ScienzaOrienta NUMERI E DOLLARI: PROBABILITÀ E FINANZA

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1 ScienzaOrienta 13 Febbraio 2014 Università Tor Vergata-Roma NUMERI E DOLLARI: PROBABILITÀ E FINANZA Lucia Caramellino Dipartimento di Matematica Università di Roma - Tor Vergata caramell@mat.uniroma2.it

2 Obiettivi In questa conferenza vedremo un problema concreto in finanza: la determinazione del prezzo e della copertura di una opzione e degli aspetti matematici ad essa collegati. Si tratta di un problema interessante perché: il problema da risolvere ha un interesse pratico rilevante la sua risoluzione richiede un trattamento matematico non banale affrontandolo, si viene stimolati a studiare problemi che hanno un interesse, da un punto di vista matematico, in sé - 1 -

3 Premessa Spesso si crede che la finanza matematica sia la scienza di diventare ricchi prevedendo come si muoverà la borsa o inventandosi astute operazioni finanziarie. Sarà chiaro alla fine di questa conferenza che non è così. Si tratta piuttosto dello studio e della valutazione dei rischi, e quindi di una matematica politicamente corretta. Che se i matematici avessero avuto più ascolto forse la crisi che stiamo vivendo non ci sarebbe stata

4 1. Le opzioni La società A deve comperare fra tre mesi una certa materia prima, ad esempio soia, necessaria al suo processo di produzione. Un eventuale aumento del prezzo della soia potrebbe creare delle grosse difficoltà finanziarie. La società è quindi esposta a un rischio. Per tenere sotto controllo questo genere di rischi sono stati introdotti degli strumenti finanziari, ad esempio le opzioni: una società finanziaria, B, s impegna a fornire la soia necessaria al tempo T =tre mesi e ad un prezzo prefissato K. La società A è ben contenta di pagare un compenso pur di avere la garanzia di un prezzo certo. In altre parole è ben contenta di pagare un ammontare prefissato pur di essere liberata dal rischio che un aumento dei prezzi potrebbe crearle

5 1. Le opzioni Quindi, il problema in questione si può vedere come la valutazione di un rischio: la società A cede il rischio a cui è soggetta alla società finanziaria B. Quanto vale questo rischio? E più in generale, come si fa a determinare quanto vale (in termini di soldi) un rischio? Queste domande sono la base della finanza matematica, una scienza moderna che coinvolge vari aspetti matematici, quali la probabilità, la statistica, l analisi matematica, l analisi numerica

6 1. Le opzioni Una opzione d acquisto (call) è un contratto con cui una compagnia acquisisce il diritto, ma non l obbligo, di acquistare della merce ad un tempo N e a un prezzo K fissati. Esistono anche delle opzioni di vendita (put) con le quali si acquisisce il diritto di vendere della merce ad un prezzo fissato. Un po di terminologia: K è detto prezzo di esercizio; N è detto tempo di maturità

7 1. Le opzioni Consideriamo, per fissare le idee, un opzione call, cioè di acquisto, con prezzo di esercizio K e maturità N. Indichiamo con S N il prezzo del titolo sottostante (la soia) a maturità, e osserviamo che oggi non si conosce (cioè, S N è una quantità aleatoria). Al tempo (futuro) N: se S N > K: è più vantaggioso acquistare il bene al prezzo K piuttosto che al prezzo di mercato S N : l opzione è esercitata, e la società emettitrice B deve sborsare una somma pari a S N K; se S N K: è più vantaggioso acquistare il bene al prezzo di mercato S N piuttosto che al prezzo di esercizio K: l opzione non è esercitata, e la società B non deve pagare nulla

8 2. I due problemi legati alle opzioni Dunque, la società che emette l opzione (società B, nell esempio) deve poter disporre al tempo di maturità N di una quantità di denaro pari a max(s N K, 0) = (S N K) +, assumendosi così un rischio: il prezzo S N oggi non si conosce! Quindi, problema 1: prezzo dell opzione Qual è il giusto compenso che la società A deve pagare a B per il diritto che acquisisce? problema 2: copertura dell opzione Quale strategia di mercato deve seguire la società B per avere la certezza di disporre al tempo N di una quantità di denaro pari a (S N K) +? - 7 -

