Prima di definire il lavoro nel caso generale, forniamo la definizione di lavoro in un caso particolare:

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1 1 Lavoro In fisica non si compie lavoro se lo spostamento è nullo. 1. Lavoro compiuto da una forza uniforme con spostamento rettilineo Il moto di un oggetto è legato non all azione di singole forze ma alla forza risultante. Un oggetto posato sul pavimento rimane fermo anche se agisce la forza di gravità. Oltre alla forza di gravità c è la reazione elastica del pavimento che bilancia il peso dell oggetto e fa sì che la risultante delle forze sia nulla. Quando spingiamo su un oggetto appoggiato sul pavimento, per esempio una poltrona come in figura, le forze agenti sono tre, ma l unica responsabile dello scivolamento orizzontale della poltrona è la componente orizzontale della forza. La componente orizzontale di è l unica che lavora nel senso fisico del termine. La forza peso e la forza normale non compiono lavoro. L idea che è alla base della definizione di lavoro in fisica è che una forza compie lavoro se contribuisce a provocare lo spostamento del corpo. Per cui se lo spostamento è nullo o avviene in direzione perpendicolare alla forza, la forza in questione non compie lavoro. Prima di definire il lavoro nel caso generale, forniamo la definizione di lavoro in un caso particolare: Se la forza è uniforme (ha lo stesso modulo e la stessa direzione e verso lungo tutto lo spostamento) e lo spostamento è rettilineo il lavoro è definito dal prodotto scalare tra forza e spostamento Il prodotto scalare tra due vettori ha come risultato una grandezza scalare, il lavoro è quindi uno scalare. Il lavoro può assumere valori positivi o negativi poiché. L unità di misura è

2 2 Riprendiamo la relazione:, per le proprietà commutativa ed associativa della moltiplicazione possiamo trascriverla come. Come si può notare dalla figura qui a fianco è uguale alla componente della forza parallela allo spostamento, ovvero. Possiamo quindi riscrivere la definizione di lavoro compiuto da una forza uniforme, quando lo spostamento è rettilineo: Nel caso siano note le componenti cartesiane dei vettori: e, Esempi: 1) Un libro di massa 600 g cade dal ripiano della libreria posto a 1,50 m da terra. Determina il lavoro compiuto dalla forza peso. In questo caso la forza è la forza peso costante ( ) e diretta verticalmente verso il basso, lo spostamento è rettilineo e diretto anch esso verso il basso. L angolo. 2) La ragazza in figura ha massa 55 kg.determina a) il lavoro compiuto dalla forza peso quando la ragazza si solleva da terra di 5.0 cm, b) il lavoro compiuto dai muscoli della ragazza quando si solleva da terra di 5.0 cm c) il lavoro che devono compiere i muscoli della ragazza per mantenere la stessa posizione. a) La forza è la forza peso costante ( ) e diretta verticalmente verso il basso, lo spostamento è rettilineo e diretto verso l alto. L angolo. b) La forza dei muscoli ( è diretta verso l alto, lo spostamento è rettilineo e diretto anch esso verso l alto. L angolo. Osservazione 1: Come avrai notato in questo esempio è MOLTO importante quando si parla di lavoro specificare qual è la forza che lo compie!! c) La forza dei muscoli per mantenere sollevata la ragazza ( è diretta verso l alto, lo spostamento è nullo quindi

3 3 3) La ragazza in figura trascina, a velocità costante, una massa di 50 kg di libri per 1.0 km. L inclinazione del manico è di 45 rispetto all orizzontale. Il coefficiente d attrito dinamico tra le ruote del carrello e il marciapiede è Determina a) Il lavoro compiuto dalla forza peso sui libri b) Il lavoro compiuto dal braccio della ragazza c) Il lavoro compiuto dalla forza d attrito. a) La forza peso è costante ( ) e diretta verticalmente verso il basso, lo spostamento è rettilineo ed orizzontale. L angolo tra la forza peso e lo spostamento. b) Tracciamo il diagramma delle forze agenti sul carrello e scegliamo un sistema di riferimento come riportato in figura. è la forza esercitata dalla ragazza, contatto del carrello con il marciapiede, è la forza normale dovuta al è la forza dovuta all attrito, è la forza peso del carrello. Se il moto del carrello è uniforme la forza totale è zero. Sostituiamo e e poniamo a sistema: Risolviamo nelle incognite e : Calcoliamo il lavoro compiuto dal braccio della ragazza: c) Per calcolare il lavoro compiuto dalla forza d attrito, determiniamo il modulo della forza d attrito: ; la forza d attrito è opposta allo spostamento

