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1 Strumenti derivati: corso base Prof. Fabio Bellini Università di Milano Bicocca Dipartimento di Metodi Quantitativi Outline Contratti forward, futures e opzioni: descrizione degli strumenti ed esempi di strategie operative Il mercato IDEM Introduzione al pricing: il modello binomiale e il modello di Black-Scholes Analisi di sensitività e gestione di portafogli di derivati 1

2 Generalità sugli strumenti derivati Il loro valore deriva (nel senso di dipende) dal valore di un altro strumento finanziario, detto sottostante (underlying). Gli esempi più semplici sono i contratti forward, i contratti futures e le opzioni. I sottostanti possono essere di natura molto diversa: singole azioni, indici azionari, indici obbligazionari, tassi di cambio, commodities, elettricità, Una prima macrodistinzione è tra strumenti lineari (forward, futures, ma anche swap plain vanilla) e strumenti nonlineari (opzioni e più in generale opzioni esotiche). La prima classe non necessita di strumenti matematici particolarmente sofisticati. Il contratto forward Il contratto forward è il derivato più semplice. Con esso due parti si accordano per scambiarsi il sottostante a una data futura T (maturity) ad un prezzo prefissato F che viene detto prezzo forward. Si dice che la parte che si impegna ad acquistare il sottostante ha una posizione forward lunga mentre quella che si impegna a venderlo ha una posizione forward corta. Generalmente F viene scelto in modo che non siano necessarie ulteriori compensazioni alla stipula del contratto. La motivazione è evidente: attraverso questo contratto (che è tipicamente bilaterale e negoziato over the counter, cioè non in un mercato regolamentato vero e proprio) le due controparti eliminano il rischio legato all incertezza del prezzo del sottostante al tempo T. 2

3 Payoff del contratto forward Evidentemente, ex post il contratto sarà vantaggioso solo per una delle due controparti (l altra avrebbe fatto meglio a non prendere la posizione forward). Il valore del contratto a scadenza, in funzione del sottostante, viene in generale chiamato payoff dello strumento derivato. Forward lungo Forward corto F S T F S T Replicazione del payoff Il valore a scadenza della posizione lunga è S T -F; quello della posizione corta è F-S T. La somma dei payoff è 0; i forward (e in generale i derivati) sono un gioco a somma nulla. I forward sono particolarmente semplici in quanto il loro payoff è una retta, dal punto di vista matematico vengono detti strumenti lineari. Questo consente di determinare il prezzo forward attraverso un semplice argomento detto di replicazione. Se contemporaneamente: i) compro il sottostante ii) prendo a prestito un importo pari a F attualizzato (cioè Fe -r(t-t), dove r è il tasso di interesse e t la data di oggi) otteniamo a scadenza lo stesso payoff di un contratto forward lungo. 3

4 Replicazione del payoff/2 Acquisto sottostante Prendo a prestito F S T S T Forward lungo -F Ne segue che il costo del contratto forward f deve essere pari al costo del portafoglio replicante: F S T r ( T t ) f = S Fe -F Parità spot/forward Usualmente (ma questa non è l unica possibilità), le due parti scelgono il prezzo forward F in modo che f = 0, cioè che non ci siano pagamenti alla stipula del contratto. Questo fornisce la relazione F = Se r ( T t ) che è nota come parità spot/forward, che può essere generalizzata al caso in cui il sottostante presenti un dividend yield q (che può anche rappresentare gli interessi in valuta nel caso di un tasso di cambio o i costi di stoccaggio nel caso di una commodity): F = Se ( r q )( T t ) 4

5 Verifiche empiriche La relazione appena vista è il più semplice modello di pricing di uno strumento derivato. Alcune ipotesi non sono del tutto realistiche (ad esempio, l assenza di costi di transazione oppure la natura non aleatoria del tasso di dividendo q) tuttavia non è stato necessario fare ipotesi sul sottostante a scadenza S T. In pratica la parità spot/forward è verificata abbastanza bene dai prezzi di mercato; spesso è utilizzata al contrario per estrarre un tasso di dividendo implicito dai prezzi forward. L esistenza di questa relazione teorica evidentemente non rende inutili i mercati forward, in quanto sussistono varie asimmetrie tra l acquisto e la detenzione del sottostante e l acquisto a termine del sottostante Verifiche empiriche/2 FTSEMIB Fut Set 09 Fut Dec 09 5

6 I contratti futures I contratti futures differiscono dai contratti forward sostanzialmente per tre aspetti: - sono trattati in mercati regolamentati su quantitativi e sottostanti standardizzati - ciascun contratto ha come controparte la Cassa di Compensazione e Garanzia - e previsto un meccanismo di marking to market per cui guadagni e perdite vengono calcolati e addebitati giornalmente Lo scopo è quello di evitare che una delle controparti venga meno agli impegni presi; queste importantissime differenze di struttura del mercato hanno in generale uno scarso impatto sui prezzi: prezzi forward e prezzi future sono generalmente molto vicini; teoricamente si può dimostrare che trascurando la natura aleatoria dei tassi di interesse devono coincidere. Il meccanismo del marking to market Per aprire una posizione futures è necessario avere su un conto associato alla posizione (conto margine) un margine iniziale, che è pari (si veda la parte finale) ad una percentuale fissata del valore nominale del contratto. Nel caso dei futures con sottostante FTSEMIB questa percentuale è attualmente del 14,5%. La variazione del prezzo di chiusura viene addebitata o accreditata (a seconda del segno della posizione e del segno della variazione) giornalmente (da cui il nome di marking to market). Se il conto margine diventa insufficiente allora l investitore riceve una chiamata di margine (margin call) che deve essere soddisfatta rapidamente pena la chiusura automatica della posizione. Il fatto che sia possibile operare su un valore nominale più elevato con un margine pari soltanto a una frazione dà origine al cosiddetto effetto leva (leverage) dei contratti futures. 6

7 Il meccanismo del marking to market/2 Consideriamo come esempio una posizione lunga su un future con scadenza Settembre 2009 avente come sottostante il FTSE MIB. Nel periodo considerato non è necessario adeguare il margine; considerando 1 a punto (Mini FTSE MIB) abbiamo: fut set 09 long variazione margine (14,5%) conto margine 03/08/ , ,73 04/08/ , ,73 05/08/ , ,73 06/08/ , ,73 07/08/ , ,73 10/08/ , ,73 11/08/ , ,73 12/08/ , ,73 13/08/ , ,73 14/08/ , ,73 Il sottostante è salito del 3,30%, il contratto future del 22,73%. E facile vedere che il leverage (detto anche elasticità) è pari a 6,90 = 22,73% / 3,30% = 1/0,145. Il meccanismo del marking to market/3 Nel caso di una posizione corta, visto il movimento rialzista del sottostante, sono necessari diversi adeguamenti: fut set 09 long variazione margine (14,5%) conto margine aggiunta 03/08/ , ,73 04/08/ , , /08/ , ,73 06/08/ , , /08/ , , /08/ , , /08/ , ,73 12/08/ , ,73 13/08/ , , /08/ , ,73 Sul conto margine abbiamo guadagnato 422 punti a cui pero devono essere tolti 1110 punti di aggiunte complessive, ottenendo una perdita di 688 punti (pari alla variazione del future: =688). 7

8 Usi dei contratti futures Grazie al meccanismo del marking to market, è possibile operare con una leva finanziaria fissata. Gli usi piu comuni sono: Strategie speculative direzionali Strategie di copertura Spread trading Il volume di un contratto future è il numero di posizioni aperte o chiuse durante una giornata. L open interest del contratto è pari al numero di posizioni lunghe (che è pari al numero delle posizioni corte) rimaste aperte a fine giornata. Copertura a varianza minima In una operazione di copertura tramite futures, non sempre è disponibile un contratto sul sottostante opportuno o con la scadenza opportuna. La differenza tra il prezzo spot e il prezzo future viene detta base; il rischio dovuto alla copertura imperfetta viene chiamato basis risk. E possibile dimostrare che in caso di coperture imperfette il rapporto di copertura h (rapporto tra il controvalore future e il controvalore spot) che minimizza la varianza della base è dato da: h σ S = ρ σ dove ρ è la correlazione tra le variazioni del sottostante e del future, σ S è la deviazione standard delle variazioni del sottostante e σ F quella del future. F 8

9 I contratti di opzione Al contrario dei contratti forward e futures, i contratti di opzione forniscono il diritto (ma non l obbligo) di acquistare (opzione call) o di vendere (opzione put) il sottostante alla scadenza T (maturity) a un prezzo prefissato che viene chiamato strike price K. Esempi: Una opzione call sul FTSEMIB con strike e scadenza settembre mi dà il diritto di acquistare il FTSEMIB il 18/9/2009 a A scadenza l opzione non varrà nulla se il FTSEMIB è sotto 20000, mentre varrà la differenza S T se il FTSEMIB è sopra In formule, il payoff della call è dato da max(0, S T K). Una put con strike invece mi da il diritto a vendere a 20000; essa non varrà nulla se S T > 20000, mentre vale la differenza S T nel caso contrario. In formule, il payoff della put è dato da max(0, K S T ). I contratti di opzione/2 Al contrario dei contratti forward e futures, i contratti di opzione forniscono il diritto (ma non l obbligo) di acquistare (opzione call) o di vendere (opzione put) il sottostante alla scadenza T (maturity) a un prezzo prefissato che viene chiamato strike price K. Anche qui, possiamo facilmente disegnare i payoff: Acquisto call Acquisto put K S T K S T 9

10 I contratti di opzione/3 Al contrario dei contratti futures, per acquisire il diritto insito in un opzione è necessario pagare un premio. L acquirente del contratto call o put paga quindi al venditore (detto anche writer) della opzione il premio e in cambio ottiene i payoff rappresentati nella slide precedente (che ovviamente possono anche essere nulli: in questo caso si è semplicemente perso il premio). Il venditore invece riceve il premio ed eventualmente paga all acquirente il suo payoff; le sue posizioni quindi possono essere: Vendo call Vendo put K S T K S T I contratti di opzione/4 I profitti complessivi (profits, da non confondere con i payoffs) delle due posizioni lunghe sono espressi in questi grafici: Acquisto call Acquisto put K S T -P -P K S T 10

11 I contratti di opzione/5 Nel caso delle opzioni corte abbiamo perdite potenzialmente anche molto elevate, illimitate nel caso della call Vendo call Vendo put P P K S T K S T Un po di terminologia Un opzione si dice europea se può essere esercitata solo alla scadenza T; si dice americana se può essere esercitata in qualsiasi momento fino alla scadenza. Un opzione si dice in the money (ITM) se è immediatamente esercitabile con profitto; cioè se lo strike è inferiore al sottostante nel caso di una call oppure se è superiore al sottostante nel caso di una put. Un opzione si dice out of the money (OTM) se invece esercitata immediatamente avrebbe valore nullo. Le opzioni per cui lo strike coincide con il sottostante si dicono at the money (ATM). Il valore di una opzione si decompone in valore intrinseco (quanto otterrei da un esercizio immediato) e valore temporale (legato alla variabilità futura del sottostante). 11

12 Prime osservazioni L acquirente di una call fa una scommessa rialzista sul sottostante; l acquirente di una put una scommessa ribassista. Rispetto a una posizione futures, il grado di leva finanziaria può essere molto variabile, e dipende sostanzialmente dalla moneyness Opzioni deep out of the money (con una probabilità di esercizio molto bassa) hanno una leva molto elevata mentre opzioni deep in the money (per cui l esercizio è virtualmente certo) hanno una leva inferiore. Alla scommessa direzionale si unisce una scommessa sulla volatilità: sia nel caso della call che in quello della put l acquirente beneficia di un aumento della volatilità. Chi vende una opzione ha una perdita potenziale molto elevata, anche illimitata, nel caso della call; per questo è necessario un sistema di marginazione simile a quello dei contratti futures. Put call parity Il prezzo di una call e quello di una put con lo stesso sottostante, la stessa maturity T e lo stesso strike K sono collegati: Compro call Vendo put Forward lungo K K K 12

13 Put call parity /2 Dato che il payoff che si ottiene comprando una call e vendendo una put con lo stesso strike K coincide con quello di un contratto forward, ne segue il costo dei due modi di ottenere lo stesso payoff deve essere lo stesso (principio di non arbitraggio). Si ottiene quindi C P = S Ke r ( T t ) nota come put/call parity. Nel caso di un dividend yield continuo q abbiamo C P = S Ke ( r q )( T t ) Strategie più complicate Spesso si combinano più posizioni sullo stesso sottostante e sulla stessa scadenza. Per esempio acquistando una call con strike K 1 e vendendo una call con strike K 2 > K 1 otteniamo uno spread rialzista: Compro call K1 Vendo call K2 Spread rialzista K 1 K 2 K 1 K 2 Si tratta di una posizione rialzista in cui il premio è limitato da un tetto massimo al payoff. 13

14 Strategie più complicate/2 Se al contrario compro una call sullo strike superiore K 2 e la vendo su quello inferiore K 1, il payoff è uno spread ribassista: Vendo call K 1 Compro call K 2 Spread ribassista K 1 K 2 K 1 K 2 Anche qui, rispetto alla vendita della call con strike K 1, si incassa oggi un premio minore a fronte di una minore perdita potenziale a scadenza. Strategie più complicate/3 Unendo uno spread rialzista su K 1 e K 2 con uno spread ribassista su K 2 e K 3, otteniamo una strategia molto diffusa, detta butterfly: Spread rialzista Spread ribassista Butterfly K 2 K 1 K 2 K 2 K 3 K 1 K 3 Si punta sul fatto che il sottostante stia in un certo range ristretto, si punta su una convergenza del sottostante. E sostanzialmente una strategia corta sulla volatilità. 14

15 Strategie più complicate/4 Comprando una call e una put sullo stesso strike price (tipicamente at the money) otteniamo uno straddle: Compro call K Compro put K Straddle K K K Si punta ad una variazione del sottostante, a prescindere dalla direzione. Se entrambe le opzioni sono ATM è abbastanza costosa. E sostanzialmente una posizione lunga sulla volatilità. Strategie più complicate/5 Comprando una call e una put su diversi strike K 2 > K 1 (tipicamente molto out of the money) ottengo uno strangle: Compro call K 2 Compro put K 1 Strangle K 2 K 1 K 1 K 2 E molto simile alla precedente, in questo caso essendo le opzioni OTM si spende meno ma per avere un guadagno occorre una variazione (positiva o negativa) maggiore. E anch essa una posizione lunga sulla volatilità con una leva maggiore. 15

16 Commenti Le opzioni sono beni deperibili; c e sempre una probabilità positiva di perdere tutto il capitale investito, che può essere elevata nel caso delle opzioni OTM. Il fatto che la perdita sia limitata dal premio iniziale non deve trarre in inganno: è sempre del 100%! L acquisto di opzioni consente di realizzare strategie lunghe o corte sulla volatilità, a prescindere dall andamento direzionale del sottostante; si dice che il mercato delle opzioni rende la volatilità un bene quotato. Le coperture mediante opzioni sono più flessibili rispetto a quelle mediante futures ma richiedono indubbiamente una modellizzazione più complicata. Strategie a confronto Rialziste: Fut Set 2009 long Call Call Ribassiste: Fut Set 2009 short Put Put Periodo considerato: 3-28/08/2009 (4 settimane, 20 giorni di trading) Sottostante: FTSEMIB Maturity: Settembre 2009 Prezzi utilizzati: chiusure Sulla volatilità: Butterfly (Call 20000, -2 Call 21000, Call 22000) Straddle (Call 21000, Put 21000) Strangle (Call 22000, Put 20000) 16

17 Il dataset - Futures FTSEMIB Index fut set 09 fut dec 09 03/08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , /08/ , Fonte: Bloomberg FTSEMIB Index fut set 09 fut dec 09 Il dataset - Call call /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ Fonte: Bloomberg 17

18 Il dataset - Call /2 27/08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ Il dataset - Put put /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ Fonte: Bloomberg 18

19 Il dataset - Put / Strategie rialziste FTSEMIB fut set 09 call call /08/ ,00 100,00 100,00 100,00 04/08/ ,25 103,17 103,91 109,33 05/08/ ,23 102,97 102,36 102,92 06/08/ ,02 108,56 112,19 116,03 07/08/ ,33 118,14 124,96 142,27 10/08/ ,17 123,82 134,79 156,27 11/08/ ,69 112,79 117,21 119,24 12/08/ ,02 122,37 131,39 144,02 13/08/ ,36 131,75 148,23 177,55 14/08/ ,05 122,73 131,17 138,48 17/08/ ,23 103,70 99,19 84,84 18/08/ ,59 111,63 114,92 109,62 19/08/ ,04 108,46 107,24 97,96 20/08/ ,29 117,58 120,46 113,70 21/08/ ,70 133,14 150,96 171,72 24/08/ ,89 148,86 180,72 244,61 25/08/ ,46 153,52 189,22 267,35 26/08/ ,84 155,41 194,02 275,51 27/08/ ,46 153,69 186,85 249,85 28/08/ ,41 158,97 200,81 285, FTSEMIB fut set 09 call call

20 Strategie ribassiste FTSEMIB fut set 09 put put /08/ /08/ , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ ,456 46, , , /08/ , , , , /08/ , , , , /08/ , , , , FTSEMIB fut set 09 put put Strategie sulla volatilità FTSEMIB Index butterfly straddle strangle 03/08/ ,00 100,00 100,00 100,00 04/08/ ,25 98,04 102,43 104,15 05/08/ ,23 101,96 99,74 99,22 06/08/ ,02 100,00 100,96 100,78 07/08/ ,33 94,12 100,06 99,61 10/08/ ,17 96,08 100,96 100,52 11/08/ ,69 111,76 95,98 93,13 12/08/ ,02 100,00 96,68 93,26 13/08/ ,36 88,24 101,47 101,30 14/08/ ,05 103,92 94,70 89,75 17/08/ ,23 105,88 92,41 86,25 18/08/ ,59 103,92 93,17 87,94 19/08/ ,04 117,65 90,75 84,31 20/08/ ,29 109,80 89,60 80,54 21/08/ ,70 92,16 98,79 94,81 24/08/ ,89 72,55 113,40 119,97 25/08/ ,46 66,67 119,08 129,57 26/08/ ,84 60,78 119,91 131,26 27/08/ ,46 78,43 111,81 117,64 28/08/ ,41 52,94 121,38 132, FTSEMIB Index straddle butterfly strangle 20

21 Il mercato IDEM Fonte: Borsaitalia, guida Conoscere gli strumenti derivati. Strumenti quotati Sottostanti quotati: futures sull indice FTSE MIB (FIB e MiniFIB) opzioni sull indice FTSE MIB (Mibo) futures e opzioni su 48 azioni liquide e ad elevata capitalizzazione Scadenze quotate: 2 scadenze mensili più vicine 4 scadenze rimestrali del ciclo marzo, giugno, settembre, dicembre 4 scadenze semestrali del ciclo giugno dicembre dei due anni sucessivi a quello in corso 2 scadenze annuali di dicembre del terzo e quarto anno successivo a quello in corso (solo MIBO) 21

22 Scadenze quotate Le uniche opzioni quotate su scadenze extralunghe sono le Mibo; le scadenze lunghe sono quotate anche per 8 titoli azionari (Generali, Enel, Eni, Fiat, Intesa, STM, Telecom, Unicredit). Fonte: Borsaitalia, guida Conoscere gli strumenti derivati. L indice FTSE MIB L indice FTSE MIB ha sostituito dal 1 giugno 2009 l indice S&P/MIB come sottostante per il FIB e le MIBO. Ecco i primi 10 titoli: titolo peso ENI 14,72% Intesa-Sanpaolo 12,09% Unicredito SpA 11,06% ENEL 10,22% Generali 9,58% Telecom Italia Ord 5,78% Unione Di Banche Italiane 3,10% Fiat 2,34% Tenaris 2,31% Finmeccanica 2,28% Fonte: FTSE Group, titoli costituenti dopo revisione al 23 marzo 2009 Le regole di aggiornamento sono simili a quelle del precedente S&P/MIB. 22

23 L indice FTSE MIB/2 Fonte: Bloomberg FIB e MiniFIB Sono i futures sul FTSE MIB. Differiscono solo per il valore di un punto base, pari rispettivamente a 5 e a 1. Altre caratteristiche: Il FIB quota le 4 scadenze del ciclo trimestrale più vicine, il MiniFIB solo le due scadenze più vicine. Una nuova scadenza viene quotata il primo giorno di borsa aperta successivo alla scadenza di un contratto. La scadenza è il terzo venerdì del mese e il sottostante a scadenza ( prezzo di regolamento ) è il valore del FTSE MIB calcolato alle 9.05 sui prezzi di apertura dei titoli che compongono il paniere Il prezzo di chiusura giornaliero è la media ponderata sulle quantità dell ultimo 10% scambiato nella giornata Attualmente il margine richiesto per entrambi i contratti è stato portato al 14,50%.. 23

24 Mibo Sono le opzioni aventi come sottostante l indice FTSE MIB. Si tratta di opzioni di tipo europeo (l esercizio è ammesso solo alla scadenza) Ciascun punto indice vale 2,5 Il premio viene pagato il giorno successivo alla data di negoziazione Sono quotate le 12 scadenze brevi, lunghe ed extra-lunghe Come per FIB e MiniFIB, la scadenza è il terzo venerdì del mese e il sottostante a scadenza ( prezzo di regolamento ) è il valore del FTSE MIB calcolato alle 9.05 sui prezzi di apertura dei titoli che compongono il paniere Sulle scadenze brevi sono quotati almeno 15 prezzi strike con intervalli di 500 punti; su quelle lunghe ed extra-lunghe almeno 21 con intervalli di 1000 punti (la liquidità tuttavia è veramente molto bassa) Come per FIB e MiniFIB, l intervallo del margine è pari al 14,50%.. Mibo/2. Fonte: Bloomberg 24

25 Stock futures Sono i futures quotati sui 48 sottostanti azionari. Ciascun contratto fa riferimento all acquisto o alla vendita di un lotto minimo di contratti ( moltiplicatore ). Sono quotate le 6 scadenze brevi. Una nuova scadenza viene quotata il primo giorno di borsa aperta successivo alla scadenza di un contratto. La scadenza è il terzo venerdì del mese e il sottostante a scadenza ( prezzo di regolamento ) è il prezzo di apertura A scadenza è prevista la consegna fisica del sottostante (physical delivery).. Stock options Sono le opzioni quotate sui 48 sottostanti azionari. Si tratta di opzioni di tipo americano, è cioè possibile l esercizio anticipato Ciascun contratto fa riferimento all acquisto o alla vendita di un lotto minimo di contratti ( moltiplicatore ) Il premio viene pagato il giorno successivo alla data di negoziazione Sono quotate le 10 scadenze brevi e lunghe; su 8 titoli anche le 2 extra-lunghe. Una nuova scadenza viene quotata il primo giorno di borsa aperta successivo alla scadenza di un contratto. La scadenza è il terzo venerdì del mese; il prezzo di regolamento è il risultato dell asta di chiusura dell ultimo giorno di contrattazione del sottostante.. 25

26 Lotti minimi (moltiplicatori) titolo molt. molt. titolo molt. FTMIB 5,00EXOR 100,00PARMALAT miniftmib 1,00FASTWEB 100,00PIRELLI & C FTMIB 2,50FIAT 500,00PRYSMIAN 100 A2A 2.500,00FINMECCANICA 500,00RCS ACEA 500,00FONDIARIA SAI 100,00SAIPEM 500 ALLEANZA 500,00GENERALI 100,00SARAS ATLANTIA 500,00GEOX 500,00SEAT PAGINE GIALLE AUTOGRILL 500,00IMPREGILO 500,00SNAM RETE GAS BANCA MONTE PASCHI SIENA 1.000,00INTESA SAN PAOLO 1.000STMICROELECTRONICS 100 BANCA POPOLARE MILANO 500,00INTESA SAN PAOLO RNC 1.000TELECOM ITALIA BANCO POPOLARE 500,00ITALCEMENTI 100TELECOM ITALIA RNC BULGARI 1.000,00LOTTOMATICA 100TENARIS 500 BUZZI UNICEM 100,00LUXOTTICA GROUP 500TERNA ENEL 500,00MEDIASET 1.000TISCALI ENI 500,00MEDIOBANCA 500UBI BANCA 500 ERG 500,00MEDIOLANUM 500UNICREDIT ESPRESSO 1.000,00MONDADORI 1.000UNIPOL Fonte: Borsaitalia. Il problema del pricing Al contrario degli strumenti lineari, le opzioni non possono essere valutate senza un modello probabilistico (anche molto semplice) del sottostante. Senza fare ipotesi, al massimo possiamo dare dei vincoli al prezzo di una opzione (detti di superreplicazione e subreplicazione): K S T K S T S - Ke -r(t-t) < C < S Ke -r(t-t) S < P < K 26

27 Fattori che determinano il prezzo Vari fattori determinano il prezzo di una opzione: il prezzo del sottostante S e il livello dello strike K congiuntamente determinano il grado di moneyness della opzione. Più l opzione è in the money, maggiore è la probabilità di esercizio e maggiore è il suo valore. Nel caso di una call, la moneyness è elevata se S è alto e K è basso, mentre nel caso di una put dobbiamo avere K alto e S basso. la volatilità annua del sottostante σ e la vita residua τ=τ t influenzano positivamente il prezzo sia delle call che delle put. Il motivo è che una maggiore volatilità del sottostante o una maggiore vita residua aumentano la variabilità del sottostante a scadenza. Le variazioni negative non incidono sul payoff, che è sempre nullo, mentre quelle positive lo aumentano. Pertanto l effetto complessivo è positivo. Fattori che determinano il prezzo/2 il tasso privo di rischio r ha una scarsa influenza sul prezzo delle opzioni; il tasso di dividendo (dividend yield) q influenza negativamente le call e positivamente le put, in quanto riduce la crescita del sottostante, avvantaggiando quindi le put rispetto alle call. Riassumendo, se il fattore nella prima colonna aumenta, abbiamo: Call Put Sottostante S Cresce Decresce Strike K Decresce Cresce Volatilità annua σ Cresce Cresce Time to maturity τ Cresce (usualmente) Cresce (usualmente) Dividend yield q Decresce Cresce 27

28 La volatilità storica /1 La volatilità di cui stiamo parlando prende il nome di volatilità storica (per distinguerla da quella implicita che introdurremo in seguito per mezzo del modello di Black-Scholes) ed è pari alla deviazione standard dei logrendimenti giornalieri, riportata su base annua. Il logrendimento giornaliero è definito da X S S t + 1 t + 1 t t = ln = = S ln 1 + t S ln 1 t dove R t è l usuale rendimento semplice. S ( + Rt ) Rt I logrendimenti hanno però il vantaggio di essere quantità additive (ad esempio, il logrendimento su un anno è la somma dei logrendimenti giornalieri, mentre notoriamente non si possono sommare i rendimenti semplici). La volatilità storica /2 I logrendimenti e i rendimenti semplici si esprimono comunemente in percentuale. La volatilità giornaliera è la deviazione standard dei logrendimenti giornalieri: n g 1 2 σ t = ( X t i µ t ) n 1 1 µ t = n n i = 1 X i = 1 t i Essa varia nel tempo e dipende dalla base n (numero di giorni su cui calcolo la media e la deviazione standard). La volatilità annua è data da σ a t = σ g t N dove convenzionalmente si prende N=260 (approssimativamente i giorni di borsa aperta). Sono a volte utilizzati indici alternativi che tengono anche conto di massimo, minimo, apertura, chiusura, o anche della intera serie delle quotazioni della giornata (volatilità intraday). 28

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