Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali

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1 Adattamento d una relazone 1 funzonale a dat spermental Sno ad ora abbamo vsto come può essere stmato, con un certo lvello d confdenza, l valore vero d una grandezza fsca (dretta o dervata) con l suo ntervallo d ncertezza. Tuttava, è molto mportante nella Scenza determnare la forma della relazone funzonale (equazone fsca) che lega sere d dat spermental d grandezze fsche. el caso d due sole grandezze (x, y), ndcheremo tale relazone come y = f (x, A, B, C, ) dove parametr A, B, C, possono anche essere grandezze fsche. Possamo ctare due esemp: nella espansone d un gas rarefatto a pressone costante, l volume V è legato alla temperatura t dall equazone d Gay-Lussac, V = f (t, ), dove è l coeffcente d espansone termca; nel pendolo semplce l perodo T è legato alla lunghezza l tramte una relazone T = f (l, g) ove g è l accelerazone d gravtà. A volte, come negl esemp ctat, la relazone può essere gà nota, altre volte, se s dspone d dat d un espermento nuovo come accade spesso nella rcerca, deve essere trovata. In ogn caso la forma della relazone, con la stma de valor de parametr che v ntervengono, deve descrvere al meglo dat spermental. La stma de parametr rappresenta una terza va per la determnazone delle grandezze fsche; nella Parte III d questo corso vedremo dvers esemp d questo genere. Il procedmento per adattare una curva o una relazone matematca a dat spermental è chamato regressone o anche, volendo usare l termne nglese, fttng ; s chama nvece ft la curva o la relazone matematca dedotta dalla procedura d regressone. In questo captolo descrvamo due metod mpegat per la formulazone o la verfca d una relazone funzonale: l metodo grafco e l metodo analtco. 1.1 Metodo grafco Il metodo grafco può essere adottato se non s vuole rcorrere all uso d un calcolatore e l acquszone de dat spermental vene eseguta manualmente; cò avvene n molt esperment elementar del I anno d un corso d laurea d Scenze. Il metodo n ogn caso è raccomandable allo studente che s accnge per la prma volta a verfcare o formulare legg fsche, poché lo mette a dretto contatto con la procedura della msura e lo abtua a prendere dmestchezza nella costruzone d grafc. Generalmente l grafco da traccare è una retta; nel caso che la relazone tra le grandezze x, y fosse una qualsas funzone, questa può essere lnearzzata con una opportuna scelta d scale funzonal sugl ass cartesan. aturalmente per una forma lneare, y = A + Bx, parametr da stmare sono solo due: l coeffcente angolare e l termne noto. el caso della retta, anche la valutazone delle ncertezze de parametr può essere fatta grafcamente senza che sa rchesta una conoscenza approfondta della teora statstca degl error. Per llustrare l metodo faccamo n parte rfermento all ESPERIMETAZIOE n. 5 Forza elastca. Determnazone della costante elastca della molla descrtta nel paragrafo 13.7.

2 154 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI Esempo 1.1 Una molla vene sollectata medante forze-peso note che fanno varare la sua lunghezza dal valore nzale l 0 al valore l. L allungamento della molla, l l 0, a partà d peso applcato, dpende da una sua caratterstca detta costante elastca k. Per deformazon nel domno elastco, l allungamento è legato alla forza peso tramte la legge lneare d Hooke: k(l l 0 )=Mg. dove M è una massa nota e g l accelerazone d gravtà. Dalla sere d dat spermental (l, M ) legat dalla equazone d Hooke, nota l accelerazone d gravtà, possamo determnare la costante elastca della molla. ell espermento le masse mpegate M sono conoscute con grande accuratezza, M = g; le lunghezze l della molla, nvece, sono msurate, rozzamente, tramte un rghello assumendo come ncertezza l doppo dell errore d sensbltà dello strumento l = 0. cm. Tabella 1.1 Lunghezze della molla sollectata medante masse note M l (g) (cm) ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± 0. Traccamo un grafco (Fg. 1.1) su un foglo d carta mllmetrata formato A4 rportando n ascsse la grandezza avente l errore pù pccolo, la massa M, ed n ordnate la lunghezza l. Va detto che qualsas nseme d dat spermental può sempre essere rappresentato su un foglo formato A4 con un opportuna scelta delle scale e delle orgn d cascun asse; l caso che stamo trattando ne è un esempo. Osservamo che nella Fg. 1.1 punt spermental, rappresentat da segment d semampezza l (le masse hanno un errore trascurable), s dspongono ottmamente lungo una retta confermando la legge d Hooke. Con la scelta fatta per gl ass, la legge d Hooke può essere scrtta nella forma y = A + B x, coè dove l = l 0 g + M k y = l, A = l 0, B = g/k, x = M. Il coeffcente angolare B = g/k può essere determnato grafcamente dalla pendenza della retta, qund, nota g da altro espermento, s calcola la costante k della molla. Invero s può osservare che molte dverse rette possono essere traccate attraverso punt spermental, però esstono una sola retta d massma pendenza e una sola d mnma pendenza. Rcordamo che la pendenza B d una retta può essere rcavata sceglendo su d essa due

