CAPITOLO ZERO ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA 1 Introduzione Il termine statistica venne introdotto nel diciassettesimo secolo col significato di

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1 CAPITOLO ZERO ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA Itroduzioe Il termie statistica vee itrodotto el diciassettesimo secolo col sigificato di scieza dello stato, volta a raccogliere e ordiare iformazioi utili all ammiistrazioe pubblica: etità e composizioe della popolazioe, movimeti migratori, mutameti aagrafici, tavole di atalità e mortalità, dati sui commerci, sui raccolti, sulla distribuzioe della ricchezza, sull istruzioe e la saità. Il primo passo dell attività statistica è la raccolta di dati che, se be orgaizzata, risparmia fatica elle operazioi successive e permette la corretta impostazioe del lavoro di aalisi. Si dice uità statistica la miima uità della quale si raccolgoo i dati. Si dice popolazioe l isieme delle uità statistiche oggetto di studio. Si dicoo caratteri le proprietà che soo oggetto di rilevazioe. I caratteri possoo essere qualitativi o quatitativi. I caratteri qualitativi vegoo idicati mediate espressioi verbali. Soo caratteri qualitativi lo stato civile (celibe o ubile, coiugato/a, ecc.), il sesso (maschio o femmia), il colore degli occhi (chiari, castai, eri; ma ache, se si preferisce: grigi, azzurri, verdi, castai, eri). I caratteri quatitativi soo esprimibili umericamete e si dividoo i discreti e cotiui. I caratteri discreti, come il umero degli alui di ua classe, o di reti segate i ua partita di calcio, possoo assumere solo determiati valori, quasi sempre umeri iteri. I caratteri cotiui, quali i pesi, le stature e più i geerale le gradezze che possoo essere misurate, possoo assumere qualsiasi valore reale i u dato itervallo (ache se usualmete si impiegao umeri decimali fiiti). Esempio. Sorge ua discussioe fra due amici. Uo afferma che gli abitati della loro città vao al ciema assai raramete, i media ua volta all ao. L altro sostiee ivece che tale forma di divertimeto è torata di moda, e che la stima dell amico va moltiplicata almeo per veti. Decidoo di dedicare qualche tempo a u idagie statistica per risolvere la questioe. Evidetemete o possoo itervistare tutti i loro cocittadii: si limiterao a u campioe opportuamete scelto. Si pogoo subito due iterrogativi: Quale dev essere l ampiezza del campioe affiché la stima sia attedibile e si possa essere ragioevolmete certi di aver stimato, co u accettabile margie di errore, il dato cercato? Basterà itervistare treta persoe, o e occorrerao ceto, oppure mille? Come si può essere sicuri che il campioe o sia distorto, ma sia rappresetativo dell itera popolazioe? È evidete che sarebbe scorretto codurre l idagie all uscita di u ciema, o fra gli ospiti di ua casa di riposo; ma è preferibile itervistare le persoe per strada oppure, se o si bada alla spesa, per telefoo? La situazioe proposta è u tipico problema di statistica iduttiva: la rilevazioe dei dati, aziché sull itera popolazioe, è eseguita su ua parte di essa, detta campioe, e dall esame di quest ultimo si desumoo iformazioi (quato attedibili?) sulla prima. Si tratta di questioi piuttosto complesse, alcue delle quali sarao esamiate el Capitolo sesto dopo che avremo trattato gli elemeti di base della teoria della probabilità. I questo capitolo itrodurremo soltato alcui elemeti di statistica descrittiva, il cui compito è orgaizzare i modo facilmete domiabile i dati raccolti sull itera popolazioe i esame, seza trarre alcua coclusioe circa gli evetuali rapporti co ua popolazioe più ampia. Più precisamete, ci cocetreremo su alcui parametri co i quali si riassumoo i dati rilevati, ossia le medie e gli idici di dispersioe. Tralasceremo totalmete, per brevità, l importate aspetto delle rappresetazioi grafiche dei dati. 2 Medie Il cocetto di media è del tutto familiare, i quato l uomo è per atura iclie a riassumere dati discordati per poter cocetrare l attezioe sull itesità media di u carattere e poter più facilmete cofrotare dati omogeei relativi a popolazioi diverse. Molte ostre valutazioi e decisioi soo assute, talvolta icosciamete, facedo riferimeto a valori medi. Così diciamo che il clima di Napoli è più mite di quello di Torio, che gli italiai del Nord hao u reddito maggiore di quelli del Sud, che i maschi soo più forti delle femmie, e così via.

