à la Leontief, Q=min(X,Y) e che i prezzi dei fattori X e Y siano rispettivamente P X =2 P Y =3. a. Calcolare la quantità di input X e Y necessari per produrre 3 unità di output b. Il costo totale c. Indicare inoltre come cambia la quantità di input e il costo totale nel caso il prezzo del fattore X raddoppi a. Da Q = min(x, Y) so che l ottimo si ottiene quando X = Y. Poiché la quantità di output da produrre è 3 allora si ottiene che: Q = min(x, Y) = 3 Quindi: X = Y = 3 b. Il costo totale è: C(Q) = P X X + P Y Y = = 15 c. Per continuare a produrre 3 unità di output (e non avere unità inutilizzate di X o di Y) gli input rimangono quindi invariati: X = Y = 3. Conseguentemente all aumento del prezzo del bene X, il costo totale aumenta: C(Q) = P X X + P Y Y = = Considerate la seguente tabella che descrive la funzione di produzione di un impresa: Lavoro Capitale a. Indicate e commentate brevemente se la funzione presenta rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti. b. Indicate se la produttività marginale del lavoro è costante crescente o decrescente. a. Dalla diagonale principale si osserva facilmente che i rendimenti di scala sono costanti. Infatti: Q(1,1) = 40 Q(2 1,2 1) = Q(2,2) = 80 = 2 40 = 2 Q(1,1) Q(3 1,3 1) = Q(3,3) = 120 = 3 40 = 3 Q(1,1) 4

6 Quando gli input produttivi raddoppiano (o triplicano) la produzione è esattamente doppia (o tripla). b. Se K=1: Se K=2: Q(2,1) Q(1,1) MP L (2) = = = Q(3,1) Q(2,1) MP L (3) = = = Q(2,2) Q(1,2) MP L (2) = = = MP L (3) = 20 Se K=3 MP L (2) = 45 MP L (3) = 20 Quindi la produttività marginale del lavoro è decrescente. 20. Un impresa produce con un unico input produttivo L (lavoro), nei termini descritti dalla seguente relazione La funzione di produzione di un impresa è descritta dalla seguente relazione: Q = F(L) = min{l 1,0}. I prezzo del fattore produttivo è pari a w = 4. Derivare la funzione di costo totale e indicate a quanto corrispondono i costi fissi e i costi variabili. (Suggerimento: per L 1 si ha Q = F(L) = L 1.) 21. Un impresa ha la seguente funzione di costo C(q) = q. a. Indicate se per q = 1 e q = 3 ci sono economie o diseconomie di scala. b. La funzione di produzione di questa impresa presenta rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti? Spiegare il perché. 22. Mostrare che la funzione di costo totale di lungo periodo è inferiore o al più uguale alla funzione di costo totale nel lungo periodo. 23. Un impresa ha la seguente funzione di produzione: Q=F(K,L) =K+2L. Supponendo che un unità di lavoro costi 10 euro e un unità di capitale costi 4 euro, indicate quanto vale la funzione di costo di questa impresa qualora Q= Mostrate graficamente come varia la scelta di produzione di un impresa (che volesse produrre Q=10) qualora raddoppiasse il costo del lavoro ma non del capitale. 25. Si ipotizzi che la produzione di un bene richieda l impiego di due fattori (K e L). E corretto afferare che se i prezzi dei due fattori sono uguali, K e L devono essere impiegati in eguale ammontare? Perchè? 26. Dopo aver fornito una definizione di saggio marginale di sostituzione tecnico indicate quanto vale nel caso di funzione di produzione Q= 4L+2K nel punto L=1, K=2. Cosa accade se il saggio salariale è più del doppio del prezzo del capitale? 27. Indicare se è vera o falsa la seguente proposizione fornendo una spiegazione. La funzione di costo indica il costo che un impresa sostiene per produrre una certa quantità utilizzando un mix qualsiasi dei fattori produttivi. 28. Indicare se è vera o falsa la seguente proposizione fornendo una spiegazione. La funzione di costo medio di breve periodo è al di sotto della funzione di costo di lungo periodo. 29. Dopo aver fornito una definizione di saggio marginale di sostituzione tecnico indicate quanto vale nel caso di funzione di produzione Q= L+K nel punto L=1 e L=4. Cosa accade se il il saggio salariale è maggiore del prezzo del capitale? 30. Mostrare graficamente una situazione in cui ci sono costi medi descrescenti ma costi marginali crescenti. Spiegare il perchè. Siamo in presenza di economie o diseconomie di scala. 31. Mostrare attraverso una serie di passaggi logici perché la presenza di rendimenti di scala crescenti implica l esistenza di economie di scala. 5