3 ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 155 Costante elastca della molla Metodo statco k s l (cm) M (g) Fg. 1.1 Lunghezza della molla sollectata con masse dverse.

4 156 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI punt a pacere P 1 (x 1, y 1 ) e P (x, y ) da cu B = ( y y 1 )/(x x 1 ). Allora, ottenute dal grafco le pendenze massma e mnma, dalla loro semsomma e semdfferenza deducamo rspettvamente la stma (valore medo) del coeffcente angolare e la sua ncertezza. L errore ottenuto con questo metodo è un errore massmo. Sulle rette d massma e mnma pendenza abbamo scelto a pacere (ma opportunamente per semplfcare l calcolo) le seguent coppe d punt che danno luogo a rspettv valor del coeffcente angolare P 1 (0, 35.6) P (60, 56.4) B max =(y y 1 )/(x x 1 ) = cm/g P 1 (0, 36.0) P (60, 56.0) B mn =(y y 1 )/(x x 1 ) = cm/g, dalla semsomma e semdfferenza tra B max e B mn, ottenamo B con l suo errore massmo B = g/k = (0.340 ± 0.007) cm g 1. Calcolamo ora la costante k dal coeffcente angolare, e valutamo l suo errore medante la propagazone dell errore attraverso la k = g/b. Assumamo per l accelerazone d gravtà l valore, con l suo errore standard g, ottenuto nell ESPERIMETAZIOE n. 3, Parte III: g = (979 ± 7) cm s. Qund g 1 g k =, k = 3 g + B = = = 11 dne cm 1. B B B k = (879 ± 11) = (.9 ± 0.1) 10 3 dne/cm. S not che nel calcolo d k, che è un errore massmo, abbamo usato per l errore dell accelerazone d gravtà 3 g. In conclusone, abbamo stablto che esste una relazone lneare tra le lunghezze della molla e pes con qual vene sollectata; dal coeffcente angolare della retta abbamo determnato, con la sua ncertezza, la costante elastca della molla k. La legge d Hooke per la molla può essere così espressa l = (35.8 ± 0.) + (0.340 ± 0.007) M, dove l è espressa n cm e M n g. Voglamo far notare la dfferenza d procedura usata ora per la determnazone d una grandezza (la costante k) e quella llustrata ne precedent captol per ottenere una msura ndretta. Precedentemente la msura della grandezza dervata era ottenuta a partre da una relazone contenente coeffcent not e grandezze d cascuna delle qual s stmava, con msure rpetute, l valore vero. Ora nvece nella relazone funzonale ntervengono msure d grandezze dverse anche se omogenee (le dverse masse M, le dverse lunghezze l ), però tutte le grandezze concorrono alla determnazone de parametr ncognt. S osserv ancora che nel procedmemto rportato non è necessaro msurare la lunghezza nzale della molla, questa può essere determnata tramte l termne noto A = l 0, ntersezone della retta con l asse delle ordnate. 1. Metodo de mnm quadrat La stma de parametr d una relazone funzonale, nota o potzzata, s può anche ottenere per va analtca con l metodo de mnm quadrat che consegue naturalmente dal Prncpo della Massma Verosmglanza nel caso d dstrbuzone normale. Trattamo l caso n cu le varabl sano solo due x, y legate da una relazone funzonale ove ntervengano parametr A, B, C, da stmare y = f (x, A, B, C, ). (1.1)

