Introduzione alla teoria dei sistemi 1 a parte

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1 Intrduzine alla teria dei sistemi 1 a parte E.Crtellini, F.Eugeni 1.Mi sembrava infatti che avrei ptut ricnscere mlte più verità nei raginamenti.il cui esit può subit dp punirl se egli ha fatt difett di giudizi, che nn nei raginamenti cmpiuti nel chius del su studi da un um di lettere che specula su questini che nn prducn alcun effett e la cui unica cnseguenza nn sarà frse altra se nn che egli ne trarrà tanta maggire vanità quant più esse sarann lntane dal sens cmune, dat che avrà dvut impegnare tant maggire impegn ed artifici per renderle versimili. Cartesi Discrs sul metd La misura in cui le leggi della matematica si riferiscn alla realtà nn sn certe. E nella misura in cui sn certe, nn si riferiscn alla realtà. A.Einstein Gemetry and Experience Sunt: Vari sn gli esempi di sistemi che pssiam fare, per capire la vastità del termine, dei campi di interesse e delle metdlgie sttese.il livell di astrazine di un sistema prende il nme di livell di risluzine ed è fndamentale, per la cstruzine del mdell di sistema sul quale effettivamente perare. La frmulazine matematica del prcess,cstituisce il ver fulcr del prblema. 1 Dipartiment di Metdi per l ecnmia ed e il territri,università di Teram

2 Parle Chiave: sistema, mdellazine,equazine di stat,frma cannica. 1. Intrduzine In quest vlume dedicat all studi dei fndamenti della matematica, nn pteva mancare l apprcci tradizinale all applicativ.tale apprcci passa necessariamente per la Teria dei sistemi psti a fndament di qualunque legame che vada dalla teria generale alla teria applicata. La Teria dei Sistemi si può cllcare alla base di mltissime discipline dell scibile uman e si adatta, di fatt, cn differenti sfumature sia a discipline esatte, sia in discipline dve è centrale la prgettazine tecnica. Sistemi di tip esatt si incntran nelle aree di tip matematic, fisic, infrmatic, e tali sistemi hann il cmpit di chiarire i cntesti terici ve ci si muve. In settri prgettuali, cme quelli dell area relativa ad architettura ed ingegneria essi hann il cmpit di fare da pnte tra acquisizini teriche e realizzazini pratiche. La Teria dei Sistemi, tuttavia, si applica anche a discipline dve, questi rapprti sn più sfumati, anzi si cmpenetran tra lr, creand delle sinergie insspettate tra settri apparentemente mlt lntani tra lr. Csì la scilgia, la pedaggia, la psiclgia, tant per citare alcune discipline di interesse cmune lavran e agiscn utilizzand in frma più men cnsapevle la Teria dei Sistemi. La Teria dei Sistemi è una metdlgia di studi che si preccupa in prim lug di individuare le relazini che intercrrn tra le varie cmpnenti dell ggett sistema in esame, qualra si tenda a riguardarl ed esaminarl da un punt di vista glbale, immers naturalmente in un ambit più estes che si dice ambiente. In cntrappsizine cn la metdlgia sistemica pssiam prre la Teria Analitica che ha la tendenza a scmprre l ggett in esame, il sistema se si vule, in una miriade esplsine di parti elementari atmiche, vver cnsiderate tali, da studiare ciascuna indipendentemente dalle altre.

