Corsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3.

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1 Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Architettura Prova scritta di Aalisi Matematica del 6// ) Mostrare che + si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) = 3. Possibile soluzioe: Cosiderado dapprima il deomiatore otiamo che essedo si( ) e che log(( + ) / ) = log( + ), otteiamo si( ) log(( + ) / ) 3. Visto che cos ()( ) + otteiamo allora si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) + + si( ) cos () 3 = si( )( ) cos () 3. si( )( ) cos () cos ()( ) 3 Determiiamo ora il ite di tale ultima forma utilizzado gli sviluppi di MacLauri (prima variate) ed il teorema di De L Hôpital (secoda variate). Prima variate: Dato che il deomiatore di tale ultima forma è u ifiitesimo di ordie 3 determiiamo lo sviluppo del suo umeratore a meo di o( 3 ). Essedo oto che per + si ha si( ) = o(3 ) e che cos () = ( + o( 3 )) = + o( 3 ), otteiamo che per + si ha si( )( ) cos () = ( o(3 ))( ) ( + o( 3 )) = o(3 ) e duque + si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) = ) cos () si( )( = + 6 o(3 ) = Secoda variate: Osserviamo che si( )( ) cos () = si( ) si( ) ( si ()) 3 3 Essedo che + si( ) si () ) cos () si( )( + 3 = si( ) = otteiamo = + si( ) 3 si () si( ) 3. = (H) + + cos( ) 3 = 3.

2 X e/ / e/ f()=/log( ) Figure : la fuzioe f() = log( ) ) Si studi la fuzioe f() = log( ) Possibile soluzioe: La fuzioe risulta defiita su D(f) = { IR / > e } = IR \ {,, }. Notiamo ioltre che f è ua fuzioe dispari essedo f( ) = = = f() log( ) log( ) e possiamo itare lo studio sull isieme D + (f) = D(f) IR + = (, ) (, + ). Essedo = per >, si ha f() = per D+ (f) e sg(f()) = sg(log()) per log() D + (f), essedo quidi che f() < per (, ) e f() > per (, + ). Per quato riguarda il comportameto asitotico di f si ha che f() = + + log() = [ + ] = [ ], + f() = + f() = log() = [ ] = +, f() = log() = [ ] =, log() =gerarchia ifiiti +.

3 f() Essedo + = + = la fuzioe o ha u asitoto obliquo per +. log() La fuzioe f risulta derivabile su D + (f) co d log() f() = d log (), D+ (f). Si ha allora che sg(f ()) = sg(log() ) per D + (f), cioè f () < per (, ) (, e) e f () > per ( e, + ). Cocludiamo che f risulta decrescete i (, ), decrescete i (, e] e crescete i [ e, + ). Il puto e è u puto di miimo relativo per f (di miimo assoluto relativamete all itervallo (, + )) ove f(e) = e = e. Visto che f() per log( e ) + è ache utile otare che f () = log() = ( ) per log () log() log() +. La fuzioe f risulta derivabile su D + (f) co d log() f() = d log 3 (), D+ (f). Se (, ), essedo log3 () <, si ha che sg(f ()) = sg(log() ). Cocludiamo che f () < per ogi (, ) e duque che f risulta cocava (strettamete) su (, ). Se (, + ), essedo log3 () >, si ha che sg(f ()) = sg( log()). Cocludiamo che f () > per ogi (, e ) e f () < per ogi ( e, + ). Duque che f risulta covessa (strettamete) su (, e ) e cocava (strettamete) su ( e, + ) presetado u flesso i e ove f( e ) = e e f ( e ) = ) Si determii il carattere della serie log() / +. Possibile soluzioe: La serie ha termie -esimo a = log() / + >. Essedo log() +, otteiamo che, per a log() / = + per + log() e per il criterio del cofroto asitotico il carattere di a è quello della serie a termii positivi. Notado che log() / log() = / log() < per +, / possiamo applicare il criterio della radice a questa ultima serie per cocludere che la serie è covergete. Dal criterio del cofroto asitotico risulta covergete ache la serie di parteza.

4 (Si può procedere ache molto più semplicemete otado che essedo log() > defiitivamete si ha ache che log() / + > defiitivamete e che quidi (passado ai reciproci) < a < defiitivamete. Essedo =, Il criterio del cofroto permette allora di cocludere che la serie i esame è covergete.) 4) Determiare per α > il carattere dell itegrale improprio cos()(e + e ) si α ()( cos()) d Possibile soluzioe: Notiamo che la fuzioe f() = cos()(e +e ) risulta cotiua su (, ]. Allo si α ()( cos()) scopo di determiare il carattere dell itegrale studiamo il comportameto asitotico di f per +. Dal fatto oto che si() e cos() otteiamo subito che siα ()( cos()) +α e duque che f() + cos()(e +e ). Sapedo che cos() = α 4 o(4 ) e che e + e = cosh() = o(4 ) per + abbiamo che cos()(e + e ) = ( o(4 )( o(4 )) = o( 4 ) per +, e duque 4 + o( 4 ) f() + 3 +α + 3. α Dal Teorema del cofroto asitotico deduciamo che il carattere di che risulta covergete se α <. cioè α < 3, e positivamete divergete se α 3. 5) Determiatoe l isieme di covergeza calcolare ( + ) log () f() d è quello di d 3 α Possibile soluzioe: Posto y = log() la serie si scrive ella forma + ( + )y, ua serie di poteze i y di puto iiziale y = e coefficieti a =, a = ( + ) per. Applicado il criterio del rapporto, visto che a + +, la serie di poteze + a = (>) ((+) 3 +) (+)( 3 +) a y ha raggio di covergeza risultado assolutamete covergete per y < e o covergete per y >. Da ciò deriviamo che la serie i studio risulta assolutamete covergete se log() <, cioè se (, e) e o covergete se log() >, cioè se (, ) (e, + ). Se e e log() = essedo a + la serie o è covergete. Cocludiamo allora che la serie coverge (ifatti coverge assolutamete) solo se (, e). e Per calcolare la serie osserviamo che se y < allora risultao covergeti ache le serie + y e + y valedo che ( + )y = y + y = y d y + y t dt.

5 Utilizzado i teoremi di derivazioe ed itegrazioe termie a termie delle serie di poteze e la ota idetità + = y = ( y < ) otteiamo allora y ( + )y = y d ( ) y y + t dt = y d d y y y + t dt = y d ( y d y ) log( y) = y d ( y d y ) log( y) = y d y ( y) log( y) = y ( y) + y log( y). ( y) 3 Sostituedo y = log() otteiamo che per (, e) si ha e ( + ) log () = log() ( log()) + log() log( log()). ( log()) 3

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