COMPLEMENTI DI STATISTICA. L. Greco, S. Naddeo

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1 COMPLEMENTI DI STATISTICA L. Greco, S. Naddeo

2 INDICE. GENERALITA SULLA VERIFICA DI IPOTESI. Itroduzoe 4. I test d sgfcatvtà 5.3 Gl tervall d cofdeza 7.4 Le potes alteratve.5 La poteza del test 5.6 Il test pù potete 7.7 Le prcpal verfche d potes su parametr d ua popolazoe.8 I cofrot fra parametr d pù popolazo 5.9 I test basat sul rapporto fra le verosmglaze 34. Alcu test fuzoal 38. L ANALISI DELLA VARIANZA.. Itroduzoe 44.. Le fas dell esecuzoe d u espermeto Le codzo del modello parametrco dell aals della varaza La sgfcatvtà de fattor 5 3. I PRINCIPALI DISEGNI DEGLI ESPERIMENTI 3.. Lo schema casuale Lo schema completo a blocch casual L effetto d terazoe Lo schema fattorale LE ANALISI SUCCESSIVE DEI LIVELLI MEDI 4.. Itroduzoe Il metodo d Tukey Il metodo d Scheffè 75

3 5. I MODELLI DI REGRESSIONE 5. Itroduzoe 8 5. Modell teorc d regressoe semplce Gl stmator e le loro dstrbuzo d probabltà Descrzoe dell output de programm d calcolo L aals de resdu U applcazoe dell aals d regressoe semplce Ce su modell d regressoe multpla 5.8 U applcazoe dell aals d regressoe multpla 6 6. LE SERIE STORICHE 6. Itroduzoe 6. La struttura della sere I fltr lear La stma del tred medate fuzo matematche 6.5 L autocorrelazoe fra resdu Process stocastc e modell lear L aals de resdu e la scelta del modello 3

4 CAPITOLO. GENERALITA SULLA VERIFICA DI IPOTESI. Itroduzoe Co l terme potes statstca s tede ua cogettura su ua qualsas caratterstca gota della dstrbuzoe d ua varable ua popolazoe che vee formulata sulla base d cosderazo tutve o delle formazo parzal d cu s dspoe. L potes può specfcare parzalmete o completamete la dstrbuzoe d probabltà della varable e può rferrs sa alla forma fuzoale della dstrbuzoe stessa (s parla, apputo, d potes fuzoale), sa al valore de suo parametr, el caso cu sa ota la forma (ed questo caso s parla d potes parametrca). L obettvo che c s poe è quello d verfcare questa potes medate le formazo parzal forte da ua rlevazoe campoara e la procedura per la verfca dell potes costtusce l cosddetto test statstco. I molte stuazo cocrete s evdezao aturalmete delle potes che rsultao partcolarmete rlevat ell aals de feome oggetto d dage, coscché è ovvo reperre formazo campoare allo scopo d verfcare queste potes. Suppoamo per esempo d voler verfcare se per ua partcolare moeta s ha la stessa probabltà d otteere la facca testa oppure la facca croce. Questa potes è partcolarmete rlevate perché la sua accettazoe porterebbe a cocludere che la moeta è equlbrata, metre l suo rfuto dcherebbe che la moeta è sblacata o addrttura truccata. Altre potes rlevat soo, per esempo, che la meda d ua popolazoe è uguale alla meda ota d u altra popolazoe, che due varabl soo correlate fra d loro, che due dvers fertlzzat hao lo stesso effetto sulla produttvtà per ettaro d u certo tpo d pata, che due dvers medcal possoo essere cosderat equvalet per la cura d ua partcolare malatta e così va. I geerale l potes che s vuole verfcare è detta potes ulla (o potes d base) e vee dcata modo stetco co la otazoe H : seguta dal suo eucato formale, dove H è l zale del terme glese Hypothess. Nel caso della moeta, se dchamo co p la probabltà d otteere la facca testa u laco, la verfca dell potes che la moeta sa equlbrata può essere formulata el seguete modo H : p =,5...

5 I pratca, per verfcare l potes H s può procedere ad u certo umero d lac e regstrare l umero d teste e d croc otteute. Ovvamete s è portat a rteere plausble l potes ulla se le frequeze assocate alle teste ed alle croc o rsultao molto dverse fra d loro, metre caso cotraro s è portat a rteere che l potes sa falsa. E però evdete che el procedmeto appea descrtto etra goco l fattore casuale, per cu è teora possble lacare ua moeta equlbrata volte ed otteere u umero d teste che va da a, ache se ovvamete alcu rsultat soo molto meo probabl d altr. I geerale, qud, sulla base delle formazo parzal forte da u campoe casuale, per quato umeroso esso sa, o è possble stablre co certezza se u'potes è vera oppure è falsa, dato che uo stesso rsultato può dervare da popolazo co strutture dverse. Nell ambto della verfca d potes statstche, qud, ua qualuque coclusoe merto all potes che s vuole sottoporre a verfca comporta ecessaramete u rscho d errore. Pù partcolare, u qualsas crtero d decsoe comporta ecessaramete l rscho d commettere u errore che cosste el rfutare l potes quado è vera oppure ell accettarla quado è falsa. Nel caso della moeta, per esempo, l rsultato campoaro potrebbe segalare che la moeta è equlbrata ache se la moeta fosse effettvamete sblacata oppure rsultat otteut potrebbero dcare che la facca testa ha ua probabltà molto maggore della facca croce ache se la moeta fosse equlbrata o, addrttura, se alla facca croce fosse assocata ua probabltà maggore d quella assocata all altra facca.. I test d sgfcatvtà Il procedmeto per la verfca dell potes.. s basa sulla dstrbuzoe d probabltà dello stmatore d p sotto potes ulla. L potes vee cosderata tato pù verosmle quato pù l valore della stma campoara d p forta dal campoe osservato rsulta probable sotto H. Nell esempo cosderato, data l dpedeza de lac, la dstrbuzoe dello stmatore Pˆ "quota d teste otteute e lac" sotto H è ua bomale f ˆ p pˆ ( ˆ ) p ( p) ( pˆ p = ) pˆ =,,...,.. dove p=,5.

6 I possbl valor dello stmatore sotto potes ulla s dstrbuscoo modo smmetrco toro a,5, coscché questo caso l seme de rsultat pù probabl sotto H è costtuto da tutt que valor d Pˆ che soo compres u tervallo cetrato su,5. La regola d decsoe cosste qud el rteere verosmle l potes ulla se la stma campoara otteuta pˆ è compresa ell tervallo de rsultat pù probabl e el rfutarla se pˆ cade all estero. Come s vede questa regola d decsoe comporta ua probabltà d commettere u errore che cosste el rfutare l potes ulla quado è vera, dato che è evdetemete possble otteere u rsultato campoaro estero all tervallo cosderato quado H è vera. I geerale, data ua varable Z d dstrbuzoe ota, ma caratterzzata da u parametro θ che è vece goto, s può voler verfcare l potes che l parametro θ assuma l valore θ H : θ =... θ E mportate sottoleare che l valore θ è solo uo de possbl valor compres ell tervallo d defzoe d θ, oguo de qual realtà potrebbe essere l valore vero. I geerale o s avrà motvo d rfutare H se l rsultato campoaro otteuto retra ell seme de rsultat pù probabl sotto potes ulla. L potes verrà vece rfutata se l rsultato retra fra quell poco probabl sotto H. Il procedmeto adottato, qud, cosste el dvdere l seme de campo possbl due sottosem: se l rsultato campoaro fa parte d u sottoseme, l potes vee accettata, metre se retra ell altro, vee respta. Il prmo sottoseme è detto regoe d accettazoe dell potes ulla, l secodo è detto regoe d rfuto o regoe crtca. La probabltà dell errore che cosste el rfutare l potes ulla quado è vera vee dcata medate la lettera α è vee detta errore d prma spece o, ache, lvello d sgfcatvtà. L errore d prma spece è qud la probabltà d otteere, quado è vera l potes ulla, u rsultato campoaro che rsulta compreso ella regoe d rfuto dell potes. I pratca per verfcare l potes.., s scegle uo stmatore T d θ e s fa rfermeto alla sua dstrbuzoe d probabltà determata come se θ fosse l vero valore d θ. Questa è la cosddetta dstrbuzoe dello stmatore sotto potes ulla. Ua volta scelto l lvello d probabltà α, gl estrem dell tervallo d accettazoe dell potes ulla, dett valor crtc, spesso corrspodoo a due quatl che questa dstrbuzoe solao l prmo sulla sua sstra ed l secodo sulla sua

7 destra ua probabltà par ad α/. Vedremo seguto che alcu cas la poszoe dell tervallo d accettazoe dell potes ulla può ache essere dversa da quella appea cosderata. Come abbamo vsto, la regola d decsoe cosste el rfutare l potes ulla quado l valore campoaro t d T rsulta compreso ella regoe crtca. I questo caso s dce ache che l valore della statstca è sgfcatvo. All tervallo d accettazoe è assocata evdetemete ua probabltà par ad α, coscché la regola d decsoe porterà el ( α)% de cas a o rfutare l potes e el α% de cas a rfutarla ache se è vera. L'essere dspost ad accettare l rscho d commettere u errore qud cosete, se è vera l potes H, d decdere correttamete el ( α)% de cas. La probabltà α vee determata ovvamete modo da essere quas scur d o respgere H quado è vera. Dato che α è l rscho d u errore, è charo che l suo valore deve essere fssato teedo preset qualche modo le cosegueze che dervao dal rfutare u'potes vera coscché, se s ha teresse a tutelars cotro questo rscho, è ecessaro rdurre questa probabltà. S osserv d altra parte che al dmure d α aumeta l ampezza dell tervallo d accettazoe per cu, se l valore d α è basso, o s ha motvo d respgere H ache preseza d rsultat che soo molto mprobabl sotto quell potes e per qual, qud, l potes stessa rsulta poco verosmle..3 Gl tervall d cofdeza E opportuo sottoleare come, quado l valore t dello stmatore T rsulta compreso ell tervallo d accettazoe, s può solo affermare che o s ha motvo d rfutare l potes, metre o è possble cocludere che H è vera. U rsultato compreso ell tervallo d accettazoe, fatt, o mplca che l potes sa ecessaramete vera. E evdete fatt che geerale t retra ache ell seme de rsultat pù probabl sotto altre potes dverse da H e rsulta qud compreso ell tervallo d accettazoe assocato a tutte queste altre potes. Per charre questo cocetto, suppoamo d cosderare ua varable X che ella popolazoe s dstrbusce modo ormale co ua varaza ota sgfcatvtà α u potes sulla meda d X, del tpo σ e d voler verfcare al lvello d H : µ = µ.

8 I questo caso sappamo che lo stmatore meda campoara X s dstrbusce modo ormale co ua meda che, sotto potes ulla, è par a µ e co uo scarto quadratco medo par a σ. D cosegueza l tervallo d accettazoe sarà cetrato su µ e corrspode a σ σ u µ + α,,.3. µ u α dove u è l quatle d orde α/ della ormale stadard. Sappamo che se l valore della α meda del campoe osservato rsulta compresa ell tervallo cosderato o s ha motvo d rfutare l potes ulla. Questo rsultato campoaro però è ache compreso ell tervallo d accettazoe d altre potes su µ, o troppo dstat da µ. Nella fgura.., per esempo, soo rappresetate le dstrbuzo della meda campoara X per alcu valor d µ ed corrspodet tervall d accettazoe. Le curve soo rportate su ass dvers per rago d charezza, ma devoo teders affacate sullo stesso asse. Come s vede, l rsultato campoaro x d X è coteuto cotemporaeamete egl tervall d accettazoe d tutto u seme d potes dverse. Fgura.3. Rappresetazoe grafca delle dstrbuzo della meda campoara per alcu valor d µ µ µ x Nella fgura soo ache evdezat valor µ e µ che costtuscoo rspettvamete l valore pù basso e quello pù alto d µ che, dato l lvello d sgfcatvtà α, o possoo essere rfutat. S osserv fatt che x cocde co l'estremo destro dell'tervallo d accettazoe assocato a µ e

9 co l'estremo sstro dell'tervallo assocato a µ, coscché tutt valor d µ compres fra µ e µ costtuscoo l seme d potes che o possoo essere rfutate e che rsultao qud compatbl co l valore della meda campoara x. Ivece, per valor d µ feror a µ o superor a µ l rsultato campoaro cade ella regoe crtca coscché quest valor d µ costtuscoo delle potes che, per quel determato α, devoo essere rfutate. I geerale, qud, dato l rsultato campoaro t dello stmatore T del parametro θ, le potes sul parametro che o possoo essere rfutate soo tutte quelle per le qual t è compreso el corrspodete tervallo d accettazoe. Pù partcolare, l pù pccolo valore d θ che deve essere accettato è quel θ per l quale t cocde co l quatle destro della dstrbuzoe d T sotto θ ed l pù grade è quel θ per l quale t cocde co l quatle sstro. S osserv ora che queste defzo d θ e d θ corrspodoo esattamete alle defzo degl estrem dell tervallo d cofdeza d θ, coscché l tervallo d cofdeza è l seme delle potes che o possoo essere rfutate al lvello d probabltà α quado l rsultato campoaro è t. Pertato, la verfca d potes su u valore θ d θ ad u lvello d sgfcatvtà α potrebbe ache essere effettuata cotrollado se θ è compreso ell tervallo d cofdeza d θ costruto al lvello d probabltà α. Dato che, come s è vsto, l tervallo d cofdeza è l seme delle potes che, base alla regola d decsoe, o possoo essere rfutate, accettare H ad u lvello d sgfcatvtà α sgfca realtà rteere rrlevate che l potes vera sa H oppure ua qualsas altra delle potes compatbl, a quel lvello d sgfcatvtà, co l rsultato campoaro. Co rfermeto all esempo relatvo alla meda, accettare l potes d base equvale qud ad affermare che tutt valor d µ compatbl co x segalao uo scostameto dal valore sotto potes ulla che, el ostro caso, rsulta pratcamete rrlevate. E charo che ua coclusoe d questo geere può rsultare poco sosteble se l valore d α è molto basso. I questo paragrafo s è vsto come, fssato l lvello d probabltà α, l tervallo d accettazoe dell potes ulla sa delmtato da due quatl che ella dstrbuzoe d probabltà dello stmatore, cosderata sotto potes ulla, solao sulla sstra e sulla destra ua probabltà par ad α/. Negl esemp relatv alla moeta blacata ed alla meda della varable ormale X questo modo d procedere porta ad u tervallo d accettazoe che cotee l seme de valor pù probabl sotto potes ulla a causa della smmetra della dstrbuzoe dello stmatore. Tuttava spesso, ache quado la dstrbuzoe dello stmatore T o è smmetrca, vegoo comuque

10 utlzzat per semplctà quest due quatl, ache se la regoe crtca potrebbe essere scelta co crter dvers. Le verfche d potes cosderate questo paragrafo retrao e cosddett test d sgfcatvtà, e qual s prede esplctamete cosderazoe solo l potes ulla e la probabltà dell errore che cosste el rfutare questa potes quado è vera. Nel paragrafo successvo esameremo ache evetual potes alteratve e c occuperemo ache della probabltà del cosddetto errore d secoda spece che cosste ell accettare l potes ulla quado è falsa..4 Le potes alteratve I parametr che caratterzzao ua dstrbuzoe geerale possoo assumere uo qualsas de valor compres el loro tervallo d defzoe che, per esempo, per la meda d ua dstrbuzoe ormale è (, ), per l coeffcete d correlazoe è (,) e così va. Nelle stuazo real talvolta è oto che u certo parametro può vece effettvamete assumere sol valor compres u seme pù lmtato, coscché oltre all potes ulla H è ecessaro specfcare ache l potes alteratva che geerale è dcata co l smbolo H. Vedremo che preseza d potes alteratve lmtate è geere pù coveete utlzzare per la verfca d potes rego crtche dverse da quelle cosderate el paragrafo precedete. Data qud l potes ulla H : θ = θ,.4. l potes alteratva può assumere per esempo ua delle seguet forme H : H : H : H : θ= θ.4. θ> θ.4.3 θ< θ.4.4 θ θ..4.5 Se l potes alteratva è del tpo.4.5, d solto o vee formulata esplctamete come abbamo vsto e paragraf precedet. Le potes del tpo.4. o.4. vegoo dette semplc e queste potes hao la caratterstca d specfcare completamete la fuzoe d dstrbuzoe della varable ella collettvtà, el seso

11 che, ota la forma fuzoale d tale varable, l valore del parametro goto θ la detfca esattamete. I tutt gl altr cas l potes vee detta composta e costtuscoo qud esemp d potes composte le.4.3,.4.4 e.4.5. Pù partcolare le potes.4.3 e.4.4 vegoo dette potes composte udrezoal, metre l potes.4.5 vee detta potes composta bdrezoale. Ovvamete ache l potes ulla può essere u potes composta, per esempo del tpo.4.3 oppure.4.4. U altro caso d potes composta s ha quado la fuzoe d dstrbuzoe della varable dpede da pù parametr got, ma o fssamo solo valor d alcu parametr seza potzzare ulla per gl altr. Così, per esempo, per ua popolazoe cu la varable s dstrbusce modo ormale co µ e σ got, l potes H µ = µ : è u potes composta quato, o essedo oto l valore della varaza, l valore della meda o è suffcete a specfcare completamete la dstrbuzoe della varable, dato che esstoo fte dstrbuzo ormal d meda µ, ua per oguo de possbl valor d Predamo ora cosderazoe l caso pù semplce, suppoedo d sapere che l valore vero del parametro che caratterzza la dstrbuzoe della varable X ella popolazoe è θ oppure θ, per cu l sstema d potes è σ. H H : θ= θ : θ=θ I geere la verfca d potes vee mpostata fssado la probabltà α d commettere l'errore d rfutare l potes vera H. Nel ostro caso qud s vuole cotrollare la probabltà d rfutare l potes che l valore d θ sa uguale a θ. Questo caso, che realtà è puttosto teorco, è teressate perché è charamete defta sa la probabltà d rfutare l potes ulla quado è vera sa la probabltà d accettarla quado è falsa. Fssata ua regoe d accettazoe d H, la probabltà d accettare l potes ulla quado è falsa corrspode alla probabltà d otteere u rsultato campoaro che cade ella regoe d accettazoe, quado l valore vero del parametro è θ. Quest ultma probabltà costtusce l cosddetto errore d secoda spece che vee dcato co l smbolo β. L ettà dell errore d

12 secoda spece dpede dalla scelta della regoe d accettazoe d Η ed è qud ovvo che, a partà d α, la regoe d accettazoe pù coveete è quella che asscura l pù basso valore d β. Suppoamo, per esempo, che la X s dstrbusca modo ormale co ua varaza par a,56 ed ua meda che può assumere solo due valor oppure,5 e che l sstema d potes sa H H : µ = : µ= 5,.4.6 Suppoamo oltre d voler utlzzare per l test u campoe d =6 elemet, coscché la meda campoara X avrà ua dstrbuzoe N(;,4) sotto H ed ua dstrbuzoe N(,5;,4) sotto H, così come dcato ella fgura successva. Fgura.4. Rappresetazoe grafca delle dstrbuzo della meda campoara sotto H e H f x E abbastaza charo che questo caso la regoe d accettazoe dell potes ulla cetrata toro al valore µ =, che abbamo utlzzato el paragrafo precedete, o è la soluzoe pù coveete. Sembra pù coveete questo caso rfutare l potes solo per valor alt d X e qud utlzzare ua regoe crtca poszoata sulla sola coda destra della dstrbuzoe sotto potes ulla. Se fssamo u valore d α par a,5, l valore crtco corrspode al quatle che ella dstrbuzoe sotto H ha sulla sua destra ua probabltà par ad α ed è qud uguale al quatle d orde -α, x α =,53.

13 Co u valore d α par a,5 questa regola c porta ad accettare l potes ulla se l valore della meda campoara rsulta ferore a,53 ed a rfutarla se è maggore. Rcordamo che,5 è la probabltà d otteere, sotto H, u campoe d 6 elemet che abba ua meda superore a,53. Per cotrollare che questa procedura è pù coveete, calcolamo l errore d secoda spece, coè la probabltà d accettare l potes ulla quado vece l valore vero d µ è uguale a,5. Questa probabltà β corrspode alla probabltà d otteere u rsultato compreso ella regoe d accettazoe d H quado è vera H. La probabltà d otteere, sotto H, u campoe d 6 elemet che abba ua meda ferore a,53 è, 53 5, ( X, 53 H ) = Φ = 68 β = P,, 4 dove Φ dca la fuzoe d rpartzoe della ormale stadardzzata. Le probabltà dell errore d prma e d secoda spece soo rappresetate dalle aree sottostat le curve evdezate ella fgura successva. Fgura.4. Rappresetazoe grafca d α e β f x L area sulla coda destra della curva sotto H solata alla destra del segmeto vertcale posto corrspodeza d u ascssa par a,53 rappreseta evdetemete la probabltà d otteere u campoe la cu meda è superore a,53, quado la meda della popolazoe è uguale a zero. Se s ottee u rsultato d questo tpo, l potes ulla vee rfutata e qud questa probabltà corrspode all errore d prma spece.

14 L area sulla coda sstra della curva sotto H solata alla sstra dello stesso segmeto rappreseta vece la probabltà d otteere u campoe la cu meda è ferore a,53, quado la meda della popolazoe è uguale a,5. Co u rsultato d questo tpo, l potes ulla vee accettata e qud questa probabltà corrspode all errore d secoda spece. Vedamo ora quale sarebbe l errore d secoda spece se adottassmo a partà d α u tervallo smmetrco toro a µ =. I valor crtc, secodo la.3., soo,658 e,658, per cu s ha β =, 658 5,, 658 5, [(, 658< X, 658) H ] =Φ Φ = 79 P,, 4, 4. La rappresetazoe grafca delle probabltà dell errore d prma e d secoda spece è rportata ella fgura successva, dalla quale s ota come l area β sottostate la curva sotto H delmtata da due segmet vertcal sa maggore dell area β della fgura precedete. Fgura.4.3 Rappresetazoe grafca d α e β f x E charo qud che co u sstema d potes.4.6 ua regoe crtca poszoata sulla sola coda destra della dstrbuzoe sotto potes ulla è pù coveete perché, a partà d α, c asscura ua more probabltà d accettare H quado questa è falsa. I altr term, se l valore vero della meda è,5, la probabltà d otteere u campoe la cu meda è ferore a,53, è more della probabltà d otteere u campoe la cu meda è compresa tra,658 e,658. Vedremo pù avat che effett la regoe crtca su ua sola coda asscura el ostro caso l pù basso valore possble dell errore d secoda spece. Dalla fgura.4. s vede oltre che se s dmusce la probabltà α dell errore d prma spece, spostado verso destra l valore crtco che separa la regoe d accettazoe dalla regoe crtca,

15 aumeta evtablmete la probabltà β d u errore d secoda spece. E abbastaza charo ache che questa relazoe fra α e β vale geerale quale che sa la regoe crtca utlzzata..5 La poteza del test Al valore della probabltà β che, come abbamo vsto, msura la probabltà dell errore d secoda spece, corrspode la quattà complemetare β, che msura vece la probabltà che la statstca test cada ella regoe d rfuto dell potes ulla quado è vera l potes alteratva e qud la probabltà d rfutare H quado è vera H. Co rfermeto alla fgura.4. l valore d β corrspode all area sulla destra del valore crtco sotto la curva cetrata sul valore,5. Quest area rappreseta ovvamete la probabltà d otteere u campoe la cu meda è superore a,53, quado la meda della popolazoe è uguale a,5. La quattà π = β vee chamata poteza del test ed geerale la qualtà d u test vee valutata facedo rfermeto o all errore d secoda spece ma alla sua poteza, coè alla capactà del test d rfutare l potes ulla se questa è falsa Da quato abbamo vsto el paragrafo precedete l mglor test possble, dato u certo lvello α, è qud quello che rede massma la poteza del test. U test costruto questo modo vee detto test pù potete, metre la corrspodete regoe crtca è detta regoe crtca pù potete. Dato percò l sstema d potes.4.6, l test che utlzza la regoe crtca su ua sola coda è pù potete del test a due code ed è az l test pù potete questa stuazoe. Quato abbamo vsto fora co rfermeto a due possbl valor della meda e,5 d ua varable ormale, vale ovvamete geerale, per cu se l sstema d potes è H H : µ = µ : µ = µ co µ > µ.5. l test pù potete è sempre quello che utlzza ua regoe crtca sulla sola coda destra della dstrbuzoe sotto H. Per u dato lvello d sgfcatvtà par ad α l valore crtco è σ u x, dato che P ( X x ) = α α = µ + α > α H, metre la poteza è x α µ = = µ o µ π Φ Φ + u σ/ σ/ α.

16 Rsulta ache evdete che se l sstema d potes è H H : µ : µ = µ = µ coµ < µ.5. l test pù potete è quello che utlzza ua regoe crtca sulla sola coda sstra della dstrbuzoe sotto H. Per u dato lvello d sgfcatvtà par ad α l valore crtco è x la poteza è α σ = µ u α, metre xα µ = µ o µ π = Φ Φ u-α. σ/ σ/ Per sstem d potes composte su valor d u qualsas parametro θ dcat elle.4.3,.4.4 e.4.5 la poteza del test è defta per oguo de valor d θ ammssbl e msura corrspodeza d u dato valore d θ la probabltà d rfutare l potes ulla se l vero valore del parametro è θ. La quattà π, essedo ua fuzoe del parametro θ, vee detta allora fuzoe d poteza del test e vee usualmete dcata co π(θ). I geerale, se è T lo stmatore d θ ed dchamo co t s e t d gl estrem dell tervallo d accettazoe dell potes ulla, la fuzoe d poteza del test è ( θ) = P[ ( t < T t ) θ] π..5.3 s d Dall espressoe precedete s ottee subto, per esempo, la fuzoe d poteza per la verfca d ua potes sulla meda d ua varable ormale co varaza ota, cosderata el paragrafo., che corrspode a π ( µ ) µ µ µ µ = Φ + u Φ α u σ/ σ/ α..5.4 Ovvamete, quato pù l valore d µ è prossmo a quello sotto potes ulla, tato pù bassa è la poteza del test. Per µ=µ la poteza del test è ovvamete par ad α.

17 .6 Il test pù potete Se l sstema d potes s rfersce a due potes semplc, la defzoe del test pù potete è data dal lemma d Neyma-Pearso. Suppoamo che la X sa ua varable dscreta co fuzoe d massa f(x,θ) e che s vogla verfcare l sstema d potes semplc H H : θ = θ : θ = θ.6. dove θ e θ rappresetao due dstt valor d θ. Rcordamo acora che uo stesso rsultato campoaro può essere otteuto sa quado è vera l potes ulla, sa quado è vera l potes alteratva. Il lemma afferma che l test per la verfca del sstema d potes.6. ha poteza massma se l potes ulla vee rfutata tutte le volte cu s ottee uo d que rsultat campoar la cu probabltà sotto H è maggore d k volte la sua probabltà sotto H. E charo che all aumetare d k dveta sempre pù dffcle rfutare l potes ulla e qud da k dpede qualche modo l errore d prma spece. Se s dca co X X, X,, X u geerco campoe casuale d elemet e co x x, x,, x u campoe specfco, la probabltà d x, data dal prodotto delle probabltà margal f(x,θ), è P(X=x θ) = L(,θ) f (,θ) x =, = x dove co l smbolo L( x,θ) s dca geerale sa la probabltà d otteere l rsultato x dato θ, sa la verosmglaza d θ per u dato x. Se dchamo oltre co s ua regoe d rfuto d H, coè u seme d rsultat campoar per qual l potes vee rfutata, l errore d prma spece e la poteza assocat ad s soo α(s) = P(x s H ) = L( x ) x s,θ e π(s) = P(x s H ) = L( ) x s x.,θ

18 S ot che α(s) e π(s) rappresetao rspettvamete la probabltà che l eupla campoara cada ella regoe s quado è vera l potes ulla e quado è vera l potes alteratva. Ovvamete queste probabltà corrspodoo alla somma delle probabltà d tutt que campo che soo compres s. La regoe d rfuto pù potete, base al lemma, è quella regoe s che cotee tutt rsultat campoar per qual L(x; θ ) k L(x; θ )..6. Se s sommao le probabltà d tutt rsultat campoar coteut s dalla dsuguaglaza precedete s ottee L x s ( x,θ ) k L( x, ) θ x s e qud ( s) kα( s) π. Cosderamo ora u altra qualsas regoe crtca s che o ha rsultat campoar comue co s ed a cu è assocato lo stesso valore d α. La regoe s cotee qud solo rsultat campoar per qual rsulta (,θ ) kl( x, ) L x <, θ per cu s ha ( s) kα( s) π < e qud ( s) π( s) π.

