Indice. Che cos'è un problema? Apprendere attraverso giochi e problemi. Risoluzione e formalizzazione. Proposte. Bibliografa

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2 Indice Che cos'è un problema? Apprendere attraverso giochi e problemi Risoluzione e formalizzazione Proposte Bibliografa 2 di 51

3 Che cos'è un problema? A. Abbiamo mischiato sabbia e riso e ora dobbiamo separarli. Come possiamo fare? B. Il biglietto di ingresso a un museo costa 11 euro. I ragazzi al di sotto dei 15 anni pagano però 9 euro, gli iscritti all università 7 euro e per gli adulti al di sopra dei 50 anni c è uno sconto di 6 euro. Quanto spende una comitiva formata da 9 persone adulte di cui 3 al di sopra dei 50 anni, 3 ragazzi al di sotto dei 15 e 2 universitari? (Gilda Flaccavento Romano, Matematica attiva, Fabbri) 3 di 51

4 Che cos'è un problema? C. Tre porte chiuse. Dietro a una c è un automobile, dietro alle altre due una capra. Scelgo una delle tre porte, senza aprirla. Il conduttore dello show (sa dove si trova l automobile) apre una delle due porte restanti e in cui c è la capra. Mi conviene cambiare porta o mantenere quella scelta inizialmente? (Paradosso di Monty Hall) 4 di 51

5 Che cos'è un problema? Rifettiamo sulle tre situazioni presentate: sono tre problemi? Come potremmo defnire un problema? 5 di 51

6 Che cos'è un problema? Alla domanda che cos'è un problema? come risponderebbero: i bambini della scuola dell'infanzia? gli alunni della primaria? 6 di 51

7 Che cos'è un problema? G. Glaeser (matematico austriaco, 1955): Quando una persona si trova di fronte ad una situazione e il bagaglio delle risposte intuitive o abituali non gli permette di venirne a capo, tale situazione è un problema. K. Duncker (psicologo tedesco, ): Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta, ma non sa come raggiungerla. 7 di 51

8 Che cos'è un problema? G. Polya (Budapest, Palo Alto, 1985) si è occupato dello studio dei metodi generali che si utilizzano per risolvere problemi: Risolvere problemi signifca trovare una strada per uscire da una diffcoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile. Risolvere problemi è un impresa specifca dell intelligenza e l intelligenza è dono specifco del genere umano: si può considerare il risolvere problemi come l attività più caratteristica del genere umano. 8 di 51

9 Che cos'è un problema? Bruno D'Amore: Ora, per sua natura, un problema non è un algoritmo e la differenza è notevole ed essenziale, un algoritmo consta di un numero fnito di passi meccanici per eseguire i quali non occorre essere creativi, ma solo applicare regole; mentre nella risoluzione di problema c è necessità di almeno un momento creativo, innominabile da un punto di vista algoritmico. 9 di 51

10 Che cos'è un problema? Aspetti caratterizzanti il problema: È una situazione (reale) nuova La soluzione non è nota, né immediata Richiede creatività Alla luce di queste defnizioni di problema, possiamo riconsiderare le tre situazioni A, B, C? 10 di 51

11 Apprendere attraverso giochi e problemi Se il problema è una situazione non nota, dalla quale ci si deve districare con creatività,...tutti gli ordini di scuola ne sono coinvolti. La risoluzione di problemi non è un argomento da trattare, ma è la mentalità con cui approcciarsi alla Matematica. 11 di 51

12 Apprendere attraverso giochi e problemi Indicazioni Nazionali infanzia I bambini esplorano continuamente la realtà e imparano a rifettere sulle proprie esperienze descrivendole, rappresentandole, riorganizzandole con diversi criteri. Pongono così le basi per la successiva elaborazione di concetti scientifci e matematici che verranno proposti nella scuola primaria. Indicazioni Nazionali - primaria Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e signifcative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una defnizione o una regola. 12 di 51