2 Da ua sequeza di dati si possoo otteere varie medie, che assumoo omi diversi. I sostaza, ua media è u valore opportuamete scelto e compreso fra il miimo e il massimo dei dati. I tutti i casi, la media è u umero che e sitetizza molti, e cosete di avere ua visioe uitaria, ovviamete ascodedo la molteplicità dei dati da cui è otteuta. Così, il reddito medio delle famiglie italiae è u valore uico, utile per fare cofroti co altre azioi o co periodi passati, ma o evidezia che i redditi soo molto diversi e molte famiglie soo al di sotto della soglia della sopravviveza, metre altre possiedoo bei i grade quatità; la statura media ci cosete di dire che gli svedesi soo, i media, più alti degli italiai, ma o evidezia che molti italiai soo più alti di parecchi svedesi. Prederemo i esame le segueti medie: moda, mediaa, media aritmetica, media quadratica, media geometrica e media armoica. (A) Moda Si dice moda il carattere o il valore cui corrispode la massima frequeza. Esempio. La sequeza di umeri 5, 6, 8, 8, 8, 2, 2, 4 ha moda 8. La sequeza di umeri 5, 6, 8, 8, 8, 2, 4, 4, 4 ha due mode: 8 e 4. Nella sequeza di umeri:, 2,, 4, 5, 6 si potrebbe ache dire, a stretto rigore, che vi soo sei mode; ma è più ragioevole cocludere che i questo caso la moda o esiste. Esempio 2. Si rileva il umero delle staze di ciascu appartameto di u codomiio: Numero delle staze Frequeze La moda è 4, e i effetti sembra appropriato dire che i media gli appartameti di quel codomiio hao quattro staze. Esempio. Il direttore di u supermercato vuole provare a icludere, fra gli articoli da vedere, ache delle patofole per doa. Decide di teere, almeo all iizio, u uica misura. Per idividuare quale, chiede la misura del piede a dieci abituali clieti, otteedo i segueti dati: 8, 9,, 4, 40, 9, 5,, 9, 6 La sua scelta cadrà, evidetemete, sulla misura del 9 cui corrispode la massima frequeza del campioe (che, detto per iciso, è troppo piccolo per essere affidabile). Esempio 4. I u catiere lo stipedio medio mesile dei quattro appredisti è 600, dei veti operai è.000, del capocatiere La moda è.000 e sitetizza efficacemete la paga media dei dipedeti. (B) Mediaa La mediaa è il valore che occupa il posto di mezzo, quado i dati soo disposti i ordie crescete. I altre parole, i dati che la seguoo soo tati quati quelli che la precedoo. Esempio 5. I voti di Pierio, itelligete ma discotiuo e scasafatiche, soo, i ordie crescete: 4, 5, 5, 6,, 8, 9 Il voto che occupa il posto di mezzo è 6, e i effetti pare equo assumerlo per sitetizzare la situazioe. Si oti che la mediaa, a differeza della media aritmetica (vedi (C) più avati), può essere usata ache quado i dati o hao carattere umerico: è sufficiete che possao essere disposti i ordie crescete. Sostituedo i voti co dei giudizi: gravemete isufficiete, isufficiete, isufficiete, sufficiete, discreto, buoo, ottimo la mediaa è sufficiete. 2

3 Esempio 6. Cosideriamo le segueti sequeze di umeri o giudizi: (a) 5, 8, 8, 9 (b) mediocre, discreto, discreto, ottimo (c) 5, 6, 8, 9 (d) mediocre, discreto, buoo, ottimo. Quado i dati soo i umero pari esistoo o uo, ma due valori cetrali. Se essi coicidoo, è aturale assumerli come mediaa, per cui i (a) la mediaa è 8 e i (b) è discreto. Se ivece o coicidoo, ma soo umeri, si coviee di assumere come 6 +8 mediaa la loro media aritmetica: i (c) la mediaa è =. Se, ifie, i due dati 2 cetrali o coicidoo e o hao carattere umerico, come i (d), o si può parlare di mediaa. Esempio. La seguete tabella mostra la distribuzioe delle età dei capi famiglia degli Stati Uiti ell ao 95: Età del capo famiglia Numero i milioi