3 Un esempi di cntrappsizine di queste metdlgie ci può essere prestat dalla valutazine sclastica. Un studente viene valutat da un grupp di insegnanti di discipline diverse e cnsegue dei vti separati. La media matematica dei vti ttenuti esprime si una valutazine, ma tale valutazine, pur prvenend da un prcess analitic, nn tiene in alcun cnt le interazini tra le discipline ed è quindi una valutazine glbale mediata analitica e nn sistemica. Differente è l atteggiament secnd il quale il singl valutatre, pur avend memria del su giudizi individuale, l sttpne ad un esame cllettiv di cnfrnt cn quell di altri valutatri. Assieme essi addivengan ad una verifica di biettivi prederminati e di percrsi interdisciplinari. Essi csì esprimn un giudizi qualitativ sui prcessi lgici e relazinali acquisiti dal discente. Una tale metdlgia è certamente di tip sistemic e valuta glbalmente la maturità raggiunta rispett ad alcuni biettivi fissati. Il prim è il sistema ggi usat ad esempi nelle Università ai fini di stabilire il vt di laurea, sia pure cn l utilizz di un addend crrettiv, anche algebric, rispett alla media. Il secnd sistema descrive la metdlgia pensata e in us nei nuvi esami di stat. Vari sn gli esempi di sistemi che pssiam fare, per capire la vastità del termine, dei campi di interesse e delle metdlgie sttese. Il sistema macr che ci appare agli cchi girnalmente è il sistema slare, le parti del sistema sn i pianeti e il sle, le relazini tra le parti sn le leggi fisiche che reglan le attrazini tra i pianeti, il lr mviment, i fenmeni vari che pssiam sservare. E il sistema dell infinitamente grande al quale si può cntrapprre l infinitamente piccl, l stat atmic, che da lug a sistemi che nessun ha mai vist in cncret da vicin. Un sistema micr, per esempi, che ci appare men agli cchi, ma che è di imprtanza vitale per il singl è il sistema cardicirclatri dve le parti sn il cure e i vasi sanguigni. Le relazini tra le parti sn appunt il cmprtament del cure, delle vene, delle arterie etc. Un sistema men naturale, ma prdtt più dal pensier e dal cmprtament dell um è ad esempi il sistema ecnmic dve le parti del sistema sn le risrse, la prduzine, la distribuzine e il

4 mercat, a vlte fantmatic e bizzarr cme un cavall nn dmat. Le relazini sn le varie funzini di prduzine, la legge della dmanda e dell fferta. E interessante ntare cme strumenti analitici pssn essere di imprtanza ntevle in settri di quest tip. La determinazine delle risrse, nt che sia l biettiv di prduzine da raggiungere, è gvernat da regle matematiche precise, linearizzate per semplicità nel classic mdell di Lentieff ( per un apprfndiment si veda V.Di Marcell- F.Eugeni- D. Tndini, Matematica un apprcci, Edigrafital,1998,Teram). Più cmplessa è la valutazine della quantità di prduzine da raggiungere. Se la crescita indeterminata della prduzine prtò nel 1929 a fenmeni catastrfici, cme il fams crack del 29, ggi questa parte del fenmen viene cntrllata cn l Analisi di mercat che utilizza, di fatt la Statistica Ecnmica. Quest ptente strument, se usat cn la giusta cmpetenza, è frtemente indicativ. La cmplessità delle interazini che intervengn, che vann appunt dalla prduzine alle gestine delle scrte di magazzin, sn elabrate per via infrmatica, cn prgrammi avveniristici, che a vlte in temp reale cmpin perazini che sarebber impssibili per quegli stessi umini che hann prgettat i prgrammi. Da quest punt di vista vediam i sistemi infrmatici, cme strumenti di supprt: delle prtesi geniali atte a ptenziare le capacità gestinali anche di mdesti peratri. Per andare sul sciale citiam il sistema famigliare nel quale la parti sn i singli cmpnenti e le relazini sn le varie dinamiche che si stabiliscn tra le parti. Quest sistema ggi, cme ben sappiam, sta subend dei mutamenti ntevli. Esaurit il vecchi mdell piramidale cstituit dalla famiglia patriarcale, siam passati per mdelli di micr-famiglia, mdelli sstanzialmente in crisi per le richieste sempre più pressanti prvenienti dal mercat del lavr e cn tendenze vers mdelli più ampi cme quelli cnnessi cn il cncett di famiglia allargata, cncett che trva ancra delle frme di reazine cnflittuali. Prbabilmente un attenta analisi della stria e della evluzine del cncett di famiglia, ptrebbe prtarci ad una cmprensine più cnsapevle, almen di quelle che sarann le priezini per il futur. Un prblema che emerge è quell

