Sistemi dinamici-parte 2 algoritmi simplettici; integrabilita

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1 Sistemi dinamici-parte 2 algoritmi ; integrabilita AM Cherubini 14 Maggio / 30

2 Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura 2 / 30

3 Flusso hamiltoniano come trasformazione Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura Data una hamiltoniana H(p, q), il flusso hamiltoniano al tempo t e una trasformazione (p, q) φ t H(p, q) (Non lo dimostriamo) Questa proprieta e cruciale nei metodi perturbativi di sistemi hamiltoniani. Si dimostra anche che una trasformazione e ǫ-vicina al flusso di una hamiltoniana autonoma H ǫ (p, q) con ǫ piccolo a piacere, ovvero una trasformazione approssima arbitriamente bene il flusso di una opportuna hamiltoniana autonoma (vedremo poi cosa significa con maggiore precisione) 3 / 30

4 Leap-frog Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura Dato un sistema con hamiltoniana separabile H(p, q) = K(p) + V (q) un noto algoritmo per integrarne numericamente la dinamica e l algoritmo di Stoermer-Verlet o leapfrog. Ne diamo un esempio per (p, q) R 2 e Le equazioni da integrare sono H(p, q) = p2 2 + V (q) ṗ = V (q) q = p 4 / 30

5 Algoritmo Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura Ad ogni passo, per un time-step h, l algoritmo e q j+1/2 = q j + h 2 p j p j+1 = p j hv (q j+1/2 ) (1) q j+1 = q j+1/2 + h 2 p j+1 p q j+1/2 p p,q j,q j j+1 j+1 vedi pagine iniziali di: Hairer, Lubich, W anner Geometric Numerical Integration, Springer 5 / 30

6 Ad ogni passo, partendo da (p j, q j ), la q avanza linearmente per un tempo h 2, si usa il valore cosi trovato per approssimare la media delle p p j+1 p j h V (q j+1/2 ) e infine si fa avanzare q di un altro mezzo passo (q j+1/2 fa da appoggio al salto della p, da cui il nome dell algoritmo). 6 / 30

7 Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura Il leapfrog e un algoritmo esplicito al secondo ordine, cioe (si vede facilmente sviluppando in serie) φ h H(p j, q j ) (p j+1, q j+1 ) = O(h 3 ) e inoltre, indicando con H 0 il valore costante di H sul suo flusso H 0 H (p j+1, q j+1 ) = O(h 2 ) l energia viene conservata a meno di quantita O(h 2 ) 7 / 30

8 Il leapfrog e una trasformazione Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura Questi algoritmi sono stati usati per molto tempo in ambiti diversi (dinamica molecolare, astronomia etc) ma solo recentemente si sono spiegate le loro proprieta riconoscendone la natura simplettica: mostriamo che la trasformazione e (p j, q j ) (p j+1, q j+1 ) 8 / 30

9 Dimostrazione Per brevita, poniamo (p, q) = (p j, q j ) (P, Q) = (p j+1, q j+1 ) e mostriamo che la trasformazione P = P (p, q) Q = (p, q) e calcolando {Q, P } Dalla definizione {Q, P } = Q q P p Q p P q 9 / 30

10 Dalle (1) si ha P = p j+1 = p hv (q j+1/2 ) Q = q j+1 = q j + h 2 p j + h 2 p j+1 = q + hp h2 2 V (q j+1/2 ) con q j+1/2 = q j+1/2 (p, q) = q + h 2 p quindi Q q P p Q p P q = 1 h2 2 V (q j+1/2 ) = 1 h2 2 V (q j+1/2 ) = h h3 4 V (q j+1/2 ) = hv (q j+1/2 ) 10 / 30

11 Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura da cui {Q, P } = 1 L integratore numerico e quindi una composizione di trasformazioni canoniche: questo assicura che non verranno introdotti comportamenti estranei alla dinamica effettiva, per esempio punti asintotici (una trasformazione conserva il volume nello spazio delle fasi) 11 / 30