fio a 25 2, , , , , , ,6 5 o più,66 4,2 (totale) Il totale delle frequeze è, i milioi, 4,2 e la sua metà è 2,86. Poiché la somma delle frequeze delle prime quattro classi è 2,8, di poco iferiore a tale valore, l età mediaa si colloca all iizio della quita classe. Possiamo cocludere che l età media dei capi famiglia è (appea superiore a) 45 ai, el seso che quelli più giovai rispetto a tale età soo tati quati quelli più vecchi. Moda e mediaa hao u vasto campo di applicazioe, ma può succedere che, cambiado alcui dei dati ache i modo vistoso, restio del tutto ivariate. Ciò i qualche caso toglie efficacia a tali medie e sembra adare cotro il seso comue. Cosideriamo i voti di Giulio: Primo quadrimestre:, 5, 5, 5, 6, 6, 6 La mediaa è 5 e vi soo due mode: 5 e 6. Secodo quadrimestre: 4, 5, 5, 5, 6,, 0 La mediaa è 5 e l uica moda è 5. La sostituzioe dell iiziale co il 4 o ha portato alcu beeficio e, paradossalmete, il e il 0 hao sortito l effetto di far sparire, delle due mode, quella favorevole. Esamiiamo allora le medie ferme, cioè quelle medie che tegoo coto di tutti i dati, idipedetemete dal loro ordie. Variado, ache di poco, ache uo solo dei dati, esse variao co cotiuità e seza salti. Le medie ferme si possoo usare solamete per dati umerici. (C) La media aritmetica Dati valori X, X 2,..., X, si dice media aritmetica (o semplicemete media) il valore che si ottiee dividedo la loro somma per il loro umero ; idicado co M a la media aritmetica, i formula si ha: M a = X + X X Esempio 8. La media aritmetica M a dei umeri,, 8, 9, e 6 è:

4 M a = = =9 Esempio 9. I u catiere lo stipedio mesile dei quattro appredisti è 600, dei veti operai è.000, del capocatiere La media aritmetica degli stipedi è i euro: M a = = = 96 La media aritmetica è di gra luga la più ota e usata delle medie. Uo dei motivi è il seguete. Il seso comue attribuisce al cocetto di media le caratteristiche delle medie ferme alle quali si è precedetemete acceato. Tuttavia, metre le altre medie ferme: quadratica, geometrica e armoica che esamieremo fra poco, soo abbastaza complesse per chi è digiuo di matematica, quella aritmetica presuppoe ozioi facili, possedute da tutti. Il suo uso acritico e idiscrimiato va però evitato: o è vero che, se io ho due polli e tu essuo, è come se avessimo u pollo a testa; che per due amiche sia idifferete adare a passeggio co due ragazzi alti 0 cm, o co uo alto 40 cm e l altro alto 200 cm; e così via. È ivece idifferete se su u ascesore, di portata massima 240 Kg, salgoo tre persoe il cui peso è 60 Kg, 0 Kg e 0 Kg rispettivamete, o tre persoe tutte del peso di 80 Kg. I geerale, ogiqualvolta ha seso sommare i dati, l uso della media aritmetica è appropriato. I tal caso essa esprime quale sarebbe l itesità costate del carattere i esame, se fosse ripartita i parti uguali. Ioltre la media aritmetica è il valore più attedibile ei due casi segueti: (a) quado si eseguoo diverse misurazioi di ua stessa gradezza. Quado si misura più volte co uo strumeto ua gradezza fisica, i pratica o si ottiee sempre lo stesso risultato. Ciò è dovuto a vari fattori: al fatto che, operado i tempi successivi, possoo essere mutate codizioi ambietali (temperatura, umidità, pressioe atmosferica,...) che ifluezao la gradezza da misurare e lo strumeto, alle modalità di impiego dello strumeto, alle icertezze ella lettura delle scale graduate, e così via. Proprio per questo, quado si vuole cooscere co precisioe la misura di ua gradezza, si eseguoo diverse misurazioi. Si può dimostrare che, se le differeze tra le misure otteute soo dovute ad errori accidetali, la media