19 Se le rego s ed s hao alcu rsultat campoar comue, ella parte comue le due rego hao la stessa poteza, ma elle part rmaet la prma, sempre a causa della.6., è pù potete della secoda. La regoe s, qud, a partà d α, è pù potete d qualsas altra regoe crtca. La defzoe della regoe crtca pù potete data dalla.6. vale ache se la X è ua varable cotua. Le L( x,θ ) e ( ) L x,θ soo ovvamete le verosmglaze de valor θ e Per la verfca del sstema d potes.5., la codzoe.6. può essere posta ella forma θ. L L x µ σ e µ µ = e σ x µ σ ( x, ) ( x, µ ) σ π = e σ π [ ( x µ ) ( x ) ] k. Cosderado logartm d etramb term s ottee la seguete dsuguaglaza σ [ ( µ ) ( µ ) ] logk x x ed ache σ [ x µ x + µ ( x µ x + µ )] logk σ ( µ x + µ + µ x µ ) logk σ [ x( µ µ ) ( µ µ )] logk da cu s ottee fe σ x logk+ ( µ µ ) ( µ µ ) = k*

20 Come s vede, qud, la regoe crtca pù potete è quella che cotee tutte le mede campoare l cu valore è maggore o uguale d ua costate, l cu valore è determato dal lvello d sgfcatvtà α prefssato. Questa è la stessa regoe gà utlzzata el paragrafo.4. S osserv che l poszoameto della regoe crtca o dpede dal partcolare valore µ cosderato sotto H, ma è sempre lo stesso per qualsas potes alteratva µ, purché sa µ >µ. Per la verfca del sstema d potes H H : µ = µ : µ > µ.6.3 l test rsulta qud l pù potete per cascua delle potes alteratve ammssbl. U test co questa propretà è detto test uformemete pù potete. Per u potes alteratva del tpo µ < µ, co lo stesso procedmeto, s ottee che la regoe crtca pù potete è quella che cotee tutte le mede campoare l cu valore è more d ua costate..7 Le prcpal verfche d potes su parametr d ua popolazoe I questo paragrafo prederemo cosderazoe pù comu test sul valore de parametr d ua popolazoe ormale ed geerale faremo rfermeto al caso cu o v soo restrzo sulle potes alteratve ammssbl. E descrtto ache l test astotco sulla quota. Ipotes sulla meda Nel paragrafo.3 abbamo vsto che la verfca dell potes H : µ = µ sulla meda d ua varable X che s dstrbusce modo ormale co varaza ota σ, s basa sulla dstrbuzoe d probabltà della meda campoara X sotto potes ulla e che l potes vee accettata se σ σ u α < x µ + u. µ α

21 Dall espressoe precedete s ottegoo gl estrem µ e µ dell tervallo d cofdeza della meda, che soo que valor per qual la meda campoara rsulta uguale rspettvamete al secodo ed al prmo estremo della dsuguaglaza. S osserv che la dsuguaglaza precedete può ache essere posta ella forma u x µ α < σ / u α o ache x µ σ/ u α. Come s vede, qud, per la verfca d potes può essere usata drettamete la varable meda campoara stadardzzata U = X µ..7. σ Se, come avvee ella geeraltà de cas, l valore della varaza della popolazoe ormale o è oto, per la verfca d potes vee utlzzata la varable X µ Ŝ = t,.7. dove Ŝ è la radce quadrata dello stmatore corretto della varaza. La varable precedete s dstrbusce come ua t d Studet co - grad d lbertà (g.d.l.). Per la verfca d potes, dato l valore d α, è suffcete cotrollare se x µ ŝ t ( α/ ),

22 dove t ( α ) dca l quatle d orde (-α/) della t d Studet co g.d.l., e la / coclusoe è evdetemete aaloga a quella del caso precedete. Aaloga è ache la determazoe degl estrem dell tervallo d cofdeza. I valor de quatl della t, al crescere d, soo sempre pù sml a quell della ormale stadardzzata coscché, per moderatamete elevato (dcatvamete maggore d 3), possoo essere utlzzat ache secod. La.7. ed quatl della ormale vegoo utlzzat per la verfca d potes sulla meda, per campo suffcetemete grad ache quado o è ota la dstrbuzoe della varable ella popolazoe. Esempo Cosderamo dat relatv a 65 uova d pellcao sulle qual è stata rlevata la v.c. X : "spessore del gusco d cu o è ota la dstrbuzoe. La meda del campoe ( mllmetr) è x =, 3, metre lo s.q.m. corretto è s ˆ =, 8. I base a queste formazo voglamo verfcare l'potes che x lo spessore medo del gusco sa par a,3 mllmetr al lvello d sgfcatvtà α =,5. Data l'elevata umerostà campoara, per la verfca dell potes H : µ =, 3 s può mpegare la statstca.7., che questo caso corrspode a, 3, 3, > u, 975 =, 96,, 8 65 per cu l'potes sulla meda vee rfutata al lvello d sgfcatvtà α =,5. Ipotes sulla quota Ne cas cu ua popolazoe è dvsa due sottogrupp come, per esempo, quado solo u certo umero d dvdu preseta ua data caratterstca, uo scopo dell dage campoara potrebbe essere la stma della cossteza umerca de due grupp o delle rspettve quote. Idcata co p la quota d dvdu co la caratterstca dcata ella popolazoe, s può avere teresse a verfcare u potes del tpo H : p = p

23 sulla base de dat fort da u campoe d elemet. Il test può essere effettuato utlzzado la dstrbuzoe dello stmatore Pˆ d p. Sappamo fatt che, sotto potes ulla, lo stmatore Pˆ ha ua dstrbuzoe d tpo bomale co meda p e varaza p ( p )/. La regoe crtca vee localzzata come al solto lugo le code d questa dstrbuzoe. S osserv però che questo caso o è possble geere predetermare l valore del lvello d sgfcatvtà α dato che per ua fuzoe d massa o sempre è possble dvduare u seme d determazo della varable lugo le due code della dstrbuzoe a cu sa assocata esattamete ua probabltà par ad α. I geerale, qud, se l campoe o è suffcetemete umeroso, l test vee effettuato ad u lvello d sgfcatvtà prossmo ad α. La verfca dell'potes può essere vece realzzata co estrema semplctà o appea s dspoe d u campoe umeroso. I questo caso fatt sappamo che, sotto potes ulla, Pˆ s dstrbusce approssmatvamete come ua varable ormale co meda p e varaza p / ( p ). Per la verfca d potes, dato l valore d α, è qud suffcete cotrollare se rsulta p pˆ p ( p )/ u α /. Da questa dsuguaglaza è ache possble otteere co l crtero vsto precedeza gl estrem dell tervallo d cofdeza del parametro p. Questo tervallo s può costrure acora pù semplcemete utlzzado la dsuguaglaza pˆ p pˆ ( pˆ )/ u α /,.7.3 dove la quattà sotto radce è la varaza stmata. Esempo Suppoamo che occasoe d u referedum abrogatvo vega effettuato u sodaggo prelmare su u campoe d dvdu estratt modo casuale dalla collettvtà degl avet drtto al voto. Sapedo che su tervstat 65 soo favorevol all abrogazoe della legge, costrure l tervallo d cofdeza della quota de favorevol all abrogazoe ella collettvtà ad u lvello d cofdeza del 99%.

24 Data l elevata umerostà campoara, l'tervallo approssmato s ottee dalla statstca.7.3 ed suo estrem soo ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) pˆ pˆ u /, pˆ + u α / α. Sosttuedo ell espressoe precedete dat umerc, s ha (,649,,685), per cu è pratcamete certo, sulla base de dat campoar, che la dsposzoe d legge sarà abrogata. Ipotes sulla varaza Per la verfca dell potes H : σ = σ, sulla base d u campoe d elemet, s utlzza la statstca ( ) Ŝ σ,.7.4 fuzoe della varaza campoara corretta ch-quadrato co - grad d lbertà. La regoe d accettazoe d H è qud Ŝ che, sotto potes ulla, s dstrbusce come ua χ ŝ ( α / ) < ( ) χ ( α / ), σ dove χ ( α ) e ( α ) / χ soo due quatl che ella fuzoe d dstrbuzoe della / varable ch-quadrato co g.d.l. solao sulla loro sstra e sulla loro destra due aree par ad

25 α/. Se l valore della statstca cade fuor dall'tervallo, l'potes vee rfutata. Sulla base della dsuguaglaza precedete s determao el solto modo gl estrem dell tervallo d cofdeza d σ. S osserv che quado la umerostà campoara è suffcetemete elevata, la statstca.7.4 tede a dstrburs come ua ormale co meda ( ) e varaza ( ), per cu la statstca ˆ ( ) S ( ) ˆ σ S σ =,.7.5 ( ) σ /( ) sotto H, tede a dstrburs come ua v.c. ormale stadard. La realzzazoe campoara d questa statstca vee cofrotata qud co l quatle d orde ( α/) della ormale stadard. Esempo Sugl stess dat relatv alle uova d pellcao, voglamo verfcare l potes che la varaza dello spessore del gusco sa par a,5 sempre al lvello d sgfcatvtà α =,5 H : σ =, 5. I questo caso c s può basare sulla statstca.7.5, per cu s ha, 8, 5, 5 / 64, 5839 < u =, 96, 975 e qud o s rfuta H al lvello d sgfcatvtà α =,5..8 I cofrot fra parametr d pù popolazo I molte stuazo real lo scopo dell dage cosste el cofroto fra due o pù popolazo, come el caso cu s vuole verfcare se l effetto d due dvers fertlzzat possa essere cosderato equvalete ell aumeto della produttvtà per ettaro d ua determata coltura. I questo caso sembra aturale verfcare aztutto l potes che le mede per ettaro de raccolt o dfferscao fra d loro. Questa potes è partcolarmete rlevate dato che la sua accettazoe

26 porterebbe a cocludere che fra due fertlzzat o esste alcua dffereza, per cu la scelta del fertlzzate potrebbe essere effettuata semplcemete sulla base d cosderazo ecoomche. Se l potes vee vece respta, dat campoar forscoo u dzo del fatto che uo de due fertlzzat cosete d otteere u rsultato mglore rspetto all altro. Allo stesso modo s potrebbe per esempo voler verfcare se due dvers farmac possoo essere cosderat equvalet ella cura d ua partcolare malatta e, per questo motvo, s potrebbe cofrotare l tempo medo d guargoe rlevato el gruppo d pazet trattat co u farmaco co l tempo medo d guargoe el gruppo d pazet trattato co l altro. Le potes prcpal rguardao valor med d ua varable X esamata due o pù popolazo dstte. Le codzo stadard questo caso soo che la X abba ua dstrbuzoe ormale co uo stesso valore della varaza og popolazoe. Quest ultma è la cosddetta codzoe d omoschedastctà, sotto la quale s ottegoo abbastaza faclmete le statstche test che teressao. Se valor delle varaze soo vece dvers fra d loro, s parla d codzoe d eteroschedastctà. Nelle stuazo real, però, spesso o è oto se le varaze elle dverse popolazo soo effettvamete ugual fra d loro, per cu è ecessaro prelmarmete verfcare l potes d uguaglaza delle varaze. Se questa potes o vee respta, test sulle mede vegoo costrut suppoedo vera la codzoe d omoschedastctà. Ipotes d omoschedastctà Date due popolazo ormal voglamo cotrollare, sulla base d due campo dpedet d umerostà ed, se le loro varaze soo ugual. La verfca dell potes H : σ = σ, dove σ e σ dcao le varaze della prma e della secoda popolazoe, s basa sul rapporto fra due stmator corrett delle varaze delle due popolazo. Questo rapporto può assumere ovvamete qualsas valore fra e, ma suo valor pù probabl sotto potes ulla soo quell vc ad. E charo qud che l potes vee respta per valor pù bass e per quell pù alt del rapporto. Se le varaze della popolazoe soo ugual fra d loro la dstrbuzoe d probabltà del rapporto è la cosddetta F d Sedecor. Questa dstrbuzoe dpede dalla umerostà de due campo, coscché se s usao le lettere g ed h per dcare rspettvamete g.d.l. del umeratore e

27 del deomatore, la varable vee dcata co l smbolo F g,h. Nel ostro caso, qud, l rapporto s dstrbusce come ua F co g = ed h = grad d lbertà e vee dcato questo modo Ŝ Ŝ =F,.8. I aaloga a quato vsto per tutte le verfche d potes cosderate precedeza, se l valore del rapporto delle varaze campoare corrette cade all tero dell'tervallo [ F ( α/ ),F ( α/ ) ],, l'potes d base vee accettata al lvello d sgfcatvtà α. I valor de quatl della F soo tabulat apposte tavole che geerale rportao solo quell d orde α/, dato che quatl d orde α/ possoo essere otteut da precedet base alla relazoe F g,h ( / ) = F h,g ( α/ ) α. Dat u campoe d 6 elemet ed u campoe d elemet etramb estratt da popolazo ormal, se voglamo verfcare al lvello d sgfcatvtà del % l'potes che le varaze delle due popolazo soo ugual, basta fare rfermeto alla dstrbuzoe F 5, da cu s ottegoo due quatl d orde,5 e,95 F 5, (,5)=/F,5 (,95)=/,33=,43 F 5, (,95)=,. Se l rapporto fra la varaza del prmo campoe e quella del secodo è compreso ell'tervallo (,43;,) accettamo l'potes d omoschedastctà al lvello d sgfcatvtà del %. E' charo che se al posto del rapporto.8. s utlzza l suo recproco Ŝ Ŝ =F,, s pervee alla medesma coclusoe crca l rfuto o l accettazoe dell potes d base, per cu d solto, per semplctà, s usa calcolare l rapporto fra la varaza maggore e la varaza more, modo che la.8. rsult sempre maggore d uo.

28 Co questo procedmeto, fatt, se s vuole effettuare l test al lvello d sgfcatvtà α è suffcete cofrotare l valore d questo rapporto co l solo quatle d orde α/ della dstrbuzoe, dato che l quatle d orde α/ rsulta sempre ferore o uguale ad. Pertato, s accetta l'potes al lvello d sgfcatvtà α se l rapporto rsulta more del quatle d orde α/. Esempo,, Se le varaze corrette d due campo soo rspettvamete par a ŝ = 3 44 ed a ŝ = 6 5 e le umerostà campoare soo = e =6, l valore del rapporto è uguale a 6,5/3,44=,89, metre l 95 cetle della dstrbuzoe d F,5 è uguale a,33. I questo caso, qud, o v soo motv per respgere l'potes d uguaglaza delle varaze al lvello d sgfcatvtà,. Ua geeralzzazoe del test d omoschedastctà.8. è data dal test d Bartlett, che s applca quado vece d sole due popolazo ormal se e hao u umero maggore. I geerale, dat k campo dpedet d umerostà ( =,,...,k) proveet da altrettate popolazo ormal, per verfcare l'potes H : σ =σ =... = σ k la statstca d Bartlett assume la forma k Q ( logs log ) S G,.8. dove k = =, S e S G soo, rspettvamete, la meda artmetca e la meda geometrca I geerale, data la dstrbuzoe d ua varable X che assume k testà dverse x (=,,...,k) co frequeza, la meda geometrca M è data da k M x = = / dove le k testà devoo essere tutte postve.

29 poderate delle varaze campoare corrette, metre Q = + 3 k ( k-) = k. Pertato, le quattà che compaoo ella paretes toda della.8. soo date da k logs = log Ŝ ( ), -k = ( log )( ) k logs G = Ŝ, -k = dove Ŝ è lo stmatore corretto della varaza della -esma popolazoe, ed l logartmo è base e. Se le umerostà soo moderatamete elevate la dstrbuzoe della statstca test può essere approssmata da quella della ch-quadrato co k- g.d.l e l potes d omoschedastctà vee rfutata per valor alt della statstca. La meda artmetca, fatt, è sempre maggore o uguale alla meda geometrca, dove l sego d uguaglaza s ha solo quado valor delle testà cosderate soo tutt ugual fra d loro. E' charo, qud, che la dffereza fra logartm delle due mede sarà ulla solo se le varaze delle loro dffereze. Ŝ soo tutte ugual fra d loro, metre tederà a crescere all aumetare Per effettuare la verfca dell'potes al lvello d sgfcatvtà α, è suffcete qud dvduare l quatle χ ( α) k che ella dstrbuzoe della χ co k g.d.l. sola sulla sua destra u'area d probabltà par ad α. Se l valore della statstca calcolato sulla base de campo osservat è maggore del quatle così dvduato, s respge l'potes d uguaglaza delle varaze al lvello d sgfcatvtà α. Esempo Suppoamo d avere 3 dvers campo proveet da altrettate popolazo ormal e d voler verfcare l potes H : σ = σ = σ 3

30 d uguaglaza fra le varaze al lvello d sgfcatvtà α=,5. Dat rsultat campoar rportat ella tabella successva campo Tabella.8. Osservazo campoare proveet da popolazo ormal Osservazo 9,5 9,5,,5,5,8 9,3 9,5 9,8 9,8,4,6,5,8,9,,3 3 8,9 9,4 9,5 9,8,,4,5,5,6,,4 s ottegoo seguet valor med x =,, x =,4 e x =,, metre le varaze corrette soo ŝ =,56, ŝ =,46 e ŝ =, Per verfcare l potes s utlzzao valor 3,56 5 +,46 +,544 log S = log,88 5 log, log,46 + log,544 log S g =, Q = =, 6. 3( 3 ) 5 5 La statstca.8. rsulta qud par a 5,6 (-,88 +,8573), 84 e, dato che l quatle d orde,95 della ch-quadrato co grad d lbertà è 5,99, l potes d uguaglaza delle varaze è compatble co dat campoar otteut.

31 Ipotes d uguaglaza delle mede d due popolazo Questo tema è d partcolare teresse statstca e verrà trattato term geeral e prossm captol. Qu d seguto c occuperemo solo del caso cu la verfca dell potes rguarda le mede d due sole popolazo. Se dchamo co X e co X la stessa varable ormale rlevata ella prma e ella secoda popolazoe, questa verfca s basa su valor de due stmator delle mede X e X fort da due campo dpedet d umerostà ed. Pù precsamete la statstca test utlzza la dffereza fra le due mede campoare X X, che s dstrbusce modo ormale co meda par alla dffereza delle mede e varaza par alla somma delle varaze. Se soo µ e µ le mede delle due popolazo, e σ e σ le due varaze, s ha qud che la statstca ( X X ) ( µ µ ) σ / + σ / è ua ormale stadardzzata. Sotto la codzoe d omoschedastctà la statstca corrspodete è ( X X ) ( µ µ ) σ / + /. I questo secodo caso lo stmatore della varaza σ, la stessa per le due popolazo, è ( ) ˆ + S ( ) ˆ S S + S S = =, che corrspode, come s vede, alla meda artmetca poderata delle due varaze campoare e che è detta varaza pooled. Sotto le codzo stadard d ormaltà e d omoschedastctà, qud, la verfca d potes sulle mede utlzza la statstca test

32 ( X X ) ( µ µ ) S ( + )/.8.4 che è ua t d Studet co + grad d lbertà. I geerale l sstema d potes è H H : µ : µ =µ µ ed è ovvo che l potes ulla vee rfutata per valor alt della statstca presa valore assoluto e qud vee accettata se s x x ( + ) / t ( α/ ) +. La.8.4 vee utlzzata ache e cas cu la codzoe d omoschedastctà o è ota a pror, ma l test sulle varaze ha portato ad accettare l potes d uguaglaza. Ovvamete sempre la.8.4 vee utlzzata per calcolare el solto modo l tervallo d cofdeza della dffereza fra le due mede µ e µ. Se, vece, è oto che le varaze elle due popolazo soo dverse oppure l potes d omoschedastctà è stata rfutata, s può utlzzare la statstca ( X X ) ( µ µ ) Ŝ / + Ŝ /.8.5 proposta da Asp e Welch che, sotto potes ulla, s dstrbusce approssmatvamete come ua v.c. t d Studet l cu umero d g.d.l. è dato dal valore tero pù prossmo a ŝ ŝ + g = ŝ ŝ + ( ) ( )

33 E evdete che se la umerostà campoara è elevata, al posto de quatl della t d Studet possoo essere utlzzat quatl della ormale stadard. S osserv comuque che oltre alla.8.5 soo state proposte umerose altre statstche per la verfca dell potes d uguaglaza d due mede codzo d eteroschedastctà. Esempo Su due campo d meduse prelevate da due dverse localtà è stata rlevata la lughezza X ( mllmetr). I base a rsultat rportat d seguto campoe: =, x =, 34, ˆs = 3, campoe: = 4, x = 8, 98, ˆs = 94, voglamo verfcare, ad u lvello d sgfcatvtà del 5% e sotto potes d ormaltà della X, l'potes che la lughezza meda delle meduse sa la stessa elle due localtà. Per la verfca dell'potes d omoschedastctà sulla v.c. X s ha sˆ sˆ,4. S osserv che l rsultato otteuto è certamete superore al quatle d orde,975 della F co e 3 g.d.l., dato che dalla tavola E. appedce rsulta F (, 3 );, 975 =, 36 e F (, 3 );, 975 =, 33. L potes d omoschedastctà vee qud respta e d cosegueza, per la verfca dell'potes H : µ = µ s utlzza la statstca.8.5. Il umero de g.d.l., sulla base della.8.6, rsulta par a 36. Sotto H, base a dat campoar s ha x x,34 8,98 = sˆ sˆ 3,, ,8, per cu s rfuta l'potes d uguaglaza de valor med della v.c. X al lvello d sgfcatvtà del 5%.

34 .9 I test basat sul rapporto fra le verosmglaze Abbamo vsto elle page precedet che la scelta fra due potes semplc del tpo H H : θ = θ : θ = θ può basars, data l eupla campoara osservata, sul cofroto fra valor delle verosmglaze delle due potes. Nel paragrafo.6 abbamo fatt stablto che fra le due potes sceglamo H quado la verosmglaza d questa potes è uguale a k volte la verosmglaza d H, dove la costate k serve a fssare la probabltà α dell errore d prma spece. Se l potes alteratva è u potes composta, del tpo H H : θ = θ : θ θ.9. per effettuare l test potremmo determare fra tutt possbl valor d θ quel partcolare valore che, sulla base de dat campoar osservat, rsulta pù verosmle (e che costtusce, com è oto, la stma d massma verosmglaza) e potremmo po cofrotare la verosmglaza d questa potes co quella dell potes ulla. Idcata co t la stma d massma verosmglaza (m.v.) d θ, l test può essere qud effettuato utlzzado l rapporto ( x, θ ) ( x,t ) L λ =,.9. L che potrà assumere valor compres fra zero ed uo dato che la quattà al deomatore è l valore massmo della fuzoe d verosmglaza per l eupla campoara x, ed è uguale ad solo quado t=θ. L'potes d base sembrerà qud tato pù verosmle quato pù questo rapporto sarà prossmo a uo, ossa quato pù L( x,θ ) e (,t) L x rsulterao vce fra d loro.

35 Se predamo cosderazoe tutte le possbl euple campoare estratte da ua popolazoe cu la X ha ua dstrbuzoe f(x,θ ), suppoedo qud vera l'potes ulla, resta determata la dstrbuzoe della statstca ( x, θ ) ( x,t ) L Λ =.9.3 L che può essere utlzzata per la verfca dell potes d base. Ifatt, se accettamo u rscho par ad α d rfutare l'potes quado è vera, per effettuare l test basta dvduare l quatle λ α della dstrbuzoe d Λ e cosderare come regoe crtca, e qud come regoe d rfuto dell potes, l'tervallo (, λ α ). I glese l terme verosmglaza è lkelhood ed è questo l motvo per cu quest test, basat sul rapporto fra le verosmglaze, vegoo comuemete chamat lkelhood-rato test (L-R test). Geeralzzamo ora l L-R test al caso cu parametr got della dstrbuzoe della varable sao pù d uo e cosderamo ua varable X co ua dstrbuzoe f(x;θ,θ,...,θ k ) dpedete da k parametr got. Suppoamo che l ostro scopo sa quello d verfcare l'potes che h d quest parametr assumao de valor determat, metre sugl altr k h o faccamo alcua potes. Suppoamo oltre, per semplctà, che parametr su qual formulamo la ostra potes sao prm h. L potes d base sarà qud H H : θ =θ ;...; θ : θ θ ;...; θ h h =θ θ h h..9.4 Il rapporto.9.3 questo caso assume la forma ( x;θ,θ,...θ, T ~,... T ~ ) L h h+ k Λ =,.9.5 L ( x; T, T,... T ) k dove l umeratore corrspode alla verosmglaza cu valor de prm h parametr soo quell sotto potes ulla, metre gl altr k h soo stat sosttut co loro stmator d m.v. T ~ h,...t ~ + k, calcolat suppoedo vera l'potes H.

36 Al deomatore, vece, v è la verosmglaza ella quale tutt parametr soo stat sosttut co loro stmator d massma verosmglaza. La.9.5 corrspode al rapporto fra l valore massmo della fuzoe d verosmglaza sotto potes ulla ed l suo valore massmo co rfermeto a tutt k parametr e potrà qud assumere valor compres fra zero ed uo. Ache questo caso la decsoe crca l rfuto o meo dell potes H s basa ovvamete sulla dstrbuzoe d probabltà del test L-R e l area d rfuto sarà sempre poszoata lugo la coda sstra della dstrbuzoe e qud corrspodeza d valor prossm allo zero. La statstca Λ spesso corrspode, soprattutto quado le varabl covolte hao dstrbuzoe ormale, ad ua fuzoe d ua statstca co dstrbuzoe ota, per cu questo caso per la verfca d potes vee geeralmete utlzzata quest ultma statstca. Questo accade per esempo per le statstche.7.,.7. e.8.6. La dstrbuzoe d Λ è geere puttosto complcata, per cu spesso s utlzza la varable trasformata logλ.9.6 che, se campo soo d umerostà elevata, s dstrbusce approssmatvamete, quale che sa la dstrbuzoe della X, come ua varable ch-quadrato, co u umero d grad d lbertà par al umero de parametr specfcat sotto potes ulla. I qualche caso può ruscre pù semplce determare l umero d grad d lbertà della ch-quadrato teedo presete che questo umero ovvamete è ache uguale al umero totale de parametr meo l umero d quell stmat sotto potes ulla S osserv che metre la statstca Λ vara fra ed, co ua regoe crtca poszoata sulla coda sstra della dstrbuzoe, la trasformata.9.6 vara fra zero ed fto, co ua regoe crtca che è poszoata sulla coda destra della dstrbuzoe ch-quadrato. Pertato, per effettuare l test, bsoga cofrotare l rsultato campoaro logλ co l quatle d orde α della dstrbuzoe ch-quadrato approprata e l potes ulla va rfutata quado s ottee u rsultato maggore d questo quatle. La statstca.8., per esempo, corrspode co lev modfche, alla.9.6. S osserv che questo caso l umero totale de parametr è k e che sotto potes ulla vee stmato u solo parametro par alla varaza comue delle k popolazo.

