Costruzioni antisismiche

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1 Università degli studi di Padova Corso di Laurea in Ingegneria gestionale Relazione di Scienza delle Costruzioni Costruzioni antisismiche Studente: Lanciai Marco # Data:

2 INDICE INDICE... 2 Intensità, magnitudo e moto sismico del suolo... 3 Introduzione... 3 Intensità macrosismica... 3 Magnitudo... 4 Accelerazione del suolo e sua misura strumentale... 6 Attenuazione del moto sismico del suolo... 8 Spettro di risposta e analisi modale... 9 Richiami di dinamica dell'oscillatore semplice... 9 Definizione dello spettro di risposta Osservazioni sullo spettro di risposta Duttilità di una struttura e spettro di risposta di progetto Definizione dello spettro secondo l'eurocodice Spettro di progetto Commenti su un esempio

3 Intensità, magnitudo e moto sismico del suolo Introduzione Un terremoto è essenzialmente una frattura che si produce nelle rocce della crosta terrestre a seguito di un accumulo di energia di deformazione causato da agenti tettonici a grande scala, come il moto relativo tra due placche litosferiche a contatto. Di tale energia, ci interessa qui la frazione che all'atto della frattura viene convertita in energia cinetica e propagata a distanza sotto forma di onde sismiche. Dal punto di vista della misura strumentale del fenomeno, è fondamentale distinguere chiaramente le quantità che rappresentano la severità del terremoto alla sorgente, costituita di solito da una superficie di faglia irregolare della crosta terrestre, da quelle che misurano la violenza della scossa (moto vibratorio del suolo) in un punto a distanza dalla sorgente stessa. Per il primo scopo la grandezza normalmente impiegata è la magnitudo (espressa nella cosiddetta "scala Richter"), che dipende essenzialmente dall'energia cinetica rilasciata. In un punto a distanza, la misura del moto sismico più adatta a fini ingegneristici è invece l'accelerazione assoluta del suolo, e in particolare il suo valore massimo, giacché a questa sono proporzionali le forze d'inerzia che si esercitano sulle strutture. Diverse dalle precedenti, e meno adatte al trattamento quantitativo, sono le classificazioni empiriche dette di intensità macrosismica, quali la scala Mercalli e derivate, introdotte prevalentemente in epoca pre-strumentale e tuttora largamente usate. L'intensità macrosismica è tuttavia di importanza fondamentale costituendo quasi l'unico strumento disponibile per classificare la severità dei terremoti storici. Intensità macrosismica Le scale di intensità macrosismica classificano in modo empirico la severità di un sisma secondo una scala ordinale - espressa in gradi - degli effetti prodotti prevalentemente sulle strutture civili (danni alle costruzioni) e, in misura minore sull'assetto geomorfologico e geotecnico (danno geologico). La prima di queste scale, detta scala Mercalli, risale agli inizi del '900. Tale classificazione è stata successivamente perfezionata e sono state redatte la Mercalli-Cancani-Siberg (MCS) del 1923 con la versione definitiva del 1930, la Mercalli modificata del 1931, aggiornata ed espressa in forma più concisa nella scala Mercalli modificata (MM) del Recentemente è stata proposta la scala EMS-98 (European Macroseismic Scale, v. Grúnthal 1998) : che contempla una casistica dettagliata di tipologie costruttive e di livelli di danno, miranti a rendere il più oggettiva possibile la valutazione dell'intensità. A seguito di ulteriori rilevazioni, che in alcuni casi possono riguardare anche molte migliaia di edifici, viene costruita una mappa degli effetti del terremoto, o sotto forma 3

4 di un "piano quotato", in cui su ciascuna località viene riportato il grado di intensità, o tracciando curve dette "isosisme" attorno all'epicentro. Le isosisme delimitano zone entro le quali il terremoto ha provocato effetti comparabili. Il grado della isosisma epicentrale rappresenta l'intensità attribuita al sisma. La classificazione in termini di intensità è legata inevitabilmente alla qualità e alla tipologia delle costruzioni locali, e dipende anche dalla concentrazione abitativa della regione colpita. Al limite, un sisma violento che colpisca una regione desertica e non arrechi danni, potrebbe essere classificato con un grado di intensità molto basso. Le intensità dei terremoti storici italiani possono essere reperite nei principali cataloghi oggi disponibili. Magnitudo Il passo decisivo per caratterizzare l'energia meccanica globale dei terremoti, e misurarli quindi con una scala "assoluta" di tipo strumentale, fu compiuto nei primi anni '30 da C. Richter, presso il California Institute of Technology di Pasadena. Egli osservò che dati due terremoti aventi diversa intensità ma profondità locale comparabile, registrati dallo stesso sismografo a distanze poco diverse, il più forte produce oscillazioni del suolo più forti e quindi fa tracciare dallo strumento un sismogramma di maggiore ampiezza; se gli stessi due terremoti sono registrati da vari strumenti del medesimo tipo a distanze diverse e se per ogni strumento si riporta su un grafico la massima ampiezza registrata in funzione della distanza epicentrale, si possono costruire due curve (una per ciascun terremoto) congiungendo i punti relativi alle varie stazioni. Risulterà che la curva più alta sarà quella associata al terremoto più forte. L'uso dei valori di picco dei sismogrammi registrati consentì a Richter di analizzare quantitativamente i terremoti della California meridionale; egli disponeva di una rete regionale di sette stazioni dotate di strumenti uguali, cioè sismografi a corto periodo del tipo Wood-Anderson (WA). Rappresentando, come nella figura, le ampiezze di picco in funzione della distanza epicentrale di terremoti diversi in grafico logaritmico (più comodo visto che le ampiezze variano su circa tre ordini di grandezza), Richter notò che esse erano simili e, come si aspettava, con ordinate maggiori per gli eventi maggiori. Ciò significava che le ampiezze stavano tra loro in rapporto all'incirca costante, indipendente dalla distanza, e che pertanto si poteva ricavare direttamente una misura quantitativa relativa tra due terremoti. 4

