Vito Volterra. Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali conviventi.

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1 Vo Volea Vaazo e fluuazo el umeo 'vu pece amal covve

2 Queo e book è ao ealzzao ache gaze al oego : QUESTO E BOOK: E ex Eoa, Web eg, Mulmea hp:// ex./ TITOLO: Vaazo e fluuazo el umeo 'vu pece amal covve AUTORE: Volea, Vo TRADUTTORE: CURATORE: OTE: DIRITTI D'AUTORE: o LICEZA: queo eo è buo co la lceza pecfcaa al eguee zzo Iee: hp:// TRATTO DA: Opee maemache : memoe e oe / Vo Volea ; pubblcae a cua ell'accaema azoale e Lce col cocoo el Coglo azoale elle ceche; 5: / Vo Volea ; coeao all'eleco coologco geeale elle pubblcazo - Roma : Accaema azoale e Lce, p. : ll. ; 7 cm. CODICE ISB: o poble a EDIZIOE ELETTROICA DEL: geao IDICE DI AFFIDABILITA':

3 : affablà baa : affablà mea : affablà buoa 3: affablà oma ALLA EDIZIOE ELETTROICA HAO COTRIBUITO: Caa Rgh, caa_gh@. REVISIOE: Paolo Albe, paoloalbe@ol. PUBBLICAZIOE: Caa Rgh, caa_gh@. Ifomazo ul "pogeo Mauzo" Il "pogeo Mauzo" è ua zava ell'aocazoe culuale Lbe Lbe. Apeo a chuque vogla collaboae, poe come copo la pubblcazoe e la ffuoe gaua opee leeae fomao eleoco. Uleo fomazo oo pobl ul o Iee: hp:// Aua ache u l "pogeo Mauzo" Se queo "lbo eleoco" è ao uo gameo, o e cov le falà el "pogeo Mauzo", va ua oazoe a Lbe Lbe. Il uo oego c aueà a fa cecee uleomee la oa bbloeca. Qu le uzo: hp:// 3

4 I VARIAZIOI E FLUTTUAZIOI DEL UME RO D'IDIVIDUI I SPECIE AIMALI CO VIVETI * «Memoe el R. Comao alaogafco alao», Mem. CXXXI, 97. * I quea Memoa, fo al eme ella pae III, l'auoe ha oao e accho vae aggue quao aveva gà pubblcao, co lo eo olo, elle «Memoe ella R. Acc. e Lce» e. VI, vol. II, 96, pp. 3-3; ella pae IV ha pooo e oe gà pubblcae e «Re. Acc. e Lce» e. VI, vol. V, 97, pp. 3-, pp pp pevamee co ol: Sulle fluuazo bologche; Legg elle fluuazo bologche; Sulla peocà elle fluuazo bologche. Pe evae pezo, lavo opa ca o oo a c quee «Opee». Le poche page ella ea Memoa e Lce che l'auoe ha omee quea Memoa el Comao alaogafco vegoo qu poae, alla fe, u'appece. Sempe pe evae pezo, o pubblcao quee «Opee» va lavo ell'auoe che pooo coea au quea Memoa. [..R.].

5 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea COSIDERAZIOI PRELIMIARI.. M pemeo peeae alcu u ulla coabazoe pece u meemo ambee. Oaamee ee puao u meemo umeo o uoo le ue elle ale; ulla eclue peò che ee poao ache muuamee gova. Pe poe aae la queoe maemacamee covee pae a poe che, pue alloaao alla ealà, e ao ua mmage appomaa. Ache e la appeeazoe aà, almeo u pmo momeo, goolaa, pue, e ea aà emplce, v poà appl Il Do. UMBERTO D'ACOA m aveva pù vole aeuo ache che ava faceo ulla peca el peoo ella guea e peo aeo e poeo a ea, cheeom e foe poble ae ua pegazoe maemaca e ula che veva oeeo ulla peceuale elle vae pece que ve peo. Quea chea m ha po a mpoae l poblema come è fao quee page e a olvelo ableo vae legg che ovao eucae alla fe el ella I a pae e el 5 ella a pae. Tao l D'ACOA quao o che lavoavamo maea peee fummo ofa el comucac e ula che c eao pevamee vela col calcolo e colla oevazoe qual cocoavao fa loo; coì quello che l'uomo colla peca, peubao lo ao auale vaazoe ue pece, ua elle qual ue ell'ala, fa mue l quaavo ella pece magae e aumeae quello ella pece magaa. Cò può gufcae e m oo pemeo pubblcae quee ceche, emplc al puo va aalco, ma che pe me ucvao uove. 5

6 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea cae l calcolo e vefcae o quaavamee o ache qualavamee e ula che oegoo copooo a a ac e qu aggae la guezza elle poe paeza e avee l eeo pepaao pe uov ula. Qu covee, pe faclae l'applcazoe el calcolo, chemazzae l feomeo olao le azo che vogloo eamae, uppoeole fuzoae a ole e acuao le ale. Oa, pe eempo, le fluuazo el umeo pec vve u ceo ambee peoo alle cozo egl amal e a quelle ambeal. Io ho comcao allo uae l feomeo puo eo ovuo olamee alla voacà elle pece coaba e alla loo poeza pouva, poeom elle cozo eal cu quee ole caue agcao e ue le ale poao acua. Succevamee Pae ecoa, 8 ho coeao ache la ovappozoe quee azo a azo ambeal peoche.. Pma aae ca geeal ho eeao coeae e ca pacola che pemeeeo oea u campo che, almeo pe me, ucva el uo uovo 3 e ho aao moo pecale ella pma pae ue 3 Il lavoo è ao a me pubblcao appma elle «Memoe ella R. Accaema azoale e Lce», Clae Sceze fche, maemache e aual, See VI, vol. II, fac. III, 96. Dopo la pubblcazoe quea Memoa ho avuo oza che elle queo paaologche elave alla malaa eevao le equazo el Ro, e ho apuo che l o. LOTKA el volume Eleme of phycal Bology, ew Yok 95, aveva coeao 6

7 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea ca pacola. L'uo ue pece che ovao a ole uo eo ambee e coeoo l meemo umeo ; l'alo ue pece, ua elle qual acceceebbe couamee peché ova uffcee umeo, l'ala che a ola eauebbe pe macaza umeo, ma che ua alla pma vve a pee quea quao ue egl vu ea. Ho po coeao el 4 ella pma pae u ca che pooo peea quao ue pece covvoo e le azo cambevol oo a ee favoevol o favoevol. e ue ca aa e e, poeo coveeemee la queoe, ovao equazo ffeezal cu pooo ae egl egal che cao le legg colle qual accecoo o mucoo le ue pece. el ecoo cao l calcolo pevee l pou fluuazo peoche elle ue pece cu può eema l peoo; fluuazo che la aca ella pel cao ue pece a me volo el ella I a pae, gugeo co alo meoo all'egale e al uo agamma e al peoo elle pccole ocllazo. Peò le legg geeal a me oeue ello eo paagafo, va ca vol egl al paagaf ella I a pae, come pue ue le ale pa ella ma Memoa, elle qual coeo le applcazo elle legg uee e la covveza pece ella poe aocazo coevave e pave, oo uove e pe la pma vola aae. Spacem o ave pouo cae ella ea Memoa l'eeae opea el o. LOTKA la quale coee applcazo vee elle maemache a queo chmche e bologche. 7

8 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea ca emba moae effevamee ee. Quee fluuazo e loo peo peoo a e legg geeal. La eza legge egola ache la peubazoe pooa elle quaà mee elle ue pece a u'azoe eea che cech uggee gl'vu ee e fa peveee u accecmeo meo ella pece magaa e ua muzoe mea ell'ala. Ache queo ulao emba accoo colle ache ella peca, e aume come azoe peubace quella pooa afcalmee all'uomo colla peca. Oeuo queo ulao ea auale omaa fo a che puo ale uzoe ece favoevole alla pece magaa, gacché è uvo che poegueo ella uzoe elle ue pece eve agguge u lme ole l quale ambeue le pece ebboo eau. Pecò el 5 ella pma pae ho uao pecalmee queo lme omo e ho coocuo che eo ha puoo l caaee u lme upeoe che u mamo, coè avvcao a eo cece couamee la quaà mea ella pece magaa, ma agguolo, mee la pece magae eauce, l'ala ee veo u valoe che è feoe alle mee peceeemee aggue. 3. I ue ca vol e pm ue paagaf peeao u aameo eezalmee veo. Mee el pmo l'aameo è po aoco el ecoo è po cclco-peoco. Pecò e pooo coea come ue ca pc. 8