13 Apprendere attraverso giochi e problemi Discuto con i bambini sulla loro idea di problema Chiedo esempi Li aiuto a rintracciare nei loro esempi la presenza degli elementi caratterizzanti il problema Li invito a risolvere i problemi che hanno proposto, scambiandosi idee insegno come ci si approccia al problema Propongo loro nuovi problemi e problemi-gioco (posso adattare giochi esistenti) 13 di 51

14 Apprendere attraverso giochi e problemi Perché il gioco? [Ricchiardi, Coggi] [ ] Per favorire il successo scolastico non occorre anticipare e incrementare i contenuti da proporre ai bambini. È necessario piuttosto stimolare gradualmente lo sviluppo dei piccoli perché le loro strutture cognitive siano in grado di elaborare in maniera signifcativa i contenuti proposti, conservando il piacere di apprendere. Si tratta inoltre di favorire una crescita sana in tutte le dimensioni [...]. I curricoli ludici, con la mediazione adulta, sembrano essere i più adeguati per rispettare queste esigenze. Il gioco è infatti un contesto privilegiato per favorire lo sviluppo progressivo di competenze cognitive e socio-emozionali, indispensabili anche per il successo scolastico. 14 di 51

15 Apprendere attraverso giochi e problemi I bambini apprendono per imitazione, ascoltando, sperimentando per prove ed errori, rifettendo e comunicando. Tali azioni si svolgono abitualmente nel gioco. Gioco e apprendimento sono dunque strettamente connessi. Nel gioco si possono effettuare osservazioni, formulare domande e possibili soluzioni, pianifcare il controllo delle ipotesi, la raccolta dei fatti e l interpretazione dei dati emersi. Si può avviare, inoltre, al termine dell attività ludica, una discussione collettiva sugli esiti dell esperienza realizzata, la formulazione di spiegazioni alternative e la messa in relazione dei risultati. 15 di 51

16 Apprendere attraverso giochi e problemi Giochi legati alla costruzione dei primi concetti matematici: Attività relative a forme spaziali/modelli Giochi di confronto tra grandezze Giochi di enumerazione Quali giochi scegliere? Non conta soltanto la scelta del gioco in sé ma l uso che ne fa il bambino, grazie alla mediazione dell adulto. 16 di 51

17 Apprendere attraverso giochi e problemi Giochi di enumerazione: conta, gioco dell'oca, scale e serpenti, di 51

18 Apprendere attraverso giochi e problemi Giochi relativi a forme spaziali/modelli: costruzioni/incastri, mistery box, memory (anche da adattare), mosca cieca (da adattare), di 51

19 Apprendere attraverso giochi e problemi Giochi di confronto tra grandezze: compravendita, regina reginella, riempimento-travaso, di 51

20 Apprendere attraverso giochi e problemi Dopo l'esperienza di gioco è importante la rilettura del vissuto, in modo verbale e iconico-fgurativo. In questa fase si insegna a rifettere sulla situazione problematica e sulle strategie risolutive. 20 di 51

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22 Apprendere attraverso giochi e problemi 2 Versione A. Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e ne offre ai bambini, richiedendo però che essi prendano le caramelle senza guardare nel pacco. Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle al gusto di arancia e 2 al gusto di limone. Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che gli capiti al gusto di arancia o di limone? Perché? Versione C. Immagina di avere davanti a te due sacchetti: nel primo ci sono 3 caramelle alla menta e 2 all arancia, nel secondo 2 caramelle alla menta e 3 all arancia. Puoi prendere a occhi chiusi una caramella da un solo sacchetto. Da quale sacchetto preferisci pescare? Perché? Ti piacciono di più le caramelle alla menta o all arancia? [Zan] 22 di 51

23 Apprendere attraverso giochi e problemi Classi II Corrette Errate Ambigue Mancanti Versione A Versione C Classi III Corrette Errate Ambigue Mancanti Versione A Versione C di 51

24 Apprendere attraverso giochi e problemi La motivazione può essere sostenuta proponendo, oltre ai giochi, situazioni reali, concrete, che il bambino può ricondurre al proprio vissuto. Così, con l'avanzare dell'età scolare avranno signifcato anche problemi più teorici perché l'alunno sarà entrato nel mondo della matematica e, in quel contesto, darà senso ai problemi proposti. 24 di 51