37 . Alcu test fuzoal Tutt rsultat otteut precedeza s rferscoo a varabl la cu dstrbuzoe ella popolazoe è d forma ota, metre o è oto l valore d uo o pù parametr che caratterzzao questa dstrbuzoe. Nella realtà vece accade spesso che o s abbao formazo complete sulla legge d dstrbuzoe della varable ella popolazoe da cu l campoe è stato estratto o che queste formazo sao del tutto asset. I alcu cas tuttava, sulla base delle formazo parzal ostro possesso e d cosderazo d vara atura, samo grado formulare delle potes crca la dstrbuzoe gota d ua varable ella collettvtà. Come elle stuazo precedetemete esamate, l problema dveta allora quello d verfcare se l potes formulata possa essere rteuta compatble co dat campoar o se quest ultm c spgao vece a rteere la ostra potes poco verosmle. Le potes d questo tpo vegoo verfcate attraverso cosddett test fuzoal, che possoo essere utlzzat ache stuazo dverse come, per esempo, quado s ha teresse a cofrotare la dstrbuzoe d ua varable rlevata su due dverse popolazo oppure su ua stessa popolazoe temp dvers, al fe d valutare se questa dstrbuzoe s sa modfcata o meo co l passare del tempo. Suppoamo d voler verfcare se ua certa varable X ha ua fuzoe d rpartzoe (f.r.) F (x) che, a secoda de cas, può essere completamete specfcata, el seso che l potes rguarda ache l valore de parametr che compaoo el modello, oppure solo parzalmete specfcata, el seso che o vee fatta essua potes su alcu o su tutt parametr del modello, ma solo sulla sua forma fuzoale. L potes ulla assumerà ovvamete la forma ( x) F ( x) H =.. : F ed l crtero geerale per la verfca d u potes d questo tpo s basa sul cofroto fra la dstrbuzoe sotto potes ulla e la dstrbuzoe della varable ella popolazoe, dove quest ultma vee stmata attraverso dat campoar raccolt. Sempre come crtero geerale sarà qud ecessaro dvduare ua qualche statstca test grado d msurare la dverstà fra le due dstrbuzo e determare la sua dstrbuzoe d probabltà, modo da dvduare ua coveete regoe crtca. Comcamo co l cosderare l caso cu samo grado d formulare u potes completa sulla fuzoe d rpartzoe della X, specfcado qud ache l valore de parametr che compaoo el modello.

38 Il test d Kolmogorov-Smrov utlzza per la verfca dell potes.. la dffereza massma D, presa valore assoluto, fra la f.r. sotto potes ulla e la stma della f.r. della varable ella popolazoe basata sul campoe ( x) Fˆ ( x) D = max F... x dove Fˆ ( x) dca la f.r. dell eupla campoara. Data la sere ordata ( modo o decrescete) delle osservazo campoare x (=,,,) la f.r. campoara vale / corrspodeza dell esma osservazoe del campoe ordato e cotua ad avere quel valore fo all testà successva esclusa. La quattà / è ua possble stma della f.r. vera corrspodeza del valore x. E evdete che alt valor della.. sarao cosderat u dzo della falstà dell potes d base, metre bass valor della dffereza massma tederao a farc rteere plausble l potes... Pertato la regoe crtca sarà poszoata lugo la coda destra della dstrbuzoe d D, cu valor sogla soo tabulat per dvers valor della umerostà campoara. Quest valor sogla soo rportat elle pù comu raccolte d tavole statstche. U test smle al precedete è quello d Cramér-Vo Mses che s basa sulla somma delle dffereze al quadrato fra valor della f.r. sotto potes ulla calcolat corrspodeza de valor campoar e le stme della f.r. vera per gl stess valor. I questo caso come stma della f.r. per l esmo valore dell eupla vee utlzzata la quattà (-,5)/, rteuta ua stma mglore d /. La statstca test è ω = + F =,5 x..3 ( ) ed è charo che ache questo caso l potes vee rfutata per valor alt d caso valor sogla soo rportat elle raccolte d tavole statstche. ω. Ache questo I test fuzoal, oltre che sul cofroto fra valor della f.r. sotto potes ulla e quell delle stme della f.r. vera, possoo ache basars sul cofroto fra quatl della prma e le stme de quatl della secoda. Quest soo cosddett test basat su quatl. Se cosderamo come stma della f.r. vera corrspodeza d x la quattà (-,5)/, l valore x rappreseta la stma del quatle d orde (-,5)/ della varable ella popolazoe. I quatl corrspodet sotto potes ulla soo allora le quattà

39 =, 5 5 F...4 q, Ovvamete sotto potes ulla è pù probable che valor x e S tratta qud d cotrollare se rsulta q rsulto vc fra d loro.,5 x..5 q,5 per =,,,. I alcue stuazo, come vedremo pù avat, o è rchesta ua verfca rgorosa dell potes d ormaltà, per cu questo cotrollo può essere effettuato maera molto semplce medate u grafco che rporta, per cascua osservazoe, valor..4 ascssa ed corrspodet valor..5 ordata. Se put tedoo a dstrburs lugo la bsettrce del prmo quadrate, o s ha motvo d rfutare l potes d ormaltà della dstrbuzoe. S osserv che la verfca dell potes d ormaltà, alcu cas, può essere effettuato seza che sa ecessaro specfcare parametr che compaoo ella dstrbuzoe sotto potes ulla. Se, per esempo questa dstrbuzoe è ormale co meda µ e varaza σ gote, la..5 assume la forma x µ+σ,..6 u,5 dove valor u soo quatl della ormale stadardzzata.,5 S osserv che, se vale la..6, rportado su u grafco valor u ascssa ed,5 corrspodet valor x ordata, s ottee u seme d put dspost toro ad ua retta, la cu tercetta e coeffcete agolare dpedoo da valor de parametr got µ e σ. U esempo d grafco d questo tpo è rportato ella fgura el captolo 5. No s ha però alcu bsogo d stmare quest parametr per verfcare la ormaltà della dstrbuzoe, dato che è suffcete cotrollare se put rsultao all crca alleat lugo ua retta d parametr qualsas. Per valutare questo alleameto è ache possble utlzzare ua statstca test come, per esempo l coeffcete d correlazoe leare al quadrato r fra valor x e quatl della

40 ormale stadardzzata. La decsoe crca l accettazoe o l rfuto dell potes ulla s basa, ovvamete, sulla dstrbuzoe d probabltà d rfutata per bass valor d r. r sotto potes ulla. E charo che l potes vee Fra test d questo tpo l pù oto è quello d Shapro-Wlk, che è ache dspoble molt programm d calcolo. S osserv tato che per la verfca dell potes d ormaltà soo stat propost, oltre che quatl u, ache valor dvers che soo pù o meo sml a quest. I geerale qud la..6,5 assume la forma x µ+ σ...7 b Se l campoe derva effettvamete da ua dstrbuzoe ormale, dalla..7 s può otteere, medate l crtero de mm quadrat, uo stmatore del parametro σ che corrspode al coeffcete d regressoe fra valor x e b. Questo stmatore retra fra cosddett stmator lear d σ. I valor b utlzzat da Shapro e Wlk per l test d ormaltà soo que partcolar valor che forscoo lo stmatore leare d σ co varaza mma. La statstca test è l quadrato del coeffcete d correlazoe leare fra valor x e b. Quest ultm soo rportat apposte tavole, così come valor sogla del test. U test che vee utlzzato soprattutto quado la varable cosderata è d tpo qualtatvo o quattatvo dscreto è l cosddetto test ch-quadrato. I questo test la dstrbuzoe sotto potes ulla e la dstrbuzoe della popolazoe vegoo cofrotate sulla base de valor assut dalle probabltà calcolate sotto H e de valor delle corrspodet frequeze relatve calcolate sul campoe osservato. Comcamo co l cosderare ua varable casuale qualtatva o quattatva dscreta X che assume k determazo dverse ed dchamo co P(X=x ) = p la probabltà che X assuma la geerca determazoe x (=,, k). L potes da verfcare può essere espressa el modo seguete H = =,, k : p p

41 ed l geerco valore d probabltà p verrà cofrotato co la sua stma campoara che corrspode alla frequeza relatva f = / assocata alla determazoe x. E evdete che quato pù valor f e p rsultao sml fra d loro, tato pù saremo portat a rteere verosmle l potes ulla, metre al crescere delle dffereze fra valor osservat e valor sotto potes ulla saremo portat a rfutare l potes d base. Ua statstca grado d valutare complessvamete le dffereze fra le k coppe d valor è l oto test ch-quadrato d Pearso, che assume la forma χ k k ( p ) f =...8 = p S vede subto come la..8 possa assumere solo valor o egatv e rsult par a zero solo quado le frequeze relatve campoare soo tutte ugual alle corrspodet probabltà sotto potes ulla, metre assume valor va va crescet al crescere delle dffereze fra valor d queste coppe. La dstrbuzoe della statstca sotto potes ulla per tede ad ua dstrbuzoe chquadrato co u umero d grad d lbertà par a k e coè al umero d determazo dverse della varable casuale X dmuto d. E charo che l potes vee rfutata per valor alt della statstca e qud, dato α, la regoe d rfuto è poszoata alla destra del quatle χ ( α) k.. Perché questa dstrbuzoe astotca possa essere effettvamete utlzzata, è ecessaro che cascua delle frequeze teorche, date dal prodotto p, rsult maggore o uguale a 5. S ot che alcu programm d calcolo, fra qual per esempo l SAS, dspogoo d ua opzoe che cosete d otteere la sgfcatvtà della statstca ch-quadrato ache quado le precedet codzo, ecessare per la valdtà della dstrbuzoe astotca, o soo rspettate. La statstca..8 può essere utlzzata ache per varabl casual cotue. I questo caso, però, è ecessara la creazoe d u certo umero d class d valor ed l calcolo delle probabltà teorche e delle frequeze campoare corrspodet per cascua d queste class. Data la geerca classe -esma, delmtata dalle testà x e x, la probabltà sotto potes ulla p sarà ovvamete data dalla dffereza fra valor della fuzoe d rpartzoe del modello calcolata corrspodeza degl estrem della classe, per cu s avrà ( x ) F( x ) po = F,

42 dove F(.) dca la f.r. teorca della v.c. X. Medate la..8 le frequeze relatve delle class corrspodet. p vegoo cofrotate co le S osserv, fe, che se l potes ulla s rfersce alla sola forma della dstrbuzoe della varable (dscreta o cotua), seza specfcare l valore de parametr che la caratterzzao, l test vee effettuato sosttuedo al valore d quest parametr le corrspodet stme d massma verosmglaza otteute sul campoe osservato. L uca dffereza rspetto al caso precedetemete esamato sta el umero de grad d lbertà della dstrbuzoe ch-quadrato astotca che, supposto par a q l umero de parametr stmat, da k dveta k q.

43 CAPITOLO. L ANALISI DELLA VARIANZA. Itroduzoe I metod statstc trovao umerose applcazo tutte quelle sceze che s basao sull osservazoe della realtà come, per esempo, la chmca, la bologa, la medca, l ecooma, la socologa. I quest camp fatt s preseta spesso l esgeza d esamare le reazo che s ottegoo sommstrado ua determata sostaza ad alcu dvdu che, a secoda de cas, possoo essere compost chmc, pate, amal, esser uma, e così va. I geerale per otteere questo tpo d formazo alle utà utlzzate ell espermeto vegoo sommstrate dos dverse d ua stessa sostaza al fe d studare come varao le reazo al varare della dose oppure vegoo sommstrate sostaze dverse al fe d dvduare quella che cosete d otteere mglor rsultat. Esemp comu d dag d questo tpo soo lo studo delle reazo alla sommstrazoe d u farmaco da parte d dvdu che presetao ua specfca patologa, del lvello d crescta d amal da allevameto almetat co ua partcolare deta, della resa produttva d u certo fertlzzate su u certo tpo d coltura, dell effcaca e del grado d tossctà d u pestcda, del tempo ecessaro per l ossdazoe d ua certa sostaza. I umerose crcostaze lo scopo dell dage è pù complesso el seso che s vuole valutare l effetto complessvo d pù sostaze che vegoo sommstrate cotemporaeamete. Così, per esempo, s può aalzzare l effetto coguto d due o pù farmac, s può verfcare se le dverse dos d u certo fertlzzate hao u effetto dverso su terre d composzoe dversa, se dfferet assocazo d umdtà e temperatura eserctao effett dvers sull ossdazoe d ua certa sostaza. I og caso è evdete che, per tutta ua sere d motv, l effetto che ua dose d ua certa sostaza esercta su u partcolare dvduo è geeralmete dverso da quello che s ottee su u altro dvduo. I altr term questo sgfca che l rsultato otteuto su u partcolare dvduo o c cosete d determare co esattezza l rsultato che s potrebbe otteere su u altro dvduo. L utlzzazoe de metod statstc ha allora lo scopo d valutare l effetto della sostaza esame al etto delle varazo casual dovute alle dfferet caratterstche degl dvdu utlzzat ell espermeto o alle dverse codzo ambetal cu s svolge l espermeto stesso.

44 I geerale la reale effcaca d u farmaco, d u fertlzzate, d u pestcda può essere valutata co u opportuo procedmeto che cosste essezalmete due fas dstte ogua delle qual vegoo utlzzate opportue metodologe statstche. La prma fase è costtuta dalla scelta dello schema d programmazoe dell espermeto o, altr term, dalla scelta del metodo d raccolta de dat. I metod statstc che vegoo utlzzat questa fase hao lo scopo d stablre la umerostà ecessara per otteere ua stma co l grado d precsoe stablta e d dcare, per esempo, a qual degl dvdu utlzzat ell espermeto va sommstrata ua certa dose della sostaza ed a qual dvdu va vece sommstrata ua dose dversa. Ua volta termata la raccolta de dat, la fase successva cosste ovvamete ell aals de rsultat otteut el corso dell espermeto. I questa secoda fase s utlzzao degl opportu metod statstc che cosetoo d valutare l effetto della sostaza o delle dverse sostaze utlzzate al etto delle varazo mputabl a fattor dvers, fra qual, per esempo, tutt quegl elemet che hao atura casuale.. Le fas dell esecuzoe d u espermeto Co l terme geerco d espermeto s dca u qualsas procedmeto d raccolta d dat effettuato co lo scopo d verfcare se ua certa varable quattatva rsete de valor o delle modaltà assute da ua o pù varabl dverse, qualtatve o quattatve, che vegoo teute sotto cotrollo. Così, per esempo, u espermeto può cosstere el msurare la resa produttva per ettaro otteuta co dverse dos d uo stesso fertlzzate oppure co fertlzzat dvers, el msurare l grado d purezza d u prodotto preparato co dvers tp d solvet, oppure la ressteza d u flato otteuto co macchar dfferet e così va. I quest esemp, come s vede, se dchamo co Z la varable quattatva oggetto d dage e co A la varable sotto cotrollo, l espermeto cosste el rlevare l valore d Z (resa produttva per ettaro, grado d purezze d u prodotto, ressteza d u flato) corrspodeza d dverse determazo della varable A (dos d uo stesso fertlzzate o fertlzzat dvers, tp d solvet, macchar dvers). La varable Z d cu s vuole esamare l comportameto corrspodeza delle dverse determazo d A è detta varable dpedete, la varable A costtusce l cosddetto fattore spermetale, metre cascua delle utà sulle qual s msura l testà della varable Z è detta utà spermetale.

45 Il valore assuto dal fattore u partcolare espermeto vee dcato co l terme lvello, metre la caratterstca della varable Z che s vuole rlevare corrspodeza de dvers lvell è l parametro d studo. I geerale lo scopo d u espermeto cosste el rlevare l valore medo della Z corrspodeza d dvers lvell del fattore A al fe d verfcare se questo fattore cde o meo modo sgfcatvo su valor della varable dpedete. Così, per esempo, el caso d u espermeto che ha lo scopo d rlevare la durata meda delle lampade prodotte co flamet d materal dvers la varable dpedete è la durata delle lampade, l parametro è la meda, le utà spermetal soo le lampade utlzzate ell espermeto, l fattore spermetale è l materale utlzzato per produrre l flameto ed lvell soo dvers materal pres esame. Se suppoamo che l fattore spermetale A assuma u lvell dvers a ( =,,...,u) ed dchamo co µ = E(Z a ) la meda d Z corrspodeza dell -esmo lvello d A, lo scopo dell espermeto è quello d verfcare se al varare del lvello a varao modo sgfcatvo ache valor med µ. I altr term questo sgfca che geerale s vuole verfcare u potes del tpo H : µ = µ =... = µ u.. cotro l potes alteratva che almeo ua µ sa dversa da u altra. Vedamo qud come l problema questoe sa realtà rcodcble ad u cofroto fra parametr d pù popolazo dverse, aalogamete a quato vsto el corso del paragrafo.8. Come s è detto, umerose crcostaze fattor pres esame soo pù d uo ed questo caso la varable Z vee rlevata corrspodeza d dverse combazo de lvell de fattor cosderat. Così, per esempo, u espermeto può cosstere ella rlevazoe della resa produttva per ettaro corrspodeza d dverse combazo d tp d fertlzzat e d semet, ella rlevazoe della frabltà d u prodotto da foro corrspodeza delle combazo d dvers tp d fare, d temp e d temperature d cottura, ella rlevazoe della ressteza d u artcolo prodotto co dverse combazo d matere prme, d lvell d pressoe e d macchar. Og combazoe de lvell de fattor presa cosderazoe u espermeto vee dcata co l terme trattameto, per cu se ell espermeto vee cosderato u solo fattore, lvell d questo fattore cocdoo co trattamet. Se vece s cosderao due fattor A e B e s dcao rspettvamete co a ( =,,...,u) e co b j (j =,,...,v) loro geerc lvell, l umero de trattamet rsulta par a t=u v e corrspode qud al umero d tutte le possbl assocazo (a, b j ) de lvell de due fattor. Pù geerale, se

46 s dca co T l vettore de fattor spermetal cosderat, trattamet corrspodeza de qual s rleva la determazoe assuta dalla varable Z soo sgol valor t assut dalla varable multvarata T. I pratca l esecuzoe d u qualsas espermeto può essere suddvsa e seguet pass prcpal: ) selezoe de fattor ed detfcazoe de parametr oggetto d studo; ) scelta de trattamet e de lvell de fattor da utlzzare; 3) determazoe della umerostà campoara per cascu trattameto; 4) assegazoe de trattamet alle dverse utà spermetal; 5) valutazoe dell effetto de fattor spermetal. Come s vede, le prme due fas soo quelle che permettoo d otteere formazo su parametr d teresse che, come s è detto, geerale soo valor med della Z sotto cascu trattameto. Il terzo e quarto passo cosderat cogutamete dao luogo alla fase cu s determa l pao per la raccolta de dat, ovvero lo schema d programmazoe dell espermeto. Questa fase, che vee usualmete deomata co l terme dsego dell espermeto, preseta dffcoltà pù o meo rlevat a secoda delle codzo elle qual vee effettuato l espermeto, del umero de fattor cosderat e del umero d utà spermetal dspobl. I pratca co l dsego dell espermeto s determa l modo co l quale dvers trattamet, e coè le dverse combazo de lvell de fattor cosderat, vegoo assegat alle dverse utà spermetal. S osserv che geerale rsultat d u espermeto rsetoo ache dell effetto d umeros altr fattor, dett fattor supplemetar, che possoo alterare modo sesble l flueza de fattor spermetal sulla varable Z, ma che o sempre possoo essere teut sotto cotrollo. La scelta del dsego dell espermeto assume allora u mportaza fodametale perché è la fase che cosete d assegare var trattamet alle dverse utà spermetal modo da lmtare al massmo l effetto d quest fattor, ossa modo da attrbure rsultat otteut essezalmete all effetto de fattor spermetal. A loro volta fattor supplemetar vegoo dstt fattor casual e fattor subspermetal (o fattor d dsturbo). I prm soo costtut dalle cause o rproducbl che modfcao le crcostaze ambetal cu vee effettuato l espermeto e dalle dffereze elmabl e o rlevabl fra le caratterstche delle utà spermetal utlzzate. Dato che fattor casual eserctao comuque u flueza su rsultat dell espermeto, valor della varable Z rlevat su cascua delle utà

47 spermetal devoo essere cosderat d cosegueza come determazo d ua v.c. ed az è propro la preseza d quest fattor che gustfca l utlzzo delle tecche dell fereza statstca al fe d studare l effetto de fattor spermetal sulla varable oggetto d dage. I fattor subspermetal, o fattor d dsturbo, soo vece costtut da tutte quelle altre cause che possoo flure modo rlevate su rsultat dell espermeto stesso ma che, a dffereza de fattor casual, possoo essere rlevat e teut sotto cotrollo. Così, per esempo, el caso d u espermeto per valutare l effcaca d u farmaco ella cura d ua certa malatta fattor subspermetal potrebbero essere l sesso degl dvdu esamat, la loro età, l peso corporeo, l evetuale preseza d altre patologe e così va. Come s vedrà meglo seguto, cas come questo u adeguata scelta del dsego dell espermeto cosete d cofrotare lvell med della Z all tero d grupp d utà spermetal che soo relatvamete omogee rspetto a fattor d dsturbo, modo che rsultat otteut possao essere attrbut prcpalmete all effetto de sgol trattamet. Nell aals dell effcaca d u certo farmaco, per esempo, per poter otteere ua valutazoe attedble s potrebbero aztutto suddvdere gl dvdu grupp omogee rspetto al sesso, all età, al peso, alla preseza d altre patologe. Successvamete l espermeto potrebbe cosstere el sommstrare dos dverse del farmaco agl dvdu che appartegoo ad uo stesso gruppo omogeeo. I geerale, qud, se s suppoe che esstao de fattor d dsturbo grado d alterare rsultat dell espermeto, l metodo, che vee geeralmete utlzzato per elmare l flueza d quest fattor e per stmare modo attedble l effetto de fattor spermetal sulla varable Z, cosste el suddvdere gl dvdu grupp che rsultao omogee rspetto a quest fattor. Successvamete dvers trattamet vegoo assegat maera casuale a dvers dvdu preset e grupp così format, modo da evtare error d stma d tpo sstematco. S osserv che ell esecuzoe d u espermeto l fattore spermetale è l fattore d teresse prmaro, metre l fattore subspermetale è d teresse secodaro. S osserv oltre che l effetto complessvo sulla varable dpedete vee sempre scsso ella somma dell effetto mputable al fattore spermetale pù l effetto mputable al fattore subspermetale. I altr term questo sgfca assumere che l effetto complessvo sulla varable dpedete sa par alla somma dell effetto de sgol fattor o, come s dce comuemete, che due tp d fattor o teragscoo fra d loro. I prma approssmazoe s può dre che fra due fattor A e B esste u effetto d terazoe quado le dffereze fra le mede rlevate sotto lvell del fattore A dpedoo da lvell del fattore

48 B. Se vece le dffereze fra le mede sotto lvell d A soo dpedet dal lvello d B, allora due fattor A e B o teragscoo fra d loro. Pertato, se ell espermeto s cosderao pù fattor d tpo spermetale e subspermetale, s assume sempre l potes che fattor spermetal possao evetualmete teragre fra d loro, ma o co fattor subspermetal. Per utlzzare u corretto pao degl espermet occorre qud cosderare come fattor spermetal extra que fattor subspermetal che teragscoo co fattor spermetal. Le osservazo effettuate per cascuo de trattamet cosderat vegoo dette replcazo ed l umero d queste replcazo può essere costate per cascuo de trattamet cosderat oppure può varare al varare del trattameto. I og caso, d solto, per cascuo de trattamet cosderat s effettuao pù osservazo allo scopo d valutare l effetto de fattor spermetal sulla varable Z al etto dell effetto eserctato da fattor casual. I asseza d fattor d dsturbo che altero maera sstematca rsultat dell espermeto, fatt, queste replcazo cosetoo d stmare sa la varabltà della Z all tero d cascu gruppo omogeeo rspetto a fattor spermetal sa la varabltà delle mede µ. S arrva così all ultma fase d u espermeto, che cosste ovvamete el valutare l effetto che fattor spermetal eserctao sulla varable dpedete e, qud, el cofrotare dvers lvell med della Z sotto var trattamet. Questo cofroto vee codotto medate l osservazoe de valor della varable Z su pù dvdu de dvers grupp omogee rspetto a fattor spermetal. I questo modo è possble scdere la varaza complessva della Z ella varaza spegata o varaza fra grupp o varaza betwee, mputable alle dffereze fra valor med della Z corrspodeza de dvers trattamet, e ella varaza resdua o varaza all tero de grupp o varaza wth, che è mputable a fattor casual. Quest ultma fase dell esecuzoe d u espermeto vee detto aals della varaza o, pù brevemete, ANOVA. Nelle page successve prederemo esame solo l aals della varaza d tpo parametrco e coè l procedmeto d valutazoe dell effetto de fattor spermetal sulla varable dpedete che può essere utlzzato quado soo verfcate alcue partcolar codzo crca le fuzo d probabltà secodo le qual s dstrbuscoo rsultat spermetal. Queste codzo che, come vedremo, o soo eccessvamete restrttve, soo descrtte el paragrafo successvo.

49 .3 Le codzo del modello parametrco dell aals della varaza Come s è detto elle page precedet, l effetto de fattor spermetal sulla varable Z vee valutato geerale utlzzado le formazo rlevate su u campoe d elemet. Idcato co t l umero de trattamet cosderat ell espermeto, s osserv che l aals della varaza vee utlzzata sa quado le utà spermetal soo aturalmete suddvse grupp omogee rspetto a fattor spermetal, sa quado vece le utà vegoo artfcalmete suddvse t grupp decdedo a qual dvdu sommstrare u certo trattameto ed a qual altr u trattameto dverso. I pratca, qud, l aals della varaza cosete d cofrotare le testà della varable quattatva Z rlevata su dvdu scelt modo casuale da grupp separat (come per esempo el caso dello studo sulla durata d fuzoameto d artcol prelevat da produzo otteute co macchar dvers, co matere prme dverse e così va) oppure su dvdu appostamete predspost per u qualche espermeto (come per esempo el caso dell esame delle rese produttve su appezzamet a qual è stato sommstrato u dverso tpo d fertlzzate, oppure delle reazo d malat sottopost a dverse terape). L aals della varaza d tpo parametrco presuppoe che sao verfcate alcue codzo sulla fuzoe d probabltà secodo la quale s dstrbuscoo rsultat otteut ell espermeto. Nel caso cu la popolazoe è aturalmete suddvsa t grupp omogee rspetto alla varable multvarata T, le formazo vegoo reperte su t campo d dvdu estratt modo dpedete da cascuo d quest grupp. Le codzo stadard soo che la dstrbuzoe della Z all tero dell -esmo gruppo omogeeo T sa d tpo ormale co u valore della meda par a µ ed ua varaza omoschedastctà). σ che ha lo stesso valore tutt grupp (codzoe d Per og estrazoe casuale resta qud determata per cascu gruppo omogeeo la v.c. Y t valore d Z sull dvduo estratto modo casuale dal gruppo che preseta la modaltà t d T la cu dstrbuzoe d probabltà è ovvamete ormale co ua meda che dpede dal trattameto t de fattor T, ed ua varaza σ costate. Ioltre, dato che campo soo estratt modo dpedete, le varabl casual Y t soo tutte dpedet fra d loro. Nel caso cu, vece, s utlzzao dvdu appostamete predspost per l espermeto, l valore della varable Z rlevato sulla sgola utà vee cosderato come la determazoe d ua v.c., dato questo valore è fluezato, oltre che da lvell de fattor spermetal e subspermetal, ache da u seme d fattor casual che o è possble elmare o teere sotto cotrollo. A partà d tutt fattor cosderat, s potzza che la varable Z corrspodeza del trattameto t d T o possa assumere che u uco valore µ e che la varabltà de rsultat che effettvamete s rleva è realtà causata dall effetto d dvers fattor casual.

