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1 7 a Esercitazione: testo A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a Questo eserciziario sostituisce gli esercizi di ne capitolo del vostro libro di testo. La struttura degli esercizi è analoga a quella che troverete all esame. Ciascun capitolo dell eserciziario si compone di tre sezioni. Nella prima sezione, chiamata "De nizioni", vi si chiede di de nire sinteticamente alcuni termini. Qualora fosse necessario potrete avvalervi dll aiuto di formule o/o gra ci. Nella seconda sezione, chiamata "Vero/Falso", vi si chiede di dire se gli enunciati riportati sono da considerarsi veri, falsi o incerti e di fornire una spiegazione della vostra risposta. Mi raccomando, concentratevi sulla spiegazione perchè è la parte più importante. La terza sezione, chiamata "Esercizi", contiene degli esercizi. Gli esercizi possono essere sia numerici che di analisi gra ca. Buon lavoro!! La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame. 1 De nizioni. Si de niscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e gra ci. Def. 1. Strategia dominante (e strategia strettamente dominante). Def. 2. Modello di Cournot. Def. 3. Equilibrio di Nash. Def. 4. Risposta ottima o best reply o funzione di reazione. Def. 5. Strategia "colpo su colpo". Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è 1

2 Def. 6. Accordo tacito. Def. 7. Collusione. 2 Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche gra ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Vero/Falso 8. Nel gioco seguente (Bianco, Carne) è il solo equilibrio di Nash 1 B Carne Pesce A Bianco 3; 3 2; 5 Rosso 5; 2 0; 0 Vero/Falso 9. In un gioco possono esserci equilibri in strategie dominanti che non sono equilibri di Nash. Vero/Falso 10. Considerate un gioco simultaneo nel quale entrambi i giocatori presentano una strategia dominante. In questo caso l equilibrio di Nash è sempre Pareto-e ciente. Vero/Falso 11. Considerate un gioco simultaneo nel quale entrambi i giocatori presentano una strategia dominante. In questo caso l equilibrio di Nash è sempre unico. Vero/Falso 12. Due imprese che competono alla Cournot ed hanno costi marginali uguali e costanti, in equilibrio, ottengono un pro tto nullo. Vero/Falso 13. Le imprese Alfa e Beta competono simultaneamente in quantità. I costi medi di produzione di entrambi i duopolisti sono costanti e pari a 2. La curva di domanda di mercato è Q D = 11 p. I pro tti di ciascuna impresa sono pari a 9 ed il surplus dei consumatori è 18. Vero/Falso 14. Due imprese che competono alla Cournot e hanno costi marginali costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità. Vero/Falso 15. Due imprese che competono alla Cournot e hanno costi marginali uguali e costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità. 1 E convenzione riportando i payo di un gioco nella forma di matrice (come quella qui sotto) indicare per primo il payo del giocatore riga e per secondo quello del giocatore colonna; quindi considerando la cella contenente i payo 2;5 (associata alle strategie bianco per il giocatore A e pesce per il giocatore B), il payo 2 è quello ottenuto da A mentre 5 è quello di B. 2

