INTRODUZIONE: IL CONTESTO DEI SISTEMI

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1 INTRODUZIONE: IL CONTESTO DEI SISTEMI Il mondo reale è per sa natra complesso e le organizzazioni mane lo sono in modo particolare. Per potere comprendere e gestire la realtà è indispensabile svilppare metodologie di modellazione della realtà, atte a creare modelli semplificati della stessa, evidenziandone le caratteristiche di interesse in relazione allo scopo della analisi e al contesto. Il rolo dei sistemi nella realtà di ogni giorno. L osservazione qotidiana degli oggetti ci permette di distingere intitivamente qelli che formano n sistema da qelli che non lo formano. La Teoria generale dei Sistemi è la disciplina il ci obiettivo è fornire n metodo rigoroso di analisi e sintesi di na sitazione reale allo scopo di stdiarne il comportamento. Ttti conosciamo la differenza tra n mcchio di grano e n aeroplano. Se aggingiamo o togliamo n chicco di grano al mcchio in pratica non cambia nlla, ma se aggingiamo o togliamo n elemento agli oggetti che compongono l aeroplano, come ad esempio aggingere n ancora pesantissima o togliere l elica, le cose cambiano radicalmente. Qesto accade perché non è possibile affermare che n aeroplano è gale alla somma degli elementi di ci è costitito mentre lo è per il mcchio di grano. L aeroplano, infatti, è formato da oggetti che interagiscono tra di loro con lo scopo di farlo fnzionare come se fosse n nica entità. E qindi possibile affermare che n mcchio di grano non è n sistema, mentre n aeroplano lo è. Una definizione semplice di n sistema è qindi: Un sistema è n insieme di elementi che interagiscono tra di loro per fnzionare come n elemento nico. Una definizione maggiormente rigorosa, ma sostanzialmente eqivalente, è: Un sistema è n insieme di elementi distinti, in relazione fra di loro secondo leggi ben precise, che concorrono al raggingimento di n obiettivo comne, oppre di na evolzione comne. I sistemi possono essere classificati in base alla loro origine, per esempio definendo l esistenza di: Sistemi natrali Sistemi artificiali Sistemi misti. I sistemi possono essere sddivisi in componenti, ciascno dei qali ha na sa strttra e pò essere n sistema esso stesso. La realtà pò qindi essere vista come n macro-sistema, sddivisibile in tanti sottosistemi, aventi strttra più o meno complessa. Secondo la teoria generale dei sistemi, n sistema pò essere definito tale qando sono noti: Gli obiettivi da raggingere; Le parti (o elementi) che lo compongono; Le interazioni col mondo esterno, espresse in termini di ingressi e scite; Le relazioni che descrivono i rapporti tra i vari componenti. L'approccio sistemico si distinge dal più tradizionale approccio analitico, in qanto privilegia l'interazione e la connessione delle differenti componenti di n sistema. Un modello estremamente tile è il cosiddetto modello a scatola nera (black-box), rappresentato in ci n osservatore esterno non conosce la strttra interna di n sistema, ma ne rappresenta il comportamento, osservando ciò che entra nel sistema (inpt) e ciò che ne esce (otpt). Esempi di sistemi Consideriamo n aeroplano vedendolo come n sistema: è facile identificare in esso ttti gli elementi che caratterizzano n sistema, infatti: L obiettivo è permettere all omo lo spostamento s lnghe distanze in tempi ragionevolmente brevi; Le parti sono costitite dai vari componenti meccanici, elettrici ed elettronici (il motore, il telaio, il carrello, la plancia dei comandi ecc.); Le interazioni sono: in ingresso il carbrante e le persone da trasportare, in scita l energia (termica e meccanica) e le persone trasportate;

