EQUILIBRI - GENERALITA. Come si è visto trattando i tre princìpi della termodinamica, il criterio di spontaneità di una trasformazione è

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "EQUILIBRI - GENERALITA. Come si è visto trattando i tre princìpi della termodinamica, il criterio di spontaneità di una trasformazione è"

Transcript

1 EQUILIBRI - GENERALIA Come si è visto trattando i tre princìpi della termodinamica, il criterio di spontaneità di una trasformazione è G < 0 Quando vale questo criterio, i reagenti si trasformano in prodotti. Finora, abbiamo considerato le reazioni chimiche come sistemi in cui i reagenti si trasformano completamente in prodotti: questo in generale non è vero, anche se ci sono molte reazioni in cui la trasformazione è quasi completa. La risposta più generale e più corretta alla domanda: Fino a quando una reazione procede spontaneamente? è Fino a quando G non si annulla, cioè fino a quando non viene raggiunto l equilibrio. G è una grandezza che varia nel corso della reazione, tendendo verso lo zero, raggiunto il quale la trasformazione si arresta. I valori delle funzioni termodinamiche H, S e G si possono usare per fare delle previsioni sull andamento delle reazioni, come vedremo qui di seguito in dettaglio. Per questo motivo, dei valori di riferimento di queste funzioni si possono trovare su apposite tabelle. uttavia, dato che non si possono avere infinite tabelle, riferite a tutte le condizioni possibili, le tabelle usate nella pratica riportano valori riferiti allo stato standard (vedi ermochimica), cioè alle sostanze pure nel loro stato fisico più stabile alla temperatura considerata (abitualmente, ma non necessariamente, alla temperatura di riferimento di 25 C) a P = 1 atm e concentrazione 1 M. Le grandezze standard si indicano con H, S e. Attenzione!!! Il criterio di spontaneità di una trasformazione è comunque G < 0, riferito alle condizioni reali del sistema. Dire che una reazione ha < 0 significa dire che quella reazione è spontanea se si parte dallo stato standard; si supponga di costruire un sistema contenente tutti i reagenti e i prodotti, ciascuno alla pressione parziale di 1 atm o alla concentrazione 1 M: se < 0 questo sistema evolverà spontaneamente dando luogo alla formazione di un ulteriore quantità di prodotti. E molto importante non confondere G con. La variazione di al variare della temperatura dà un idea dell influenza della temperatura sull andamento della reazione. Poiché per definizione G = H - S, e quindi = H - S in condizioni standard, vediamo che dipende dalla temperatura. Questa dipendenza è in prima approssimazione lineare, perché, sebbene H e S dipendano anch esse da, la loro dipendenza non è molto marcata, e quindi, su intervalli di non troppo ampi, queste due funzioni si possono ritenere

2 approssimativamente costanti rispetto a. Allora, = H - S si può approssimare all equazione di una retta, della forma y = ax + b, dove y = è la variabile dipendente, la variabile indipendente da riportare in ascissa è x =, (- S ) è la pendenza a della retta e H è l intercetta b della retta con l asse delle ordinate (corrispondente a = 0 K; attenzione: non può assumere valori inferiori a questo!). Ricordando che, se si parte da condizioni standard, la reazione è spontanea solo se < 0: nell esempio mostrato la retta parte da un valore di < 0 per = 0 K: intercetta negativa significa reazione esotermica 0 ( H < 0); la pendenza (- S ) è > 0 e quindi S < 0, Figura 1 la reazione procede con diminuzione di entropia, generalmente associata a diminuzione di moli gassose (reazione ordinante). Come si vede dal grafico, rimane negativa solo fino a una certa, alla quale la retta taglia l asse delle ascisse e = 0: in questa situazione il sistema in condizioni standard è in equilibrio, ossia non procede ne da una parte ne dall altra. Se il sistema ha questa composizione a questa temperatura, non si osservano cambiamenti nel tempo delle concentrazioni di alcuno dei componenti del sistema. Oltre questa temperatura la reazione non è spontanea, anzi, è spontanea la reazione inversa, diminuiscono le concentrazioni dei prodotti e aumentano quelle dei reagenti. G G reagenti prodotti reagenti prodotti Figura 2. In questi grafici si può vedere il significato, rispettivamente, di < 0 (reazione spontanea, composizione spostata a destra, cioè verso i prodotti: se si parte da condizioni standard si formano prodotti) e di > 0 (reazione non spontanea, composizione spostata a sinistra, cioè verso i reagenti: se si parte da condizioni standard si formano reagenti e diminuiscono prodotti). Se = 0 si è all equilibrio in condizioni standard, e il minimo della curva si trova a metà.