12 Altre proprieta Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura Come si e accennato, e possibile trovare una hamiltoniana H ǫ (p, q) per cui, indicando con Ψ h (p, q) l integratore si ha Ψ h (p, q) Φ h H ǫ (p, q) = O(ǫ) per ǫ arbitrario, per esempio inferiore alla precisione di macchina, cioe il flusso numerico e quasi un flusso hamiltoniano La H ǫ (p, q) e tale che H ǫ (p, q) H(p, q) = O(h 2 ) il che spiega la buona conservazione dell energia. L orbita dell integratore e su una superficie di livello di una hamiltoniana h 2 -vicina all hamiltoniana effettiva 12 / 30

13 Figura Il flusso e Leap-frog Algoritmo Il leapfrog e Altre proprieta Figura curva di livello di H flusso numerico 2 distanza h Il flusso numerico si muove in un intorno di grandezza h 2 della curva di livello per H; un integratore generico avrebbe invece una deriva dell energia: su tempi lunghi l orbita numerica e l orbita effettiva del sistema si allontanerebbero 13 / 30

14 Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili 14 / 30

15 Sistemi quasi-periodici Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili Si e visto che una opportuna trasformazione permette di scrivere un oscillatore armonico nella forma semplice H(p, q) = 1 2 n i=1,n K(I, ϕ) = ω I p 2 i + ω 2 i q 2 i (2) con ω = (ω 1,..., ω n ) vettore delle frequenze. Le equazioni associate I i = 0 ϕ i = ω i i = 1, n mettono bene in evidenza le costanti del moto 15 / 30

16 Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili L idea e la seguente: l hamiltoniana (2) ha soluzioni q i (t) = A i cos ω i t + ϕ i,0 }{{} ϕ i i = 1, n e sono costanti le energie relative ad ogni modo di oscillazione 1 2 p2 i + ω 2 i q 2 i = ω i I i Si vuole descrivere il moto in termini delle costanti I i e degli angoli ϕ i 16 / 30

17 Moti sul toro Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili In queste variabili, una volta fissate le I i al tempo iniziale si ritrova ϕ i = ω i t + ϕ i,0 quindi i parametri ϕ i si muovono ognuno su una circonferenza S 1 con periodo T i = 2π ω i, quindi ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) S 1 S 1... S 1 }{{} n volte Moti di questo genere si dicono quasi-periodici; il prodotto cartesiano di n circonferenze S 1 e un toro n-dimensionale T n 17 / 30

18 n=2 Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili Un toro T 2 : le linee rosse e blu sono le curve coordinate degli angoli ϕ i 18 / 30

19 Poiche la circonferenza e R mod 2π, il toro T 2 si puo vedere come piano quozientato sui quadrati di lato 2π φ 2 2 π 0 2 π φ 1 I lati opposti sono identificati 19 / 30

20 Le orbite sul toro sono rette di R 2 /2π, con coefficiente angolare ω 2 ω 1 φ 2 2 π 0 2 π φ 1 20 / 30

21 Orbita periodica Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili Un orbita e periodica in T 2, cioe chiusa, appare cosi (un numero finito di segmenti nel quadrato) 2 π φ π φ 1 21 / 30

22 Orbita densa Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili Dimostriamo la seguente Proposizione L orbita e periodica, cioe T tale che ϕ i (t + T) = ϕ i (t) i = 1, 2 t se e solo se α = ω 2 ω 1 Q Se α / Q il moto e denso sul toro ovvero ǫ, preso una palla aperta B ǫ T 2, l orbita interseca B ǫ 22 / 30

23 Dimostrazione Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili Per semplicita consideriamo T 2 = R 2 /Z 2, cioe quadrati di lato 1. Serve il Lemma In R/Z = [0, 1] mod 1 considero la traslazione τ = x + α τ τ τ τ 0 x / 30