5 dell assistenza degli anziani, la cui età media è in crescita cn tendenza ad essere abbastanza elevata, mentre la micr famiglia manifesta difficltà ntevli a cndurre, senza sacrifici imprpnibili, frme di assistenza adeguate. Da un punt di vista delle astrazini dalla realtà un sistema viene riguardat cme una scatla nera dtata di inputs e utputs. La scatla nera pu essere riguardata cme un insieme di blcchi, gnun dei quali sia una scatla nera, per evidenziare maggirmente il funzinament relazinale tra le parti/blcchi piuttst che il cntenut delle parti stesse. Il livell di astrazine dipende dall scp dell indagine che si vule effettuare e dagli intervalli di spazi e temp che si cnsideran. Il livell di astrazine di un sistema prende il nme di livell di risluzine ed è fndamentale, per la cstruzine del mdell di sistema sul quale effettivamente perare. Da un punt di vista glbale e in una fase iniziale vi sn gli input e gli utput del sistema-scatla nera. Aumentand la risluzine il mdell generale di scatla chiusa si apre, si rislve nell esame dei blcchi che cmpngn il sistema e alle mutue relazini tra i blcchi. In una successiva e più apprfndita risluzine ciascun blcc è suscettibile ad essere studiat, a sua vlta, cme un sttsistema e da ess pssn astrarsi nuve relazini anche da prtare all estern. Scp dei mdelli e di dare rappresentazini a vlte semplificate, a vlte fedeli, altre parziali per evidenziare gli aspetti significativi in funzine degli biettivi. Ancra può capitare che due sistemi riferiti a cntesti cmpletamente differenti si cmprtin e funzinin nell stess md. Si dice allra che i due sistemi sn ismrfi analghi e queste analgie vengn evidenziate all scp di trasprtare delle idee da un ggett di indagine all altr. Quand quest fenmen si stabilisce si dice che i due mdelli esercitan un azine di risnanza, nel sens che gni sistema riesce a vivificare l altr di nuve prblematiche. La Teria dei Sistemi si può pensare cme ben presente in tutte quelle attività che pssn essere classificate cme sistemi di calizini.

6 In un sistema cstituit da una pplazine nella quali gni singl individu ha un valre, può essere cnveniente che alcuni sttgruppi si cstituiscan in calizini all scp di ttenere, tutti assieme, un valre di grupp, superire a quell che sarebbe la smma dei valri dei singli cmpnenti. Una tale calizine si dice allra calizine vincente. aturalmente se la pplazine ha numeri enrmi cme nel cas di pplazini bilgiche le stime sui singli hann carattere del tutt aleatri e statistic, ccrrn iptesi frti per gestire mdelli sstanzialmente nn deterministici e legati alla cultura dell incert. n csì se la pplazine ricade in elenchi di facile gestine infrmatica. Senza terizzare mlt pssiam dire che è la stragrande maggiranza delle strutture ad essere rganizzate in tal md, da grandi Enti cme Regini e Cmuni, ma anche Università e ASL, assciazini di categria e strutture ve vi sn aree di cmpetenza, interazini tra aree, dinamiche tra le persne e cn gli utenti, tutti grandi sistemi dve la cmplessità e un aspett da apprfndire e valutare. Aspetti sui quali nn mi pss sffermare, ma di imprtanza ntevle, in relazine ai sistemi sn: 2. Mdelli Quand si vule studiare un sistema, in quant entità cmplessa, è necessari usare un mdell, più men semplificat, ma cmunque capace di evidenziarne gli aspetti significativi in relazine al cntest in cui viene pst ed esaminat. Quand il mdell frnisce una rappresentazine fedele del sistema, pur se in scala ridtta, ess viene definit mdell analgic. Viceversa, quand la realtà viene rappresentata cn mdelli astratti, questi vengn definiti simblici. Pertant si definiscn simbliche quelle mdellazini che descrivn i sistemi cme insiemi di relazini matematiche. Parimenti sn simblici i grafi, i diagrammi.

7 2.1 Il cncett di mdell matematic Per mdell matematic di un sistema si intende una struttura astratta, slitamente un insieme di equazini, in grad di descrivere cn sufficiente accuratezza il cmprtament di un dat prcess, ciè del sistema dinamic reale in esame. Il grad di cmplessità del mdell matematic in termini di numer, grad e frma delle equazini, deriva dal giust cmprmess fra l esigenza di riprdurre il più fedelmente pssibile il prcess reale e quella di essere sufficientemente semplice nell impstazine e nella risluzine da permetterne la più ampia utilizzazine. n sl, ma il livell di apprssimazine( di incertezza) del mdell deve cndizinare gni mdell successiv piché risulterebbe inutile l us di tecniche dettagliate ltre l incertezza del mdell stess. Un insieme di relazini matematiche, che lega le diverse grandezze di un sistema rappresenta un mdell astratt le cui variabili pssn essere suddivise in quattr categrie fndamentali : grandezze d ingress maniplabili ( a ) grandezze d ingress nn maniplabili ( b ) grandezze d uscita primarie ( c ) grandezze d uscita primarie ( d ) Le grandezze d ingress maniplabili sn accessibili e pssn essere usate per il cntrll del sistema, mentre quelle nn maniplabili cstituiscn i disturbi agenti sul sistema stess. Queste variabili hann un andament casuale e incntrllabile e cndizinan in md imprevedibile il cmprtament del sistema. Il mdell matematic può essere quindi espress in frma grafica mediante l us di un schema a blcchi cme qui indicat ( fig.1). b sistema ( fig.1)

