Simulazione di moti con fogli elettronici

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1 Simulazione di moti con fogli elettronici La seconda legge della dinamica, F = ma, permette di determinare il moto di un oggetto. Infatti se di un corpo, considerato come un punto materiale di massa m, si conoscono ad un dato istante t 0 la posizione x 0; la velocità v 0; la forza F P,t che agirebbe sul corpo se fosse posto in un punto qualsiasi P dello spazio ad un dato tempo t; è possibile calcolarne la posizione ad ogni istante successivo 1. Tranne pochi casi semplici, risolubili esattamente, il calcolo effettivo del moto di un oggetto viene effettuato con calcolatori elettronici utilizzando metodi di approssimazione numerica. I risultati ottenuti sono affetti da errori che tendono ad aumentare col tempo; impiegando però metodi più sofisticati di quello che utilizzeremo negli esempi seguenti si possono raggiungere comunque delle ottime approssimazioni. Il procedimento di base che impiegheremo per determinare la posizione di un corpo ad un tempo t noti i parametri sopra elencati {posizione x 0, velocità v 0} ad un tempo t 0 è il seguente: 1. si suddivide l'intervallo di tempo tra t 0 e t in piccoli intervalli ciascuno di uguale durata Dt Si hanno così gli istanti t k = t 0 + k Dt dove k è un numero naturale (discretizzazione del tempo); ad es. se t 0 = 1 s e t=2s e Dt = 0,1 s, si hanno gli istanti {1; 1,1; 1,2;...; 1,9; 2}s dati dalla formula t k = 1s + k 0,1s (k da 0 a 10); 2. in un intervallo di tempo breve l'accelerazione di un corpo non può variare di molto quindi entro ciascun intervallo di ampiezza Dt l'accelerazione si può considerare costante ossia il moto si può approssimare con uno uniformemente accelerato 2 la cui accelerazione però cambia da intervallo ad intervallo ed è data dalla 2 legge della dinamica, a = F / m: tra l'istante t k e l'istante successivo t k+1, ossia nell'intervallo k, si ha quindi: a k = F k / m (F k : forza calcolata nella posizione in cui il corpo si trova al tempo t k) x k+1 = x k + v k Dt + ½ a k Dt² (moto uniformemente accelerato) v k+1 = v k + a k Dt (moto uniformemente accelerato) Nelle formule precedenti a k v k x k sono rispettivamente l'accelerazione, la velocità e la posizione del corpo all'istante t k mentre v k+1 e x k+1 sono la velocità e la posizione all'istante t k+1 immediatamente successivo ( t k+1 = t k + Dt ). Sulle tre formule precedenti è basato il calcolo iterativo della posizione dell'oggetto secondo questo schema: 1) dati iniziali (input): la massa m, la posizione x 0 e la velocità v 0 al tempo t 0, la formula che permette di calcolare la forza F (può dipendere dalla posizione e dalla velocità dell'oggetto ed eventualmente dal tempo), un intervallo di tempo Dt 2) ciclo: si ripetono i seguenti passi da 1. a 4., partendo dai dati al tempo t 0: 1. calcolo l'istante di tempo successivo: t k+1 = t k + Dt 2. calcolo l'accelerazione al tempo t k: a k = F k / m 3. calcolo la posizione all'istante successivo t k+1 : x k+1 = x k + v k Dt + ½ a k Dt² 4. calcolo la velocità al tempo successivo: v k+1 = v k + a k Dt (servirà per il ciclo successivo) 1 Esistono dei limiti: da una parte la meccanica classica non è applicabile a livello microscopico, dall'altra le previsioni sull'evoluzione di sistemi fisici non banali sono ineliminabilmente sensibili ai dati iniziali e anche le minime imprecisioni dovute gli errori di misura comportano una esplosione degli errori su tempi lunghi. 2 L'approssimazione si avvicina di più al valore esatto per intervalli di tempo più brevi ma di fatto non si possono utilizzare intervalli di tempo troppo piccoli perché gli errori di troncamento dei calcolatori diventerebbero troppo pesanti: un calcolatore può utilizzare solo un numero finito di cifre e deve quindi arrotondare i risultati. motisimulazioni_2.sxw pag. 1 di 14 17/05/2006

