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1 1)Cosa rappresenta il seguente limite e quale ne è il valore? E il limite del rapporto incrementale della funzione f(x)= con punto iniziale, al tendere a 0 dell incremento h. Il valore del limite può essere calcolato direttamente. Sviluppando la quarta potenza del binomio e semplificando, resta al numeratore un polinomio di quarto grado nella variabile h, avente il termine noto nullo. Dividendo per h sia il numeratore che il denominatore e facendo tendere h a 0, resta solo il coefficiente di quello che era il termine di grado 1, cioè + h+ = 2) Definito il significato di asintoto, si fornisca un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali Si dice che la curva (eventualmente grafico di una funzione di equazione y=f(x)) ammette la retta r come asintoto se la distanza del generico punto P della curva dalla retta r tende a zero quando P si allontana indefinitamente su Se allora la retta di equazione y = l è asintoto (orizzontale) della funzione. Se ESEMPIO allora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione

2 3) La posizione di una particella è data da s(t)= ( + t- 2). Qual è il valore dell accelerazione al tempo t=4? La funzione può essere interpretata come la legge oraria di un grave che cade in presenza di un fluido ; l accelerazione decresce e il moto tende a diventare uniforme, Il valore t= 4 corrisponde a 2 costanti di tempo. 4)Quale è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema 1 metro? Indicati con r il raggio di base h l altezza con il volume è 0<h<1

3 = è il volume massimo che corrisponde ad una capacità di circa m 3 ovvero 403 litri 5) Siano dati nello spazio n punti. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due?quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti( supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? Poiché un segmento è univocamente determinato dai suoi estremi, un triangolo o un tetraedro è univocamente determinato dai suoi vertici il numero di segmenti che si possono costruire dati n punti corrisponde al numero di coppie di punti che si possono scegliere dagli n dati il numero di triangoli che si possono costruire dati n punti(supposto che nessuna terna sia allineata) corrisponde al numero di terne di punti che si possono scegliere dagli n dati il numero di tetraedri che si possono costruire dati n punti (supposto che nessuna quaterna sia complanare ) corrisponde al numero di quaterne di punti che si possono scegliere dagli n dati 6)2)Sia - - Si calcoli f (x) Semplificando -

4 7) E dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l ampiezza dell angolo formato da l e da h. 8) Qual è il valor medio di da x=1 a x=e? Poiché la funzione f(x) è continua nell intervallo I [1;e], esiste un punto c interno ad I tale che è detto media o valor medio di f(x)e generalizza il concetto di media aritmetica (geometricamente tale che l area del rettangolo ) ) 9) Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.c.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce. Per trovare il percorso più breve ricorriamo a una costruzione geometrica. Si costruisce il punto A simmetrico di A rispetto alla retta r.,

5 . Poiché A C è congruente ad AC, il problema si riduce a trovare il percorso più breve per andare da A fino a B. In questo caso il percorso più breve è il segmento A B che incontra in C la retta r. In figura si può osservare come il cammino ADB è affettivamente maggiore di ACB La figura dinamica, costruita con Geogebra, permette di effettuare ulteriori verifiche. Il punto C, così definito, è l'unico punto della retta tale che i segmenti AC e CB formano angoli uguali con la retta r Se AC rappresenta un raggio di luce incidente su una superficie piana riflettente, CB sarà il raggio riflesso Poiché le rette AC e CB sono simmetriche rispetto alla normale in C alla retta r, si deduce la nota legge: L angolo di incidenza è uguale all angolo di riflessione. 10)Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni x reale? ) ) ) ) Risposta esatta A) Le funzioni hanno come immagine l intervallo [ ]. Nei suddetti tre intervalli, l unica funzione che assume valori solo positivi è il coseno L immagine della funzione è l intervallo[ [ in corrispondenza del quale sia la funzione seno che la funzione coseno assumono tutti i valori compresi tra -1 e 1.

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