APPUNTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA' Corso di Matematica ed Elementi di Statistica Scienze della Natura a.a. 2013/14

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1 APPUNTI DI CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA' Corso di Matematica ed Elementi di Statistica Scienze della Natura a.a. 2013/14 Elementi di calcolo combinatorio. Primi elementi di probabilita: denizione di probabilita; probabilita dell'unione, dell'intersezione, dell'evento contrario; probabilita condizionata; eventi indipendenti; formula di Bayes. Variabili aleatorie: variabili aleatorie discrete; la v.a. di Bernoulli, la v.a. di Poisson; la funzione di distribuzione di una v.a.; valore atteso e varianza di una v.a.; variabili aleatorie continue; densita di probabilita; la distribuzione uniforme; la distribuzione normale; il Teorema del Limite Centrale. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

2 Elementi di calcolo combinatorio Le disposizioni Def. Si dice disposizione semplice di n oggetti di classe k (con k n) ogni allineamento di k oggetti scelti fra gli n oggetti dati. Def. Si dice disposizione con ripetizione di n oggetti di classe k ogni allineamento di k oggetti scelti fra gli n oggetti dati, ove ogni oggetto puo essere ripetuto. Def. Si dice permutazione di n oggetti ogni possibile allineamento degli n oggetti su n posti. Le permutazioni di n oggetti distinti coincidono, dunque, con le disposizioni semplici di n oggetti di classe n. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

3 Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k e D n;k = n(n 1)(n 2) : : : (n k + 1) Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k e: Dn;k r = n n {z : : : n } = n k k volte Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti e P n = D n;n = n! Il numero delle permutazioni di n oggetti di cui k sono uguali tra loro, h uguali tra loro,..., p uguali fra loro, e P n;k;h;:::;p = n! k!h! : : : p! Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

4 Esempi. Es.1) Quanti numeri di tre cifre tutte diverse si possono formare con le quattro cifre 3,7,1, 8? Si tratta di 4 oggetti da disporre su 3 posti senza ripetizioni, dunque D 4;3 = = 24 Es. 2) Quanti codici di 4 lettere puoi comporre con le 21 lettere dell'alfabeto italiano? Potendo le lettere ripetersi, si tratta dei possibili allineamenti di 21 lettere su 4 posti, con ripetizione, per cui D r 21;4 = = 214 Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

5 Es. 3) Ad una gara ippica partecipano 6 cavalli. Quanti sono i possibili ordini di arrivo? I possibili ordini di arrivo corrispondono a tutte le possibili permutazioni dei 6 cavalli, dunque P 6 = 6! = = 720 Es. 4) Quanti sono gli anagrammi, anche privi di signicato, della parola FIORE? P 5 = 5! = 120 Es. 5) Quanti sono gli anagrammi, anche privi di signicato, della parola MATEMATICA? In questo caso, si tratta di permutazioni di 10 oggetti tra i quali ci sono ripetizioni: la M si ripete due volte, la A tre volte, la T due volte, dunque: P 10;2;3;2 = 10! 2!3!2! Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

6 Le combinazioni Def. Si dice combinazione semplice di n oggetti di classe k (con k n) ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra gli n dati. Il numero C n;k di combinazioni di n oggetti di classe k coincide, quindi, col numero di tutti i possibili sottoinsiemi aventi k elementi in un insieme di n oggetti. Relazione con le disposizioni Data una combinazione di classe k, per ottenere tutte le possibili disposizioni con lo stesso gruppo di oggetti basta considerare tutte le possibili permutazioni dei suoi elementi, pari a k!. Dunque D n;k = C n;k k! ovvero C n;k = D n;k k! = n(n 1)(n 2) : : : (n k + 1) k! Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

7 Introducendo il simbolo k n, detto coeciente binomiale, si ha dunque che il numero delle combinazioni di n oggetti di classe k e C n;k = n k n! = k!(n k)! Si puo provare che vale la seguente relazione nx n n n = + + : : : + k 0 1 k=0 n = 2 n n La formula precedente fornisce il numero di tutti i possibili sottinsiemi di un insieme di n elementi. Essa si puo dimostrare per induzione. Ricordiamo, inne, la piu generale formula del binomio di Newton, che utilizza i coecienti binomiali per esprimere lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio qualsiasi (a + b) n = nx k=0 n a k b n k k Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

8 Es. 1) Se 6 persone si stringono la mano l'una con l'altra, quale sara il numero totale di strette di mano? Si tratta di contare tutti i possibili sottoinsiemi da 2 elementi in un insieme di 6 elementi, ovvero 6 C 6;2 = = 6! 2 2!4! = 15 Es. 2) Un barman ha a disposizione 5 liquori: quanti cocktails puo ottenere mescolandone 3 alla volta? Poiche il risultato dipende solo dai liquori e non dall'ordine nel quale vengono mescolati, la soluzione e 5 C 5;3 = = 5! 3 3!2! = 10 Es. 3) Quanti sono i possibili sottoinsiemi propri di un insieme di 7 elementi? Sottraendo al numero totale i sottoinsiemi banali, ovvero l'insieme vuoto e tutto l'insieme, si ha = 126. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