3 Per la reazione relativa alla Figura 1, abbiamo ipotizzato H < 0 (una condizione favorevole, reazione esotermica) e S > 0 (una condizione sfavorevole, reazione ordinante). A bassa il termine (- S ) è relativamente poco importante, prevale nella somma il termine entalpico e la reazione è favorita, mentre al crescere di il termine che rappresenta il contributo entropico diventa sempre più importante, e rende il valore di sempre meno negativo e la reazione sempre meno favorita. In generale: H - S = H S < 0 < 0 spontanea a bassa < 0 > 0 < 0, sempre spontanea > 0 > 0 spontanea ad alta > 0 < 0 > 0, mai spontanea Si può notare che una reazione esotermica disordinante sarà spontanea a qualunque temperatura (a prescindere dal tempo che potrà richiedere per avvenire), mentre una endotermica e ordinante non potrà mai avvenire, in nessuna condizione: se volete ottenere quel prodotto dovrete partire da altri reagenti. Ricordo ancora una volta che stiamo considerando il caso in cui si parte da condizioni standard. Una reazione, come vedremo, può sempre avvenire partendo da altre condizioni, ma se è molto positiva non sarà mai possibile ottenere grandi quantità di prodotti: la situazione di equilibrio (vedi grafici in Figura 2) sarà molto spostata a sinistra, e non appena qualche molecola di prodotto si sarà formata, la reazione si fermerà. Esempio: il congelamento dell acqua. = J - (-21,99) J = 0 se = (6007) : (21,99) = 273,16 K Se > 273,16 K prevale, in modulo, il termine 273,16 (- S ), che è positivo (reazione ordinante) e l acqua non congela. Se < 273,16 K prevale, in modulo, il termine negativo H (reazione esotermica), < 0 e l acqua congela. Vedremo ora alcuni altri esempi di grande importanza pratica. Si è visto, nel capitolo riguardante la termochimica, che le combustioni sono reazioni esotermiche. Questo è sempre vero, con un unica, importante eccezione. E noto che

4 l aria è una miscela costituita dall 80% circa di azoto (N 2 ) e dal 20% circa di ossigeno (O 2 ). Se la combustione dell azoto fosse una reazione esotermica, l aria non potrebbe esistere! La combustione di N 2 è endotermica sia perché la molecola è molto difficile da rompere, avendo un forte legame triplo (N N), sia perché gli ossidi d azoto che si formerebbero sono in genere molecole poco stabili, spesso con un elettrone spaiato (l azoto ha elettroni dispari e l ossigeno pari), e quindi il bilancio (legami formati - legami rotti) è sfavorevole. Guardiamo allora le reazioni di combustione dell azoto che potremmo scrivere: a) N 2 (g) + 2 O 2 (g) = 2 NO 2 (g ) H = 2 mol x 33,9 kj mol -1 = 67,8 kj > 0 S = (2 x 240,5-2 x ,5) J mol -1 K -1 = = - 120,5 J K -1 < 0 (da 3 a 2 moli di gas) Questa reazione è endotermica e ordinante, quindi non è mai spontanea. b) N 2 (g) + O 2 (g) = 2 NO (g ) H = 2 mol x 90,4 kj mol -1 = 180,8 kj > 0 S = (2 x 210, ,5) J mol -1 K -1 = = + 24,7 J K -1 > 0 (il numero di moli gassose resta invariato, S è piccola [la si confronti con la precedente]; il suo segno a questo punto è difficile da prevedere; calcolandolo si trova che è positivo) < 0 per > J : 24,3 J K -1, cioè > 7047 C! Questo significa che la combustione dell azoto, benché endotermica, è comunque possibile, solo secondo quest ultima equazione, a molto alta; infatti, nei motori a combustione interna delle auto, si generano piccole quantità di ossidi d azoto dovuti a questa reazione. NO 2 non può formarsi direttamente, ma può formarsi per combustione ulteriore di NO : c) NO (g) + ½ O 2 (g) = NO 2 (g) H = (33,9-90,4) kj mol -1 = - 56,5 kj < 0 S = (240,5-2 x ,6) J mol -1 K -1 = = - 72,6 J K -1 < 0 (da 1,5 a 1 moli di gas) Spontanea per < (-56500) : (- 72,6) = 778 K, cioè 505 C La reazione indicata in c) non è la combustione dell azoto, ma la combustione di NO, ed è possibile a bassa temperatura. Nei motori a scoppio, durante la combustione si forma dapprima NO, ad alta, e poi nei gas in uscita, che contengono ancora ossigeno, parte dell NO si trasforma in NO 2 ; si possono poi formare altri ossidi, come N 2 O 4, ecc. La

5 miscela di questi ossidi viene perciò indicata genericamente come NO x e rappresenta uno fra i principali inquinanti dell aria derivanti dall autotrazione. Questo tipo di considerazioni ci permette, ad esempio, di capire perché l età del bronzo precedette l età del ferro, mentre l alluminio, pur molto abbondante in natura, viene usato praticamente solo da circa un secolo. Prendiamo in considerazione le reazioni attraverso le quali un metallo viene estratto dal proprio ossido (che spesso è il minerale di partenza). La reazione si può indicare genericamente, per un qualunque metallo, come segue: M x O y = x M + y/2 O 2 Questa reazione è l inverso di una combustione, quindi ha H > 0, e dà luogo allo sviluppo di gas (O 2 ), quindi ha S > 0. Il suo diagramma quindi è qualitativamente del tipo qui raffigurato. Chiaramente, il valore di a cui si annulla dipende dal metallo in questione. I valori di H f (kj mol -1 )per gli ossidi metallici più comuni sono: CuO (s) - 157,3 Al 2 O 3 (s) ,7 Fe 2 O 3 (s) 824,2 SnO 2 (s) - 580,7 Usando poi i valori di S di formazione di questi ossidi (i cui valori sono tutti compresi fra 46 e 87 J mol -1 K -1 ) è quindi possibile calcolare la temperatura a cui l ossido di un dato metallo si decompone spontaneamente a dare il metallo puro, liberando ossigeno. Questa temperatura è facilmente raggiungibile per i metalli nobili, come Ag, Cu (l oro non tende nemmeno a combinarsi con l ossigeno e si trova già puro in natura) e anche per Sn: il bronzo, essendo una lega di Cu e Sn, è il materiale metallico più accessibile anche in assenza di particolari tecnologie. Per Fe, la temperatura necessaria è decisamente più alta (~ 3000 C), e quindi è stato possibile ottenerlo solo quando ci si è resi conto che questa reazione può essere resa più facile combinandola con una reazione esotermica come la combustione di C: 4/3 Fe + O 2 = 2/3 Fe 2 O 3 2 C + O 2 = 2 CO (kj mol -1 ) 2/3 Fe 2 O C = 4/3 Fe + 2 CO (K)