5 ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 157 Se valor delle grandezze non avessero errore, sarebbe suffcente dsporre d tante coppe d valor (x, y ) n modo da avere un sstema con un numero d equazon par al numero de parametr da determnare A, B, C. ella realtà fsca però, a causa degl error, ad un valore d x corrspondono dvers valor y, y, y e vceversa; e dunque le equazon d un tale sstema sarebbero ncompatbl. Dobbamo allora segure altra va per la stma de parametr ncognt, cò può essere fatto per mezzo del metodo de mnm quadrat. Per mpostare l metodo faccamo alcune assunzon: tutte le msure sano fra loro statstcamente ndpendent; una varable, n genere quella ndcata come x, abba error trascurabl (questa crcostanza s presenta molto spesso); valor delle msure d ogn grandezza y sano dstrbut normalmente attorno al valore vero. Osservamo che se conoscessmo esattamente parametr A, B, C,, e le x non avessero errore, l valore vero della grandezza y j, corrspondente ad un dato valore x j, sarebbe rappresentato dalla y = f (x j, A, B, C, ); ntorno ad esso sarebbero dstrbute normalmente le msure della grandezza y j se fosserro rpetute. Qund la funzone d verosmglanza (ntrodotta nel Cap. 9), che è proporzonale alla probabltà d osservare la n-pla y 1, y, y, assume la seguente forma 1 1 L(x 1, x,, x ; y 1, y,, y ; A, B, C, ) = e y, (1.) = 1 ove le sono le devazon standard d cascuna grandezza y. Il Prncpo della Massma Verosmglanza postula che a valor osservat delle varabl x, y debba essere attrbuta la massma probabltà. Le mglor stme de parametr A, B, C, sono dunque que valor che rendono massma la funzone L(x 1, x,, x ; y 1, y, y ; A, B, C, ) o anche l suo logartmo naturale ln L = ln [ y f (x, A, B, C, )] ln. (1.3) = 1 = 1 [ y f (x, A, B, C, )] y Le condzon d massmo da mporre sono tante quant parametr da stmare ln L [ y f (x, A, B, C, )] = =0 A A = 1 y (1.4) ln L [ y f (x, A, B, C, )] = =0, B B = 1 y. Osservamo che, poché nella (1.3) prm due termn del secondo membro sono quanttà costant note, la condzone d massmo per la funzone L equvale a rendere mnma un espressone contenente la somma d scart al quadrato [ y f (x, A, B, C, )] mn { }. (1.5) = 1 y

6 158 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI Per tale motvo la procedura descrtta è anche chamata metodo de mnm quadrat. La quanttà da rendere mnma (senza l al denomnatore) rappresenta la varable ch quadrato gà ntrodotta nel Cap. 10. [ y f (x, A, B, C, )] =. (1.6) = 1 Infne voglamo aggungere che, se valor delle msure delle grandezze y non avessero una dstrbuzone normale (cascuna attorno al suo valore vero), sarebbe ragonevole assumere ancora come estensone del caso normale la stessa condzone d mnmo espressa dalla (1.5). y 1.3 Retta de mnm quadrat Consderamo ora l caso che la relazone funzonale tra le grandezze x, y sa la retta y = A + B x. Ancora assumamo che la varable x abba error trascurabl e faccamo l ulterore assunzone che tutte le dstrbuzon delle grandezze y sano normal e abbano la stessa devazone standard =. Quest ultma condzone non è molto restrttva e s presenta nella gran parte delle stuazon spermental, l caso d devazon standard dverse è trattato nel paragrafo 1.7. Ora la condzone d mnmo (1.5) s rduce semplcemente a mn { [ y ( A + Bx )] }, (1.7) e l espressone da mnmzzare assume un charo sgnfcato geometrco: la retta, cu parametr sono da determnare, è quella che rende mnma la somma de quadrat delle dstanze, lungo la vertcale, tra punt spermental e la retta stessa (Fg. 1.). Questa retta è chamata retta de mnm quadrat o anche retta d regressone della varable y sulla varable x. Dalle condzon d mnmo per la (1.7), mposte rspetto ad A e B, rcavamo [ y (A + Bx )] = ( y A B x ) =0 A = 1 = 1 = 1 [ y (A + Bx )] = ( x y A x B x ) B = 1 = 1 = 1 = 1 Da queste ottenamo l sstema d equazon normal nelle due ncognte A, B =0. A + B x = y (1.8) A x + B x = x y. (1.9) Il sstema ammette sempre un unca soluzone che corrsponde al mnmo per la (1.7) come s potrebbe verfcare eseguendo le dervate seconde. La soluzone del sstema, che rcavamo medante la regola d Cramer, è y x x y x x y x x y A = = (1.10)

7 ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 159 Fg. 1. Adattamento della retta de mnm quadrat a dat spermental. y x x y x y x y B = = (1.11) ove abbamo posto = x ( x ) = 1 = 1. (1.1) Osservazon ) elle espresson de parametr A e B non compare l ncertezza delle grandezze y. Cò sgnfca che la retta de mnm quadrat può essere determnata ndpendentemente da tale errore; naturalmente msure poco accurate (che potrebbero anche essere esegute una sola volta) s manfesterebbero con una grande dspersone de punt (x, y ) ntorno alla retta de mnm quadrat. ) Se dvdamo per la prma equazone normale ottenamo 1 1 A + B x = y, cò ndca che la retta de mnm quadrat passa per l punto le cu coordnate sono barcentr delle msure d x, e y. x =1/ x y =1/ y.