9 Elementi di probabilita Ogni fenomeno del mondo reale alla cui manifestazioni puo essere associata una incertezza costituisce un esperimento aleatorio. L'insieme dei possibili esiti di un esperimento aleatorio di dice spazio campionario e si indica con. Un qualunque sottoinsieme dello spazio campionario si dice evento aleatorio e si puo esprimere sia mediante i suoi elementi, sia mediante una proposizione che li carattezzi. Esempio. Nel lancio di un dado lo spazio campionario e = f1; 2; 3; 4; 5; 6g Sono eventi aleatori E 1 = "esce il 3", E 2 = "esce un numero pari", E 3 = "esce un numero maggiore di 4, ecc. Due eventi A e B si dicono incompatibili se A \ B = ;, ovvero se la loro intersezione e l'insieme vuoto. Ad es. gli insiemi E 1 ed E 2 di cui sopra sono incompatibili. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

10 Diverse denizioni di probabilita La probabilita di un evento aleatorio puo essere denita in tre modi diversi a seconda della tipologia dell'esperimento aleatorio. Denizione classica. Se e costituito da un numero nito di eventi elementari equiprobabili, la probabilita di un evento E si denisce come il rapporto tra in numero dei casi favorevoli al vericarsi dell'evento E e il numero dei casi possibili. Denizione frequentista(o statistica). Se le prove relative ad un dato esperimento sono ripetibili quante volte si vuole, sia F rel (N ) la frequenza relativa di un evento in N prove, ovvero il rapporto tra il numero di prove in cui E si e vericato e il numero totale N di prove eettate. Si assumera come probabilita dell'evento E il valore a cui tente la frequenza relativa dell'evento considerato, al tendere all'innito del numero di prove, i.e. p(e) = lim N!1 F rel (N ). Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

11 Denizione soggettivista. La probabilita di un evento E viene introdotta sotto forma di una scommessa tra uno scommettitore e il banco: p(e) e il prezzo (massimo) che lo scommettitore e disposto a pagare per ricevere l'importo 1 in caso di vincita della scommessa. Esiste pero il vincolo che la scommessa sia equa, ovvero lo scommettitore deve essere disposto a scambiare il suo ruolo con quello del banco. La probabilita diventa dunque la quanticazione del grado di ducia che si ripone nel vericarsi dell'evento in questione. La denizione soggettivista, elaborata e diusa ad opera del matematico italiano Bruno de Finetti, pur essendo l'unica possibile in casi quali: la previsione degli esiti di una partita di calcio o il successo di un'operazione chirurgica, ha il limite di dipendere da valutazioni personali, opinioni variabili o circostanze mutevoli. Introduciamo,ora, la denizione assiomatica, che risulta indipendente dal tipo di esperimento aleatorio considerato. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

12 La denizione assiomatica di probabilita. Sia un insieme non vuoto. Sia A una famiglia di sottoinsiemi di tale che: 1) ;; 2 A; 2) se E 2 A, allora E C 2 A; 3) se E 1 ; E 2 2 A, allora E 1 [ E 2 2 A; Una probabilita (o misura di probabilita) p su e una funzione che ad ogni E 2 A associa un numero reale p(e) in modo che P1) p(;) = 0 e p() = 1; P2) 0 p(e) 1, 8E 2 A; P3) se E 1 \ E 2 = ;, allora p(e 1 [ E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ). In queste ipotesi, la terna (; A; p) si dice uno spazio di probabilita. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

13 Conseguenze degli assiomi Probabilita dell'evento contrario. Dato un evento A, e denotato con A C il suo complementare si ha che p(a C ) = 1 p(a): Probabilita dell'unione logica di eventi. Dati due eventi A e B appartenenti allo stesso spazio campionario, si ha che p(a [ B) = p(a) + p(b) p(a \ B) Esempi: Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte. Calcolare la probabilita che: a. esca un asso o una gura; (probabilita dell'unione disgiunta) b. non esca un re; (probabilita del complementare) c. esca un fante o una carta di denari. (probabilita dell'unione) Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

14 Probabilita condizionata Ci sono situazioni in cui la probabilita di un evento puo essere modicata dalla conoscenza di informazioni aggiuntive. Consideriamo, ad esempio, una scatola che contenga 20 palline bianche e 10 nere ed eseguiamo due estrazioni successive. Se la prima estrazione e eettuata con rimpiazzo, l'evento A=\alla seconda estrazione viene estratta una pallina bianca" si verichera con probabilita 20 30, indipendentemente dall'esito della prima estrazione. Se, invece, l'estrazione avviene senza rimpiazzo, la probabilita di estrarre una pallina bianca, sapendo che alla prima estrazione e stata estratta un'altra bianca e 19, mentre se e stata estratta una nera la probabilita e Dunque in alcuni casi l'acquisizione di nuove informazioni ci permette di valutare la probabilita degli eventi in maniera diversa da quella suggerita dalle nostre informazioni iniziali. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