4 4 4) In Brasile al Beach Park c è Insano uno scivolo acquatico alto 41 m con una pendenza di circa 60. a) Determina il lavoro compiuto dalla forza peso su una persona di massa 50 kg che scivola dalla sommità a terra. b) Determina il lavoro compiuto dalla forza peso su una persona di massa 50 kg che si lancia dalla sommità ed arriva a terra verticalmente. a) La forza peso ( ) è diretta verticalmente verso il basso e, nel caso in cui la persona scivoli, lo spostamento è obliquo e vale. L angolo tra forza e spostamento vale:. Il lavoro compiuto dalla forza peso quando la persona scivola si calcola: Essendo, il lavoro si può anche riscrivere Osservazione 2: Qualunque sia l inclinazione dello scivolo, il lavoro compiuto dalla forza peso per scendere i 41 m dalla sommità dello scivolo a terra ha sempre lo stesso valore Questa proprietà del lavoro compiuto dalla forza peso è molto importante perché permette di utilizzare, nello studio dei moti, una scorciatoia molto comoda ed affascinante che vedremo più avanti sotto il nome di conservazione dell energia. b) Dall osservazione appena vista il lavoro compiuto dalla forza peso anche nel caso di un tuffo dai 41 m vale sempre 20 kj. Questo tipo di percorso è caldamente sconsigliato! La proprietà appena vista della forza peso non è comune a tutti i tipi di forze come vedremo immediatamente nel seguente esempio, nel caso della forza d attrito il lavoro lungo due piani inclinati della stessa altezza è diverso: 5) Lucia, di massa 30 kg, ha nel giardino di casa due scivoli, entrambi sono alti 2.0 m: il primo ha un inclinazione di 30, il secondo ha un inclinazione di 50. Il coefficiente d attrito tra la bambina e il piano dello scivolo vale Determina: a) Il lavoro compiuto dalla forza peso quando Lucia scivola sui due differenti scivoli. b) Il lavoro compiuto dalla forza d attrito quando Lucia scivola sui due differenti scivoli.

5 5 a) Come già notato nell Osservazione 2, il lavoro compiuto dalla forza peso vale, per entrambi gli scivoli: Nota bene: l angolo è l angolo tra forza e spostamento: nel caso del primo scivolo vale, nel caso del secondo scivolo vale. b) Il modulo della forza d attrito è data da. Determiniamo la forza normale: Nel caso del primo scivolo, lo spostamento. Nel caso del secondo scivolo spostamento. In entrambi e casi lo spostamento ha la stessa direzione della forza d attrito ma verso opposto, quindi l angolo tra forza e spostamento vale. Determiniamo il lavoro: Nel caso del primo scivolo:, lo Primo scivolo Secondo scivolo Nel caso del secondo scivolo: Esercizi: 1) Clara, la mamma di Lucia è una bibliotecaria, raccoglie da terra un mucchietto di libri (massa ), li solleva fino ad un altezza poi li trasporta, tenendoli alla stessa altezza, fino ad un ripiano spostandosi di. Determina: a) Il lavoro compiuto da Clara nel sollevare i libri da terra fino ad. b) Il lavoro compito dalla forza peso quando Clara solleva i libri da terra fino ad. c) Il lavoro compiuto da Clara nello spostare i libri orizzontalmente di. 2) Alberto il padre di Lucia taglia il prato con il tagliaerba. Applica una forza di 20 N, inclinata rispetto all orizzontale di 20. Il tagliaerba di massa 25 kg procede a velocità costante per 2.0 m. Determina a) il lavoro compiuto dalla forza della spinta di Alberto b) il lavoro compiuto dalla forza d attrito tra tagliaerba e prato. 3) Lucia gioca in giardino con il cagnolino che pesa 70 N, lo appoggia sullo scivolo con inclinazione 30 e lo spinge verso l alto di un tratto 72 cm. a) Determina il lavoro compiuto dalla forza d attrito, sapendo che il coefficiente d attrito tra il cane e il piano dello scivolo vale b) Determina il lavoro compiuto dalla forza peso.