8 a c d Il sistema è rappresentat da un rettangl cn delle variabili in entrata e in uscita. Le frecce in entrata rappresentan gli ingressi cié le sllecitazini frnite al sistema,mentre le quelle in uscita rappresentan le grandezze che varian nel sistema in funzine degli ingressi. Il sistema viene rappresentat da un blcc piché nn interessa cm è fatt ciè l aspett strutturale, ma interessa piuttst il su cmprtament, i legami tra ingress e uscita ssia l aspett funzinale. Sugli schemi a blcchi sn definite delle particlari perazini che permettn di esprimere il md di perare dei sistemi sessi. 2.3 Classificazine dei mdelli matematici La natura di un mdell matematic è strettamente cnnessa cn le caratteristiche del sistema in studi e del grad di apprssimazine cn il quale l si vule rappresentare. Appare quindi evidente che i mdelli pssn essere classificati in funzine delle lr caratteristiche principali, si hann csì: Mdelli lineari e nn lineari Mdelli statici e dinamici Mdelli cntinui e discreti

9 Un mdell si dice lineare se è applicabile il principi di svrappsizine degli effetti tra le variabili d ingress e quelle d uscita. In cas cntrari il sistema è classificat del tip nn lineare. Quand le relazini che legan le variabili d ingress e quelle d uscita sn lineari (algebriche) il mdell è dett static.se invece la natura delle relazini fra le variabili e di tip derivat (equazini differenziali) il mdell si dice dinamic. Infine un mdell si dice cntinu discret a secnda che la variabile indipendente temp venga fatta variare cn cntinuità in md discret. 2.4 La cstruzine del mdell matematic La frmulazine matematica del prcess, ssia la sua traduzine nel crrispndente mdell matematic, cstituisce il ver fulcr del prblema, in quant è evidente che l individuazine di un errat mdell matematic di descrizine ltre ad nn avere utilità, induce ad una falsa cmprensine del sistema reale in esame cn le vvie cnseguenze in termini di analisi dei risultati. E quant mai imprtante, quindi, riuscire a rappresentare i sistemi attravers mdelli crretti ed in tal sens è utile ricrdare che la lr cstruzine avviene slitamente attravers due fasi, che nn si escludn ma che, anzi, si devn integrare per pter giungere a risultati significativi. Ci si riferisce in particlare al prcediment analitic e al prcediment sperimentale. Il prim, dett anche dall intern del sistema, cnsiste nell analisi accurata del sistema stess e nella sua suddivisine in sttsistemi, tali che l individuazine dei lr principi di funzinament sia più agevle e cmunque sian rappresentativi nel lr insieme dell schema prcedurale del sistema principale. ella fase seguente, pi, è necessari tradurre tali principi di funzinament nelle relazini matematiche che megli li descrivn ed elabrarli per giungere a risultati quantitativi.

10 Il prcediment sperimentale, dett anche dall estern del sistema, cnsiste nella ricerca di un pprtun mdell capace di restituire rispste simili a quelle generate dal sistema reale se gli vengn frniti alcuni dati in ingress. Quest prcediment si sviluppa attravers la Simulazine di una certa struttura matematica. I simulatri circuitali, derivanti dall analgia che può realizzarsi fra il sistema stess ed il circuit elettric equivalente, cnsentn di predire in maniera mlt precisa il funzinament del sistema, frnend infrmazini a vlte impssibili da ttenere cn misure dirette di labratri. Per definire la simulazine, è necessari cstruire un prgramma infrmatic la cui realizzazine è subrdinata alla frmulazine delle equazini circuitali ed alla realizzazine di algritmi per la lr sluzine Mdellazine dei sistemi dinamici cntinui Si cnsideri il sistema meccanic rappresentat in Figura 2, cstituit da un crp rigid di massa m che scrre su un pian senza attrit, che è ancrat, tramite una mlla di rigidezza K, ad una parete. Il crp è assggettat all azine di una frza esterna F.