15 Def. Dati due eventi A e B, di un medesimo esperimento aleatorio, con p(b) > 0 si denisce probabilita condizionata di A rispetto a B, e si indica con p(ajb) la quantita p(a \ B) p(ajb) = p(b) Essa rappresenta la probabilita che si verichi A supposto che si sia vericato B. Esempio. Nell'estrazione di un numero della tombola, siano A=\esce un multiplo di 9" B=\esce un numero maggiore di 50". Si calcoli p(ajb). Considerato che A \ B = f54; 63; 72; 81; 90g, risulta 5 p(a \ B) p(ajb) = = 90 = 5 p(b) Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

16 Def. Due eventi A e B si dicono indipendenti se p(a \ B) = p(a) p(b): Esempio 1. Si calcoli la probabilita che nel lancio di due dadi, esca nel primo lancio il 5 e nel secondo una faccia pari. I due eventi sono indipendenti? Posto A=fesce il 5 nel primo lanciog e B=fesce una faccia pari nel secondo lanciog, A \ B e costituita dalle 3 coppie f(5; 2); (5; 4); (5; 6)g, Num: casi favorevoli Num: casi possibili quindi p(a \ B) = = 3 che corrisponde al prodotto 36 delle probabilita di A e B, rispettivamente 1/6 e 3/6, dunque i due eventi sono indipendenti. Esempio 2. In una scatola ci sono 20 palline numerate da 1 a 20. Nell'estrazione di una pallina a caso dalla scatola, si considerino gli eventi A=fesce un numero parig e B=fesce un numero > 10g. Tali eventi sono indipendenti? Risulta p(a) = 1=2 e p(b) = 1=2. Essendo A \ B = f12; 14; 16; 18; 20g, si ha p(a \ B) = 5=20 = 1=4 che risulta uguale al prodotto di p(a) e p(b), dunque gli eventi sono indipendenti. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

17 Osservazione. Se due eventi A e B sono indipendenti, allora si ha che p(ajb) = p(a \ B) p(b) = p(a) p(b) p(b) = p(a) ovvero il vericarsi dell'evento B non inuenza la probabilita che si verichi A, in perfetto accordo con la nostra idea intuitiva di indipendenza. La probabilita del prodotto logico di eventi (o dell'evento composto) Mediante la formula che denisce la probabilita condizionata possiamo esprimere la probabilita dell'evento intersezione (o evento composto) come segue Dati gli eventi A e B, si ha che p(a \ B) = p(ajb) p(b) = p(bja) p(a) Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

18 Esercizi 1) Da un'urna contenente 30 palline di cui 7 bianche, 8 nere, 15 rosse, si estraggono successivamente due palline. Calcolare la probabilita che siano entrambe bianche, nel caso in cui: a. la pallina venga rimessa nell'urna; b. la pallina non venga rimessa nell'urna. 2) Da un'urna contenente 4 palline bianche e 3 nere si eseguono due estrazioni con rimessa. Calcolare: a) la probabilita che siano dello stesso colore b) la probabilita che almeno una delle due palline sia nera. 3) Siano A e B due eventi tali che p(a) = 0; 2, p(b) = 0; 1 e p(ajb) = 0. a) Calcolare p(a \ B) e dire se A e B sono indipendenti. b) Calcolare p(a [ B). Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

19 Il Teorema di Bayes Il teorema di Bayes esprime la probabilita p(a i jb) che un evento B sia stato causato da una fra le n possibili ipotesi A j. Teorema (di Bayes) Dato uno spazio campionario e considerata una sua partizione in n sottoinsiemi A 1 ; A 2 ; : : : A n che chiameremo cause, indicato con B un evento non impossibile che chiameremo eetto, allora la probabilita che l'evento B sia stato prodotto dalla causa A i e p(a i jb) = p(bja i ) p(a i ) p(bja 1 ) p(a 1 ) + p(bja 2 ) p(a 2 ) + : : : + p(bja n ) p(a n ) Le probabilita p(a i ) vengono dette probabilita a priori delle ipotesi o cause A i, mentre le p(a i jb) si dicono probabilita a posteriori. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

20 Esempio (Bayes) Un'industria utilizza 3 macchinari: il primo produce 500 pezzi, il secondo 1250 e il terzo 750. I pezzi difettosi prodotti dai tre macchinari sono rispettivamente il 5%, l'8% e il 6%. Avendo prelevato un pezzo difettoso, qual e la probabilita che provenga dal primo macchinario? p(m 1 jd) = p(djm 1 ) p(m 1 ) p(djm 1 ) p(m 1 ) + p(djm 2 ) p(m 2 ) + p(djm 3 ) p(m 3 ) = = 500 0; ; ; ; = 0:01 0; 068 = Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