aritmetica delle misurazioi è il valore più attedibile della misura della gradezza (che è e resta igota). (b) quado si misura il valore tipico i ua popolazioe omogeea. Ad esempio, quado si producoo co uo stampo dei pezzi metallici, questi dovrebbero avere tutti lo stesso peso. Ma se si pesao i pezzi prodotti, i pesi risulterao diversi, sia per gli errori di misurazioe, ai quali si è acceato el puto precedete, sia per errori di lavorazioe (il materiale metallico o è perfettamete omogeeo, i vari pezzi o hao mai forma idetica, il fuzioameto dello stampo è ifluezato da fattori ambietali che variao el tempo, ecc.). Si può dimostrare che la media aritmetica dei pesi otteuti dà il peso tipico che dovrebbe avere ciascu pezzo (secodo il modello ideale derivato dallo stampo). Spesso, aziché la media aritmetica semplice, si usa la media poderata: assegati agli valori X, X 2,..., X i pesi p, p 2,..., p proporzioali all importaza che vogliamo loro attribuire, la media aritmetica poderata è: X p + X 2 p X p p + p p Esempio 0. Suppoiamo che el corso dell ao il pae sia aumetato del 8%, il prosciutto del 42% e il burro del 0%. Se si vuole stabilire l aumeto percetuale medio del costo della vita appare aturale dare u peso maggiore all aumeto del pae che o a quello del prosciutto o del burro. Ad esempio possiamo attribuire peso 8 all aumeto del pae, peso all aumeto del prosciutto e peso a quello del burro. La media aritmetica poderata dei tre aumeti percetuali risulta: 8% % + 0% = 2% 8++ 4

5 Esempio. Per superare u esame uo studete deve sosteere ua prova pratica, ua prova scritta e ua prova orale e otteere ua media superiore a 60. La prova pratica è meo importate di quella scritta, la quale, a sua volta, è meo importate di quella orale; esse hao pesi, 2 e. Se uo studete merita 8 ella prova pratica, 44 ella scritta e 66 ella prova orale, la sua media poderata è: = =60,6, per cui, seppur di strettissima misura, ha superato l esame. (D) Media quadratica Dati valori X, X 2,..., X, si dice media quadratica la radice quadrata della media aritmetica dei loro quadrati; idicado co M q la media quadratica, i formula si ha: M q = X 2 + X X Esempio 2. Calcolare la media quadratica dei segueti umeri:,,,, 2, 2, 2, 2, 4. M q = = 2. 9 Geometricamete ciò si può iterpretare dicedo che quattro quadrati di lato, quattro quadrati di lato 2 e u quadrato di lato 4 equivalgoo a ove quadrati di lato 2: Esempio. Si voglioo sostituire tre tubi di raggio rispettivamete 2 cm, cm e 4 cm co tre tubi di uguale raggio i modo che la portata complessiva resti ialterata. Quale deve essere il loro raggio? Detta x la misura i cm del raggio icogito, deve essere: πx 2 = π2 2 + π 2 + π4 2 e quidi: x = , e il raggio richiesto è la media quadratica dei raggi dei tre tubi dati. (E) Media geometrica Dati valori X, X 2,..., X, si dice media geometrica la radice -esima del loro prodotto; idicado co M g la media geometrica, i formula si ha: M g = X X 2... X 5

6 Esempio 4. La media geometrica dei tre umeri 0, 20, 60 è: M g = ,9 come si trova facilmete co ua calcolatrice, ed è otevolmete iferiore alla media aritmetica che è 0. Evidetemete l uso della media geometrica è appropriato quado il carattere i esame è moltiplicativo, cioè quado ha sigificato moltiplicare i dati. Esempio 5. U trasformatore rede l 8%, u altro il 64%. Se si applicao i serie il redimeto complessivo è pari al prodotto dei due redimeti. La loro media geometrica: 0,8 0,64 = 0,2 = 2% ci dice quale redimeto uguale dovrebbero avere i due trasformatori per lasciare ialterato il loro redimeto complessivo. Dati valori positivi