50 I rsultat che pratca s rlevao su sgol dvdu possoo essere qud cosderat come le determazo d ua v.c. ormale Y t, se s suppoe che sao rspettate le codzo d valdtà del teorema lmte cetrale e, qud, che fattor casual sao umeros, che o sao correlat fra d loro, che cascuo d ess da orge ad error per eccesso e per dfetto co probabltà pressoché ugual, che quest error sao trascurabl rspetto all errore complessvo e che quest ultmo meda sa par a zero. La secoda codzoe è relatva all varaza d σ all tero de dvers grupp omogee. I altr term questo sgfca potzzare che dvers fattor spermetal e subspermetal o eserctao u flueza é sul tpo d dstrbuzoe della Y t, é sulla sua varaza, ma soltato sul suo valore medo µ. Dato che la varaza msura la varabltà de rsultat toro alla meda µ mputable all effetto de fattor casual, questa secoda codzoe equvale ad assumere che fattor casual sao sempre gl stess per qualuque combazoe de fattor spermetal e subspermetal. Per quato rguarda la verfca campoara d queste codzo, s osserv che l aals della varaza è ua procedura robusta el seso che è grado d forre rsultat attedbl quado le codzo stesse o soo volate modo troppo marcato. Per questo motvo, se la umerostà delle osservazo corrspodeza de dvers trattamet è suffcetemete elevata, la verfca della ormaltà può essere effettuata maera approssmatva, per esempo medate l esame dell stogramma della dstrbuzoe della varable. Ne cas cu la umerostà campoara o è suffcete vee vece utlzzato uo de tests fuzoal descrtt el captolo precedete. Per quato rguarda l potes d omoschedastctà la sua verfca vee d solto effettuata medate l test d Bartlett, che è stato esamato el paragrafo.8..4 Gl effett de trattamet Da quato detto elle page precedet, rsulta evdete che, el caso d u uco fattore A, se è la umerostà campoara corrspodeza dell -esmo lvello a (=,,...,u), dat osservat soo delle realzzazo delle varabl Y j N(µ ; σ ) =,,,u; j=,,,,.4. dove Y j è la v.c. valore d Z sul j-esmo dvduo. La.4. è spesso espressa ache el modo seguete

51 Y r = µ +ε r,.4. dove le ε r soo varabl ormal dpedet co meda par a zero e varaza costate σ. Le due espresso soo charamete equvalet, ma co la secoda s tede sottoleare che oguo de valor osservat sotto l -esmo trattameto è fluezato oltre che dal trattameto, che determa l orde d gradezza della varable par a µ, ache da u seme d fattor casual l cu effetto è stetzzato da ua v.c. ormale. S osserv che per meglo evdezare l effetto de var trattamet sulla varable dpedete, s cosdera usualmete ache la meda delle mede codzoate µ = u µ =. I questo modo la meda della varable Y j può essere ache scrtta ella forma seguete µ = µ + α,.4.3 dove α = µ - µ, par alla dffereza fra la meda codzoata sotto a e la meda geerale, è l cosddetto effetto dell'-esmo trattameto. I altr term, questo sgfca che la meda della varable dpedete sotto l -esmo trattameto è uguale alla meda geerale pù l effetto del trattameto La.4. questo caso è espressa co la otazoe Y r = µ + α + ε r,.4.4. S osserv che dalle defzo precedet rsulta α = Le stme d µ e d α soo rspettvamete u =. ˆ µ = y = u y =

52 ˆ α = y y, dove y è la meda campoara d Z ell -esmo trattameto. Queste stme corrspodoo alle stme d m.v. dato che µ e α soo fuzo delle µ. Per quato rguarda vece la stma della varaza d Z, s osserv aztutto che l logartmo della fuzoe d verosmglaza assume la forma seguete logσ σ ( y j ) = logσ ( y α µ ) µ j σ j j. Se s aggugoo e s sottraggoo y e può ache essere scrtta ella forma ˆα ella doppa sommatora, l espressoe precedete logσ σ s + ( ˆ α α ) + ( y µ ).4.5 da cu s vede che l valore massmo della verosmglaza s ha quado la stma d σ corrspode alla varaza campoara pooled s w s. = Nell aals della varaza abbamo vsto come l potes rlevate sa che valor med delle u varabl Z sao tutt ugual fra d loro H : µ = µ = = µ u = µ.4.6 cotro l potes alteratva che almeo due mede rsulto dverse. Questa potes d base vee d solto espressa el modo equvalete H : α = α = = α u =..4.7 dato che affermare che le u mede soo tutte ugual fra d loro equvale a dre che dvers trattamet o hao alcu effetto su valor med.

53 Dalla.4.3 rsulta che, sotto potes ulla, l valore massmo della verosmglaza s ha quado la stma d σ corrspode a w s b s +, dove u u s = ˆ b α = ( y y), = = è la varaza degl αˆ e, qud, la varaza delle mede. Il test L-R assume percò la forma w w / S Λ = =.4.8 S + S + S /S b b w e la statstca che vee utlzzata per la verfca dell potes.4.6 o.4.7 è la seguete fuzoe d Λ u S F(u ), ( u) =.4.9 u S b w che s dstrbusce come ua F d Sedecor co u- ed -u grad d lbertà. Come s vede, l deomatore della.4.9 dpede solo dalla varaza resdua e o dalle dffereze fra le mede de grupp, metre l umeratore dpede solo da queste dffereze. Se è vera l potes ulla d asseza d effetto del fattore sulla varable Z le mede de trattamet tederao ad assumere valor o molto dvers fra d loro e vc qud alla meda geerale coscché, sotto questa potes, l umeratore della.4.9 tederà ad assumere valor relatvamete bass. Valor elevat del rapporto, vece, soo u dzo d mede µ dverse fra d loro e la regoe d rfuto dell potes d base sarà qud poszoata lugo la coda destra della dstrbuzoe. I geerale rsultat dell ANOVA otteut co pù comu pacchett software vegoo rassut ua tavola aaloga a quella rportata ella tabella seguete che cotee tutte le formazo ecessare per calcolare l test F per verfcare l potes ulla.4.6. S osserv che ella tabella soo rportate grassetto le dcture orgal gles utlzzate pù frequetemete e pacchett software e fra paretes la loro traduzoe ed evetualmete l algortmo d calcolo.

54 Tabella.4. Esempo d output dell aals della varaza co u fattore spermetale Source (Fote d varazoe) Model (fattore spermetale) Error (fattore casuale) Corrected Total (Totale) DF (grad d lbertà) u u Sum of Squares (devaze) SSA SSE SST Aalyss of Varace (Aals della Varaza) Mea Square (varaze corrette) F value (rsultato del test.4.7) MSA = SSA MSA F = u MSE SSE MSE = u Prob>F (lvello sgfcatvtà) p-valore Come s vede, ella terza coloa soo rportat valor delle devaze (le somme de quadrat degl scart), dove SST corrspode alla devaza complessva, SSA è la devaza spegata ed SSE è la devaza resdua. Cascua d queste devaze vee dvsa per grad d lbertà corrspodet (dcat ella secoda coloa della tabella) otteedo la varaza corretta spegata e la varaza corretta resdua, cu valor soo rportat ella quarta coloa. Nella quta coloa è dcato l valore del test F così come espresso ella.4.9, metre ell ultma coloa è dcato l p-valore o sgfcatvtà osservata, coè la probabltà, sotto potes ulla, solata alla destra del valore campoaro della statstca test F. Scelto qud u lvello d sgfcatvtà α, se la probabltà rsultate ell ultma coloa è more d α questo vuol dre che la statstca F è maggore del quatle d orde α della F (u ),( u), per cu l potes ulla va rfutata. Nel prossmo captolo esameremo pù comu pa degl espermet cascuo de qual rsulta adeguato sotto partcolar codzo che rguardao l evetuale preseza d uo o pù fattor d dsturbo ed l umero d fattor spermetal pres esame.

55 CAPITOLO 3. I PRINCIPALI DISEGNI DEGLI ESPERIMENTI 3. Lo schema casuale semplce I questo captolo verrao esamat alcu dseg degl espermet che soo comuemete utlzzat per valutare l effetto d uo o pù fattor sulla varable dpedete Z. Comcamo co l cosderare l caso pù semplce che s ha quado s vuole valutare l effetto d u sgolo fattore spermetale A asseza d fattor subspermetal, ossa quado s assume che le dffereze fra le utà sao solo d tpo casuale. Il procedmeto che cosete d valutare l effetto d A al etto dell effetto de fattor casual cosste ell assegare modo casuale dvers trattamet alle utà spermetal, modo da evtare che u qualuque crtero d assegazoe scelto dallo spermetatore possa trodurre delle cause d varazoe che o possoo essere adeguatamete stmate. Così, per esempo, se per comodtà s comcasse co l esegure dapprma tutte le prove sulle utà a cu vee sommstrato l prmo trattameto, po tutte le prove sulle utà a cu vee sommstrato l secodo trattameto e così va, rsultat otteut sotto dvers trattamet potrebbero rsetre ache dell flueza eserctata dal fattore tempo. Cosderat gl u lvell a (=,,,u) del fattore A, lo scopo dell aals cosste el verfcare se valor med µ della varable Z a rsultao sgfcatvamete dvers fra d loro, e coé se l fattore esercta u effetto sgfcatvo, oppure se le dffereze evetualmete rlevate soo mputabl a sol fattor casual. L potes ulla, qud, è H : µ = µ =... = µ u 3.. cotro l potes alteratva che almeo ua meda sa dversa da u altra. Sotto l potes che le utà spermetal soo omogeee fra d loro la meda µ può essere stmata dalla meda campoara otteuta corrspodeza della determazoe a d A. La verfca dell potes 3.. s basa qud sul cofroto fra le u mede campoare calcolate per gl u trattamet e s coclude che l fattore A esercta u flueza sgfcatva su Z se almeo ua d queste mede campoare rsulta sgfcatvamete dversa da ua delle altre. I geerale, questo tpo d dsego degl espermet è detto schema casuale semplce (o schema completamete casuale) e cascuo degl u grupp omogee A può essere costtuto da u umero d utà spermetal che è costate oppure è varable. Se tutt grupp hao ua stessa

56 umerostà r, s dce che lo schema è a replcazo costat e la dmesoe complessva del campoe è ovvamete =u r. Suppoamo, per esempo, d voler cofrotare valor della varable Z vedte d ua certa merce a secoda delle modaltà della varable A tpo d esposzoe della merce stessa. Se, per esempo, s cosderao 3 dvers tp d esposzoe e s vogloo 5 replcazo per cascuo de trattamet cosderat, l umero d utà spermetal ecessare è =3 5=5 e l assegazoe del tpo d esposzoe a cascuo de 5 gor avvee modo casuale, co l solo vcolo che cascu tpo d esposzoe vega utlzzato per uo stesso umero d gor. Nell esempo cosderato trattamet, corrspodet a tp d esposzoe della merce, soo stat assegat modo casuale alle dverse utà spermetal, ma tutte le cosderazo precedet rmagoo valde ache el caso cu l espermeto cosstesse ell estrarre modo dpedete u campo da altrettate popolazo, ogua delle qual è stata precedetemete sottoposta ad uo specfco trattameto (come, per esempo, se s estraessero r artcol da cascuo degl u lott prodott da u macchar dvers allo scopo d verfcare se la quota d artcol dfettos possa essere rteuta costate per og maccharo oppure o). Nel prmo caso dalla popolazoe d N elemet s estrae u umero d utà spermetal par ad r volte l umero u de trattamet cosderat e successvamete le utà vegoo suddvse modo casuale u grupp, oguo de qual è costtuto da r elemet, a cascuo de qual vee assegato u dverso trattameto. Nel secodo caso, vece, la popolazoe è gà suddvsa u sottopopolazo da cascua delle qual vee estratto u campoe beroullao d r elemet. Cosderamo u esempo relatvo a questa secoda stuazoe e suppoamo d effettuare u espermeto per cofrotare valor med della varable Z ressteza alla lacerazoe de fogl d carta a secoda del maccharo utlzzato ella produzoe. I questo caso, per effettuare la verfca d potes 3.., è suffcete prelevare modo casuale u certo umero d fogl d carta da lott prodott co dvers macchar e cofrotare le mede campoare d cascu gruppo omogeeo rspetto al maccharo utlzzato. Suppoamo, per esempo, d cosderare 5 dvers macchar a (=,,...,5) dcat ella prma coloa della tabella successva e d avere prelevato 4 fogl da cascu lotto otteedo valor della ressteza alla lacerazoe dcat ella secoda coloa della stessa tabella.

57 Tabella 3.. Ressteza alla lacerazoe de fogl d carta prodott co dvers macchar Maccharo Ressteza a a a a a 5 96 I rsultat dell ANOVA rportat ella tabella 3.. mostrao che l test F dato dalla.4.9 è par a 4,34 e questo valore corrspode al quatle d orde,984 della F 4,9. I questo caso, qud, l potes ulla o può essere accettata per og lvello d sgfcatvtà α superore all,58%. Tabella 3.. Rsultat della ANOVA su dat della tabella 3.. Source (Fote d varazoe) Model (fattore spermetale) Error (fattore casuale) Corrected Total (Totale) DF (grad d lbertà) Sum of Squares (devaze) Mea Square (varaze corrette) F value (rsultato del test.4.7) Prob>F (lvello d sgfcatvtà) 4 568,8 4, 4,34, , 3,8 9 6,8 I alcu cas l umero delle utà spermetal sotto dvers trattamet è varable ed questo caso s parla d schema completamete casuale a replcazo varabl. Idcato co r (=,,...,u) l umero d replcazo all tero dell -esmo trattameto, la umerostà complessva del campoe è ovvamete par a u = r. = S osserv che u dsego completamete casuale a replcazo varabl può essere utlzzato per motv dvers come, per esempo, la scelta delberata d reperre u maggor umero d formazo per alcu partcolar trattamet, assegado pù utà spermetal a que trattamet per qual s desdera u maggor grado d affdabltà delle stme oppure a que trattamet che rsultao d maggore teresse. I altr cas, tuttava, s parte co u dsego a replcazo costat, ma se e ottee uo a replcazo varabl a causa dell effetto d fattor accdetal, come può

58 accadere quado rsulta macate u certo umero delle osservazo prefssate per cascuo de trattamet cosderat. 3.. Lo schema a blocch casual completo Abbamo detto che l dsego completamete casuale può essere utlzzato quado le dffereze fra le utà spermetal possoo essere mputate a sol fattor casual. Se vece queste dffereze soo d tpo sstematco e, qud, mputabl agl effett d uo o pù fattor d dsturbo, rsultat otteut co questo schema o soo attedbl, el seso che questo dsego o cosete d scdere gl effett mputabl al fattore spermetale da quell mputabl a fattor subspermetal. La preseza d fattor d dsturbo che eserctao u effetto su valor della varable Z s verfca spesso e cas real per u seme d crcostaze che o possoo essere elmate e che o cosetoo d effettuare le dverse prove elle stesse codzo. Così, per esempo, u espermeto codotto per studare la resa produttva d dvers fertlzzat rsultat possoo essere fluezat ache dalla dversa esposzoe o da dvers tp d suolo de terre d prova, u espermeto sugl effett d u farmaco rsultat possoo dpedere ache dall età, dal sesso o dal peso corporeo de dvers dvdu, u espermeto sulla durata delle lampade prodotte co dvers tp d flameto rsultat possoo essere fluezat dalle caratterstche de dvers macchar utlzzat per la produzoe e così va. I tutt quest cas l espermeto o può essere codotto medate uo schema casuale, dato che questo tpo d dsego o cosete d teere sotto cotrollo fattor d tpo subspermetale. Ua volta che s presume che rsultat dpedoo ache da uo o pù fattor subspermetal, l effetto complessvo sulla varable dpedete vee scomposto ella somma dell effetto eserctato dal fattore spermetale e dell effetto mputable a fattor subspermetal, ache se la dstzoe fra fattor spermetal seso stretto e fattor subspermetal è geeralmete arbtrara. Questa dstzoe è fatt precedete l esecuzoe dell espermeto e s basa qud sull espereza e su potes che o sempre vegoo effettvamete cotrollate. Nella pratca, però, quado s ha motvo d rteere che l terazoe fra fattor spermetal e subspermetal sa puttosto debole, la stuazoe reale vee assmlata ad ua cu questa terazoe è del tutto assete, per cu s cosderao come fattor subspermetal que fattor che soo d teresse secodaro e che s rtee o teragscao msura rlevate co fattor spermetal. Il crtero geerale che cosete d teere sotto cotrollo l effetto de fattor subspermetal cosste el suddvdere le utà grupp, dett blocch, che soo omogee rspetto alle determazo d quest fattor.

59 Nel caso relatvo a 3 dvers tp d esposzoe d ua certa merce, per esempo, è ragoevole supporre che le vedte varo ache a secoda del goro della settmaa. Questa fote d varazoe è elmable e o può essere teuta sotto cotrollo el dsego completamete casuale dato che l assegazoe casuale de trattamet alle dverse utà spermetal potrebbe portare, per esempo, ad utlzzare sempre uo stesso tpo d esposzoe u certo goro della settmaa. I questo caso, dato che le utà spermetal o possoo essere cosderate completamete omogeee fra d loro, è opportuo che l dsego degl espermet sa formulato modo da utlzzare tre tp d esposzoe 5 dvers gor della settmaa. Per otteere questo rsultato s possoo aztutto suddvdere 5 gor dell espermeto 5 blocch omogee cascuo de qual è costtuto da u certo goro della settmaa e ell assegare successvamete 3 tp d esposzoe all tero d cascu blocco. Nell esempo cosderato u prmo blocco potrebbe essere costtuto da 3 luedì, u secodo blocco da 3 martedì e così va, metre l assegazoe de trattameto alle utà spermetal de sgol blocch vee effettuata modo casuale. Nella tabella successva è rportato u possble dsego per l esempo cosderato, dal quale s vede che cascu lvello del fattore spermetale compare ua ed ua sola volta og sgolo blocco. Tabella 3.. Esempo d dsego a blocch casual Blocco Trattamet luedì a a 3 a martedì a 3 a a mercoledì a a a 3 govedì a a a 3 veerdì a 3 a a I geerale questo tpo d dsego, detto dsego a blocch casual completo, cosste el suddvdere le utà spermetal grupp omogee rspetto alle assocazo d modaltà de fattor subspermetal, oguo de qual è formato da u umero d elemet par al umero de trattamet u. All tero d cascu blocco l assegazoe degl u trattamet alle u utà spermetal vee effettuata modo casuale e l aggettvo completo sottolea l fatto che og blocco vegoo utlzzat tutt trattamet cosderat.

60 Se è v l umero de grupp omogee rspetto a fattor subspermetal, la umerostà complessva delle utà ecessare per effettuare u espermeto d questo tpo sarà qud par a = v u. Da u puto d vsta teorco s osserv che le varabl Y j valore d Z rlevato corrspodeza della -esma modaltà del fattore spermetale e del j-esmo blocco (=,,,u; j=,,,v) soo dpedet fra d loro e dstrbute modo ormale co mede µ j e co la stessa varaza Se s dcao co µ. le u mede relatve alle modaltà del fattore spermetale σ. µ. = µ v j j, 3.. co µ.j le v mede relatve a blocch µ. j = µ u j 3.. e co µ la meda geerale µ = uv µ j j, 3..3 le mede delle Y j possoo essere espresse el modo seguete µ j = µ + α + β j 3..4 dove α = µ. µ 3..5 è l'effetto mputable alla -esma modaltà d A, metre β j = µ.j µ 3..6 è l'effetto dovuto al j-esmo blocco.

61 S ot che rsulta α = β = j, j coscché le stme d m.v. de parametr assumoo la forma µ ˆ = y = αˆ = y. uv j y j y = y v j j y βˆ j = y. j y = y u j y Il logartmo della fuzoe d verosmglaza è uv logσ σ ( α β ) µ j y j j. Se s aggugoo e s sottraggoo µˆ, precedete può ache essere scrtta ella forma ˆα e ˆβ j ella doppa sommatora, l espressoe uv logσ σ j ( y αˆ βˆ y) + ( αˆ α ) v+ ( βˆ β ) u+ ( y µ ) j j j j 3.. da cu s vede che l valore massmo della verosmglaza s ha quado la stma d σ è sˆ = uv ( y ˆ ˆ β y) = ( y y y y) j j j.. j + α. uv w j j Sotto l'potes ulla H : α = =,,..., u 3..

62 la stma d m.v. d σ è w s A s +, dove s A è la varaza degl ˆα, per cu la statstca assume la forma ( )( ) v u S A F( u ),[( u )( v ) ] = 3.. u S w e s dstrbusce co ua F co (u ) e (u )(v ) g.d.l. Come s è detto, l teresse prcpale questo tpo d espermeto cosste el verfcare l potes 3.., tuttava geere programm software rportao ache l valore della statstca che serve per verfcare se l fattore subspermetale esercta u flueza sgfcatva sulla Z e, qud, per verfcare l potes H : β j = (j=,,...,v). I geerale, qud, l output de programm d calcolo cosste ua tavola aaloga a quella dcata ella tabella successva. Tabella 3.. Esempo d output dell aals della varaza per u dsego a blocch casual Fote della devaze g.d.l. varaze test Prob > F varazoe Fatt. sper. SSA u MSA = SSA MSA p-valore F = u MSE Fatt. subsp. SSB v MSB = SSB MSB p-valore F = v MSE Errore SSE (u )(v ) SSE MSE = ( u )( v ) Totale SST uv Suppoamo, per esempo, d voler cofrotare la resa produttva d tre dvers fertlzzat (a, a e a 3 ) e che terre utlzzat per effettuare l espermeto o possao essere cosderat completamete omogee fra d loro perché dfferscoo per la composzoe del suolo. I questo caso, suppoedo che terre possao essere suddvs 4 blocch (b, b, b 3 e b 4 ) relatvamete omogee rspetto alla composzoe, s sommstrerao tre dvers tp d fertlzzate cascuo de 4 tp d terreo. Suppoamo, per esempo, che le rese produttve (espresse qutal per ettaro) assumao valor rportat ella tabella 3..3.

63 Tabella 3..3 Esempo d dsego completo a blocch casual tratt. a a a 3 blocch b 4,6 4,9 4,4 b 6, 6,3 5,9 b 3 5, 5,4 5,4 b 4 6,6 6,8 6,3 I rsultat dell ANOVA, rportat ella tabella seguete, mostrao che questo caso o esstoo dffereze apprezzabl fra tre fertlzzat cosderat. Tabella 3..4 Aals della varaza per dat della tabella 3..3 Fote della varazoe Devaze g.d.l. varaze Test Prob > F Fatt. spermetale,6,3 4,8,73 Fatt. subspermetale 6,7633 3,544 7,46, Errore,867 6,3 Totale 7, Questo schema s geeralzza faclmete per u qualuque umero d fattor subspermetal, dato che og caso l procedmeto cosste el suddvdere le utà spermetal grupp che rsultao omogee rspetto a fattor d dsturbo. Se, per esempo, s potzza che c sao due fattor d dsturbo co u umero d lvell rspettvamete par a v ed a w, s cosderao v w grupp, omogee quest fattor, cascuo de qual è costtuto da u umero u d dvdu par al umero de lvell del fattore spermetale. Successvamete s sommstra modo casuale u dverso trattameto a cascuo degl u dvdu preset og gruppo omogeeo. I alcu cas, soprattutto quado s hao molt fattor subspermetal, l umero delle utà ecessare per effettuare u dsego a blocch completo dveta eccessvamete elevato. I stuazo come queste s utlzzao de pa degl espermet, dett a blocch complet, che cosetoo d valutare l effetto del fattore spermetale ache utlzzado u umero more d osservazo.

64 3.3 L effetto d terazoe Fora abbamo cosderato dseg degl espermet co u solo fattore spermetale. I molte stuazo real, però, l teresse cosste el valutare l effetto d pù fattor cotemporaeamete perchè s rtee che valor della Z sao fluezat da pù varabl e lo scopo dell dage è ovvamete quello d verfcare se queste varabl esercto u effetto sgfcatvo. Così, per esempo, la ressteza alla rottura d u certo artcolo può dpedere dalla matera prma e dal tpo d maccharo, la resa produttva d ua certa coltura può dpedere dal tpo d fertlzzate e dalla quattà d acqua sommstrata, l tempo ecessaro per guarre da ua certa malatta può dpedere dall effetto combato d due o pù farmac e così va. L effetto complessvo sulla varable dpedete può però essere dverso dalla somma degl effett mputabl a sgol fattor e quado questa crcostaza s verfca, s dce che fattor teragscoo fra d loro. Cosderamo per semplctà u espermeto co due fattor spermetal A e B cascuo de qual assume due sol lvell a, a e b, b e suppoamo che corrspodeza de trattamet a b, a b ed a b la varable dpedete abba assuto valor rportat ella tabella successva. Tabella 3.3. Esempo completo d espermeto a due fattor A B b b a 5 3 a 35 Sulla base d quest rsultat, prma acora d effettuare l espermeto corrspodeza del trattameto a b, possamo chederc quale valore della varable dpedete c s può aspettare el corso della prova. Per rspodere a questa domada s può tato cosderare come trattameto base l trattameto a b sotto l quale, come s vede, s è otteuto u rsultato par a 5. Dato che sotto a b s è otteuto u rsultato par a 3 la dffereza 3 5=5 può essere mputata al solo cambameto del lvello del fattore B. Seguedo lo stesso ragoameto la dffereza 35 5= fra l rsultato otteuto sotto l trattameto a b ed l trattameto base può essere mputata al solo cambameto el lvello del fattore A. I base a queste cosderazo l valore che c s può aspettare d otteere per l trattameto a b dovrebbe corrspodere alla somma del valore otteuto sotto l trattameto base pù l effetto mputable alla varazoe del fattore A pù quello mputable alla varazoe d B. Seguedo questo ragoameto l rsultato che c s può aspettare sotto a b è par a 5+5+ = 4.