7 32. La funzione di produzione di un impresa è descritta dalla seguente relazione: F(L, K) = 2K + K 2 L. Siamo nel breve periodo e il capitale è fisso a K = 1. I prezzi dei fattori sono r = w = 2. Quanto costa produrre 10, 20, 30 unità? Quanto valgono i costi fissi? Poiché siamo nel breve periodo si ha che: F(L, K ) = 2K + K 2 L Sostituendo K = 1 si ottiene: F(L, 1) = L = 2 + L = Q Da questo deriva che la domanda di lavoro per produrre Q è:: L (Q) = Q 2 Quindi in generale la funzione di costo è: C(Q) = rk + wl (Q) = L (Q) = 2 + 2L (Q) = = 2 (1 + L (Q)) = 2 (1 + Q 2) = 2 (Q 1) ( ) Poiché si è trovata la formula generale ora basta sostituire la Q di volta in volta e si trova quanto richiesto: C(Q) = 2 (Q 1) = 2 (10 1) = 18 C(Q) = 2 (Q 1) = 2 (20 1) = 38 C(Q) = 2 (Q 1) = 2 (30 1) = 58 Dalla terza uguaglianza dell equazione ( ) si trova che il costo fisso è 2. Concorrenza perfetta (5 punti) 33. Descrivere la dinamica attraverso la quale in concorrenza perfettasi raggiunge l equilibrio di lungo periodo. 34. Si consideri un mercato di concorrenza perfetta. Tutte le imprese sono identiche e la funzione di costo della singola impresa è: C(q)=q La curva di domanda di mercato è data da: Q=110-p. Calcolare la curva di offerta di ciascuna impresa e la curva di offerta di mercato sapendo che ci sono 20 imprese. Calcolare inoltre l equilibrio sul mercato. 35. Descrivete le principali caratteristiche della concorrenza perfetta. 36. Un piccolo imprenditore in concorrenza perfetta ha una funzione di costi totale pari a: CT(q) = 2 + 2q + q 2. Si assuma che venda il prodotto al prezzo di mercato pari a 6. Si determini quanto produrrà l impresa che massimizza i profitti e l ammontare degli eventuali profitti. 37. Spiegare come si determina la curva di offerta di breve periodo di un impresa in concorrenza perfetta. 38. Supponete che il costo totale di un impresa in concorrenza perfetta sia pari a C(q) = 25 + q 2. La curva di domanda di un consumatore è data da: q = 6,5 6P/10. Calcolare il prezzo di mercato nel breve periodo sapendo che vi sono 10 imprese e 100 consumatori. Calcolate i profitti dell impresa nel breve periodo. Calcolare inoltre il numero di imprese nel lungo periodo. Breve periodo 1 Step (la funzione di offerta) Il costo marginale è: C(q) = 25 + q 2 MC(q) = dc(q) dq = 2q Quindi la scelta ottima per l impresa si ottiene quando P = MC(q). Nel nostro caso si ottiene: P = 2q Quindi la funzione di offerta della singola impresa è: 6

8 S: = q = P 2 Poiché ci sono 10 imprese l offerta complessiva è pari a: 2 Step (la funzione di domanda) Q S = 10 q = 10 P 2 = 5P Poiché ci sono 100 consumatori la domanda complessiva è: 3 Step (l equilibrio) Q D = 100 q = P = P 10 Uguagliando i primi due Step si ottiene il prezzo di equilibrio. Q S = Q D 5P = P P = 10 Quindi la quantità di equilibrio è: Q = 5P = 5 10 = 50 Lungo periodo Per trovare il numero ottimo d imprese bisogna eguagliare MC = AC: 2q = 25 q + q q2 = 25 q = 5 ; 1 Quindi: P L = MC = AC = 10 Sostituendo nella curva di domanda: Q D = P = = 50 Quindi: N = QD 50 N = q 5 = Si consideri un mercato di concorrenza perfetta. La domanda di mercato è data da Q= p. Il costo totale per l impresa è C=3/2 * x 2 + 1/6. Indicare l espressione del costo marginale, del costo medio e qual è il prezzo e la quantità prodotta da ciascuna impresa nel lungo periodo. 40. Si consideri un mercato di concorrenza perfetta. La domanda individuale è data da q= p. Nel mercato vi sono 200 consumatori. Il costo totale per l impresa è C= x Indicare l espressione del costo marginale, del costo medio e qual è il prezzo e la quantità prodotta da ciascuna impresa nel lungo periodo. 41. Descrivete le principali caratteristiche della concorrenza perfetta. 42. Un piccolo imprenditore in concorrenza perfetta ha una funzione di costi totale pari a: CT(q) = 2 + 2q + q 2. Si assuma che venda il prodotto al prezzo di mercato pari a 6. Si determini quanto produrrà l impresa che massimizza i profitti e l ammontare degli eventuali profitti. 1 metodo Poiché CT(q) = 2 + 2q + q 2 e p = 6 la massimizzazione del profitto richiede che si produca la Q tale che MC(q) = MR: 1 Le radici algebriche sono q = ±5 ma si considera solo la radice aritmetica q = 5 in quanto non esistono quantità negative. 7

9 MC(q) = dc(q) dq = 2 + 2q Quindi: MR = p = 6 MC(q) = MR 2 + 2q = 6 q = 2 2 metodo Poiché CT(q) = 2 + 2q + q 2 e p = 6 il profitto è: Π = RT(q) CT(q) = p q (2 + 2q + q 2 ) max Π = = 2q q = 4 q 2 = 2 Con entrambi i metodi si raggiunge lo stesso risultato (q = 2). Quindi il profitto massimo è: Π = p q 2 + 2q + q 2 = 6 2 ( ) = = La funzione di costo medio totale di un impresa è: AC(q)= q+2+4/q a. calcolare la funzione di costo variabile e la funzione di costo fisso. b. se l impresa opera in concorrenza perfetta, qual è la funzione di offerta di questa impresa c. se il prezzo di mercato è pari a 8, qual è la quantità prodotta dall impresa d. nel lungo periodo ci si aspetta che il numero di imprese in questo mercato aumenterà, rimarrà costante o diminuirà? Perché? a. Poiché AC(q) = q , il costo totale è: q C(q) = q AC(q) = q q = 4 + 2q + q2 q Quindi il costo fisso è FC = 4 mentre il costo variabile è VC = 2q + q 2. b. c. d. Due metodi: MC(q) = C(q) q = p 2 + 2q = p S q = p 2 1 q = p 2 1 = = 3 1 metodo: MC(q ) = 2 + 2q = = 8 AC(q ) = q q = = 19 3 Poiché AC(q ) < MC(q ) i profitti sono positivi. Questo attira nuove imprese nel mercato. Quindi nel lungo periodo il numero di imprese crescerà. 8