5 Figura 1. Illustrazione del metodo Richter per la determinazione della Magnitudo Per ottenere una misura assoluta era solo necessario definire un terremoto campione come base di confronto. A tale scopo Richter scelse, arbitrariamente, l'evento che fa registrare a un sismografo standard (WA) un'ampiezza di picco di mm a 100 km (60 miglia) di distanza epicentrale, e gli assegnò magnitudo 0. Inoltre, fissato il punto di coordinate (100 km, mm) su un grafico come quello della figura, ricavò le ordinate A 0 di magnitudo 0 per distanze diverse da 100 km tracciando una curva simile in media alle precedenti. Misurando la differenza tra l'ordinata (log A) di un evento registrato a una certa distanza epicentrale e il valore di log A, per la stessa distanza si ottiene così una misura assoluta del terremoto. Dalle precedenti considerazioni discende la definizione della "magnitudo Richter" o "magnitudo locale", M = M L = log A - log A 0 (1.1) dove: A ampiezza di picco, in mm, della traccia registrata da un WA a una data distanza; A 0, ampiezza corrispondente del terremoto "zero" alla stessa distanza. 5

6 I valori di log A 0 stabiliti empiricamente da Richter per distanze comprese tra 0 e 600 km sono tabulati, discendono dall'espressione log A 0 = a log (R/100) + b(r - 100), dove R è la distanza ipocentrale (in km) e a, b sono coefficienti numerici. Per misurare M occorre dunque che il terremoto sia stato previamente localizzato, onde determinare la distanza epicentrale della stazione in cui è installato il WA; essendo però la magnitudo indipendente dalla distanza, essa rappresenta una misura del terremoto alla sorgente, ovvero dell'energia rilasciata. Se sono disponibili in ambito regionale le magnitudo misurate da più stazioni si esegue la media dei diversi valori riportati. Lo scarto, non trascurabile, è tipicamente dell'ordine di ± 0.3 unità. Merita notare che, in base alla (1.1), un incremento di un'unità in M richiede che l'ampiezza del moto aumenti 10 volte. Nel passare da M = 4 a M = 7, l'incremento d'ampiezza è dunque di 1000 volte, pari all'incirca al campo dinamico nominale del WA (da 0. 1 mm a 120 mm). L'uso della magnitudo M L presenta in realtà alcune limitazioni, ma l'idea di Richter si rivelò tuttavia molto fertile e permise progressi rapidissimi nello studio e nella classificazione dei terremoti, potendosi a ragione dire che con l'introduzione della magnitudo è nata la moderna sismologia quantitativa. Altre scale di magnitudo furono successivamente introdotte, definite in modo formalmente analogo a M L ma basate sui picchi di ampiezza del moto registrati in campi di frequenza diversi, più adatti a misurare la grandezza di terremoti originantisi a grande distanza o a profondità superiori a qualche decina di chilometri. Tra queste occorre menzionare la magnitudo M S. e la magnitudo momento M W. Dato che la magnitudo è una misura dell energia meccanica E rilasciata dalla sorgente si dimostra che, se E è espressa in erg (1erg= 1 dina x cm): log (E/E 0 ) = 1.5 M (1.2) E 0 =2.5 x erg Questa espressione è stata recentemente controllata in esplosioni nucleari sotterranee. E interessante notare che un aumento di una unità nella magnitudo è equivalente a un aumento di un fattore 32 nell energia. Si dimostra inoltre che dalla magnitudo dipendono sia la durata del processo di sorgente quanto quella del moto vibratorio del suolo a distanza. Accelerazione del suolo e sua misura strumentale La misura più significativa di un terremoto dal punto di vista strutturale è rappresentata dall'accelerazione del suolo e, in particolare, dal suo valore massimo. L'accelerazione sismica del suolo si misura con accelerografi, tradizionalmente detti 6