9 2. I due problemi legati alle opzioni Vedremo che la risposta a queste questioni non è proprio ovvia ed è, per certi versi, sorprendente. Fino all inizio degli anni 70 il problema del calcolo del prezzo delle opzioni sembrava un rompicapo. Infatti, le formule proposte erano chiaramente sbagliate: davano valori diversi dai prezzi che venivano fissati dal mercato (cioè nella realtà dei mercati finanziari). Il problema venne risolto da due matematici, F. Black e M. Scholes, che, nel 1973, ricavarono una formula, che ora porta il loro nome e che invece dava il prezzo giusto. Vedremo adesso quali sono le idee che sono alla base della formula di Black e Scholes, e che sono anche alla base di tutto lo sviluppo dei modelli probabilistici in finanza, un settore della matematica moderna (che parte, cioè da problemi concreti ma che presuppone lo sviluppo di teorie matematiche avanzate) e che è in questo momento in grande espansione. Data l importanza dell impatto della loro formula sia nello sviluppo della matematica del settore, sia delle applicazioni, M. Scholes ricevette il premio Nobel (per l economia) nel Purtroppo, Black nel frattempo era morto

10 3. Ipotesi del mercato Assumeremo che: 1. È possibile prendere e/o dare in prestito denaro ad un tasso r (costante) in ogni periodo. 2. Non vi sono costi di transazione: le operazioni di prendere/dare in prestito denaro, così come di comprare/vendere il titolo rischioso, non presuppongono costi aggiuntivi. Si tratta di ipotesi ideali. Ma è ragionevole cominciare lo studio facendo delle ipotesi semplificatrici, che poi si cercherà di rimuovere. Aggiungiamo anche ipotesi ampiamente verificate nella realtà: 3. È permessa la vendita allo scoperto (cioè, vendere qualcosa che all atto della vendita in effetti non i possiede...). 4. Sono permesse operazioni riguardanti frazioni di beni, ad esempio è possibile acquistare 0.63 azioni di una società

11 4. Il titolo non rischioso Supponendo che alla fine di ogni periodo l interesse sia calcolato sul capitale fino ad allora maturato (interesse composto), un capitale pari a x al tempo 0 e investito in questo modo avrà un valore pari a x 1 = x(1 + r) x 2 = x(1 + r) 2. x n = x(1 + r) n alla fine del primo periodo alla fine del secondo periodo alla fine dell n-esimo periodo Preso x = 1 (prendere o dare in prestito 1 unità di denaro), il processo S 0 n = (1 + r)n, n = 0, 1,..., N, prende il nome di prezzo del titolo non rischioso

12 5. Una risposta errata per il prezzo dell opzione Un idea naturale, per fissare il prezzo dell opzione, potrebbe essere di porlo uguale alla media di quanto la società emettitrice dovrà sborsare. Ad esempio, nell opzione call, cioè di acquisto, con prezzo di esercizio K e maturità N, la società che emette l opzione deve disporre a maturità N di un ammontare pari a max(s N K, 0) = (S N K) +. Quindi, la società emettitrice avrebbe potuto investire al tempo 0, al tasso di interesse r, (1 + r) N (S N K) +. Poiché il prezzo S N non è noto oggi, può sembrare ragionevole stabilire come prezzo dell opzione la quantità ) E ((1 + r) N (S N K) +, che rappresenta il valor medio di (1 + r) N (S N K) + calcolato pesando tutti i possibili valori (futuri) di S N con le rispettive probabilità con cui questi valori possono essere assunti, una quantità facile da calcolare. TUTTAVIA