8 160 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI S bad che queste espresson non sono mede camponare. Infatt le x e le y sono grandezze tutte dverse: ad esempo, nella determnazone della costante elastca della molla, s msurano tante dverse lunghezze n corrspondenza de dvers pes applcat. La meda camponara nvece s ntende eseguta su msure rpetute della stessa grandezza x j x j x j. ) Infne voglamo suggerre una regola mnemonca per ottenere rapdamente le equazon normal della retta: l equazone (1.8) s ottene moltplcando ambo membr d y = A + B x per x 0 e qund sommando su tutt gl termn x 0 y = x 0 A + B x 0 x, l equazone (1.9) s ottene moltplcando per x 1 ambo membr d y = A + Bx e qund sommando su tutt gl termn x 1 y = A x 1 + B x. Questa regola è generale e permette d ottenere le equazon normal d una qualsas curva polnomale de mnm quadrat moltplcando ambedue membr dell espressone polnomale per x r (con r = 0, 1,, 3, n) e po sommando su tutt gl termn. 1.4 Error de parametr della retta de mnm quadrat Per l calcolo degl error de parametr della retta de mnm quadrat usamo la formula d propagazone dell errore standard d varabl ndpendent (8.10). ell esegure l calcolo rcordamo che, avendo supposto x senza errore, solo l ncertezza (assunta eguale per tutte le y ) s propaga su A e B. Inoltre le sommatore x e x sono quanttà note, costant, senza errore. Varanza d A Dalla (1.10) prma calcolamo la dervata parzale d A rspetto ad una delle grandezze ndpendent y j qund A x y x x y x ( x ) x j = =, y j y j A A = ( ) y j = 1 j = A = [( j = 1 A = [ ( x ) x ) x j( x )( x ) + x j ( x ) ] = j x j ( x )( x ) + ( x j j )( x ) ] =

9 ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 161 A = [ ( x ) ( x ) ( x )] A = ( x )[ x ( x ) = x ] =. Varanza d B x y x y x j x B = =, y j y j B B = ( ) y j = 1 j = y B = [ x j x j x + ( x ) j = 1 B = [ j x j ( j x j)( B = [ x j j ( x ) ] = x ) + ( x ) ] = = ] In conclusone le espresson degl error quadratc med de parametr della retta de mnm quadrat sono x A =, B =. (1.13) Quest error hanno lo stesso sgnfcato statstco dell errore standard delle grandezze dstrbute normalmente. Infatt parametr A e B essendo funzon lnear d x, y sono varabl che seguono anch esse la legge d dstrbuzone d Gauss. Le espresson d A e B possono essere poste n una forma opportuna per fare alcune utl consderazon. Prma osservamo che x (x x) = ( x x )=, = 1 = 1 = x ( ) s bad che l ultma quanttà non rappresenta la varanza delle ncertezze della grandezza x (che non ha errore), ma ndca solo d quanto sano dvers valor delle grandezze x rspetto al barcentro delle msure..

10 16 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI Sosttuendo nelle (1.13) ottenamo x x A = = ; ( x x ) ( x x ) 1 B = =. ( x x ) ( x x ) (1.14) Queste espresson ndcano che le ncertezze su parametr della retta dmnuscono non solo con l numero d msure dsponbl, ma anche con l aumentare della quanttà ( x x ) denomnata bracco della leva della estensone delle msure; coè le stesse msure sparse su un ntervallo pù ampo determnano parametr con una maggore precsone. 1.5 Errore standard della stma Abbamo vsto che parametr della retta de mnm quadrat possono essere ottenut dalle (1.10), (1.11) senza conoscere l errore, che abbamo assunto sa lo stesso per tutte le grandezze y. Questo errore a volte non può essere valutato correttamente per ragon nerent alla procedura d msura. In ogn modo msure meno accurate s manfestano sul pano x, y con una maggore dspersone de punt attorno alla retta de mnm quadrat. Questa osservazone suggersce che potremmo utlzzare la dspersone de punt attorno alla retta per stmare. Sappamo che l errore standard d una msura dretta s valuta dal valore medo del quadrato degl scart rspetto alla meda camponara. Analogamente l errore sulle msure y può essere valutato dallo scarto quadratco medo de valor y rspetto alla retta de mnm quadrat y = A + Bx, la quale ora goca lo stesso ruolo della meda camponara, pertanto [ y (A + Bx )] = 1. =. (1.15) La (1.15) consente la stma dell errore standard nel caso che una sola msura fosse dsponble per cascuna delle dverse y. ella (1.15) tutte le dverse grandezze y concorrono alla stma dell errore e termn della sommatora rappresentano quadrat delle dstanze, lungo la vertcale, tra punt d coordnate (x, y ) e la retta stmata. Queste dstanze sono anche ndcate con l nome d resdu. ella (1.15) la sommatora è stata dvsa per poché ora nell nterpolazone lneare due grad d lbertà sono andat pers. Infatt gl scart sono calcolat rspetto alla stma della retta che rchede la determnazone, da dat spermental, de parametr A e B. Qualcosa d smle avevamo vsto nella stma dell errore standard d msure x. In quel caso grad d lbertà s rducevano a 1 avendo dovuto calcolare la meda camponara dal campone d msure. Che nella stma d debba ntervenre l dvsore, possamo gustfcarlo ntutvamente facendo la seguente consderazone: con due sol punt, la retta passerebbe esattamente per ess, la sommatora degl scart sarebbe nulla e l errore assumerebbe la forma ndetermnata 0/0 ndcando