21 Variabili aleatorie Lo spazio dei campioni, in generale, non e un insieme numerico: ad esempio, nel caso del lancio di una moneta, = ft; Cg e costituito da oggetti quali Testa o Croce. D'altra parte nelle applicazioni statistiche gli aspetti piu rilevanti sono legati ai valori numerici che si ottengono nelle misure. Da cio la necessita di introdurre delle leggi che associno ai risultati! 2 dei nostri esperimenti aleatori dei numeri. Tali leggi si dicono variabili aleatorie. La denizione rigorosa e la seguente Def. Dato uno spazio di probabilita (; A; p), si dice variabile aleatoria una funzione X :! R tale che tutti gli insiemi del tipo fx 2 Jg = f! 2 jx(!) 2 Jg con J intervallo arbitrario di R, siano elementi di A. In altre parole, una v.a. e semplicemente una funzione X :! R per la quale siamo in grado di calcolare la probabilita che il valore di X cada in un certo intervallo J di R. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

22 Variabili aleatorie discrete Def. Dato (; A; p) uno spazio di probabilita, una variabile aleatoria X :! R si dice discreta se puo assumere un insieme nito o innito numerabile di valori x 1 ; x 2 ; : : : ; x k ; :::. Esempio 1. Sia lo spazio degli eventi del lancio di due dadi, sia X la funzione che ad ogni possibile esito (i; j) 2 del nostro esperimento associa la somma i + j dei valori ottenuti X(i; j) = i + j; i; j = 1; : : : 6 L'insieme dei possibili valori assunti da X e l'insieme dei numeri interi compresi tra 2 e 12 X() = f2; 3; 4; : : : ; 12g dunque X e una v.a. discreta. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

23 Sia X una v.a. discreta che assume i valori fx 1 ; x 2 ; : : : ; x k g. Ai valori x i e possibile associare la probabilita con cui essi vengono assunti da X, ovvero i numeri p i = p(x = x i ) = pf! 2 jx(!) = x i g i = 1; 2; : : : k I valori p i sono numeri compresi tra 0 e 1 e soddisfano la condizione kx i=1 p i = 1: L'insieme dei valori di probabilita p i prende il nome di distribuzione di probabilita di X. I valori p i si dicono anche "masse di probabilita" relative ad X. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

24 Nel caso dell'esempio 1, ovvero nel caso X sia la somma dei punteggi ottenuti nel lancio di due dadi, ai possibili valori assunti f2; 3; : : : ; 12g corrispondono i seguenti valori di probabilita p i p 1 = p(x = 2) = pf(1; 1)g = 1 36 p 2 = p(x = 3) = pf(1; 2); (2; 1)g = 2 36 p 3 = p(x = 4) = P f(1; 3); (3; 1); (2; 2)g = 3 36 etc. etc. Possiamo riassumere le informazioni su X nella seguente tabella, ove riportiamo i valori x i assunti da X e le rispettive p i X p i Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

25 La funzione di distribuzione di una v.a. In alcuni problemi si rende necessario calcolare la probabilita che una v.a. X assuma valori non superiori ad una dato numero. Ad esempio, potremmo chiederci con quale probabilita una v.a. X assume valori minori o uguali di 5, in simboli p(x 5). A tal ne si introduce la seguente denizione: Def. Data una v.a. X, si dice funzione di distribuzione (o funzione di ripartizione) associata ad X la funzione F (x) che ad ogni numero reale x associa la probabilita che X assuma valori non superiori ad x, ovvero F : R! [0; 1] t:c: F (x) = p(x x); 8x 2 R Mediante F possiamo esprimere la probabilita che i valori di X cadano in un generico intervallo [a; b] come segue p(a < X b) = p(x b) p(x a) = F (b) F (a); 8a; b 2 R Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

26 Se X e una v.a. discreta che puo assumere i valori x 1 ; x 2 ; : : : ; x k, la funzione di distribuzione F (x) in un punto x i vale F (x i ) =p(x x i ) = p(x = x 1 ) + p(x = x 2 ) + : : : + p(x = x i ) =p 1 + p 2 + : : : + p i = ix k=1 p k In un generico x 2 R, F (x) assume i valori F (x)= 8 >< >: 0 per x < x 1 ; p 1 per x 1 x < x 2 p 1 + p 2 per x 2 x < x 3 ; : : : : : : 1 per x x k : La funzione F (x) e, dunque, non decrescente, assume valori compresi tra 0 e 1, ha un graco a gradini e presenta delle discontinuita di salto in corrispondenza dei valori x i, ove l'ampiezza del salto e pari al valore di probabilita p i. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

27 Esempio. Graco della funzione di distribuzione F (x) di una variabile aleatoria discreta X che assume i valori 1; 2; 4; 5 con probabilita: X p Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