7 di tipo "strong-motion", adatti cioè a misurare moti sismici violenti, che forniscono una registrazione (analogica o digitale) dei segnale captato. I primi accelerografi, ovviamente di tipo analogico, sono entrati in uso in California nel 1933 (terremoto di Long Beach); nonostante l'evoluzione subita nel corso di decenni, gli strumenti di tipo analogico sono oggi da considerare tecnicamente obsoleti rispetto agli odierni accelerografi digitali. Ciononostante, essi rappresentano ancora la grande maggioranza degli accelerografi operativi in tutto il mondo, in particolare nelle regioni più sismiche d'europa. Alla fine degli anni '60 gli accelerogrammi significativi registrati erano meno di cento. Non esistono, per esempio, accelerogrammi del terremoto distruttivo del Belice (Sicilia) del Attualmente le stazioni accelerometriche operanti a scala mondiale sono circa , ed esistono varie reti accelerometriche locali a elevata densità (sopratutto in Giappone e a Taiwan). Ciascuna di queste comprende da diverse unità a diverse decine di strumenti entro un raggio di alcune centinaia di metri, in modo da poter registrare non solo l'accelerazione puntuale ma anche la sua distribuzione nello spazio. In Italia il primo accelerografo è stato installato a Messina nel 1965, e le prime registrazioni significative sono dei terremoti di Ancona del La rete accelerometrica italiana conta alcune centinaia di strumenti, quasi tutti installati da ENEL ed ENEA; dal 1998 essa è di proprietà dei Servizio Sismico Nazionale. Come si vedrà nel seguito le massime accelerazioni registrate a breve distanza dalla sorgente durante scosse distruttive recenti (con M ~ 7) sono di circa 0.8 g (terremoti di Northridge, California, del 1994 e Kobe, Giappone, del 1995). Per le scosse principali della sequenza sismica di Unqbria e Marche del settembre 1998, con M = , le accelerazioni massime registrate in zona epicentrale sono di g (registrazioni ENEL di Colfiorito e Nocera Umbra, peraltro influenzate da effetti di sito rilevanti). Il principio di funzionamento nel tipo di strumento convenzionale più diffuso (accelerografo SMA-1) è quello di un oscillatore dinamico a un grado di libertà, dotato di smorzamento, realizzato con un sistema a torsione. La frequenza propria è di Hz e il fattore di smorzamento rispetto al critico circa 0.6. Questa combinazione fa sì che la curva di risposta dinamica dello strumento risulti quasi piatta fino a circa 15 Hz, ovvero nel campo di frequenze di maggiore interesse per l'ingegneria sismica. Il campo dinamico teorico dell'accelerografo convenzionale, tipicamente da 0.01 g a 1 g. Negli accelerografi digitali di nuova concezione il trasduttore non è più un semplice sistema meccanico, bensì è del tipo detto a bilanciamento di forza: una forza, controllata elettronicamente con un sistema di retroazione, mantiene la piccola massa di un pendolo nella sua condizione di equilibrio. Misurando la forza necessaria per mantenere in quiete la massa, si misura l'accelerazione,cui quest'ultima è sottoposta a causa del moto del terreno. Tutte le caratteristiche della risposta sono realizzate nei circuiti elettronici di controllo della retroazione. 7

8 Attenuazione del moto sismico del suolo Nella pratica risulta spesso necessario stimare in modo speditivo la severità di un terremoto in un sito tramite pochi parametri rappresentativi del moto del suolo, come i valori massimi, direttamente utili a fini di progetto di opere diverse. Si usano a tale scopo espressioni empiriche, dette "relazioni (o leggi) di attenuazione", che descrivono, in forma sintetica, come diminuisce lo scuotimento del suolo propagandosi dalla sorgente sismica al sito. Esse impiegano la magnitudo (M) quale sola variabile indipendente per definire la grandezza del terremoto, e un'opportuna misura della distanza (d) come unica variabile indipendente per tenere in conto la propagazione delle onde sismiche dalla sorgente del terremoto al sito. Nelle formulazioni più recenti, sono presenti anche uno o più indicatori della geologia di superficie, o delle caratteristiche geotecniche del sito, sotto forma di una variabile logica (S) o di un parametro geomeccanico rappresentativo come la velocità (V S ) di propagazione delle onde sismiche trasversali. La variabile dipendente y = f (M, d, S) è normalmente il massimo in valore assoluto - in direzione orizzontale o verticale - dell'accelerazione (a max ) o della velocità (v max ) del suolo, ovvero l'ordinata di uno spettro di risposta medio per un prefissato valore del periodo. Nell'espressione y = f (M, d, S) compaiono coefficienti numerici che vengono determinati mediante regressione su opportuni insiemi di dati; per facilitare tale operazione, e per coerenza con modelli fisici consolidati, si assume frequentemente una dipendenza lineare di log y da M, log d, ed S. Un'utile relazione del tipo appena descritto per l'accelerazione massima è: log a max = M S log d S A S S P (1.3) d= (r ) 1/2 dove a max è il maggiore tra i due valori di picco orizzontali registrati dall'accelerografo, espresso in g, ed r, in chilometri, è la distanza più breve tra la proiezione in superficie della faglia generatrice del terremoto e il sito d'interesse. Per siti rocciosi (con valori indicativi di V S > 750 m/s) si assume S A = S S = 0; Per siti su materiali ben addensati (V A = m/s) S A = 1, S S = 0. Infine, per siti alluvionali da mediamente a poco addensati (V A = m/s) sono applicabili i valori S A = 0, S S =1. 8