10 2 metodo: nel lungo periodo q Lp sarà: MC(q) = AC(q) 2 + 2q = q q q Lp = 2 e p Lp = 4 Poiché q Lp < q ogni impresa produrrà di meno nel lungo periodo. Questo deriva dall aumento del numero di imprese nel mercato. 44. Indicare se è vera o falsa la seguente proposizione fornendo una spiegazione. In concorrenza perfetta in caso di esternalità negative si produce un quantitativo inferiore a quello efficiente. 45. In concorrenza la curva di domanda percepita da ciascuna impresa è piatta. Indicate a cosa corrisponde e spiegate quali sono le ipotesi della concorrenza perfetta che determinano questo risultato. 46. Spiegare a cosa corrisponde la curva di offerta di un impresa in concorrenza perfetta con particolare attenzione alla curva di costo medio variabile. 47. Spiegare perché qualora sussistano economie di scala, un mercato non può configurarsi in forma di concorrenza perfetta nel lungo periodo. Indicare, inoltre, che forma deve avere la funzione di costo medio per permettere l esistenza di una struttura di mercato nel lungo periodo. 48. Si descriva graficamente, cosa succede in un mercato a seguito dell introduzione di un sussidio alla produzione. 49. Si descriva anche con l aiuto di grafici, come si raggiunge l equilibrio di lungo periodo in concorrenza perfetta partendo da una situazione in cui il numero delle imprese nel breve periodo è troppo elevato. 50. Spiegare a cosa corrisponde la curva di offerta di un impresa in concorrenza perfetta con particolare attenzione al significato della curva di costo medio variabile. 51. In un mercato concorrenziale la domanda di mercato è data da: Q D = 10 p e l offerta di mercato è data da e Q O = p. a. derivare il prezzo e il quantitativo di equilibrio O b. Supponete che nel mercato accanto all offerta (domestica) iniziale Q dom = p si affianchi l offerta estera Q O est = p 2. Derivate il nuovo prezzo e il quantitativo di equilibrio. c. Fornite una valutazione economica degli effetti dell ingresso di operatori esteri sul surplus dei consumatori e sul surplus delle imprese domestiche e estere Potere di mercato e Monopolio (5 punti) 52. Indicare se è vera o falsa la seguente proposizione fornendo una spiegazione. In caso di discriminazione di primo grado il monopolista raggiunge l efficienza economica. 53. Un monopolista ha la seguente funzione di costo totale C(Q) = F + cq e fronteggia la seguente curva di domanda: Q = 20 P. Calcolate il valore di F e c tale che il monopolista produca sul mercato 8 unità di output e faccia profitti pari a Spiegare, attraverso un esempio grafico o tabellare riguardante il mercato monopolistico, perché la massimizzazione del profitto avvenga in corrispondenza della quantità che eguaglia ricavo marginale a costo marginale. 55. La curva di domanda inversa di un consumatore nel mercato delle telecomunicazioni è pari a P(Q)=160-2Q, dove Q indica la durata in minuti della conversazione. Sapendo che monopolista ha una funzione di costo marginale pari a C =20 e può applicare una tariffa a due parti, indicare a quanto corrisponde il canone e a quanto il prezzo al minuto che massimizza il profitto. 9

11 56. La funzione di costo totale di un monopolista è: C(Q) = q 2 F e la domanda di mercato è Q = 10 p. Calcolate il profitto, la quantità e il prezzo di equilibrio in funzione di F. Indicate per quali valori di F il monopolista fa profitti negativi. 57. La funzione di costo totale di un monopolista è: C=14+2Q e la domanda di mercato è P=18-2Q. Calcolate il profitto, la quantità e il prezzo di equilibrio. 1 Step 1 metodo (più lento ma sempre valido): Il ricavo è: Quindi il ricavo marginale è: R = P Q = (18 2Q) Q = 18Q 2Q 2 MR = R = 18 4Q Q 2 metodo (più veloce ma utilizzabile solo se la funzione di domanda inversa è lineare): Il ricavo marginale (MR) può essere ottenuto anche raddoppiando la pendenza della curva di domanda inversa nel caso in cui è lineare. In questo caso partendo da: P = 18 2Q Si ha: MR = Q = 18 4Q 2 Step Il costo marginale è: MC = C Q = 2 3 Step In equilibrio deve valere MR = MC. Quindi la quantità di equilibrio: 18 4Q = 2 Q = 18 2 Q = 4 4 Quindi il prezzo di equilibrio è: P = 18 2Q = = 18 8 = 10 Infine il profitto di equilibrio è: Π(Q) = R(Q) C(Q) = 18Q 2Q 2 (14 + 2Q) = ( ) = = Descrivete la discriminazione di prezzo di primo, secondo e terzo grado e indicate quali informazioni sui consumatori ha bisogno l impresa per poter applicare queste forme di discriminazioni. 59. Descrivere gli effetti di un imposta ad valorem sul comportamento del monopolista. E possibile che i prezzi sul mercato aumentino più del valore dell imposta? 60. Spiegare perchè il ricavo marginale in monopolio è decrescente mentre in concorrenza perfetta è costante. 61. Descrivete la discriminazione di prezzo di primo, secondo e terzo grado e indicate quali informazioni sui consumatori ha bisogno l impresa per poter applicare queste forme di discriminazioni. 62. Un monopolista ha la seguente funzione di costo marginale pari a MC(Q)=2+2Q, un costo fisso pari a 2, e fronteggia la seguente curva di domanda: Q=32-P. 10