11 ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 163 che nulla possamo dre sulla bontà delle msure. Al contraro con l dvsore, l errore sarebbe nullo, = 0/ = 0, l che è charamente falso. Alla devazone standard può essere dato lo stesso sgnfcato statstco della devazone standard d una msura dretta. Se nella Fg. 1. traccassmo due rette parallele alla retta de mnm quadrat poste a dstanze + e, lungo la vertcale, n esse sarebbero contenut l 68% de punt spermental. Questo valore percentuale ha lo stesso sgnfcato statstco che abbamo dscusso nel Cap. 7. Una conferma che l espressone (1.15) rappresent una buona stma della devazone standard delle grandezze y può essere ottenuta tramte l Prncpo della Massma Verosmglanza. Infatt per la n-pla d msure y 1, y, y 3, y, la funzone d verosmglanza L è ancora la (1.). Se applchamo la condzone d massmo alla funzone ln L rspetto a ottenamo ln L ( y A Bx ) = [ ln ln ] = ( y A Bx ) = + =0 3 dalla quale segue mmedatamente la (1.15), a meno del dvsore. Damo ora una espressone utle per l calcolo d. Svluppamo la (1.15) nel seguente modo [ y (A + Bx )] [ y A Bx ][y A Bx ] = 1 = 1 = = = [ y ( y A Bx ) A ( y A Bx ) Bx ( y A Bx )] = 1 =, (1.16) rcordando le equazon normal della retta (1.8) e (1.9), le ultme due espresson n parentes quadra danno un contrbuto nullo e qund ottenamo y A y B x y =. (1.17) Esempo 1. Determnamo la costante elastca della molla dell Esempo 1.1, applcando l metodo de mnm quadrat. Il metodo analtco rchede l uso d una calcolatrce programmable o un calcolatore. Allo studente prncpante s consgla d nzare con una calcolatrce seguendo passo passo le vare fas del calcolo. Per prma cosa nseramo nella calcolatrce (secondo le struzon) le = 13 coppe d dat della Tabella 1.1; le masse M rappresentano valor della varable x, le lunghezze l la varable y. Dalla calcolatrce possamo avere drettamente valor delle seguent sommatore x = 390 g, x = 1650 g, y = cm, y = cm, x y = g cm

12 164 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI e qund = x ( x ) = g = 1 = 1 y A y B x y = = cm x y x x y A = = cm x A = = cm x y x y B = = cm g 1 B = = cm g 1. E nfne valor de parametr con le rspettve ncertezze (rcordando che gl error standard s assumono con due cfre sgnfcatve) vanno espress come segue A = ( ± 0.031) cm, B = ( ± ) cm g 1. Fg. 1.3 Lunghezze della molla n funzone delle masse che la sollectano (Tabella 1.1). I dat spermental possono essere descrtt tramte la retta de mnm quadrat l = ( ± 0.031) + ( ± ) M.