X, X 2,..., X l iverso della loro media geometrica: X X 2... X è uguale alla media geometrica dei loro iversi:... X X 2 X Questa proprietà rede la media geometrica la più opportua quado si esamia il cambio fra due moete. Esempio 6. Il cambio fra la moeta A e la moeta B è 6/ i ua certa epoca e 25/ u ao dopo. Come cambio medio assumiamo la media geometrica fra i due 6 25 = 20. Ovviamete il cambio fra la moeta B e la moeta A era 6 iizialmete e u ao dopo; 25 il cambio medio risulta 6 25 = e i due cambi medi soo, come deve accadere, l uo 20 l iverso dell altro. È facile cotrollare che ciò o si verifica usado la media aritmetica. (F) Media armoica Dati valori X, X 2,..., X, si dice media armoica l iverso della media aritmetica dei loro iversi; idicado co M A la media armoica, i formula si ha: M A = = X X 2 X X X 2 X Tale media, piuttosto complessa, può apparire astratta e lotaa dalla realtà. Ha ivece importati applicazioi pratiche. Esempio. Percorro 2 Km alla velocità di 0 Km/h e altri 2 Km alla velocità di 0 Km/h. Qual è la velocità media? Risolviamo il problema i geerale. Dette s la lughezza comue dei due tratti e v e v 2 le due velocità, il tempo t impiegato el primo tratto è t = s v. Aalogamete il tempo t 2 impiegato el secodo tratto è t 2 = Il tempo complessivo è t = t + t 2 = s v + s v 2, per cui la velocità media v m risulta: s v 2. 6

7 v m = 2s t = 2s t + t 2 = 2s s + s = v v v v 2 cioè proprio la media armoica delle due velocità. I questo caso la velocità media è, i Km/h: =42 0 Uo dei metodi più efficaci per effettuare buoi ivestimeti a luga scadeza è destiare a itervalli costati la stessa somma all acquisto dello stesso bee. I questo modo se e acquista u elevata quatità quado i prezzi soo bassi e ua quatità modesta quado i prezzi soo alti, otteedo u prezzo medio di acquisto più basso di quato avverrebbe acquistado ogi volta ua quatità costate di quel bee. Esempio 8. U risparmiatore impiega, i ciascuo di due acquisti successivi, 2.00 per comperare moete d oro la cui quotazioe è ua volta di 0 e l altra volta di 0. Qual è il prezzo medio di acquisto? Il risparmiatore acquista la prima volta 2.00 = 0 moete e la secoda volta 2.00 = moete. Complessivamete spede per procurarsi 00 moete, ogua delle quali gli è quidi costata mediamete 42. Tale prezzo, come si verifica facilmete, è proprio la media armoica dei due prezzi d acquisto. Cosideriamo tre valori alquato distati fra loro come, 8, 25 e calcoliamoe le quattro medie ferme: M A = ,6 M g = 8 25 = M a = 44, M q = 2, Si può dimostrare che quato verificato i questo caso particolare vale i geerale: M A M g M a M q e le uguagliaze valgoo solo quado tutti i dati soo uguali fra loro. Idici di dispersioe Le medie riassumoo i u uico valore il feomeo studiato, ma o foriscoo alcua iformazioe sulla sua variabilità. Esempio 9. Si scopre che Marte è abitato da ua specie itelligete simile alla ostra. Misurate le altezze di sette marziai adulti, si trova che moda e mediaa coicidoo e valgoo 0 cm. Esamiiamo qualche possibile sequeza di dati che soddisfa tali codizioi. (a) 6, 69, 0, 0, 0, 2, 2 La variabilità è piccola e pare che l altezza dei marziai sia quasi costate. (b) 6, 6, 0, 0,, 5, 8 La variabilità riscotrata è vicia a quella della statura umaa. (c) 80, 00, 20, 0, 0, 250, 00 La variabilità è otevole: su Marte vi soo ai e gigati. Risulta quidi evidete che, ai fii di ua descrizioe sitetica ma sigificativa, è ecessario defiire dei parametri che idichio la dispersioe dei dati o ache (è l altra faccia di ua stessa medaglia) la loro maggiore o miore cocetrazioe attoro a u valore medio.