2 Lo schema precedente può essere facilmente realizzato con un foglio elettronico. Le prime righe le riserveremo a intestazioni e parametri della simulazione. Nelle colonne delle righe successive metteremo rispettivamente gli istanti di tempo, le posizioni, le velocità e le accelerazioni. Il tempo t 0 sarà sempre 0. All'inizio considereremo solo moti rettilinei per cui le posizioni, le velocità e le accelerazioni si possono indicare con un solo valore numerico per ciascuna grandezza. 1)Moto di un oggetto sottoposto ad una forza costante Prepariamo un foglio di lavoro come il seguente: Fig. 1 Foglio di lavoro base: forza costante Fino alla riga 10 la celle contengono i dati di input standard (posizione e velocità, massa dell'oggetto; intervallo di calcolo Dt), il valore della forza e le intestazioni delle colonne che conterranno i risultati della simulazione. A partire dalla riga 11 nelle celle sono inserite delle formule. Nella riga 11 sono scritte le seguenti formule: A B C D FORMULE: 0 =B3 =B4 =E7/B5 (spiegazione) istante posizione velocità accelerazione (a=f/m) Nella riga 12 vengono scritte le formule che verranno copiate per trascinamento nelle righe successive; dato che alcuni riferimenti (come quello a Dt, nella cella B7) devono rimanere uguali per tutte le celle copiate, si devono impiegare anche dei riferimenti assoluti (per ottenere i simboli $: premere Alt+F4 o F4 in Excel dopo aver scritto il nome della cella): A B C D FORMULE: =A11 + $B$7 =B11+ C11*$B$7+ 0,5*D11* $B$7*$B$7 =C11 + D11*$B$7 =D11 (spiegazione) istante precedente (A11) + incremento Dt ($B$7) posizione precedente (B11) + velocità * Dt + ½*accelerazione*Dt² velocità precedente + accelerazione * Dt per ipotesi l'accelerazione rimane sempre uguale Si selezionano poi le celle A12:D12 e si copiano per trascinamento nelle righe successive fino a raggiungere il tempo t finale (es. 3 s). motisimulazioni_2.sxw pag. 2 di 14 17/05/2006

3 Si può poi creare un grafico posizione-tempo (seguiremo le procedure di OpenOffice.calc) : si selezionano le prime due colonne contenenti i tempi e le posizioni (colonne A e B, comprese le intestazioni della riga 10), si preme il pulsante <Inserisci diagramma>, si muove il mouse sopra il foglio (il cursore assume la forma ) e si crea per trascinamento una selezione rettangolare; si sceglie il tipo DiagrammaXY: e il sottotipo Linee con simboli: si possono evitare i titoli in alto e la legenda (togliere la spunta) e impostare i titoli sugli assi (asse x: il tempo, asse y la posizione): premuto il bottone Crea si otterrà il grafico (v. Fig. 2) motisimulazioni_2.sxw pag. 3 di 14 17/05/2006

4 Fig. 2 Forza costante: dati e grafico s-t Per utilizzare degli estremi fissi per l'asse y invece della scala automatica: si clicca due vv. sul grafico, si clicca due vv. sull'asse y poi, nella finestra che apparirà (v. sotto), si sceglie la scheda <Scala> e si tolgono le spunte delle caselle "Automatico" per il minimo e il massimo e si impostano gli estremi. Per qualche variazione conviene però ripristinare la scala automatica (basta rimettere la spunta su "Automatico"): Il risultato di questa simulazione è banale (si ottiene quanto già si sapeva: il moto è uniformemente accelerato, la velocità aumenta linearmente col tempo, il grafico spazio-tempo è una parabola) ma lo schema del foglio può essere facilmente adattato ad altre situazioni. motisimulazioni_2.sxw pag. 4 di 14 17/05/2006