13 ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 165 Prma d calcolare la costante elastca valutamo l suo errore standard k medante la formula d propagazone (8.11) applcata alla relazone k = g/b. Il valore dell accelerazone d gravtà, con l suo errore standard g, è stato ottenuto nell ESPERIMETAZIOE n. 3: g = (979 ± 7) cm s. Qund 1 g k = ( g + ) ( B = dne cm ) 1. B B La costante elastca della molla e la sua lunghezza nzale sono dunque k = g/b = (893 ± ) dne cm 1, l 0 = A = ( ± 0.031) cm. La Fg. 1.3 mostra dat spermental d Tabella 1.1 nseme alla retta de mnm quadrat che abbamo determnato: l = ( ± 0.031) + ( ± ) M. Se comparamo rsultat del metodo grafco (paragrafo 1.1) con quest del metodo analtco, constatamo che ess sono n accordo entro gl error. Il metodo de mnm quadrat fornsce però un rsultato con un ncertezza mnore. È nteressante osservare che la lunghezza nzale della molla non è un dato necessaro, essa può essere dedotta dal calcolo. Il valore calcolato l 0 è n eccellente accordo con quello msurato, anz l metodo de mnm quadrat c permette d conoscere questa lunghezza con un accuratezza superore a quella della msura dretta. 1.6 Retta de mnm quadrat passante per l orgne Consderamo ora l caso n cu la relazone funzonale che collega le due grandezze x, y sa la retta senza termne noto, y = Ax. Valgono ancora le stesse assunzon del paragrafo 1.: ) tutte le msure sano fra loro statstcamente ndpendent; ) la msura della grandezza x abba error trascurabl; ) valor delle msure delle grandezze y, sano dstrbut normalmente attorno al valore vero con la stessa devazone standard. La condzone d massmo applcata alla funzone d verosmglanza per le msure y è [ ( y Ax ) ] = ( x y A x A ) =0 dalla quale segue che x y A =. (1.18) x Per l calcolo della varanza del parametro A applchamo la formula d propagazone degl error (8.10) A x j =, y j x x j x j j = A ( ) = =. (1.19) x = 1 x ( x )

14 166 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI L errore standard della stma è dato dalla seguente espressone [ y Ax ] = 1 =, 1 per la quale valgono le stesse consderazon fatte nel paragrafo 1.5. Ora la somma degl scart al quadrato è stata dvsa per 1 poché da dat deve essere stmato l solo parametro A. Un espressone utle per l calcolo d, dervata tramte l equazone normale, è y A x y =. (1.0) 1 *1.7 Retta de mnm quadrat pesat Consderamo l caso n cu le devazon standard delle msure delle grandezze y (d seguto ndcate con ) sano dverse ma valgano ancora le altre assunzon fatte nel paragrafo 1.. Le condzon d massmo per la funzone d verosmglanza ora dvengono ln L [ y (A + Bx )] = = 0 A A = 1 ln L [ y (A + Bx )]. = =0. B B = 1 Dalle condzon d massmo ottenamo l seguente sstema d equazon normal, ove abbamo posto p = 1/, p y A p B p x =0 p x y A p x B p x =0. La soluzone d questo sstema, ottenble faclmente con la regola d Cramer, è p x p y p x p x y A = p p x y p x p y B = = p p x ( p x ). (1.1)

15 Per l calcolo delle varanze osservamo che solo le y sono affette da error, che le seguent sommatore p, p x, p x, sono quanttà costant e che ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 167 p j p x p j x j p x B p j x j p p j p x A =, =. y j y j Ottenamo allora 1 (1.) A = j [ 1 B = j [ p j p x p j x j p x ] j p x j j p p j p x ] j. Occorre osservare che l applcazone delle (1.1) e (1.) rchede la conoscenza delle varanze d cascuna grandezza y ; cò non è sempre possble. Se le rsultassero dello stesso ordne d grandezza (come nel caso de nostr esperment), s potrebbe assumere un unco valore, lmte superore de valor, e tornare ad usare le pù semplc espresson date ne paragraf 1.3 e 1.4. Solo nel caso che le ncertezze fossero dverse per ordn d grandezza, s renderebbe necessaro l uso delle espresson (1.1) e (1.). 1.8 Parabola de mnm quadrat. Adattamento d una curva qualsas a dat spermental Sno ad ora abbamo trattato l caso d descrzone d dat con una forma lneare. el caso d relazon funzonal espresse da curve polnomal (parabola, cubca, quartca ), fatte le stesse assunzon del paragrafo 1.3, s procede n manera analoga ntroducendo nella funzone d verosmglanza (1.) l espressone polnomale n questone. Trattamo come eserczo l caso della parabola y = A + Bx+ Cx consderando la regressone d y su x. Possamo rcavare rapdamente le sue equazon normal applcando la regola, descrtta a fne paragrafo 1.3, per l ottenmento della curva de mnm quadrat d una forma polnomale x n y = A x n + B x n C x n + n =0,1, y = A + B x + C x 3 x y = A x + B x + C x x y = A x + B x 3 + C x 4. Lascamo al lettore l compto d scrvere la soluzone del sstema usando la regola d Cramer. Esemp d applcazone della parabola de mnm quadrat sono presentat n alcune espermentazon nella Parte III.