8 (A) La più immediata misura della variabilità è il campo di variazioe, cioè la differeza fra il miimo e il massimo dei valori osservati. Nel precedete Esempio 9, il campo di variazioe è 5 cm per la serie di dati (a), cm per (b), 220 cm per (c) e risulta otevolmete sigificativo. I geere però il campo di variazioe, che tiee coto soltato dei due valori estremi e o è ifluezato i alcu modo da quelli itermedi, costituisce ua misura troppo rozza della variabilità. Assegati valori X, X 2,..., X e idicata co M la media giudicata più opportua el caso i esame, appare aturale predere i cosiderazioe gli scarti da essa, ossia i valori X M, X 2 M,..., X M. Essedo M compresa tra il miimo e il massimo dei dati, alcui scarti sarao positivi, altri egativi, e più o meo si compeserao gli ui co gli altri. Vediamo, azi, se esiste ua media tale che la somma degli scarti da essa sia ulla. I tal caso deve essere: (X M) + (X 2 M) (X M) = 0 cioè: (X + X X ) M = 0 da cui: M = X + X X Quidi tale media esiste, ed è la media aritmetica: la somma degli scarti dalla media aritmetica è sempre ulla. La somma degli scarti da qualsiasi altra media sarà diversa da zero, ma i geere piccola e poco sigificativa. È allora aturale cosiderare o gli scarti, ma i loro valori assoluti. Si dice valore assoluto di u umero il umero stesso, se è positivo o ullo; il suo opposto, se il umero cosiderato è egativo. Il valore assoluto di u umero si idica racchiudedolo fra due barre verticali:. I formula: a = a se a 0 a se a <0 Ad esempio, + = +; = +; 9 = +9; 0 = 0 (B) Si defiisce scarto semplice medio da ua media M la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti da M. I formula: scarto medio semplice = X M + X 2 M X M Calcoliamo, per ciascua sequeza di dati dell Esempio 9, lo scarto semplice medio dal valore 0. Per (a) lo scarto semplice medio vale: = ,4. Per (b) lo scarto semplice medio vale: = = 2 4,5 Per (c), ifie, lo scarto semplice medio vale: 8

9 = = 420 =60. Esempio 20. Dati i valori 4, 8, 5, lo scarto semplice medio rispetto alla mediaa è: = 4+0+ =,6. e lo scarto semplice medio rispetto alla media aritmetica è = 5++6 =4. maggiore del precedete. Quato visto i questo esempio accade i geerale. Si dimostra che: fra tutte le medie, la mediaa è quella rispetto alla quale lo scarto semplice medio assume il valore miimo. (C) U altro idice di dispersioe è lo scarto quadratico medio, che si idica co s ed è cosi defiito: (X s = M) 2 +(X 2 M) (X M) 2 Si può ache dire che lo scarto quadratico medio è la media quadratica degli scarti. Calcoliamo, per ciascua sequeza di dati dell Esempio 9, lo scarto quadratico medio dal valore 0. Per (a): s = (6 0)2 + (69 0) 2 + (0 0) 2 + (0 0) 2 + (0 0) 2 + (2 0) 2 + (2 0) 2 = Per (b): s = , , Per (c): s = ,45 Si vede quidi che lo scarto quadratico medio è u idice più sesibile dello scarto semplice medio. Esempio 2. Dati i valori 4, 8, 5, lo scarto quadratico medio rispetto alla mediaa è: (4 8) 2 +(8 8) 2 + (5 8) 2 s = e rispetto alla media aritmetica è: 4,65 (4 9) 2 +(8 9) 2 + (5 9) 2 s = 4,55 Quato visto i questo esempio accade i geerale. Si dimostra che: 9