28 Esercizio In un esperimento aleatorio si lanciano 2 monete e si attribuisce punteggio 1 se esce ftesta, Croceg o fcroce, Testag, punteggio 2 se esce due volte Testa, punteggio 3 se esce due volte Croce. Sia X la v.a. che rappresenta il punteggio ottenuto. Si completi la seguente tabella e si disegni il graco di F (x). X p F(x) Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

29 Valori di sintesi di una variabile aleatoria: valore atteso, varianza, scarto quadratico medio Conoscere la distribuzione di probabilita di una v.a. X consente di individuarne tutte le caratteristiche e darne una descrizione completa. Esistono tuttavia degli indici numerici che consentono di sintetizzare alcuni aspetti importanti di una v.a., ad esempio il comportamento "in media" di X e come i valori di X di "disperdano" intorno al valor medio. Def. Sia X una v.a. discreta. Si denisce valore atteso di X (o valor medio di X), e si indica con E(X) o con, la quantita E(X) = kx x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + : : : + x k p k i=1 E(X) e, dunque, una media dei valori x i, pesata con le rispettive probabilita p i. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

30 Esempio 1. Sia X una variabile aleatoria che assume i valori 0; 1; 2 con probabilita rspettivamente 0:2; 0:2; 0:6. Allora il valore atteso di X e E(X) = 0 0: : :6 = 1:4 Esempio 2. Nel lancio di una moneta, vinciamo 1 Euro se esce Testa, perdiamo 1 Euro se esce Croce. Qual e il valore atteso della v.a. X che rappresenta la vincita? I valori assunti da X sono 1 e -1, entrambi con probabilita p=0.5. Dunque: cioe la vincita media e 0. E(X) = 1 0:5 1 0:5 = 0 Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

31 Proprieta del valore atteso 1) E(a) = a 8a 2 R (il valore atteso di una v.a. costante e la costante stessa); 2) E(aX) = ae(x) 3) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) 4) E(X Y ) = E(X) E(Y ), se X e Y sono v.a. indipendenti ( ) Nota ( ): Due variabili aleatorie X e Y si dicono indipendenti se p(fx 2 Ig \ fy 2 Jg) = p(x 2 I) p(y 2 J) per ogni coppia I; J di intervalli di R. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

32 Indici di dispersione: varianza e scarto quadratico medio Gli indici di dispersione misurano quanto i valori di una v.a. X si discostano dal suo valor medio. Introduciamo la questione attraverso un esempio. Siano X ed Y due variabili aleatorie con le seguenti distribuzioni X p Y p Facendo i calcoli, si ottiene che X ed Y hanno lo stesso valor medio E(X) = E(Y ) = 6:9; ma quale delle due presenta maggiore dispersione intorno a tale valore? Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

33 Se calcoliamo le dierenze dei valori di X ed Y con la media, otteniamo due nuove variabili aleatorie X e Y, che chiameremo "scarto", con le seguenti distribuzioni: X X p Y Y p Le variabili aleatorie X e Y hanno, pero, valore atteso nullo. Infatti, in generale, data una v.a. X con valore atteso, risulta E(X ) = E(X) E() = = 0: Gli scarti, dunque, non possono essere utili al ne di misurare la dispersione delle variabili X ed Y intorno alla loro media. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

34 Consideriamo, allora, i quadrati degli scarti (X ) p (Y ) p I rispettivi valori attesi sono: E[(X ) 2 ] = 8:41 0:2 + 0:81 0:3 + 1:21 0:35 + 9:61 0:15 = 3:79 E[(Y ) 2 ] = = 4:27 Dal confronto dei due valori ottenuti possiamo dedurre che la v.a. X presenta una minor dispersione intorno al suo valore atteso rispetto alla variabile Y. Diamo, dunque, la seguente denizione. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

35 Def. Sia X una v.a. con valore atteso. Si denisce varianza di X, e si indica con V ar(x) oppure con X 2, il valore V ar(x) = E[(X ) 2 ] Si dice scarto quadratico medio di X o deviazione standard, e si indica con X, il valore X = p V ar(x) Si osservi che, a dierenza della varianza, la deviazione standard e dimensionalmente omogenea ai valori di X. Ad es. se i valori di X sono lunghezze, anche X ha le dimensioni di una lunghezza, mentre V ar(x) ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato. Per calcolare la varianza si puo usare la denizione che nel caso discreto si scrive V ar(x) = kx i=1 oppure si puo utilizzare la seguente formula (x i ) 2 p i V ar(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 : Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

36 Proprieta della varianza 1) V ar(a) = 08a 2 R 2) V ar(ax) = a 2 V ar(x) 3) Se X ed Y sono v.a. indipendenti, allora V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ). Esercizio. Sia = f1; : : : ; 6g lo spazio degli eventi del lancio di un dado non truccato e sia X :! R la v.a. banale data dal valore del lancio del dado X(j) = j per j = 1; : : : 6. Calcoliamo valore atteso, varianza e deviazione standard di X. Siccome il dado non e truccato, abbiamo su la distribuzione uniforme di probabilita, ovvero p j = p(x = j) = 1=6. Quindi E(X) = p p : : : p 6 6 = 1=6( ) = 3:5 Osserviamo che il valore atteso del lancio di un dado e eettivamente il valore intermedio tra tutti i possibili valori, ma non puo essere il risultato di un lancio. V ar(x) = p 1 p (1 3:5) 2 +p 2 (2 3:5) 2 +: : :+p 6 (6 3:5) 2 = 17:5=6 = 2:916 da cui X = 2:916 ' 1:71. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