9 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Cofoao po l cao, che è u cao ablà, co quell aa el 4 que ulm velao 'ole able. L'ouzoe uov pcp pemee 'mpoae l poblema el cao geeale, l che ve fao ella ecoa pae ella peee Memoa. I ea, opo ave poo le equazo geeal copoe a u'aocazoe bologca pù pece le qual uoo le ue elle ale, cooco l'eeza elle fluuazo e eeo le e legg geeal peceeemee ovae pel cao elle aocazo bologche ue pece. Dguo po le aocazo bologche coevave e pave, e uo la ovappozoe fluuazo lbee ovue alle ole azo pouve e a quelle elle voacà elle vae pece a fluuazo fozae ovue a azo ambeal peoche; eamo fe la peubazoe pooa u'aocazoe bologca all'aggua 'ua uova pece. L'appece che egue, coee u'applcazoe ella eoa geeale al cao cu u ambee lmao coabo e pece, la pma elle qual ue ella ecoa e quea ella eza, mee l'ulma ova l umeo ell'ambee eo, come aebbe e avee l paaa 'ua pece e u paaa el paaa. V è ulmo agguo lo uo el cao eeao che couce a equazo ego-ffeezal. 9

10 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 4. Quao a meo maemac aopea ò che o oo poceme foa ul calcolo elle pobablà, che pm poebbeo peea alla mee, qual coucoo allo copo. Ecco come può mpoa la queoe: cechamo epmee co paole come pocee all'goo l feomeo; qu aucamo quee paole lguaggo maemaco. Quea auzoe couce a equazo ffeezal. Se alloa c lacamo guae a meo ell'aal amo coo molo pù loa quao poebbeo poac l lguaggo e l agoameo oao e poamo fomulae elle legg pece maemache. Quee o coacoo ula ell'oevazoe. Az la pù mpoae ee emba pefeo accoo co ula ac 4. Dal puo va aalco è a oae che lo uo elle fluuazo o ocllazo el umeo vu pece covve, come vee fao quea Memoa, ece al quao ello uo oao elle ocllazo, gacché elle pee ceche abbamo ovuo aae geeale equazo o lea, mee lo chema claco ella eoa elle ocllazo volge ell'ambo elle equazo lea. 4 Pe u gl u ac ve la Memoa CXXVI pubblcaa quea ea accola al o. UMBERTO D'ACOA: Dell'flueza ella a pecheecca el peoo 94-8 ul pamoo co ell'alo Aaco, ella quale eamao le coegueze eoche e pache e ula aggu cf.,. 9.

11 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea E fa le fluuazo uae o oo geeale pccole fluuazo. Solo quao abbamo fao l'poe pccole fluuazo e le abbamo uae appomavamee, acuao em el oe, abbamo pouo valec el uo elle equazo ffeezal o ego-ffeezal lea. 5. I bae alle ee epoe opa, pe emplfcae la aazoe, ammeeemo che le pece accecao o mucao moo couo, coè ammeeemo che l umeo che mua la quaà ee ua pece o a u umeo eo, ma u umeo eale e povo qualuque che vaa pe ga cou. I geeale le ace hao luogo eemae epoche, a aza empo le ue alle ale; o acueemo quee ccoaze, ammeeo che ee avvegao co couà og ae e che, a paà ue le ale cozo, ee vefcho popozoalmee al umeo egl vu ee ella pece. Lo eo ca elle mo e, ecoo che pevalgoo le ace ulle mo, o vcevea, avveà aumeo o muzoe egl vu. Coì ammeeemo la omogeà egl vu cacua pece acuao le vaazo eà e gaezza. Se ua pece è ola o le ale o flucoo u ea, fché le ccoaze aca e moe o mueao, avemo, e ca l umeo egl vu,

12 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea M m m eeo l empo, l coeffcee aalà e m quello moalà, ambeue coa. Poo m avemo I, II o e ove o eoa l umeo egl vu al empo. S chameà l coeffcee accecmeo ella pece e, e eo aà povo, avà veo accecmeo, alme eaumeo. Se le ccoaze aca e moe cambeao, aà vaable col empo o co o co al eleme. I al cao la I ueà empe, ma eveemee o avemo pù la II.

13 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea PARTE PRIMA Aocazoe bologca ue pece.. DUE SPECIE CHE SI DISPUTAO UO STESSO UTRIMETO.. Suppoamo avee ue pece vve uo eo ambee: ume egl vu pev ao e e ao e valo che avebbeo loo coeffce accecmeo e l umeo comue foe quaà empe ale a ofae peamee la loo voacà. Avemo, >, > S ammea oa che gl'vu couamee cece umeo elle ue pece mucao la quaà umeo cu cacu vuo può poe. Suppoamo che la peeza egl vu ella pma pece muca quea quaà ella mua h, e la peeza egl vu ella ecoa pece la muca ella mua h, oe pe l'eme elle ue la muzoe avvega ella mua h h e pecò, vù el veo bogo umeo elle ue pece, ue coeffce accecmeo vegao o a h h, h h 3

14 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Avemo alloa le equazo ffeezal h h h h elle qual ovemo uppoe,, h, h,, coa pove.. Dalle equazo pecee egue log 3 h h 3 log h h e qu 4 log log coè 4

15 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 5 log e egao e paao a logam a ume 6 Ce ove C è ua quaà coae. 3. Se l bomo oa avemo K 7 C a cu C / oueo ella 5

16 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea. h h C Le vaabl oo uque epaae e 8 h h C ove è l umeo vu ella pma pece al empo zale. Te ca poao peea e valo zal e oo e e coè cao K > h h, alloa e ceceao a pae a valo zal coevao la popozoe 7, coè e eeao aocamee veo valo pe cu 9 h h K eza ma aggugel; cao K < h h 6

17 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea e muao a pae a valo zal coevao la popozoe 7 eeo aocamee a valo pe cu è ofaa la 9; 3 cao h h K alloa e maeao coa. Ma è evee che la cozoe 7 ha u gao femo pobablà. 4. Se l bomo o è ullo poemo uppolo povo, peché e o foe ale, baeebbe cambae la pece colla pece pe ulo povo. I queo cao lm. Pe uguale o upeoe a / h, vù ella, l coeffcee ffeezale / è egavo, qu o può opaae u ceo lme È uque eceao che ea a zeo. È facle calcolae l'epeoe aoca. Ifa quao aà coì pccolo a ee acuable, l'equazoe cveà oa, epaao le vaabl h 7

18 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea h e egao e paao a logam a ume h eeo C ua coae. Qu C e C e C. hc e e hc Pecò ee aocamee al valoe / h pe valo cece o ecece ecoo che C è povo o egavo. Poamo aumee ula oeu ella popozoe eguee: Se / > / la ecoa pece ee a eau e la pma ee a aggugee l umeo vu / h. 5. I geeale l poblema o è oo alle quaaue, ma v è u cao pacolae cu cò può oee faclmee. Se poamo uppoe appomavamee poeo C / c avemo oa coè poeo c e e c e 8

19 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea e M e M aà M cm e la equazoe 3 veà logm h h h e M h e M M h e h ce vale a e M M h e h ce e egao C' M e c h e h ove C' è ua coae. Qu C' M e c h e h, C' M e c h e h c a cu C' e c h e h e, 9. C' e c h e h ce

20 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea È facle vefcae queo cao pacolae, el quale ue le quaaue oo eegue compleamee, la popozoe peceee. Ifa e > avemo lm h, lm. 6. Abbamo uppoo che la peeza vu ella pma pece e ella ecoa uca coeffce accecmeo e ella mua caa alle, elle qual fomule e compaoo leamee. Ma o poamo uppoe molo pù geealmee che e coeffce vegao F,, F, ove F, è ua fuzoe coua, pova, che aulla pe e è cecee ao peo a che a e ole cece efamee col cecee efo cacua quee ue vaabl. Del eo F, può eee comuque. Alloa le e vao oue co F, F,