24 L orbita di τ a partire da un punto iniziale x 0 e data dalle iterate τ k (x 0 ) ed e periodica se N per cui τ N (x 0 ) = x 0 Si ha 1. τ e periodica se e solo se α Q 2. se α / Q, l orbita di τ e densa in R mod 1 DIMOSTRAZIONE del lemma Se α = n m, primi fra loro, per N = m si ha τ N (x 0 ) = x 0 + n = x 0 Viceversa se l orbita ha un periodo N deve essere α = n m per un n Z. 24 / 30

25 Supponiamo ora α / Q: mostriamo che fissato ǫ e preso un intervallo B ǫ [0, 1] esiste un N per cui τ N B ǫ. L orbita non e periodica, quindi τ i (x 0 ) τ j (x 0 ) per i j; i τ i (x 0 ) sono infiniti nell intervallo [0, 1] quindi avranno un punto di accumulazione, per cui k tale che τ m (x 0 ) τ n (x 0 ) < ǫ m, n > k Supponiamo 0 < m < n. Applichiamo la mappa inversa τ m (τ m (x 0 ) τ n (x 0 )) = x 0 τ n m (x 0 ) si ha (poiche la mappa e una traslazione non cambia le distanze) x 0 τ n m (x 0 ) < ǫ 25 / 30

26 Allora la mappa τ n m procede a passi di lunghezza < ǫ ed esistera un j per cui τ j(n m) (x 0 ) B ǫ Quindi, prendendo N = j(n m), la densita e dimostrata Per dimostrare la proposizione basta osservare che le intersezioni dell orbita dell oscillatore su uno dei lati verticali del quadrato, per esempio ϕ 1 = 1, sono le iterate di una traslazione nell intervallo [0, 1] τ(x) = x + α con α = ω 2 ω 1. Supponiamo che il dato iniziale sia ϕ 0 = 0, allora le intersezioni sono date da (1, τ k (0)) = (1, kα). Se α Q esse sono in numero finito, quindi l orbita dell oscillatore e periodica. 26 / 30

27 N α α punti della mappa τ Sia invece α / Q. Allora, fissato un intorno B ǫ di centro ϕ e raggio ǫ, se ϕ non e nell orbita traccio per esso la parallela all orbita (linea tratteggiata rossa) che interseca il lato verticale in un punto (1, x). Per il lemma, esiste un N per cui x Nα < ǫ. Allora l orbita per (1, Nα) interseca B ǫ. 27 / 30

28 n>2 Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili Il risultato si generalizza ad un oscillatore n-dimensionale: se i, j ω i ω j Q l orbita e periodica (calcolare il periodo!) se i, j ω i ω j / Q l orbita e densa sul toro T n (attenti al i, j: e ci sono due frequenze commensurabili l orbita e densa su un toro di dimensione inferiore a n. 28 / 30

29 Hamiltoniane integrabili Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili Il comportamento dell oscillatore armonico si ritrova nei cosiddetti sistemi integrabili: Si dice che una hamiltoniana n-dimensionale H(p, q) e mente integrabile se esiste una trasformazione in variabili (I, ϕ), ϕ = (ϕ 1,...ϕ n ) angoli che la coniuga ad una hamiltoniana K = K(I) dipendente solo dalle I. Il moto in queste variabili diventa allora I i = cost ϕ i = ω i (I)t + ϕ i,0 i = 1, n con ω i (I) = K I i cioe, in generale, quasi-periodico. 29 / 30

30 Sistemi quasi-periodici Moti sul toro n=2 Orbita periodica Orbita densa n>2 Hamiltoniane integrabili L ntegrabilita e una proprieta molto forte (si richiede l esistenza di n integrali indipendenti del moto) e per n > 1 i sistemi integrabili sono rari (moto dei due corpi, alcuni casi di corpo rigido...). E pero possibile vedere alcune hamiltoniane come perturbazione di una hamiltoniana integrabile H(I, ϕ) = H 0 (I) + ǫf(i, ϕ) ed usare le proprieta dell hamiltoniana H 0 (I) per avere informazioni sulla dinamica di H 30 / 30