65 Se ua volta eseguto l espermeto s ottee u rsultato che o dffersce sgfcatvamete dal valore prevsto questo sgfca che due fattor o teragscoo fra d loro. I questo caso, fatt, l effetto complessvo sulla varable dpedete può essere scomposto ella somma degl effett mputabl a sgol fattor. I caso cotraro s dce che due fattor teragscoo fra d loro e l effetto complessvo sulla varable dpedete è scompoble ell effetto de due fattor prcpal pù l cosddetto effetto d terazoe. Suppoamo, per esempo, che sotto l trattameto a b s sa realtà otteuto u rsultato par a 45, così come rportato ella tabella Tabella 3.3. Esempo d espermeto a due fattor A B b b a 5 3 a Sulla base de valor rportat questa tabella rsulta che la meda geerale della varable Z è 33,75, metre la sua meda sotto l lvello a d A è par a 7,5 e sotto a è 4. Sulla base d quest rsultat s può cocludere che l effetto del lvello a d A può essere stmato par a 7,5 33,75 = 6,5, metre l effetto del lvello a può essere stmato par a 4 33,75 = 6,5. Seguedo lo stesso procedmeto s vede che l rsultato medo sotto l lvello b d B è par a 3, metre sotto b è uguale a 37,5 coscché l effetto del lvello b può essere stmato par a 3 33,75 = 3,75, metre quello d b è dato da 37,5 33,75 = 3,75. Se adesso s parte dal rsultato medo geerale (par a 33,75) e, corrspodeza de var trattamet, s aggugoo a questo valore gl effett mputabl a sgol fattor, s ottee la seguete tabella teorca che, come s vede, o cocde co la tabella 3.3. de dat effettvamete rlevat. Tabella Rsultat stmat asseza dell effetto d terazoe A B b b a 33,75 6,5 3,75 = 3,75 33,75 6,5+3,75 = 3,5 a 33,75+6,5 3,75 = 36,5 33,75+6,5+3,75 = 43,5

66 A questo puto s possoo calcolare gl scart fra valor effettvamete rlevat e quell stmat medate la tabella 3.3.3, otteedo valor rportat ella tabella seguete. Tabella Scart fra valor orgal e valor stmat A B b b a 5 3,75 =,75 3 3,5 =,75 a 35 36,5 =, ,5 =,75 Quest valor msurao l effetto d terazoe esstete fra fattor A e B e vedremo come sa possble verfcare se questo effetto possa essere rteuto sgfcatvo o meo occasoe dell espermeto effettuato. S osserv che se, vece, l rsultato otteuto sotto l trattameto a b fosse stato esattamete par a 4, così come potzzato asseza d terazoe, base al procedmeto appea descrtto l rsultato medo complessvo sarebbe stato uguale a 3,5, l effetto del lvello a sarebbe stato par a 5, quello del lvello a a 5, metre per b e b s sarebbe rspettvamete otteuto,5 e,5. I questo caso s può cotrollare faclmete che valor effettvamete rlevat corrspodeza d og sgolo trattameto avrebbero corrsposto esattamete alla somma della meda geerale d Z pù l effetto attrbuble a sgol lvell de fattor. 3.4 Lo schema fattorale Dat due fattor spermetal A e B, suppoamo che sa par ad u l umero delle modaltà d A e par a v l umero delle modaltà d B, coscché l umero de trattamet è questo caso par a t=u v. Se s potzza che rsultat dell espermeto o sao fluezat da essu fattore d tpo subspermetale, lo schema pù semplce è aalogo a quello casuale semplce, che è stato aalzzato el paragrafo 3.. Cosderamo l caso cu s vogla uo stesso umero d osservazo r per oguo de t trattamet, coscché la umerostà campoara complessva sarà par a =uvr=tr. L espermeto può essere effettuato suddvdedo modo casuale le utà spermetal t grupp, cascuo costtuto da r utà.

67 Successvamete uo de t trattamet è assegato modo casuale a tutte le r utà spermetal che compogoo uo d quest grupp, uo de trattamet rmaet è assegato modo casuale a tutt gl dvdu d u altro gruppo e così va. U espermeto el quale vegoo cosderate tutte le possbl assocazo delle modaltà de fattor spermetal vee detto dsego fattorale completo. I questo caso cosderamo le t varabl casual Y j valore d Z osservato corrspodeza della modaltà a d A e della modaltà b j d B (=,,...,u; j=,,...,v), dove, come al solto, le Y j soo dpedet fra d loro e dstrbute modo ormale co meda µ j e co ua varaza costate σ. Abbamo vsto el precedete paragrafo come, questa stuazoe, l effetto sulla varable dpedete sa scompoble ella somma algebrca dell effetto del fattore A, dell effetto d B e dell effetto d terazoe fra A e B. I altr term questo sgfca che le mede delle Y j possoo essere scomposte ella somma µ j = µ + α + β j + γ j, 3.4. dove α è l'effetto mputable alla -esma modaltà d A, β j è l'effetto mputable alla j-esma modaltà d B, γ j è l'effetto d terazoe fra la -esma modaltà d A e la j-esma modaltà d B. Pù partcolare, date le 3.., 3.. e 3..3, l effetto α corrspode sempre alla 3..5, l effetto β j alla 3..6, metre l effetto d terazoe è dato da γ j = µ j (α + β j ) + µ e corrspode alla dffereza fra la meda d Y j e la meda geerale depurata dagl effett d A e d B. Aalogamete a quato vsto precedeza s ha α = β = γ = γ = j j j. j j S cotrolla faclmete che la stme d m.v. d µ, α e β j soo ugual alle 3..7, 3..8 e 3..9, quelle d γ j soo ( y + y ) y ˆγ j = yj.. j +, metre la stma d σ è uguale alla meda delle varaze egl u v trattamet.

68 Dato u dsego fattorale co u umero r d replcazo costat, per la verfca dell'potes sulla sgfcatvtà del fattore A H : α = =,,...,u 3.4. s utlzza la statstca ( ) uv r S A F( u ),[ uv( r ) ] = u S w Per la verfca dell'potes relatva alla sgfcatvtà d B H : β j = j=,,...,v s utlzza la statstca ( ) uv r S B F( v ),[ uv( r ) ] = v S w ed fe per la verfca dell'potes H : γ j = =,,...,u; j=,,...,v s utlzza ( ) uv r SG F[ ( u )( v ) ],[ uv( r ) ] = ( u )( v ) S w E charo che S A, S B e S G soo le stme campoare delle varaze de tre effett. I geerale, ell ANOVA relatva ad uo schema fattorale a due fattor s ottee la scomposzoe della varaza della varable dpedete dcata ella tabella successva, cu A*B dca l effetto d terazoe fra due fattor cosderat.

69 Tabella 3.4. Aals della varaza per u dsego fattorale a due fattor co effetto d terazoe Fote della devaze g.d.l. Varaze test Prob > F varazoe A SSA u MSA = SSA MSA p-valore F = u MSE B SSB v MSB = SSB MSB p-valore F = v MSE A*B SSAB (u )(v ) SSAB MSAB p-valore MSAB = F = (u )(v ) MSE Errore SSE uv(r ) MSE uv( r ) Totale SST uvr Cosderamo per esempo u espermeto che cosste ell osservare valor della durata (espressa ore) d alcue battere prodotte co due dverse combazo d matere prme e co due dvers lvell d temperatura e suppoamo che per cascua assocazoe d modaltà de due fattor vegao effettuate 4 replcazo. I base a rsultat rportat ella tabella successva s vuole verfcare la sgfcatvtà de due effett prcpal e dell effetto d terazoe. Tabella 3.4. Esempo d dsego fattorale. Durata delle battere ( ore) a secoda della temperatura e del materale utlzzato materale a a temperatura b b I rsultat dell ANOVA soo rportat ella tabella dalla quale appare charo che due fattor o rsultao sgfcatv eache per u valore α par a,. Le dffereze fra le mede de grupp omogee soo vece dovute al solo effetto d terazoe che rsulta sgfcatvo fo ad u valore α par a,.

70 Tabella Aals della varaza su dat della tabella 3.4. Fote della devaze g.d.l. Varaze test Prob > F varazoe A 5, 5,,3,595 B,5,5,57,348 A*B 37, 37, 45,49, Errore 98,5 8,79 Totale 4937,75 5 I alcu cas l dsego fattorale vee applcato effettuado ua sola osservazoe all tero d cascu gruppo omogeeo e fattor spermetal. I questo caso o è possble valutare l evetuale effetto d terazoe e la sgfcatvtà degl effett prcpal può essere verfcata solo assumedo l potes che fattor o teragscao fra d loro. I pratca la stuazoe è assmlable a quella aalzzata el paragrafo 3. per u dsego completo a blocch casual, co l uca dffereza che, questa volta, vece d u fattore d dsturbo c è u secodo fattore spermetale e s è qud teressat a verfcare le potes relatve alla sgfcatvtà d etramb fattor. Suppoamo per esempo d avere raccolto seguet dat che s rferscoo alla varable Z ressteza alla rottura d cav prodott co tre dvers lvell del fattore A tpo d maccharo e co sette lvell del fattore B matera prma per verfcare al lvello d sgfcatvtà del 5% se due fattor fluscoo modo sgfcatvo su valor della varable dpedete. Tabella Esempo d dsego fattorale a due fattor seza effetto d terazoe A B b b b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 a, 5,3,7 3,8 5,6 3, 5,8 a 3,6 4,8 5, 5,8 63, 59,5 55,3 a 3 63,3 65, 58,8 6,4 4, 78, 6, I questo caso la statstca 3.. assume u valore par a 36,7 per cu l fattore spermetale A rsulta sgfcatvo per α=,5 dato che l quatle F, (,95) è par a 3,89. Per valutare l effetto del fattore B s utlzza la statstca F( v ),[( u )( v ) ] = ( v )( u ) v S S B w

71 che s dstrbusce co ua F co (v ) e (u )(v ) g.d.l.e che, per dat della tabella 3.4.4, assume u valore par a,54. Nella F 6, questo valore è l quatle d orde,457, coscché s coclude che l secodo fattore spermetale o esercta u effetto sgfcatvo su valor della varable dpedete. Il dsego fattorale può essere geeralzzato ad u umero qualsas d fattor spermetal, de qual s può valutare l effetto sulla varable dpedete cosderado o meo ache gl evetual effett d terazoe. E però evdete che uo degl coveet d u dsego fattorale completo è che se s cosderao pù fattor co u umero d lvell ache modesto s ottegoo geere u elevato umero d trattamet. I alcu cas, qud, vegoo utlzzat degl schem fattoral complet che ecesstao d u mor umero d osservazo perché verfcao la sgfcatvtà de sgol fattor, ma o quella d tutt possbl effett d terazoe. S osserv fe che molte stuazo real occorre cosderare oltre a fattor spermetal ache uo o pù fattor d dsturbo ed quest cas l umero d utà spermetal per effettuare uo de dseg cosderat e precedet paragraf può rsultare eccessvamete elevato. Per questo motvo soo stat propost umeros schem alteratv che cosetoo d valutare l effetto de fattor spermetal, co o seza effett d terazoe, al etto dell effetto de fattor d dsturbo co u otevole rsparmo el umero d osservazo ecessare.

72 CAPITOLO 4. LE ANALISI SUCCESSIVE DEI LIVELLI MEDI 4. Itroduzoe Quado test descrtt e due captol precedet portao ad accettare l potes ulla che dvers trattamet o producoo effett sull orde d gradezza della varable, l aals evdetemete può cosderars coclusa. Se vece l potes vee rfutata, gl stess test o soo grado d dcare qual trattamet producoo effett dvers da zero, qual producoo effett dvers fra d loro e così va. E charo però che soo propro queste le formazo che s vogloo rcavare da u espermeto. Per otteere queste formazo è ecessaro utlzzare de test dvers da precedet che s basao su cosddett cofrot multpl. S tratta sostaza d verfcare separatamete le potes su sottogrupp d trattamet, per dvduare que trattamet che s dfferezao dagl altr. Il procedmeto cosste geerale ello scomporre l potes ulla H : µ = µ =... = µ t, 4.. che questo caso vee detta potes ulla globale, u certo umero potes ulle parzal, che cosderate cogutamete equvalgoo all potes globale. Uo d quest test, che è descrtto el paragrafo successvo, s basa, per esempo, sul cofroto de valor med per og possble coppa d trattamet. Se l espermeto prevede t trattamet, le potes ulle parzal corrspodet alla 4.. soo H jl : µ j = µ l, l > j =,,...,t. 4.. Queste potes parzal, l cu umero è par a t(t-)/, cosderate el loro complesso, equvalgoo evdetemete all potes ulla globale. Ifatt, se è vera la 4.., soo vere tutte 4.. e vceversa. L potes ulla globale, qud, può essere verfcata verfcado tutte le sgole potes parzal: la 4.. vee accettata se vegoo accettate tutte le potes parzal, metre vee respta se vee respta almeo ua delle potes 4... S osserv ora che, se test sulle 4.. soo effettuat fssado sgol lvell d sgfcatvtà rsulta puttosto complcato calcolare la probabltà d respgere l potes globale quado è vera.

73 Questa probabltà potrebbe essere calcolata faclmete solo se dvers test fossero dpedet fra d loro. Nel caso d k test dpedet, effettuat per semplctà tutt ad uo stesso lvello α, la probabltà d accettare ua potes parzale è par a - α; la probabltà d accettare tutte le k potes parzal e qud d accettare l potes globale è par a ( α) k. Rsulta qud uguale a α* = ( α) k 4..3 la probabltà d respgere l potes ulla globale quado è vera. La 4..3 corrspode ache evdetemete alla probabltà che almeo u test rsult sgfcatvo quado vece valor med de trattamet soo tutt ugual fra d loro. Nel caso, per esempo, che trattamet, e qud test parzal, fossero solo tre ed l lvello d sgfcatvtà fosse per tutt par a,, sarebbe par al 7,% la probabltà d cosderare sgfcatva almeo ua dffereza che realtà o lo è. Se dvers test, come el ostro caso, o soo dpedet fra d loro, questa probabltà o è agevole da calcolare, ma è og caso maggore d α. Per evtare questo coveete soo state proposte umerose procedure per la verfca delle potes parzal modo che rsult predetermata la probabltà d rfutare l potes ulla globale. Due delle pù usual soo descrtte e paragraf successv. 4. Il metodo d Tukey Questo metodo, come abbamo atcpato, s basa sul cofroto fra tutte le possbl coppe d valor med della varable dpedete otteut sotto dvers trattamet. Nelle codzo stadard d ormaltà e d omoschedastctà e sotto l ulterore codzoe che og trattameto s abba uo stesso umero r d replcazo, per la verfca d potes sulle mede dell l-esmo e del j-esmo trattameto, può essere utlzzata la statstca ( Y Y ) ( µ µ ) l j Sˆ w l / r j, 4.. dove Ŝ w è lo stmatore della varaza resdua basato su tutt t trattamet. La 4.., come s vede, corrspode alla.8.4 se le umerostà de due campo soo ugual. L potes ulla sull l-esmo e

74 sul j-esmo trattameto vee qud accettata quado la statstca 4.. rsulta ferore ad u dato valore sogla. Dato che l potes ulla globale vee accettata quado soo accettate tutte le potes parzal, l test d Tukey, per sgol test, utlzza quel partcolare valore sogla q(α,t,ν) per l quale rsulta par ad - α la propabltà che tutte le statstche 4.. sao feror a q(α,t,ν), per l quale coè P ( Y Y ) ( µ ) l j l µ j Sˆ w / r q ( α, t, ν), per l > j =,,..., t = α. 4.. I valor q(α,t,ν), che dpedoo solo dal lvello d sgfcatvtà α, dal umero d trattamet t e dal umero d grad d lbertà ν della varaza resdua corretta, soo rportat apposte tavole (cfr. ad es. Medehall e Scch, 993, pp. 8-84). E charo che questo modo la probabltà d respgere almeo ua potes ulla parzale e qud l potes ulla globale è par ad α Co questa procedura l potes ulla sull l-esmo e sul j-esmo trattameto vee rfutata se la statstca test 4.. supera l valore crtco q(α,t,ν). Co lo stesso valore crtco può essere calcolato l tervallo d cofdeza della dffereza fra le due mede µ l e µ j. La stessa procedura può essere utlzzata ovvamete per qualsas coppa d trattamet. Suppoamo, per esempo, che s vogla verfcare se esste ua dffereza fra lvell med d spesa mesl ( mglaa d lre) per acqustare u certo prodotto a secoda d tre dvers tp d clet dcat dalle lettere A, B e C sulla base de valor campoar rportat ella tavola successva. Tabella 4.. Spesa mesle per tpo d clete A B C I questo caso le mede campoare per tre tp d dvdu rsultao rspettvamete par a y = 9,6, y = 39,9 e y 3 = 47,8, metre l test F globale è uguale a 3,48 a cu corrspode ella F,7 u p-valore par a,45.

75 Ad u lvello d sgfcatvtà α =,5 s rfuta qud l potes d uguaglaza de lvell med d spesa per tre tp d clet cosderat e successvamete s può verfcare qual lvell med possoo essere cosderat sgfcatvamete dvers fra d loro. L output della procedura ANOVA del SAS per l test d Tukey rporta l valore q ( α, t, ν) Sˆ w r co cu cofrotare le dffereze fra valor med otteut sotto tre trattamet. Nel ostro caso questo valore rsulta par a 87,33 e qud s vede che la spesa meda de clet del gruppo C è sgfcatvamete pù elevata della spesa meda del gruppo A, metre la spesa meda de clet d tpo B o dffersce sgfcatvamete é da quella del tpo A, é da quella del tpo C. S osserv che l metodo d Tukey può portare a commettere error d secoda spece co ua probabltà molto elevata. Nel caso cu l umero d replcazo sotto cascu trattameto o sa costate è possble utlzzare l cosddetto metodo d Tukey-Cramer, che s basa sulla statstca aaloga alla 4.. ed alla.8.4 ( Y Y ) ( µ µ ) l w j Sˆ / + / l l j j, 4..3 dove l ed j soo le umerostà sotto l l-esmo ed l j-esmo trattameto. Il valore sogla è sempre dato da q(α,t,ν), dove ν dca l umero de g.d.l. della varaza resdua corretta determat dalle umerostà campoare sotto t trattamet. S osserv però che questo caso la probabltà 4.. è sempre maggore d - α, coscché questo test rsulta coservatvo, el seso che l lvello d sgfcatvtà effettvo è ferore a quello omale o, altr term la probabltà d rfutare l potes ulla globale è ferore ad α. 4.3 Il metodo d Scheffè I geerale l cofroto fra gl effett mputabl a dvers trattamet cosderat s può effettuare esamado degl effett a due a due oppure cofrotado gl effett med d due grupp d trattamet dvers. Esemp d potes d questo tpo soo

76 H : α = α 4.3. t oppure α α q α q α t H : = q t q 4.3. dove la 4.3., come s vede, mette a cofroto gl effett del prmo e dell'ultmo trattameto, metre la 4.3. cofrota gl effett med de prm q e de rmaet t-q trattamet. S osserv aztutto che tutte le potes del tpo 4.3. e 4.3. possoo essere espresse ella forma geerale seguete H : c α =, dove valor c soo degl opportu coeffcet che servoo a specfcare l'potes. Così per l'potes 4.3. avremo c = c t = metre gl altr coeffcet soo ugual a zero; per l'potes 4.3. avremo vece prm q coeffcet ugual a /q ed rmaet t q ugual a /(t q). Se valor c soo tal che c = cotrast lear., come egl esemp precedet, le fuzo c α soo dette S osserv che questo caso la può ache essere scrtta ella forma alteratva H : c µ = per cu è equvalete cofrotare fra d loro due combazo lear d effett o le stesse combazo lear delle mede corrspodet. Data ua qualsas combazoe leare C= c α l suo stmatore sarà evdetemete dato da Ĉ = c α. ˆ

77 Osservamo ora che, per la dsuguaglaza d Cauchy, rsulta ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ Ĉ c c c C α α α α = α α = da cu s ottee ( ) [ ] ( ) ˆ / ˆ c c α α α α e qud ( ) [ ] ( ). s ˆ / s ˆ F' w w t t c c t t α α α α = Il terme a destra ella dsuguaglaza precedete s dstrbusce come ua F (t ),( t) e qud la probabltà che l valore F sa ferore al quatle d orde α della F (t ),( t) è sempre maggore o tutt al pù uguale a α. Pertato, smbol, rsulta ( ) α α F F' P dove α F è l quatle d'orde α della F co t ed t g.d.l.. Sulla base della 4.3.5, che vale ovvamete per tutte le possbl combazo lear C, la regoe crtca alla destra del quatle α F cosete la verfca d potes su qualsas C co ua probabltà d respgere l'potes vera che, al massmo, è uguale ad α. Ache questo caso s tratta percò d u test coservatvo. Co l metodo d Scheffè, qud, per verfcare u'potes su ua qualsas combazoe leare è suffcete cotrollare se ( ), c t t ˆ c f F s w = α α α 4.3.6

78 dove α è l lvello d sgfcatvtà prescelto. Per quato rguarda cotrast lear, dato che c ( αˆ α ) = c y c, µ la dveta c y c µ f, dalla quale s possoo rcavare gl estrem degl tervall d cofdeza delle fuzo c µ che rsultao ugual a c y ± f Per verfcare u potes del tpo è a questo puto suffcete verfcare se l tervallo così costruto cotee o meo lo zero al suo tero. Nel prmo caso l potes ulla è ua delle potes compatbl co l rsultato campoaro otteuto, el secodo caso questa potes va rfutata al lvello d sgfcatvtà α. Suppoamo, per esempo, che l fattore spermetale assuma 5 dvers lvell e che sao stat otteut seguet rsultat campoar: = 4, y = 7,5; = 4, y = 3,5; 3 = 5, y 3= 4,; 4 = 5, y 4 = 45,4; 5 = 6, y 5 = 63; s w = 5, 49. Suppoamo oltre che s vogla verfcare al lvello d sgfcatvtà del 5% se la meda de prm due trattamet può essere cosderata sgfcatvamete dversa da quella degl altr tre. L potes assume qud la forma µ H : + µ µ 3 + µ 4 + µ 5 3 = ed l corrspodete valore f che compare ella e è par a f = 4 4 5, 49, ( / ) ( / ) ( / 3) ( / 3) ( / 3) , 53.

79 Pertato la rsulta par a 7,5 + 3,5 4, + 45, , 3 m 6,53 3 6, 9 e, dato che l tervallo d cofdeza o comprede l valore zero, s rfuta l potes d uguaglaza delle durate mede de due grupp al lvello d sgfcatvtà α=,5. S osserv che se s utlzza l metodo d Scheffè per effettuare cofrot fra coppe d lvell med s ottegoo degl tervall d cofdeza delle dffereze fra lvell med che soo pù amp d quell che s possoo otteere co l metodo d Tukey. Per questo motvo, geere, se s ha teresse ad effettuare solo cofrot fra coppe d trattamet è preferble utlzzare l metodo d Tukey.

80 CAPITOLO 5. I MODELLI TEORICI DI REGRESSIONE 5. Itroduzoe Nel corso d questo captolo esameremo alcu metod statstc che soo stat propost per stmare valor med d ua varable quattatva Z sulla base de valor assut da ua o pù varabl esplcatve, ach esse d tpo quattatvo, che s rtegoo correlate co la Z. I geerale due varabl quattatve rsultao correlate fra d loro quado l'testà co cu s preseta ua varable rlevata su u dvduo o ua data stuazoe è grado d forre ua qualche dcazoe sull'orde d gradezza dell altra. La stuazoe lmte d correlazoe perfetta è quella cu a cascua delle testà co cu può mafestars ua varable è assocata og caso ua sola delle dverse testà dell altra. Nelle stuazo cocrete le varabl rsultao geere pù o meo correlate fra d loro e quato pù elevata è questa correlazoe tato pù la coosceza dell testà d ua varable cosete d stmare co ua qualche precsoe l testà dell altra. Così, per esempo, cosderate le varabl reddto e cosumo d ua collettvtà d famgle, le due varabl rsultao correlatre fra d loro se ad u determato ammotare d reddto corrspode, geere, uo stesso lvello dell'ammotare del cosumo o altr term se, prese cosderazoe tutte le famgle co uo stesso reddto, la maggor parte d queste preseta lvell o molto dvers d cosumo. I questo caso la coosceza del reddto d ua famgla forsce ua qualche dcazoe sul probable valore del cosumo corrspodete. Nel corso d questo captolo c occuperemo esplctamete della correlazoe leare per cu, co rfermeto all esempo precedete, s vorrà verfcare se esste u modello leare che cosete d stmare maera suffcetemete accurata l lvello del cosumo delle famgle cooscedo l loro del reddto. Date geerale due varabl quattatve X e Z, l modello leare che cosdera l valore medo della varable dpedete Z come fuzoe leare della X, detta varable esplcatva o regressore, vee detto modello d regressoe leare della Z sulla X. Date le coppe d osservazo (x, z) della X e della varable Z, uo strumeto che s rvela partcolarmete utle per dagare sul tpo e sull'testà del legame esstete fra due varabl è l cosddetto dagramma d dspersoe o "scatter dagram". Questo dagramma cosste semplcemete u grafco sul quale ogua delle coppe d determazo vee rappresetata medate u puto le cu coordate soo proporzoal a valor x ed z, coscché ad og puto corrspode ua utà statstca.