10 fra tutte le medie, la media aritmetica è quella rispetto alla quale lo scarto quadratico medio assume il valore miimo. Dimostrazioe. Poiché lo scarto quadratico medio è miimo quado è miima la quatità: (X M) 2 + (X 2 M) (X M) 2 basterà limitarsi a cosiderare quest ultima. Idicado co M a la media aritmetica, e posto: d = M a M, per cui M = M a d si ha: (X M) 2 + (X 2 M) (X M) 2 = [(X M a ) + d] 2 + [(X 2 M a ) + d] (X M a ) + d] 2 = [(X M a ) 2 + (X 2 M a ) (X M a ) 2 ] + + 2d[(X M a ) + (X 2 M a ) (X M a )] + d 2 = [(X M a ) 2 + (X 2 M a ) (X M a ) 2 ] + d 2 perché, come dimostrato i precedeza, la quatità: (X M a ) + (X 2 M a ) (X M a ) cioè la somma degli scarti dalla media aritmetica, vale 0. Quidi: la somma dei quadrati degli scarti da ua geerica media M è uguale alla somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica M a, aumetata della quatità (mai egativa) d 2. Lo scarto semplice medio e lo scarto quadratico medio soo idici di dispersioe sigificativi i quato tegoo coto di tutti i dati. Il secodo, oostate sia matematicamete più complicato, è il più usato i statistica per la seguete ragioe. I molte circostaze si verifica che le frequeze di u dato carattere hao ua distribuzioe ormale, ossia si distribuiscoo i modo simmetrico e decrescete rispetto a u valore tipico al quale spetta la massima frequeza. L adameto delle frequeze è allora rappresetato da ua curva a campaa, detta curva di Gauss, che ha molteplici riscotri i feomei reali: Ad esempio, hao ua distribuzioe ormale le stature, i pesi, le misure toraciche delle persoe, i valori otteuti co misurazioi ripetute di ua stessa gradezza (se esse soo soggette solo ad errori accidetali), i valori dei pezzi lavorati dalle macchie (soggetti ad errori di lavorazioe e di misurazioe). Nelle distribuzioi ormali media aritmetica, moda e mediaa coicidoo el valore M el quale la curva raggiuge il suo valore massimo. Lo scarto quadratico medio determia la forma della curva di Gauss. Nella figura soo rappresetate due distribuzioi ormali che hao stesso valore medio M e diversa ampiezza 0

11 dovuta a differeti scarti quadratici medi: i quella a siistra s è maggiore e la curva è meo ripida (le frequeze decrescoo più dolcemete da etrambe le parti di M), i quella a destra s è miore e la curva è più ripida (le frequeze soo più addesate itoro al valore medio e decrescoo più rapidamete quado ci si allotaa da etrambe le parti di M). I geerale, quado u carattere ha distribuzioe ormale, si può dimostrare che: (a) il 68,2% dei dati è compreso fra M s e M + s (b) il 95,45% dei dati è compreso fra M 2s e M + 2s (c) il 99,% dei dati è compreso fra M s e M + s Ad esempio, se tra 000 persoe si osserva u peso medio di Kg co uo scarto quadratico medio di 5 Kg, si può affermare che circa 68 persoe hao u peso compreso fra 68 e 8 Kg, e circa 954 persoe hao u peso compreso tra 6 Kg e 8 Kg. Così, se le lampadie prodotte da ua ditta hao ua durata media di 900 ore co uo scarto quadratico medio di 0 ore, si può affermare che il 68,2% delle lampadie avrà ua durata compresa fra 80 ore e 90 ore, e la quasi totalità delle lampadie (il 99,%) avrà ua durata compresa fra 80 e 990 ore. Nel Capitolo quito vedremo come le varie curve gaussiae possoo essere trasformate i ua particolare di esse, detta distribuzioe ormale stadard, la quale ha valore medio M uguale a 0 e scarto quadratico medio s =, che cosete di risolvere umerosi problemi di calcolo della probabilità. Nel Capitolo sesto, ifie, vedremo alcue sigificative applicazioi della distribuzioe ormale ella risoluzioe di problemi di statistica iduttiva.