11 Il mdell matematic, dett mdell dinamic nell spazi di stat, in grad di descrivere il mt del crp, ed in particlare la traiettria seguita dal centr di massa, è ricavabili impnend l equilibri, mediante il seguente sistema di equazini lineari del prim rdine: x 1 = x 2 x = (-k/m) x1 2 + (1/m) F(t) essend: x 1 (t) = x(t) la psizine della massa rispett a quella di rips, x 2 (t) = v(t) velcità della massa Quest mdell dinamic viene in genere descritt in md cmpatt, tramite la frma matriciale. Più precisamente, indicat cn x = [x 1 x 2 ] T il vettre di stat e cn F,g,h le seguenti matrici 0 F = k / m 1 g 0 g = 1/ m h = [ 10] il mdell che descrive il cmprtament della variabile di interesse può essere pst nella frma: x = Fx + gu y = hx La secnda equazine descrive il legame tra la variabile di interesse, detta funzine di uscita, e l stat del sistema. Fra i mdelli a temp cntinu è pprtun,anche brevemente, ricrdare il sistema eclgic preda-predatre di Vlterra-Ltka ed un mdell dell apparat cardi-circlatri uman. Il cmprtament di un sistema eclgic, cn una specie preda e l altra specie predatre,può essere descritt da una cppia di equazini differenziali Indicand cn x 1 il livell di pplazine,ciè il numer di individui,suppst cntinu, della specie preda

12 x 2 il livell della specie predatre, allra la cppia di equaziniche descrive il mdell è: x1 = ax - bx x 1 x2 = cx1 x2 + dx2 dve i parametri a, b, c e d sn tutti psitivi. Facend delle semplici cnsiderazini qualitative si vede che: per x 2 = 0 si ha una crescita delle prede tass di crescita pari ad a. per x 1 = 0 il livell dei predatri decresce cn tass d per x 1 x 2 0 ciè le specie sn presenti entrambe, il numer di prede decresce in funzine del numer di incntri preda-predatre, (-bx 1 x 2 ) ed il numer di predatri cresce in funzine del numer di incntri preda-predatre, (dx 1 x 2 ). Per simulare l apparat cardi-circlatri uman sn stati prpsti vari mdelli, di cmplessità ed accuratezza diversa. Partend da cnsiderazini di meccanica dei fluidi, la struttura del mdell è definita, di slit, facend ricrs ad analgie elettriche. Un mdell, dett mdell ad elastanza variabile, di us mlt frequente per la descrizine semplificata del sistema circlatri, che tiene cnt sl del ventricl sinistr e del caric arteris, cstituisce un sistema nn lineare, in quant sn presenti dei didi usati per mdellare le valvle mitrale e quella dell arta. Secnd tale mdell, il vlume VLV e la pressine interna PLV del ventricl sn legati dalla relazine: PLV (t) = PL0 + (VLV (t) -VL0 )E(t) + R VLV (t) in cui E(t), variabile nel temp in md peridic, cn perid pari a quell cardiac,è il parametr che descrive le capacità elastiche del muscl, PL0 e VL0 sn delle cstanti che rappresentan i parametri di traslazine. Ricrrend alla seguente analgia elettrica: differenza di pressine differenza di ptenziale) 1 2

13 prtata crrente, si ricava induttanza idraulica induttanza elettrica area della sezine retta capacità resistenza idraulica resistenza elettrica ne cnsegue che il vettre di stat del sistema è cstituit da: QL =fluss attravers l induttanza di caric Lc Lc =inertanza del sangue in arta P1= tensine ai capi del cndensatre Ca Ca = cmplianza arterisa VLV =vlume del ventricl che ne descrive l stat intern. La scelta delle variabile di uscita del mdell, sn : la pressine in ventricl, PLV, la pressine in arta, PA, il fluss in uscita dal ventricl. Le grandezze esterne che influenzan il cmprtament del sistema, sn :il parametr di traslazine PL0 per VL0=0 pressine media nel cicl in atri Pmc. Stt tali cndizini, il cmpless sistema di equazini che descrive l apparat in esame diviene: d 1 1 RTP Rc E ( t ) = P1 + Q L + V LV + C A C A C A C A P dt + P L0 QL d dt R = L c Rc (R P1 + L c 1) Q L Rc E( t ) + V L L R + L c P L0 V d Rid - ir 1RcR P1 Q R R R LV = L dt id id c ie( t ) E( t ) + (1 R )) R ( id +