13 5. Una risposta errata per il prezzo dell opzione... QUESTA RISPOSTA NON È CORRETTA: nei mercati finanziari si osservano prezzi che non corrispondono a quelli forniti da questa formula. Nel seguito, risolveremo correttamente il problema del prezzo e della copertura nell ambito del modello di Cox, Ross e Rubinstein. Anticipiamo brevemente quali saranno i passi e le idee di base che consentiranno di dare delle risposte concrete: 1. la costruzione del modello probabilistico 2. la nozione di arbitraggio 3. il concetto di replicabilità dell opzione Oggigiorno, le grandi società (banche, finanziarie ma anche assicurazioni) non possono fare a meno dei modelli matematici per fissare i prezzi dei loro prodotti finanziari (portafogli di investimento, polizze assicurative... ). La finanza matematica costituisce quindi uno sbocco lavorativo interessante e propone posti di lavoro ben remunerati che, soprattutto, richiedono al matematico di fare un lavoro da matematico. E naturalmente, costituisce una fonte interessante di problemi di ricerca pura sviluppata nei vari istituti di ricerca (università, enti, CNR, etc.)

14 6. Il modello CRR per l evoluzione del titolo Immaginiamo il tempo diviso in N periodi (ad esempio, giorni) e supponiamo che, in ogni periodo, il prezzo del titolo sottostante l opzione (la soia) possa diminuire di un fattore 1 + a oppure aumentare di un fattore 1 + b Se S n = prezzo al tempo n, 0 n N, stiamo quindi dicendo che 1 < a < b e dove T n+1 = S n+1 = S n T n+1 { 1 + a con probabilità p 1 + b con probabilità 1 p dove p è un numeretto in (0, 1) e dà, ripetiamo, la probabilità che il titolo salti in basso in un generico periodo

15 6. Il modello CRR per l evoluzione del titolo Graficamente: 1 p. S n (1 + b) S n.. p. S n (1 + a) n n + 1 Il processo (S n ) 0 n N prende il nome di prezzo del titolo rischioso e questo modello per (S n ) 0 n N, molto semplice, si chiama il modello di Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Osserviamo che si ha S n = S 0 T 1 T n, n = 1, 2,..., N

16 6. Il modello CRR per l evoluzione del titolo La figura che segue mostra l insieme di tutte le possibili traiettorie del processo di prezzo (S n ) 0 n N, con N = 3. Si noti che esse formano un albero; un cammino percorribile sull albero rappresenta una possibile traiettoria, come quella evidenziata in rosa. S 0 S 1.. S 2... S 3. S 0 (1 + b) 3. S 0 (1 + b) 2 (1 + a). S 0 (1 + b)(1 + a) 2. S 0 (1 + a) 3 n = 0 n = 1 n = 2 n =

17 6. Il modello CRR per l evoluzione del titolo Come identificare una traiettoria, o equivalentemente un possibile cammino sull albero? Un modo potrebbe essere quello di prendere l insieme delle traiettorie uguale a Ω = {ω = (ω 1,..., ω N ) : ω i {1 + a, 1 + b}}. Un ω fissato in Ω dà il valore dei salti consecutivi (cioè di T 1,..., T N ) e in corrispondenza di un fissato ω Ω, il processo (S n ) 0 n N diviene: S n (ω) = S 0 ω 1 ω 2 ω n, n = 1,..., N. Ad esempio, per la traiettoria in rosa si avrebbe (N = 3) ω = (1 } {{ + } b, 1 } {{ + a }, 1 } {{ + } b) e S n (ω) = =ω 1 =ω 2 =ω 3 S 0 ω 1 se n = 1 S 0 ω 1 ω 2 se n = 2 S 0 ω 1 ω 2 ω 3 se n =

18 7. Il modello per il mercato Per dare un senso rigoroso alle nostre idee, costruiamo un modello probabilistico per il mercato finanziario. Il nostro mercato è composto da due titoli: il titolo rischioso, di prezzo (S n ) 0 n N (la soia dell esempio), che si evolve seguendo il modello ad albero di Cox-Ross-Rubinstein, e il titolo senza rischio (Sn 0) 0 n N, il cui prezzo si rivaluta al tasso fisso r: Sn 0 = (1 + r)n. Ricordiamo che i primi non si conoscono a priori e dipendono dall evoluzione del mercato:

19 7. Il modello per il mercato l insieme di tutte le possibilità del modello CRR è infatti Ω = {ω = (ω 1,..., ω N ) : ω i {1 + a, 1 + b}} e S n (ω) = S 0 ω 1 ω n, n = 1,..., N. E ricordando che il salto in (1 + a) può avvenire con probabilità p e il salto in (1 + b) con probabilità 1 p, e assumendo l indipendenza tra salti successivi, la probabilità che si verifichi una fissata traiettoria ω Ω è P({ω}) = p k (1 p) N k dove k è il numero di volte che 1 + a compare nella sequenza ω = (ω 1,..., ω N )

20 8. L arbitraggio L idea per stabilire il prezzo di un opzione si basa su una nozione ben nota nei mercati finanziari, quella di arbitraggio. Un arbitraggio è un operazione finanziaria nella quale non occorre in alcun momento investire del capitale; non si può avere in alcun caso una perdita e si ha, probabilità positiva, un guadagno. con Nella realtà, esistono soggetti specializzati a fare guadagni con l arbitraggio. Può sembrare un paradosso ma il loro lavoro è di utilità per la stabilità dei mercati finanziari. Vediamo un esempio

21 8. L arbitraggio Può succedere ad esempio che il cambio euro/yen sia - a Tokyo: euro/yen=133, cioè 1 euro=133 yen; - a Milano: euro/yen=132, cioè 1 euro=132 yen. Un investitore (in euro) può quindi, simultaneamente, vendere x yen a Milano e comprarne a Tokyo. Può usare gli yen comprati a Tokyo per onorare la vendita a Milano e gli euro incassati a Milano per pagare l acquisto a Tokyo. Alla fine avrà realizzato un guadagno, perché avrà in mano 1 +x 132 euro } {{ } guadagno degli yen venduti a Milano 1 x 133 euro } {{ } debito degli yen comprati a Tokio ( 1 = x ) euro > 0, senza aver dovuto in alcun momento disporre di un capitale e senza aver corso nessun rischio. E questo è un esempio di arbitraggio

22 8. L arbitraggio In pratica situazioni di arbitraggio nei mercati finanziari si verificano (ed esistono personaggi che ne approfittano!) ma, naturalmente, solo per tempi brevissimi perché il mercato se ne accorge subito, riportandosi così in una situazione di equilibrio. Nel caso dell esempio precedente, ad esempio, si avrebbe immediatamente un aumento della richiesta di yen a Tokyo e dell offerta di yen a Milano che riporterebbe i due prezzi in parità. È dunque ragionevole che il modello matematico scelto per la descrizione del mercato non dia luogo a possibilità di arbitraggio. Perché ciò accada, occorre dapprima descrivere (=definire) matematicamente il concetto di arbitraggio. Cominciamo dunque con la definizione di strategie di gestione

23 9. Strategie di gestione Supponiamo che un investitore costituisca un portafoglio investendo nei due titoli che abbiamo considerato. Indichiamo con φ n = quantità di titolo rischioso nel portafoglio al tempo n; φ 0 n = quantità di titolo non rischioso nel portafoglio al tempo n. Il suo capitale al tempo n è quindi V n (φ) = φ 0 n S0 n + φ ns n Al tempo n l investitore può spostare delle quote di capitale da un titolo all altro e quindi modificare le quantità φ 0 n+1, φ n+1. Egli però dispone solo delle informazioni relative ai prezzi fino al tempo n. Dunque φ 0 n+1, φ n+1 dovranno dipendere solo dai valori di questi prezzi, cioè da S 1,..., S n, e non da S n+1. Le famiglie (φ 0 n ) 0 n N e (φ n ) 0 n N costituiscono una strategia di gestione. Entriamo un po più nel dettaglio delle principali proprietà