25 Apprendere attraverso giochi e problemi Qualche spunto un po' più avanzato (primaria) - Giochi da tavolo (non legati solamente alla fortuna), che favoriscono l intuizione delle quantità (giochi con le carte o in generale con dadi e pedine,...) - Giochi che sviluppano la capacità di ragionamento, giochi di strategia (Forza 4, Tris, Indovina chi, Indovina chi sono, Scopri l intruso, Sudoku,...) 25 di 51

26 Apprendere attraverso giochi e problemi - Giochi che favoriscono l intuizione spaziale (Tetris, Trova l ombra dell oggetto, costruzioni,...) - Giochi che sviluppano il corretto utilizzo del linguaggio (almeno, al più, nessuno, alcuni, tutti, negazione, ) 26 di 51

27 Apprendere attraverso giochi e problemi Esempio. Corsa al 7 Si gioca in due. Il primo giocatore può dire 1 oppure 2; il secondo giocatore può aggiungere 1 o 2 a quel che detto il primo giocatore (per esempio, se il primo giocatore ha detto 2, il secondo giocatore può dire 3 oppure 4). E così via. Vince il primo che dice 7. Proviamo a giocare a coppie e a esprimere alcune rifessioni di 51

28 Risoluzione e formalizzazione Quando il gioco si fa duro... Quattro fasi per la risoluzione: A. Comprendere/immaginare la situazione B. Scoprire legami tra informazioni C. Pensare alla strategia risolutiva D. Controllare il risultato [Polya] 28 di 51

29 Risoluzione e formalizzazione A. Comprendere/immaginare la situazione Mimare, vivere, raffgurare le situazioni problematiche (osservare le rappresentazioni dei bambini per capire se riescono a disegnare gli elementi essenziali e a lasciare da parte le informazioni di contorno). Evitare la ricerca delle parole-chiave, se non in fase iniziale. 29 di 51

30 Risoluzione e formalizzazione B. Scoprire legami tra informazioni Porre domande che guidino gli alunni a mettere in relazione le informazioni note e mettere a fuoco quanto non si conosce. 30 di 51

31 Risoluzione e formalizzazione C. Pensare alla strategia risolutiva Porre l'accento sulla procedura, sul ragionamento. Evitare di dare importanza alle sole operazioni e ai soli risultati. Chiedere agli alunni di scrivere in modo sintetico come hanno ragionato. Dopo aver risolto, ricercare analogie con altre situazioni problematiche già note. 31 di 51

32 Risoluzione e formalizzazione D. Controllare il risultato Abituare gli alunni a rilevare eventuali errori, a chiedersi quanto il loro risultato sia plausibile. Non procedere solo per operazioni inverse per ricercare errori di calcolo, ma pensare alle procedure inverse. 32 di 51

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34 Proposte Nella scelta dei problemi da proporre anzitutto è l'insegnante a mettersi in gioco......proponiamo alcuni problemi e per ciascuno mettiamo in luce la caratteristica distintiva. 34 di 51

35 Proposte... Nonno Castoro ha bisogno di alcuni ramoscelli da aggiungere ai suoi 10 per costruire la sua tana. Complessivamente gliene servono 20. Quanti ne deve trovare ancora? 35 di 51

36 Proposte Le parole chiave possono confondere Nonno Castoro ha bisogno di alcuni ramoscelli da aggiungere ai suoi 10 per costruire la sua tana. Complessivamente gliene servono 20. Quanti ne deve trovare ancora? 36 di 51

37 Proposte... DATI 4 = numero quaderni acquistati 3 = numero penne acquistate 2 = numero di oggetti regalati INCOGNITA oggetti posseduti =? 37 di 51

38 Proposte Testi diversi per problemi diversi con gli stessi dati DATI 4 = numero quaderni acquistati 3 = numero penne acquistate 2 = numero di oggetti regalati INCOGNITA oggetti posseduti =? 38 di 51