6 La decomposizione dell ossido diventa spontanea a maggiori di quella a cui il grafico rosso taglia le ascisse; la reazione con C alla a cui i due grafici, rosso e blu, si incrociano: una temperatura molto più facile da raggiungere (~ 1500 C). La reazione di combustione di C indicata è quella parziale, che dà luogo alla formazione di CO. C può anche bruciare completamente dando CO 2 : l andamento della combustione dipende dalla temperatura. C (s) + ½ O 2 (g) = CO (g) 0 (K) C (s) + O 2 (g) = CO 2 (g) CO (g) + ½ O 2 (g) = CO 2 (g ) [Provate, usando le tabelle di H e S, a calcolare la oltre la quale prevale CO] (kj mol -1 ) Il concetto di equilibrio. Se introduciamo in un recipiente due sostanze A e B in grado di reagire fra loro, secondo la reazione A + B = C + D, ad una data temperatura, queste all inizio reagiranno formando C e D (reazione diretta); dopo un certo tempo, quando il sistema conterrà anche una certa quantità di prodotti, questi potranno cominciare a reagire fra loro ad una velocità apprezzabile per riformare A e B (reazione inversa). In questo momento la reazione inversa procede meno della reazione diretta: più molecole di A e B reagiscono a dare C e D di quante molecole di C e D reagiscano per dare A e B. Perciò, le concentrazioni [C] e [D] vanno aumentando. Dopo qualche tempo si arriva a concentrazioni dei quattro componenti del sistema, tali per cui le due velocità, diretta e inversa, si eguagliano: a questo punto la composizione del sistema non cambia più, perché tante molecole di A e B si trasformano in C e D, quante molecole di C e D compiono il percorso inverso. Questa condizione è di equilibrio dinamico, cioè continuano ad esserci molti atti reattivi di molecole che si trasformano l una nell altra, ma a livello macroscopico non si osserva più nessun cambiamento. Come già anticipato, questo si verifica quando G = 0. Consideriamo la reazione N 2 O 4 (g) = 2 NO 2 (g), in condizioni e concentrazioni iniziali qualsiasi; questa in generale evolverà spontaneamente verso l equilibrio, che si troverà a destra o a sinistra della composizione iniziale a seconda che l equilibrio preveda più reagenti o più prodotti rispetto a quest ultima.

7 Nel caso di un equilibrio gassoso, può essere più vantaggioso riferirsi, piuttosto che alle concentrazioni, alle pressioni parziali p i dei vari componenti, le quali sono in diretta relazione con le concentrazioni in base alla relazione p i V = n i R, in cui n i è il numero di moli del componente i e p i la sua pressione parziale. Allora p i = (n i R/V) = c i R dove c i è la concentrazione dello stesso componente i, espressa in moli/volume. Nella seguente figura è mostrata l evoluzione nel tempo di tre sistemi in cui avviene la reazione N 2 O 4 (g) = 2 NO 2 (g), e la pressione parziale dei due componenti varia passando dal valore iniziale a quello di equilibrio. Nel primo e nel secondo grafico sono presenti all inizio o solo il reagente o solo il prodotto: certamente nel primo caso il sistema evolve verso destra e nel secondo verso sinistra. Se sono presenti entrambi l evoluzione dipende da qual è la composizione all equilibrio. p i p i t t P(NO 2 ) iniz = 0,2 atm; P(N 2 O 4 ) iniz = 0 [P(NO 2 ) iniz = 0 atm; P(N 2 O 4 ) iniz = 0,67 atm P(NO 2 ) eq = 0,02 atm; P(N 2 O 4 ) eq = 0,09 atm P(NO 2 ) eq = 0,055 atm; P(N 2 O 4 ) eq = 0,65 atm P(NO 2 )/ P(N 2 O 4 ) = 0,227 P(NO 2 )/ P(N 2 O 4 ) = 0,085 P(NO 2 ) 2 / P(N 2 O 4 )] = 4,6 x 10-3 atm P(NO 2 ) 2 / P(N 2 O 4 )] = 4,6 x 10-3 atm P(NO 2 ) iniz = 0.05 atm; P(N 2 O 4 ) iniz = 0,45 atm P(NO 2 ) eq = 0,046 atm; P(N 2 O 4 ) eq = 0,445 atm P(NO 2 ) / P(N 2 O 4 ) = 0,102 P(NO 2 ) 2 / P(N 2 O 4 ) = 4,6 x 10-3 atm p i t Come si può notare, le concentrazioni finali non sono sempre le stesse, e nemmeno il loro rapporto. C è però un dato che, all equilibrio, è sempre lo stesso, e che per questo è chiamato COSANE D EQUILIBRIO, indicato con K (maiuscola): K p = P(NO 2 ) 2 / P(N 2 O 4 ) La costante d equilibrio è cioè data dal rapporto fra le concentrazioni dei prodotti (numeratore) e dei reagenti (denominatore), ciascuna elevata al proprio coefficiente stechiometrico. Questa grandezza è costante a temperatura costante per la reazione così com è stata scritta: N 2 O 4 (g) = 2 NO 2 (g). Per come è definita K, la sua espressione