6 6 c) Determina il lavoro compiuto da Lucia, supponendo che il cane venga spinto di moto uniforme. d) Determina le Kcal (chilocalorie) bruciate da Lucia in questa attività supponendo di poter utilizzare la conversione 1 Joule = 0,24 cal. 2. Definizione generale di lavoro compiuto da una forza Nel caso generale, la forza potrebbe non essere costante e lo spostamento non rettilineo, vediamo come completare la definizione di lavoro in modo che sia applicabile in ogni caso. Iniziamo con un esempio: 1) Esempio: forza uniforme e spostamento non rettilineo Lucia, la proprietaria degli scivoli dell esempio 5) pag. 4, sale i gradini per andare in cima ad uno scivolo che ha altezza 2.0 m. Ciascun gradino ha una profondità di 20 cm ed un altezza di 25 cm. Determinare il lavoro compiuto dalla forza peso quando Lucia sale fino alla cima dello scivolo. La forza è costante ( ), ma lo spostamento non è rettilineo. Non possiamo utilizzare la definizione fornita nel parargrafo1. Possiamo però dividere l intero spostamento in parti che sono rettilinee, come mostrato nella figura qui a fianco. Suddivisione in parti rettilinee di una parte del percorso vale Percorso a gradini per salire sullo scivolo Possiamo calcolare il lavoro per percorrere. L angolo tra la forza peso e Calcoliamo il lavoro per percorrere. L angolo tra la forza peso e vale Procediamo analogamente per ciascun gradino: il lavoro compiuto dalla forza peso quando Lucia sale fino alla cima dello scivolo sarà la somma del lavoro compiuto su ogni singolo gradino: In questi passaggi abbiamo introdotto il simbolo scalare tra e., si legge sommatoria in da 1 a 15 del prodotto Il fattore per, mentre per. Quindi

7 7 SORPRENDENTE!! Anche in questo caso il lavoro compiuto dalla forza peso vale conto del fatto che questa volta Lucia sta salendo e non scendendo!, il segno meno tiene 2) Esempio: forza non uniforme e spostamento rettilineo Lucia sta scendendo lungo lo scivolo alto 2.0 m e un inclinazione di 50. Durante la notte ha piovuto e poi è tornato il sole: il primo tratto dello scivolo è asciutto, la seconda parte è bagnata. La forza d attrito tra la bambina e il piano dello scivolo vale nel tratto in cui lo scivolo è asciutto e nel tratto in cui è bagnato. Determina: Il lavoro compiuto dalla forza d attrito quando Lucia scivola lungo tutto lo scivolo. In questo caso lo spostamento è rettilineo ma la forza varia. Come nell esempio precedente dividiamo il percorso in due tratti e. Lungo primo tratto la forza d attrito vale, nel secondo tratto la forza d attrito vale. Calcoliamo la forza normale,. Possiamo calcolare il lavoro per percorrere. L angolo tra la forza d attrito e vale Calcoliamo il lavoro per percorrere. L angolo tra la forza d attrito e vale Il lavoro compiuto dalla forza d attrito quando Lucia scivola lungo tutto lo scivolo si ottiene: Da questi esempi possiamo trarre due importanti conclusioni: Definizione generale di lavoro di una forza nel caso in cui la forza non sia uniforme o lo spostamento non sia rettilineo, per calcolare il lavoro, occorre suddividere lo spostamento in parti che si possano considerare rettilinee e sulle quali la forza sia uniforme (ha la stessa intensità e la stessa direzione e verso); il lavoro su ciascuna di queste parti è dato dal prodotto scalare singole parti, il lavoro totale è poi definito dalla somma dei lavori sulle