5 Per simulare la caduta libera (in assenza d'aria) basta scrivere al posto della forza nella cella E7 la formula corrispondente a mg ossia: =B5*9,8 Quesiti e prove: a) Cosa accade se la posizione è 5m o -5m e non 0 (cella B3)? b) Cosa accade se la velocità (cella B4) diventa 4 m/s? o -4? c) Cosa accade quando massa è di 4 kg e non 2 kg? d) Cosa accade se la forza costante diventa di 5N? o di -5N? e) Come si interpretano i risultati precedenti? f) Quale significato hanno i valori negativi per la posizione e velocità iniziali e per la forza? 2)Moto di un oggetto sottoposto a: forza costante + resistenza proporzionale alla velocità Si copia il foglio della simulazione precedente: si clicca col tasto destro sulla scheda del foglio e dal menù contestuale (Fig. 3) si sceglie <Sposta/Copia tabella... >; nella finestra di dialogo che si aprirà, Fig. 4, si mette la spunta su copia e si sceglie una posizione (nell'es. in ultima posizione). Il grafico in OpenOffice.calc deve essere aggiornato manualmente altrimenti verrà copiato quello vecchio. Per aggiornare il grafico: si clicca col pulsante destro sul grafico e si sceglie <Modifica area dati>. Nella finestra di dialogo si deve sostituire nella cella <Area> il nome del nuovo foglio, al posto di quello vecchio. Ad Fig. 3 Menù della scheda es. se comparisse come <Area> la formula $Fcost.$A$10:$B$31 si deve sostituire Fcost (=il nome del vecchio foglio) col nome del nuovo foglio, ad es. Tabella3, lasciando invariato il resto; si dovrebbe scrivere la formula $Tabella3.$A$10:$B$31 In questo esempio determineremo il moto di un corpo, con traiettoria sempre rettilinea, che è sottoposto a due forze parallele alla propria traiettoria: una forza costante, come nel caso precedente ed una forza di resistenza proporzionale alla velocità, ma con verso opposto ad essa. Una situazione del genere si riscontra nella caduta di un piccolo oggetto in fluidi viscosi come l'olio e, rendendo la resistenza proporzionale non alla velocità ma al suo quadrato, ad un corpo che cade in aria. Per effetto della resistenza del fluido al movimento, dopo una fase di accelerazione si arriva ad un moto a velocità costante. Infatti la resistenza è proporzionale alla velocità. Se l'oggetto Fig. 4 Finestra di dialogo Sposta/Copia tabella parte da fermo la velocità è nulla così come la forza di resistenza e quindi il moto è inizialmente governato solo dalla forza costante, che produce un moto uniformemente accelerato e un incremento della velocità nella direzione della forza. Man mano che passa il tempo però l'aumento della velocità determina un aumento della resistenza che cresce fino ad equilibrare la forza costante; quando si raggiunge l'equilibrio tra le due forze, l'accelerazione risulta essere nulla e il moto uniforme. Le modifiche da apportare al foglio di calcolo sono le seguenti: in H7 mettiamo il coefficiente di resistenza C; la forza di resistenza sarà data da -Cv, motisimulazioni_2.sxw pag. 5 di 14 17/05/2006

6 ossia l'opposto del prodotto del coefficiente di resistenza C e la velocità dell'oggetto; la formula dell'accelerazione, in D11, diventa la seguente =($E$7 - $H$7*C11)/$B$5 ossia: (F costante C*v)/m Si seleziona poi la cella D11 e la si copia per trascinamento nelle righe seguenti per aggiornare i valori dell'accelerazione. Le formule per la posizione e la velocità rimangono invariate per tutte le simulazioni, solo l'accelerazione dovrà tener conto delle diverse forze. Fig. 5 Forza costante con resistenza proporzionale alla velocità: dati e grafico s-t Si ottiene, dopo un tempo che dipende dall'entità relativa di F e C, un'accelerazione nulla e un valore costante della velocità (velocità limite). Il grafico spazio-tempo, dopo una fase di moto quasi uniformemente accelerato, evidenziato da un andamento simile ad una parabola, diventa sempre più rettilineo, come avviene nel moto uniforme. Come si determina il valore costante della velocità limite? 