14 ) ) ( Q Q L 1 LV L L c P V t E R P = LO c VL C L C C c P R V t E R Q R R P R ) ) ( ) ( ) ( 1 P 2 1 A = LO c VL L C P R V t E R Q RR RP ) ( 1 ) ( 1 ) ( P 2 1 LV + = Il suddetta sistema di equazini è stat ricavat dal circuit elettric equivalente al sistema cardicirclatri e ripr-tat in figura 3: fig Mdellazine dei sistemi dinamici temp discret Un tipic esempi di sistema a temp discret `e cstituit dal mdell dinamic di un magazzin. Indicand il livell della merce presente nel magazzin all inizi di un fissat intervall di temp cn Z t y ) ( e suppnend che gli rdini per il rifrniment del magazzin sian inviati al

15 frnitre all inizi del perid cnsiderat, ciè all inizi del t-esim perid di temp, e che il frnitre cnsegni nell arc di temp tra l inizi e la fine del perid t-esim la merce rdinata all inizi del perid t 1. Indichiam cme funsini d ingress del sistema u(t) la quantità rdinata v(t) la merce cnsegnata ai clienti durante il perid t. y(t)la funzine di uscita si vul cnscere livell della merce nel magazzin. Stt tali cndizini il legame tra le varie grandezze è espress dalla seguente equazine alle differenze finite del secnd rdine y(t + 1) = y(t) + u(t -1)- v(t) Una pssibile scelta delle variabili di stat `e: x x1 (t) = y(t), x2 (t) = u(t - 1) quindi si ha x (t + 1) = x (t) + x (t) - v(t) 1 x (t + 1) = u(t) 2 y(t) = x (t) Indicand cn F,g,h le seguenti matrici F = = 0 0 g h = [ 10] 1 il mdell che descrive il cmprtament della variabile di interesse può essere pst nella frma: x(t + 1) = Fx(t) + gu(t) y(t) = hx(t)

16 Senza entrare nell specific è dvers ricrdare i mdelli stcastici ciè i mdelli di tip nn deterministic in cui l evluzine dell stat dipende anche da fenmeni descrivibili sl in termini prbabilistici. Fra questi ricrdiam i mdelli usati per l analisi di sicurezza degli impianti industriali ad alt rischi. Un altr insieme di sistemi dinamici a temp discret di grande interesse, è quell cstituit dagli algritmi iterativi per il calcl numeric. Per studiare il cmprtament lgic di un sistema sn utili altri mdelli cme ad esempi le di reti di Petri. 3.Sistemi dinamici Si cnsideri un sistema, descritt da un particlare mdell matematic, e suddivis in sttsistemi S i descritti dai relativi sttinsiemi di relazini matematiche. Esattamente sia : S={ S 1 S S i.... S n } il sistema cstituit dagli sttsistemi e V ij ={v ij } l insieme delle variabili che descrivn le interazini fra l i-esim ed il j-esim sttsistema. Island il sttsistema S i ed indicand cn V i ={v i }l insieme delle variabili esterne, ciè le variabili che S i ha in cmune cn gli altri sttsistemi S n, allra queste variabili pssn essere suddivise in variabili dipendenti (u i ) ed indipendenti (y i ) ssia V i ={u i,y j } La suddivisine di V i,però, nn può essere arbitraria ed è tale che caratterizza gni sttsistema S i cme ggett rientat. Se si indica cn t la variabile scalare temp tale che : u i =u i (t) e y i =y i (t) ed inltre se il valre delle y i all istante t, nn è univcamente determinat dal valre assunt, nel medesim istante, dalle variabili d ingress u i,allra il sistema si dice dinamic.