39 Proposte... La nonna acquista un televisore da 350 euro e la paga in 10 rate (dello stesso importo). A quanto ammonta ogni rata? SVOLGIMENTO Valore di ogni rata = costo TV : numero rate = 350 : 10 = 3,5 euro 39 di 51

40 Proposte Caccia all'errore La nonna acquista un televisore da 350 euro e la paga in 10 rate (dello stesso importo). A quanto ammonta ogni rata? SVOLGIMENTO Valore di ogni rata = costo TV : numero rate = 350 : 10 = 3,5 euro Controllo di plausibilità: è possibile che pagando 10 volte 3,5 euro si possa coprire il costo di un televisore? 40 di 51

41 Proposte... Oggi è il penultimo giorno del mese di maggio ed è sabato. In che data sarà di nuovo un sabato? In che data cadrà il prossimo mercoledì? 41 di 51

42 Proposte Non solo numeri Oggi è il penultimo giorno del mese di maggio ed è sabato. In che data sarà di nuovo un sabato? In che data cadrà il prossimo mercoledì? 42 di 51

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45 Proposte... Carlo va in cartoleria con 10 euro. I quaderni costano 2 euro ognuno, le matite 1 euro ognuna, le penne 3 euro ognuna. Spendendo tutto ciò che ha, che cosa può comprare Carlo? 45 di 51

46 Proposte Tante soluzioni Carlo va in cartoleria con 10 euro. I quaderni costano 2 euro ognuno, le matite 1 euro ognuna, le penne 3 euro ognuna. Spendendo tutto ciò che ha, che cosa può comprare Carlo? 46 di 51

47 Proposte... Una nave si trova in mare, è partita da Venezia carica di 200 barili, si dirige verso Genova, l albero maestro è rotto, i passeggeri sono 12, il vento soffa in direzione Nord-Nord-Est, l orologio segna le 3 del pomeriggio, è maggio. Trovare l età del capitano della nave. 47 di 51

48 Proposte Nessuna soluzione Una nave si trova in mare, è partita da Venezia carica di 200 barili, si dirige verso Genova, l albero maestro è rotto, i passeggeri sono 12, il vento soffa in direzione Nord-Nord-Est, l orologio segna le 3 del pomeriggio, è maggio. Trovare l età del capitano della nave. 48 di 51

49 E il problema di Monty Hall? C. Tre porte chiuse. Dietro a una c è un automobile, dietro alle altre due una capra. Scelgo una delle tre porte, senza aprirla. Il conduttore dello show (sa dove si trova l automobile) apre una delle due porte restanti e in cui c è la capra. Mi conviene cambiare porta o mantenere quella scelta inizialmente? (Paradosso di Monty Hall) 49 di 51

50 E il problema di Monty Hall? - Supponiamo di non cambiare la prima scelta. Allora la probabilità di vittoria è 1/3 (1 auto su un totale di 3 possibilità) - Supponiamo di cambiare la prima scelta. Allora si vince se la scelta iniziale è ricaduta su una porta che nasconde una capra, quindi la probabilità di vittoria è 2/3 (2 capre su 3 porte) 50 di 51

51 Bibliografa B. D Amore, I. Marazzani, Problemi e laboratori. Metodologie per l apprendimento della matematica, Pitagora, G. Faccio, S. Vallortigara, B. Pea, Il problem solving. Le storie del maestro Sergio. Volume per insegnanti, Vannini Editrice, M. Todeschini, I.C. Mammarella, D. Lucangeli, E. Pellizzari, Imparo a risolvere problemi di Geometria. Potenziamento del problem solving geometrico per il secondo ciclo della scuola primaria e per la scuola secondaria di primo grado, Erickson MIUR, Indicazioni Nazionali per il curricolo della scuola dell'infanzia e del primo ciclo di istruzione, G. Polya, Come risolvere i problemi di matematica, Feltrinelli, P. Ricchiardi, C. Coggi, Gioco e potenziamento cognitivo nell infanzia. Comprensione, memoria, ragionamento, capacità critica e creatività, Erickson, R. Zan, Problemi e convinzioni, Pitagora Editrice Bologna, di 51