3)Moto armonico senza attrito In questo esempio simuleremo il moto di un corpo soggetto ad una forza di richiamo che tende a riportarlo nella posizione da cui era stato allontanato (corrispondente al valore zero della posizione) e che aumenta proporzionalmente alla distanza dell'oggetto; tali forze vengono dette forze elastiche. La situazione è ad es. quella di un corpo attaccato ad una molla, che esercita la forza di richiamo, ma è comune a tanti sistemi fisici: ad es. i pendoli o anche gli atomi in un solido (sono soggetti a forze simili: esistono delle posizioni di equilibrio stabile e se si allontanano da tali posizioni le forze interatomiche tendono a riportarli nelle posizioni iniziali.) La forza esercitata sull'oggetto si può scrivere come F elastica = -kx, dove il segno indica che la forza tende a riportare l'oggetto verso la posizione x=0 (infatti se si allontana verso destra si ha x>0 e F <0 quindi F spinge verso sinistra, se si allontana verso sinistra x<0 e F > 0 ovvero spinge verso destra) mentre k è una costante di proporzionalità, detta costante elastica (si misura in N/m, maggiore è k, più intensa è la forza di richiamo). motisimulazioni_2.sxw pag. 6 di 14 17/05/2006

7 Per approntare il foglio di calcolo si copia ancora il foglio della prima simulazione e in H7 si mette il valore della costante elastica k. La formula dell'accelerazione in D11 diventa la seguente: = - $H$7*B11/$B$5 ossia -k*x/m Si trascina la formula dell'accelerazione nelle righe seguenti. Conviene aumentare di molto il numero di valori calcolati ed estendere conseguentemente la selezione del grafico. Inoltre in questo esempio si faranno sentire gli effetti delle approssimazioni introdotte e per ridurre l'imprecisione si diminuisce la durata dell'intervallo di tempo in modo che l'ipotesi adottata (in ogni intervallo di tempo il moto è considerato uniformemente accelerato) sia più vicina alla realtà. Fig. 6 Forza elastica: dati e grafico s-t (sono state lasciate intatte le celle D7:F7 anche se la forza costante non è utilizzata in questo modello). Si ottiene un grafico spazio-tempo che è una sinusoide (moto armonico). Prova a variare l'intervallo di calcolo per osservare l'effetto delle approssimazioni. Prova a misurare il periodo dell'oscillazione (ad es. come intervallo di tempo tra due massimi/minimi) e cerca di determinare da quali parametri {tra x 0, v 0, m, k} dipende. 4)Moto armonico con forza di resistenza È il caso di una molla o di un pendolo reali, soggetti anche alla resistenza del mezzo in cui si muovono. Le forze di resistenza al solito tendono a frenare il moto dell'oggetto; il risultato è un moto armonico smorzato con ampiezze via via decrescenti. Copiamo il foglio della simulazione precedente e al posto della forza F mettiamo il coefficiente di resistenza C (celle D7:F7). Aggiorniamo sempre l'area dati del grafico col nome del nuovo foglio. La formula per l'accelerazione, in D11, diventa: =(-$E$7*C11-$H$7*B11)/$B$5 ossia (-Cv kx)/m (i riferimenti a k, C e m devono essere assoluti). Si copia la formula dell'accelerazione e si ha un grafico come quello mostrato nella figura seguente, con oscillazioni smorzate la cui ampiezza tende a zero. La distanza tra i massimi dipende da C o da k? motisimulazioni_2.sxw pag. 7 di 14 17/05/2006