3 Vero/Falso 16. L equilibrio del modello di Cournot è anche un equilibrio nel senso di Nash solo quando i costi marginali dei duopolisti sono uguali. Vero/Falso 17. Nel modello di Cournot le imprese si caratterizzano per rendimenti di scala costanti. Vero/Falso 18. Un equilibrio di Nash è sempre e ciente nel senso di Pareto. Vero/Falso 19. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Sinistra è una strategia strettamente dominante per il giocatore 2 se il parametro k assume valori superiori a 6. Giocatore 1 Alto 1 ; k 5 ; 9 Basso 2 ; 6 4 ; 3 Vero/Falso 20. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Il solo equilibrio di Nash di tale gioco è (Alto, Basso) in quanto assicura i payo più alti ai due giocatori. Giocatore 1 Alto 1 ; 7 5 ; 9 Basso 2 ; 6 4 ; 3 Vero/Falso 21. R). Nel seguente gioco gli unici equilibri di Nash sono (T, R) e (B, L R Giocatore 1 T 1 ; 1 5; 1 B 1 ; 3 5; 5 Vero/Falso 22. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. L equilibrio di Nash è (50; 50). Giocatore 1 Alto 1 ; 1 51 ; 0 Basso 0 ; ; 50 Vero/Falso 23. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. L equilibrio di Nash è (Basso; Destra) in quanto assicura ai giocatori il payo più alto. Giocatore 1 Alto 1 ; 1 51 ; 0 Basso 0 ; ; 50 3

4 Vero/Falso 24. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Se il parametro k assume valori superiori a 8 (k>8), il gioco presenta un solo equilibrio di Nash (Basso; Sinistra). Giocatore 1 Alto 1 ; k 5 ; 9 Basso 2 ; 6 4 ; 3 Vero/Falso 25. Nel dilemma del prigioniero entrambi i giocatori dispongono di una strategia strattamente dominata. Vero/Falso 27. Qualunque sia il valore del parametro k il seguente gioco simultaneo tra Giocatore 1 e si caratterizza per un solo equilibrio di Nash. Sinistra Centro Destra Giocatore 1 Alto 24; 14 k; 22 4; 14 Medio 8; 8 9; 9 10; 8 Basso 16; 30 7; 26 26; 10 Vero/Falso 28. Qualunque sia il valore del parametro k, "Destra" è una strategia dominata per il. Sinistra Centro Destra Giocatore 1 Alto 24; 14 k; 22 4; 14 Medio 8; 8 9; 9 10; 8 Basso 16; 30 7; 26 26; 10 Vero/Falso 29. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Se k > 1 entrambi i giocatori dispongono di una strategia dominante, la strategia "C". C NC Giocatore 1 C 2k ; 2k k ; 1+k NC 1+k ; k 1/2 ; 1/2 Vero/Falso 30. Qualunque sia il valore del parametro k, il seguente gioco simultaneo tra Giocatore 1 e si caratterizza per due equilibri di Nash. Sinistra Centro Destra Giocatore 1 Alto 10; 30 k; 11 5; 9 Medio 20; 7 5; 20 2; 7 Basso 10; 4 5; 11 1; 4 Vero/Falso 31. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Se k > 1 il solo equilibrio di Nash del gioco è "C; C". C NC Giocatore 1 C 2k ; 2k k ; 1+k NC 1+k ; k 1/2 ; 1/2 4

5 Vero/Falso 32. In un gioco simultaneo in cui nessun giocatore dispone di una strategia dominata, non possono esserci equilibri di Nash. Vero/Falso 33. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Adottando la strategia "colpo su colpo", i giocatori possono raggiungere un esito migliore nel senso di Pareto rispetto all equilibrio di Nash del gioco non ripetuto. Giocatore 1 Alto 1 ; 1 51 ; 0 Basso 0 ; ; 50 Vero/Falso 34. Maggiore è il numero di imprese operanti in un mercato, più sarà facile (per le stesse) trovare e sostenere un accordo collusivo. 3 Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Esercizio 1. Nel comune di Paderno Dugnano ci sono due sole pizzerie, la pizzeria da Salvatore e la pizzeria da Matteo. Per fronteggiare la crisi di vendite i due proprietari stanno pensando di introdurre un servizio di consegna a domicilio. Se una sola delle due pizzerie introduce il servizio, la pizzeria che lo introduce ottiene un pro tto pari a 10, mentre l altra pizzeria subisce una perdita pari a -1. Se entrambe introducono il servizio, la perdita per entrambe è pari a -5. Se nessuna delle due pizzerie introduce il servizio, entrambe ottengono pro tti nulli. Supponete che la pizzeria da Matteo e la pizzeria da Salvatore debbano decidere se introdurre il servizio simultaneamente. (1) Si discutano le strategie a disposizione delle due