8 varia se varia l espressione della reazione: se chiamiamo K 1 quella appena indicata, si avrà: per la reazione ½ N 2 O 4 (g) = NO 2 (g), K = K 1, per la reazione 2 NO 2 (g) = N 2 O 4 (g), K = 1 / K 1 In base alla formula mostrata più sopra, le pressioni parziali si possono trasformare in concentrazioni: è allora possibile esprimere la K in funzione delle concentrazioni (K c ) e fra le due costanti sussiste la relazione: K p = K c (R) n in cui n è la variazione del numero di moli gassose passando da reagenti a prodotti (per la reazione che stiamo considerando, nel verso in cui è scritta, n = +1). Se il numero di moli gassose non varia, K p = K c. Se K è grande, l equilibrio si raggiunge quando sono presenti più prodotti che reagenti (numeratore > denominatore); questo corrisponde alla condizione < 0. Fra le due grandezze sussiste la seguente importante relazione: = - R ln K ove è espresso in J mol -1, R è la costante universale dei gas espressa in J mol -1 K -1 e vale 8,31, è espressa in K e ln è il logaritmo naturale, in base e. Il segno - è necessario perché tanto più è negativa, tanto > 1 è K (tanto più positivo ln K). [E necessario avere ben presenti le proprietà dei logaritmi! In caso contrario, andate a rivederle!!] Quanto segue è estremamente importante! Sia che K sono costanti a costante (esistono infatti tabelle che ne riportano i valori, solitamente riferiti a 25 C), e sono quindi dati caratteristici di una data reazione. Se < 0, K > 1; se > 0, K < 1; se = 0, K = 1 (vedi Fig. 2, più sopra). Vale la relazione: = H - S = - R ln K Quando invece il sistema NON E IN EQUILIBRIO, il rapporto [prodotti] m / [reagenti] n si indica con Q, quoziente di reazione, e ha la stessa forma di K ma non lo stesso valore. In un istante qualsiasi, in generale, il sistema non è ne in equilibrio ne in condizioni standard. In questo caso vale la relazione G = H - S = + R ln Q sostituendo a la sua espressione indicata sopra, e per le proprietà dei logaritmi, si ha: G = - R ln K + R ln Q, e quindi G = R ln (Q/K); questo significa che, per stabilire in che senso evolverà un sistema, basta confrontare Q con K : se Q > K,l argomento del logaritmo è > 1, il logaritmo è > 0 e G > 0, reazione non spontanea,

9 evolve verso sinistra. Viceversa se Q < K. Se Q = K, G = 0 e ci troviamo all equilibrio. Allora quello che si può dire ingenerale è che, contrariamente a e a K, che sono delle costanti, G e Q variano nel corso della reazione tendendo rispettivamente a zero e a K, cioè ai valori che caratterizzano lo stato di equilibrio. Attenzione: se P(prodotti) = 0, cioè se sono presenti solo reagenti, Q = 0 e ln Q = -, quindi G = -, e la reazione è infinitamente spontanea. Se però K è molto piccola, verrà raggiunta molto presto; anche le reazioni con >> 0 danno sempre luogo ad una formazione di prodotti, per quanto minima (in molti casi non rilevabile analiticamente). G Q = K G = 0 Q > K G > 0 Q < K G < 0 Q/K Come influenzare la posizione di un equilibrio. Vale il cosiddetto principio di Le Châtelier, secondo il quale se un sistema in equilibrio viene sottoposto ad una variazione, esso reagisce in modo da minimizzarne gli effetti. Questo principio si applica, fra l altro, nella legge di azione di massa, nella legge di Van t Hoff e sull effetto delle variazioni di pressione ed è fondato sul fatto, da tenere sempre presente, che K è costante a costante. La LEGGE DI AZIONE DI MASSA prevede che, se viene aggiunta ad un sistema in equilibrio un ulteriore quantità di uno dei suoi componenti, esso reagirà in modo da consumarla. Si consideri, ad esempio, la reazione in fase gas N 2 (g) + 3 H 2(g) = 2 NH 3 (g), per la quale a 350 C K p = 9,03 x Ad un dato momento, la composizione all equilibrio è la seguente: p (N 2 ) = 34,9 atm; p (H 2 ) = 450 atm; p (NH 3 ) = 53,6 atm. A questo punto viene aggiunta ammoniaca, fino ad avere p (NH 3 ) = 186 atm. La legge di azione di massa ci dice che il sistema dovrebbe andare verso sinistra, per consumare almeno una parte dell ammoniaca aggiunta, e infatti se andiamo a calcolare Q nelle nuove condizioni troviamo: Q = (186) 2 / (450) 3 (34,9) = 1,09 x 10-5 > K, quindi G > 0 e il sistema evolve verso sinistra. Ovviamente, N 2 e H 2 aumenteranno. Lo stesso risultato che si ottiene aggiungendo un prodotto lo si ottiene sottraendo un reagente. Analogamente, l effetto di un aumento di pressione sul sistema lo fa evolvere dalla parte dove vi sono meno moli gassose. Consideriamo il sistema gassoso A + B = C ed esprimiamo la K p in funzione della pressione totale, ricordando (vedi Miscele gassose - legge di Dalton) che p i = x i P.