8 Fig. 7 Forza elastica e resistenza proporzionale alla velocità: dati e grafico s-t 5)Moto di un proiettile In questa simulazione dovremo abbandonare i moti rettilinei. Considereremo infatti un oggetto lanciato da una certa altezza e con una data inclinazione. Il moto del proiettile si svolge in un piano, quello verticale contenente la direzione del vettore velocità. Per descrivere la posizione del proiettile (v. Fig. 8)adotteremo le sue coordinate cartesiane (x, y) nel piano verticale: x sarà la coordinata orizzontale, y quella verticale (valori positivi verso l'alto). Consideriamo poi con ordinata zero (ossia y = 0) la quota a cui si trova il terreno mentre il proiettile può partire da quote diverse (date dai valori di y iniziali). L'ascissa nulla (x=0) corrisponde alla posizione orizzontale del proiettile all'istante. Dovremo inoltre considerare le componenti della velocità lungo le due direzioni (v x, v y ) e quelle dell'accelerazione (a x, a y ). Queste ultime si ricavano dalle componenti della forza: a x = F x / m e a y = F y / m. Il proiettile in volo sarà soggetto alla forza di gravità e alla resistenza dell'aria. La forza di gravità è data da e dipenderebbe dalla distanza r tra il proiettile e il centro F gravi della Terra ma, dato che il corpo non si allontana molto rispetto al raggio terrestre (6378 km), possiamo approssimare la forza di gravità col valore (costante) che si ha al suolo (con r=r raggio della Terra): dove la costante g (accelerazione di gravità) vale F gra circa 9,8 m/s² ( g=g M R 2 ). Il segno indica il verso della forza, che è diretta verso il centro della Terra ossia per noi verso il basso e quindi per la forza di gravità si hanno le seguenti componenti: y=0 v x=0 x Fig. 8 Lancio d'un proiettile: coordinate motisimulazioni_2.sxw pag. 8 di 14 17/05/2006

9 F x grav = 0 e F y grav = - mg (forza: solo verso il basso, le y negative). La resistenza dell'aria ha la stessa direzione della velocità del proiettile ma verso opposto; assumiamo poi che il modulo della resistenza aerodinamica sia proporzionale alla velocità del proiettile. Se C è la costante di proporzionalità della resistenza aerodinamica (dipende solo dal mezzo e dalla superficie efficace del proiettile), assumendo la resistenza proporzionale alla velocità, avremo due componenti, ciascuna delle quali si oppone alla componente della velocità lungo il proprio asse: F z res = - C v x e F y res = - C v y Se la resistenza del mezzo è trascurabile, come nel vuoto, l'unica forza presente è la forza di gravità verso il basso e quindi le componenti dell'accelerazione lungo i due assi sono: lungo l'asse X: a x = F x /m = 0 lungo l'asse Y: a y = F y /m = -g (nessuna forza orizzontale; lungo x il moto è uniforme) (Fgravità, segno perché rivolta verso il basso) In questo caso si avrà la composizione di un moto uniforme per la coordinata x, con velocità uguale a quella v x0 (quindi x = v x0 t supponendo che al tempo x=0), con un moto uniformemente accelerato, con accelerazione -g e velocità v y0, per la coordinata y (quindi y =y 0 + v y0 t - ½ gt² dove y 0 è la quota ); la traiettoria sarà una parabola con la concavità rivolta verso il basso (basta ricavare t dalla coordinata x e sostituirla nell'equazione che dà y : si ottiene y = y 0 + v y0 / v x0 x ½ g/v x0 ² x² che è della forma y = c + bx + ax² ossia una parabola). Il moto in questo caso è indipendente dalla massa dell'oggetto, dipende solo dalla velocità e dalla costante g: lanciando una piuma o un TIR con la stessa velocità la traiettoria sarebbe la stessa e cadrebbero assieme. Prendendo in considerazione anche la resistenza dell'aria si avrà invece: lungo l'asse X: a x = F x /m = - C v x /m (solo la f. di resistenza; nel vuoto C=0) lungo l'asse Y: a x = F y /m = -g - C v y /m basso) (Fgravità e resistenza, entrambe verso il In questo caso lungo l'asse x la velocità diminuisce fino a raggiungere lo zero per la resistenza dell'aria mentre lungo l'asse y la velocità tende ad un valore negativo costante dato da -mg/c (velocità limite). La traiettoria differisce anche di molto da una parabola e dipende dalla massa del proiettile. A parte il raddoppio delle coordinate, delle velocità e delle accelerazioni dovute al passaggio dai moti in una dimensione a quelli in due dimensioni, lo schema del calcolo non cambia: si calcolano le accelerazioni si calcolano le posizioni si calcolano le velocità si ripetono i passi precedenti fino al tempo stabilito. Copiamo il foglio standard della prima simulazione (quella con F costante) e cancelliamo l'eventuale vecchio grafico. Fig. 9 Moti in due dimensioni: proiettile motisimulazioni_2.sxw pag. 9 di 14 17/05/2006