21 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Le equazo 4, 5, 6 valgoo empe e pecò ue le loo coegueze; pacolae, e >, ee a zeo col cecee efo el empo, coè la ecoa pece ee a eau. Il compoameo aoco ella pma pece aà ao alla fomula F, Se quea fomula paamo alla coppa valo, e uppoamo F, >, poché F, < ovao eee ac ella equazoe F, upeo a. Alloa ceceà eeo aocamee veo la mma ee. Se vece aà F, < poché F, > ovao eee ac ella mo. I al cao ececeà eeo aocamee veo la mama ee.. DUE SPECIE UA DELLE QUALI SI UTRE DELL'ALTRA.. Sao e ume egl vu elle ue pece. Il coeffcee accecmeo che avebbe la pma, e l'ala o eee, a >. Suppoamo

22 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea che la ecoa eauebbe pe macaza umeo e foe ola; a pecò egavo l uo coeffcee accecmeo e eguale a può coea come l coeffcee eaumeo. Se cacua elle ue pece foe ola avebbe, Ma e ee oo eme e la ecoa pece ue ella pma, muà e ceceà e eveemee muà ao pù quao pù umeo aao gl vu ella ecoa pece e ceceà ao pù quao pù umeo aao gl vu ella pma pece. Pe appeeae queo fao ella maea pù emplce uppoamo che muca popozoalmee a coè ella mua, e ceca popozoalmee a coè ella mua. Avemo alloa le ue equazo ffeezal A A Aumee coeffce accecmeo e eaumeo pevamee lea peo a e a può embae molo goolao; ma gufca, come veemo el 5, e o compuamo que coeffce meae l umeo pobable co egl vu elle ue pece. Del eo ache e peamo ue coeffce fuzo qualuque e pevamee, l pocemeo egazoe uao queo

23 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea paagafo, cu e uppogoo lea, ece lo eo.. Mee le coa e aumoo le cozo aalà e moalà elle ue pece, coeffce e muao umecamee l'aue a poegge ella pma pece e mezz offea ella ecoa pece. Ifa ceceo que ulm ovao aumeae e mee aumeao mezz poezoe ella pma pece que coeffce ovao mue. Pe avee l moo muae e baeà egae le, ; avebbe, e cacua elle ue pece foe ola, C, e C e ove C e C oo pevamee valo e pe. Poamo C, C / e eoamo co e emp ecea pevamee peché aopp la pma pece e uca a meà la ecoa. Avemo log e,693, log e,693 e egue che e oo meo peo al empo. Saebbe empe poble peee le uà empo moo che. Ifa e peamo come uà empo l empo eceao affché la pma pece ceca el appoo e,78 aà e e e qu. Aalogamee ca pe. 3

24 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Poo K, K le equazo A e A c coo che e K K coè le ue pece oo uo ao azoao. Avemo uque, K. K Paamo aeo alla egazoe ella equazo A e A. Dalle A e A egue 3 K oe poeo K K, K 4 K, K le equazo pecee cveao K K A', A' Molplcao pevamee quee equazo pe e e ommao ha 4

25 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 5. Molplcao pevamee pe / e / e ommao ova coè 6 log log Eguaglao fa loo pm memb elle 5 e 6 egue log log e egao e paao a logam a ume Ce eeo C ua coae pova. Doe 7 C. e e Dalle A' e A' egue - 5

26 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea. Se pe mezzo ell'egale 7 epmamo pe mezzo o pe mezzo e ouamo pevamee que valo elle equazo pecee le vaabl eao epaae, oe la egazoe è oa alle quaaue. 4. Ma o voglamo cuee eamee la oluzoe e pecalmee l'egale 7. Poamo pecò 8 x C e e e coeamo la cuva Γ, che ha pe aca e oaa e x e quella Γ,che ha pe aca e oaa e x fg.. Avemo 6

27 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea e 9 e che è povo pe < e egavo pe >. Duque, mee vaa a e, x paeo a agguge l mamo e pe e po ee a pe cecee efamee. Ivece mee vaa a e, x, ecece a fo al valoe mmo Ce pe, qu cece efamee veeo pe. L'aameo elle cuve Γ e Γ ula pecò mmeao come lo moa la fg.. La coae C è eemaa alla 7, quao ao o valo zal e, e è. C e Se C < e oa e > Ce, a og valoe x compeo a Ce e e copooo ue valo pe e ue pe ecceua ue valo copoe a pu C e C mamo e mmo elle oae elle ue cuve Γ e Γ. Aveo poo le ue cuve come ella fg., coè co gl a elle ace l'uo ul polugameo ell'alo, amo pe vec C e C le omal a x e coeamo le pozo A C B, A C B elle ue cuve compee fa quee ue paallele. Sao a < e b > le ace A e B, a <, b > le ace A e B. Cechamo alloa coue la cuva λ avee pe aca e oaa. Suppoamo appma fa 7

28 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea copoee al puo C l puo A e pecoee col puo G l'aco C B. ella cuva Γ pecoamo alloa l'aco A C e a G u Γ copoeà G u Γ che ova ulla ea pepecolae a x. Qu al valoe g copoeà g, eeo g e g pevamee le ace G e G. Duque mee ceceà a a b, ceceà a a a, oa aà ella fgua al puo R cooae, a al puo S cooae b,. D eguo, mee ececeà a b a, ceceà a a b, oa c muoveemo ella fgua al puo S cooae b, al puo S, cooae, b. D eguo, mee ececeà a a a, ececeà a b a, oa c muoveemo ella fg. al puo S cooae, b al puo R cooae a,. Falmee mee cece a a a, ececeà a a a e ella fg. aemo al puo R cooae a, al puo R cooae, a. Quao aemo oa al puo paeza comceà a pecoee peocamee l cclo chuo ella fg., e vù ella 8 come ache ula alla 8

29 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea fg., quao e peeao gl e valo ache x peeà lo eo valoe. 5. Dalla 8 egue log x log, qu, evao peo a e eeo coo ella A' coè x x x x., e egue che og qual vola pecoeà co e l cclo chuo ella fg., ceceà ua quaà coae T. e vee che e e, vù elle 4, ache e aao fuzo peoche el empo col peoo T. La cuva A ella fg. 3 oeua alla fg. molplcao le ace pe K e le oae pe K, coè la cuva che c à l agamma el cclo che lega a chameà l cclo fluuazoe e K b a, K b a le ampezze elle fluuazo elle ue pece. I geeale l cclo fluuazoe o avà u ceo mmea, peò l puo Ω cooae K e K oveà eamee a u pobl ccl Φ, Λ, Ψ, Χ... fluuazoe pee a ue le pobl cozo zal elle ue pece come è cao ella fg. 3. Al puo Ω poà qu ae l ome ceo fluuazoe. Tue le cuve el agamma 3 oeao maeeo coa,,,, e faceo cambae la 9

30 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea coae C. Quee cuve o coao a loo, ma oo ee le ue alle ale. Abbamo uque queo cao ua fluuazoe peoca el umeo egl vu elle ue pece col peoo T, oa l feomeo avà l caaee cclco peoco. 6. Pe calcolae l peoo T o ovemo calcolae l'egale x x eeeolo uccevamee al pecoo e quao ach R S, S S, S R, R R. La omma e quao egal c aà l peoo T. La fuzoe oo l ego 'egazoe vee fa a quao vec R, R, S, S, ma, come cooce faclmee, l'oe egl'f è ale che gl egal oo covege. L'egale peceee pova che l peoo T pee olamee a, e C. 3

31 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea el eguee paagafo o calcoleemo appomavamee queo peoo uppoeo che le fluuazo ao pccole 5* 7. Il cao appomao el quale le fluuazo oo pccole può aa faclmee paeo alle equazo A e A. Ifa poeo v, v avemo K v, K v Le A', A' veao v A'' v v v v, A'' v v. v Se le fluuazo oo pccole v e v poao coea come quaà pccole el l oe, oe, e elle equazo pecee acuamo em el oe, avemo v v v, v 5 Pe l calcolo eao el peoo T mao alla Memoa gà caa ella R. Accaema e Lce, Pae I a, 3,. 5. *Il calcolo T, pubblcao ella Memoa ell'acc. e Lce, è poao el. ell'appece che è aggua alla fe quea Memoa [.. R.]. 3

32 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea le qual egao meae le fomule L co a, v L e a v ove L e a oo ue coa. Avemo qu, eeo coo elle, 4,, e poeo L E α E co α E e oe e ulao peoche col peoo π. A queo eo valoe aebbe gu calcolao eamee l'egale T el paagafo peceee e acuao em oe femo. Poemo uque aumee appomavamee l peoo el cclo fluuazoe elle ue pece ao a T π Se chamamo, come ell'a., e ue emp e qual pevamee la pma pece aoppa e l'ala uce a meà, avemo 3.