24 9. Strategie di gestione Alla fine del giorno n, occorre quindi stabilire le quote φ n+1 e φ 0 n+1 da investire rispettivamente nel titolo rischioso e non. A fine giornata, il valore dei due titoli rimane S n e Sn 0 rispettivamente. Quindi, il capitale detenuto prima del cambio di quote è φ 0 n S0 n + φ ns n ; dopo il cambio di quote è φ 0 n+1 S0 n + φ n+1s n. Se l investitore si limita a spostare le quote da un titolo all altro, dovrà risultare φ 0 n S0 n + φ ns n = φ 0 n+1 S0 n + φ n+1s n In altre parole, le modifiche sulle quote vengono fatte senza aggiunta o ritiro di capitale. Una tale strategia prende il nome di strategia autofinanziante

25 9. Strategie di gestione In modo equivalente, le strategie autofinanzianti si possono definire come quelle che soddisfano la seguente uguaglianza: V n+1 (φ) V n (φ) = φ 0 n+1 (S0 n+1 S0 n ) + φ n+1(s n+1 S n ). È utile precisare che le quantità φ 0 n, φ n possono prendere dei valori negativi (un prestito, una vendita allo scoperto,... ) ma le strategie che è ragionevole prendere in considerazione sono quelle per le quali il valore globale del portafoglio non diviene mai negativo (in modo tale che l investitore sia sempre solvibile). D ora in poi, le strategie di gestione φ che considereremo saranno sempre autofinanzianti e tali che V n (φ) 0 per ogni n = 0, 1,..., N

26 9. Strategie di gestione Possiamo ora formalizzare matematicamente il concetto di arbitraggio, che, ricordiamo, è un operazione finanziaria nella quale - non occorre in alcun momento investire del capitale; - non si può avere in alcun caso una perdita e si ha, con probabilità positiva, un guadagno. Allora: diremo che una strategia di gestione φ è d arbitraggio se V 0 (φ) = 0 V n (φ) 0 per ogni n = 1, 2,..., N e V N (φ) > 0 con probabilità >

27 10. L assenza di arbitraggio Torniamo al modello CRR: per n = 1, 2,..., N, S 0 n = (1 + r)n e S n = S 0 T 1 T n, dove T 1,..., T N sono indipendenti e P(T n = 1 + a) = p = 1 P(T n = 1 + b), per ogni n. Possiamo dire che in questo mercato c è assenza di arbitraggio? Cioè, che non è possibile costruire strategie di arbitraggio? Si può dimostrare (ed è un teorema abbastanza importante) che Teorema 1. Il modello CRR è privo di arbitraggio se e solo se a < r < b Vediamo intuitivamente perché. Supponiamo, per semplicità, N = 1 e supponiamo che la condizione del Teorema 1 non sia vera

28 10. L assenza di arbitraggio 1. Supponiamo r a < b. Consideriamo la seguente strategia: tempo=0: si prende in prestito quanto serve per comprare una unità di titolo rischioso (cioè S 0 ) tempo=1: si restituicono i soldi presi in prestito e si vende l unità di sottostante Bilancio dell operazione: V = S 0 (1 + r) + S 1 e con probabilità 1 p > 0, V = S 0 (1 + r) + S 0 (1 + b) > 0 possibile guadagno senza dover investire alcun capitale: arbitraggio!!!

29 10. L assenza di arbitraggio 2. Supponiamo a < b r. Consideriamo la seguente strategia: tempo=0: si vende (allo scoperto) una unità di titolo rischioso (con consegna al tempo 1) e se ne investe il ricavato nel titolo non rischioso tempo=1: si ritira il capitale maturato e si compra una unità di sottostante Bilancio dell operazione: = +S 0 (1 + r) S 1 e con probabilità p > 0, V = S 0 (1 + r) S 0 (1 + a) > 0 possibile guadagno senza dover investire alcun capitale: arbitraggio!!!