12 a. Calcolare il prezzo e la quantità che massimizzano il profitto del monopolista. b. Di quanto varierebbero i profitti del monopolista se il costo fisso aumentasse da 2 a Indicare se è vera o falsa la seguente proposizione fornendo una spiegazione. In monopolio esiste una curva di offerta. 64. Mostrate analiticamente come si ottiene la quantità e il prezzo d equilibrio in monopolio nel caso in cui la funzione di costo sia C(Q) = 4 + 4Q e la funzione di domanda inversa sia pari a: P = 12 Q. 1 Step Il ricavo è: Quindi il ricavo marginale è: R = P Q = (12 Q) Q = 12Q Q 2 MR = R = 12 2Q Q 2 Step Il costo marginale è: MC = C(Q) Q = 4 3 Step In equilibrio deve valere MR = MC. Quindi la quantità di equilibrio: 12 2Q = 4 2Q = 8 Q = 4 Quindi il prezzo di equilibrio è: P = 12 Q = 12 4 = Spiegare in cosa consiste la perdita secca di monopolio. 66. Un monopolista ha la seguente funzione di costo totale medio: AC=10/Q+2 e fronteggia la seguente curva di domanda: Q=32-P. Calcolare il prezzo e la quantità che massimizzano il profitto del monopolista 1 Step La curva di domanda può anche essere vista come: P = 32 Q Il ricavo è: R = P Q = (32 Q) Q = 32Q Q 2 Quindi il ricavo marginale è: MR = R = 32 2Q Q 2 Step Il costo è: CT = Q AC = Q = Q Q 11

13 Il costo marginale è: MC = C Q = 2 3 Step In equilibrio deve valere MR = MC. Quindi la quantità di equilibrio: 32 2Q = 2 Q = 15 Quindi il prezzo di equilibrio è: P = 32 Q = = Indicare se è vera o falsa la seguente proposizione fornendo una spiegazione. Il ricavo marginale in monopolio è decrescente. 68. Spiegate la relazione che sussiste tra ricavo marginale e ricavo medio in monopolio. 69. Un monopolista ha a disposizione due tecnologie alternative, α e β, che danno origine rispettivamente alle seguenti funzioni di costo totale: C α (Q) = 2Q e C β (Q) = 3. Sia la domanda di mercato pari a Q = A(4 P), dove A è una misura dell ampiezza di mercato. Calcolate per quali valori di A il monopolista preferisce usare la tecnologia, α piuttosto che β, e fornirne una spiegazione. 70. Un aumento dei costi di produzione di un euro possono far aumentare i prezzi del monopolista di un valore superiore ad un euro. Indicate se vera o falsa fornendo una spiegazione. Esternalità, Beni Pubblici, Teoria dei giochi (5 punti) 71. Fornire una definizione di bene pubblico. 72. Si consideri il seguente gioco, i cui payoff sono rappresentati in forma normale: Marco Paolo a. Ovest Centro Est Nord 1,1 9,6 0,4 Sud 6,2 8,4 5,5 Payoff: Paolo, Marco. a. Indicare se esistono strategie dominanti da parte dei due giocatori. b. Indicare qual è/ quali sono gli equilibri di Nash. c. Trasformate il precedente gioco in un gioco sequenziale (dinamico), immaginando che Paolo possa scegliere per primo e Marco scelga per secondo. Identificate il percorso di equilibrio corrispondente all equilibrio perfetto nei sottogiochi. Marco Paolo Ovest Centro Est Nord 1,1 9,6 0,4 Sud 6,2 8,4 5,5 Non ci sono strategie dominanti. Marco sceglie una volta C e una volta E; Paolo sceglie una volta N e due volte S. b. Ci sono due equilibri di Nash (si veda la figura): 12

14 (N, C) = (9,6) (S, E) = (5,5) Entrambi gli equilibri sono possibili. Tuttavia (N,C) è anche Pareto Superiore all altro e quindi sarebbe preferibile. c. Paolo N Marco O C E S Marco O C E Quindi con il gioco dinamico (sequenziale) si raggiunge l equilibrio Pareto Superiore. 73. Si consideri il seguente gioco, i cui payoff sono rappresentati in forma normale: Marco Paolo Ovest Centro Est Nord 0,0 3,6 2,9 Sud 6,6 2,4 1,5 Payoff: Paolo, Marco. a. Indicare se esistono strategie dominanti da parte dei due giocatori. b. Indicare qual è/ quali sono gli equilibri di Nash. c. Trasformate il precedente gioco in un gioco sequenziale (dinamico), immaginando che Paolo possa scegliere per primo e Marco scelga per secondo. Identificate il percorso di equilibrio corrispondente all equilibrio perfetto nei sottogiochi. 74. Spiegare l equilibrio perfetto nei sottogiochi e il concetto di minaccia credibile. 75. Si consideri il seguente gioco, i cui payoff sono rappresentati in forma normale. Il gioco riguarda due amici che vivono nello stesso appartamento e devono decidere di comprare un televisore. Chiaramente, una volta acquistato, entrambi possono usufruirne. Free-Riding game Marco Paolo Compro Non Compro Compro -50,-50-50,100 Non compro 100,-50 0,0 Payoff: Paolo, Marco. a. Risolvere il gioco utilizzando il concetto di equilibrio di Nash. b. Spiegare la differenza tra il Free-Riding game e il dilemma del Prigioniero di cui di seguito lo schema Dilemma del prigioniero Confesso Marco Paolo Confesso -50,-50-10,-80 Non confesso -80,-10 0,0 Payoff: Paolo, Marco. Non Confesso 13