8 8 Come vedremo in seguito, alcune volte per ottenere parti che si possano ritenere rettilinee sulle quali la forza sia costante, il numero delle parti stesse è molto grande (per esempio se il percorso è un arco di circonferenza), diremo che tende all infinito e scriveremo: Anche se apparentemente quest ultima relazione è complicata, consente di utilizzare relazioni matematiche che, di fatto, semplificano il calcolo del lavoro. Come studierai più avanti c è una corrispondenza tra e l area sottesa dal grafico di in funzione dello spostamento. La forza peso ha un inaspettata proprietà: il lavoro della forza peso non dipende dal percorso seguito ma solo dal peso e dall altezza del punto finale rispetto al punto iniziale. Negli esempi visti abbiamo chiamato tale altezza, in generale se una massa si muove da un punto ad altezza ad un punto ad altezza il lavoro compiuto dalla forza peso per andare da a non dipende dal particolare percorso seguito (verticale, inclinato, scalini,.) e si calcola Quando Lucia sale sullo scivolo passando dai gradini e poi ne ridiscende lungo il piano inclinato e torna alla base dei gradini Per ottenere questo risultato abbiamo sfruttato il fatto che e che essendo la forza peso perpendicolare allo spostamento. Il lavoro della forza peso su un percorso chiuso (punto di partenza e di arrivo coincidono) è zero. Questo fatto vale in generale ed è equivalente alla proprietà vista sopra : il lavoro della forza peso non dipende dal percorso seguito ma solo dall altezza del punto finale rispetto al punto iniziale. Questa caratteristica della forza peso viene brevemente espressa dicendo che la forza peso è conservativa. Esistono altre forze conservative come vedremo: la forza elastica, la forza elettrostatica. L attrito non è una forza conservativa Si usa la parola conservativa perché, come vedremo più avanti, per le forze che hanno questa proprietà si può definire una quantità, detta energia meccanica, che si conserva. La conservazione dell energia meccanica è una comodissima scorciatoia per risolvere molti problemi di meccanica. 3) Forza non uniforme e spostamento non rettilineo. Alberto, il padre di Lucia, ha massa 75 kg (compresa la bicicletta) va a fare un giro in bici. Si muove per 2.5 km lungo una discesa sterrata con una pendenza di 25 (coefficiente d attrito dinamico =0.35), poi su un tratto pianeggiante di 3.0 km con lo stesso coefficiente d attrito, ed infine su una salita asfaltata lunga 2.0 km, con pendenza 15 e coefficiente d attrito dinamico Determina: a) il lavoro compiuto dalla forza peso su questo percorso. b) il lavoro compiuto dalla forza d attrito su questo percorso. a) La forza agente è la forza peso e, per l osservazione 2 il lavoro non dipende dal percorso ma solo dalla differenza di quota tra il punto iniziale e quello finale :

9 9 Calcoliamo, e sostituiamo: b) In questo caso la forza d attrito non è uniforme (cambia sia il modulo che la direzione) e lo spostamento non è rettilineo. Dovremo usare la definizione generale di lavoro. Il modulo della forza d attrito è data da. Nel tragitto compiuto da Alberto riconosciamo 3 tratti che sono rettilinei: il primo è lungo, la forza d attrito lungo questo tratto ha ovunque lo stesso modulo, l angolo tra spostamento e forza d attrito è. il secondo è lungo, la forza d attrito lungo questo tratto ha ovunque lo stesso modulo, l angolo tra spostamento e forza d attrito è. il terzo è lungo, la forza d attrito lungo questo tratto ha ovunque lo stesso modulo, l angolo tra spostamento e forza d attrito è. Determiniamo la forza normale: nel primo tratto nel secondo tratto nel terzo tratto,,, Determiniamo il lavoro compiuto dalla forza d attrito: A questo punto possiamo trarre delle importanti conclusioni da questo esempio. Calcoliamo i valori di = (ricordando che in questo problema ) Nel primo tratto lungo Nel secondo tratto lungo Nel terzo tratto lungo

10 10 Costruiamo, relativamente a questo esempio, un grafico di in funzione dello spostamento totale. Notiamo che l area sottesa da ogni tratto di grafico corrisponde al lavoro compiuto dalla forza nel tratto stesso, questo risultato è valido in generale: Osservazione 3: L area totale sottesa dal grafico di in funzione dello spostamento totale e l asse delle ascisse fornisce il valore assoluto del lavoro compiuto dalla forza. Questa proprietà deriva direttamente dalla definizione di lavoro: Da un punto di vista matematico è l area sottesa dal grafico di in funzione dello spostamento. Esempi 1) Lucia, sfinita dagli scivoli, in giardino trova un nuovo gioco: un secchio contenente dell acqua (massa 1.2 kg) che fa roteare su un piano orizzontale. Determina il lavoro compiuto dalla tensione della corda quando Lucia fa compiere al secchio 1 giro al secondo. In questo problema lo spostamento è drammaticamente non rettilineo. La nostra mente fa fatica a concepire delle parti nelle quali la circonferenza sia rettilinea. In realtà il problema è molto più semplice se lo si analizza da un punto di vista fisico: pensa ad un bella passeggiata in bicicletta su un sentiero di campagna pianeggiante: ti muovi lungo un cammino rettilineo nonostante la terra sia tonda: il sentiero che stai percorrendo è un tratto di una circonferenza che puoi considerare rettilineo ed ha la direzione della tangente alla circonferenza terrestre in quel punto! Torniamo al problema del secchio: suddividiamo la traiettoria circolare in parti che si possono considerare rettilinee, la forza esercitata dalla tensione del filo su ciascuno di questi tratti è la forza centripeta e quindi è perpendicolare allo spostamento,. Questa somma ha un enorme numero di termini, ma ciascuno di essi vale zero, quindi Osservazione 4: Nel moto circolare uniforme il lavoro compiuto dalla forza centripeta vale zero! 2) Riccardo, il fratello di Lucia va in palestra ed usa un estensore, in pratica una molla con costante elastica 3000 N/m. a) Determina il lavoro che compie per allungarlo di 10 cm. b) Determina il lavoro che compie per allungarlo da a c) Determina il lavoro compiuto dalla forza elastica quando l estensore viene allungato da a