9 Spettro di risposta Richiami di dinamica dell'oscillatore semplice Si consideri un oscillatore lineare a un grado di libertà, in particolare il sistema della figura 3, costituito da un traverso di massa m sostenuto da piedritti elastici di massa trascurabile, deformabili solo nel piano della figura. Lo schema non è in realtà rappresentativo di strutture di pratico interesse, tuttavia per la sua semplicità consente di chiarire gli aspetti elementari della risposta delle strutture durante un sisma. Limiteremo il nostro studio al caso in cui gli spostamenti del sistema rispetto al terreno si mantengano piccoli rispetto all'altezza h. In tali condizioni la massa può compiere rispetto al terreno solo spostamenti orizzontali nel modo indicato nella figura Figura 3. Sistema a un grado di libertà. Sia k la costante elastica complessiva dei sostegni; sia cioè kx la reazione esercitata dai sostegni sulla massa, essendo x lo spostamento di questa rispetto al terreno. La dissipazione del sistema nel suo moto sia definita da uno smorzatore viscoso di costante b, sia cioè bx la reazione esercitata dallo smorzatore sulla massa, essendo x la velocità relativa al terreno. Anche questa azione, come la precedente, se di valore positivo ha verso opposto a quello delle x positive. Quando il terreno compie degli spostamento orizzontali, y(t), nel piano della figura, la massa m si mette pure in 9

10 movimento per effetto delle forze che su di essa esercitano i sostegni elastici e lo smorzatore viscoso. Nostro proposito è appunto calcolare lo spostamento della massa, x(t), durante il terremoto, noti che siano la funzione di e le costanti del sistema m, k, b. Tenendo conto delle convenzioni di segno adottate nella figura, lo spostamento assoluto della massa m è dato da x - y. Allora il moto del sistema è governato dall'equazione di equilibrio: ovvero m(x - y) + bx + kx = 0 (3.1) mx + bx + kx = my (3.2) ove si è messo in evidenza, come forza esterna impressa al sistema, il termine noto my. La massa è pensata ovviamente in quiete all'istante zero e perciò le condizioni iniziali sono: (3.3) x(0) = 0, x(0) = 0. Sull'equazione (3.1) può farsi una utile considerazione: dividendo tutti i termini per m si ottiene: (3.4) x + (b/m)x + (k/m)x = y Nella dinamica delle costruzioni questi due rapporti sono espressi preferibilmente mediante altri due parametri, - lo smorzamento relativo allo smorzamento critico, ν = b/(2mω 0 ) - la frequenza propria, ω = (k/m) 1/2 mediante i quali la (3.4) diventa: (3.5) x + 2 ν ω 0 x + ω 0 2 x = y Per rendere familiari i due parametri ora introdotti, richiamiamo alcuni concetti di dinamica delle costruzioni. Consideriamo ancora il sistema della figura 3, sottoposto a una forza nulla per t < 0 e a una forza costante pari a F, per t > 0. La risposta del sistema è del tipo dei due diagrammi nella figura 4, a seconda che v sia inferiore o superiore a 1. 10

11 Figura 4. Risposta a una forza "a gradino". Il sistema tende in entrambi i casi asintoticamente allo spostamento F/k. Se lo smorzamento è nullo (b = 0; ν = 0) il sistema continua indefinitamente a oscillare attorno alla retta x = F/k e non si stabilizza mai. Per valori 0 < ν < 1, lo spostamento supera il valore asintotico e tende a stabilizzarsi su tale valore, tanto più rapidamente quanto più il sistema è smorzato, cioè tanto maggiore è il numero puro ν. Per valori di ν maggiori di 1 il sistema raggiunge il suo valore asintotico senza mai superarlo. Il minimo valore di ν per il quale si ha quest'ultimo tipo di comportamento è ν = 1 cioè b = 2mω 0. Tale valore dello smorzamento è detto smorzamento critico. Nell'ingegneria civile è opportuno riferire gli smorzamenti allo smorzamento critico: si dirà per esempio che le strutture comuni in costruzioni antisismiche hanno smorzamenti attorno al 5% dello smorzamento critico, le strutture in acciaio con collegamenti saldati, smorzamenti attorno al 2% dello smorzamento critico. Smorzamenti molto maggiori competono a strutture per le quali la deformabilità è essenzialmente localizzata nel terreno di fondazione, o in strutture in muratura. Quanto al termine ω 0, frequenza naturale, o frequenza propria o anche pulsazione propria, esso è legato al periodo naturale della struttura della relazione: T 0 = 2Π/ω 0,. Come è noto, se k ed m sono espressi nello stesso sistema di misura (sistema MKS o sistema tecnico, per esempio), W, è espressa in radianti al secondo. La frequenza w, è talvolta espressa anche in cicli/s. Per il suo intuitivo significato faremo nel seguito più spesso riferimento al parametro T 0. A titolo orientativo per un edificio multipiano per abitazione o per uffici in acciaio si ha, approssimativamente, T 0 = 0.1 N, ove N è il numero dei piani. 11