10 Nella sezione di input (v. Fig. 9) mettiamo le coordinate iniziali x 0 (in B3) e y 0 (in F3), le velocità iniziali vx 0 (in C3) e vy 0 (in F4), l'intervallo di calcolo Dt (in B7) la costante g (in E7) la costante C (per la resistenza dell'aria) all'inizio posta uguale a zero (in I7). Le intestazioni delle colonne per i valori devono essere cambiate come si vede nella figura 9: si devono raddoppiare le coordinate, le velocità e le accelerazioni. Nella riga 11 sono state scritte queste formule: A B C D E F G FORMULE: 0 =B3 = F3 =B4 = F4 (spiegazione) istante coordinata x coordinata y velocità x velocità y = - $I$7/ $B$5*D11 ax : - C vx /m = - $E$7- $I$7/$B$5* E11 ay : -g - C vy/m Nella riga 12 invece: A B C D E F G FORMULE: =A11+$B$7 =B11+D11 *$B$7+0.5* F11*$B$7^ 2 =C11+E11* $B$7+0.5* G11*$B$7^ 2 =D11+F11 *$B$7 =E11+G11 *$B$7 = - $I$7/ $B$5*D12 = - $E$7- $I$7/$B$5 *E12 (spiegazione) istante successivo solita formula del moto unif. accelerato, ma con velocità, accelerazione e pos. sull'asse x come a lato, ma per la y velocità x al tempo Dt velocità y al tempo Dt ax: basta copiare per trascinamento la cella F11 ay: basta copiare per trascinamento la cella G11 Si trascinano le formule della riga 12 fino al tempo massimo stabilito (ad es. 2 s). Si possono fare due tipi di grafici: spazio-tempo e traiettoria. Nel grafico spazio tempo (Fig. 10) avremo la coordinata tempo sull'asse orizzontale ed entrambe le coordinate spaziali X e Y su quello verticale: si selezionano tutti i dati delle prime tre colonne (da A a C) comprese le intestazioni della riga 10, si crea il diagramma al solito modo (opzioni: prima riga come dicitura > diagramma XY > linee con simboli > {titolo: distanze e quote; legenda; asse X: t[s]; asse Y: distanza e quote [m]}). Si ottiene un Fig. 10 Distanze dal punto (x) e quote (y) raggiunte dal proiettile durante il moto (nel vuoto). grafico come quello a lato in cui sono rappresentate al passare del tempo le distanze orizzontali dal punto di partenza (x) e le quote raggiunte dal proiettile (y; quando y <0 il proiettile si motisimulazioni_2.sxw pag. 10 di 14 17/05/2006

11 troverebbe sottoterra e non sono da considerare). Nel caso illustrato siamo nel vuoto (C=0) e quindi il moto lungo l'asse x è rappresentato da una retta (moto uniforme) mentre lungo l'asse y abbiamo una parabola (moto unif. accelerato). Per ottenere invece la traiettoria (Fig. 11), ovvero la curva formata da tutti i punti raggiunti dal corpo durante il moto, si selezionano, sempre dalla riga 10, le sole colonne delle coordinate (colonne B e C) e si crea un grafico al solito modo (opzioni: prima riga come dicitura > diagramma XY > linee con simboli > {titolo: traiettoria; legenda; asse X: x [m]; asse Y: y [m]}). Si dovrebbe ottenere, con gli stessi dati del grafico precedente, un diagramma come quello a lato. Per non avere distorsioni della traiettoria si dovrebbe riuscire ad avere sui due assi uguali distanze per uguali intervalli, altrimenti un arco di circonferenza diventerebbe un arco di ellisse; i fogli di calcolo non prevedono modi automatici per ottenere un tale risultato, bisogna operare manualmente impostando sui due assi intervalli uguali, mostrando la griglia per entrambi e poi cambiando i valori massimi/minimi o allungando/accorciando il grafico finché la griglia apparirà quadrata. Ci