2 Le relazioni sono le attività svolte dai vari componenti che permettono all aeroplano di alzarsi in volo, volare, virare, e atterrare. Anche il corpo mano pò essere considerato come n sistema, infatti gli elementi che lo caratterizzano sono ttti identificati: L obiettivo è la sopravvivenza dell omo; Le parti sono costitite dai vari apparati: circolatorio, respiratorio, nervoso, mscolare ecc.; Le interazioni sono, per esempio, il cibo ingerito, l aria respirata come ingresso, il movimento in genere, la sdorazione come scita dal corpo mano; Le relazioni consistono nella sincronizzazione delle fnzioni svolte dai vari apparati che consentono la sopravvivenza dell essere. Come ltimo sistema consideriamo il compter; anche per esso è facile identificare ttti gli elementi che caratterizzano n sistema, infatti: L obiettivo è l elaborazione dei dati Le parti sono costitite dai vari componenti meccanici, elettrici ed elettronici ( il microprocessore, la scheda madre, le memorie ecc.); Le interazioni sono come ingresso i dati e i programmi inseriti dall tente, in scita i dati elaborati; Le relazioni sono le fnzioni svolte dai vari componenti che permettono al compter di visalizzare immagini, stampare docmenti ecc. L interno di n sistema: i sottosistemi Se le parti che costitiscono n sistema sono a loro volta altri sistemi, si parla allora di sottosistemi. Ogni sottosistema, pr essendo considerato a ttti gli effetti n sistema, concorre al raggingimento dell obiettivo del sistema principale di ci fa parte. Ad esempio per il sistema corpo mano è possibile individare il sottosistema core, il sottosistema fegato, il sottosistema cervello e altri ancora. Essendo n sottosistema ancora n sistema, per il sottosistema core ad esempio è possibile identificare ttti gli elementi che caratterizzano n sistema, infatti: L obiettivo è il richiamo del sange venoso e l invio di qello arterioso ossigenato; Le parti sono costitite dai ventricoli destro e sinistro e dalle valvole; Le interazioni sono come ingresso il sange venoso proveniente da ttte le parti periferiche del corpo e come scita il sange arterioso ossigenato verso ttte le parti periferiche; Le relazioni consistono nella sincronizzazione dei sottosistemi (ad esempio l apertra e chisra delle valvole) che permettono al sistema n costante richiamo e pompaggio del sange. Ingressi, scite e stato interno Oltre agli ingressi e alle scite, descritte attraverso opportne variabili, esiste n altra grandezza che caratterizza n sistema: lo stato interno. Lo stato interno rappresenta le proprietà intrinseche, o caratteristiche, di n sistema ovvero le informazioni necessarie e sfficienti atte a descriverne le condizioni in ci si trova il sistema in n determinato istante. Nell esempio del core, lo stato interno pò essere composto dalle se caratteristiche fisiche qali il volme, la pressione sangigna ecc; per il sistema aeroplano, lo stato interno pò essere composto dall insieme dei valori che rappresentano i litri di carbrante nei serbatoi, il nmero di giri del motore, il livello dell olio ecc. Leggere i valori dello stato di n sistema in n determinato istante eqivale a farne na fotografia ovvero a vedere la sitazione in qel momento. I valori degli ingressi, delle scite e qelli assnti dallo stato interno di n sistema, vengono memorizzati in apposite variabili che prendono il nome di variabili di ingresso, di scita e di stato.

3 ANALIZZARE IL COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA La rappresentazione di n sistema è realizzata efficacemente tramite n diagramma a blocchi o rappresentazione a scatola nera in qanto non rende visibile come è fatto il sistema al so interno. Viene tilizzato il simbolismo grafico composto dai segenti elementi: Un rettangolo col nome del sistema; Gli ingressi, rappresentati da frecce che entrano nel rettangolo; Le scite, rappresentate da frecce che escono dal rettangolo; Lo stato, rappresentato all interno del rettangolo. x x x y y Definizione di Fnzione di Trasferimento e di Blocco Blocco fnzionale Un blocco rappresenta sinteticamente n sistema visto come na scatola chisa con n ingresso ed na scita. All interno del blocco si rappresenta sinteticamente il legame matematico esistente fra ingresso ed scita. Qesta rappresentazione si pò tilizzare per qalnqe tipo di sistema, sia esso combinatorio o dinamico. Il K che abbiamo scritto all interno del blocco rappresenta allora genericamente il legame esistente fra ingresso ed scita, per esplicitarlo in vari casi dovremmo parlare di metodi matematici qali le derivate, gli integrali o la trasformata di Laplace che non sono bagaglio di stdenti del terzo anno. Ci limiteremo allora a considerare soltanto sistemi combinatori. Per qesti sistemi l scita sarà proporzionale all ingresso per ci il K scritto all interno del blocco rappresenterà proprio la costante di proporzionalità. Dato n sistema i K = Ki Consideriamo ad esempio R3 Vi R4 Vo