81 Suppoamo, per esempo, d aver rlevato valor del reddto e del cosumo su u gruppo d famgle e d aver otteuto l grafco rportato ella fgura successva. 6 Fgura 5.. Esempo d dagramma d dspersoe 4 cosumo reddto Dal grafco s ota che al crescere del valore del reddto l cosumo, co oscllazo pù o meo ampe, tede complessvamete a crescere, che put tedoo a dspors toro ad ua retta e che qud ad cremet d reddto corrspodoo cremet all crca proporzoal d cosumo e così va. Lo scopo de modell d regressoe semplce è quello d stetzzare la relazoe esstete fra due varabl quattatve attraverso ua semplce fuzoe matematca che corrspodeza de dvers valor della varable esplcatva X forsce de valor approssmat delle testà della varable Z. Nella fgura 5.., per esempo, è rpreso lo scatter della fgura 5.. ed è rportata ua retta che forsce ua descrzoe stetca dell'assocazoe fra le due varabl, el seso che cosete d stmare modo approssmato valor del cosumo delle famgle sulla base della coosceza del lvello del reddto. Fgura 5.. Retta d regressoe per la fgura cosumo reddto

82 S osserv che l'utlzzazoe d u modello teorco o ha tato lo scopo d approssmare el modo pù accurato possble dat rlevat, quato quello d rappresetare l tpo d dpedeza fra le due varabl u modo semplce e el redere evdet gl aspett pù rlevat dell'assocazoe fra le due varabl, che e dat orgar s presetao geere modo cofuso. Il modello leare è caratterzzato dal fatto che ad u dato cremeto x d X corrspode uo stesso cremeto z d Z. Il rapporto fra z e x è uguale al coeffcete agolare della retta, che dca d quato aumeta meda l valore della varable dpedete, per u cremeto utaro d X. U modello d questo tpo, se adeguato, rede pù agevole l cofroto dell'assocazoe fra due feome rlevat temp o luogh dvers, dato che questo caso è suffcete fare rfermeto a valor dell tercetta e del coeffcete agolare delle dverse fuzo lear. E' charo che le forme che possoo assumere gl sem d put dello scatter soo le pù vare ed umeros cas queste forme possoo essere descrtte medate opportu modell matematc che comportao ua otevole semplfcazoe ell aals dell assocazoe fra le varabl. No c occuperemo elle page seguet de modell d tpo leare. 5. Modell teorc d regressoe semplce Suppoamo che la popolazoe sa suddvsa q grupp dstt all tero d cascuo de qual tutte le utà statstche presetao u uco valore x d u certo carattere quattatvo X che ell esmo gruppo assume l valore x ( =,,...,q). Le codzo stadard prevedoo, come ell aals della varaza, che cascu gruppo la varable Z x s dstrbusca modo ormale co ua meda ( Z x) =β + x E β che è ua fuzoe leare della varable X e co uo stesso valore della varaza σ per tutt grupp. Come ell aals della varaza, σ è la varaza all tero de grupp o varaza resdua. S tratta, come s vede, d u modello dstrbutvo bvarato, che s rfersce ad ua varable X d tpo dscreto e ad ua varable Z cotua e dstrbuta modo ormale, el quale la fuzoe d regressoe della Z sulla X, ossa la fuzoe che assoca ad og testà x della X la meda E(Z x ) della dstrbuzoe d Z codzoata ad x, è ua fuzoe leare d X. Nell esempo del cosumo e del reddto, per esempo, le codzo stadard prevedoo che all tero d og gruppo d famgle che hao lo stesso reddto l cosumo s dstrbusca

83 modo ormale co ua meda che è ua fuzoe leare del reddto ed ua varaza che è la stessa per tutt grupp. I questo caso, per avere formazo su valor de parametr β e β e su quello della varaza σ s estrae modo dpedete u campoe beroullao da cascuo de q grupp. Se è ( q) l umero complessvo degl elemet campoar, restao defte v.c. dpedet che dcheremo co Y = Y x ( =,,...,) valore d Z sull dvduo che preseta la determazoe x d X dove, se > q, alcu valor x rsultao ugual fra d loro. E charo che og Y s dstrbusce modo ormale co meda β + β x e varaza σ ( β β x ) Y N + =,,..., 5.. ;σ Come el caso dell espressoe.4. ell aals della varaza, la 5.. vee spesso espressa ella forma equvalete Y = + β x β + ε =,,..., 5.. dove, come al solto, le ε soo v.c. dpedet fra d loro, cascua co dstrbuzoe ormale d meda zero e varaza costate σ. Ache questo caso co questa espressoe s tede sottoleare che l valore d Z rlevato sull dvduo è fluezato, oltre che dal valore x, che determa l orde d gradezza della varable, ache da u seme d fattor casual l cu effetto è stetzzato da ua v.c. ormale. Le stme de parametr del modello e la stma della varaza della Z s ottegoo faclmete medate l metodo d massma verosmglaza. Idcata co (x, y ) la -esma coppa d valor del campoe osservato, la fuzoe d verosmglaza assume la forma L / ( y β βx ) ( x, y; β, β, σ ) = ( πσ ) exp =,,..., = σ ed l suo logartmo è dato qud da log L ( x y; β, β, σ ) = log( π) log σ ( β β ), y x. σ =

84 Le dervate parzal del logartmo della fuzoe d verosmglaza rspetto a tre parametr β, β e σ assumoo rspettvamete la forma ( ) β β σ = β = y x log L ( ) β β σ = β = x x y log L ( ) β β σ + σ = σ = y x log L 4 da cu, uguaglado le dervate a zero, s ottee l seguete sstema ( ) ( ) ( ) = β β σ σ = β β = β β = = = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y x x y x y 5..3 Le prme due equazo possoo essere messe ella forma = + = + y x x b x b y x b b dove b = βˆ e b = βˆ, e le stme d massma verosmglaza de parametr del modello d regressoe rsultao qud b = y b m x 5..4 e b = x y x xy s s r s s =, 5..5

85 dove y corrspode al valore della v.c. meda campoara d Y, m x è la meda d X, covaraza fra X e Y, delle due varabl ed s xy è la s x è la varaza campoara della X, s x ed s y soo gl scart quadratc med sxy r = è l coeffcete d correlazoe leare fra le due varabl. s s x y Le stme d massma verosmglaza dell tercetta 5..4 e del coeffcete agolare 5..5 corrspodoo qud, come s vede, a quelle che s ottegoo utlzzado l crtero de mm quadrat. Ife, sosttuedo le due precedet soluzo ella terza equazoe del sstema 5..3 s ha w y ( r ) σˆ = s = s 5..6 dove s y è la varaza della Y metre r è l coeffcete d determazoe leare fra X e Y e corrspode ovvamete al quadrato del coeffcete d correlazoe leare fra queste varabl. La 5..6 forsce la stma della varaza della Z all tero de grupp omogee ella X e corrspode, qud, alla stma della varaza resdua sotto potes d leartà. 5.3 Gl stmator e le loro dstrbuzo d probabltà Sulla base delle stme d m.v. otteute el precedete paragrafo, è evdete che gl stmator d β e β assumoo la forma B = Y B m x 5.3. S B = s xy x Dato che Y e B soo delle combazo lear d varabl ormal dpedet, s può dmostrare che gl stmator de due parametr hao le seguet dstrbuzo B N µ y x β m σ, m + s x x σ B N β, s x

86 dove µ y e σ soo la meda geerale e la varaza delle v.c. Y. S dmostra oltre che la v.c. S w, fuzoe dello stmatore S della varaza resdua σ, s σ w dstrbusce come ua ch-quadrato co grad d lbertà. Pertato, teedo presete che la meda d S w σ è par a, uo stmatore corretto d σ è Sˆ w = S w Sulla base de precedet rsultat, teedo presete che gl stmator 5.3., 5.3. e soo tutt dpedet fra d loro, s ottee fe che le statstche e Sˆ w B β m + s x x B β Sˆ w s x s dstrbuscoo etrambe come t d Studet co grad d lbertà. Per quato rguarda valor della varable dpedete stmat sotto potes d leartà, s osserv che lo stmatore assume la forma Y * = Y + B ( x m ) x ed è qud ua combazoe leare delle due varabl ormal dpedet Y e B, per cu s dmostra che la sua dstrbuzoe è ormale co meda E Y * = E Y ( ) + ( x m ) E( B ) =µ +β ( x m ) x y x e varaza

87 V * σ ( Y ) = V ( Y ) + ( x m ) V ( B ) = + ( x m ) x x σ s x σ = x m + sx x l cu valore, come s vede, aumeta all aumetare della dstaza d x da m x. I seguto, per semplfcare le formule, utlzzeremo la otazoe L per dcare la seguete quattà x mx L = sx che, come s vede, s rfersce alla -esma osservazoe e che vee comuemete chamata leverage. S osserv che la costate moltplcatva d σ che compare ella varaza d B corrspode al leverage per x =. Ache lo stmatore che la statstca * Y Sˆ w * ( ) E Y L * Y rsulta dpedete dalla varaza resdua S ˆw per cu s può dmostrare s dstrbusce come ua t co grad d lbertà. S osserv però che gl stmator valor d o soo dpedet fra d loro. S dmostra fe che la varable resduo * Y per dvers * W = Y Y data dalla dffereza fra valor effettvamete rlevat e quell stmat sotto potes d leartà s dstrbusce modo ormale co meda par a zero e varaza par a σ [ L ] per cu la varable W σ L s dstrbusce come ua ormale stadardzzata. Ache questo caso le varabl W per dvers valor d o soo dpedet fra d loro.

88 Medate le dstrbuzo degl stmator è possble effettuare le verfche d potes su valor de parametr got e costrure loro tervall d cofdeza. I partcolare gl estrem dell tervallo d cofdeza della meda codzoata d Y, calcolat al lvello d probabltà -α, soo par a y+ b ( x mx ) tsˆ w L ± dove t è l quatle d'orde (-α/) della t d Studet co - grad d lbertà. E ache possble stmare valor med della varable dpedete corrspodeza d u qualsas valore x k dverso dagl x che sa compreso el campo d varazoe d X, metre ua stma all estero del campo d varazoe può essere effettuata solo quado s ha motvo d rteere che l modello leare rmaga valdo ache al d fuor dell tervallo d valor della X effettvamete rlevato. La retta d regressoe otteuta dal campoe può ovvamete essere utlzzata ache per stmare l valore della varable Z d u dvduo della popolazoe d cu sa oto solo l valore x k d X. La stma è ovvamete par alla meda codzoata campoara y b ( ) + x k m x, ma occorre teere presete che l valore d Z per u geerco dvduo del gruppo omogeeo X è dato dal valore medo +β ( x m ) µ pù ua determazoe d ua varable ormale ε d meda zero e varaza y k x σ. Lo stmatore d Z per u geerco dvduo è qud dato da ' Yk ( x m ) + ε = Y + B k x. La varable ε è ovvamete dpedete dallo stmatore della meda codzoata per cu s ha ' ( Y ) = σ L +σ =σ ( L ) V + k k k. L tervallo d cofdeza d Z per u dvduo che preseta l testà x k d X assume qud la forma ( x m ) ± tsˆ ( L ) y + b + k x w k.

89 Per quato rguarda le verfche d potes, s osserv che ell aals della regressoe leare u potes partcolarmete rlevate è che β assuma ella popolazoe u valore uguale a zero, dato che la sua accettazoe porterebbe a cocludere che fra le due varabl o esste alcu legame leare o, quato meo, che questo tpo d legame è puttosto debole. Cosderata la dstrbuzoe della sotto l potes ulla H : β = sarà qud suffcete cofrotare l valore della statstca Sˆ B w s x co l quatle d orde α/ della t d Studet co g.d.l. I maera alteratva, teedo presete la relazoe che lega l coeffcete agolare della retta al coeffcete d correlazoe leare, la stessa potes può essere verfcata facedo rfermeto al valore d quest ultma statstca oppure al valore del coeffcete d determazoe leare. Idcato co R lo stmatore coeffcete d correlazoe leare s può fatt dmostrare che la varable R R s dstrbusce come ua t co - grad d lbertà, metre l suo quadrato R R ( ), che, come s vede, è fuzoe del rapporto fra la varaza spegata e la varaza resdua, s dstrbusce come ua F co e - grad d lbertà. Tutt rsultat descrtt elle page precedet soo vald quado soo rspettate le codzo stadard d base rcordate el prmo paragrafo. I molte stuazo real, però, queste codzo o rsultao peamete soddsfatte e, qualora la volazoe d queste codzo sa accetuata, gl stmator possoo o verfcare le propretà d correttezza ed effceza, coscché dvetao

90 affdabl test e gl tervall d cofdeza appea descrtt. I metod per verfcare se le codzo del modello possoo essere rteute valde el caso che s sta esamado soo descrtt el paragrafo Descrzoe dell output de programm d calcolo L output forto da pù comu programm d calcolo cosste usualmete due tavole, ella prma delle qual soo rportat rsultat dell aals della varaza, metre ella secoda soo coteute le formazo su parametr del modello. I rsultat dell aals della varaza su modell d regressoe soo coteut ella tabella successva che rporta grassetto le dcture orgal gles e fra paretes la loro traduzoe ed evetualmete l algortmo d calcolo. S osserv che la lettera h dca l umero d parametr che compaoo el modello leare e che, ovvamete, el caso della regressoe semplce è par a. Tabella 5.4. Esempo d output d u aals d regressoe. Aals della varaza Aalyss of Varace (Aals della Varaza) Source (Fote d varazoe) DF (grad d lbertà) Sum of Squares (devaze) Mea Square (devaze/g.d.l) F value (rsultato del test 5.3.8) Prob>F (lvello d sgfcatvtà) Model (Modello, meo l tercetta) Error (Compoete accdetale) C Total h- -h SSA (devaza spegata) SSE (devaza resdua) SST=SSE+SSA MSA= SSA/(h-) (varaza spegata corretta) MSE=SSE/(-h) (varaza resdua corretta) F=MSA/M SE area solata alla destra d F ella F (h ),( h) (Totale) - (devaza d Y) R-Square Adj R-Sq (R quadrato) R (R quadrato corretto) -(-R ) h

91 Co rfermeto all ultma coloa della tabella precedete s osserv che, scelto u lvello d sgfcatvtà α, se la probabltà rsultate ella quarta coloa è more d α questo vuol dre che la statstca F, espressa ella 5.3.8, è maggore del quatle d orde α della F co h e h grad d lbertà, per cu l potes che l coeffcete d determazoe leare sa par a zero va rfutata. Nella tabella seguete soo vece rportate le formazo su parametr del modello d regressoe. I questo caso ell ultma coloa è rportata la somma delle probabltà solate, rspettvamete, alla destra del valore postvo del test t e alla sstra d t ella t ( ). Scelto qud u valore del lvello d sgfcatvtà α, se la probabltà rsultate ella quarta coloa è more d α questo vuol dre che l valore assoluto della statstca t è maggore del quatle d orde α/ della t co grad d lbertà, per cu l potes che l valore del parametro sa uguale a zero va rfutata. Tabella 5.4. Esempo d output d u aals d regressoe. Stme de parametr Parameter Estmates (Stme de parametr della retta d regressoe) Varable (Varabl) DF (grad d lbertà) Parameter Estmate (Stme de parametr) Stadard Error (s.q.m. delle stme) T for H : Parameter= (test per l potes che parametr sao ull) Prob > T (lvello d sgfcatvtà) tercetta -h b (s.q.m. d b ) sˆ r m + x s x t = sˆ r b m + x s x p-valore assocato al valore assoluto d t ella t ( h) regressore -h b (s.q.m. d b ) sˆ r s x t = b p-valore assocato al valore assoluto d t ella t ( h) sˆ r s x 5.5 L aals de resdu Tutt rsultat descrtt e paragraf precedet soo stat otteut sotto le codzo che og varable Y abba ua dstrbuzoe ormale co ua meda fuzoe leare de regressor e ua varaza costate.

92 Le verfche d queste codzo stadard vegoo effettuate aalzzado le caratterstche d opportue fuzo de resdu che, come abbamo vsto, costtuscoo le determazo delle varabl W cosderate ella Queste varabl, come s è vsto, sotto le codzo stadard s dstrbuscoo modo ormale, ma o hao tutte la stessa varaza e o soo dpedet fra d loro. Per questo motvo le verfche delle codzo s basao o drettamete su resdu, ma su opportue trasformazo delle varabl W. I partcolare vegoo usualmete cosderate le varabl trasformate dove l parametro σ può essere stmato medate la statstca S ˆw data ella S osserv che le varabl RSTAN = Sˆ w W ( L ), 5.5. che costuscoo cosddett resdu stadardzzat, s ottegoo dalla dvdedo W per la stma del suo scarto quadratco medo (che è fuzoe della varaza resdua S ˆw e del leverage L ). Queste varabl soo omoschedastche, ma o soo dpedet da S ˆw per cu le 5.5. o s dstrbuscoo come delle t d Studet. Aalogh a resdu stadardzzat 5.5. soo cosddett resdu studetzzat che corrspodoo a RSTUD = Sˆ w W ( L ), 5.5. dove co Ŝ w s dca quello stmatore d σ che s ottee elmado la coppa d osservazo (x, y ) relatve all -esmo dvduo. I questo modo l umeratore ed l deomatore della 5.5. ˆ h σ S w rsultao dpedet fra d loro e, dato che ( ) s dstrbusce come ua ch-quadrato co h g.d.l., dove h dca l umero de parametr preset el modello, resdu studetzzat s dstrbuscoo come t d Studet co h grad d lbertà. Per verfcare che le mede codzoate delle varabl Y sao effettvamete ua fuzoe leare della X, ossa che l modello leare rsult adeguato per descrvere l legame fra le varabl, s utlzza u grafco che rporta sulle ascsse valor stmat della varable dpedete e sulle ordate resdu studetzzat. Se resdu s dstrbuscoo toro al valore zero modo casuale ed l grafco o mostra regolartà s coclude che l modello leare può essere cosderato

93 approprato. Nella fgura successva, per esempo, è evdete vece u addesameto de resdu d uo stesso sego corrspodeza degl estrem del campo d varazoe della varable dpedete ed questo caso l modello leare o può essere rteuto adatto a descrvere l evetuale relazoe esstete fra le varabl. 3 Fgura 5.5. Esempo d grafco de resdu studetzzat resdu studetzzat Y* Dato fatt che resdu corrspodoo alla dffereza fra valor osservat e valor stmat, l grafco precedete evdeza che l modello leare forsce ua sstematca sovrastma della varable dpedete per bass valor del regressore ed ua sstematca sovrastma per valor alt. U altro esempo d u grafco che evdeza u adameto o casuale è quello dcato ella fgura successva. I stuazo come queste può essere opportuo utlzzare u modello dverso da quello leare. Fgura 5.5. Esempo d grafco de resdu studetzzat 3 resdu studetzzat Y*

94 Ua secoda verfca d potes cosste ell'dvduazoe de cosddett outlers, o valor aomal, ossa d osservazo tato dscordat dal resto del campoe da far sospettare che l modello potzzato o sa valdo per gl dvdu su qual soo state effettuate quelle osservazo. I sostaza s tratta d verfcare se la meda della Y è ua fuzoe leare delle X per qualsas dvduo o se esste qualche dvduo per l quale la meda vera della Y o sa lea co le altre. Nel caso de modell d regressoe semplce la preseza d evetual valor aomal può essere suggerta gà dall aals dello scatter della varable dpedete cotro l regressore. Se, per esempo, l grafco assumesse ua forma aaloga a quelle della fgura seguete, s sarebbe scuramete preseza d u osservazoe aomala. Fgura Esemp d scatter co u outler Y X Y X Nella prma fgura s ota a sstra u gruppo d osservazo per le qual valore medo della Y è all crca costate, metre l ultma osservazoe è molto dstate da questo valore medo. Nella secoda fgura valor med della Y el gruppo a sstra soo crescet e l ultma osservazoe o è assolutamete lea co le altre. Dalle fgure precedet rsulta ache charo come la preseza d valor aomal possa alterare maera sesble rsultat dell aals. Ifatt, per esempo, ella prma fgura è la preseza del puto alto a destra a determare u grado elevato d correlazoe leare fra le due varabl. I asseza d questa osservazoe la correlazoe leare fra le due varabl sarebbe pressochè ulla. Nella secoda vece, la preseza del puto basso a destra geera ua correlazoe che ha u sego egatvo metre, asseza d questo puto, le due varabl rsulterebbero correlate postvamete. Come s vede l dvduazoe degl evetual outlers e la loro successva elmazoe dall seme de dat è u passo partcolarmete rlevate dell aals, perché cosete d descrvere maera corretta la relazoe fra le varabl per la maggor parte delle osservazo.

95 U prmo crtero s basa sulla dffereza fra l valore osservato della varable dpedete ed l corrspodete valore stmato. Per valutare la rlevaza d questo scostameto s fa rfermeto alle dstrbuzo d probabltà de sgol resdu e, pù precsamete, alla dstrbuzoe della statstca 5.5., base alla quale l valore d u resduo co ua probabltà all crca del 95% s trova all tero dell tervallo (-, +). Questo cotrollo s effettua spesso medate u grafco, come quello rportato ella fgura successva. Fgura Esempo d grafco de resdu studetzzat 3 resdu studetzzat Y* Ovvamete gl outlers corrspoderebbero a quelle osservazo l cu resduo studetzzato è stuato all estero dell area compresa fra le due lee tratteggate. E ecessaro teere presete però che u resduo maggore d valore assoluto o è suffcete per cocludere che s è preseza d u osservazoe aomala. S preseta qu u problema aalogo a quello osservato el captolo precedete. Ache se l modello potzzato è valdo per tutt gl dvdu pres cosderazoe, la probabltà che almeo u resduo sa fuor dall tervallo è evdetemete elevata. Per questo motvo per dvduare valor aomal s utlzzao cotemporaeamete dverse statstche test e s coclude che u osservazoe è aomala se così rsulata da tre o quattro d quest test. Molt de test propost msurao qualche modo l flueza che cascua osservazoe esercta sulle stme. Le osservazo che possoo essere rteute aomale soo quelle grado d modfcare modo rlevate le stme de parametr della retta o della varaza resdua. I geerale l flueza della -esma osservazoe vee valutata cofrotado rsultat che s ottegoo base alle osservazo orgare e quell che s ottegoo elmado la -esma osservazoe. Se, fatt, rsultat otteut e due cas rsultao pressoché ugual fra d loro, o s ha motvo d rteere che

96 la -esma osservazoe eserct u flueza rlevate sulle stme, metre al crescere delle dffereze fra due rsultat quella partcolare osservazoe potrà essere cosderata u outler. Nel programma SAS, per esempo, gl dc che cofrotao rsultat otteut co e co - osservazo soo l cosddetto COVRATIO, che valuta l cambameto della varaza resdua stmata, l DFFITS, che msura l cambameto e valor stmat della varable dpedete e l DFBETAS, che msura la varazoe elle stme de parametr della retta. Tutt quest dc s ottegoo aggugedo l opzoe INFL ella procedura REG del SAS. I lea d massma, dcato co h l umero d parametr preset el modello, devoo essere cotrollate quelle osservazo per le qual rsulta COVRATIO DFFITS DFBETAS h. h 3, > 3h S osserv che geere dat rteut aomal vegoo elmat e successvamete s effettua ua uova aals d regressoe. Questo procedmeto vee rpetuto pù volte elmado d volta volta gl outler detfcat. Ache la codzoe d omoschedastctà delle dstrbuzo della varable dpedete s basa geerale sull aals dello stesso grafco de resdu cotro valor stmat ed ache questo caso s cotrolla se resdu s dstrbuscoo toro al valore zero modo casuale, come per esempo ella fgura 5.5., oppure se dal grafco s rlevao regolartà come ella fgura successva. I questo caso s ota che put s dspogoo a vetaglo, e questo è u segale che la varabltà aumeta all aumetare del valore della varable dpedete stmata sotto potes d leartà. Fgura Esempo d grafco de resdu resdu Y*

97 Allo stesso modo s avrebbe u charo sego d volazoe della codzoe d omoschedastctà se l grafco assumesse ua delle forme dcate elle due fgure successve. Fgura Esemp d grafco de resdu resdu Y* resdu Y* che dcao ua varabltà decrescete oppure ua varabltà prma crescete e po decrescete. La verfca dell potes d ormaltà delle dstrbuzo delle varabl Y s basa geere sull esame della dstrbuzoe de resdu studetzzat che, sotto le codzo stadard, rsulta essere ua t d Studet co h grad d lbertà e qud, per h moderatamete elevato, smle alla ormale. Uo de metod pù frequetemete utlzzat per la verfca della ormaltà s basa semplcemete sull esame della forma dell stogramma della dstrbuzoe d frequeza de resdu studetzzat, d cu s ha u esempo ella fgura Fgura Esempo d stogramma de resdu studetzzat

98 Se l stogramma rsulta pressoché smmetrco l potes d ormaltà può essere accettata, metre deve essere respta se l grafco evdeza ua dstrbuzoe fortemete asmmetrca o la preseza d pù mode. S osserv che, realtà, resdu studetzzat o soo dpedet fra d loro tuttava, se l campoe è moderatamete umeroso, la dstorsoe trodotta da questa crcostaza può essere rteuta trascurable. U altro semplce metodo per verfcare l potes d ormaltà è l test de quatl descrtto el prmo captolo. I questo caso è suffcete ordare resdu studetzzat orde o decrescete e cofrotare quest valor co quatl della ormale stadardzzata. Se put s dstrbuscoo toro ad ua retta, l potes d ormaltà può essere rteuta compatble co dat campoar, metre tato pù l grafco s dscosta da quello d ua retta tato pù l potes è da rfutare. S osserv che sotto l potes d ormaltà gl stmator otteut co l metodo descrtto soo pù effcet fra gl stmator corrett. La volazoe dell potes d ormaltà della varable dpedete all tero de grupp omogee può qud flure sull effceza degl stmator, ma geere o la modfca modo rlevate e per questo motvo l aals d regressoe s dce robusta rspetto a devazo dalla codzoe d ormaltà. Solo el caso d dstrbuzo che s dscostao molto dalla ormale s verfca u flueza otevole sull effceza degl stmator e questa stuazoe s preseta partcolare quado la dstrbuzoe della Y preseta ua destà elevata sulle code. I quest cas s verfcao cosegueze d u certo rlevo per quato rguarda tests e gl tervall d cofdeza de parametr. 5.6 U applcazoe dell aals d regressoe semplce Per fare u esempo d applcazoe dell aals d regressoe semplce cosderamo seguet dat che soo stat tratt da ua rvsta specalzzata che s occupa d persoal computer. I dat, rportat ella tabella seguete, soo relatv al mese d febbrao dell ao e s rferscoo al prezzo (espresso euro) ed alla capactà del dsco fsso (espresso Ggabyte) d 4 dvers persoal computer portatl. Nella fgura 5.6. è rportato lo scatter corrspodete dal quale s ota l essteza d u legame leare abbastaza stretto fra le due varabl.

99 Tabella 5.6. Prezzo e capactà del dsco fsso d u campoe d 4 computer Marca/Modello Prezzo Capactà dsco ACER 5dx cd 79 4,3 ACER 73txv dvd 433, ABUS , ABUS ,4 ABUS m ,4 COMPAQ 5c 7 4, COMPAQ ,4 COMPAQ e , MICRODATA ,3 COMPASS solo , DATA E. mrage 546, DELL lattude 4 6,4 IBM thkpad 39e 454 4,8 IBM thkpad 77z , IDEA PROGRESS mt 33 3, IMAGE dream.m p-sc 5 4,8 IMAGE p-slk 495, MICRODATA ,3 MICRODATA 48 6,4 MONOLITH geo focus 3464, MONOLITH geo tera 349 4,8 NEC ITALIA 4 9 4,3 TOSHIBA satellte 8 4, TOSHIBA tecra 69, Fgura 5.6. Rappresetazoe grafca de dat rportat ella tabella 5.6. prezzo capac

100 S può qud passare alla fase d stma de parametr d u modello leare che coseta d calcolare modo approssmato l prezzo de computer sulla base della coosceza della capactà del dsco fsso. Nelle tabelle 5.6. e soo rportate le prcpal formazo relatve all output otteuto da ua regressoe leare semplce effettuata medate l programma SAS. Il valore dell dce d determazoe leare è, questo caso, par a,87, per cu s può cocludere che crca l 87% della varabltà complessva della varable prezzo vee spegata dal legame leare co la varable capactà del dsco fsso Tabella 5.6. ANOVA sul modello d regressoe relatvo a dat della tabella 5.6. Fote d grad d devaze Varaze Test F p-valore varazoe lbertà corrette Modello ,83 <, Errore Totale Tabella Stme de parametr della retta d regressoe su dat della tabella 5.6. Varabl Stme Test t p-valore tercetta 55,9,5,49 regressore 44,4, <, I base a rsultat otteut s vede come sa l test F che l test t sao altamete sgfcatv, lea co l elevato valore assuto dall dce r. Ioltre, base alla stma del coeffcete agolare della retta, s può affermare che ad u cremeto utaro, d u Ggabyte, della varable dpedete corrspode, meda, u cremeto d oltre 4 euro della varable prezzo. Dalla fgura 5.6. che rporta ordata resdu studetzzat ed ascssa valor stmat della varable dpedete s può cocludere o s ha motvo d rfutare le codzo d leartà della fuzoe d regressoe e la codzoe d omoschedastctà. Va però otata la preseza d u pao d resdu che, valore assoluto, soo molto maggor d e che potrebbero qud segalare la preseza d osservazo aomale.

101 Fgura 5.6. Grafco de resdu studetzzat cotro valor stmat per dat della tabella Pù precsamete, sulla base de dat della tabella 5.6.4, che rporta tutt dagostc utl alla dvduazoe degl evetual outlers, le osservazo aomale rsulterebbero COMPAQ e7, MONOLITH geo focus e TOSHIBA tecra. I valor crtc, per h= e =4, soo fatt COVRATIO,5 DFFITS,58 DFBETAS,4 e s vede subto come per queste tre partcolar osservazo c soo almeo 3 dagostc su 5 che rsultao maggor del valore sogla. Per questo motvo è opportuo procedere a rmuovere tal osservazo dall seme de dat orgal e rpetere tutta l aals, prma acora d verfcare la codzoe d ormaltà della varable dpedete. Solo ua volta che o s abba motvo d rfutare essua delle codzo stadard l modello potrà essere utlzzato per descrvere modo stetco l legame esstete fra le varabl e per stmare l valore della varable dpedete. S osserv fe che è ragoevole supporre d poter otteere ua prevsoe pù accurata del prezzo de computer sulla base d formazo addzoal. Così, per esempo, oltre alla capactà del dsco rgdo altre varabl che potrebbero essere correlate co l prezzo potrebbero essere la RAM, la dmesoe del dsplay, la rsoluzoe massma, l peso e così va.