37 Particolari distribuzioni di probabilita. 1.La distribuzione binomiale di tipo (n; p) Sia l'insieme dei possibili esiti di n esperimenti aleatori indipendenti (ad es. n lanci di un dado, le nascite di n gli). Supponiamo che in ciascun esperimento un certo evento E (ad es. esce un numero pari, oppure la nascita di una femmina,...) abbia probabilita p di vericarsi e q = 1 p di non vericarsi. Se X :! R e la variabile aleatoria che conta il numero di volte che l'evento E accade negli n esperimenti (ovvero il numero di successi su n prove), allora X assume i valori k = 0; 1; : : : ; n con probabilita n p(x = k) = p k q n k k Tale distribuzione di probabilita si dice binomiale e qualsiasi variabile aleatoria discreta che soddis la suddetta legge si dice variabile aleatoria di Bernoulli di tipo (n; p) e si indica con X B(n; p). Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

38 Esempio. Qual e la probabilita che su 10 lanci di un dado la faccia 4 esca 3 volte? Si tratta di calcolare la probabilita di 3 successi su 10 prove, ove la probabilita di successo su ciascuna prova e p = 1=6. Quindi, denotata con X la v.a. di Bernoulli di tipo (n; p) con n=10 e p=1/6, la probabilita richiesta e p(x = 3) = Esercizio: Qual e la probabilita che su 8 lanci di una moneta esca Testa 6 volte? [Soluz.: p ' 0:109] Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

39 Valore atteso e varianza della v.a. di Bernoulli Se un evento E in un esperimento bernoulliano puo accadere con probabilita p, in n esperimenti ci aspettiamo che accada np volte. In accordo con la nostra intuizione, si dimostra che il valore atteso di una v.a. di Bernoulli di tipo (n; p) e E(X) = np: Si prova, inoltre, che V ar(x) = np(1 p): Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

40 2. La distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson decrive la probabilita del vericarsi di eventi rari. Sono esempi di fenomeni di Poisson: - il numero di automobili che passano in un dato punto di una strada in un ssato periodo di tempo; - il numero di alberi presenti in una data regione di foresta; - il numero di errori di battitura in una pagina di un testo; - il numero di decadimenti radioattivi in una ssata quantita di sostanza; - il numero di stelle in un dato volume di spazio. In questi casi, non e detto che si conosca il numero massimo n di eventi possibili o la probabilita p con cui si vericano, dunque la variabile binomiale B(n; p) non e applicabile. Se, pero, l'osservazione del fenomeno fornisce il numero medio m di eventi in un dato intervallo di tempo (o in una data regione di spazio), la probabilita che un dato evento si verichi k volte e data da p(x = k) = mk e m Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56 k!

41 Una variabile aleatoria discreta che abbia la suddetta legge come distribuzione di probabilita si dice v.a. di Poisson di media m. L'insieme dei valori che X puo assumere sono tutti gli interi positivi k = 0; 1; 2; 3; : : : Si puo provare che il valore atteso e la varianza di una v.a. di Poisson di media m sono E(X) = m e V ar(x) = m. Esempio 1.(Numero di telefonate ad un call center in un minuto) Qual e la probabilita che in un call center che riceve in media 20 telefonate al minuto non arrivi alcuna telefonata fra le 10:45 e le del 23 dicembre? Si tratta di calcolare la probabilita p(x = 0) che ci siano 0 eventi in un fenomeno di Poisson di media 20, ovvero p(x = 0) = 200 0! e 20 = e 20 ' 2: : Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

42 Esempio 2.(Distribuzione di alberi in una regione di un territorio) Supponiamo che in 10km 2 di territorio siano distribuite in modo casuale querce. Con quale probabilita in una zona limitata di 1000m 2 possiamo trovare k querce (k = 0; 1; 2; : : :)? Possiamo considerare il territorio diviso in quadrati di ampiezza 1000m 2. Usando la v.a. di Bernoulli di parametri N = e p = 1=10000 = 10 4 (probabilita che una quercia a caso si trovi nella zona considerata), dovrei calcolare p(x = k) = N K p k (1 p) N k, ma tale calcolo non e agevole, perche N e molto grande. Tuttavia, e possibile ricavare il numero medio di querce atteso in ogni quadrato m = = 4, dunque tale fenomeno e un fenomeno di Poisson di media m = 4 ( ). Dunque, la probabilita che ad es. 5 querce capitino nel quadrato considerato, e data da P (X = 5) = 45 e 4 5! ( ) Si puo provare che la distribuzione di Poisson e il limite per N! 1 e p! 0 della distribuzione binomiale, mantenendo il valore atteso m = pn costante. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