16 168 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI e cas n cu la relazone funzonale non fosse un polnomo è sempre possble lnearzzarla con un opportuna scelta d una varable funzonale. Faccamo qualche esempo: 1 y = y 1 = a + bx Y = y 1, A = a, B = b a + bx y = ax b ln y = ln a + b ln x Y = ln y, A = ln a, B = b, X = ln x y = ab x ln y = ln a + x ln b Y = ln y, A = ln a, B = ln b, X = x. A volte può essere comodo lnearzzare anche la parabola y y y = ax + bx = a + bx Y =, A = a, B = b, X = x x x y = a + bx y = a + bx Y = y, A = a, B = b, X = x. Dobbamo osservare che quando s esegue una lnearzzazone, assumendo un opportuna varable funzonale, anche se valor y hanno tutt lo stesso errore così non è per valor della nuova varable. Ad esempo se Y = ln y, l errore su Y vara secondo la Y = /y. In tale stuazone per essere rgoros occorrerebbe adoperare l metodo de mnm quadrat pesat esposto n Rcerca della forma d una dpendenza funzonale. Uso del test Sno ad ora abbamo consderato la descrzone d dat spermental d due grandezze tramte una relazone funzonale nota a pror. ell ndagne spermentale capta spesso che s dsponga d una sere d msure attnent un fenomeno fsco e occorra trovare la legge che l descrva per rcondurl nell ambto d un modello puttosto che d un altro. Può accadere però che, a causa della scarsezza de dat o delle ncertezze elevate, allo stesso tempo dverse relazon funzonal possano essere proposte per gl stess dat spermental. S presenta qund l problema d decdere quale curva descrva pù soddsfacentemente le msure; sarà tale decsone che determnerà conseguentemente l successo d un modello rspetto ad un altro. Un crtero per operare questa scelta, basato su valutazon statstche, è l test del che gà abbamo adoperato per valutare se una dstrbuzone osservata poteva essere descrtta con una dstrbuzone teorca potzzata. La quanttà che ora dobbamo consderare è la varable ( y y st ) = (1.3) = 1 ove y st = f (x ; A, B, C, ) rappresenta la stma, tramte la relazone funzonale potzzata, de valor aspettat delle dverse varabl y, avent devazon standard. La (1.3) rappresenta la varable nella sua forma pù generale come è stata defnta nel paragrafo Possamo qund calcolare la probabltà, P( 0 ), d ottenere un valore d maggore o eguale a quello osservato 0 e stablre, ad un certo lvello d sgnfcatvtà, se la relazone funzonale proposta possa essere accettata. In genere s procede n questo modo. Acqust dat spermental l s rappresenta grafcamente medante un sstema d ass cartesan. Il grafco o anche l modello rtenuto pù attendble sugger-

17 ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 169 scono le possbl relazon funzonal che possono rappresentare l fenomeno fsco. S suppone ancora che ogn x abba error trascurabl e ogn y appartenga ad una dstrbuzone normale (come nella stragrande maggoranza delle grandezze fsche) con varanza nota. Le relazon funzonal tra le qual s debba fare la scelta sano: y = f (x; A, B, C, ), y = (x; A, B, C, ). Con l metodo de mnm quadrat s determnano parametr A, B, C, e A, B, C,. Qund per cascuna funzone s calcolano rspettv valor del, consderando grad lbertà dat dal numero d varabl ndpendent dmnuto del numero c d parametr calcolat, [ y f (x ; A, B, C, )] = f con grad d lbertà f = c f, = 1 [ y (x ; A, B, C, )] = con grad d lbertà = c. = 1 Dal valore del, noto l grado d lbertà, s decde sulla base del lvello sgnfcatvo prescelto, 5 o 1%, quale delle due funzon debba essere scelta. Se ambedue soddsfano l lvello d sgnfcatvtà, la scelta cadrà sulla funzone l cu osservato presenta la maggore probabltà d essere superato 0 dal valore del teorco P( 0 )= f ( ) d per un dato. 0 Esempo 1.3 ella Tabella 1. sono rportate le msure (n untà arbtrare, ua) delle grandezze x, y, con le loro devazon standard. S stablsca, medante l test, quale delle due seguent relazon funzonal descrva meglo dat spermental. y = a + bx, y = ax b. Tabella 1. x ± x (ua) y ± (ua) ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±.0 Abbamo rappresentato dat spermental nel pano x, y per la relazone funzonale lneare (Fg. 1.4) e nel pano ln x, ln y per la relazone d potenza (Fg. 1.5). La semplce osservazone ad occho de due grafc c potrebbe mettere n mbarazzo crca la scelta della relazone funzonale rtenuta pù valda.