si può aiutare, come nella figura, piazzando un quadrato, creato con gli strumenti di disegno, sulla griglia. Non si devono confondere le due parabole ottenute nei due diagrammi nel caso di resistenza aerodinamica assente (C=0): il primo diagramma mostra la quota y del proiettile al passare del tempo, il secondo invece mostra la quota raggiunta ad una data distanza dalla posizione di lancio. Diventa più interessante introdurre le forze di resistenza; ad es. con C= 1 e m= 4 kg si ottengono i seguenti diagrammi (Fig. 12 e Fig. 13): Fig. 11 Traiettoria del proiettile nel vuoto. Il quadrato colorato serve per regolare le scale dei due assi. Fig. 13 Distanze dal punto (x) e quote (y) raggiunte dal proiettile in presenza d'aria (C= 1). Fig. 12 Traiettoria del proiettile in presenza d'aria (C=1) Prove e quesiti: a) Cosa accade aumentando il coefficiente C della forza di resistenza? b) Considera nulla la resistenza dell'aria (C=0), scrivi in I3 "velocità" e in J3 "angolo", poi in I4 scrivi 10 e in J4 scrivi 0; modifica il foglio in modo da ottenere vx0 (in B4) come I4*cos (J4*pi.greco()/180) e vy0 (in F4) come I4*sen(J4*pi.greco()/180) [si deve moltiplicare per PI.greco()/180 ossia p/180 per passare ai radianti]. Modifica via via l'angolo in J4 e cerca di stabilire per quale valore si raggiunge la massima gittata (massima distanza orizzontale del punto di ricaduta dal punto di lancio; tieni presente che y=0 è la quota del suolo). c) Qual è la gittata (distanza orizzontale del punto di ricaduta da quello di lancio) di un proiettile motisimulazioni_2.sxw pag. 11 di 14 17/05/2006

12 di 4 kg, con C=0, lanciato alla velocità di 1 m/s in orizzontale e di 10 m/s in verticale? Cosa accadrebbe sulla Luna che ha un'accelerazione di gravità pari a circa 1/6 di quella terrestre? e su Giove? 6)Moto di un pianeta Consideriamo un pianeta che interagisce gravitazionalmente con il Sole. Se M e m sono rispettivamente le masse del Sole e del pianeta e r è la loro distanza, la forza tra i due corpi è data da. Dal momento che la massa del pianeta è di molto più piccola di quella del Sole, possiamo Ftrascurare il moto del Sole gravita e considerarlo fermo. Inoltre si ha che il moto del pianeta si svolge in un piano, quello passante per il Sole e per il vettore velocità. Per descrivere la posizione del pianeta adotteremo le sue coordinate cartesiane (x, y) nel piano dell'orbita; il Sole rimarrà nell'origine del sistema di assi cartesiani. Dovremo inoltre considerare le componenti della velocità lungo le due direzioni (v x, v y ) e quelle dell'accelerazione (a x, a y ). La situazione è simile a quella dell'esempio precedente: l'unica differenza è che avremo a che fare con una forza gravitazionale che non è costante. Per calcolare le accelerazioni lungo i due assi determiniamo le proiezioni del vettore posizione r,cioè il vettore che unisce l'origine, dove si trova il Sole, al pianeta e che forma un angolo q con l'asse delle ascisse: le sue proiezioni lungo gli assi sono proprio le coordinate (x, y) del pianeta e inoltre si ha: cos q = x/r e sen q = y/r Le ultime due relazioni permettono di scrivere le proiezioni della forza di gravità sul pianeta, che ha la stessa direzione del vettore r (ma verso opposto: punta al Sole): F x = F gravità cos q e F y = F gravità sen q. Sostituendo l'espressione della forza di gravità ed esprimendo le funzioni angolari con le coordinate del pianeta si ottiene: e F x F= infine, dividendo per la massa m del pianeta otteniamo le componenti dell'accelerazione: y e a x a M x y = G M Invece delle unità del Sistema Internazionale conviene adottare le unità di misura "naturali" r per3 i moti dei pianeti del sistema solare: l'unità astronomica r 3 ua per le lunghezze invece del metro e l'anno 