12 Definizione dello spettro di risposta In genere è sufficiente conoscere il valore massimo x max, che si raggiunge durante l'evento sismico e in tal caso la forza statica equivalente, cioè la forza che agendo staticamente è in grado di produrre lo stesso stato di sforzo nei supporti della struttura, è kx max. Si definisce spettro di risposta il rapporto S cioè S = k x max / (gm) (3.6) quindi il rapporto tra la massima forza di inerzia orizzontale che agisce sulla massa, e la forza gravitazionale. Come rapporto tra due forze, esso è un numero puro. Il diagramma di S in funzione di T 0, e per diversi valori del parametro ν, quale risulta dall'integrazione di una registrazione del moto del terreno è rappresentato nella figura 5. Un diagramma di questo tipo viene chiamato spettro di risposta al terremoto, o anche coefficiente di risposta. Dalla definizione di ω 0, è facile verificare che è anche: S (T 0 ) = ω 0 2 x max /g (3.7) Le più significative registrazioni vengono elaborate nei centri di ricerca specializzati, per ricavare, tramite la (3.5), il diagramma di S in funzione di T 0 e di ν. Osservazioni sullo spettro di risposta L'integrazione della (3.5) richiede la descrizione del moto del terreno tramite la grandezza accelerazione. In linea teorica, nota la funzione y(t) è nota anche la funzione y(t). Peraltro, l'accelerometro è uno strumento di semplice realizzazione, a differenza del sismometro. Inoltre l'operazione di derivazione di una registrazione, sia con un procedimento analogico sia con uno digitale, introduce necessariamente notevoli incertezze. Pertanto si tende generalmente a registrare le tre componenti dell'accelerazione del terreno. Sussistono le seguenti relazioni: x max = S(T 0 ) * m * g/k = S (T 0 ) * g/ω 0 2 (3.8) (x - y) max ~ S(T 0 ) * g (3.9) La (3.8) discende immediatamente dalla definizione di coefficiente sismico S(T 0 ). La (3.9) è una relazione approssimata, ben verificata nella maggior parte dei casi. Essa può essere giustificata nel modo seguente: nell'istante nel quale si verifica lo spostamento massimo, la velocità k è nulla. Con riferimento alla (3.1), in quell'istante è: 12

13 m(x - y) + k x = 0 (3.10) ovvero: m(x y) = - k x, e pertanto, m(x y) max ~ - k x max Da quest'ultima e dalla (3.7) si ricava la (3.9); il segno ~ sta a richiamare che nell'istante nel quale è nulla la velocità, è massimo x(t), ma non necessariamente raggiunge il suo massimo il primo termine della (3.9). La (3.9) è comunque confortata dai risultati d'indagini numeriche eseguite nel campo delle applicazioni che interessano l'ingegneria civile. Essa indica che lo spettro rappresenta, con buona approssimazione, la massima accelerazione assoluta della massa, in unità g. Se la struttura è rigida (T? 0), il suo moto coincide con il moto del terreno, e la massima accelerazione subita dalla massa m coincide con la massima accelerazione del terreno. Ovvero S(0) = y max. Se la struttura è molto deformabile, per esempio T 0 > 2 s, la massima accelerazione subita dalla massa m è inferiore al valore della massima accelerazione del terreno (si veda la figura 3.4). Nell'insieme di valori del periodo proprio compresi tra 0. 1 e 1 s, S, ovvero la massima accelerazione subita dalla massa, supera notevolmente l'accelerazione massima del terreno. Queste considerazioni si ripresentano nell'esame dei diagrammi della figura 3.4, e degli spettri di risposta di quasi tutti i sismi finora registrati. Poiché il moto del terreno è dovuto alla propagazione di onde, i punti interessati dalle fondazioni di uno stesso edificio subiscono anche degli spostamenti relativi. Le lunghezze d'onda in gioco sono generalmente grandi rispetto alle ordinarie dimensioni degli edifici, così che gli spostamento relativi suddetti sono di norma trascurati. Per costruzioni di dimensioni eccezionali, come una diga o un ponte, è necessario tenerne conto. Lo schema della figura 3.1 e la soluzione dell'equazione (3.5) che a esso si presta direttamente alle applicazioni pratiche solo nel caso di costruzioni molto semplici. Esso riveste tuttavia notevole importanza nell ingegneria sismica perché tramite l'analisi modale, la risoluzione di strutture più complesse, e quindi a più gradi di libertà, può in generale essere ricondotta alla risoluzione di più sistemi ciascuno a un grado di libertà Si osservi infine che i valori dello spettro sono più elevati quanto minore è lo smorzamento. L'influenza dello smorzamento è sensibile per strutture poco smorzate. Per strutture con smorzamenti attorno al 20% dello smorzamento critico od oltre, una variazione di ν non produce sensibili variazioni su S. Duttilità di una struttura e spettro di risposta di progetto Il terremoto da mettere in conto in sede di progetto viene di norma definito tramite uno spettro di risposta e non attraverso registrazioni dell'accelerazione del terreno. Lo spettro di risposta, in tal caso, rappresenta gli effetti della famiglia dei terremoti 13