4 In qesto sistema, il legame fra tensione di ingresso e tensione di scita sarà dato dalla formla del partitore di tensione per ci V R 4 O V i R3 R4 Se, ad esempio, R 4 = 1000 ohm e R 3 = 1000 ohm si avrà 1 V O V i 2 Allora qesto sistema potrà essere rappresentato nell algebra degli schemi a blocchi nel modo segente i 1/2 Per descrivere il comportamento di n sistema occorre individare le leggi che legano gli ingressi con le scite. Tali leggi sono molto spesso complesse formle matematiche. A volte però le relazioni tra le variabili o tra le varie parti di n sistema non sono sempre rilevabili e immediatamente esprimibili tramite fnzioni matematiche come ad esempio relazioni espresse tramite tabelle di corrispondenza, grafici o altre forme che rendono difficile determinare la relazione matematica esistente. Un blocco è essenzialmente la rappresentazione grafica di n sistema, rappresentato in figra 2.3, dove la fnzione F del sistema, detta fnzione di trasferimento, esprime il legame fra l ingresso U del sistema e l scita Y: Y = F(U). U F(U) Y Nella maggior parte dei casi però si sano sistemi lineari e qindi blocchi lineari, in ci la rappresentazione diventa qella di figra 2.4, dove la fnzione di trasferimento prende la forma: U = AI ossia l scita vale l ingresso moltiplicato per il coefficiente A U A Y Esempi di Caratteristiche e comportamento di n sistema Consideriamo come esempio di sistema na caffettiera. Esso è composto dai segenti elementi: Serbatoio per l acqa

5 Filtro Garnizione di tenta vapore Recipiente speriore per il caffé Impgnatra Ingressi: 1, 2, 3 1 = acqa 2 = caffé 3 = energia termica Uscite: y1, y2 y1 = caffé y2 = vapore Stati: x1, x2, x3, x4, x5, x6 x1 = vota x2 = pronta per l so x3 = in riscaldamento x4 = in ebollizione x5 = caffé da versare x6 = da risciacqare La fnzione di transizione, che non stiamo a scrivere, deve indicare come la caffettiera passa attraverso i diversi stati: da vota allo stato pronta, dallo stato pronta allo stato in riscaldamento e così via. La fnzione di trasformazione, che non stiamo a scrivere, deve indicare come la caffettiera prodce in scita il caffé e il vapore. Osservazione: in qesto esempio non abbiamo considerato particolari ingressi chiamati distrbi che potrebbero inflenzare il normale fnzionamento della caffettiera. Sono da considerare distrbi la temperatra dell ambiente in ci si prepara il caffé, l eventale presenza di vento che potrebbe modificare la resa della fiamma e così via. In generale i distrbi vengono indicati nel diagramma a blocchi con na freccia che entra nel blocco dall alto. D U A Y Un altro esempio è n sistema di irrigazione per giardini che fornisce l acqa tramite irrigatori a scomparsa nella qantità desiderata dall tente ad intervalli desiderati. Gli elementi che compongono il sistema sono: Ingresso dell acqa Una pompa per amentare la pressione dell acqa Centralina elettronica di comando Valvola di apertra e chisra flsso acqa Tbazioni di collegamento degli irrigatori Irrigatori Descrizione del sistema: L acqa, dalla tbazione principale entra nella pompa e sccessivamente nella centralina elettronica a sa volta collegata per mezzo di na valvola agli irrigatori tramite tbazioni secondarie. In base

6 alle impostazioni fatte slla centralina da parte dell tente è possibile aprire la valvola ad intervalli desiderati e per tempi desiderati a seconda del grado di midità che si intende avere nel terreno. Ingressi: 1, 2 1 = acqa 2 = impostazioni centralina Uscite: y y = midità del terreno Stati: x1, x2, x3 x1 = spento x2 = in azione x3 = in pasa Uso degli schemi a blocchi per l analisi di n sistema Gli schemi a blocchi fnzionali sono na rappresentazione grafica del modello matematico di n sistema fisico. Un sistema, qindi pò essere rappresentato con na serie di blocchi fnzionali la ci strttra pò essere più o meno complessa. Con opportni operazioni basate sll'algebra degli schemi a blocchi si pò ridrre lo schema del sistema ad n nico blocco eqivalente che rappresenta la fnzione di trasferimento del sistema. I simboli e le configrazioni tilizzati negli schemi a blocchi sono i segenti, con accanto la relativa fnzione matematica associata. Nodo sommatore il nodo sommatore; i segni con ci i vari rami contribiscono all scita sono indicati graficamente accanto ai rami stessi. Nodo derivatore il nodo derivatore; si noti che, a differenza delle correnti, qi ttti i valori in scita sono gali fra loro.