pizzerie e si rappresenti il gioco in forma di matrice. (2) Si determinino gli equilibri di Nash di questo gioco e si discuta il risultato ottenuto. (3) Lo Stato introduce un sussidio in somma ssa di 5 per incentivare l introduzione di un servizio di consegna a domicilio. Si disciuta l e cacia di tale manovra. Esercizio 2. Nel paese di Isolandia sono presenti due unici produttori (A e B). Le imprese possono decidere di cooperare (C) o non cooperare (NC). Tale scelta è e ettuata simultaneamente e comporta i seguenti esiti. Se le due imprese cooperano, ciascuna ottiene un pro tto pari a 2k. Se entrambe non cooperano, ciascuna ottiene un pro tto pari ad 1/2. Se, in ne, una sola coopera essa otterrà un pro tto pari a k (mentre l impresa rivale che non coopera otterrà 1 + k). (1) Si rappresenti il gioco in forma normale. (2) Si fornisca la de nizione di strategia dominante e si individui per quali valori del parametro k "cooperare" è strategia dominante per entrambi i giocatori. (3) Sia k=1/3 (in questo caso quindi se le imprese cooperano ciascuna otterrà un pro tto pari a 2k = 2(1=3) = 2=3; se non cooperano ciascuna otterrà 1/2; se una sola coopera essa otterrà k=1/3, mentre la rivale 1+k=4/3). Si individui l equilibrio di Nash del gioco e si dica se si tratta di un equilibrio Pareto e ciente. Esercizio 3. Si consideri un mercato nel quale operano due soli produttori (A e B). Le due imprese possono decidere di cooperare (C) o di non cooperare (NC). Tale 5

6 scelta è e ettuata simultaneamente e comporta i seguenti esiti. Se le due imprese cooperano, ciascuna ottiene un pro tto pari a 5k. Se entrambe non cooperano, ciascuna ottiene un pro tto pari a 2. Se, in ne, una sola coopera essa otterrà un pro tto pari a 2k (mentre l impresa rivale che non coopera otterrà 2 + k). (1) Si rappresenti il gioco in forma di matrice. (2) Si individui per quali valori del parametro k "non cooperare" è strategia dominante per ciascuno dei giocatori. (3) Sia k=1 (in questo caso quindi se le imprese cooperano ciascuna otterrà un pro tto pari a 5k = 5; se non cooperano ciascuna otterrà 2; se una sola coopera essa otterrà 2k=2, mentre la rivale 2+k=3). Si individuino l equilibrio o gli equilibri di Nash del gioco. Esercizio 4. Topolino e Pippo questa volta hanno deciso di fare una gita in barca a remi sul lago dove si a acciano i parchi dei Collegi. Le rive del lago sono piacevoli, ma remare costa fatica e distrae dal godimento del paesaggio. Le preferenze dei due sono uguali e sono fatte così: se entrambi remano il benessere proprio è 10; se solo l altro rema il benessere proprio è 15; se solo uno rema il suo benessere è 5; se nessuno dei due rema il benessere di uno è 7 (perché si vede sempre lo stesso posto). (1) Si de nisca cosa è un gioco, e cosa è un equilibrio di Nash. (2) Si rappresenti la situazione descritta in forma di matrice e se ne individui l equilibrio di Nash; si dica di che tipo di gioco si tratta. (3) Supponendo ora che Topolino e Pippo vadano a fare gite in barca tutti i giorni, e che ciascuno giochi la strategia colpo su colpo, vi attendete che l esito sia lo stesso? Discutete. Esercizio 5. Si consideri un mercato nel quale operano due soli produttori (1 e 2). Le due imprese possono decidere di adottare una strategia aggressiva (A) o di adottare una strategia non aggressiva (NA). Tale scelta è e ettuata simultaneamente e comporta i seguenti esiti. Se le due imprese adottano la strategia non aggressiva, ciascuna ottiene un pro tto pari a 7. Se entrambe optano per una strategia aggressiva ciascuna ottiene un pro tto pari a 1. Se, in ne, una sola adotta una strategia aggressiva