17 Per un sistema dinamic è pssibile determinare la sua evluzine su un determinat intervall di temp [ô,t) mediante la funzine y( t ) = η[ t, τ, x( τ ), u(.) ] per gni t > ô (1) in cui : - y(t) rappresenta il valre assunt dall uscita in un cert istante t, che per il principi di causalità a cui necessariamente deve essere sggett il mdell, dipende sltant dalle variabili d ingress. - x(ô) è il valre assunt dalle altre variabili del sistema (di stat) - u(.) =u[ô,t) - ç rappresenta la funzine di transizine dell uscita In generale la funzine η [ t, τ, x( τ ), u(.) ] è la rappresentazine esplicita in uscita, a partire a partire dalla cndizine iniziale x(ô) all istante ô,stt l effett della sequenza d ingress u(.). el cas in cui t = τ si ha : [ t, t, x( t ), u( t )] g[ x( t ), u( t t] y ( t ) =η = ), (2) A questa equazine detta dell uscita ciè capace di descrivere l evluzine del sistema, ccrre abbinare un equazine che rappresenti l evluzine dell stat nel generic intervall[ τ,t], ciè che cnsenta di determinare x (t ) cme funzine di t, τ, x( t ) e l andament di u sull intervall da τ a t. Tale equazine è frmalmente csì identificabile: [ t, τ, x( t ), (.)] x( t ) = ϕ u in cui la funzine ϕ è detta funzine di transizine dell stat ed gni equazine capace di descrivere ö è detta equazine di stat.

18 3.1. Frma cannica dei sistemi dinamici a dimensini finite Generalmente nei sistemi a temp cntinu, la funzine di transizine dell stat è descritta da un insieme finit di equazini differenziali rdinarie; in tal cas la variabile di stat si evlve in un spazi vettriale n-dimensinale cn n-finit e di cnseguenza anche il sistema dinamic si dice che è n-dimensinale. L equazine vettriale di stat sarà del tip: n dve, per gni t, x r ( t ) R e r r r x &( t ) = f ), u r ( t ) [ x( t t] La funzine f r,inltre,dvrà essere sufficientemente reglare in md che per gni valre iniziale ammissibile della variabile x r, la sluzine esista e sia unica. el cas di sistemi dinamici a temp discret, invece, la frma nrmale dell equazine vettriale di stat è la seguente: R r r r r x ( t + 1) = f ), m. [ x( t ), u( t t] In gni cas, cmunque, l equazine di uscita è del tip: r r r y ( t ) = g ), [ x( t ), u( t t] p dve per gni t, y r ( t ) R. Da quant spra deriva che un sistema dinamic a dimensine finita in frma nrmale è: r r r r r r - invariante nel temp, se le funzini f ( x, u,.) e g( x, u,.) sn cstanti per gni x r e u r, ciè se sn indipendenti dal temp qualsiasi valre assuman.

19 r r r - Peridic ( di perid T ) se le funzini f ( x, u,.) e r r r g( x, u,.) sn peridiche di perid T. - Dinamic in sens prpri se la funzine g r ( x r, t, ) è cstante per gni x r e t ;ciè se è indipendente da u r, qualunque sia il valre di x r e di t. r r - Liber se le funzini f ( x, t, ) e g r ( x r, t, ) sn cstanti per gni x r e t.è da evidenziare che può essere ricndtt al cas di sistema dinamic liber quell in cui u r ha un sl andament ammissibile, ciè u r (.), infatti basta prre per gni t : r r r f ( x, t ) = f ), r r [ x, u( t t] r r r r r e g ( x, t ) g[ x, u( t ), t] =, e di cnsiderare quindi il sistema definit tramite le equazini di stat e di uscita dalle funzini f r e g r ; - autnm se è liber ed invariante nel temp ciè se le funzini f r e g r e sn cstanti per gni x r. - Lineare se le funzini f r (.,.,t ) e g r (.,.,t ) sn lineari per gni t, ciè se - r r r r r r r r r r f ( x, u, t ) = F( t ) x + G( t ) u, g( x, u, t ) = H( t ) x + K( t ) u dve F è la matrice dinamica G è la matrice d ingress H è la matrice d uscita