11 11 a) La forza elastica non è uniforme, il suo modulo aumenta all aumentare dell allungamento della molla. La forza applicata da Riccardo ha direzione e il verso paralleli allo spostamento. L angolo tra forza esercitata da Riccardo e spostamento vale sempre perciò il lavoro sarà positivo e. Qui l operazione di suddividere lo spostamento in tratti in cui la forza è costante implica il calcolo infinitesimale al quale non siamo prepararti; per risolvere questo esercizio possiamo sfruttare l osservazione 3: l area totale sottesa dal grafico di in funzione dello spostamento e l asse delle ascisse fornisce il lavoro compiuto dalla forza. Tracciamo il grafico di in funzione dello spostamento per la forza elastica, il lavoro è uguale all area del triangolo evidenziato in rosso b) In questo caso il lavoro si calcola come l area del trapezio evidenziato in verde nella figura. In generale, possiamo esprimere il lavoro in funzione di, c) La forza esercitata dall estensore è uguale ed opposta a quella esercitata da Riccardo, l angolo tra forza elastica e spostamento vale sempre perciò il lavoro sarà negativo Esercizi: 1) Lucia e la famiglia vanno a fare una gita in automobile in collina (massa totale 1400 kg). Partono da una località A, ad una quota di 850 m ed arrivano, dopo aver percorso un tratto di 3.5 km, alla trattoria nella località B che ha quota 600 m. La strada percorsa presenta una forza d attrito approssimativamente costante di 5000 N. Determina: a) Il lavoro compiuto dalla forza peso b) Il lavoro compiuto dalla forza d attrito. c) Quante persone ordinano il menù della casa.

12 12 2) Lucia in giardino ha un tappeto elastico con costante elastica. Determina: a) Di quanto risulta abbassato il tappeto quando Lucia sta in piedi sopra ferma (massa di Lucia 30 kg). b) Il lavoro compiuto dalla forza elastica tra la posizione di Lucia ferma e quando, dopo il primo salto, Lucia piombando sul tappeto lo abbassa di 15 cm. 3) E dato il grafico a fianco a) Descrivi una situazione pratica che può essere caratterizzata dal grafico dato b) Calcola il lavoro compiuto dalla forza descritta dal grafico per portare il corpo da a c) Calcola il lavoro compiuto dalla forza descritta dal grafico per portare il corpo da a 4) Lucia prende una molla e ne fissa entrambi gli estremi. Fa scivolare un sasso piatto ( ) sul tavolo al quale è fissato l elastico (coefficiente di attrito dinamico 0.60). Il sasso scivola sul tavolo ed allunga l elastico, poi rimbalza indietro. L elastico si tende opponendo una forza ( è l estensione dell elastico) a) Disegna lo schema delle forze agenti sul sasso quando sta estendendo l elastico b) Sia la risultante delle forze che agiscono parallelamente al piano del tavolo (forza d attrito + forza elastica) Traccia il grafico di in funzione di con. c) Determina il lavoro compiuto da quando l elastico si allunga da 2.0 a 5.0 cm. Questo elaborato non vuole essere esaustivo sull argomento e se ha qualche pregio è grazie al lavoro della IV N 2012 che ha lavorato seriamente e ha permesso la correzione degli errori presenti. Se rimangono ancora inesattezze la responsabilità è tutta della scrivente.

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