15 76. Spiegare il concetto di equilibrio in strategia dominanti. 77. Due studentesse Anna e Barbara, vivono nel medesimo appartamento privo di televisione. Entrambe sono a conoscenza che vi è una sensazionale offerta per una televisione al plasma a 250 euro ma l offerta scade il giorno stesso. Le due amiche non possono accordarsi sull acquisto e quindi devono compiere una scelta senza contattarsi. Qualora non comprassero la televisione in offerta potrebbero accordarsi di acquistare il televisore a prezzo pieno ad un costo di 460 euro dividendo la spesa in due, mentre se lo acquistano individualmente dovrebbero pagare il prezzo per intero. L utilità di Anna se c è almeno un televisore è quantificata in 400 euro mentre quella di Barbara è di 500 euro. a. Costruite la matrice dei pay-off. b. Vi sono strategie dominanti per ciascuna delle due studentesse? c. Calcolate l equilibrio di Nash. 78. Rappresentate il seguente gioco in forma estesa e trovate il percorso di equilibrio. A è una colonia controllata da B. Il paese B ottiene reddito dal controllo dei pozzi petroliferi di A e dalle tasse pagate dai residenti in A. Nel primo stadio, A decide se organizzare una rivolta (R) oppure no (P). Se A organizzare una rivolta, nel secondo stadio, B decide se offrire l indipendenza (I) o sopprimere la rivolta (S). Se A non organizza la rivolta, B può decidere se mantenere una tassazione normale (N) o introdurre una tassazione elevata (E). Il paese A produce ricchezza pari a 20. Il controllo dei pozzi petroliferi e le tasse generano entrate pari a 4 o 8 a seconda che B applichi una tassazione normale o elevata. Iniziare la rivolta costa 5 ad A se B non interviene per sopprimerla, mentre ad entrambi costa 7 se B interviene. (NB: se B interviene a sopprime la rivolta, in seguito la tassazione sarà normale) 79. Si consideri il seguente gioco. Supponete che su un tavolo ci siano 4 monete d oro dello stesso valore e che a due giocatori, che non possono comunicare tra di loro venga chiesto di indicare se vogliono tenere per loro stessi 0, 1, 2, 3 o 4 monete d oro, sapendo che ciascun giocatore terrà il numero di monete d oro che ha indicato salvo il caso in cui il numero totale di monete richieste dai due giocatori superi 4. a. Rappresentare il gioco in forma normale (cioè con la tabella) b. Risolvete il gioco utilizzando l equilibrio di Nash ed indicate l equilibrio/gli equilibri. c. Nel caso di più di un equilibrio indicate qual è la soluzione secondo voi più probabile e spiegate il perché. 80. Fornite una definizione dell equilibrio di Nash e discutete i vantaggi e gli svantaggi dell utilizzo di questo concetto d equilibrio. 81. Descrivete il gioco chiamato il dilemma del prigioniero ed indicate le principali implicazioni economiche. 82. Descrivere le diverse funzioni di benessere indicando le loro proprietà. 83. Risolvere il seguente gioco simultaneo:. Puzzle game Marco A1 B1 Paolo A2 10, 10 0,0 B2 0,0 20,20 Payoff: Paolo, Marco. a. vi sono strategie dominanti? b. vi è/ vi sono soluzioni in equilibrio di Nash? Se si, quale/i? c. se c è più di un equilibrio di Nash in base a quale criterio è possibile identificare il più probabile? d. a quale gioco visto in classe corrisponde? 14

16 a. Marco Paolo A1 B1 A2 10, 10 0,0 B2 0,0 20,20 Non ci sono strategie dominanti. Marco sceglie una volta A1 e una volta B1; Paolo sceglie una volta A2 e una volta B2. b. Ci sono due equilibri di Nash (si veda la figura): (A1, A2) = (10,10) (B1, B2) = (20,20) c. Entrambi gli equilibri sono possibili. Tuttavia (B1, B2) è l equilibrio che emerge con più probabilità perché Pareto Domina l altro. d. Al coordinamento ordinato (cfr. dispensa sulla teoria dei giochi pag. 7). 84. Descrivere le diverse funzioni di benessere indicando le loro proprietà. 85. Indicate se è vera o falsa la seguente frase indicando il perché: Un equilibrio in strategie dominanti è anche un equilibrio di Nash, e viceversa. 86. Dopo aver fornito una definizione a) di rivalità/non rivalità nel consumo e b) escludibilità e non escludibilità, descrivete, fornendo anche degli esempi, le quattro tipologie di beni che si ottengono dall incrocio delle precedenti categorie. 87. In relazione alla teoria dei giochi: a. Definite la funzione di risposta ottima b. Definite la nozione di equilibrio di Nash usando la funzione di risposta ottima. c. Definite la nozione di equilibrio in strategia dominante usando la funzione di risposta ottima, e spiegate la differenza tra le due nozioni 15