14 possibili per il sito e può per esempio essere ottenuto come inviluppo degli spettri di risposta dei terremoti considerati rappresentativi, oppure come spettro di risposta medio, a seconda degli scopi che si perseguono. Lo indicheremo in ogni caso come spettro di risposta "di progetto". Per definire tale grandezza occorre premettere alcune considerazioni sulle verifiche che si compiono sugli edifici da erigere in zona sismica. Figura 3.5 Diagramma elasto-plastico della struttura. Con riferimento alla figura 3.1 e alla figura 3.5, sia F una forza esterna, applicata alla massa m. Il diagramma F-x sia per esempio di tipo elasto-perfettamente plastico, con valore ultimo F 0. Sia x 0, lo spostamento al raggiungimento del quale si ha una degrado riconoscibile della struttura. Il rapporto: μ = x max /x 0, è definito duttilità della struttura. La duttilità rappresenta quindi la capacità di resistenza della struttura oltre i limiti elastici. Se la struttura non ha un comportamento riconducibile allo schema elasto-perfettamente plastico, e se la forza F è una forza di natura alternata, variabile nel tempo, il comportamento può essere più complesso. Tuttavia ancora si potrà individuare un valore dello spostamento x max, oltre il quale si ha un degrado limite, e ancora si definisce duttilità il rapporto tra x max, e lo spostamento al limite elastico. Per definizione, se F è una forza esterna, applicata staticamente, al raggiungimento del valore F 0 la struttura diventa un meccanismo, e gli spostamenti sono indefiniti. E questa la condizione di collasso. Consideriamo ora F = F(t), come forza applicata dal movimento sismico ai piedritti, caratterizzato da un accelerogramma y(t) scelto in modo tale che F raggiunga per un breve istante il valore F 0. Questa condizione di carico non necessariamente coincide con il collasso della struttura. E una condizione raggiunta per un breve tempo, durante il quale la struttura ha uno spostamento attorno al valore limite x 0 e può avere uno spostamento residuo non nullo. Applicando alla struttura un accelerogramma ky(t), con k > 1, gli spostamenti massimi saranno maggiori di x 0, ma ancora la struttura potrà essere dichiarata agibile, ancorché danneggiata, purché lo spostamento massimo sia inferiore al valore x max, entro il quale la struttura è duttile. 14

15 Nel seguito vedremo che è possibile stabilire una semplice relazione tra la duttilità μ, lo spostamento massimo e il coefficiente moltiplicativo k. Ciò consente di evitare di dover compiere analisi non-lineari in fase di progetto e stabilisce una procedura di verifica anche per il sisma più severo atteso sul sito, sisma che può indurre un comportamento oltre il limite elastico. Si effettuano al proposito due analisi: una volta a verificare che la struttura nel suo complesso e gli elementi che la compongono abbiano una certa duttilità. La seconda è un'analisi lineare basata su uno spettro di risposta ridotto, detto "spettro di progetto". Questa riduzione è ottenuta introducendo un coefficiente q detto coefficiente di comportamento, legato alla duttilità della struttura e dei singoli elementi componenti. A questa stessa procedura è fornita talvolta una spiegazione concettualmente differente. Nello spirito della normativa si vorrebbero prescrivere due condizioni di verifica: la struttura deve essere in grado di sopportare in regime elastico il terremoto la cui intensità corrisponde, per la zona in esame, a un periodo di ritorno pari alla vita nominale della struttura stessa, (per gli ordinari edifici di abitazione si assume in generale una vita nominale di circa 100 anni) la struttura deve inoltre possedere sufficienti riserve di resistenza, oltre il limite elastico, per sopportare senza crolli (anche se con sensibili danneggiamenti un terremoto più violento di quello precedentemente definito e cioè di intensità tale che risulti in effetti trascurabile la probabilità che l intensità stessa venga superata dai terremoti che interesseranno in futuro la costruzione Con queste premesse, la normativa italiana vigente impone soltanto la prima verifica. Lo spettro di progetto, denominato coefficiente di risposta, vale: S(T 0 ) = (Si 2)*0.862/(100*T 0 2/3 ) per T 0 > 0.8 s = (Si 2)/100 per T 0 < 0.8 s (3.11) con Si, grado di sismicità definito comune per comune. Essi si dividono in prima categoria sismica (Si = 12) e seconda categoria sismica Si = 9. 15