102 Tabella Dagostc per outlers sul modello d regressoe per la tabella 5.6. Marca/Modello RStud CovRato DFFITS DFBETAS (terc) DFBETAS (regres) ACER 5dx cd -,3,6 -,6 -,3,4 ACER 73txv dvd -,6,5 -,8,4 -, ABUS 7 -,9,7 -,5 -,4,3 ABUS 73 -,5,4 -,3 -,, ABUS m83,34,3,7,4, COMPAQ 5c,,7,3, -, COMPAQ 75,,4,4,, COMPAQ e7 -,3,7 -,,8 -,4 MICRODATA 39 -,93,7 -,3 -,,3 COMPASS solo,43,95,3,9 -,5 DATA E. mrage,,,7,7 -,6 DELL lattude,38,96,9,5 -, IBM thkpad 39e -,5,5 -,3 -,3, IBM thkpad 77z,6,39,4 -,8, IDEA PROGRESS mt -,94, -,7 -,6,9 IMAGE dream.m p-sc -,53,3 -, -,,6 IMAGE p-slk,43,7,3 -,3,9 MICRODATA 33,5,4,3, -,7 MICRODATA,78,86,37, -, MONOLITH geo focus -,33,75 -,67,6 -,46 MONOLITH geo tera -,3,5 -,8 -,6,3 NEC ITALIA 4 -,7, -,7 -,5,9 TOSHIBA satellte -,34,6 -,9 -,8,5 TOSHIBA tecra,9,6,85 -,,59 Vedremo elle page successve come sa possble geeralzzare l modello d regressoe semplce allo scopo d otteere stme pù attedbl della varable dpedete sulla base delle formazo forte da u maggor umero d regressor. 5.7 Ce su modell teorc d regressoe multpla Nelle page precedet abbamo vsto come, date due varabl quattatve che rsultao correlate, modell d regressoe cosetao d stetzzare l legame fra queste varabl e d stmare l valore della varable dpedete per u dvduo d cu s coosce l solo valore del regressore X. E' però evdete che ua prevsoe acora pù accurata de valor della Z può essere geeralmete otteuta se per l dvduo preso esame s cooscoo valor d pù varabl, che s ha motvo d rteere correlate co la varable Z.

103 I geerale, se s cosdera ua varable dpedete Z ed h varabl esplcatve X (=,,,h ), è fatt possble cosderare la cosddetta fuzoe d regressoe multpla che, aaloga a quato vsto el caso bvarato, fa corrspodere ad og assocazoe d modaltà d queste h varabl l valore della meda della varable Z codzoata a quella partcolare assocazoe. S tratta qud geerale d cosderare l valore medo d Z separatamete per tutt grupp che rsultao omogee due o pù varabl rmaet. Se la fuzoe d regressoe vee utlzzata per stmare l valore che la varable dpedete assume su u dato dvduo, la fuzoe d regressoe multpla preseta geere de vatagg su quella semplce perché spesso cosete d otteere stme pù attedbl d quelle basate su ua sola varable esplcatva. L ammotare delle spese per be d cosumo d ua famgla dpede, per esempo, oltre che dal reddto, ache dal umero de suo compoet ed è qud ragoevole mmagare che s possa otteere ua stma pù attedble del cosumo se c s basa su valor med d questa varable rlevat separatamete per sottogrupp omogee sa per quato rguarda l reddto che per quato rguarda l umero de compoet. S può qud potzzare che se d ua famgla s coosce oltre al reddto ache l umero de compoet, queste due formazo cosetao d prevedere l lvello d cosumo co ua precsoe maggore. L attedbltà della stma del valore d ua varable Z per u dvduo che appartee ad u gruppo omogeeo u altra varable X dpede, come sappamo, dalla varabltà della Z all tero de grupp omogee X ed geerale se oltre a questa varable s utlzza ache la varable X, la varaza resdua d Z all tero de sottogrupp omogee sa X che X rsulta more. Ache questo caso per stetzzare valor della fuzoe d regressoe multpla s utlzzao de modell teorc e fra quest modell l pù utlzzato è sempre quello leare, per cu l valore della varable dpedete vee stmato attraverso u opportua combazoe leare delle varabl esplcatve. Se soo h le varabl esplcatve cosderate e se dchamo co x l geerco valore della varable X (=,, h ) e co x x, x,, x h- la geerca assocazoe d determazo d queste varabl esplcatve, supporremo che la varable Z s dstrbusca modo ormale co ua meda E ( Z ) = β +βx βh x h x, 5.7. che è ua fuzoe leare delle h varabl X, e co varaza σ costate per tutt grupp omogee.

104 S osserv che ella 5.7. l parametro β rappreseta l valore medo teorco della varable dpedete quado cascua delle varabl dpedet assume u valore par a zero, metre l geerco β (=,,...,h ) assocato alla varable esplcatva X dca l cotrbuto d questa varable a partà d valore degl altr regressor e qud msura la varazoe della varable dpedete corrspodeza d u cremeto utaro della X a partà d valore de rmaet regressor. I aaloga a quato vsto per l caso bvarato, l modello 5.7. rsulta adeguato umerose crcostaze come, per esempo, quado la popolazoe è suddvsa grupp omogee all tero de qual tutt gl dvdu presetao ua stessa assocazoe d determazo x delle varabl esplcatve e s suppoe che cascu gruppo la varable Z x s dstrbusca modo ormale co meda 5.7. e co varaza σ uguale per tutt grupp. Come per l caso bvarato, per avere formazo su parametr β (=,, h ) che compaoo el modello 5.7. e sul valore della varaza σ d Z s estrae modo dpedete u campoe beroullao da cascuo de grupp omogee. Se è la umerostà campoara, restao qud defte v.c. dpedet Y = Y x ( =,,...,) valore d Z sull dvduo che preseta la determazoe x delle h varabl X. E charo che og Y s dstrbusce modo ormale co meda β + β x β h xh e varaza σ. Come el caso della regressoe semplce, l modello vee dcato co l espressoe Y = β + β x β h xh +ε, aaloga alla 5... Come el caso bvarato, sotto le codzo stadard, la stma d massma verosmglaza de parametr β (=,,...,h ) che compaoo ella 5.7. cocde co quella otteuta base al crtero de mm quadrat. Seza etrare e dettagl rguardat le espresso degl stmator, è suffcete osservare che valor delle stme de parametr soo rportat tutt programm d calcolo predspost per effettuare ua regressoe multpla. Quest programm, oltre, cotegoo tutte le formazo utl per effettuare le verfche d potes. Nel caso della regressoe multpla, l potes ulla globale è che tutt coeffcet d regressoe sao ugual a zero H : β = β =... = β h =. 5.7.

105 Se sulla base de rsultat otteut questa potes o può essere respta, s coclude che o v soo relazo lear fra la varable dpedete ed regressor. La statstca utlzzata, basata sempre sul rapporto fra la varaza spegata dal modello e la varaza resdua, sotto potes ulla s dstrbusce ache questo caso come ua F. Se l valore della statstca è alto e l potes vee respta s passa alla verfca d potes su sgol coeffcet d regressoe H : β = =,...,h. Tutt programm d calcolo cotegoo le formazo utl per effettuare le verfche d potes su sgol coeffcet ed ache sull tercetta. I rsultat d u aals d regressoe multpla soo rportat tabelle aaloghe alle 5.4. e 5.4. e la tabella relatva alla stma de parametr preseta solo u maggor umero d rghe rspetto a quella descrtta per la regressoe semplce. Le potes su parametr β (=,,...,h ) servoo per valutare se la coosceza de valor assut dall -esmo regressore X è pù o meo utle per stmare l valore della varable dpedete. Questo test serve qud per verfcare se al varare dell -esmo regressore, a partà de valor degl altr h, l valore medo della varable dpedete vara o rmae costate. Se l potes ulla sull -esmo parametro vee accettata, questo dca che l cotrbuto dell esmo regressore alla spegazoe della varable dpedete o è sgfcatvamete dverso da zero. S osserv però che ache questo caso, effettuado test sgol aumeta la probabltà che almeo u test rsult sgfcatvo sotto l potes ulla Quado el modello d regressoe compaoo due o pù varabl esplcatve, u ulterore verfca che deve essere effettuata rguarda la valutazoe dell testà del legame leare esstete fra le X (=,,,,h ), ossa l evetuale essteza d ua stuazoe d colleartà fra regressor. I caso d colleartà fra regressor, fatt, dvee molto dffcle, se o mpossble, scdere le flueze che le sgole X eserctao sulla varable dpedete. Le stme, fatt, dvetao attedbl perché gl stmator presetao ua varabltà molto elevata e possoo qud assumere valor molto lota da ver valor de parametr. I caso d elevata colleartà è per esempo possble otteere stme che presetao sego opposto a quello de coeffcet d correlazoe fra sgol regressor e la varable dpedete, così come è possble otteere stme che rsultao tutte o sgfcatvamete dverse da zero ache se l test F su tutt parametr porta a rfutare l potes ulla globale.

106 U metodo che può essere utlzzato per verfcare se esste colleartà fra regressor cosste ell effettuare la regressoe co tutte le h varabl esplcatve, el calcolare l R e el rpetere questo procedmeto elmado a turo uo de regressor. Co questa procedura, che dà orge a cosddett modell rdott (R deletes ), se ua varable è fortemete correlata co ua o pù delle rmaet, l rsultato dell R otteuto elmado tale varable dfferrà be poco da quello calcolato sulla base d tutte le varabl orgare. I questo caso s può cocludere che l aumeto d formazo sulla varable dpedete apportato da quel partcolare regressore è pratcamete rrlevate e la varable stessa o vee qud cosderata el modello. U altra semplce msura della colleartà s ottee effettuado le regresso fra cascu regressore e gl h- regressor rmaet. I questo caso u R elevato segala ua stretta relazoe leare fra l regressore preso come varable dpedete ed rmaet, per cu s coclude ache questo caso che quel regressore o apporta formazo sgfcatvamete rlevat a f dell aals. Per valutare l testà del legame esstete fra cascu regressore ed rmaet s utlzza frequetemete la cosddetta tolerace che, per l -esmo regressore, corrspode alla dffereza fra e l R calcolato fra l -esmo regressore e gl h- rmaet. Ovvamete questo dce assume valor compres fra ed e quado è prossmo a zero segala la preseza d colleartà. U altro dce che vee utlzzato molto spesso è la cosddetta VIF (Varace-flato factor), che corrspode semplcemete al recproco della tolerace. S ot che o esstoo de valor sogla a cu fare rfermeto per la verfca della colleartà, ache se geere s utlzza u valore sogla che per la tolerace è, (ed è qud par a per la VIF). I geere, qud, s elmao dall seme delle varabl orgare que regressor per qual s è otteuta ua tolerace ferore a, o ua VIF superore a, ossa s elmao que regressor per qual coeffcete d correlazoe multplo fra quella varable e tutt gl altr regressor assume u valore superore a,9 Ache el caso della regressoe multpla le verfche delle codzo stadard vegoo effettuate medate opportue fuzo de resdu aaloghe a quelle utlzzate ella regressoe semplce. 5.8 U applcazoe dell aals d regressoe multpla Cosderamo ora, per esempo, dat rportat ella tabella successva, che s rferscoo alle caratterstche tecche d u campoe d treta telefo cellular. Le varabl cosderate, relatve al mese d geao dell ao, soo l prezzo espresso mglaa d lre (Y), l peso gramm

107 (X ), la lughezza mllmetr (X ), l umero d suoere dspobl (X 3 ), l umero d mut d autooma della battera stadby (X 4 ) ed fe l umero de mut d coversazoe che è possble effettuare prma che la battera s scarch (X 5 ). Lo scopo dell aals sarà quello d determare parametr d u modello leare teorco che coseta d stmare maera suffcetemete accurata l valore della Y sulla base della coosceza delle restat varabl. Tabella 5.8. Dat rlevat su u campoe d 3 telefo cellular Marca/ Modello Prezzo Y Peso X Lughezza X Suoere X 3 Stadby X 4 MutCov X 5 alcaeasy alcapock bosch bosch ercst ercst kewooem maxo moto moto ecdb ecd ok ok ok paagd paadg phlsavy phxeu sagem sams sams semec semes soycmd telt telt telt trumast trumari Dalla matrce d correlazoe, rportata ella tabella seguete, s ota aztutto come la varable prezzo rsult abbastaza correlata co X, X e X 3 e poco correlata co le restat varabl. Per questo motvo le varabl X 4 e X 5 o vegoo cosderate el modello d regressoe d cu s

108 rportao rsultat ella tabella S osserv che se queste due varabl vessero comuque serte fra regressor s otterrebbero due test t etramb o sgfcatv, per cu s cocluderebbe comuque che X 4 e X 5 o apportao formazo sgfcatvamete rlevat alla coosceza del prezzo de telefo cellular e s passerebbe qud a cosderare l modello della tabella cu la varable Y vee posta relazoe solo co le varabl X, X e X 3. Tabella 5.8. Matrce d correlazoe su dat della tabella 5.8. Y X X X 3 X 4 X 5 Y, -,65 -,77,6,4,6 X -,65,,6 -,7, -,3 X -,77,6, -,39 -,8 -, X 3,6 -,7 -,39,,56,39 X 4,4, -,8,56,,48 X 5,6 -,3 -,,39,48, Nella tabella seguete soo rportate le prcpal formazo crca la varaza spegata e resdua del modello ed l valore del test F corrspodete. Tabella ANOVA sul modello d regressoe relatvo a dat della tabella 5.8. Fote d grad d devaze Varaze Test F p-valore varazoe lbertà corrette Modello <, Errore Totale 9 36 I questo caso l valore dell dce R rsulta par a crca,76 e, come s vede, l modello leare, el suo complesso, è altamete sgfcatvo. Ache tutte le varabl, sgolarmete cosderate, rsultao sgfcatve, come s ota da rsultat delle statstche test t rportate ella tabella successva. Questa stessa tabella cotee ache rsultat relatv alla tolerace ed alla VIF che, come s vede, o evdezao ua stuazoe d colleartà fra regressor. Tabella Stme de parametr della retta d regressoe su dat della tabella 5.8. Varabl Stme Test t p-valore Tolerace VIF tercetta 5,94 6,4 <, X -3,59 -,53,77,633,6575 X -,78-3,,35,564,8998 X 3,4 3,6,3,8379,934

109 Dall aals de dagostc per l dvduazoe d evetual outler s ota come o essta essua osservazoe che possa essere cosderata scuramete aomala. Per quato rguarda, fe, le verfche delle codzo stadard, l grafco 5.8. che rporta resdu studetzzat ordata ed ascssa valor stmat della varable dpedete o mostra essua partcolare regolartà, per cu l modello leare può rteers adeguato a descrvere la relazoe esstete fra le varabl cosderate e o s ha motvo d rfutare la codzoe d omoschedastctà della varable dpedete. Fgura 5.8. Grafco de resdu studetzzat cotro valor stmat per dat della tabella Ache l potes d ormaltà o appare volata maera evdete, come s vede dalla fgura 5.8. che rporta l stogramma de resdu studetzzat e dalla fgura ella quale soo mess a cofroto valor de resdu studetzzat ( ordata) co quatl della ormale stadard ( ascssa). I deftva, qud, l modello d regressoe Y* = 5,94 3,59 X,78 X +,4 X 3, che rspetta tutte le codzo stadard, cosete d spegare crca l 76% della varabltà totale della varable dpedete ed evdeza come l prezzo de telefo cellular rsult correlato versamete co l peso e la lughezza dell appareccho, metre aumeta al crescere del umero d suoere messe a dsposzoe. No rsulta vece essu partcolare legame fra l prezzo e le prestazo della battera dotazoe.

110 Fgura 5.8. Istogramma de resdu studetzzat Fgura Rappresetazoe grafca del test de quatl su resdu studetzzat

111 CAPITOLO 6. LE SERIE STORICHE 6. Itroduzoe Ua sere storca, o sere temporale, è l seme delle testà o delle modaltà che u qualche feomeo assume el corso del tempo. L seme d quest valor, ordat base al perodo o all state d tempo cu s soo realzzat, è la documetazoe de mod cu l feomeo s è va va mafestato e rappreseta qud la sua stora. Il umero d feome d cu s può avere teresse a coservare memora è pratcamete llmtato e qud esemp d sere storche possoo essere rcavat dagl ambt pù svarat che vao dalla meteorologa alla demografa all ecooma e possoo rguardare l ettà delle precptazo ua data zoa, l lvello della temperatura, l umero delle ascte, delle mort, de matrmo oppure l prezzo d u prodotto, l dce de prezz al cosumo, l redmeto d u ttolo, l ammotare del prodotto tero lordo d u paese e così va. I dat regstrat possoo rferrs ad u state d tempo, come per esempo l totale della popolazoe resdete ua data regoe u dato goro d u dato ao, oppure ad u tervallo d tempo, come per esempo l umero d automobl prodotte u mese. L testà del feomeo osservato può essere d tpo dscreto come e due esemp precedet oppure d tpo cotuo, come quado per esempo l oggetto della regstrazoe è la temperatura atmosferca u dato luogo. La regstrazoe oltre può essere d tpo cotuo se vee effettuata tutt gl stat d tempo cosecutv, come per esempo elle regstrazo ssmografche, o d tpo dscreto. I questo secodo caso le sere storche soo costtute da ua successoe d testà rlevate stat d tempo che geere rsultao equspazat fra d loro o corrspodeza d tervall d tempo avet ua stessa ampezza, per cu s possoo avere dat orar, goraler, settmaal, mesl, trmestral, aual e così va. Nelle page seguet c occuperemo solo d sere d questo secodo tpo. Qu d seguto soo rportat alcu esemp d sere storche. Oltre a valor assut da feome esamat, soo rportate ache le corrspodet rappresetazo grafche. U prmo esame della sere, fatt, vee usualmete effettuato medate u grafco cu ascssa è rportato l tempo a cu s rferscoo le rlevazo ed ordata corrspodet valor della varable. Le rappresetazo d questo tpo hao l vataggo d evdezare le evetual regolartà ell adameto del feomeo el corso del tempo e qud d mettere rlevo la struttura della

112 sere el suo complesso. I dvers put che compogoo l grafco soo d solto ut fra d loro propro per evdezare l legame temporale esstete fra dat rlevat. Tabella 6.. Idce della produzoe dustrale corretto per gor lavoratv: totale geerale. Dat mesl, da geao a ottobre 5 ge feb mar apr mag gu lug ago set ott ov dc 95, 98,5 8,3 99,8 7,8 5,6 6,9 56,4 5,3 7,8 8,,6 98,6,3,6 98,8 7,7 5,5 6,8 53,6,8 5,5,8 93,8 93,7 98, 6,3 96,4 6,5,7 6,8 5,6 3, 4,8 4,3 93,8 95,4 96,8 5,9 98,,5,6 7, 53,4,6 5, 3,7 94, 94,3 97,4 5, 97,9 3,9,3 6, 5,,3 4,5, 9,5 9, 94,7,7 98,8, 98,9 5, 54,4 99,7,7 Fgura 6.. Grafco della sere storca rportata ella tabella Tabella 6.. Dat sul tursmo: arrv egl esercz albergher e complemetar. Dat mesl ( mglaa), da geao 997 a dcembre 4 ge feb mar apr mag gu lug ago set ott ov dc

113 Fgura 6.. Grafco della sere storca rportata ella tabella Tabella 6..3 Cosum delle famgle (prezz corret): Be e servz per la rcreazoe. Dat trmestral ( mlo d euro), dal trmestre del 999 al 4 trmestre 4 trm trm 3 trm 4 trm Fgura 6..3 Grafco della sere storca rportata ella tabella

114 Tabella 6..4 Abt ed altr prodott dell dustra tessle dal luglo98 al gugo 986 lug ago set ott ov dc ge feb mar apr mag gu 4,9 4,96 5,4 5,5 5,4 5,4 5,8 5,3 5,5 5,8 5,6 5,8 5,9 5, 5,3 5, 5,4 5,8 5,33 5,33 5,33 5,35 5,33 5,36 5,35 5,35 5,39 5,4 5,43 5,44 5,5 5,46 5,48 5,49 5,48 5,5 5,53 5,55 5,63 5,6 5,6 5,68 5,73 5,7 5,73 5,74 5,69 5,7 5,7 5,69 5,75 5,74 5,75 5,8 5,8 5,79 5,8 5,8 5,78 5,79 6 5,8 5,6 5,4 5, 5 Fgura 6..4 Grafco della sere storca rportata ella tabella , Gl esemp rportat soo stat scelt perché feome descrtt presetao delle otevol regolartà d comportameto el corso del tempo ed effett spesso le sere temporal presetao var tp d regolartà che possoo essere evdezate pù o meo charamete attraverso ua rappresetazoe grafca. Queste regolartà evdezao ua dpedeza temporale, el seso che og osservazoe è correlata, modo pù o meo marcato, co le osservazo rlevate e perod d tempo precedet. L aals delle sere storche ha lo scopo apputo d dvduare e descrvere queste regolartà e qud la struttura d ua sere. E possble oltre tetare d spegare l comportameto d u dato feomeo ache collegadolo a quello d altr feome, ma l obettvo sez altro pù mportate è quello cercare d prevedere valor che presumblmete assumerà uo o pù perod successv. E evdetemete superfluo sottoleare l mportaza che può avere la possbltà d prevedere le testà future d u feomeo qualsas settore d dage, come per esempo campo ecoomco. Questa possbltà d prevsoe rede talvolta possble ache l cotrollo del feomeo stesso, come avvee per esempo e cotroll d qualtà d u processo d produzoe.

115 Nelle page successve soo forte alcue elemetar ozo troduttve a questo ampo e complesso settore della Statstca. 6. La struttura della sere Lo scopo de metod statstc applcat alle sere storche è qud soprattutto quello d cosetre ua prevsoe de valor assut dal feomeo temp successv a quell osservat. Questa prevsoe può sfruttare le regolartà esbte dalla sere ed ache evdetemete le relazo che l feomeo che c teressa ha co altr feome collegat. Se la sere osservata preseta delle regolartà e se s può ragoevolmete supporre che la sua struttura o s modfcherà el prossmo futuro, è possble prevedere co qualche attedbltà le testà del feomeo u state o perodo d tempo successvo, utlzzado solo valor precedet della sere rlevat el corso del tempo. Se valor d ua sere possoo essere prevst esattamete, la sere è detta determstca, ma le sere d cu s occupao le aals statstche soo quelle che o hao ua struttura d tpo determstco e che o cosetoo qud d prevedere co esattezza ua testà futura, ma soo quelle che presetao solo ua pù o meo accetuata dpedeza temporale. Nelle page seguet supporremo che la sere abba ua sua struttura, ossa lavoreremo base all potes che le testà rlevate og state so correlate co le testà rlevate e perod precedet, ma dpedao ache da u seme d fattor casual che o è possble prevedere é teere sotto cotrollo. I queste stuazo l futuro è solo parzalmete determato da valor passat e qud prevso esatte soo mpossbl. Og prevsoe ha u marge d certezza, coscché valor futur hao ua dstrbuzoe d probabltà codzoata dalla coosceza de valor passat. Scopo dell aals, percò, sarà ache quello d valutare la precsoe d og prevsoe. L aals delle sere storche vee qud mpostata cosderado la possble testà del feomeo al tempo t (t =,,, ) come ua varable casuale, che dcheremo co Y t e che può essere defta el modo seguete, Y t = F t + Ζ t, 6.. dove F t è la parte determstca o sstematca della sere, metre Ζ t è la varable casuale d meda uguale a zero che costtusce l cosddetto resduo. La Ζ t è detta ache compoete stocastca della sere storca. Dalla 6.. rsulta qud che F t corrspode al valore medo della v.c. Y al tempo t.

116 Il valore osservato al tempo t, che dchamo co y t = F t + z t, corrspode evdetemete alla somma d F t pù ua determazoe della v.c. Ζ t. A dffereza d quato abbamo sempre dcato e captolo precedet, vedremo seguto che le v.c. resduo d ua sere storca per dvers stat d tempo geere o soo dpedet fra d loro, ma presetao dvers tp d dpedeza, per l cu studo vee utlzzata la teora de process stocastc. I altr term le varabl Ζ relatve ad stat o a perod d tempo dvers geere rsultao correlate fra d loro o, come s dce el caso d sere storche, autocorrelate. La dstaza temporale fra le varabl è detta lag, per cu s parla geerale d autocorrelazoe d lag h per dcare l autocorrelazoe fra le varabl dstat h perod. Ovvamete se le varabl resduo relatve a perod d tempo dvers soo correlate e qud possedoo ua loro struttura, l valore della varable al tempo t può essere stmato co maggore o more precsoe utlzzado valor osservat e perod precedet. Nella sere de resdu qud soo acora coteute formazo che potrebbero essere utlzzate per mglorare ulterormete la prevsoe de valor futur della sere el suo complesso. L aals de resdu costtusce effett la parte pù rlevate dell aals statstca delle sere storche, ache se, per quato rguarda le utlzzazo pratche, la compoete sstematca può aver u teresse molto maggore. Vedremo oltre che esstoo de modell stocastc che oltre a resdu predoo cosderazoe ache compoet sstematche della sere, per cu l aals prescde qualche modo dalla scomposzoe 6... Quado ache la struttura delle Ζ t è stata dvduata, ella sere rmagoo acora de resdu che, sotto le usual codzo, corrspodoo a determazo d altrettate v.c. ε t che soo le varabl errore e che hao dstrbuzoe d tpo ormale co meda par a zero e varaza σ costate. Le varabl ε t relatve a temp dvers soo, oltre, dpedet fra d loro. La sere delle ε t costtusce quello che ell aals delle sere storche è oto come processo whte ose (rumore baco o dsturbo d fodo) ed è charo che la coosceza de suo valor fo al tempo t o è grado d forre alcua formazoe sul valore della varable al tempo t+. I geerale qud l aals d ua sere storca è coclusa quado la sere de resdu, coè delle dffereze fra valor osservat ed valor stmat per og tempo t, può essere cosderata come la realzzazoe d u processo whte ose. A questo puto è possble prevedere l testà del feomeo u tempo successvo e valutare la precsoe della stma.