4 y invece del secondo. Adottando queste unità di misura la costante di proporzionalità k della terza legge di Keplero 5, T 2 = k a 3, assume il valore di 1 y 2 / ua 3, dato che per la Terra si ha T=1y e r=1 ua. Simpatiche manipolazioni algebriche standard, lasciate come utile esercizio, portano alle seguenti formule per le componenti dell'accelerazione nelle unità ua-y: e a x a= K x y = K y dove r,x e y sono in ua, le accelerazioni in ua/y 2 e la costante K, erede del prodotto GM, vale 4p 2 ua 3 /y 2. Le accelerazioni, e quindi r 3 il moto, non r 3 dipendono dalla massa dell'oggetto: tranne le perturbazioni provocate dagli altri pianeti, se la Terra si trovasse alla distanza di Giove, percorrerebbe la stessa orbita (e viceversa). Copiamo il foglio della simulazione precedente (proiettile) e cancelliamo l'eventuale vecchio grafico. Inseriamo una nuova colonna tra C e D. Nella sezione di input (v. figura seguente) mettiamo y r q x pianeta le coordinate iniziali x 0 (in B3) e y 0 (in F3), le velocità iniziali vx 0 (in C3) e vy 0 (in F4), 3 L'unità astronomica corrisponde alla distanza media tra Terra e Sole e vale circa 150 milioni di km. 4 Senza sottilizzare tra anno sidereo e anno solare; circa 32 milioni di secondi. 5 "Il quadrato del periodo di rivoluzione (T) è direttamente proporzionale al cubo del semiasse maggiore (a) dell'orbita del pianeta". motisimulazioni_2.sxw pag. 12 di 14 17/05/2006

13 l'intervallo di calcolo Dt (in B7) la costante K (in E7) che per il Sole vale circa 40 ua 3 / y 2. È stato poi aggiunto un riquadro in cui inserendo il periodo di rivoluzione T, in anni, si ricavano le distanze medie dal Sole (in ua), la velocità (in ua/y) e l'accelerazione (in ua/y²) del corrispondente moto circolare uniforme. Le formule sono le seguenti: R = T 2/3 [dalla 3 legge di Keplero], v= 2pR/T, a=v²/r. Fig. 14 Moti dei pianeti Le intestazioni delle colonne per i valori devono essere cambiate come si vede nella figura: si devono raddoppiare le coordinate le velocità e le accelerazioni inoltre, per efficienza di calcolo, è stata aggiunta una colonna (la D) con il cubo della distanza dal Sole. Gli istanti di tempo sono calcolati in giorni invece che in anni. Nella riga 11 sono state scritte queste formule: A B C D E F G H FORMULE: 0 =B3 = F3 = (B11*B1 1+C11* C11) ^1.5 =B4 = F4 = - $E$7*B1 1/D11 =- $E$7*C1 1/D11 istante (in giorni) coordinata x coordinata y cubo della distanza velocità x velocità y (spiegazione) componente x accelerazio ne componente y accelerazio ne Nella riga 12 invece: A B C D E F G H FORMULE: =A11+ $B$7*36 5 =B11+ E11*$B$ 7+0.5*G 11*$B$7 * $B$7 =C11+ F11*$B$ 7+0.5*H 11*$B$7 * $B$7 = (B12*B1 2+C12* C12) ^1.5 =E11+ G11*$B$ 7 =F11+ H11*$B$ 7 = - $E$7*B1 2/D12 =- $E$7*C1 2/D12 motisimulazioni_2.sxw pag. 13 di 14 17/05/2006

14 A B C D E F G H istante successivo, in giorni solita formula del moto unif. accelerato, ma con velocità, accelerazio ne e pos. sull'asse x come a lato, ma per la y come nella riga superiore; cubo della distanza velocità x al tempo Dt velocità y al tempo Dt (spiegazione) componente x accelerazio ne componente y accelerazio ne Le formule della riga 12 si trascinano fino al tempo di simulazione scelto (almeno 1 anno; con in dati dell'esempio si deve arrivare oltre la riga 3600). Conviene scegliere un tempo leggermente superiore al periodo calcolato nel riquadro. Per il grafico questa volta considereremo l'orbita e quindi si selezionano solo le coordinate (x,y). Alla richiesta di riordinare i dati rispondere NO. Alla fine si ottiene una curva (quasi) chiusa come quella a lato. Prova a variare l'espressione della forza di gravità ad es cosa accade se fosse inversamente proporzionale al cubo delle distanze? motisimulazioni_2.sxw pag. 14 di 14 17/05/2006