10 K p = p c p A p B = x c P x A P x B P = x c x A x B 1 P Se in un dato istante ci troviamo all equilibrio, e poi, ad esempio, aumentiamo la pressione, dopo l aumento non siamo più all equilibrio e il rapporto delle pressioni parziali non è più K, ma Q. Se P è aumentata, trovandosi al denominatore, Q < K e quindi l equilibrio verrà ripristinato mediante uno spostamento verso destra. Attenzione: questo succede proprio perché K è costante a costante. Variando P, il sistema deve muoversi per tornare a ripristinare il valore di K. Finora abbiamo continuamente rimarcato che K è costante a costante. Cosa succede se varia? La risposta è data dall equazione di Van t Hoff, che si ricava come segue: = H - S = - Rln K si divide per (-R) H ln K = - + R S R Ora abbiamo l'espressione di ln K in funzione di. Quello che più interessa, però, qui è la VARIAZIONE di ln K in funzione della variazione di, che matematicamente è rappresentata dall'operazione di DERIVAA. dln K H = d R 2 Integrando fra 1 e 2 (con 1 < 2 ) ln K 2 K 1 = H R Da notare: le operazioni di derivata e integrale sono state svolte considerando (ricordo che si tratta di un approssimazione) H e S costanti con la temperatura. Come si vede dalla forma integrata finale dell equazione, l andamento di K in funzione di dipende dalla tonalità termica della reazione: poiché il termine fra parentesi è certamente positivo (le sono in K e 1 < 2 ), il logaritmo sarà positivo solo se H è positiva, cioè se la reazione è endotermica. Logaritmo positivo significa K 2 > K 1 (argomento > 1), quindi K maggiore a maggiore. Anche questa regola discende dal principio di Le Chatelier: se il calore è un reagente (reazione endotermica, richiede calore per avvenire), scaldare favorisce il processo verso destra; se è un prodotto (reazione esotermica), scaldare lo fa retrocedere.

REAZIONI ORGANICHE Variazioni di energia e velocità di reazione

REAZIONI ORGANICHE Variazioni di energia e velocità di reazione REAZIONI ORGANICHE Variazioni di energia e velocità di reazione Abbiamo visto che i composti organici e le loro reazioni possono essere suddivisi in categorie omogenee. Per ottenere la massima razionalizzazione

Dettagli

LA MOLE : UN UNITA DI MISURA FONDAMENTALE PER LA CHIMICA

LA MOLE : UN UNITA DI MISURA FONDAMENTALE PER LA CHIMICA LA MOLE : UN UNITA DI MISURA FONDAMENTALE PER LA CHIMICA Poiché è impossibile contare o pesare gli atomi o le molecole che formano una qualsiasi sostanza chimica, si ricorre alla grandezza detta quantità

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Termodinamica. Sistema termodinamico. Piano di Clapeyron. Sistema termodinamico. Esempio. Cosa è la termodinamica? TERMODINAMICA

Termodinamica. Sistema termodinamico. Piano di Clapeyron. Sistema termodinamico. Esempio. Cosa è la termodinamica? TERMODINAMICA Termodinamica TERMODINAMICA Cosa è la termodinamica? La termodinamica studia la conversione del calore in lavoro meccanico Prof Crosetto Silvio 2 Prof Crosetto Silvio Il motore dell automobile trasforma

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

LABORATORIO DI CHIMICA GENERALE E INORGANICA

LABORATORIO DI CHIMICA GENERALE E INORGANICA UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MILANO Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea Triennale in Chimica CORSO DI: LABORATORIO DI CHIMICA GENERALE E INORGANICA Docente: Dr. Alessandro Caselli

Dettagli

SISTEMA BINARIO DI DUE LIQUIDI VOLATILI TOTALMENTE MISCIBILI che seguono Raoult

SISTEMA BINARIO DI DUE LIQUIDI VOLATILI TOTALMENTE MISCIBILI che seguono Raoult SISTEM INRIO DI DUE IQUIDI OTII MENTE MISCIII che seguono Raoult Consideriamo due liquidi e totalmente miscibili di composizione χ e χ presenti in un contenitore ad una certa temperatura T=T 1. o strato

Dettagli

Una soluzione è un sistema omogeneo (cioè costituito da una sola fase, che può essere liquida, solida o gassosa) a due o più componenti.

Una soluzione è un sistema omogeneo (cioè costituito da una sola fase, che può essere liquida, solida o gassosa) a due o più componenti. Una soluzione è un sistema omogeneo (cioè costituito da una sola fase, che può essere liquida, solida o gassosa) a due o più componenti. Solvente (componente presente in maggior quantità) SOLUZIONE Soluti

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

Complementi di Termologia. I parte

Complementi di Termologia. I parte Prof. Michele Giugliano (Dicembre 2) Complementi di Termologia. I parte N.. - Calorimetria. Il calore è una forma di energia, quindi la sua unità di misura, nel sistema SI, è il joule (J), tuttavia si

Dettagli

Teoria delle code. Sistemi stazionari: M/M/1 M/M/1/K M/M/S

Teoria delle code. Sistemi stazionari: M/M/1 M/M/1/K M/M/S Teoria delle code Sistemi stazionari: M/M/1 M/M/1/K M/M/S Fabio Giammarinaro 04/03/2008 Sommario INTRODUZIONE... 3 Formule generali di e... 3 Leggi di Little... 3 Cosa cerchiamo... 3 Legame tra N e le

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

Perché il logaritmo è così importante?