18 170 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI Fg. 1.4 Rappresentazone de dat della Tabella 1. nseme alla retta de mnm quadrat y = x. Fg. 1.5 Rappresentazone de dat della Tabella 1.3 medante le varabl funzonal ln x, ln y. La retta rappresenta la relazone d potenza y = 5.65 x.9.

19 Relazone lneare D cascuna msura y conoscamo la devazone standard, dovremmo qund applcare l formalsmo della retta de mnm quadrat pesat descrtto n 1.7. Però consderato che gl error sono dello stesso ordne d grandezza, decdamo d semplfcare l calcolo assumendo un unco valore della devazone standard par al suo valore massmo =.1 ua. L applcazone del metodo de mnm quadrat alla relazone lneare dà luogo a seguent valor de parametr con le rspettve ncertezze =.1, = x ( x ) = a = A = a = ( x ) / = a = 3.4, b = B = b = / =.37 b = 1.5, per cu la retta nterpolatrce è ADATTAMETO DI UA RELAZIOE FUZIOALE AI DATI SPERIMETALI 171 y = (36.9 ± 3.4) + (33.8 ± 1.5) x. Calcolamo l valore del ch quadrato rdotto, ~ = /, ntrodotto nel paragrafo 11., 6 ~ 1 [ y 0 ( x )] = = 0 = 4 = 1 y = ( ) = Per l calcolo del ch quadrato osservato ~ abbamo usato tutt dvers valor della devazone 0 standard della varable y. Se avessmo assunto per la devazone standard un unco valore, =.1, come fatto per la semplfcazone del calcolo della retta de mnm quadrat, avremmo ottenuto un valore ~ pù ottmstco, ma nvero meno corretto. Avendo determnato due parametr, grad d 0 lbertà sono = 6 = 4. Dalla Tabella AV possamo dre che l ch quadrato rdotto teorco ~ può superare quello osservato ~ con la probabltà P( ~ > 1.8) 13%. 0 Relazone d potenza el caso della relazone d potenza y = ax b eseguamo la lnearzzazone ponendo Y = ln y, A = ln a, B = b, X = ln x valor delle varabl funzonal sono rportat nella Tabella 1.3. Tabella 1.3 X = ln x ± X Y = ln y ± Y ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± 0.030

20 17 ELABORAZIOE STATISTICA DEI DATI SPERIMETALI Osservamo ora che le nuove varabl X, Y hanno ncertezze che dervano dalle loro rspettve espresson d propagazone X = (d ln x / dx) x = x / x, Y = (d ln y / dy) = /y. Anche n questo caso, poché le ncertezze non sono molto dverse tra loro, assumamo per la devazone standard della varable funzonale Y un unco valore par al suo valore massmo: Y = lny = Applchamo l metodo de mnm quadrat facendo la regressone d Y su X, ottenamo lny = 0.18 = (ln x ) A = , A = = , = 0.1, lny A a = e A = a = e A A = 1.35 a = 1., b = B =.9040 B = lny / = 0.07 b = 0.7, qund la retta de mnm quadrat nelle varabl funzonal è e relazone funzonale d potenza è Y = (1.73 ± 0.1) + (.9 ± 0.7) X y = (5.64 ± 1.) x (.9 ± 0.7). Calcolamo ora l valore del ch quadrato rdotto per la relazone d potenza usando dvers valor delle devazon standard della varable y ~ [ y (5.64 x.9 )] = = = ( ) = = 1 y Avendo determnato due parametr, grad d lbertà sono = 6 = 4. Dalla Tabella AV possamo dre che, nel caso della relazone d potenza, l ch quadrato rdotto teorco ~ può superare quello osservato ~ con la probabltà 0 P( ~ > 0.76) 5%. In conclusone, poché la probabltà assocata al ch quadrato osservato per la relazone d potenza rsulta maggore d quella per la relazone lneare, dobbamo rtenere che la prma sa pù valda per la descrzone de dat spermental Coeffcente d correlazone lneare A volte dsponendo d sere d valor d varabl ndpendent rguardant un sstema da studare può pors la domanda se esse sano correlate. La dffcoltà nello stablre una possble correlazone tra le varabl x, y può dervare dal fatto che loro valor sano molto dspers (Fg. 1.6) e non s abba alcuna nformazone sulla loro ncertezza. Può anche accadere, come nelle Scenze Statstche,

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