117 La parte sstematca è tradzoalmete dcata come la somma d tre compoet F t = T t + C t + S t 6.. che soo rspettvamete l tred, l cclo e la stagoaltà. Il tred o tedeza d lugo perodo o tedeza d fodo rguarda l adameto della sere, o almeo la parte delle sere che c teressa, el suo complesso. La sere può presetare u tred crescete, decrescete o stazoaro, così, per esempo, la sere relatva all dce della produzoe dustrale (Fgura 6..) è complessvamete stable el perodo esamato, metre u leggera tedeza all aumeto s ota per quato rguarda dat sul tursmo (Fgura 6..) ed ua pù marcata per be e servz per la rcreazoe (Fgura 6..3). I prodott tessl presetao u decso tred crescete ed partcolare u tred d tpo leare, come rsulta dalla fgura 6.., cu al grafco de dat è stata agguta ua retta per evdezare apputo la tedeza leare all aumeto. Fgura 6.. Grafco della sere storca della tabella 6.. e del corrspodete modello teorco 6 5,8 5,6 5,4 5, 5 4, La sere può presetare oltre ad u tred (crescete, decrescete o stazoaro) ache altre regolartà qual le cosddette varazo cclche che cosstoo el fatto che l feomeo preseta testà sstematcamete dverse perod dvers. Basta pesare a feome collegat al cclo ecoomco o all alterars delle stago. Le varazo cclche possoo essere d perodo dverso, fra queste le varazo co perodo d mes o co perod che soo sottomultpl ter d (bmestr, trmestr, ecc.) soo dette varazo stagoal. S possoo avere oltre ccl goraler, settmaal e così va. Ovvamete

118 varazo cclche d perodo dverso possoo essere preset cotemporaeamete ua stessa sere. Nelle prme tre sere rportate el paragrafo 6. s ota ua evdete stagoaltà. Per quato rguarda l dce della produzoe dustrale (Fgura 6..) l dato pù vstoso è l drastco abbassameto del suo valore el mese d agosto de dvers a dovuto evdetemete alla chusura delle fabbrche. I dat sul tursmo (Fgura 6..) presetao vece valor pù alt dell ao sempre corrspodeza de mes estv, metre quell su be e servz per la rcreazoe (Fgura 6..3) presetao valor pù alt el secodo e el quarto quadrmestre, presumblmete corrspodeza delle feste pasqual e atalze. E ragoevole supporre che regolartà d questo tpo s preseto ache futuro, a meo che o s verfcho evet eccezoal, metre geerale è molto pù arduo potzzare l comportameto futuro d ua sere che preseta cclctà che dpedoo da cause o mmedatamete evdet. S osserv fe che la parte determstca della sere può coteere tutte le compoet che abbamo dcato oppure può coteere solo alcue. Esstoo ache sere cu questa parte determstca è costate ed questo caso la sere è detta stazoara meda. Se la sere è stazoara, è ovvo che resdu corrspodoo semplcemete alle dffereze fra valor orgar e la loro meda. 6.3 I fltr lear Ua delle procedure utlzzate per aalzzare ua sere cosste el cosddetto fltraggo, coè u operazoe che trasforma la sere orgara u altra che preseta u adameto pù regolare. Idcato co y t l valore della varable orgara al tempo t, l valore x t della sere fltrata s ottee medate l operazoe leare x t = k = q a y t dove gl a soo de pes opportu che varao a secoda degl scop dell aals. Se la somma de pes è par ad uo, l operazoe cosste deftva el calcolare l valore medo della varable ad u geerco tempo t utlzzado q valor della varable rlevat prma del tempo t, l valore al tempo t e k valor rlevat dopo l tempo t. Questo procedmeto vee rpetuto per cascu terme della sere, otteedo qud ua uova sere che è composta da u mor

119 umero d term, quato o è possble calcolare questo modo valor med corrspodeza de prm q temp, é degl ultm k. I pratca valor orgal della varable vegoo qualche modo fltrat allo scopo d smussare le fluttuazo local medate l calcolo de cosddett valor med local e qud d mettere evdeza questo modo le varazo d pù lugo perodo. Questo metodo d aals basato su valor med local vee ache detto metodo delle mede mobl e può utlzzare mede poderate co pes che rsultao maggor corrspodeza de valor pù prossm al tempo t ma ache mede semplc. Ioltre e cas pù usual vee utlzzato uo stesso umero d term prma e dopo l tempo, s poe coè q = k e spesso ache pes smmetrc, per cu s ha a = a. Come s è detto vegoo utlzzate ache mede local semplc co valor de pes tutt ugual fra d loro. I questo caso ovvamete la 6.3. assume la forma x = t y t + k + = k k Nella tabella 6.3. soo rportat, per esempo, valor smussat, otteut facedo la meda d 5 term, della sere della tabella Tabella 6.3. Sere a mede mobl otteuta dalla sere rportata ella tabella 6..4 utlzzado 5 term Ao trm trm 3 trm 4 trm ,4.94,6.84, 365, , 3.74, 3.54,8 4.78,4 3.78, 4.49, ,8 4.56,8 4.36, 4.6, ,4 4.76,8 4.45, , , 5.4,4 La rappresetazoe grafca della sere orgara e della sere smussata è rportata ella fgura successva, dalla quale s ota come, al etto delle varazo stagoal, la varable mostra pù charamete u tred crescete ache se o troppo marcato.

120 Fgura 6.3. Grafco delle sere storche rportate elle tabelle 6..3 e La stma del valore medo della varable al tempo t è stata effettuata utlzzado 5 term quato è oto che, se dat soo trmestral, queste mede mobl elmao la compoete stagoale. Se s fosse cosderata ua sere mesle, valor med della varable al tempo t s sarebbero stmat effettuado la meda de 6 valor precedet al tempo t, del valore al tempo t e de 6 valor successv, coè s sarebbe utlzzata la meda d 3 term. Ovvamete usado pes dvers s ottegoo valor smussat che rsultao dvers fra d loro ed fatt la scelta de pes dpede dallo scopo dell aals. Se lo scopo è per esempo quello d stmare l tred, la scelte dpede dal tpo d tred e così va. 6.4 La stma del tred medate fuzo matematche Nella fgura 6.. al grafco de dat, come s è vsto, è stato assocata ua retta per evdezare l tred della sere. Questo è u esempo d utlzzo d fuzo matematche per stmare questa compoete della struttura, otteere per dffereza ua stma delle fluttuazo d breve perodo ed evetualmete calcolare l valore prevsto per uo o pù perod o stat successv, co relatv tervall d cofdeza. Se prma approssmazoe suppoamo che la sere 6..4 sa composta dal tred leare e da u resduo whte ose ormale, se poamo coè Y t = β + β t + ε t, 6.4. per la stma del tred è suffcete calcolare, co le stesse procedure gà utlzzate per la regressoe leare, valor umerc d β e β. S osserv che, elle codzo poste, la 6.4. è detca alla 5...

121 Quest valor rsultao par a b = 5,8, b =,457 e qud valor stmat del tred, che corrspodoo a quell della retta della fgura 6.., s rcavao dall espressoe * y t = 5,8 +,457t Dal test utlzzato el captolo 5 rsulta che l valore del coeffcete agolare è altamete sgfcatvo ed fatt l coeffcete d determazoe leare r è par a,977. Se è verosmle che l tred leare rest lo stesso ache futuro, possamo otteere, medate la 6.4., l valore prevsto d Y per mes successv. Per l 6 mese, per esempo, questo valore rsulta par a 5,89 e, sotto le codzo specfcate dalla 6.4., gl estrem dell tervallo d cofdeza soo ( 6 3,5),4 5,8 5,89m, ,96 5,97 S osserv però che questo caso l tervallo d cofdeza otteuto s basa su u potes sulla struttura de resdu che o è suffragata da dat, come vedremo pù avat. Dalla fgura 6.. rsulta oltre che le ultme cque osservazo soo tutte feror a valor corrspodet della retta e che el complesso toro al tred leare s otao delle varazo cclche ache se o molto accetuate. E charo percò che attraverso sol parametr della retta s può otteere ua prevsoe puttosto approssmata. Ache la sere rportata ella tavola 6..3, come s è evdezato attraverso l uso delle mede mobl, preseta u tred leare. I valor stmat del tred, dvs per mlle, s rcavao dall espressoe * y t =,3 +,3t, e soo rportat seme co valor orgar ella fgura 6.4..

122 Fgura 6.4. Grafco della sere della tabella 6..3 e del tred stmato cosum sere orgale sere stmata trmestre I questo caso, però, ella sere è presete, oltre al tred, ache la compoete stagoale ed u modo per stmare cotemporaeamete queste due compoet della struttura utlzza u modello aalogo a quello della regressoe multpla. Sempre sotto l potes che l errore sa d tpo whte ose, l modello assume la forma Y t = β + β t + β d + β 3 d + β 4 d 3 + ε t, dove d (per =,,3) assume l valore se l dato s rfersce all -esmo trmestre ed l valore zero egl altr cas. I regressor, come s vede, soo l tempo ed l trmestre a cu l valore della sere s rfersce. Le varabl d,d, e d 3, che soo dette varabl dummy, cosetoo qud d teere coto delle dffereze sstematche che s presetao fra dat de dvers trmestr. I valor stmat del tred e della stagoaltà, dvs per mlle, s rcavao dall espressoe * y t = 4,4 +,t,39d,39d,8d e soo rportat seme co valor orgar ella fgura I coeffcet delle varabl dummy d, per =,, 3, soo le dffereze mede fra valor della varable ell -esmo trmestre e quell del quarto trmestre, al etto del tred leare.

123 Fgura 6.4. Grafco della sere della tabella 6..3, del tred e della stagoaltà stmat cosum sere orgale sere stmata trmestre I valor d tutt parametr soo altamete sgfcatv ed l coeffcete d determazoe leare corretto è par a,97. Ache questo caso dalla s rcavao le prevso per uo o pù trmestr successv e, se l resduo fosse u whte ose, potremmo determare ache gl tervall d cofdeza. Prma però è ecessaro procedere all aals della sere de resdu. Se l tred della sere da aalzzare o è d tpo leare, occorre dvduare ua fuzoe d altro tpo, che può essere u polomo o ua fuzoe qualsas, che descrva modo stetco l adameto del feomeo el perodo d tempo preso cosderazoe. Tutt pacchett software per l aals delle sere storche forscoo le stme de parametr del modello prescelto ed p-valor assocat a test relatv alle potes d sgfcatvtà dell tero modello e d tutt sgol parametr. 6.5 L autocorrelazoe fra de resdu Le dffereze fra valor della sere y t ed valor stmat della compoete sstematca che dcheremo geere co * y t, costtuscoo la sere de resdu z t = y y t * t Sulla base della 6.., valor z t costtuscoo qud altrettate determazo delle varabl casual Z t che, come abbamo gà osservato precedeza, geerale rsultao correlate fra d loro.

124 Medate resdu stmat 6.5. è possble qud cotrollare se e che modo la varable resduo è correlata, per esempo, co quella del perodo o dell state d tempo mmedatamete precedete. Predamo cosderazoe le dffereze fra dat della tabella 6..4 ed valor del tred stmat co la 6.4., rportate ella tabella 6.5. Tabella 6.5. Resdu della sere della tabella 6..4 dal tred stmato co la 6.4. Lug ago Set Ott Nov Dc Ge feb mar Apr mag gu -,97 -,7 -,6 -, -,35 -,5,76,,6,3 -,3 -,3 -, -,6,9 -,6 -,,5,5,36,,7 -,8,7 -,7 -,3 -,6 -,,4,,45 -,9 -,4 -,9 -,33 -,8 -, -,7,58,4,9,64,,55,7,66, -,3 -,8 -,4,3 -, -,6,9,5 -,3 -,34 -,39 -,84 -,88 Per cotrollare se resdu al tempo t soo correlat co quell al tempo t- e qud se esste ua correlazoe d lag, rportamo su u grafco le coppe d valor (z t-, z t ) per t =, 3,,, come ella fgura Fgura 6.5. Grafco de resdu della tabella 6.5. cotro resdu al tempo precedete,,5 resdu -, -,5,5, -,5 -, resdu d lag

125 Dallo scatter rsulta charamete la preseza d ua correlazoe d tpo leare e pù partcolare d ua correlazoe postva. Ache el caso de resdu fra valor della tavola 6..3 e la 6.4.3, per esempo, s ha ua correlazoe postva. I geerale s è preseza d ua correlazoe postva quado, ella sere de valor z t ordat rspetto al tempo, a resdu d sego postvo seguoo tedezalmete resdu sempre d sego postvo ed a resdu egatv altr resdu egatv, come per esempo ella fgura Se, vece, a resdu d sego postvo tedoo a segure resdu egatv e vceversa, l grafco assume ua forma aaloga a quella dcata ella fgura e s è preseza d ua correlazoe egatva. Fgura 6.5. Fgura Esempo d correlazoe postva Esempo d correlazoe egatva resdu resdu t t Nella fgura soo rportat, sempre a ttolo d esempo, resdu della tavola 6.5. cotro l tempo., Fgura Grafco de resdu della tavola 6.5.,5 -,5 -,

126 S osserv che attraverso l grafco de resdu rsulta pù charo u adameto cclco della sere, peraltro puttosto rregolare. I geerale resdu al tempo t possoo rsultare correlat co resdu al tempo t h, per h =,,, ed l grado d correlazoe per u qualsas lag h vee msurato medate l cosddetto coeffcete d autocorrelazoe che ha la stessa struttura e le stesse caratterstche del coeffcete d correlazoe leare che è stato descrtto ell aals d regressoe e che assume qud la forma ( zt, zt h ) ( z ) V( z ) Cov r ( h) = V t t h Ovvamete valor delle autocorrelazo per dvers lag rsultao geerale dvers da zero ache se la sere che s sta esamado è u whte ose. Prma d procedere qud ell aals è ecessaro valutare medate opportu test, come vedremo pù avat, se per qualche lag valor de coeffcet r(h) possao essere cosderat sgfcatvamete dvers da zero. Se esstoo correlazo sgfcatvamete dverse da zero, s può tetare d dvduare u modello che descrva modo adeguato la sere de resdu ed otteere ua stma de valor futur. 6.6 Process stocastc e modell lear Come abbamo gà atcpato el secodo paragrafo d questo captolo, per aalzzare la compoete resduo d ua sere storca, vee utlzzata la teora de process stocastc. U processo stocastco può essere defto, co rfermeto alle sere storche osservate ad tervall d tempo, come u seme d varabl casual ordate che descrvoo u feomeo che evolve secodo legg probablstche. La varable casuale relatva al tempo t verrà geere dcata co l smbolo Ζ t, dove t =,,,. U qualsas processo stocastco è completamete specfcato quado è ota la dstrbuzoe coguta delle v.c. Ζ t, ma per lo studo d u dato feomeo questo o è sempre possble e spesso o è eppure ecessaro. Spesso è suffcete cooscere momet del processo d prmo e secodo orde e coè le mede le varaze e le covaraze fra le varabl relatve a temp dvers. Quado c s lmta alla coosceza de momet del processo, rsultao partcolarmete mportat cosddett process stazoar d secodo orde.

127 Quest process soo caratterzzat dal fatto che valor med e le varaze delle Ζ t soo costat el tempo, metre le autocovaraze e qud le autocorrelazo fra due varabl dpedoo solo dal lag fra le due. Questo sgfca che l autocovaraza fra Ζ t e Ζ t-h, è la stessa d quella tra Ζ t-h e Ζ t-h, per og t ed h. I process co queste caratterstche soo dett stazoar meda, varaza e covaraza. Se, seza perdta d geeraltà, poamo ugual a zero valor med delle varabl, per process d questo tpo altr term s ha E(Ζ t ) = ; V(Ζ t ) = σ ; COV(Ζ t, Ζ t-h) = C(h). Dalle defzo precedet ovvamete rsulta ache V(Ζ t ) = C(), per cu l coeffcete d autocorrelazoe corrspode a ρ(h) = C(h)/C(). S osserv fe che C(h) e ρ(h), cosderate come fuzo d h, soo dette ache rspettvamete fuzoe d autocovaraza e fuzoe autocorrelazoe. Quest ultma fuzoe, la cu rappresetazoe grafca per dvers valor d h è detta correlogramma, è evdetemete d prmara mportaza dato che descrve l testà delle relazo fra le varabl relatve a temp dvers. Qu d seguto soo fort brev ce su tre d quest modell che soo fra quell pù comuemete utlzzat. Ne modell a meda moble (dall glese movg average) d orde q, che vegoo dcat co la sgla MA(q), la v.c. Ζ t è la somma poderata d q + varabl ormal ε t-, co =,,, q, d meda zero e varaza costate σ ε dpedet fra d loro. S ha altr term Z t = ε t + θ ε t + θ ε t θ q ε t q, 6.6. dove, come s vede, l'testà della v.c. Z t è data dalla somma de valor che le v.c. dpedet ε t- hao assuto a temp t, per =,, q, moltplcat per le costat θ, pù l valore della v.c. ε t

128 dpedete dalle precedet. Samo qud preseza d valor casual che s verfcao a temp t ed cu effett persstoo per u certo tempo fluezado valor che la varable Z assume e perod successv. Nel modello a meda moble del prmo orde, che vee dcato co la sgla MA(), s ha Z t =ε t + θ ε t, 6.6. dove, come s vede, l valore della Z è fluezato solo dal valore casuale del perodo precedete. Gl effett de valor casual, qud, questo caso soo meo persstet el tempo rspetto al modello MA(q). Per quato rguarda momet del modello 6.6. s ha E(Z t ) =, + σ, θ ε V(Z t ) = ( ) Cov(Z t,z t- ) = C() = E[ ( + θε )( ε θε )] ε = t t t + t θσ ε θ ρ() = + θ. S ot che ovvamete l autocorrelazoe d lag è uguale a zero, dato che Cov(Z t,z t- ) = C() = E[ ( + θε )( ε θε )] ε =, t t t + t 3 e che soo ugual a zero tutte le autocorrelazo per lags maggor d uo. E charo ache che el modello geerale MA(q) rsultao dverse d zero le autocorrelazo per lags da a q, metre per tutt lags maggor d q soo ugual a zero. Ne modell autoregressv, che vegoo dcat co la sgla AR(p), la v.c. Ζ t è la somma poderata delle p varabl Ζ t- ( =,,, p) pù ua varable ormale ε t dpedete dalle precedet. Z t = β Z t + β Z t β p Z t p + ε t

129 I questo caso l valore che la varable assume al tempo t è uguale alla somma de valor che la varable ha assuto e p perod precedet moltplcat per le costat β, =,, p, pù l valore della v.c. ε t dpedete dalle Z t. Il modello è detto modello autoregressvo d orde p. Nel caso pù semplce l modello autoregressvo d orde, dcato co la sgla AR(), assume la forma Z t = βz t + ε t, β < S osserv che vale ovvamete la relazoe Z t = βz t + ε t- per cu s ha Z t = β( β Z t + ε t- ) + ε t = β Z t + βε t- + ε t = = = β ( βz t 3 + ε t- ) + βε t- + ε t = 3 β Z t 3 + β ε t- + βε t- + ε t e così va. I geerale, qud, l modello può essere ache posto ella forma equvalete Z t = ε t = β che, come s vede, corrspode ad u modello a meda moble d ft term, MA( ), cu l coeffcete d ε t- è β. Dalla s ottee E( Z t ) = V ( Z ) β t = σ ε =

130 Cov h ( Z, Z ) C(h) = σ β t t h = β ε. = Dato che β<, rsulta = β = β, per cu le espresso della varaza, dell autocovaraza e dell autocorrelazoe assumoo le forme pù semplc V σ ε ( Z t ) = Cov β σ h ε ( Z t, Z t h ) = C(h) = β h ρ h = β. β Nel modello AR(), qud, la varable Z t è correlata co tutte le varabl precedet ache se valor delle correlazo tedoo rapdamete a zero. S osserv oltre che, se β è egatvo, le correlazo per h par soo postve, metre quelle per h dspar soo egatve. Soo stat propost oltre de modell che combao modell autoregressv e quell a meda moble. Soo modell autoregressv a meda moble che vegoo dcat co la sgla ARMA(p,q). Z t = β Z t β p Z t p + θ ε t θ q ε t q + ε t, dove, come s vede, l'testà del feomeo al tempo t dpede sa dalle p testà del feomeo sa da q valor casual verfcats temp precedet. Nel caso pù semplce l modello, dcato co la sgla ARMA(,), assume ovvamete la forma Z t = βz t + θε t + ε t

131 La fuzoe d autocorrelazoe d questo modello, ovvamete comba seme le caratterstche de modell Ma() ed AR(). S osserv che geerale vee utlzzata la sgla ARMA ache per dcare modell MA ed AR poedo l parametro corrspodete uguale a zero. Su tutt modell precedet soo dspobl mportat rsultat teorc che rguardao le loro propretà, le codzo su parametr perché l modello rsult stazoaro, le codzo sotto le qual v è ua corrspodeza buvoca fra modello e fuzoe d autocorrelazoe, le relazo fra quest ultma fuzoe ed parametr del modello e così va. Come abbamo atcpato el paragrafo 6., esstoo de modell che, oltre a resdu, predoo cosderazoe ache compoet sstematche della sere. Se la sere preseta u tred el perodo cosderato, ua possbltà d otteere ua sere stazoara è quella d utlzzare, al posto de valor orgar, le dffereze fra valor successv. Suppoamo che la sere de valor y t preset u tred leare e che valor sao stat rlevat stat d tempo equspazat. I questo caso la sere delle dffereze y * t = yt + y t rsulta stazoara meda. E possble qud utlzzare per la descrzoe della sere modell ARMA a cu s è acceato precedeza. Se valor y t presetao u tred parabolco, la sere delle dffereze d secodo orde * y t uo de ( yt yt ) ( yt yt ) = yt yt yt * t = y + rsulta stazoara meda e così va. I modell che utlzzao le dffereze fra valor successv per elmare l tred soo cosddett modell ARIMA(p,d,q), dove l parametro d dca l orde delle dffereze. La I della sgla ARIMA sta per tegrated, dato che l modello ARMA basato sulle dffereze, deve essere po tegrato, coè sommato, per descrvere la sere orgara de dat. La sgla ARIMA vee utlzzata ache per dcare modell ARMA poedo l parametro d uguale a zero. I modo aalogo possoo essere trattate sere cu compare, evetualmete seme al tred, la compoete stagoale. Se s dspoe d ua sere z t, geerata da uo de modell f qu descrtt, è possble stmare parametr che caratterzzao l modello e la varaza d ε t. Esstoo gl stmator d massma verosmglaza per l cu calcolo soo ecessare complesse elaborazo umerche. I programm

132 d calcolo forscoo, oltre alle stme de parametr, le valutazo della loro sgfcatvtà, la sere rcostruta medate queste stme, la sere de resdu, valor prevst per perod successv ed loro tervall d cofdeza. Ovvamete elle applcazo pratche geerale o è oto quale sa l modello che ha geerato la sere de resdu ed l modello stesso deve essere scelto utlzzado dat a dsposzoe. 6.7 L aals de resdu e la scelta del modello Prma d tetare d dvduare l modello che meglo descrve la sere de resdu è ecessaro, però, effettuare alcue aals prelmar. Come abbamo gà osservato, questo tetatvo ha seso solo se coeffcet d autocorrelazoe soo sgfcatvamete dvers da zero per qualche lag. Ua prma aals de dat, qud, deve accertare la preseza d valor aomal che possoo fluezare valor delle autocorrelazo. Nel caso delle sere storche u valore aomalo può essere stato provocato da uo o pù evet che hao fluezato modo aormale l testà del feomeo u dato perodo. Quado s procede alla stma della compoete sstematca della sere, come e cas descrtt al paragrafo 6.4, per l dvduazoe degl outlers s possoo utlzzare gl stess strumet che abbamo gà vsto elle aals d regressoe e la stma può essere effettuata gorado gl evetual outlers. I resdu z t però devoo essere calcolat per tutt valor d t, perché macaza d u dato o sarebbe possble calcolare le autocorrelazo. Gl outlers, qud, rcompaoo ella sere de resdu e devoo qualche modo essere sosttut co altr. Esstoo vare dcazo su come effettuare queste sosttuzo, ma prma approssmazoe s può sostture u outler co u valore che sembra ragoevole cosderado l adameto de dat el loro complesso. Dato che le varabl Z t descrtte da modell del paragrafo precedete soo combazo lear d varabl ormal e qud hao dstrbuzoe ormale, u altra verfca rguarda l potes d ormaltà. Come ell aals d regressoe, ache questo caso c s lmta d solto a cotrollare medate u stogramma la smmetra della dstrbuzoe de resdu. Le procedure d stma fatt ache questo caso rsultao robuste per dstrbuzo ragoevolmete smmetrche. S osserv fe che spesso la smmetra vee alterata propro dalla preseza d outler. I modell da utlzzare per la descrzoe de resdu, decrtt el paragrafo precedete soo stazoar meda, varaza ed autocovaraza e qud ua sere geerata da quest modell deve presetare approssmatvamete le stesse caratterstche.

133 Se dalla sere soo state elmate le compoet sstematche, resdu rsultao stazoar meda, ma elle applcazo spesso presetao ua pù o meo accetuata eteroschedastctà che può essere rlevata attraverso rappresetazo grafche de dat cotro l tempo, aaloghe a quelle utlzzate elle aals d regressoe. I caso d marcata eteroschedastctà, possoo essere utlzzate delle trasformazo de dat che soo grado d atteuare l stabltà varaza. La evetuale o stazoaretà autocovaraza, vece, è dffcle sa da accertare che da elmare, per cu le aals geere vegoo effettuate come se questa codzoe fosse soddsfatta. A questo puto s può procedere al calcolo delle autocorrelazo per lags possbl, cosderato l umero de dat a dsposzoe, ed evetualmete alla loro rappresetazoe grafca Per cotrollare se e qual valor delle autocorrelazo rsultao sgfcatvamete dvers da zero può essere utlzzato u test per verfcare l potes ulla che l processo geeratore della sere sa u whte ose. Sotto questa potes e per ua umerostà suffcetemete elevata, la dstrbuzoe campoara del coeffcete d autocorrelazoe stmato r(h) è approssmatvamete ormale co meda par a zero e scarto quadratco medo par a /, dove è la umerostà della sere. Pertato, se l coeffcete d autocorrelazoe rsulta, valore assoluto, maggore d /, l rsultato è sgfcatvo ad u lvello d crca l 5% e l potes sul whte ose vee rfutata. Altr test predoo cosderazoe le autocorrelazo per pù lag cotemporaeamete. Le statstche corrspodet s basao sulla somma de quadrat degl r(h) e sotto potes ulla s dstrbuscoo approssmatvamete come ch-quadrato. U altra statstca per dvduare l evetuale autocorrelazoe de resdu è la statstca DW d Durb-Watso che assume la forma t t= = ( z z ) t= t DW z t e che vee calcolata e pù comu pacchett software per l aals delle sere storche. La 6.7. comuque è all crca uguale a [ r( ) ], coscché l test verfca sostaza l potes sulla sola autocorrelazoe d lag. Dall aals del grafco delle autocorrelazo, se e esste qualcua sgfcatvamete dversa da zero, talvolta s possoo rcavare delle dcazo sul modello pù adatto a descrvere la sere de

134 resdu. Se, per esempo, s ota u solo valore elevato per l lag metre tutt gl altr soo prossm a zero, l modello da utlzzare potrebbe essere u MA(), cu come abbamo vsto la sola autocorrelazoe dversa da zero è propro quella corrspodeza del lag. Il modello da utlzzare potrebbe essere vece u AR(), se s otasse u valore elevato d r() e valor successv rapdamete decrescet. Pù spesso, però, la procedura utlzzata per l dvduazoe del modello ARMA è d tpo teratvo a partre da valor d p e d q pù bass. Per og coppa d valor (teedo presete che uo de due può essere uguale a zero) s ottegoo le stme de parametr, le valutazo della loro sgfcatvtà e la sere de valor rcostrut * z t. Se resdu * zt z t, sottopost al test, possoo essere cosderat come la realzzazoe d u processo whte ose, l modello può essere accettato. Nel caso s possa sceglere fra pù modell accettabl, la prefereza geere vee accordata a quello co u mor umero d parametr, teedo presete ovvamete ache l valore della varaza resdua stmata. Aalzzamo ora resdu rportat ella tabella Dalla rappresetazoe grafca rportata ella fgura o s evdezao valor charamete aomal é stuazo d eteroschedastctà. L stogramma corrspodete oltre assume la forma rportata ella fgura 6.7., dalla quale o rsulta ua rlevate asmmetra della dstrbuzoe. Fgura 6.7. Istogramma de resdu della tabella 6.5.

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