17 88. Si consideri il seguente gioco. Supponete che su un tavolo ci siano 4 monete d oro dello stesso valore e che a due giocatori, che non possono comunicare tra di loro venga chiesto di indicare se vogliono tenere per loro stessi 0, 1, 2, 3 o 4 monete d oro, sapendo che ciascun giocatore terrà il numero di monete d oro che ha indicato salvo il caso in cui il numero totale di monete richieste dai due giocatori superi 4. a. Rappresentare il gioco in forma normale (cioè con la tabella) b. Risolvete il gioco utilizzando l equilibrio di Nash ed indicate l equilibrio/gli equilibri. c. Nel caso di più di un equilibrio indicate qual è la soluzione secondo voi più probabile e spiegate il perché. a. b. G1 G ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 1,0 1,1 1,2 1,3 0,0 2 2,0 2,1 2,2 0,0 0,0 3 3,0 3,1 0,0 0,0 0,0 4 4,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Ci sono 5 equilibri di Nash (si veda la figura al punto a): Strategie = Payoff (4,0) = (4,0); (3,1) = (3,1); (2,2) = (2,2); (1,3) = (1,3); (0,4) = (0,4); (4,4) = (0,0). c. Tutti e 5 gli equilibri sono possibili. Tuttavia ci sono 3 strategie poco probabili: (4,0); (0,4); (4,4). Infatti (4,0) è una strategia poco credibile, in quanto il giocatore 2 difficilmente sceglierà la strategia 0 poiché otterrebbe sicuramente il payoff più basso possibile. Simmetricamente si può fare lo stesso ragionamento per il payoff (0,4). Quindi, poiché è poco probabile che un giocatore scelga la strategia 0 allora l altro giocatore non sceglierà la strategia 4. Quindi anche la strategia (4,4) e poco probabile. In questo caso non esiste un equilibrio Pareto Dominante. Tuttavia se c è un forte senso di equità fra i 2 giocatori si sceglierà la seguente strategia (2,2). Comunque la soluzione dipende dalle credenze che un individuo ha sull altro. Se per esempio un giocatore è neutrale al rischio ma sà che l altro giocatore sia avverso al rischio allora la sua strategia ottima potrebbe essere di scegliere 3 poiché l avversario non sceglierà 0 (come visto in precedenza) ma sceglierà 1 poiché è avverso al rischio. Quindi, in questo caso gli equilibri potranno essere (3,1) o (1,3) in base a quale soggetto è avverso al rischio e quale neutrale. 16

18 89. Si consideri il seguente gioco, i cui payoff sono rappresentati in forma normale. Il gioco riguarda due amici che vivono nello stesso appartamento e devono decidere di comprare un LCD. Chiaramente, una volta acquistato, entrambi possono usufruirne. Free-riding Paolo Marco Compro Non Compro Compro -50,-50-50,100 Non Compro 100,-50 0,0 Payoff: Paolo, Marco. a. Risolvere il gioco utilizzando il concetto di equilibrio di Nash. b. Spiegare la differenza tra free-riding e dilemma del prigioniero di cui di seguito lo schema Dilemma del prigioniero Paolo Marco Compro Non Compro Compro -50,-50-10,-80 Non Compro -80,-10 0,0 Payoff: Paolo, Marco. H. Problema (10 punti) 90. Un impresa fronteggia la seguente funzione di domanda individuale qi=24-p e ci sono 10 consumatori sul mercato. La sua funzione di costo totale è C=500. a. Se l impresa può scegliere prezzi uniformi, indicare qual è il prezzo d equilibrio e i profitti dell impresa b. Se l impresa può applicare una tariffa a due parti indicare il canone e il prezzo d uso e il profitto dell impresa. c. Immaginate ora che l impresa (Incumbent) possa annunciare la modalità di competizione sul mercato. E cioè possa annunciare se vuole competere nelle quantità o nei prezzi. E successivamente immaginate che una seconda impresa (Entrante) possa decidere se entrare o meno nel mercato. L entrante ha la stessa funzione di costo dell incumbent Descrivete il tutto come un gioco dinamico e calcolate l equilibrio del gioco. d. Immaginate invece che l incumbent possa scegliere la modalità di competizione solo dopo che l entrante abbia scelto se entrare o meno nel mercato. Descrivete il nuovo gioco dinamico e calcolate l equilibrio. e. Confrontate le due soluzioni discutendo il ruolo degli impegni vincolanti (in questo caso la possibilità di poter scegliere la modalità di competizione). 91. Si supponga che un imprenditore possieda tre imprese. La prima opera in mercato di monopolio mentre le altre due sono in mercati duopolostici. a. Sapendo che nel primo mercato, la curva di domanda è pari a Q=100-P e la funzione di costo totale è C=40Q, calcore la quantità ottima, i prezzi e i profitti. b. Sapendo che nel secondo mercato, vi è un altra impresa dove compete nei prezzi ed hanno entrambi la funzione di costo pari C=40Q e la curva di domanda è Q=100- P, calcore la quantità di equilibrio, i prezzi e i profitti. c. Sapendo che nel terzo mercato, vi è un altra impresa dove compete nelle quantità ed hanno entrambi la funzione di costo pari C=40Q e la curva di domanda è Q=100- P, calcore la quantità di equilibrio, i prezzi e i profitti. d. Confrontate i risultati nei 3 scenari. e. L imprenditore è in grado di impegnarsi in modo intenso in uno dei tre mercati potendo ridurre i costi totali da C=40Q a C=16Q. In quale dei tre mercati deciderà di impegnarsi? f. Commentate il risultato al punto e. 17