33 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea T π 9,6.,693 Il cclo fluuazoe veà ua elle avee pe ceo l ceo fluuazoe e avee pe ema E, E oe le ampezze elle fluuazo aao f E, f E. Il appoo elle ampezze elle ue fluuazo uleà f f La famgla e ccl fluuazoe aà fomaa queo cao u eme ell omoeche ave pe ceo comue l ceo fluuazoe ve fg

34 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 8. Occupamoc oa el umeo meo vu elle ue pece uae u cclo. Rpeamo pecò le equazo A', A'. Dveo ambo memb pevamee pe e avemo log, log e egao fa ue emp ' e " e qual e aumoo pevamee valo ', '' ; ', '', oeà " log ' ' ' " " " ' " ', log " '. Se eeamo gl egal a u peoo T pm memb aulleao e avemo vale a e T T T 34

35 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea T T T T Le mee e valo e u peoo oo uque egual a e vù elle 4 T T K, T K, T Coè le cooae el ceo fluuazoe oo valo me e ume vu elle pece uae u cclo. e egue che e,,,, maegoo coa, le mee egl vu elle ue pece uae u cclo fluuazoe aao empe le ee comuque ao ume zal vu elle ue pece. Veamo aeo come cambao quee mee col cambae e, uppoeo e coa. S vee ubo che la mea ella pma pece cece popozoalmee a e quella ella ecoa pece ecece. 35

36 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea popozoalmee a fché quea quaà maee pova. Oa fa cecee gfca uggee ufomemee vu ella ecoa pece quaà popozoale al loo umeo e fa ececee gfca uggee ufomemee vu ella pma pece quaà popozoale al loo umeo; e vee che, e cechamo uggee coempoaeamee vu ambeue le pece ella maea azea, maeeo peò empe povo, acceceà la mea egl vu ella pma pece oa quella magaa, mee muà la mea el umeo egl vu ella ecoa pece quella magae. ella fg. 5 abbamo appeeao l paaggo a u cclo Λ copoee a paame, a u cclo Λ' copoee a paame ' <, ' >, paame e oo uppo vaabl e ' >. S può mmagae che queo paaggo avvega u ae copoee al puo P coo ue ccl, coè eza che quell'ae avvega u eble muameo el umeo egl vu elle ue pece, muameo peò che coll'aa el empo mafeeà vù ell'azoe coae ovua al cambameo e paame,. Il ceo Ω' ella Λ' è poao a ea e bao peo a Ω, l che accea a ua muzoe el valoe meo, e u aumeo el valoe meo. Aumeae la poezoe ella pece magaa alla voacà ell'ala gfca mue e ; e cò co 36

37 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea poe a u aumeo elle quaà mee elle ue pece 6*. 9. o poamo aumee ve ula oeu elle legg egue che chameemo le legg foameal elle fluuazo ue pece covve: a LEGGE DEL CICLO PERIODICO. Le fluuazo elle ue pece oo peoche e l peoo pee olao a,, C, coè a coeffce accecmeo e eaumeo e alle cozo zal. a LEGGE DELLA COSERVAZIOE DELLE MEDIE. Le mee e ume vu elle ue pece oo coa qualuque ao valo zal e ume vu elle ue pece fché maegoo coa coeffce accecmeo e eaumeo elle ue pece e quell poezoe e offea,,,. 3 a LEGGE DELLA PERTURBAZIOE DELLE MEDIE. Se ceca uggee ufomemee e popozoalmee al loo umeo gl vu elle ue pece, cece la mea el umeo vu ella pece magaa e muce quella egl vu ella pece magae 7. 6 * el. ell'appece a quea Memoa poa quao, a queo puo, è coeuo ella gà caa Memoa ell'acc. e Lce. 9 el 3 ale Memoa e che qu è ao omeo all'auoe. [.. R.]. 7 S ee che quea legge vale eo ce lm, come è eplcamee eo el. 8, coè fché l coeffcee accecmeo coeva povo. el 5 veà pacolamee uao l lme eo cu ua caua uce ue pece favoce la pece magaa. 37

38 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea L'aumeo poezoe ella pece magaa aumea vece ambeue le mee. el cao cu le fluuazo oo pccole abbamo le egue legg appomae: a Le pccole fluuazo oo ocoe, coè l loo peoo o ee eblmee é el umeo zale vu, é elle cozo poezoe e offea. a Il peoo fluuazoe è agoe compoa elle ac quaae e emp e qual la pma pece a ola aoppeebbe e la ecoa a ola uebbe a meà T 9,6. 3 a La uzoe ufome vu ella pece magae accelea le fluuazo e la uzoe vu ella pece magaa le allea. Se uggoo coempoaeamee e ufomemee vu elle ue pece cece l appoo ell'ampezza ella fluuazoe ella pece magaa all'ampezza ella fluuazoe ella pece magae. Semba che le pece amal pe le qual el loo ao auale le vefche quee legg oo le pù facl a eegu ao pec, e qual appuo eoo pece che uoo le ue elle ale. La peca coua couce ua uzoe ufome vu elle vae pece. La ceazoe ella peca uae l peoo ella guea e la pea el opo guea coucoo paagg paagoabl a quell coea opa a uo a u alo cclo. Iole la maggoe o moe abboaza 38

39 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea peca elle vae pece eemaa colle ache à ua mua ell'abboaza egl vu elle vae pece; qu le ache ella peca focoo e a ulle fluuazo. I ula elle ache moao accoo colle pevo maemache DIAGRAMMI DI FLUTTUAZIOE. I. Pe coue agamm che ao e fuzoe el empo pao alla equazoe A' coè 8 Cf. la oa al paagafo cu pala elle ache el o. D'ACOA. Ua uzoe e feome coe alla legge ella peubazoe elle mee l'ebbe CARLO DARWI quao, palao ella loa pe l'eeza, e: «The amou of foo fo each pece of coue gve he exeme lm o whch each ca ceae; bu vey fequely o he obag foo, bu he evg a pey o ohe amal whch eeme he aveage umbe of a pece. Thu, hee eem o be lle oub ha he ock of page, goue a hae o ay lage eae epe chefly o he euco of vem. If o oe hea of game wee ho ug he ex wey yea Egla, a, a he ame me, f o vem wee eoye, hee woul, all pobably, be le game ha a pee, alhough hue of houa of game amal ae ow aually ho». Ve. CH. DARWI, The og of pece by mea of aual eleco, o he peevao of favoue ace he uggle fo lfe. Sxh eo, wh coeco o 87. Loo, Joh Muay, 88 pp

40 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea e uppogo pe emplcà. La A ella fg. 6 pouce la fg. ; a ea poo cavae pe mezzo qu co u poceo 4