43 Variabili aleatorie continue Sia (; A; p) uno spazio di probabilita. Def. Una variabile aleatoria continua X su e una funzione X :! R tale che X assume tutti i valori x di un intervallo, anche illimitato; esiste una funzione f(x) : R! [0; +1) tale che 8a; b 2 R P (a < X b) = Z b a f(x) dx ovvero la probabilita che X assuma valori compresi tra a e b e uguale all'area della parte di piano sottesa al graco di f nell'intervallo di estremi a e b. La funzione f(x) si chiama densita di probabilita associata ad X e descrive completamente la v.a. X. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

44 La funzione densita di una v.a. continua X gode delle seguenti proprieta: 1) f(x) 0 8x 2 R 2) Z +1 f(x) dx = 1 (cioe l'area della parte di piano compresa tra il 1 graco di f e l'asse delle X e pari a 1) Le due proprieta precedenti caratterizzano le funzioni densita, nel senso che una qualunque funzione f : R! R, integrabile su tutto R, che soddis le condizioni 1) e 2) e la densita di probabilita di una opportuna v.a. continua X. La funzione di distribuzione di una v.a. continua si scrive mediante la funzione densita come segue Z x F (x) = p(x x) = f(t) dt 1 Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

45 Osservazione Dalla denizione di v.a. continua, segue che, se a e un qualunque numero reale, allora p(x = a) = Z a a f(x) dx = 0; ( ) ovvero la probabilita che X assuma un determinato valore e nulla, a dierenza delle variabili aleatorie discrete, per cui p(x = x i ) = p i 6= 0. Cio che ha senso calcolare, dunque, per una v.a. continua e la probabilita che i valori di X cadano in un determinato intervallo. Conseguenza della ( ) e che, per una variabile aleatoria continua X, le seguenti probabilita sono uguali p(a X b) = p(a < X b) = p(a X b) = p(a < X < b) per ogni a; b 2 R, con a < b. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

46 Valore atteso e varianza di una v.a. continua Sia X una v.a. continua con densita di probabilita f(x). Deniamo il valore atteso (o valor medio) di X e la varianza di X rispettivamente come Z +1 E(X) = xf(x) dx 1 Z +1 V ar(x) = (x ) 2 f(x) dx 1 Inoltre, la deviazione standard X e denita, come nel caso discreto, come la radice quadrata della varianza X = p V ar(x) Si osservi che, rispetto al caso discreto, la sommatoria e stata sostituita da un integrale e i pesi p i dalla funzione densita f(x). Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

47 Esempi di variabili aleatorie continue. La distribuzione uniforme Supponiamo di voler modellizzare la scelta a caso di un numero reale x nell'intervallo [0; 1]. Dividendo [0; 1] in n intervalli uguali di lunghezza 1=n, la probabilita che X appartenga a uno di essi deve essere la stessa per tutti, quindi 1=n. In generale, la probabilita che x cada in un intervallo [x 1 ; x 2 ] contenuto in [0; 1] dovra dipendere solo dalla distanza tra x 1 e x 2, ovvero p(x 1 < X x 2 ) = x 2 x 1 : Tale distribuzione si dice uniforme su [0; 1]. In generale, su un generico intervallo [a; b], la distribuzione uniforme ha la forma p(x 1 < X x 2 ) = x 2 x 1 b a : Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

48 Una v.a. X, che assuma valori nell'intervallo [a; b] e che abbia su a; b] distribuzione uniforme di probabilita, si dice variabile aleatoria uniforme sull'intervallo [a; b]. Tale v.a. e continua con funzione densita data da f(x) = 8 >< >: 0 se x a 1 se a < x b b a 0 se x > b Esercizio. Qual e la probabilita che scelto a caso un numero in [0; 1], esso cada tra 1/3 e 2/3? Quale la probabilita che scelto a caso un numero in [ 1; 5], esso cada tra 1/3 e 2/3? Nel primo caso, p(1=3 X 2=3) = 2=3 1=3 = 1=3; nel secondo, p(1=3 X 2=3) = 1=3 6 = 1=18: Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

49 La distribuzione Normale In natura, la distribuzione che riveste maggiore importanza per le applicazioni e la cosiddetta distribuzione normale. Una variabile aleatoria continua X si dice normale(o gaussiana) di media e varianza 2, e si scrive X N (; 2 ), se la sua funzione densita e data da f(x) = 1 p 2 e (x ) con 2 R e 2 R +. Nel caso = 0 e = 1, la v.a. si dice normale standard e si indica con N (0; 1). Si puo vericare, svolgendo il calcolo degli integrali nella denizione, che se X e una v.a. normale, allora E(X) = e V ar(x) = 2, ovvero il valore atteso e la varianza di una v.a. normale sono esattamente i parametri e 2 che compaiono nella funzione densita. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