Perché il logaritmo è così importante? Esempio 1. Perché il logaritmo è così importante? (concentrazione di ioni di idrogeno in una soluzione, il ph) Un sistema solido o liquido, costituito da due o più componenti, (sale disciolto nell'acqua),

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Selezione test GIOCHI DELLA CHIMICA

Selezione test GIOCHI DELLA CHIMICA Selezione test GIOCHI DELLA CHIMICA CLASSE A Velocità - Equilibrio - Energia Regionali 2010 36. Se il valore della costante di equilibrio di una reazione chimica diminuisce al crescere della temperatura,

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

Trasformazioni materia

Trasformazioni materia REAZIONI CHIMICHE Trasformazioni materia Trasformazioni fisiche (reversibili) Trasformazioni chimiche (irreversibili) È una trasformazione che non produce nuove sostanze È una trasformazione che produce

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a) Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Gas perfetti e sue variabili

Gas perfetti e sue variabili Gas perfetti e sue variabili Un gas è detto perfetto quando: 1. è lontano dal punto di condensazione, e quindi è molto rarefatto 2. su di esso non agiscono forze esterne 3. gli urti tra le molecole del

Dettagli

Definiamo Entalpia la funzione: DH = DU + PDV. Variando lo stato del sistema possiamo misurare la variazione di entalpia: DU = Q - PDV.

Definiamo Entalpia la funzione: DH = DU + PDV. Variando lo stato del sistema possiamo misurare la variazione di entalpia: DU = Q - PDV. Problemi Una mole di molecole di gas ideale a 292 K e 3 atm si espandono da 8 a 20 L e a una pressione finale di 1,20 atm seguendo 2 percorsi differenti. Il percorso A è un espansione isotermica e reversibile;

Dettagli

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle

Dettagli

Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica

Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica (Gli esercizi sono suddivisi in base ai capitoli del testo di De Vincenti) CAPITOLO 3. IL MERCATO DEI BENI NEL MODELLO REDDITO-SPESA Esercizio.

Dettagli

Energia nelle reazioni chimiche. Lezioni d'autore di Giorgio Benedetti

Energia nelle reazioni chimiche. Lezioni d'autore di Giorgio Benedetti Energia nelle reazioni chimiche Lezioni d'autore di Giorgio Benedetti VIDEO Introduzione (I) L energia chimica è dovuta al particolare arrangiamento degli atomi nei composti chimici e le varie forme di

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

Economia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1

Economia Applicata ai sistemi produttivi. 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Economia Applicata ai sistemi produttivi 06.05.05 Lezione II Maria Luisa Venuta 1 Schema della lezione di oggi Argomento della lezione: il comportamento del consumatore. Gli economisti assumono che il

Dettagli

11010010 = 1*2^7 + 1*2^6 + 0*2^5 + 1*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 = 210

11010010 = 1*2^7 + 1*2^6 + 0*2^5 + 1*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 = 210 Il sistema BINARIO e quello ESADECIMALE. Il sistema di numerazione binario è particolarmente legato ai calcolatori in quanto essi possono riconoscere solo segnali aventi due valori: uno alto e uno basso;

Dettagli

Facoltà di Scienze Politiche Corso di Economia Politica. Esercitazione di Microeconomia sui capitoli 3 e 4

Facoltà di Scienze Politiche Corso di Economia Politica. Esercitazione di Microeconomia sui capitoli 3 e 4 Facoltà di Scienze Politiche Corso di Economia Politica Esercitazione di Microeconomia sui capitoli 3 e 4 Domanda 1 Nel modello di domanda e offerta l equilibrio si verifica quando: A) Tutti i compratori

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

RICHIAMI DI TERMOCHIMICA

RICHIAMI DI TERMOCHIMICA CAPITOLO 5 RICHIAMI DI TERMOCHIMICA ARIA TEORICA DI COMBUSTIONE Una reazione di combustione risulta completa se il combustibile ha ossigeno sufficiente per ossidarsi completamente. Si ha combustione completa

Dettagli

I sistemi di numerazione

I sistemi di numerazione I sistemi di numerazione 01-INFORMAZIONE E SUA RAPPRESENTAZIONE Sia dato un insieme finito di caratteri distinti, che chiameremo alfabeto. Utilizzando anche ripetutamente caratteri di un alfabeto, si possono

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore Lezione 5 Argomenti Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore 5.1 PREESSA Nonostante le preferenze portino a desiderare quantità crescenti di beni, nella realtà gli individui non sono

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

I SISTEMI DI NUMERAZIONE

I SISTEMI DI NUMERAZIONE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE G. M. ANGIOY CARBONIA I SISTEMI DI NUMERAZIONE Prof. G. Ciaschetti Fin dall antichità, l uomo ha avuto il bisogno di rappresentare le quantità in modo simbolico. Sono nati

Dettagli

Lezione 6 (16/10/2014)

Lezione 6 (16/10/2014) Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Capitolo 4. Elasticità. Principi di economia (seconda edizione) Robert H. Frank, Ben S. Bernanke. Copyright 2007 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 4. Elasticità. Principi di economia (seconda edizione) Robert H. Frank, Ben S. Bernanke. Copyright 2007 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 4 Elasticità In questa lezione introdurremo il concetto di elasticità: un indicatore dell entità con cui domanda e offerta reagiscono a variazioni di prezzo, reddito ed altri elementi. Nella lezione