41 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea gafco poo oeee l pooo e ue egme e. Dvamo pecò l egmeo.7 ve A ella fg. 6 che appeea la ecuoe elle pa.,.3, 3.4, 4.5, 5.6, 6.7 e poamo la voe,,, 3, 4, 5, 6, 7 ull'ae elle ace ella B ella fg. 6, ul quale pue poamo l egmeo abao OP p. Sull'ae elle oae poeemo egme pov Oa, Ob, Oc, e egme egav O, Oe, Of, cava alla A ella fg. 6. Poeamo ella B ella fg. 6 pu a, b, c,, e, f al puo P e coucamo a pu, 6 pevamee le paallele a Pa e a P a pu 3, 5 le paallele a Pb e a Pe al puo 4 le paallele a Pc e a Pf e eemamo le loo eezo coll'ae elle oae. Oeemo coì ella B ella fg. 6 pu ', 3', 4', 5', 6' e ", 3", 4", 5", 6". Le loo aze all'oge, coae col loo ego, molplcae pe p aao valo / copoeemee a valo egual a, 3, 4, 5, 6. La quaà / uleà pova pe cecee e egava pe ececee; aà zeo pe eguale a e 7. Se o couamo la cuva che ha pe aca e pe oaa / oeemo la cuva B fg. 6 che à la velocà co cu vaa fuzoe eo.. o voglamo oa coue la cuva che ha pe oaa pe aca. Da u puo M ve B ella fg. 6 ull'ae elle ace OM m poeamo pu ', 3', 4', 5', 6', e ", 3", 4", 5", 6". Scegleo coveeemee l'uà empo quee ee poao aume come paallele 4

42 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea alle age ella cuva cecaa e pu le cu oae hao pevamee le gaezze, 3, 4, 5, 6. e pu le cu oae oo ugual a e 7 le age aao paallele all'ae e emp. Rpoamo oa ulla ea AA paallela all'ae elle oae ella B ve C ella fg. 6 la voe,,, 3, 4, 5, 6, 7 e pe pu voe amo u faco ee oogoal a AA che eoamo co gl e ume. Se aumamo la ea AA come ae elle oae ella C, le ee queo faco c eoeao le vae alezze a cu oveao pu ella cuva che obbamo coue. Peamo a abo ve C ella fg. 6 ulla ea l puo copoee quea cuva e a eo amo la paallela alla ea M' ella B fo a coae la ea 3. Aumamo l puo 'coo come puo ella cuva cecaa che ova u quea ea. el paaggo alla ea alla ea 3,, oa l'oaa el puo ella cuva cecaa, è cecuo 3 3. Se chamo co 3 l'cemeo ell'aca avemo vù ella couzoe 3 3 '. m 3 Ma e eoamo co 3 l'cemeo el empo, pe quello che è ao eo el., avemo appomavamee 3 ' p 3 4

43 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea qu 3 m p 3 Cò gfca che co 3 è ea la mua Δ 3 ella cala ella B ella fg. 6. Dal puo oeuo ulla ea 3 amo la paallela alla ea M3' a coae la ea 4. Il puo che oee poà coeae appomavamee come puo ella cuva cecaa che gace ulla ea 4. Ifa è cecuo Δ e e l'aca è ce alla couzoe euce cua 34 3' 34 m 34 mee e Δ 34 è l copoee cemeo el empo eve avee ve. 'oe ' p 34 m p 34 la cala e emp è qu coevaa aleaa. Coì può poceee az e ovae appomavamee pu mmeaamee uccev ella cuva cecaa che gaccoo opa le ee 5 e 6. Ma quale aà l puo ella cuva cecaa che gace opa la ea, e 43 ;

44 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea quale aà quello che gace ulla ea 7? Sccome que pu le age hao la ezoe ell'ae elle ace coì vee che pe que pu o può poceee come pe gl al. Coveà qu coee a pecal afz pe oeee le ace que pu. 3. Suppoamo appomavamee che l'aco C G ella A ella fg. 6 a u aco paabola moo che la ua equazoe poa cve qζ, eeo q l paameo ella paabola, ζ la ffeeza fa l'oaa 'u puo geeco e l'oaa el vece C. Avemo, vù ella A', eeo, q ζ e uppoeo eleo l ao A G' aà 4 ζ α a cveo Oa a e eeo α coae. Poamo 5 a ξ ; aà vù elle 4 e 5 ξ a ξ q ξ ξ α 44

45 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea oa ξ qα a ξ a cu cava qα ξ a ξ e qu qα a aco g ξ a ove eoa l empo copoee all'oaa ella A ella fg. 6. Se uque è l empo copoee all'oaa fg. 6, A, avemo poo qα a aco g ξ a ξ x ove x è la aza ella A ella fg. 6. Oa poo a x aà x qζ eeo ζ l valoe ζ copoee al puo G. Qu a cagoe elle 4 e 5, 45

46 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea e pe coegueza α q α x ζ x x x aco g x a a x x x a aco g x a. Sccome x a è pccolo, peeemo appomavamee e qu aco g x a x. x a Chamamo l muao ella cala colla quale muao emp ella C ella fg. 6. Teeo coo e ula el umeo, avemo x a Duque m p. 46

47 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea x mp x a x m a p x. Il egmeo aà la ffeeza elle ace pu ella cuva cecaa, qual ovao ella C ella fg. 6 pevamee ulle ee e. La couzoe gafca el è faa, bae alla fomula peceee, ella D ella fg. 6. Co pocemeo aalogo covee coue al egme che oo cozo ml el che c aao le pozo e vec ella cuva elazoe a pu aace, e queo è pue fao D ella fg. 6. I mae pu 'oegoo col pocemeo el.. Teeo peee la peocà poemo polugae la cuva che ha pe oaa e pe aca. Sccome alla A ella fg. 6 poamo oeee pe mezzo, coì poemo ubo coue la cuva che ha pe aca, pe oaa. I ue agamm che ao e meae oo a poo cala vea ella fg. 7 polugaol a e peo. 47

48 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 4. EFFETTI DELLE DIVERSE AZIOI CHE POS SOO SCAMBIEVOLMETE ESERCITARSI DUE SPECIE COVIVETI.. Suppoamo avee ue pece covve e ao e ume vu cacua pevamee. Il umeo co vu ella pma pece co vu ella ecoa, che avvegoo ell'uà empo, aà popozoale a e poà qu aumee uguale a α, eeo α ua coae. Sao λ e λ coeffce accecmeo pov o egav elle ue pece quao cacua è ola. el cao che abbamo aao peceeemee λ è povo e λ è egavo. Iole gl co oo favoevol alla pma pece pece magaa, mee oo favoevol alla ecoa pece pece magae. Ichamo co l'cemeo vu ella pma pece e co l'cemeo vu ella ecoa pece ovuo a u ceo umeo 'co, pe eempo. el cao peceee ovebbe pee egavo e povo. el empo gl ceme elle ue pece aao pevamee λ α Poo λ α. 48

49 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea α μ, α μ le equazo pecee veao 6 λ μ λ μ e e poamo eveza eg, qual peeao el cao peceee, cveo λ λ μ μ ovamo le equazo A, A el, coè I al moo ea gufcao come è eo el. el l'ave peo coeffce accecmeo lea peo a e a.. Peamo aeo le 6 eza peoccupac e eg e coeffce, ammeeo coè che e poao 49

50 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea peee valo pov o egav; poemo aumele come appeea le legg accecmeo ue pece covve pe le qual λ e λ oo coeffce accecmeo, mee μ e μ oo coeffce cemeal 'coo. I eg λ e λ c coo e le pece accecoo o eaucoo a ole, mee eg e coeffce μ e μ c cao e gl co oo favoevol o favoevol all'ua e all'ala pece pevamee. Pe eempo e λ e λ aao pov e μ e μ egav cò gfcheà che le pece accecoo a ole, e gl'co oo favoevol a ambeue le pece. o poemo coeae u ca pobl Dalle equazo 6 egue μ μ λμ λμ 9 È ceo che mol fa eea pe la meca pooo fa eae e feome che peoo agl co e alle ecpoche azo fa pece vee pece umae e gem paoge; pece paaaa e pece paaa e qu le fluuazo elle epeme pooo ave appoo colle eoe qu vole. Cf. S ROALD ROSS, The peveo of Malaa, Seco eo 9; MARTII, Beechuge u Beobachuge zu Epemologe e Malaa Gee, Hambug, 9; A. J. LOTKA a F. R. SHARPE, Cobuo o he Aaly of Malaa Epemologe «Ameca Jou. of Hygee», Vol. III; LOTKA, op. c. Cca le poblà alcu que ca ve. 8 e 9 queo paagafo. 5