30 10. L assenza di arbitraggio Se il Teorema 1 è verificato, cioè a < r < b allora p = b r b a è tale che 0 < p < 1. Questo numeretto p ha una proprietà importante: se supponiamo che in un dato periodo il prezzo del bene rischioso possa variare del fattore 1 + a con probabilità p e del fattore 1 + b con probabilità 1 p, allora un capitale pari a x investito nel titolo rischioso renderebbe in media, dopo un periodo, ( ) x (1 + a) p + (1 + b) (1 p ) = x(1 + r) cioè esattamente lo stesso rendimento dell analogo investimento nel bene senza rischio. Quindi, se consideriamo il modello CRR con p al posto di p, investire nel titolo rischioso e nel titolo senza rischio portano allo stesso guadagno, in media. Per questa ragione, la nuova probabilità P, che deriva dalla scelta p = p, è detta probabilità di rischio neutro. Ovviamente, si tratta di una probabilità artificiosa : non ha niente a che vedere con il comportamento del titolo nella realtà del mercato! Ciò nonostante, giocherà nel seguito un ruolo cruciale

31 11. Opzioni replicabili Definiamo, in generale, una opzione di maturità N come una funzione h dei prezzi S n, n N. Gli esempi di opzioni call e put rientrano come casi particolari in questa definizione. Ad esempio, per una opzione call sarà h = (S N K) +. Dunque, la quantità aleatoria h modellizza la perdita in cui può incorrere colui che cede l opzione. Si dice che un opzione h a maturità N è replicabile se esiste una strategia φ tale che V N (φ) = h. Dal punto di vista della società emettitrice B, si ha: se l opzione è replicabile allora B può costruire una strategia che giorno per giorno fa comprare/vendere i due titoli (rischioso e non) in modo tale da consentire di ottenere esattamente la perdita h cui B può andare incontro all istante finale di maturità N. Quindi, se un opzione è replicabile allora la socità emettitrice ne può gestire il rischio

32 12. Il giusto prezzo di un opzione Se l opzione h è replicabile allora esiste una strategia di gestione φ che consente di ottenere a maturità esattamente la perdita cui può andare incontro colui che cede il diritto d opzione. Ma allora, φ è la giusta strategia di gestione che il venditore deve seguire per onorare il contratto; il valore iniziale del portafoglio V 0 (φ) è il giusto prezzo dell opzione

33 12. Il giusto prezzo di un opzione Quali opzioni sono replicabili? Si può dimostrare (difficile!) che Teorema 2. Se a < r < b, nel mercato descritto dal modello CRR tutte le opzioni sono replicabili. Inoltre, per ogni opzione h con strategia replicabile φ, si ha: E ((1 + r) n V n (φ)) non dipende da n, e in particolare E ((1 + r) n V n (φ)) = V 0 (φ), per ogni n = 1, 2,..., N, dove E denota il valor medio sotto la probabilità di rischio neutro P

34 12. Il giusto prezzo di un opzione Quindi, nell ipotesi a < r < b, il modello CRR è privo di arbitraggio e completo. In tal caso, la società che emette l opzione h può costruire una strategia (φ 0 n, φ n) che replica l opzione (mercato completo), cioè tale che V N (φ) = h [ricordiamo che V N (φ) = φ 0 N S0 N + φ NS N è il valore del portafoglio al tempo N]. Dunque il valore finale del portafoglio è esattamente uguale a quanto potrebbe rimetterci finanziariamente

35 12. Il giusto prezzo di un opzione Ma allora, il giusto prezzo dell opzione dev essere il valore assunto all istante 0 da questo portafoglio, cioè l ammontare di denaro iniziale che è necessario possedere per costruire il portafoglio replicante. Dal Teorema 2, segue che ) ( ) V 0 (φ) = E ((1 + r) N V N (φ) = E (1 + r) N h, quindi ) prezzo dell opzione = E ((1 + r) N h. Ripetiamo: il motivo che consente di considerare questo come il prezzo giusto dell opzione è che effettivamente esso corrisponde alla somma necessaria alla società emittente per fare fronte all impegno preso senza correre alcun rischio

36 12. Il giusto prezzo di un opzione Nel caso di un opzione call, ricordiamo che h = (S N K) +, quindi prezzo di un opzione call = E ( (1 + r) N (S N K) + ). Vediamo quindi qual era l errore della formula intuitiva di poco fa, quando suggerivamo come prezzo dell opzione la quantità ) E ((1 + r) N (S N K) +. Infatti, il giusto prezzo si trova facendo la media rispetto ad una nuova probabilità, che si comporta come se, in ogni periodo, i prezzi crescessero in media come il titolo non rischioso, cioè come 1 + r