16 Figura 5. Spettro di risposta, o coefficiente di risposta, secondo la normativa italiana Sulla base della registrazione dell accelerazione del terreno durante moti sismici, la funzione S(T 0, ν) può assumere aspetti svariati. E importante quindi precisare che lo spettro S(T 0, ν) prescritto dalle norme non intende rappresentare lo spettro del terremoto che ha maggiore probabilità di essere osservato nel sito. Esso è solo funzione per prescrivere la resistenza minima alle forze orizzontali richiesta a una struttura da erigersi in una generica zona sismica. Le norme autorizzano tuttavia a far uso di tutti i dati sulla sismicità locale che possono essere raccolti sul sito: è quindi consentito di far uso di diagrammi S(T 0, ν) differenti da quello indicato nella figura 3.6. Definizione dello spettro secondo l'eurocodice 8 Si individuano tre categorie di terreni. Sottosuolo di tipo A: 1. roccia o altra formazione geologica caratterizzata da una velocità di propagazione delle onde di taglio, V S, pari almeno a 800 m/s, includendo al massimo uno strato superficiale di materiale a più debole consistenza di 5 m; 2. depositi compatti di sabbia, ghiaia o argilla sovraconsolidata con spessori superiori a diverse decine di metri, caratterizzati da un graduale incremento delle proprietà meccaniche con la profondità (e da valori di V S, pari ad almeno 400 m/s a una profondità di 10 m). Sottosuolo di tipo B: 1. depositi profondi di sabbie mediamente addensate, ghiaia e argille mediamente rigide con spessori che vanno dalle diverse decine di metri alle molte centinaia, caratterizzati da valori minimi della V S, che vanno da 200 m/s a una profondità di 10 m, fino a 350 m/s a 50 m. Sottosuolo di tipo C: 1. depositi privi di coesione con o senza qualche morbido strato coesivo, caratterizzati da valori di V S, sotto ai 200 m/s nei primi 20 m; 2. depositi di terreni coesivi caratterizzati da rigidezze basse/medie e con valori di V S, sotto ai 200 m/s nei primi 20 m. Il moto del terreno durante il terremoto è definito dallo spettro di risposta elastico, S e (T), nel quale il termine "elastico" richiama che la formulazione dello spettro di risposta è stata fatta con riferimento a un sistema elastico. B 0 < T < T B Se(T) = a g S [1 + T/T BB(ηβ 0 1)] (3.12) 16

17 B T B < T< TC S e (T) = a g S η β 0 (3.13) T C < T< T D S e (T) = a g S η β 0 [T C /T] (3.14) T D < T S e (T) = a g S η β 0 [T C /T D ][T D /T] K (3.15) dove: S e (T) ordinata dello spettro di risposta elastico; T periodo di vibrazione di un sistema lineare a un grado di libertà; ag valore di progetto dell'accelerazione del terreno per il periodo di ritorno di riferimento, che per l'eurocodice vale 475 anni; T B, B TC limiti del tratto costante dello spettro di accelerazione; T D valore del periodo oltre il quale lo spostamento è costante; S parametro che caratterizza il sottosuolo η fattore correttivo dello smorzamento: assume un valore pari a 1.0 per uno smorzamento viscoso pari al 5%. Per i tre sottosuoli appartenenti alle classi A, B e C i valori dei parametri β 0, T B, B TC, T D, k 2, S sono riassunti nella tabella di seguito Tabella 1. Valori prescritti dall Eurocodice NB:il valore del coefficiente di correzione dello smorzamento η è dato dalla seguente relazione: η = [7/(2 + ν)] 1/2 > 0.7 (3.16) dove ν rappresenta il valore dello smorzamento viscoso della struttura, espresso in percento. 17