51 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea λ log log λ λμ λμ e ommao membo a membo log log μ λ μ λ. Iegao e paao a logam a ume λ μ λ μ 7 e C e ove C è ua coae pova. Pe uae l'aameo el feomeo, oa la cuva che ha pe equazoe la 7, coveà coue le ue cuve λ x C', μ x C" e λ μ e ove C' e C" oo ue coa al che C"/C' C peeo pevamee pe aca e oaa, x e, x e accoppae le ue cuve poeole cogl a elle ace l'uo ul polugameo ell'alo come ella fg.. Opeao come è fao el poà coue la cuva che ha pe aca e oaa. 4. I p ella cuva C eoa ua coae pova x C λ e μ, ecoo eg λ e μ, oo quao: fgg. 8, 9,,. 5

52 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Le cuve I e II oo coae u olo puo alle omal a x e la III e la IV ue pu eal o euo. Pe coeae u ca pobl baeà accoppae ua cuva u po co ua ello eo po o u alo po, qu avemo ca pc coè quae oo le combazo 4 coe ue a ue co pezoe. Que ca pooo vua co mbol I, I, I, II, I, III, I, IV II, II, II, III, II, IV III, III, III, IV IV, IV 5

53 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Pe eempo co II, III eamo la cuva oeua coll'accoppameo ella cuva colla cuva λ' μ' x C' e ella quale λ' <, μ' < λ" μ" x C" e ella quale λ" >, μ" < ; C' e C" eoao ue coa; uque la cuva II, III ha pe equazoe λ' μ' λ" μ" e C e λ' <, μ' <, λ" >, μ" < eeo C ua quaà coae. 5. Oa oevamo che pe paae al cao I, I al cao II, II baa cambae ella equazoe 7 eg e quao coeffce λ, λ, μ, μ, l che equvale a cambae quea fomula C /C, oe al puo va pco ella cuva che lega a o aleao le coe. Lo eo ca II, III e I, IV ; III, III e IV, IV ; I, III e II, IV. Ruceo uque alle ole cuve pcamee ffee, eao ca I, I I, II I, III II, III III, III III, IV. Ma l'ulmo è ao gà aao el maea pacolae. Lacaolo a pae eao olo ca uov I, I I, II I, III II, III III, III. 53

54 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea E oo appeea elle fgue egue: fgg., 3, 4, 5, 6, 6', 6". Le ulme e copooo al cao III, III. 54

55 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 6. La cuva copoee al cao III, III coa ue am po come ella fg. 6, quao uppoga che l mamo x ella cuva, x a moe el mamo x ella cuva, x. Se avee luogo l coao ue am aebbeo po come ella fg. 6' l che equvaebbe a cambae co ella peceee. Se ue mam foeo ugual alloa le ue cuve aaveeebbeo u puo oppo fomao u agolo come ella fg. 6". Pe calcolae que'agolo vamo membo a membo le equazo 6, avemo. μ λ μ λ μ μ Il puo oppo veà agguo quao μ λ,, μ λ qu quao cò avveà avemo lm μ λ μ λ μ μ μ λ μ λ lm μ λ μ λ μ μ lm e qu 55

56 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea oa lm μ μ λ λ lm ± μ μ λ λ. Duque la agee goomeca ell'agolo fomao alle ue age el puo oppo aà μ μ μ λ λ μ λ. 7. Voleo vale elle fgue pecee pe eamae u ca pobl ecceua quell ua el oevamo che, e elle 6 cambamo eg e quao coeffce, cò equvale a cambae, oe baeà cambae l eo cu col vaae el empo eve pecoee la fgua copoee. Poamo aumee que ula ella abella eguee fg. fg. 3 fg. 4 fg. 5 I, I.. λ >, μ >, λ >, μ > II, II.. λ <, μ <, λ <, μ < I, II.. λ <, μ <, λ >, μ > II, I.. λ >, μ >, λ <, μ < III, I.. λ >, μ >, λ >, μ < IV, II.. λ <, μ <, λ <, μ > III, II.. λ <, μ <, λ >, μ < IV, I.. λ >, μ >, λ <, μ > 56

57 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea fg. 6 fg. 6' fg. 6" III, III.. amo λ >, μ <, λ >, μ <.. amo IV, IV.. amo λ <, μ >, λ <, μ >.. amo III, III b.a. amo λ >, μ <, λ >, μ < a.b. amo IV, IV a.b. amo b.a. amo λ <, μ >, λ <, μ > III, amo,.. amo III 3 amo,.. 4 amo λ >, μ <, λ >, μ < IV, amo,.. amo IV 3 amo,.. 4 amo λ <, μ >, λ <, μ > ella abella peceee.. gfca che col cecee el empo la cuva va pecoa a a a ea,.. a ea a a, a. b. all'alo al bao e b. a. al bao all'alo. 8. I ol ca e qual poa agguge l'equlbo oo ca III, IV III, III e IV, IV e que ue ulm elle cozo famee poco pobabl cu ue mam o ue mm elle cuve accoppae po III o po IV oo ugual. Il pmo è u equlbo aua able, peché, poao l ema allo ao equlbo, avvegoo oo a eo elle fluuazo che pooo u ao pccole quao c pace ve l. Se ceca aggugee el cao III, III o el cao IV, IV l'equlbo aaveo uo qualuque 57

58 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea e quao am che ella fgua 6" fao capo al puo oppo, vee che eo o oeebbe che opo u empo famee lugo. D'ala pae poc ello ao equlbo l che o può peea che co u gao femo pobablà ua pccola peubazoe può alloaac famee a eo. I u gl al ca le ue pece eoo a eau, o ume vu ua elle pece o ambeue eoo all' e qu peeao cozo ablà. o abbamo coeao u ca pobl guao a eg e coeffce λ, λ, μ, μ. Coveebbe acoa aae ca e qual alcu que coeffce aullao. Soo eveemee ca famee poco pobabl, o meo peeao eee peché egao paagg a u po e u alo quell coea opa. o o l aeemo; ma el paagafo eguee aeemo l cao cu λ eeo λ <, μ <, μ > come paaggo fa l po III, IV e l po IV, II gacché è eceao volgelo pe eamae ua queoe pecale eee. Queo cao poà eve gua pe lo volgmeo egl al. Raumeo e aao u u ve ca coea ella pma pae el peee co e ecceuao quell famee poco pobabl può aee che la covveza elle ue pece u moo able e pemaee o può ave che el cao coeao el. I u gl al ua elle ue pece ugge 58

59 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea l'ala, o ambeue uggoo, o ve e è almeo ua che cece efamee. Eveemee queo ulao è puamee eoco gacché pacamee l cecee ua elle ue pece o può avvee al là u ceo lme. Que'ulma cozoe aà cua e appofoa ella ecoa pae F qu c amo occupa ella equazoe o ella cuva che lega a, ma abbamo acuao l'equazoe el empo. L'aulla e bom λ μ o λ μ ecluamo che cò avvega coempoaeamee copoe a mam o mm pevamee o che aumeemo egual a M e M. Pecò bom e oo fem 'oe / peo a M, M. e vee che λ μ, λ μ o vegoo f e e pu mamo o mmo. Veamo cò che avvee quao, vegoo. Oevao ula pecee ve fgg. -6" cooce che quao uo e ume vee, l'alo vee zeo o. el pmo cao vee, ell'alo cao e vegoo ello eo oe. Ifa 59

60 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea alle 6 cava, alloché e eoo ambeue all', lm λ μ lm λ μ Duque, come ce lo velao ue pecee egal, queo ecoo cao mae fo. Pe coegueza ume vu elle ue pece e aggugoo l valoe opo ecoo u empo fo; al em la cuva che lega a è pecoa, a pae a u puo zale fo al puo, u empo fo. I u gl al ca coempla queo paagafo le cuve oo pecoe u empo, e fa cacu eemo copoe all'aulla uo almeo e ume e. Se o oamo alla abella el. 7 cofoaola colle fgg. -6" vee che, vegoo coempoaeamee e ca fg. I, I; fg. 5 IV, I; fg. 6 IV, IV amo; fg. 6' IV, IV amo; fg. 6" IV, IV 3 amo. Tu que ca, e qual og coo è favoevole a ambeue le pece coè μ e μ oo ambeue pov, o embao pacamee ealzzabl. μ μ. 6