37 13. Le formule Abbiamo visto che il prezzo di un opzione call è ( ) ( ) C 0 = V 0 (φ) = E (1 + r) N (S N K) + = E (1 + r) N (x T 1 T N K) + quando ad x si sostituisca il valore iniziale del titolo, cioè S 0. Se invece siamo interessati al prezzo in un generico istante n che non sia necessariamente quello iniziale, è facile vedere che occorrerà lavorare con i tempi n, n + 1,..., N piuttosto che con 0, 1,..., N. Otteniamo così facilmente che ( ) C n = V n (φ) = E (1 + r) (N n) (x T n+1... T N K) + in cui x = S n. Il calcolo di questo valor medio è elementare. replica l opzione si può calcolare facilmente. seguenti (semplici!) formule: Inoltre, anche la strategia che Si possono infatti ottenere le

38 13. Le formule per il prezzo: C n = c n (S n ) dove N n ( ) + ( ) c n (x)=(1+r) (N n) x(1+a) j (1+b) N n j N n K p j j (1 p ) N n j. per la copertura: j=0 φ n = n (S n 1 ) dove n (x) = c n(x(1 + b)) c n (x(1 + a)) ( x(b a) ) e di seguito φ 0 n = (1 + r) n c n (S n ) n (S n 1 ) S n 0 n (S n 1) Da notare che: (a) queste formule non dipendono in nessun modo dalla legge di (S n ) n ; (b) fissato n, n (x) somiglia molto ad una specie di derivata di c n (x)

39 14. Tutto a posto? Queste formule sembrano molto soddisfacenti, e in realtà lo sono. Occorre però fare un po di critica. Nel modello che abbiamo costruito le cose non vanno proprio come nella realtà. Ad esempio nella realtà le transazioni costano. Abbiamo invece supposto che fosse possibile spostare capitali dall attivo di base a quello senza rischio senza spese. Si tratta naturalmente di una questione importante in pratica. È un ipotesi, questa, che si può eliminare, ma al prezzo di un trattamento matematico molto più elaborato. Il modello CRR funziona bene, ma non dà conto di alcune caratteristiche tipiche dei mercati. Ad esempio è esperienza comune che i prezzi di mercato sono soggetti ad un comportamento più disordinato che non quello del modello CRR, con oscillazioni che sono in certi periodi più intense che in altri. Per questo motivo, ancora adesso si studiano modelli più complicati che descrivano bene questi comportamenti. Se vi interessa... c è lavoro anche per voi!

40 14. Tutto a posto? In ogni caso, per poter applicare concretamente le formule che abbiamo trovato bisogna stabilire i valori di a e b, oltre che al valore di N (il numero di periodi nei quali si suddivide il tempo). Come fare? La risposta tra poco... Rispetto alla probabilità di rischio neutro il prezzo del bene rischioso tende a crescere in media esattamente come quello del bene non rischioso (quello a tasso fisso). Quindi il prezzo dell opzione non dipende dal fatto che il titolo di base tenda o non tenda a crescere. Ma allora, da cosa dipende il prezzo dell opzione? Quali caratteristiche di un titolo danno luogo a dei prezzi elevati per le opzioni corrispondenti?

41 15. Passaggio al limite: verso il tempo continuo Proviamo a vedere cosa succede quando facciamo tendere il numero di periodi, N, all infinito e, corrispondentemente, riduciamo i valori di a, b ed r. Ciò significa che stiamo supponendo di suddividere l intervallo di interesse [0, T ], in tanti sotto-intervalli sempre più piccoli come in figura: Poniamo anche t=t/n 0 { }} { T t 0 t 1 t 2 t n t n+1 t N r = RT N, 1 + a = (1 + r)e σ T/N e 1 + b = (1 + r)e +σ T/N, dove σ > 0 è un parametro detto volatilità. Il suo significato è abbastanza chiaro: tanto più è grande σ, tanto più i due numeri 1+a e 1+b saranno diversi e quindi tanto più si osserveranno oscillazioni nell andamento dei prezzi. Osserviamo che si ha sempre a < r < b: il mercato è quindi privo di arbitraggio e completo

42 15. Passaggio al limite: verso il tempo continuo La figura mostra 10 simulazioni del prezzo (S n ) 0 n N di una unità di titolo rischioso sotto la probabilità di rischio neutro (in rosso, (Sn 0) 0 n N). tempo = T tempo = 0 S 0 Dato iniziale S 0 = 1; volatilità al 25% [σ = 0.25]; tasso istantaneo al 5% [R = 0.05]; tempo finale T = 1 e numero di monitoraggi N =

43 15. Passaggio al limite: verso il tempo continuo Qual è il comportamento del prezzo S N, quando N? Uno studente del secondo anno del corso di Laurea in Matematica è capace di far vedere che per N la probabilità P (log(s N /S 0 ) > x) = P (log(t 1 T N ) > x) converge al numero + ξ 1 2π e t2 /2 dt, in cui si ponga ξ = σ2 x (R 2 )T σ. T L integrale non è altro che l area tratteggiata nella figura che segue ξ

44 15. Passaggio al limite: verso il tempo continuo Si può anche passare al limite nella formula che dà il prezzo dell opzione. ottiene infatti il seguente Si Teorema 3. La quantità C N 0 = E ( (1 + r) N (S N K) + ) trovata per il prezzo dell opzione converge, per N, a C BS 0 = S 0 Φ(d 1 ) Ke RT Φ(d 2 ) (BS) dove: S 0 è il prezzo iniziale del bene rischioso; d 1 = 1 ( σ log S ) 0 σ2 + (R + T K 2 )T e d 2 = d 1 σ T ; Φ(z) = 1 z e 1 2 t2 dt. 2π (BS) è la (famosa!) formula di Black-Scholes per il prezzo di un opzione call

45 15. Passaggio al limite: verso il tempo continuo Osserviamo che la formula di Black e Scholes per il prezzo C BS 0 dell opzione call dipende da tutti i parametri presenti sul mercato (dato iniziale S 0 e volatilità σ del titolo rischioso, tasso d interesse r) e dai parametri del contratto d opzione (prezzo d esercizio K e maturità T ). In particolare, è facile vedere che dc BS 0 dσ > 0 per ogni σ > 0, quindi C BS 0 è una funzione crescente di σ. Ciò significa che il prezzo dell opzione aumenta [risp. diminuisce] all aumentare [risp. al diminuire] della volatilità σ: ecco qual è il parametro che fa smuovere il prezzo dell opzione! Ricordando che σ è legata all ampiezza dei salti, possiamo concludere dicendo che se un titolo è molto volatile (=alte oscillazioni dei prezzi) allora l opzione ad essa associata è costosa; i costi invece diminuiscono per titoli poco volatili (=basse oscillazioni dei prezzi). In sostanza, l opzione costa tanto, o poco, se il rischio associato al titolo è tanto, o poco: esattamente come vorrebbe l intuizione!

46 Conclusioni Abbiamo affrontato un problema concreto in finanza (calcolo del prezzo e della copertura delle opzioni) con tecniche puramente matematiche. Infatti, abbiamo dapprima svolto alcuni passaggi obbligati in matematica applicata, fissando le ipotesi di mercato (alcune delle quali si possono eliminare con strumenti più avanzati) e traducendo in termini matematici - l evoluzione dei prezzi: costruzione del modello probabilistico; - un fenomeno basilare nei mercati finanziari: l assenza di arbitraggio; - la corretta gestione del rischio: replicabilità dell opzione. Utilizzando poi gli strumenti della probabilità, si entra nel contesto delle dimostrazioni teoriche vere e proprie: si studiano le condizioni che rendono il modello idoneo a descrivere un mercato privo di arbitraggio e completo. Sotto queste ipotesi, abbiamo potuto dare una soluzione esauriente e corretta, semplicemente perché produce formule che danno prezzi corrispondenti a quelli che si osservano nella realtà dei mercati finanziari