18 Spettro di progetto Come già accennato, per evitare di dover compiere analisi non-lineari in fase di progetto, la capacità di dissipare energia di una struttura, oltre il limite elastico, è tenuta in conto svolgendo un'analisi ancora lineare, ma basata su uno spettro di risposta ridotto, detto "spettro di progetto". La riduzione è ottenuta introducendo il coefficiente di comportamento q. Lo spettro di progetto S d (T), normalizzato rispetto all accelerazione di gravità g, è definito mediante le seguenti espressioni: B 0 < T < T B Sd(T) = α S [1+T/T BB(β 0 /q-1)] (3.18) B T B < T < TC S d (T) = α S β 0 /q (3.19) T C < T < T D S d (T) = α S β 0 /q [T C /T] K (3.20) T D < T S d (T) = α S β 0 /q [T C /T D ][T D /T] (3.21) dove: S d (T) ordinata dello spettro di progetto, normalizzato rispetto a g; α rapporto tra il valore di progetto dell'accelerazione del terreno e l'accelerazione di gravità g, (a = a g /g); q coefficiente di comportamento; k d1, k d2 esponenti I valori dei coefficienti β 0, T B, B TC, T D ed S sono riportati nella tabella 3.1 mentre quelli di k d1 e k d2 sono definiti nella tabella 3.2. Tabella 3.2 Valori dei parametri k d1 e k d2 I valori del coefficiente di comportamento q sono dati per i diversi materiali, sistemi strutturali e livelli di duttilità nei capitoli successivi dell Eurocodice 8. 18

19 Figura 3.8 Spettro di risposta elastico, secondo Eurocodice 8 Tabella 3.3 Massime accelerazioni del terreno, misurate durante recenti terremoti Tabella 3.4 Valori dei fattori di smorzamento critico per alcuni materiali 19

20 Figura Mappa sismica dell Italia 20

21 Commenti su un esempio Le figure qui di seguito riportano l andamento degli spostamenti e delle azioni taglianti in un edificiodi 15 piani fuori terra, sito a Los Angeles, nell ipotesi che l edificio sia soggetto al sisma di San Francisco del Il calcolo è stato effettuato al Muto Institute. Nell'edificio, al tempo del terremoto, erano presenti tre strumenti registratori: uno al quindicesimo piano, uno al settimo, uno alla base dell'edificio: sono stati pertanto possibili anche dei confronti tra accelerogrammi calcolati e quelli registrati dai due strumenti siti al settimo e al quindicesimo piano rispettivamente. La registrazione dello strumento sito al piano di spiccato dalla fondazione è stata assunta come funzione eccitante, cioè Per inciso i confronti tra calcoli e registrazioni si sono rivelati sorprendentemente buoni, come si era verificato per analoghi confronti, primo in ordine di tempo quello effettuato sull'edificio Alexander Building di San Francisco pure equipaggiato da tre strumenti ai tempi del terremoto del Tra i commenti che si possono fare al comportamento di questo edificio vi sono i seguenti: - l'edificio subisce le sue massime deformazioni dopo circa 8 s, mentre l'accelerogramma al piede ha i suoi picchi più violenti dopo 3 s; - visibilmente é eccitato dapprima il terzo poi il secondo modo di vibrare: lo mostra l'andamento sia delle azioni taglianti sia degli spostamenti; - la parte saliente e quella terminale del transitorio sono invece dominate dal primo modo di vibrare; - il contributo all'azione tagliante dei modi secondo e terzo rimane ancora presente nell'inviluppo delle azioni taglianti: lo mostra per esempio il fatto che l'inviluppo delle azioni taglianti, sia nell'uno sia nell'altro verso, ha alcuni tratti crescenti con la quota; per effetto del primo modo di vibrare si possono invece verificare solo azioni taglianti decrescenti con la quota. Osservando in particolare l'inviluppo delle azioni taglianti, frutto di una eccitazione di natura aleatoria e di un comportamento dinamico complesso, è ragionevole pensare che, qualora fossero destinati al progetto, il progettista curerebbe di rendere il loro aspetto simmetrico, monotono e ragionevolmente smussato. Si osservi allora che le irregolarità nell'andamento derivano principalmente dalla combinazione del secondo e del terzo modo con il primo, il quale (vedasi la parte terminale del transitorio) produrrebbe un diagramma monotono smussato. Orbene, il procedimento di combinazione dei modi proposto con la (3.51) ha le qualità cercate sotto questo punto di vista. Un'ulteriore osservazione di carattere generale sulle formule (3.49) (3.50) e (3.5 1). Si osservi l'andamento delle azioni di taglio nei primi istanti fino a 7.6 s. Dominano i modi di vibrare superiori al primo, caratterizzati da distribuzioni di forze di inerzia lungo l'altezza di segno alterno. L'azione di taglio alla base mantiene perciò valori ridotti. Agli istanti finali invece, pur con accelerazioni della struttura inferiori, (nelle 21

22 figure ciò non è esplicitamente visibile) hanno luogo azioni taglianti alla base maggiori. Infatti le forze d'inerzia hanno tutte lo stesso segno quando domina la deformata del primo modo. Lo stesso fenomeno, in modo ancora più vistoso, si verifica per il momento ribaltante alla base dell'edificio che non è però riportato nelle figure. 22

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