50 Il graco della densita f(x) ha una tipica forma a campana e prende il nome di curva normale o gaussiana. La curva gaussiana ha le seguenti caratteristiche: - e simmetrica rispetto alla retta x = - assume valore massimo nel punto x = ; - ha due essi nei punti x = e x = + - ha come asintoto orizzontale l'asse delle x; - l'area sottesa dalla curva ha valore 1. Graco della gaussiana Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

51 Graci della gaussiana per alcuni valori di. Si osservi che, al diminuire di, la gaussiana si concentra sempre di piu intorno al valor medio (nel caso del graco, intorno a 0.) Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

52 Se X e una v.a. normale N (; 2 ), si puo vericare che, qualunque sia il valore di, risulta p( < X + ) = 0:68269 pari al 68:27% p( 2 < X + 2) = 0:9545 pari al 95:45% p( 3 < X + 3) = 0:9973 pari al 99:73% Dunque, la probabilita che un valore di X si discosti dalla media piu di 3 e minore dello 0.27%. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

53 La funzione di ripartizione di una v.a. normale e Z x 1 F (x) = 1 p 2 e (t ) dt I valori di tale funzione non sono esprimibili mediante funzioni elementari, ma sono stati tabulati nel caso della distribuzione normale standard N (0; 1) (vedi le apposite tavole). Nel caso di una v.a. normale X N (; 2 ) di parametri e qualsiasi, possiamo ricondurci ad una distribuzione normale standard mediante la seguente trasformazione: Data una qualunque v.a. X di media e deviazione standard, dicesi standardizzata di X la variabile aleatoria Z = X : Z possiede la stessa distribuzione di X, ma con media 0 e varianza 1. (verica per esercizio). Dunque, nel caso X N (; 2 ), risulta Z = X N (0; 1). Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

54 Esercizio 1. Una variabile aleatoria X segue una distribuzione normale con media = 10 e varianza 2 = 36. Calcolare p(x 16). Denotata con Z = X la standardizzata di X, si ha che p(x 16) = p( X ) = p(z 1) = 0: Esercizio 2. Si verichi che se X N (; 2 ), la probabilita che i suoi valori cadano tra e + e del 68%. Denotata con la funzione di distibuzione della normale standard, si ha che p( < X + ) = p( 1 < Z 1) = p(z 1) p(z 1) = p(z 1) p(z 1) = p(z 1) [1 p(z 1)] = (1) [1 (1)] = 2(1) 1 = 2 0: = 0:68269 che corrisponde al 68%. Esercizio 3. In una partita di 1000 oggetti, il peso del singolo oggetto e distribuito con legge normale con media 5 kg e scarto quadratico medio 0.4 kg. Qual e il numero stimato di pezzi con peso compreso tra 4.8 e 5.2 Kg? [Soluz.: 383 pezzi] Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

55 Misure sperimentali e distribuzione normale. La constatazione che un insieme di misure sperimentali sia approssimabile o meno con una distribuzione normale e un fatto di natura sperimentale. Tuttavia si puo prevedere in certi casi che un certo insieme di dati sperimentali abbia un andamento gaussiano anche sulla base di considerazioni teoriche. Ad esempio, e ben noto che se si ripete piu volte la misura di una grandezza, i risultati delle singole misure, che in generale non coincidono per la presenza di numerosi piccoli errori casuali, tendono a concentrarsi intorno ad un valore centrale, dando luogo ad una distribuzione di tipo gaussiano. In tal caso, se le misure non sono aette da errori sistematici (ad es. una errata taratura degli strumenti), sara ragionevole assumere tale valore centrale come misura "vera" della grandezza in esame. La giusticazione teorica del fatto che misure sperimentali ripetute di una stessa quantita seguano molto spesso una distribuzione normale e data dal cosiddetto Teorema del Limite centrale. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56

56 Teorema del Limite centrale. Sia X k, con k 2 N, una successione di variabili aleatorie indipendenti aventi stessa media e stessa varianza 2. Allora la variabile aleatoria M n = X 1 + : : : + X n tende ad avere, per n n sucientemente grande, una distribuzione normale di media e varianza 2 =n. Il teorema aerma, dunque, che se un fenomeno e il risultato della sovrapposizione di un numero elevato n di cause indipendenti che agiscono contemporaneamente, rappresentate dalle variabili aleatorie X i, tale fenomeno si comporta, se n e abbastanza grande, come una variabile aleatoria normale, anche se le cause originali non avevano distribuzione normale. Nel caso delle misure ripetute, se le X i per i = 1; : : : ; n rappresentano le misure di una stessa quantita fatte su n individui presi a caso in una popolazione, il teorema ci dice che, se il numero di individui del campione e abbastanza grande, la media M n delle misure Xi tendera ad avere una distribuzione normale. Da cio l'importanza della distribuzione normale a ni statistici. Appunti delle lezioni Calcolo combinatorio e probabilita dicembre / 56