allora essa otterrà un pro tto pari a 4 (mentre l impresa rivale che agisce in modo non aggressivo otterrà un pro tto nullo). (1) Si dica cos è un gioco e si discutano brevemente gli elementi di un gioco. (2) Si rappresenti il gioco di cui sopra in forma di matrice e se ne individuino gli equilibri di Nash. (3) Se le due imprse avessero modo di interagire per più periodi, adottando la strategia "colpo su colpo" avrebbero modo di raggiungere un esito Pareto-e ciente? Perchè? Argomentate speci cando che tipo di strategia sarebbe adottata in questo caso. Esercizio 6. Le imprese Alfa e Beta producono il medesimo bene, e possono praticare solo due livelli di prezzo, alto o basso. Se entrambe praticano il prezzo basso, ottengono un pro tto pari a 2; se una pratica il prezzo alto e l altra il prezzo basso, chi pratica il prezzo alto ottiene un pro tto pari a zero e chi pratica il prezzo basso ottiene un pro tto pari a 10; se entrambe praticano il prezzo alto, ottengono un pro tto pari a 6. (1) Rappresentate la situazione tramite la matrice del gioco, mettendo in alto l impresa Beta. De nite la nozione di equilibrio di Nash. Individuate l equilibrio di Nash di questo gioco, dicendo di che tipo di gioco si tratta, e il senso di questa terminologia. (2) Supponete che le due imprese possano sottoscrivere un accordo vincolante tale per cui, se un impresa pratica il prezzo basso e l altra il prezzo alto, la prima deve poi pagare la somma x alla seconda. Dite quanto deve valere x a nché la situazione in cui entrambe praticano il prezzo alto sia equilibrio di Nash del gioco (3) Tornate al caso del punto (1), in cui le due imprese non possono praticare un accordo 6

7 vincolante; supponete però che l interazione tra le due imprese si ripeta tutti i giorni, e che ciascuna adotti la strategia colpo su colpo. Vi aspettate che il risultato sia lo stesso? Discutete Esercizio 7. Considerate il mercato delle acque minerali nel quale la funzione di domanda inversa sia p = 250 Q. Supponete che nel mercato operino solo due imprese, la Acque-A e la Bevi-B, ciascuna delle quali ha una funzione di costo totale pari a C(q i )=100q i con i=a,b (quindi Q=q A + q B ): (1) Supponete che le due imprese interagiscono strategicamente secondo il modello di oligopolio di Cournot. Ricavate e fornite una rappresentazione gra ca delle curve di reazione delle due imprese. (2) Trovate la produzione di equilibrio, i pro tti di ciascuna impresa ed il surplus dei consumatori. (3) Se le due imprese decidessero di colludere formando un cartello, quanto sceglieranno di produrre? Qual è il surplus dei consumatori e quali sono i pro tti di ciascuna impresa in questo caso? Confrontate i valori qui ottenuti con quelli al punto (2). Esercizio 8. Nel mercato italiano delle ciambelle sono presenti due grandi imprese - Krapfen (K) e Doughnut (D) - che competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre. Supponete che i duopolisti si caratterizziano per una simmetrica struttura di costo totale di produzione: TC K (q K ) = 50q K e TC D (q D ) = 50q D dove q K indica la quantità di ciambelle prodotta da Krapfen mentre q D quella prodotta da Doughnut. La domanda (inversa) di mercato è P = 110 2Q, dove Q= q K + q D. (1) Calcolate e rappresentate gra camente (speci cando pendenza ed intercette) l espressione delle funzioni di reazione delle due imprese. (2) Calcolate l equilibrio sul mercato delle ciambelle speci cando quantità totale o erta dai duopolisti, prezzo di vendita, pro tti, e surplus dei consumatori. (3) Supponete che il Governo introduca una tassa su ogni unità prodotta e venduta da Krapfen. Doughnut è