61 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 5. LIMITI ETRO CUI UA CAUSA DISTRUT TRICE DI DUE SPECIE FAVORISCE LA SPECIE MAGIATA.. o abbamo moao,. 8 che mueo, coè l coeffcee accecmeo ella pece magaa, e aumeao oa l coeffcee 'eaumeo ella pece magae, cece la mea egl vu ella pma pece e muce quella egl vu ella ecoa pece, oe abbamo eucao el. 9 la legge: Se ceca uggee ufomemee e popozoalmee al loo umeo vu elle ue pece, cece la mea el umeo vu ella pece magaa e muce quella egl vu ella pece magae. Ma abbamo agguo che quea legge è vala eo ce lm, coè fché maee povo.. S aa oa uae come avvee l feomeo e uo pacola. Deoamo co αλ l appoo fa l umeo vu ella pma pece che uggoo, vale a e che oaggoo alla aocazoe bologca ella uà empo, e l umeo oale vu ea, e co λ l'aalogo appoo pe la ecoa pece. Duae l empo olgoo alla aocazoe bologca pevamee αλ e λ 6

62 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea vu elle ue pece, oe le equazo A, A ovao mofca oueo ee, pevamee co αλ, λ. Il appoo aamoco fa quao ume,,, coè : : : α ϑ c aà l appoo elle peceual uzoe o oazoe elle ue pece che può uppoe peee olo al moo co cu avvee la ea uzoe o oazoe, mee la eà ella uzoe o oazoe può fa peee a λ. L'gae λ maeeo coa α e gfcheà qu efcae la oazoe poceeo empe ello eo moo pe eegula, mee cambae l appoo ϑ /α voà e muae l pocemeo co l quale coegue la uzoe o oazoe. Pe fe a u eempo coceo, coeamo ue pece pec covve, la ecoa elle qual ue ella pma. Accecee λ eza vaae é α é vuol e efcae la peca valeo empe ello eo mezzo peca, mee cambae ϑ /α vuol e cambae l meoo peca. 3. Le equazo A e A veao uque 6

63 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 8 αλ 8' λ. Se ' αλ > avveà la fluuazoe co u peoo T,. 5. Il umeo vu ella pma pece oa el empo aà e uae l peoo T αλ, T αλ, oe la mea vu oa ella uà empo aà P T T αλ αλ T. T Ma pe quao ula al,. 8 qu T λ T P αλ λ. ', 63

64 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Sccome αλ >, coì l lme upeoe λ aà /α e coegueza l lme upeoe P uleà P ϑ. m Se c feamo all'eempo coceo ella peca poemo cocluee che maeeo lo eo meoo peca coè ϑ coae, la quaà mea ella pma pece, pecaa ella uà empo, uae u cclo fluuazoe, o poà upeae P m poeo avvca a queo umeo ao quao c pace. Poemo ache e che P m aà ao pù gae quao pù gae aà l appoo aamoco ϑ. 4. Se λ olepaeà l valoe /α, ao che αλ <, alloa ceeà uee la fluuazoe, ambeue le pece eeao a eau ve 4,. 5 e aemo el cao eoao el 4 come l po IV, II fg. 4 cu l pecoo ella cuva è a ea a a. È eeae eamae l cao lme el quale λ agguge l valoe /α. S pevee alloa al puo paaggo al po III, IV al po IV, II. Come è eo el 4, o o abbamo coea ve ca paaggo fa va p; ma eameemo qu queo peché lo chee l oggeo che amo aao. Eo poà eve, come fu eo alla fe el 4, quale eempo ella aazoe e ve al ca paaggo a uo a u alo po. 64

65 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Se λ /α le 8, 8' veao 9, 9' ", ove " ϑ. Quee equazo ammeoo l'egale cf. 4,. " 3 e C, e ove C è ua coae pova. Poo " x e C, e le ue cuve Γ, e, Γ che hao pevamee pe aca e oaa, x e, x vegoo appeeae ella fg. 7: 65

66 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea oe, mpegao lo eo pocemeo che abbamo euo el,. 4. cf. fg. e fg., poemo egae la cuva che ha pe equazoe la 3 ve fg. 8. I valo mmo e mamo a, b aao le ue ac eal ell'equazoe 3' " e Il mamo b copoeà al valoe c e ao che C aà Ma abbamo b " c " log c logc " log a logc. a c 66

67 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea qu " log " 3 c a c c a c c a c c a b Dalle 9, 9' egue c " g ϕ eoao co φ l'agolo che la agee geeca alla cuva fa co l'ae. Chamao pevamee a ϕ e b ϕ valo φ agl eem a b, avemo b b c b g ϕ,. a c a g a ϕ Col cecee la cuva aà pecoa a ea a a, oa la aà couamee mueo. Calcolamo l empo eceao affché l umeo vu ella pma pece uca a a ' eeo a < < b, a < ' <. Applcao la 9 queo empo uleà. ' ' Ma alla 3 cava 67

68 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea a " log logc " log ; a c c qu pe a aulla ello eo oe a. Saà uque a Cò pova che, a qualuque puo ella cuva Λ fg. 8 paa, c avvca efamee al puo a eza ma aggugelo. I al em a qualuque ao zale paa, l umeo egl vu ella pma pece ee aocamee veo " a < c, mee la ecoa pece ee a eau. Quao ' αλ aulla, le cuve cclche ella fg. 3 aumoo al lme la foma ella cuva ella fg. 8. La pae appaa bao elle pme ee veo l ao eleo a b ella fg. 8. Ma mee le cuve ella fg. 3 oo oalmee e peocamee pecoe, l che couce l feomeo ella fluuazoe, l ao eleo a b o può ma vee pecoo peché pe aggugee l puo a occoe u empo famee lugo. Se c meamo po u puo qualuque el ao eleo a b ha coae e.. 68

69 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea ella fg. 9 oo appeeae e cuve I, II, III, che ecoo a u meemo puo P. Ee hao pevamee pe equazo: I. II. III. ' " ' e C' e e e C" "' e C'' ' h e. La I è ua cuva fluuazoe che copoe qu a ' > è pecò el po III, IV, la II è ua cuva el po quelle ella fg. 8 cuva paaggo al po III, IV al po IV, II, la III è ua cuva el po IV, II e copoe a αλ egavo e eguale a h. Abbamo ole < ' < " < '''. Le ee cuve fecoo pevamee a e ca cu l'eà ella uzoe elle pece o agguge l lme /α, o lo eguagla, o lo opaa cf. 4,

70 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea ello uo elle fluuazo copoe alle vee cuve el po I, ovamo u eempo pco u lme upeoe che o è u mamo. Ifa, ma mao che colla eà λ ella uzoe c avvca al lme /α, la mea ' / egl vu ella pma pece cece eeo veo C " /, ma o può aggugee queo valoe peché e λ agguge l lme /α, la fluuazoe cea avvee e l umeo vu ella pma pece ee veo a feoe alle mee peceeemee aggue, mee la ecoa pece ee a eau. Olepaao colla eà ella uzoe l eo lme, ambeue le pece eeao a eau. I a cou elle e cuve e le elave fecce cao come poucoo le vaazo e e ca. È a oevae pe ulmo che, mee c avvca a /α colla eà ella uzoe, la mea egl vu ella pma pece aumeeà, ma l empo el quale bogeà compuae quea mea, coè l peoo ua fluuazoe, aà couamee e efamee ceceo. 7

71 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea PARTE SECODA Aocazoe bologca pù pece.. CASO DI U UMERO QUALUQUE DI SPECIE CHE SI DISPUTAO UO STESSO UTRI METO. I. È facle eeee cò che è ao fao el cao ue pece covve che coeoo lo eo umeo al cao u umeo qualuque pece. Ammeamo che l umeo elle pece a e che coeffce accecmeo ao,,..., uppoa cacua pece ola. Deoamo co F,,..., la muzoe ella quaà umeo el empo, quao ume vu elle vae pece oo pevamee,,...,. Quea fuzoe aulleà pe... ; aà pova e cecee e ceceà efamee col cecee efo cacua. Pe emplcà poemmo peee F leae coè F,,... α α... α ove coeffce α oo pov. Ma o laceemo F geeale. La peeza vu ella pma pece, ella ecoa ecc. fluà alloa u coeffce accecmeo uceo le a F,..., ove l 7