20 K è la matrice diretta. In relazine alle caratteristiche di tali matrici il sistema si definisce: 1) invariante nel temp, se dette matrici sn tutte cstanti 2) peridic, se dette matrici sn peridiche 3) dinamic in sens prpri, se K =0 4) liber, se K=G=0 5) autnm, se K=G=0 ed F e H sn cstanti Evluzine dell stat e stabilità dei sistemi dinamici L evluzine dell stat di un sistema è definita attravers la sua funzine di transizine che ci cnsente di determinare il valre assunt a gni istante t dall stat x r, a partire da un valre iniziale σ r, stt l azine di un ingress u r (.), sull intervall di temp [ τ,t]. La funzine x(.) = ϕ[., τ, σ, u(.) ] è il mviment di x r, prdtt da u (.), a partire all istante τ da σ r. Una delle nzini fndamentali per l studi dell evluzine dell stat del sistema è quella di stabilità. Per stabilità, facend riferiment a quella relativa al mt, si indica in genere l attitudine di un sistema dinamic a reagire cn variazini limitate del mt delle rispste a perturbazini dell stat iniziale dell ingress. r n Definizine 1. Pnend per gni δσ r R, le seguenti cndizini r rr r rr r x( t, δ σ ) = ϕ[ t, τ, σ + δσ, u(.) ] rr rr r rr r δ x( t, δσ ) = x( t, δσ ) x( t ) rr r r indicand ciè cn δ x (., δσ ) la perturbazine prdtta da una r variazineδσ r dell stat iniziale ed indicand cn z r la nrma euclidea di z r, si avrà che il mviment x r (.) è :

21 stabile se, per gni ε > 0 esiste una quantità δ ( ε ) > 0 tale r che per gni δσ r minre di nrma di δ ( ε ), risulta rr r r δ x ( t, δσ ) < ε, per gni t ; asintticamente stabile se risulta inltre rr r r lim δ x ( t, δσ ) = 0 t peridic di perid T se per gni t si ha r r x( t + T ) = x( t ) instabile, se x r (.) nn è stabile. Definizine 2. Si chiama traiettria il percrs descritt, al variare di t, dal punt x r ( t ) nell spazi di stat. Diciam che la traiettria crrispndente al mviment x r (.) è stabile se per gni ε > 0, esiste r δ ( ε ) > 0 tale che per gni t ' > τ e per gni δσ r minre in nrma di r r δ ( ε ), è pssibile determinare t ' ' ( t', δ σ ) > τ in md che risulti r r r r r r x( t' ' ( t', δ σ ), δσ ) x( t' ) < ε. Definizine 3. Dat un andament u r (.) [, ) dell ingress sull intervall τ, si dice che x r è un stat di equilibri, crrispndente a u r (.), r r r da τ in pi, se ϕ [ t,τ, x, u(.) ] = x, per gni t > τ, ciè se dà rigine ad un mviment cstante. Piché il mviment può essere stabile, instabile asintticamente stabile anche il crrispndente stat di equilibri si dirà che stat di equilibri stabile, instabile asintticamente stabile. La traiettria crrispndente ad un mviment cstante è un unic punt che si identifica prpri cn l stat di equilibri stess.

22 Bibligrafia [1]. R.E. KALMA, P.L. FALB e M.A.ARBIB, Tpics in mathematical systems thery, Mc Graw-Hill, ew Yrk, 1969 [2]. D. LUEMBERGER, Intrductin t dinamic systems, Wiley, ew Yrk, 1979 [3]. T. KAILATH, Linear systems, Prentice-Hall Englewd Cliffs, 1980 [4]. G. MARRO, Teria dei sistemi, Patrn, Blgna,1975 [5]. L.A. ZADEH e C.A. DESOER, Linear system thery, McGraw- Hill,Yrk, 1963 [6]. A.RUBERTI e A. ISIDORI, Teria dei sistemi, Bringhieri, Trin1979 [7]. S.P. BAKS Mathematical theries f nnlinear systems, Prentice-Hall, Englewd Cliffs, 1988 [8]. S. RIALDI, Teria dei sistemi, CLUP, Milan, 1973 [9]. P.H. STARKE, Abstract autmata, rth-hlland, Amsterdam, 1972 [10]. R. DE CARLO e R. SAEKS, Interamnecred dynamical systems, Dekker, ew Yrk, 1981 [11]. H. ICHOLSO, Structure f intercnnected systems, Peter Peregrinus, Stevenage, 1978 [12]. J.M. HOLTZMA, nlinear system thery, Prentice-Hall, Englewd Cliffs, 1970 [13]. M.K. SAI, Intrductin t algebraic systems thery, Academic Press, ew Yrk, 1981 [14]. A. ISIDORI. nlinear cntrl systems, Springer, Berlin, 1985

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