7 Blocchi in serie i i1 K1 K2 De blocchi sono in serie qando l scita del primo sistema è l ingresso del secondo. Poiché è l scita del secondo blocco si ha = K 2 i 1 ma i 1 è l scita del primo blocco per ci i 1 = K 1 i Effettando al sostitzione nella prima eqazione si ha = K 2 i 1 = K 2 K 1 i Abbiamo dimostrato che de blocchi in serie possono essere sostititi da n nico blocco il ci legame fra ingresso ed scita si ottiene dal prodotto dei legami dei de blocchi originari i K1K2 de blocchi in cascata sono eqivalenti a n blocco con fnzione di trasferimento data dal prodotto delle singole fnzioni. Blocchi in parallelo i K1 i1 +/- K2 i2 +/- Abbiamo blocchi in parallelo qando essi hanno lo stesso ingresso e le loro scite si sommano attraverso n nodo sommatore. Spposto, per esempio, che la sitazione sia la segente

8 i K1 i1 + K2 i2 - si ha = i 1 i 2 ma i 1 = K 1 i i 2 = K 2 i per ci = K 1 i - K 2 i = (K 1 - K 2) i Ne deriva che i de blocchi in parallelo possono essere sostititi da n nico blocco la ci fnzione di trasferimento si ottiene come somma delle fnzioni di trasferimento dei de blocchi i K1+K2 de blocchi in parallelo sono eqivalenti a n blocco con fnzione di trasferimento data dalla somma delle singole fnzioni. CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI Dato che i sistemi possono essere osservati sotto diversi pnti di vista, non è possibile definire n nico tipo di classificazione da tilizzarsi in ttti i contesti possibili, comnqe proviamo a vedere na possibile classificazione: Un sistema si dice tempo-invariante o stazionario, se risponde sempre allo stesso modo qando viene sollecitato dagli stessi ingressi in istanti diversi. Si dice invece variante se risponde diversamente in istanti diversi qando è sollecitato con gli stessi ingressi. Un esempio di sistema variante è n missile che viaggia dalla terra alla lna consmando combstibile solido. Il so moto cambia per effetto della diminzione della massa nel tempo dovta al consmo di carbrante. Un sistema distribtore di lattine è invariante; infatti esso risponde allo stesso modo in istanti diversi. Ttte le variabili che descrivono n sistema, le fnzioni di trasformazione e transizione, possono essere di natra discreta o contina. Una variabile si dice contina qando, scelto n intervallo possibile di valori che appartengono al so dominio di esistenza D, la variabile pò assmere ttti gli infiniti valori compresi tra gli estremi di tale intervallo; diremo invece che la variabile è discreta qando pò assmere solo n nmero finito di valori. Un esempio di variabile contina pò essere il peso; infatti na persona non pesa 64 o 65 Kg, ma il so peso pò assmere no degli infiniti valori compresi tra 64 e 65. La variabile plsante è invece sicramente discreta, infatti essa potrà assmere soltanto de valori: acceso o spento. In qesto caso il dominio di Resistenza vale D = [0,1] spento acceso,.