72 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea coeffcee povo mua l'flueza che ha ull'accecmeo ella pece la muzoe el umeo. Avemo qu le equazo ffeezal,,,..., 3 F,..., a cu egue e egao e paao a logam a ume Ce ove C eoa ua coae pova.. Dpoamo appo / oe gaezza, uppoamo coè avemo alloa e < 3 > >... > 3 lm. Ecluamo ca eguaglaza come famee poco pobabl. 7

73 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Queo ulao poa come coegueza che o può peee col cecee el empo valo ao ga quao c pace o lm Ma l pmo cao è a eclue, peché F cece efamee col cecee efo qu ella 3 l ecoo membo vee egavo alloché olepaa u ceo lme; oe l lme upeoe è fo. Dovà uque vefca l ecoo cao. Da cò egue che ue le pece eoo a pae ecceuaa la pma. Pe avee l'aameo aoco baeà peee quao è fao el cao ue pece ole.. - CASO DI U UMERO QUALUQUE DI SPECIE CHE SI UTROO LE UE DELLE ALTRE. I. Coeamo l cao pece e uppoamo che l'coo ue vu pece vee po empe u ulao favoevole alla pece a cu appaee l'uo e favoevole a quella a cu appaee l'alo, oppue u ulao ullo pe ambeue. Se è l umeo vu ella pece e l umeo vu ella pece la pobablà u coo u vuo ell'ua co u vuo ell'ala aà popozoale a, oe poemo aumee uguale a m l umeo co che avvegoo ell'uà empo. Suppoamo che a og coo vegao u p vu p 73

74 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea aà eveemee ua fazoe ua elle ue pece pe eempo ella pece, alloa ell'uà empo veao u m p vu quea pece. Veamo come può calcolae l'flueza che cò ha ul umeo vu ell'ala pece. U calcolo goolao può fa queo moo: Deoamo co,,..., pe me egl vu elle pece e co P, P,..., P pe oal u gl vu appaee a cacua pece. Pe avee ume vu cacua pece baeà che peamo P,..., P,... Oa e u vuo ella pece vee magao a vu ella pece l peo P veà P, mee l peo P veà P e pecò ume pev vu elle ue pece veao all'goo P P,. Duque moo goolao poemo e che ell'uà empo, vù egl co vu ella pece co vu ella pece, la muzoe vu ella pece aà aa a m p e l'aumeo vu ella pece, pue ell'uà empo, aà ao a 74 P.

75 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea m p Poo m p a avemo che la muzoe vu ella pece aà e l'aumeo 'vu ella pece aà a a o ache poo a a uppoo a a egavo poemo e che ume vu ella pece e ella pece cecoo ella uà empo vù e loo co, pevamee a. a, e qu el empo cecoo pe loo co pevamee a, a Lo eo poà pe og ala coppa pece. I al em ume /, /,..., / oo a au come gl equvale egl vu elle vae pece. Ifa ammeee che / vu ella pece poa afoma / vu ella pece, 75

76 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea gfca che / vu pece oo equvale a / vu ella pece. Come equvale o abbamo coì pe, pma appomazoe molo goolaa, le vee e pe me, ma c baeà ammeee come poe la eeza ume equvale, ache e que o cocao co gl've e pe me, pe oeee lo eo ulao che abbamo oa avuo.. Chamamo l coeffcee accecmeo ella pece alloché quea è ola, avemo alloa, e ue le pece vvoo eme, che el empo l'aumeo egl vu aà oe avemo le equazo ffeezal o ache a, a,,,..., B a,,,..., elle qual a a, a,,,... >. el cao ue ole pece, ua elle qual ua ell'ala o abbamo coeao le equazo,. 76

77 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea, Se o poamo a,. quee equazo aumoo la foma B, baa che o cvamo vece e eamo egavo. o veamo uque che queo cao o v è bogo u'poe pecale. Coì pue uppoamo avee pece e uppoamo che gl'vu ella pma uao quell ella ecoa; que egl'vu ella eza, qual alla loo vola uao egl'vu ella quaa pece e coì eguo fo alla ema. Avemo alloa le equazo ' 3 a, ' 3, ',...,, cu le,...,, e ' ',..., ' - oo ume pov. Poemo qu ceglee ume a, a 3, a 43,..., a -,,,,..., moo che a a a3 a3 a43 ',, ', 3, ' 3,.., a, 77

78 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea mee ammeoo ulle ue le ale a, qu le equazo pecee aumeao la foma B. U alo eempo poebbe ave coeao quao pece e uppoeo che gl'vu ella pma pece uao quell ella ecoa e que ao maga ache agl'vu ella eza pece qual uao pue quell ella quaa. I queo cao oeebbeo le equazo 3 3 ' , ' 3, elle qual le,, 3, 4, ', ' 3 oo ume pov. Ee pooo cve oo la foma B a a a a, , cegleo coveeemee,, 3, 4, a, a 3, a 34, e peeo ulle ue le ale a. I u que ca, come mol al che pooo mmagae, eu'ala poe è eceaa fae e ume,,... pooo ez'alo oee. 3. Le equazo B c ao ubo alcu eoem geeal: 78 a a

79 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Baa che uo almeo e coeffce accecmeo a povo peché le pece o eaucao ue. Ifa uppoamo > e,,... < η, a p avemo > p η. Se le pece eaueo,,,..., eeebbeo a zeo, qu poebbe ova u valoe el empo ale che, pe, poebbe ammeee qu e pe coegueza η < p p η l > > l e eeo l valoe pe. e egue che, col cecee efo, veebbe ao gae quao c pace, l che aebbe coazoe co < η. Se u coeffce accecmeo oo egav, le pece eaucoo, mee, e u oo pov, l 79

80 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea umeo oale 'vu ue le pece cece efamee. Ifa elle B uppoamo <,,..., eeo ua quaà pova. Sommao membo a membo le B avà oa log < <, e egao e paao a logam a ume: < e ove è eoao co l valoe zale. Quea eguaglaza moa che le eoo a zeo. Aalogamee, e avee eeo povo, oeebbe >,,..., e > oe ue le o poebbeo coeva feo a u umeo fo. È eeae o gugee queo eucao al eoema peceee. 8,

81 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Ambeue u c coucoo alla popozoe eguee: Cozoe eceaa e uffcee peché ue le pece eaucao è che u coeffce accecmeo ao egav. 4. Affché,,..., ao coa ovao eee ofae le equazo... oe le equazo B veao B' a. Chameemo quee equazo le equazo ella azoaeà. Il loo eemae C, a, a 3,..., a a,, a 3,..., a a 3, a 3,,..., a a, a, a 3,..., che chameà l eemae foameale, aà emmmeco, qu aà u quaao e è pa e aà ullo e è pa. C coveà uque guee l cao cu l umeo elle pece è pa a quello cu l umeo elle pece è pa. 8

82 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea 3. UMERO PARI DI SPECIE COVIVETI.. Abbamo o alla fe el paagafo peceee ue ca ecoo che è pa o pa. Comcamo al pmo cao. Poché a a avemo 3 log 33 a,,,..., Il eemae foameale emmmeco, a, a 3,..., a C a,, a 3,..., a a 3, a 3,,..., a a, a, a 3,..., aà geeale veo a zeo, peché gao pa. o lo ammeeemo empe povo, eeo eo u quaao e eeo famee poco pobable che eo aull. Chamamo A l'elemeo cougao a, coè ale che S oeà alle 33 A h a, h, h 8

83 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea Avemo pe coegueza h log A h. log h hh h h hh Ah. Ma A h A h, qu hh Ah h oe l'equazoe peceee veà h h h h ove è poo, log h Ahh h 34 q ha h h h e a cagoe ella 3 oa q log q log. q log Iegao e paao a logam a ume ha l'egale 83

84 Vaazo e fluuazo el umeo 'vu. Vo Volea C... q q q e e e ove C è ua coae pova. Quea equazoe può cve acoa, ella poe che le q ao ue vee a zeo, C'... q q q q q q q e q e q e ove q q q q q q C... C ' C, coè è ua uova coae pova. Poo q aà 35 C'.... q q q e e e Se q, q,..., q oo ume pov,,,..., aao pue pov e qu e e oe 84