esente dalla tassa. Discutete gra camente gli e etti di tale politica sulle funzioni di reazione dei duopolisti e sulla quota di mercato da ciascuno servita. Esercizio 9. Si consideri un mercato oligopolistico in cui sono presenti due imprese. Le imprese si caratterizzano per rendimenti costanti di scala ed il costo di produrre una unità di output è pari a 3 per la prima impresa (impresa 1) ed è pari a 2 per la seconda impresa (mpresa 2). La domanda (inversa) di mercato è p = 16 Y, dove Y è la quantità di bene complessivamente domandata mentre y 1 e y 2 individuano gli output delle due imprese. (1) Calcolate e rappresentate in un opportuno gra co l espressione delle funzioni di reazione delle due imprese nell ipotesi di concorrenza simultanea nelle quantità. (2) Calcolate ed indicate nel ga co precedente l equilibrio di mercato in termini di quantità prodotta da ciascuna impresa. L equilibrio raggiunto è un equilibrio di Nash? Perchè? (3) Supponete ora che il Governo introduca un sussidio, s=1, su ogni unità prodotta e venduta dall impresa 1. L impresa 2 non bene cia del sussidio. Discutete gra camente gli e etti di tale politica sulle funzioni di reazione dei duopolisti, sulla quota di mercato di ciascuna impresa e sul surplus dei consumatori di quel mercato. Esercizio 10. I ciclisti rivali Astrix e Obix, in preparazione della gara che li vede grandi favoriti, devono decidere se assumere EPO o no. I controlli antidoping sono pochi e poco e caci e la probabilità di essere colti in fallo è nulla. Nel caso usino 7

8 entrambi la sostanza moltiplicatrice di globuli rossi, il payo di ciascuno è 50. Se uno solo si droga, egli otterrà un payo di 100 mentre l avversario pulito un payo nullo. In ne se nessuno dei due si droga, ciascuno otterrà un payo di 10. (1) Rappresentate il gioco in forma normale ed individuate l equilibrio di Nash del gioco. I giocatori dispongono di strategie dominanti? (2) Se alla gara successiva i controlli antidoping fossero più stringenti e se Astrix e Obix tenessero conto dei danni dell EPO per la loro salute, i payo si modi cherebbero ed il gioco simultaneo diventerebbe: Obix E NE Astrix E 10; 10 20; 5 NE 5; 20 30; 30 Individuate gli equilibri di Nash di questo gioco. Commentate. (3) In realtà esistono anche danni sociali causati dall uso di EPO: perdita d interesse per lo sport, perdita di reputazione e quindi di guadagni futuri per sponsor e associazioni sportive. Tali danni, se presi in considerazione dai ciclisti, ridurrebbero di ulteriori 6 punti il payo del ciclista che fa uso di EPO (il gioco di riferimento è quello rappresentato al punto (2)). Dopo aver calcolato i payo del gioco modi cati per tener conto di questo costo ulteriore dell EPO, rappresentate il gioco in forma normale. Individuate l equilibrio o gli equilibri di Nash di questo gioco. Esercizio 11. Si consideri un monopolista che serve due mercati - mercato 1 e mercato 2 - caratterizzati da due diverse curve di domanda. Sia p d 1 = 90 2q 1 la domanda inversa nel mercato 1, e p d 2 = 80 q 2 quella sul mercato 2. I costi marginali (e medi) di produzione sono pari a 10. (1) Calcolate e fornite una rappresentazione gra ca dell equilibrio in ciascun mercato ipotizzando che il monopolista possa discriminare tra i due mercati (discriminazione del terzo tipo). Cosa potete concludere sull elasticità della domanda nei due mercati? (2) Supponete che il Governo vieti qualsiasi forma di discriminazione. Calcolate il prezzo praticato dal monopolista ed i pro tti ottenuti. (3) Da chi verrà appoggiata la strategia governativa? Argomentate. 8

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