9 Un insieme di variabili si dice discreto qando ciascn elemento dell insieme è discreto, si dice contino qando anche solo n elemento è contino. I sistemi contini e discreti si differenziano lteriormente come sege: Sistema discreto qando è discreto l insieme dei tempi, cioè il sistema pò essere analizzato in precisi istanti di tempo come ad esempio na seqenza cinematografica che è costitita da tanti fotogrammi acqisiti in intervalli di tempo regolari e l insieme dei tempi è qindi composto solo da istanti. Il riempimento di na vasca è invece considerato contino nell avanzamento poiché le variabili si evolvono con continità non avendo senso analizzarle soltanto ad istanti prestabiliti. Il sistema calcolatore è invece discreto nell avanzamento, poiché ttte le operazioni vengono effettate ad intervalli prestabiliti dal clock. Il sistema costitito da na barra di metallo sottoposta a calore è contino nelle interazioni, poiché la qantità di calore con ci si sollecita la barra varia in modo contino e non pò passare da n valore discreto ad n altro. Un sistema si dice dinamico qando la sa configrazione (ossia l insieme di variabili che descrivono lo stato del sistema) varia nel tempo; si dice statico in caso contrario. Un sistema si dice deterministico qando le fnzioni di transizione e di trasformazione sono definite in modo da permettere la determinazione del valore dello stato e delle scite in modo nivoco. Si dice stocastico qando na delle de fnzioni è regolata a legami di natra probabilistica. Per esempio, il sistema di irrigazione visto nelle lezioni precedenti, è sicramente deterministico: ogni volta che la centralina da il consenso, gli irrigatori sprzzano acqa. La lminosità di na stanza (misrata in Lmen) effettata alle ore 10 del mattino ogni giorno, sarà sicramente stocastica, poiché dipende dalle stagioni e dalle condizioni atmosferiche che sono di tipo probabilistico. Un sistema si dice combinatorio se le scite in n certo istante, dipendono esclsivamente dai valori presenti agli ingressi nel medesimo istante. Si dice seqenziale qando le scite dipendono non solo dai valori degli ingressi in qel istante, ma anche dai valori assnti in precedenza dagli ingressi. Si pò dire che n sistema in ci non è necessario introdrre la variabile di stato (senza memoria, e qindi senza fnzione di transizione) è di tipo combinatorio. Come esempio di sistema combinatorio possiamo pensare ad na calcolatrice semplice; se come ingressi digitiamo de nmeri e na operazione, il dispositivo calcolerà la somma, la differenza o n altra operazione. L scita (il risltato) dipende nicamente dal valore degli ingressi e dalla fnzione scelta. E invece da considerarsi seqenziale il sistema distribtore atomatico di bibite in ci le scite, a segito dell inserimento di na moneta, dipendono anche dalle monete inserite precedentemente. Una parte consistente della teoria dei sistemi si occpa dello stdio dei sistemi lineari, che rappresentano n insieme vasto e significativo. Un sistema si dice lineare se l'scita è legata agli ingressi (comandi o distrbi) da na combinazione lineare. Qesto comporta che l'scita pò essere scomposta in tanti termini qanti sono gli ingressi, dove ogni termine è legato in modo proporzionale all'ingresso corrispondente. Il termine lineare è legato al fatto che la fnzione matematica, che la descrive, nel caso più semplice è del tipo y = k * x, rappresentata graficamente da na retta. In pratica si definiscono sistemi lineari i sistemi per i qali vale il principio di sovrapposizione degli effetti che si pò ennciare nel segente modo: In n sistema lineare l'effetto dovto a più case diverse è pari alla somma degli effetti delle singole case, considerando nlle ttte le altre. I sistemi non lineari sono qelli per i qali non vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

10 Ordine di n sistema Considerando il sistema costitito da resistenze R1 V i (t) V U (t) R2 l scita dipende soltanto dall ingresso a qell istante, in particolare R2 v ( t) vi ( t) R1 R2 Qesto legame è espresso attraverso grandezze che rappresentano caratteristiche intrinseche del sistema, nel nostro caso i valori delle resistenze, che possiamo ritenere costanti. E tile osservare che la invariabilità di tali grandezze non è assolta, ma è n approssimazione. Ad esempio, abbiamo visto che i valori delle resistenze dipendono dalla temperatra, ma possono anche cambiare per altri fenomeni come l invecchiamento. Però, se l intervallo di tempo in ci osserviamo il sistema è limitato o accettiamo n piccolo errore di misrazione, possiamo ritenerli costanti. I sistemi in ci l scita in n certo istante dipende soltanto dall ingresso in qell istante, si dicono sistemi combinatori o senza memoria (sistemi di ordine 0). Vi sono sistemi per i qali, invece, l scita non dipende soltanto dall ingresso ma anche dalla storia precedente del sistema. Essi conservano memoria del passato. Un altro esempio pò essere n distribtore atomatico di bibite. I sistemi contini senza memoria si dicono ALGEBRICI o DI ORDINE ZERO, in qanto sono descrivibili da semplici relazioni algebriche, mentre qelli con memoria richiedono per la loro descrizione l tilizzo di eqazioni differenziali di vario ordine e si parlerà allora di PRIMO ORDINE, SECONDO ORDINE ecc.