19 92. Considerate il seguente gioco sequenziale chiamato il centipede. A (1,0) L R B L (0,3) R (2,2) (Payoff di A, Payoff di B) a. Identificate le mosse di A e di B e indicate i payoff associati al percorso di equilibrio. b. Trasformate il precedente gioco in un gioco statico immaginando quindi che i due giocatori muovano simultaneamente. Indicate se vi sono strategie dominanti per ciascuno dei giocatori e identificate l equilibrio/ gli equilibri di Nash. c. Trasformate il gioco al punto b) nuovamente in un gioco dinamico, supponendo ora che il giocatore B muova per primo e il giocatore A muova per secondo. Indicate i payoff associati al percorso di equilibrio. Il giocatore A preferisce avere il vantaggio della prima mossa? 93. Supponete che un impresa europea e un impresa americana producano sia schede audio che schede video. I costi totali di produzione per ogni impresa e per ogni prodotto sono identici: TC A = q A TC V = q V e la domanda per ogni prodotto in America e in Europa è identica e per ciascun continente è data da: P A = Q A P V = Q V a. Inizialmente il commercio tra Europa e Stati Uniti in schede video e audio è proibito e quindi le imprese agiscono come monopolisti ciascuno nella propria area geografica. Calcolare il prezzo e la quantità di equilibrio in ciascun mercato. b. Supponete ora che il commercio tra Europa e Stati Uniti venga permesso e che l impresa americana si specializzi nella produzione di schede video e quella Europea nalla produzione di schede audio. Entrambe le imprese diventano quindi monopolisti mondiali sul proprio prodotto. Una volta concesso il commercio, il monopolista americano fronteggia la seguente funzione di domanda: P V = Q V mentre l impresa europea fronteggia la seguente funzione di domanda: P A = Q A. Calcolate il prezzo e le quantità di equilibrio sul mercato mondiale delle schede audio e sul mercato mondiale delle schede video. c. Qual è l impatto dovuto all introduzione del commercio internazionale sul benessere (rendita del consumatore e rendita del produttore) se le imprese si specializzano? d. E se le imprese competono alla Bertrand in ciascun mercato? 94. Un holding possiede due imprese. L impresa UNO opera come monopolista nell offerta di manifestazioni turistiche, mentre l impresa DUE è in un mercato duopolistico e compete alla Cournot con un'altra impresa chiamata TWO, nel mercato degli impianti di risalita. a. Impresa UNO. L impresa UNO ha tre tipi di clienti: gli amanti delle sagre (S), gli amanti dei concerti (C) e coloro che sono interessati ad entrambi i tipi di eventi (E). L impresa ha due tipi di prodotti: la festa della porchetta (P) e le serate musicali (M). I costi di produzione sono fissi e pari a 1000 euro in entrambi i mercati. La seguente tabella riassume le disponibilità a pagare per le tre tipologie di clienti e la loro numerosità. Calcolare i prezzi separati che massimizzano i profitti per la festa della porchetta e per le serate musicali. Numero Festa della Serate 18

20 di clienti porchetta musicali Amanti delle sagre Amanti di manifestazioni Amanti dei concerti b. Calcolare i prezzi di bundling puro e bundling misto. c. Impresa DUE. L impresa DUE e l impresa TWO hanno entrambe la seguente funzione di costo totale: C=20+2Q, e fronteggiano la seguente domanda: P=62-Q. Calcolare il prezzo e le quantità di equilibrio qualora le due imprese scelgano simultaneamente. d. Calcolare i prezzi e le quantità di equilibrio qualora l impresa DUE fissi per prima la quantità. e. Secondo voi la holding potrebbe trarre un vantaggio dal fatto di possedere simultaneamente UNO e DUE. Spiegare il perché. 95. Un impresa fronteggia la seguente funzione di domanda individuale q = 2 p/10 e ci sono 10 consumatori sul mercato. La sua funzione di costo totale è C(q) = Q. a. Se l impresa può scegliere prezzi uniformi, indicare qual è il prezzo d equilibrio e i profitti dell impresa. b. Se l impresa può applicare una tariffa a due parti indicare il canone e il prezzo d uso e il profitto dell impresa. c. Immaginate ora che l impresa (Incumbent) possa annunciare la modalità di competizione sul mercato. E cioè possa annunciare se vuole competere nelle quantità o nei prezzi. E successivamente immaginate che una seconda impresa (Entrante) possa decidere se entrare o meno nel mercato. L entrante ha la stessa funzione di costo dell incumbent Descrivete il tutto come un gioco dinamico e calcolate l equilibrio del gioco. d. Immaginate invece che l incumbent possa scegliere la modalità di competizione solo dopo che l entrante abbia scelto se entrare o meno nel mercato. Descrivete il nuovo gioco dinamico e calcolate l equilibrio. Commentare brevemente. 96. Supponete che la compagnia aerea AirXXX operi in un mercato dove vi sono due tipologie di passeggeri. I passeggeri business che hanno la seguente curva di domanda Q b = 180 P e i passeggeri leisure che hanno la seguente curva di domanda Q l = 120 P. Per semplicità assumiamo che i costi totali delle compagnie aeree siano pari zero. a. Prima della liberalizzazione del mercato aereo, le compagnie aeree non applicavano politiche di prezzo sofisticate (note come revenue management) e quindi offrivano i medesimi prezzi per le due tipologie di passeggeri. Calcolare il prezzo (uniforme) che massimizza il profitto di AirXXX nel caso in cui la compagnia aerea sia l unica ad operare sul mercato e nel caso in cui abbia un concorrente AirYYY con cui compete nelle quantità. b. A seguito della liberalizzazione del mercato aereo, le compagnie aree hanno iniziato ad applicare prezzi differenti per i due segmenti di clientela. Calcolare i prezzi che massimizzano il profitto di AirXXX nel caso in cui la compagnia aerea sia l unica ad operare sul mercato. c. In realtà, gli esperti di revenue management hanno notato che se i differenziali tra i prezzi offerti alle due tipologie di passeggeri aumenta troppo, i passeggeri business tendono ad acquistare biglietti leisure (nota come dilution). A tal fine è stato stimato che affinché non avvenga questo i differenziali tra i prezzi devono essere al massimo pari a 20. Ripetete l esercizio al punto b. tenendo conto di questo vincolo. 97. Supponete che un ristoratore operi in un mercato inizialmente monopolistico. Vi sono 200 consumatori; la curva di domanda del generico consumatore i è: q i = 1 p i. a. Supponendo per semplicità che il costo marginale di produzione è pari a 0, calcolate il prezzo offerto dal monopolista e il suo profitto. 19