Dettagli

Blanchard, Macroeconomia Una prospettiva europea, Il Mulino 2011 Capitolo IV. I mercati finanziari. Capitolo IV. I mercati finanziari

Blanchard, Macroeconomia Una prospettiva europea, Il Mulino 2011 Capitolo IV. I mercati finanziari. Capitolo IV. I mercati finanziari Capitolo IV. I mercati finanziari 1. La domanda di moneta La moneta può essere usata per transazioni, ma non paga interessi. In realtà ci sono due tipi di moneta: il circolante, la moneta metallica e cartacea,

Dettagli

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione 2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M

Dettagli

GLI STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA. Lo stato gassoso

GLI STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA. Lo stato gassoso GLI STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA Lo stato gassoso Classificazione della materia MATERIA Composizione Struttura Proprietà Trasformazioni 3 STATI DI AGGREGAZIONE SOLIDO (volume e forma propri) LIQUIDO

Dettagli

G3. Asintoti e continuità

G3. Asintoti e continuità G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

di questi il SECONDO PRINCIPIO ΔU sistema isolato= 0

di questi il SECONDO PRINCIPIO ΔU sistema isolato= 0 L entropia e il secondo principio della termodinamica La maggior parte delle reazioni esotermiche risulta spontanea ma esistono numerose eccezioni. In laboratorio, ad esempio, si osserva come la dissoluzione

Dettagli

Capitolo 10 Z Elasticità della domanda

Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Sommario Z 1. L elasticità della domanda rispetto al prezzo. - 2. La misura dell elasticità. - 3. I fattori determinanti l elasticità. - 4. L elasticità rispetto

Dettagli

Il modello IS-LM. Determiniamo le condizioni per cui il mercato dei beni è in equilibrio.

Il modello IS-LM. Determiniamo le condizioni per cui il mercato dei beni è in equilibrio. Il modello IS-LM In questa lezione: Definiamo l equilibrio economico generale. Determiniamo le condizioni per cui il mercato dei beni è in equilibrio. Costruiamo la curva IS e la curva LM e ne determiniamo

Dettagli

L'ENTROPIA. Lezioni d'autore

L'ENTROPIA. Lezioni d'autore L'ENTROPIA Lezioni d'autore Un video : Clic Un altro video : Clic La funzione di distribuzione delle velocità (I) Nel grafico accanto sono riportati i numeri delle molecole di un gas, suddivise a seconda

Dettagli

La propagazione delle onde luminose può essere studiata per mezzo delle equazioni di Maxwell. Tuttavia, nella maggior parte dei casi è possibile

La propagazione delle onde luminose può essere studiata per mezzo delle equazioni di Maxwell. Tuttavia, nella maggior parte dei casi è possibile Elementi di ottica L ottica si occupa dello studio dei percorsi dei raggi luminosi e dei fenomeni legati alla propagazione della luce in generale. Lo studio dell ottica nella fisica moderna si basa sul

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Ke = ] = Kw = 10 = 10-7 moli/litro, ed in base a quanto avevamo affermato in precedenza: [H + ] = [OH - ] = 10-7 moli/litro.

Ke = ] = Kw = 10 = 10-7 moli/litro, ed in base a quanto avevamo affermato in precedenza: [H + ] = [OH - ] = 10-7 moli/litro. Prodotto ionico dell acqua e ph Prodotto ionico dell acqua L acqua è un elettrolita debolissimo e si dissocia secondo la reazione: H 2 O H + + OH - La costante di equilibrio dell acqua è molto piccola

Dettagli

352&(662',&20%867,21(

352&(662',&20%867,21( 352&(662',&20%867,21( Il calore utilizzato come fonte energetica convertibile in lavoro nella maggior parte dei casi, è prodotto dalla combustione di sostanze (es. carbone, metano, gasolio) chiamate combustibili.

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100

Dettagli

Capitolo 2. Operazione di limite

Capitolo 2. Operazione di limite Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE

Dettagli

FISICA. Le forze. Le forze. il testo: 2011/2012 La Semplificazione dei Testi Scolastici per gli Alunni Stranieri IPSIA A.

FISICA. Le forze. Le forze. il testo: 2011/2012 La Semplificazione dei Testi Scolastici per gli Alunni Stranieri IPSIA A. 01 In questa lezione parliamo delle forze. Parliamo di forza quando: spostiamo una cosa; solleviamo un oggetto; fermiamo una palla mentre giochiamo a calcio; stringiamo una molla. Quando usiamo (applichiamo)

Dettagli

Esercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2

Esercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2 Esercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2 [1] Metodo di Bisezione gli estremi a e b di un intervallo reale trovi uno zero della funzione f(x) nell intervallo [a, b] usando il metodo

Dettagli

Il principio di induzione e i numeri naturali.

Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione è un potente strumento di dimostrazione, al quale si ricorre ogni volta che si debba dimostrare una proprietà in un numero infinito

Dettagli

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile

Dettagli

DIPARTIMENTO DI SCIENZE INTEGRATE CHIMICA FISICA SCIENZE DELLA TERRA - BIOLOGIA

DIPARTIMENTO DI SCIENZE INTEGRATE CHIMICA FISICA SCIENZE DELLA TERRA - BIOLOGIA IISS A. De Pace Lecce A.S. 2012-2013 DIPARTIMENTO DI SCIENZE INTEGRATE FISICA SCIENZE DELLA TERRA - BIOLOGIA PIANI DI STUDIO DELLE DISCIPLINE SECONDO ANNO Piano di studi della disciplina DESCRIZIONE Lo

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

1. Limite finito di una funzione in un punto

1. Limite finito di una funzione in un punto . Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce

Dettagli

Tipi di reazioni. Reazioni chimiche. Di dissociazione. Di sintesi. Di semplice scambio. Di doppio scambio. Reazioni complesse

Tipi di reazioni. Reazioni chimiche. Di dissociazione. Di sintesi. Di semplice scambio. Di doppio scambio. Reazioni complesse Tipi di reazioni Le reazioni chimiche vengono tradizionalmente classificate a seconda del tipo di trasformazione subita dai reagenti: Reazioni chimiche possono essere Di dissociazione Una sostanza subisce

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Funzioni. Funzioni /2

Funzioni. Funzioni /2 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

LA MACCHINA FRIGORIFERA E LA POMPA DI

LA MACCHINA FRIGORIFERA E LA POMPA DI asdf LA MACCHINA FRIGORIFERA E LA POMPA DI CALORE 12 March 2012 Il ciclo di Carnot... "al contrario" Nell'articolo dedicato alla macchina termica, avevamo visto nel finale la macchina di Carnot e il ciclo

Dettagli

Termodinamica: legge zero e temperatura

Termodinamica: legge zero e temperatura Termodinamica: legge zero e temperatura Affrontiamo ora lo studio della termodinamica che prende in esame l analisi dell energia termica dei sistemi e di come tale energia possa essere scambiata, assorbita

Dettagli

p atm 1. V B ; 2. T B ; 3. W A B 4. il calore specifico a volume costante c V

p atm 1. V B ; 2. T B ; 3. W A B 4. il calore specifico a volume costante c V 1 Esercizio (tratto dal Problema 13.4 del Mazzoldi 2) Un gas ideale compie un espansione adiabatica contro la pressione atmosferica, dallo stato A di coordinate, T A, p A (tutte note, con p A > ) allo

Dettagli

Moto circolare uniforme

Moto circolare uniforme Moto circolare uniforme 01 - Moto circolare uniforme. Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare (una circonferenza) con velocità (in modulo, intensità) costante si dice moto circolare

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

Capitolo 7. Le soluzioni

Capitolo 7. Le soluzioni Capitolo 7 Le soluzioni Come visto prima, mescolando tra loro sostanze pure esse danno origine a miscele di sostanze o semplicemente miscele. Una miscela può essere omogenea ( detta anche soluzione) o

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Uso di base delle funzioni in Microsoft Excel

Uso di base delle funzioni in Microsoft Excel Uso di base delle funzioni in Microsoft Excel Le funzioni Una funzione è un operatore che applicato a uno o più argomenti (valori, siano essi numeri con virgola, numeri interi, stringhe di caratteri) restituisce

Dettagli

LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1

LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1 LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1 I CODICI 1 IL CODICE BCD 1 Somma in BCD 2 Sottrazione BCD 5 IL CODICE ECCESSO 3 20 La trasmissione delle informazioni Quarta Parte I codici Il codice BCD

Dettagli

ENERGIA NELLE REAZIONI CHIMICHE

ENERGIA NELLE REAZIONI CHIMICHE ENERGIA NELLE REAZIONI CHIMICHE Nelle trasformazioni chimiche e fisiche della materia avvengono modifiche nelle interazioni tra le particelle che comportano sempre variazioni di energia "C è un fatto,

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria

Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

La combustione ed i combustibili

La combustione ed i combustibili La combustione ed i combustibili Concetti di base Potere calorifico Aria teorica di combustione Fumi: volume e composizione Temperatura teorica di combustione Perdita al camino Combustibili Gassosi Solidi

Dettagli

Indice. 1 Il settore reale --------------------------------------------------------------------------------------------- 3

Indice. 1 Il settore reale --------------------------------------------------------------------------------------------- 3 INSEGNAMENTO DI ECONOMIA POLITICA LEZIONE VI IL MERCATO REALE PROF. ALDO VASTOLA Indice 1 Il settore reale ---------------------------------------------------------------------------------------------

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

Gli input sono detti anche fattori di produzione: terra, capitale, lavoro, materie prime.

Gli input sono detti anche fattori di produzione: terra, capitale, lavoro, materie prime. LA TECNOLOGIA Studio del comportamento dell impresa, soggetto a vincoli quando si compiono scelte. La tecnologia rientra tra vincoli naturali e si traduce nel fatto che solo alcuni modi di trasformare

Dettagli

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI I numeri relativi sono l insieme dei numeri negativi (preceduti dal segno -) numeri positivi (il segno + è spesso omesso) lo zero. Valore assoluto di un numero relativo

Dettagli

Una formula molecolare è una formula chimica che dà l'esatto numero degli atomi di una molecola.

Una formula molecolare è una formula chimica che dà l'esatto numero degli atomi di una molecola. Una formula molecolare è una formula chimica che dà l'esatto numero degli atomi di una molecola. La formula empirica e una formula in cui il rappporto tra gli atomi e il piu semplice possibil Acqua Ammoniaca

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli