Matlab, modelli e realtà virtuale

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1 Matlab, modelli e realtà virtuale Breve seminario per gli alunni del corso Modelli fisici per la realtà virtuale Fabio Scotti Università degli studi di Milano Dipartimento di Tecnologie per l informazione

2 Sommario Introduzione all ambiente Matlab mediante esempi applicativi Matlab per fare che cosa? In che modo è meglio procedere? Tecniche di visualizzazione Esempi ed applicazioni con codice commentato Alcune applicazioni famose Toolbox Matlab per la realtà virtuale Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 2

3 Qualche esempio Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 3

4 Matlab per Acquisire dati (da sensori, telecamere, file, ) Elaborare dati Visualizzare dati e risultati Scrivere e verificare modelli (matematici, fisici, statici, dinamici) Risolvere equazioni (integrazione numerica e simbolica) Molte volte Matlab aiuta a pensare, verificare, simulare e CAPIRE! Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 4

5 Un esempio spaziale Vedi filmato SondaSpirit Rendering.mpeg (costruzione di un modello da dati reali) Vedi filmato SondaSpirit Simulazione.avi (applicazione del modello ottenuto ad un sistema di rendering) Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 5

6 Tipico modo di procedere 1. Esposizione delle prime idee sul sistema/modello da creare/simulare/scrivere (descrizione ad alto livello, schizzi su carta) 2. Individuazione delle ingressi e delle uscite del sistema/modello (le variabili) 3. Scrittura/programmazione del modello 4. Controllo con dati reali o sintetici 5. Visualizzazione dei risultati (ingressi, uscite, stati interni, relazione fra gli ingressi e le uscite, relazione delle grandezze rispetto ai parametri, animazioni ecc.) 6. se serve, ritornare ai punti precedenti Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 6

7 Partire dal semplice Lancia programma pendolo-triplo.m (costruzione di un sistema di equazioni per un pendolo triplo e sua simulazione) Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 7

8 ... ed aggiungere pametri, variabili, nuove o migliori equazioni Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 8

9 Migliorare la percezione del fenomeno Direzioni di arrivo della radiazione nello spazio Array circolare di sensori A shape describing the response of a ring of point sensors to signals arriving from different directions in space. The distance of the surface from the centre of the object is proportional to the response of the ring in that direction (Andrew Knight) Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 9

10 Migliorare la percezione dei fenomeni Meglio la figura o l equazione? Meglio averle e capirle entrambe! Modi naturali di vibrazione di una corda attaccata da una parte ad un altoparlante e dall altra ad una carrucola con un peso. La figura è una superficie creata allineando uno accanto all altro i vari cammini di integrazione trovati. Sotto si trova l equazione usata nella integrazione (metodo shooting ) Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 10

11 Teniche di visualizzazione Punti in 1-2-3D e nel tempo, superfici, vettori, flussi, volumi, animazioni

12 Primi esempi con dati 1D Creare una funzione sin(x^2) e visualizzare il suo andamento nel dominio [0, 5]. % plotta un seno di x^2 x=0:0.05:5; y=sin(x.^2); plot(x,y); Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 12

13 Primi esempi con dati 1D Mostrare la funzione precedente e la sua derivata visualizzandone l andamento nel dominio [0, 8]. % plotta la derivata (ad un passo) di seno di x^2 x=0:0.05:8; y=sin(x.^2); 1 yd=diff(y); 0.8 hold on; plot(x,y,'b'); plot(x(2:end),yd,'r'); hold off; Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 13

14 Primi esempi con dati 1D Completare il grafico con opportune etichette xlabel('x'); ylabel('y {dy}/{dx}'); title ('y=sin(x^2) e la sua derivata in [0 8]') 1 y=sin(x 2 ) e la sua derivata in [0 8] y dy/dx x Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 14

15 Primi esempi con dati 2D Caricare la matrice 2D penny.mat e visualizzarla (la superficie di un penny in funzione delle coordinate x e y) load penny ; % la matrice delle altezze e' P surf(p) Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 15

16 Primi esempi con dati 2D Mostrare in 4 modi diversi la superficie del penny in 4 sottofigure load penny ; P = flipud(p); % la matrice delle altezze e' P % giro la matrice sottosopra subplot(2,2,1) % primo subplot di quattro (2 x 2) surf(p); subplot(2,2,2) % secondo subplot di quattro (2 x 2) mesh(p); subplot(2,2,3) % terzo subplot di quattro (2 x 2) pcolor(p); shading flat % toglie le righe nere attorno ai tasselli di colore subplot(2,2,4) % quarto subplot di quattro (2 x 2) contour(p); Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 16

17 Primi esempi con dati 2D Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 17

18 Primi esempi con dati 2D Calcolare la funzione bidimensionale peaks, disegnarla, trovare il massimo e segnarlo sul grafico [Z] = peaks; % abbiamo tutti i valori di X, Y, Z gia' precalcolati surf(z); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); Zmax = max(max(z)) [ymax, xmax] = find(z == Zmax) % trovo gli indici dove sta' il massimo % nella matrice (NON I VALORI DELLE COORD!!!) hold on; plot3( xmax, ymax, Zmax, 'hg', 'Markersize', 15 ); hold off; Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 18

19 Primi esempi con dati 2D Disegnare i vettori della normale sulla superficie della funzione z = x.* exp(-x.^2 - y.^2) [x,y] = meshgrid(-2:.2:2,-1:.15:1); z = x.* exp(-x.^2 - y.^2); [u,v,w] = surfnorm(x,y,z); quiver3(x,y,z,u,v,w); hold on, surf(x,y,z), hold off Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 19

20 Primi esempi con dati 2D Data la pista da sci di equazione z = x.* exp(-x.^2 - y.^2) evidenziare con i colori la pendenza [x,y] = meshgrid([-2:.1:2]); Z = x.*exp(-x.^2-y.^2); mesh(x,y,z,abs(gradient(z))) 0.5 Una pista da sci. Il colore indica il modulo della pendenza xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); title('una pista da sci. Il colore. indica il modulo della pendenza'); z % per avere una scala e per avere il massimo in rosso 0.04 colorbar; colormap jet ; y x Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 20

21 Vedere funzioni simboliche Inserire luce nelle scene sin(sqrt(x 2 +y 2 ))/sqrt(x 2 +y 2 ) ezsurf( funzione simbolica, dominio) 1 es: 0.5 ezsurf('sin(sqrt(x^2+y^2))/sqrt(x^2+y^2)',[-6*pi,6*pi]) view(0,75) shading interp lightangle(-45,30) set(gcf,'renderer','zbuffer') set(findobj(gca,'type','surface'),... 'FaceLighting','phong',... 'AmbientStrength',.3,'DiffuseStrength',.8,... 'SpecularStrength',.9,'SpecularExponent',25,... 'BackFaceLighting','unlit') 10 0 y x 0 10 Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 21

22 Primi esempi con dati 3D Profilo di velocita'' in un getto di fluido in un contenitore infinito % Generate the volume data with the command [x,y,z,v] = flow; % Determine the range of the volume by finding the minimum and maximum of the coordinate data. xmin = min(x(:)); ymin = min(y(:)); zmin = min(z(:)); xmax = max(x(:)); ymax = max(y(:)); zmax = max(z(:)); hslice = surf(linspace(xmin,xmax,100), linspace(ymin,ymax,100), zeros(100)); rotate(hslice,[-1,0,0],-45) xd = get(hslice,'xdata'); yd = get(hslice,'ydata'); zd = get(hslice,'zdata'); delete(hslice) h = slice(x,y,z,v,xd,yd,zd); set(h,'facecolor','interp', 'EdgeColor','none', 'DiffuseStrength',.8) hold on hx = slice(x,y,z,v,xmax,[],[]); set(hx,'facecolor','interp','edgecolor','none') hy = slice(x,y,z,v,[],ymax,[]); set(hy,'facecolor','interp','edgecolor','none') hz = slice(x,y,z,v,[],[],zmin); set(hz,'facecolor','interp','edgecolor','none') daspect([1,1,1]) axis tight box on view(-38.5,16) camzoom(1.4) camproj perspective lightangle(-45,45) colormap (jet(24)) set(gcf,'renderer','zbuffer'); title('profilo di velocita'' in un getto di fluido in un contenitore infinito'); Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 22

23 Primi esempi con dati 3D Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 23

24 Volumi e superfici da volumi clear; close all; load mri; D = squeeze(d); image_num = 8; subplot(1,2,1); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% phandles = contourslice(d,[],[],[1,12,19,27],8); view(3); axis tight set(phandles,'linewidth',2) axis square subplot(1,2,2) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ds = smooth3(d); hiso = patch(isosurface(ds,5),... 'FaceColor',[1,.75,.65],... 'EdgeColor','none'); hcap = patch(isocaps(d,5),... 'FaceColor','interp',... 'EdgeColor','none'); colormap(map) view(45,30) axis tight daspect([1,1,.4]) lightangle(45,30); set(gcf,'renderer','zbuffer'); lighting phong isonormals(ds,hiso) set(hcap,'ambientstrength',.6) set(hiso,'specularcolorreflectance',0,'specularexponent',50) Tutto parte dalla matrice tridimensionale D di dati MRI [128x128x27] Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 24

25 Volumi e superfici da volumi Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 25

26 Animazioni e creazione filmati % animazione di una superficie tridimensionale z=peaks ; fig=figure; set(fig,'doublebuffer','on'); mov = avifile('example.avi') surf(z) lim=axis ; % registro gli assi for n=1 :50 % registra le immagini end surf(sin(2*pi*n/50).*z) % abbellimenti grafici shading interp; colormap jet; savtoner save; axis(lim) F = getframe(gca); mov = addframe(mov,f); mov = close(mov); Vedi file example.avi Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 26

27 Un primo esempio Decollo di un jet

28 Decollo di un jet Vogliamo visualizzare la traiettoria del jet essendo note tutte le equazioni t Equazioni x(t) y(t) z(t) roll(t) pitch(t) yaw(t) In pratica vogliamo visualizzare per bene le equazioni spazio(t) = velocità_iniziale * t * accelerazione * t^2 Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 28

29 Decollo di un jet Costanti ax = 6 ; % accelerazione in avanti del jet [m/s2]; az = 5 ; % accelerazione verso l'alto del jet [m/s2]; vx0 = 0; % parte da fermo % ricordiamo le formule da usare % velocita(t) = velocita'iniziale + accelerazione * t % spazio(t) = velocita'iniziale * t * accelerazione * t^2 X = []; Y = []; Z = []; Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 29

30 Decollo di un jet for t = [0:0.05:10] % analizziamo 10 secondi con uno step di 0.05 secondi x = vx0 * t * ax * t^2 ; Vx = vx0 + ax * t ; if Vx<50 % sotto i 50 m/s non decolla z = 0; tempodecollo = t; else % decolla z = 0.5 * az * (t-tempodecollo)^2 ; end X = [ X x ]; Y = [ Y 0 ]; % non si muove mai lungo l'asse Y Z = [ Z z ]; Calcolo delle variabili negli istanti di tempo da considerare end % approssiamo che il jet non ruoti lungo i suoi gli assi (!) % al massimo tranne che per il pitch (impennata) pitch = zeros(size(x)); % anche pitch = -1*X./max(X)*0.15*pi; roll = zeros(size(x)); yaw = zeros(size(x)); Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 30

31 Decollo di un jet subplot(1,4,[1 3]) plot3(x,y,z, '.'); grid on; xlabel('x [m]');ylabel('y [m]'); zlabel('z [m]'); subplot(1,4,4) trajectory2(0,0,0,0, 0,0, 1,0,'tomcat') Visualizzazione figure; trajectory2( X,Y,Z, pitch, roll, yaw,1,5,'tomcat') Trajectory2 : funzione che visualizza un aereo vettoriale lungo la traiettoria x,y,z, con le rotazioni lungo gli assi pitch, roll, yaw, in scala 1 e con passo 5 Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 31

32 Decollo di un jet Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 32

33 Decollo di un jet Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 33

34 Altro modo di risolvere il problema del decollo Supponiamo di non avere le equazioni del moto ma di avere le equazioni alle differenze (dx/dt=v iniz + a x *t; ecc..) Condizioni iniziali x0,y0,z0, x,y,z, Integratore dx/dt, dy/dt, dz/dt,. Equazioni alle differenze x(t) y(t) z(t) roll(t) pitch(t) yaw(t) Vedremo un esempio risolto con questa tecnica più avanti Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 34

35 Alcune applicazioni famose Frattali, caos ed attrattori, creazioni di ambienti sintetici

36 Attrattori strani (2D) x = sin(b y) + c sin(b x) y = sin(a x) + d sin(a y) Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 36

37 Attrattori strani (2D) % pickover system close all % costanti a = 2.15; b = 1.75; c = 0.98; d = 1.4; % punto iniziale x = 1; y = -1; X = []; Y = []; for i=1: x = sin(b*y)+c*sin(b*x); y = sin(a*x)+d*sin(a*y); X = [X x]; Y = [Y y]; if (~mod(i,10000) & i>0) plot(x,y, 'k.', 'MarkerSize', 1); title ( [ 'numero punti =' num2str(i)] ); drawnow; hold on; i end end Lancia programma pickover2.m Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 37

38 Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 38

39 Altri attrattori strani Le lettere dalla A alla Y stanno ai coefficienti quadratici dalla forma quadratica da -1.2 a 1.2 con passo 0.1 Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 39

40 Gli attrattori strani (3D) Similmente alla cinematica dove un punto si muove nello spazio (dx,dy,dx) ogni dt per effetto di forze che dipendono dal punto e della sua inerzia (es. il sistema solare), immaginiamo il caso che un punto si muova in funzione SOLO della sua posizione secondo le seguenti equazioni dx/dt = funzione1(x,y,z) dy/dt = funzione2(x,y,z) dz/dt = funzione3(x,y,z) sphere; axis equal; axis( [ ]); savtoner save; xlabel('x');ylabel('y'); zlabel('z'); Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 40

41 Attrattore di Lorentz (3D) 1. Partendo da un punto iniziale possiamo calcolare in un passaggio i prossimi dx, dy, e dz del punto. 2. Essi sommati al punto iniziale determinano una nuova posizione nello spazio x,y,z 3. Torniamo al punto 1 usando i nuovi x, y, z dx/dt = 10(y-x) dy/dt = x(28-z)-y dz/dt = x*y- 8/3z Questo sistema di equazioni non lineari nel tempo è conosciuto come Attrattore di Lorentz Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 41

42 Attrattore di Lorentz (3D) Vogliamo decidere un punto iniziale, applicarlo alle equazioni differenziali e calcolare le traiettorie Punto iniziale x0, y0, z0, solver (ordinary differential equation ) X, Y, Z asse tempi x, y, z Derivata di x,y,x modello dx/dt = 10(y-x) dy/dt = x(28-z)-y dz/dt = x*y- 8/3z Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 42

43 Attrattore di Lorentz (3D) function dy = modello(t,y) % parametri sigma = 10; b = 8/3; r = 28; % inizializzo l'incremento a zero dy = zeros(3,1); % scrivo le equazioni di Lorentz dy(1) = sigma*(y(2)-y(1)); dy(2) = r*y(1)-y(2)-y(1)*y(3); dy(3) = y(1)*y(2)-b*y(3); y(1) = x y(2) = y y(3) = z dy(1) = dx/dt dy(2) = dy/dt dy(3) = dz/dt File modello.m modello Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 43

44 Attrattore di Lorentz (3D) % parametri per l'integrazione numerica % Tolleranza Errore Relativo = 1e-4 % Tolleranza Errore Assoluto = 1e-5 sulle 3 variabili options = odeset('reltol',1e-4,'abstol',[1e-5 1e-5 1e-5]); % uso il modello per simulare le traiettorie % passiamo il modello, l asse temporale (inizio-fine) da esaminare ed il p.to iniziale [t,x] = [0 100],[0-1 0], options); % plotting close all; subplot(5,1,[1 4]) plot3(x(:,1), x(:,2), x(:,3)) grid on xlabel x; ylabel y; zlabel z; title('attrattore di Lorentz') File integrazione.m Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 44

45 Attrattore di Lorentz (3D) Attrattore di Lorentz z y x x(t) t Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 45

46 Superfici frattali function a=plasma(n) % Elegant, fast, non-recursive way to create a plasma % fractal PLASMA(n) takes one argument n, where % 2^(2+n) is the size of the square plasma matrix. % The default value of n is 6, which gives a % 256 x 256 matrix % % Arjun Viswanathan 1999 randn('state',sum(clock*100)); t=cputime; a=rand(4); if nargin<1 n=6; end for i=1:n; r=size(a,1);c=size(a,2); xi=[1:(r-1)/(2*r-1):r]; yi=[1:(c-1)/(2*c-1):c]; a=interp2(a,xi,yi','cubic'); step=2^(-i); dev=rand(size(a)).*step-2*step; a=a+dev; end Figura ottenuta da creaplasma.m Inventa tu un tuo algoritmo di generazione della superficie Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 46

47 Superfici frattali a = plasma(7); % cerca di NON superare 7.. la procedura e' ricorsiva! close all; surfl(a); shading flat; colormap winter; axis square; grid off; axis on; savtoner save figure; pcolor(a); shading flat; colormap bone; axis square; savtoner save Figura ottenuta da creaplasma.m Prova a cambiare le mappe di colore con la funzione colormap Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 47

48 Composizioni frattali Partendo sempre dalle matrici di plasma si combinano surf e plot per ottenere montagne e nubi. Eventualmente si aumenta il realismo calcolando la deformazione prospettica della matrice E possible calcolare le ombre e proiettarle Figura disponibile in Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 48

49 Top spin Immaginiamo di dover simulare il moto di una pallina da tennis durante un servizio con top spin per un videogioco Top spin = 2400 RPM (palla colpita in alto) Massa palla = 58 gr Diametro = 6 cm (Dati Federazione Italiana Tennis) Smash Court Tennis Pro Tournament 2 (PlayStation 2) Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 49

50 Effetto Magnus L effetto della rotazione in volo di una sfera provoca una forza perpendicolare sia all asse di rotazione, sia all avanzamento: l effetto Magnus F Lift = π 2 ρ v r 3 ω Bourg, "Physics for game developers" Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 50

51 Top spin - modello function dy = modello(t, y) % parametri m = ; % Projectile mass (given), kg g = 9.8 ; % acceleration due to gravity(given), m/sˆ2 omega = 20 ; % spin in radians per second radius = 0.06 ; % radius of projectile (given), m RHO = ; % kg/m^3 vx = 10 ; % velocita' iniziale della palla, m/s vy = 0 ; % velocita' iniziale della palla, m/s y(1) = x dy(1) = dx/dt y(2) = y dy(2) = dy/dt t modello y % Forza di Magnus C = pi * RHO * RHO * radius^3 * omega; % inizializzo l'incremento a zero dy = zeros(2,1); % scrivo le equazioni della palla NOTA: dy(1)= dx ; dy(2)= dy dy(1) = vx + C / m * t * dy(2) % vx + contributo sull'asse x che nasce da vy dy(2) = vy + C / m * t * dy(1) - g * t; % vy + contributo sull'asse y che nasce da vx - accelerazione terrestre v x File modello.m Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 51

52 Top spin - integrazione % Fabio Scotti - Modello di palla da tennis con top-spin % parametri per l'integrazione numerica % Tolleranza Errore Relativo = 1e-4 % Tolleranza Errore Assoluto = 1e-4 sulle 3 variabili options = odeset('reltol',1e-4,'abstol',[1e-5 1e-5 ]); % uso il modello per simulare le traiettorie [t,x] = [0 1],[1 1], options); % plotting close all; plot(x(:,1), x(:,2)) xlabel( x ); ylabel( x ); title('palla con top spin') savtoner save; Prova a migliorare la visualizzazione, confrontando le traiettorie al variare dei parametri. Se vuoi disegnare più curve sullo stesso grafico usa il comando: >> hold on File integrazione.m Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 52

53 Toolbox per la realtà virtuale Matlab fornisce un utile toolbox per la realtà virtuale che permette di integrare i modelli sviluppati (sia programmati sia espressi in SIMULINK) con gli strumenti per la visualizzazione 3D Gli ambienti sono in VRML Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 53

54 Toolbox per la realtà virtuale The toolbox links MATLAB and Simulink with virtual reality graphics, enabling MATLAB or Simulink to control the position, rotation, and dimensions of the 3-D images defined in the virtual reality environment. The result is a presentation-quality 3-D animation. Through visualization, the Virtual Reality Toolbox provides insight into the dynamic systems that you model in Simulink. Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 54

55 Toolbox per la realtà virtuale Il toolbox Virtual Reality di Matlab contiene numerosi demo che possono essere lanciati da riga di comando che descrivono molto bene le funzionalità disponibili. Ricordiamoci però che....tutto parte da una buona idea ed un buon modello! Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 55

56 Esempi in Matlab Bouncing ball >>vrbounce Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 56

57 Esempi in Matlab Control inverted pendulum >>vrpend Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 57

58 Esempi in Matlab Solar system >>vrplanets Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 58

59 Esempi in Matlab Skoda Octavia Simulation >> vr_ocatvia Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 59

60 Esempi in rete Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 60

61 Esempi in rete Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 61

62 Riferimenti Chaos and Fractals, a short trip in fractional dimensions. CSE - L.Cavin, 2003, M_Map: A mapping package for Matlab 4. Help in linea di Matlab, ver R Smash Court Tennis Pro Tournament 2 (PlayStation 2) D.M. Bourg, "Physics for game developers", O'Reilly, 2002 Matlab, modelli e realtà virtuale Università degli studi di Milano Fabio Scotti 62

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