21 b. Ipotizzate ora che il ristoratore possa applicare una discriminazione di prezzo di primo grado. Calcolare nuovamente i profitti del monopolista. c. Supponete che in realtà i clienti siano di due tipi: 100 clienti chiassosi (noisy) la cui curva di domanda individuale è q n = 1 p n, 100 clienti sofisticati la cui curva di domanda individuale è: q s = 1,48 p s, qualora non ci siano clienti chiassosi nel ristorante; e q s = 1 p s nel caso in cui vi siano anche clienti chiassosi nel ristorante. Ipotizzate che il monopolista possa fare selezione all ingresso. Indicate se preferirà avere nel ristorante solo clienti sofisticati o avere sia clienti sofisticati che clienti chiassosi. d. Ripetete l esercizio al punto c) e indicate se il monopolista nel caso in cui non possa fare selezione (vietando l ingresso ai clienti chiassosi) sceglierà un prezzo tale da escludere i clienti chiassosi. e. Supponete ora che vicino al ristorante apra un concorrente (una trattoria) che attira i clienti chiassosi. Il ristorante rispetto al punto d. avrà un danno oppure un vantaggio? 98. Il mercato del bene X è un duopolio in cui operano due imprese, chiamate 1 e 2. Le due imprese vendono un bene omogeneo. Ci sono due soli consumatori nel mercato, Alberto (A) e Barbara (B). Entrambi hanno una valutazione del bene pari a 10 (cioè sono disposti a pagare al massimo 10 euro per un unità del bene X) e sono interessati a comprare al massimo una unità (a testa) del bene (quindi o comprano una unità oppure non comprano il bene X). Dato che il bene è omogeneo, A e B comprano dall impresa che pratica il prezzo più basso (se il prezzo è lo stesso, A compra dall impresa 1 e B dall impresa 2). Il costo marginale delle due imprese è pari a 1 (non ci sono costi fissi). a. Se le due imprese scelgono il prezzo simultaneamente, qual è l equilibrio? A quanto ammontano i profitti delle imprese? b. Come variano i profitti dell impresa 1 se l impresa 2 esce dal mercato? c. Supponete ora che entrambe le imprese possano operare nel mercato Y caratterizzato da 3 consumatori ma in tutto simile al precedente in termini di struttura di costi e di domanda. Calcolate i profitti delle imprese quando competono simultaneamente nei prezzi e calcolate il profitto dell impresa 2 qualora fosse monopolista. d. Ipotizzate che ciascuna impresa abbia due alternative. Vendere unicamente nel mercato X o vendere unicamente nel mercato Y. Rappresentare il gioco in forma normale e calcolare l equilibrio / gli equilibri di Nash? 99. In un settore industriale, due imprese competono alla Bertrand, producendo un bene omogeneo e avendo capacità produttiva illimitata. Le funzione di costo delle imprese sono identiche e pari a: C(q i ) = 20q i, con i = 1,2. La funzione di domanda di mercato è data da P = 100 Q dove Q = q 1 + q 2. a. Determinate prezzo e quantità (totale e delle singole imprese) di equilibrio in tale mercato e calcolare i profitti delle due imprese. b. Supponete ora che le imprese abbiano capacità produttiva limitata e pari a 20 per ciascuna impresa (ciò significa che le imprese possono produrre al massimo 20 unità). Supponete inoltre che i consumatori abbiano il seguente comportamento: i consumatori sono informati sul prezzo praticato dalle due imprese e si rivolgono per effettuare i loro acquisti prima all impresa che offre al prezzo minore. Si ipotizzi anche che i consumatori con maggiore disponibilità a pagare siano serviti per primi. Trovare il nuovo prezzo e la nuova quantità di equilibrio. c. Supponete ora che l impresa 1 possa limitare la sua capacità mentre l impresa 2 abbia capacità illimitata. L impresa 1 avrà un interesse a limitare la sua produzione? Discutere il punto e calcolare la capacità massima che sceglierà l impresa 1 in questo caso. Questo risultato porta un vantaggio maggiore alla prima o alla seconda impresa? 20